专题03 实数十二大题型专项训练（题型专练）数学新教材苏科版八年级上册

专题03 实数十二大题型专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01 无理数的识别 题型02 无理数的大小估算 题型03 实数概念的理解 题型04 实数的分类 题型05 求一个的数的相反数或绝对值 题型06 实数和数轴的关系 题型07 实数的大小比较 题型08 有关数轴与绝对值的化简 题型09 实数非负性的应用 题型10 实数的混合运算 题型11 程序设计与实数运算 题型12 新定义与实数运算 ▌题型01 无理数的识别 1. 实数分类核心：实数 = 有理数 + 无理数；有理数是有限小数 / 无限循环小数，无理数是无限不循环小数。 2. 典型无理数： （1）开方开不尽的数：； （2）含的数：； （3）无限不循环特殊小数：（相邻 1 之间 0 依次多 1 个）； 易错区分：是有理数；分数一定是有理数；带根号不一定是无理数。 【典例1-1】（25-26七年级下·江苏南通·期末）下列各数中，是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：是分数、是有限小数、是整数；由于开不尽立方，则是无理数． 【典例1-2】在下列各数0、、、、（每两个1之间多一个0）、、中，无理数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题根据无理数的定义，即无限不循环小数是无理数，逐个判断各数，统计无理数个数即可得到结果. 【详解】解：∵ 整数和分数统称为有理数，无限不循环小数是无理数， 逐个判断各数： 是整数，属于有理数； 是无限循环小数，属于有理数； ，是分数，属于有理数； 中是无限不循环小数，因此是无理数； （每两个1之间多一个0）是无限不循环小数，是无理数； 开立方开不尽，是无限不循环小数，是无理数； ∴ 无理数共个 【变式1-1】（25-26七年级下·广西梧州·期末）实数，，，，，，（相邻两个之间依次多一个），其中无理数有（     ）个． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简，再根据无理数的定义逐一判断各数． 【详解】解：是分数，、是整数，均为有理数， ，，，（相邻两个之间依次多一个）是无理数， 故无理数共个． 【变式1-2】（24-25八年级上·四川成都·期中）在下列各数：、、、，、中无理数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的概念，立方根，掌握无理数的概念，求一个数的立方根的计算是解题的关键． 根据无理数的概念“无限不循环小数”及常见无理数的形式“含的式子；开不尽方的数；特殊结构的数，如相邻两个2之间1的个数逐渐增加”，立方根求值得到实数，进行判定即可求解． 【详解】解：， ∴无理数有，共2个， 故选：B ． 【变式1-3】（25-26七年级下·安徽芜湖·期末）在，，，，，中，无理数有________个． 【答案】2 【分析】先将题目中可化简的数进行化简，再根据无理数的定义逐一判断各数即可． 【详解】解：∵是整数，属于有理数， 是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数， 是分数，属于有理数， 是整数，属于有理数， 是无限不循环小数，属于无理数， 是整数，属于有理数， ∴无理数共有个． ▌题型02 无理数的大小估算 1. 夹逼法核心：找相邻两个完全平方 / 立方数，锁定无理数范围。 例：估算，，得。 2. 进阶估算：算出小数近似值比较，常用近似值：。 3. 负数估算：负无理数绝对值越大，数值越小。 【典例2-1】（25-26七年级下·重庆·期末）已知，则整数的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找出与相邻的两个完全平方数，确定的范围，即可求出整数的值． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵，且为整数， ∴． 【典例2-2】（25-26七年级下·江苏南通·阶段检测）估计的值在（     ） A．0到1之间 B．1到2之间 C．2到3之间 D．3到4之间 【答案】D 【分析】本题使用夹逼法估算无理数的范围，先确定的取值区间，再根据不等式性质推导的范围即可. 【详解】解：， ，即， ∴， ∴，即； 因此的值在到之间. 【变式1-1】（2026·江苏连云港·中考真题）已知，以下对p的值估算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简，再估算无理数的取值范围，即可推得的范围，得到正确结果． 【详解】解：，且 ， ，即， 不等式三边同时加，得，即． 【变式1-2】若为正整数，且满足，则的值为_______． 【答案】 【分析】先利用算术平方根的性质估算出的取值范围，再对已知不等式变形，得到的取值范围，结合为正整数即可求解． 【详解】解： ，即 对不等式三边同时加，得 结合可得，且， 解得， 又∵为正整数， ∴． 【变式1-3】（25-26七年级下·江苏南通·期末）如图，将长为，宽为的长方形纸片分割成个三角形后，恰好拼成一个正方形，则与正方形边长最接近的整数是（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】先利用正方形的面积公式求出大正方形的边长，再利用无理数的估算、实数的大小比较法则即可得，熟练掌握实数的大小比较法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得，正方形的面积为， ∴边长为， ∵， ∴， ∴正方形边长最接近的整数是． ▌题型03 实数概念的理解 1. 平方根：若，是平方根；正数两个互为相反数，0 平方根是 0，负数无平方根。 2. 算术平方根：，非负，只有 1 个，。 3. 立方根：，任意实数都有唯一立方根；正数立方根正，负数立方根负，。 4. 关键等式：；；。 【典例3-1】（25-26七年级下·江苏南通·阶段检测）下列说法错误的是（    ） A．无限小数都是无理数 B．无理数也能用数轴上的点表示 C．无理数与无理数的和可能是有理数 D．无理数都是无限小数 【答案】A 【分析】本题考查无理数、有理数的基本概念，以及实数与数轴的关系，要求辨析各选项，找出错误的说法． 【详解】解：∵ 无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数是有理数， ∴ “无限小数都是无理数”的说法错误，A符合题意； ∵ 所有实数都可以用数轴上的点表示，无理数属于实数， ∴ 无理数能用数轴上的点表示，B说法正确，不符合题意； ∵ 例如和都是无理数，，0是有理数， ∴ 无理数与无理数的和可能是有理数，C说法正确，不符合题意； ∵ 无理数的定义是无限不循环小数，因此无理数都属于无限小数， ∴ “无理数都是无限小数”的说法正确，D不符合题意． 【典例3-2】下列说法正确的是（   ） A．有理数是有限小数 B．无理数是无限小数 C．无限小数是无理数 D．是分数 【答案】B 【分析】本题考查了实数的相关概念． 无理数就是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．． 【详解】A．有理数也包括无限循环小数（如），原说法错误，本选项不符合题意； B．无理数是无限不循环小数，原说法正确，本选项符合题意； C．无限小数也包括无限循环小数，而无限循环小数是有理数，故原说法错误，本选项不符合题意； D．是无理数，分数属于有理数，原说法错误，本选项不符合题意； 故选：B． 【变式1-1】下列说法正确的是（　　） A．实数包括有理数、无理数和零 B．有理数包括正有理数和负有理数 C．无限不循环小数和无限循环小数都是无理数 D．无论是有理数还是无理数都是实数 【答案】D． 【分析】灵活掌握实数分类以及有理数和无理数概念，注意容易混淆的知识点． 【详解】解：有理数和无理数统称为实数，0属于有理数，故A错误， 有理数包括正有理数、负无理数和0，0既不是正数也不是负数，故B错误， 无限不循环的小数是无理数，故C错误， 实数分为有理数和无理数，故D正确． 故选：D． 【点睛】考查了实数的概念，以及有理数和无理数概念及分类． 【变式1-2】（24-25八年级上·河北保定·阶段检测）下列说法错误的是（   ） A．正数的算术平方根一定比它本身小 B．负数没有平方根 C．的相反数是 D．立方根是本身的数只有，0，1 【答案】A 【分析】此题考查了算术平方根、平方根、相反数、立方根等知识，根据相关知识逐项进行判断即可． 【详解】解：A. 正数的算术平方根不一定比它本身小，例如，故选项错误，符合题意； B. 负数没有平方根，故选项正确，不符合题意； C. 的相反数是，故选项正确，不符合题意；     D. 立方根是本身的数只有，0，1，故选项正确，不符合题意． 故选：A 【变式1-3】（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）下列说法：①无理数包括正无理数、0、负无理数；②无理数与无理数的和仍然是无理数；③若一个数的平方等于它的算术平方根，则这个数是0或1；④正实数和负实数统称为实数；⑤有理数与数轴上的点一一对应．其中，正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数的分类，实数与数轴，算术平方根等知识，根据各自的定义和性质一一判断即可得出答案． 【详解】解： ①无理数包括正无理数、负无理数；则原说法错误； ②无理数与无理数的和不一定是无理数，例如，0是有理数，则原说法错误； ③若一个数的平方等于它的算术平方根，则这个数是0或1，说法正确． ④正实数和负实数以和0统称为实数；则原说法错误． ⑤实数与数轴上的点一一对应，则原说法错误； 综上，正确的有③， 故选：B ▌题型04 实数的分类 1. 二分法分类： · 有理数：整数（正整数、0、负整数）、分数（有限 / 无限循环小数）； · 无理数：无限不循环小数。 2. 三分法分类：正实数、0、负实数。 3. 分类步骤：先化简再判断（如归整数，不是无理数）。 4. 易错点：不是分数；0 既不是正数也不是负数。 【典例4-1】（25-26七年级上·四川成都·期中）下列各数中：1.2， ， 0， ，1.010010001，，，0.35，，正分数的个数为（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数的分类，正分数是指大于0的分数，包括有限小数、无限循环小数和百分数等，但排除整数、无理数和负数，据此解答即可． 【详解】解：1.2（有限小数）、1.010010001（有限小数）、、0.35（有限小数）是正分数； 是无理数，不是分数；0是整数；是负数；是负数；是整数，不是分数， ∴正分数有4个． 故选：B． 【典例4-2】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中． ，，，，，0，，，，0.31． 有理数集合：{ … }； 无理数集合：{ …}； 正实数集合：{ …}． 【答案】见解析 【分析】本题考查了实数的分类、求立方根、求算术平方根，先根据立方根与算术平方根的定义进行化简，再根据实数的分类法则即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，， 故有理数集合：{，3.14，，0，，0.31}； 无理数集合：{，，，}； 正实数集合：{，3.14，，，0.31}． 【变式1-1】（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）下列各数中：、（每个之间多个）、、、、，负有理数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了实数的分类，相反数定义，绝对值意义，根据相反数定义，绝对值意义先化简、，然后通过有理数的分类即可求解，掌握知识点的运用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴、（每个之间多个）、、、、中负有理数有：、、，共个， 故选：． 【变式1-2】（25-26八年级上·江苏泰州·期中）把下列各数分别填入相应的集合里． ，，0，，，（每两个1之间多增加1个0），，，． (1)正数集合：{          …} (2)整数集合：{          …}； (3)无理数集合：{          …}； (4)平方不大于本身的数的集合：{          …}． 【答案】(1)，，，，π (2)，0， (3)（每两个1之间多增加1个0）， (4)，0 【分析】本题考查实数的分类，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据正数的定义，进行作答即可； （2）根据整数分为正整数，负整数和0，进行作答即可； （3）根据无限不循环小数是无理数，进行作答即可； （4）根据平方不大于本身的数为大于等于0且小于等于1的数，进行判断即可． 【详解】（1）解：，； 故正数集合：{，，，，π…}； （2）整数集合：{，0，…}； （3）无理数集合{ （每两个1之间多增加1个0），…} （4）平方不大于本身的数的集合：{，0…}． 【变式1-3】（25-26八年级上·江西萍乡·期中）请把下列各数的序号填入相应的集合中：①，②5.2，③0，④，⑤，⑥，⑦，⑧2005，⑨（每两个3之间的0依次多一个） (1)整数集合：{____________…}； (2)分数集合：{____________…}； (3)负有理数集合：{____________…}； (4)无理数集合：{____________…}． 【答案】(1)③⑥⑧ (2)①②⑤⑦ (3)⑥⑦ (4)④⑨ 【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解题的关键．分别根据整数、分数、负数和无理数的定义进行解答即可． （1）根据整数的概念求解即可； （2）根据分数的概念求解即可； （3）根据负有理数的概念求解即可； （4）根据无理数的概念求解即可． 【详解】（1）解：， 整数集合：③⑥⑧； （2）解：分数集合：①②⑤⑦； （3）解：负有理数集合：⑥⑦； （4）解：无理数集合：④⑨． ▌题型05 求一个的数的相反数或绝对值 1. 相反数：实数的相反数是；互为相反数两数和为 0；数轴上到原点距离相等、分居两侧。 例：的相反数是。 2. 绝对值：，结果恒非负。 例：（，去掉绝对值变相反数）。 3. 倒数：倒数，乘积为 1；0 无倒数。 【典例5-1】（25-26七年级下·北京·期中）的相反数是（     ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：的相反数是． 【典例5-2】（24-25八年级上·陕西榆林·期末）的绝对值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值，根据绝对值的概念判断即可． 【详解】 故选：A． 【变式1-1】下列关于的说法错误的是（     ） A．的绝对值是 B．的相反数是 C．的倒数是 D．是有理数 【答案】D 【分析】根据绝对值，相反数，倒数，有理数和无理数的定义逐一判断选项，找出错误说法. 【详解】解：∵ 负数的绝对值是它的相反数，，A选项说法正确； ∵ 只有符号不同的两个数互为相反数，的相反数是，B选项说法正确； ∵ 乘积为的两个数互为倒数，，的倒数是，C选项说法正确； ∵ 是开方开不尽的数，属于无理数，是无理数，不是有理数，D选项说法错误. 【变式1-2】（23-24八年级下·云南昆明·阶段检测）下列各组数中，互为相反数的一组是（    ） A．131和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题主要考查了相反数的定义，求一个数的算术平方根，有理数的乘法计算，先计算出每个选项中的两个数，再根据只有符号不同的两个数互为相反数进行求解即可． 【详解】解：A、131和不互为相反数，不符合题意； B、和互为相反数，符合题意； C、和不互为相反数，不符合题意； D、和不互为相反数，不符合题意； 故选：B． 【变式1-3】已知|x|，y是11的平方根，且x＞y，求x+y的值． 【答案】或． 【分析】直接利用绝对值的性质以及平方根的性质分类讨论得出答案． 【详解】解：∵|x|， ∴x＝±， ∵y是11的平方根， ∴y＝±， ∵x＞y， ∴当x，则y， 故x+y， 当x，则y， 故x+y， 综上所述：x+y的值为或． 【点睛】此题主要考查了实数的性质，正确分类讨论是解题关键． ▌题型06 实数和数轴的关系 1. 一一对应：每一个实数都能在数轴上找到唯一对应点；数轴上每一点都对应唯一实数。 2. 作图：可利用勾股定理在数轴画出等无理数。 3. 几何意义：数轴上两点距离；原点左侧负数，右侧正数，越右数值越大。 【典例6-1】（2026·江苏连云港·中考真题）如图，数轴上的点A，B，C分别对应实数a，b，c．下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴可知：，，即可判断选项A，B，C，根据即可判断选项D． 【详解】解：根据数轴可知：，， 故A选项错误，B选项正确，C选项错误， ∵， ∴D选项错误． 【典例6-2】（2026·陕西渭南·模拟预测）若将，，这三个数表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹（阴影）覆盖的数是________． 【答案】 【分析】首先利用算术平方根的性质估算出分别在哪两个连续整数之间，然后观察数轴确定墨迹覆盖的数值范围，最后找出位于该范围内的数． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 由图可知，墨迹覆盖的范围是2到3之间， 能被墨迹覆盖的数是． 【变式1-1】如图，数轴上A，B两点表示的数分别是和，A是线段的中点，则点C所表示的实数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得，再根据右边的点减去左边的点表示数轴上两点之间的距离，据此求解即可． 【详解】解：设点表示的数为， ∵点B关于点A的对称点为C， ，即， 解得， 点C所表示的实数为． 【变式1-2】（25-26七年级下·江苏南通·期末）如图，面积为的正方形的顶点在数轴上表示数，以点为圆心，长为半径作圆弧交数轴于点，若点在点的右侧，则点表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由正方形面积求出，由点在点的右侧，用代表的数加的长度，得到表示的数． 【详解】解：正方形的面积为， ，即， 点在数轴上表示数，点在点的右侧， 点表示的数为． 【变式1-3】（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，． (1)点A表示的数是______，点A表示的数______（填“”、“”或“”）； (2)在数轴上作出所对应的点（保留作图痕迹）； (3)这种研究和解决问题的方式，体现了______的数学思想． A．数形结合   B．方程   C．分类讨论   D．化归 【答案】(1)； (2)见解析 (3)A 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，无理数的大小估算等知识点． （1）根据勾股定理得到，即可求解点A表示的数，再根据无理数的估算方法比较大小； （2）以点为圆心画弧，交原点右侧数轴于点，则可得，那么点表示的数即为； （3）根据题干以及解析即可确定解题思想． 【详解】（1）解：∵，且在原点左侧， ∴点A表示的数是， ∵，即 ∴， 点A表示的数， 故答案为：，； （2）解：点表示的数即为； （3）解：这种研究和解决问题的方式，体现了数形结合的数学思想， 故答案为：A． ▌题型07 实数的大小比较 1. 数轴法：数轴右边的数＞左边的数。 2. 正负区分：正数＞0＞负数；两个负数，绝对值大的反而小。 3. 算术平方根 / 立方根比较： （1）正数直接平方 / 立方再比；例与 3，平方，； （2）不同根指数：统一根指数再比较。 4. 作差法：；作商法（正数）：。 5. 近似值法：代入近似值直接比较。 【典例7-1】（2026·山东济南·二模）下列各数中，绝对值最大的数是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据绝对值的性质求出各数的绝对值，再比较绝对值的大小，即可得出结果． 【详解】解：∵，，，， ∴，即． ∴绝对值最大的数是． 【典例7-2】（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）（1）比较和0.6的大小，并说明理由． （2）若，用<号连接、、、四个数的大小，不用说明理由． 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查了二次根式、无理数的大小比较、平方根、立方根，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据作差法进行解题即可； （2）结合作差法和作商法解题即可． 【详解】解：（1）， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴，， ∴，即， ，即， ∵， ∴的立方根一定大于的算术平方根，即； 综上，． 【变式1-1】（24-25八年级上·江苏南京·阶段检测）比较大小：_______1，_______（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查实数大小比较，无理数的估算，根据，估计取值范围即可；估计和的取值范围，再比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴，即； ∵，， ∴， 故答案为：，． 【变式1-2】（25-26七年级下·天津·期中）比较大小：_______；________4；______（填“＞”或“＜”） 【答案】 ＞ ＞ ＞ 【分析】利用分数比较大小法则，无理数估算的方法比较大小. 分母相同的分数，分子大的分数更大，比较无理数大小时，先估算无理数的范围，再根据不等式的传递性比较大小. 【详解】解：（1）比较与 两个分数分母相同，比较分子即可. ，，， ， 不等式两边同时减得： ， ； （2）比较与 ，， 即； （3）比较与， ，， ， 即． 【变式1-3】（23-24七年级下·安徽六安·期末）在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“”把这些数连接起来． ，，，，， 【答案】 ，，， 在数轴上表示各数如下， ． 【分析】先计算乘方，立方根和绝对值，再在数轴上表示出各数，最后根据数轴上左边的数小于右边的数用小于号将各数连接起来即可． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了实数与数轴，利用数轴比较实数的大小，求一个数的立方根，绝对值和乘方计算，正确在数轴上表示出各数是解题的关键． ▌题型08 有关数轴与绝对值的化简 1. 第一步：根据数轴判断字母正负、大小关系，确定绝对值内式子正负。 2. 第二步：去绝对值法则：内部为正直接去；内部为负，整体加负号。 3. 第三步：去括号、合并同类二次根式 / 整式。 4. 核心公式：，算术平方根化简必须结合绝对值。 【典例8】（24-25八年级上·广东深圳·阶段检测）实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（    ） A． B． C．b D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，化简绝对值和求一个数的算术平方根，先根据数轴得到，则，据此化简绝对值和计算算术平方根，再根据整式的加减计算法则求解即可． 【详解】解：由数轴可知， ∴， ∴ ， 故选：B． 【变式1-1】（25-26八年级上·四川眉山·期中）已知a、b、c在数轴上位置如下图所示，化简______． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，算术平方根和立方根，整式的加减运算，数轴的知识，解题的关键是得到，，． 利用数轴得到，，，再根据算术平方根的定义，绝对值的定义，立方根的定义化简，然后计算即可． 【详解】由图可知，， ∴，，， ∴ ． 故答案为：． 【变式1-2】化简求值： (1)已知a是的整数部分，，求的平方根． (2)已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先估算出的取值范围，求出a的值；由于，根据算术平方根的定义可求b，再代入计算，进一步求平方根即可． （2）利用数轴得出各项符号，进而利用二次根式和绝对值的性质化简． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的平方根是； （2）由数轴可得：， 则， 则 ． 【点睛】本题考查了算术平方根与平方根的定义，以及估算无理数的大小，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【变式1-3】如图所示，，，是数轴上三个点，，所对应的实数．其中是的一个平方根，是的立方根，是的相反数． (1)填空： ， ， ； (2)先化简，再求值： 【答案】(1)，， (2)； 【分析】本题考查了整式的加减，实数的运算，平方根，立方根，实数与数轴，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据数轴可得，根据平方根，立方根，相反数的意义，即可解答； （2）根据数轴可得，化简各式，再代入数据计算即可求解． 【详解】（1）根据数轴可得 ∵是的一个平方根， ∴ 根据数轴可得 ∴， 的立方根为，则， ∵是的相反数 ∴， 故答案是：，，； （2）∵ ∴， ∴ 当，时， 原式 ▌题型09 实数非负性的应用 1. 三大非负数（和为 0 则每一项都为 0）： ① 绝对值：；② 算术平方根：；③ 平方：。 2. 核心模型：若，则，据此列方程求未知数。 3. 隐含条件：有意义，二次根式被开方数非负。 【典例9】若x，y为实数，且，则的值是_________． 【答案】 【分析】根据非负数的性质求出x、y的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1-1】若，求的平方根． 【答案】 【分析】根据绝对值，算术平方根和平方的非负性，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为， 【变式1-1】若实数满足． (1)求和的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据非负数的性质即可求解； （）根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得． （2）解：∵， ∴， ∴． 【变式1-3】已知实数，在数轴上对应点的位置如图所示： (1)化简：； (2)若实数，满足，求的立方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是实数与数轴，非负数的性质，算术平方根的性质，求一个数的立方根，绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义和算术平方根的性质是解题的关键． （1）根据数轴上点的位置判断出绝对值和根号里边式子的正负，利用绝对值和算术平方根的代数意义化简，去括号合并即可得到结果； （2）利用非负数的性质求得实数a，b的值，再代入计算求立方根即可． 【详解】（1）解：由数轴可知：， ∴， ∴ ； （2）解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴其立方根为． ▌题型10 实数的混合运算 1. 运算顺序：先乘方、开方→再乘除→最后加减；有括号先算括号内。 2. 零次幂、负整数指数：；。 3. 乘方符号：负数偶次幂正，奇次幂负。 4. 实数在运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所求的精确度用相应的近似 有限小数去代替无理数，再进行计算. 【典例10】（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)31 【分析】本题考查了有理数的混合运算，求立方根，求算术平方根． （1）先计算立方根，算术平方根，乘方，再计算加减即可； （2）先计算乘方，再计算乘除，最后计算减法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 【变式1-1】（24-25七年级下·重庆渝北·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了算术平方根，绝对值和立方根，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算算术平方根，绝对值和立方根，然后计算加减即可； （2）首先计算算术平方根，立方根，然后计算加减即可． 【详解】（1） ； （2） ． 【变式1-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用立方根，绝对值，零指数幂化简，再进行加减计算； （2）先利用算术平方根，立方根，绝对值化简，再进行加减计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1-3】（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据立方根定义和算术平方根定义，绝对值意义进行求值即可； （2）根据算术平方根的定义进行化简，再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ▌题型11 程序设计与实数运算 1. 解题步骤：读懂流程图 / 文字程序→写出对应代数式→代入实数计算。 2. 循环型程序：按步骤多次代入，直到满足终止条件；分支程序分情况讨论。 3. 易错点：区分输入输出、判断条件（大于 / 小于 / 等于），二次根式注意取值范围。 4. 技巧：分步列式，每一步单独计算，避免连续运算出错。 【典例11】在如图所示的运算程序中，若输入的值是729，则输出的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据流程图，列出算式进行计算即可． 【详解】解：当输入的值是729时，取算术平方根得， 27是有理数，再取立方根得， 3是有理数，再取算术平方根得， 由于是无理数， 所以输出的值是． 【变式1-1】（25-26七年级下·四川广元·期末）小吴是一个编程爱好者，他设计了一个如图所示的程序运算，如果输入的值是，那么输出的结果是，当输入的值是时，输出的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据立方根和算术平方根的定义，并结合流程图计算即可得出结果． 【详解】解：当输入的值是时，，为有理数，再取立方根为，为无理数， 故输出的值是． 【变式1-2】（23-24七年级下·江苏南通·期中）如图是一个数值转换器示意图： (1)当输入的x为36时，输出的y的值是_______； (2)若输入x值后，始终输不出y的值，则满足题意的x值是_______； (3)若输出的，则x的最小整数值是_______. 【答案】(1) (2)0和1 (3)5 【分析】本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断， （1）根据运算规则即可求解； （2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断； （3）先得出输入的，，再根据运算法则，进行逆运算即可求解． 【详解】（1）解：当时，取算术平方根，不是无理数， 继续取6算术平方根，是无理数， 所以输出的y值为； 故答案为：； （2）解：当，1时，始终输不出y值．因为0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，一定是有理数； 故答案为：0，1； （3）∵输出的， ∴， ∴输入的， 当时，5的算术平方根是，是无理数， 所以输出的y值为， ∴x的最小整数值是． 【变式1-3】（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图是一个数值转换器（） (1)当输入的为时，输出的值是________； (2)若输入实数后，始终输不出值，则所有满足要求的的值为________； (3)若输出的是，求的负整数值． 【答案】(1) (2)2或3或1 (3)的负整数值为或 【分析】本题主要考查了算术平方根与实数的概念，熟练掌握其算术平方根与实数定义是解题的关键． （1）由题意利用框图中的算法，直接计算求值即可； （2）根据0和1的算术平方根是它本身，确定的值，进而求得的值即可； （3）由是逆推的值，进而求得的值即可． 【详解】（1）解：当时，，，3不是无理数， 再求算术平方根，是无理数， ∴ 当输入的为时，输出的值是； 故答案为：； （2）解：∵算术平方根是它本身的数为，而且为有理数， ∴当或时，始终输不出y值， ∴或或； 故答案为：2或3或1； （3）解：若第1次运算是， ∴， ∴， 解得或， ∵为负整数， ∴输入的值为； 若第2次运算是， ∴，， ∴， 解得或， ∵为负整数， ∴ 输入的值为， ∴， ∴的负整数值为或． ▌题型12 新定义与实数运算 1. 核心思路：照抄定义，替换字母，把陌生运算转化为常规实数四则、根式运算。 2. 步骤： ① 拆解新定义公式，分清运算前后两个数对应字母； ② 将题目给定数字代入定义式； ③ 按实数混合运算法则化简计算。 3. 拓展题型：含参数新定义，先列方程，利用平方根、非负性求解参数。 4. 注意：新运算不一定满足交换律、结合律，不能随意调换数字顺序。 【典例12】（2026·内蒙古·中考真题）计算下列各题： (1)对实数，定义一种新运算“”：，其中，等式右边是实数运算．计算：． (2)已知多项式，，求． 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：将，代入得： ． 【变式1-1】小甘同学学完《实数》这章知识后，类比平方根、立方根知识探究四次方根的内容，，． (1)尝试给四次方根下定义：定义：如果，那么这个数叫做的四次方根，记作． 探究性质： ①16的四次方根是__________； ②0的四次方根是__________； ③__________（填“存在”或“不存在”）； (2)巩固应用：计算：． 【答案】(1)①；②0；③不存在 (2) 【分析】（1）①根据四次方根即可求解；②根据四次方根即可求解；③根据四次方根的定义，即可获得答案； （2）首先根据立方根的定义、四次方根的定义及绝对值的性质进行计算，然后进行进一步运算即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴16的四次方根是； ②∵， ∴0的四次方根是0； ③∵， ∴不存在四次方根； （2）解：原式 ． 【变式1-2】定义运算，且，，，其中为任意实数．如： ． (1)求的值； (2)若的立方根是2，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义运算的理解与应用、有理数的加减运算、立方根、平方根以及解一元一次方程： （1）根据定义进行加法运算即可； （2）利用题意列等式，利用新定义将等式的左边化简为一元一次方程，再求解出，最后计算其平方根． 【详解】（1）解：． （2）解：的立方根是2， ， ， ， ， 解得， 的平方根为． 【变式1-3】对于实数a，如果我们规定：用符号表示不大于的最大整数，则称为a的根整数．例如：，． (1)仿照以上算法计算：________，________，________； (2)若，写出满足题意的b的整数值________； (3)计算： 【答案】(1)5，2，1 (2)1，2，3 (3) 【分析】（1）根据题意列出不等式，求最大整数解即可； （2）根据题意由，确定的范围，找出整数值即可； （3）根据题意分别求出及的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：, ； , ， ； ， ． （2）解：， ， ， 又∵为整数， ． （3）解：， ,， ，， 原式． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 实数十二大题型专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01 无理数的识别 题型02 无理数的大小估算 题型03 实数概念的理解 题型04 实数的分类 题型05 求一个的数的相反数或绝对值 题型06 实数和数轴的关系 题型07 实数的大小比较 题型08 有关数轴与绝对值的化简 题型09 实数非负性的应用 题型10 实数的混合运算 题型11 程序设计与实数运算 题型12 新定义与实数运算 ▌题型01 无理数的识别 1. 实数分类核心：实数 = 有理数 + 无理数；有理数是有限小数 / 无限循环小数，无理数是无限不循环小数。 2. 典型无理数： （1）开方开不尽的数：； （2）含的数：； （3）无限不循环特殊小数：（相邻 1 之间 0 依次多 1 个）； 易错区分：是有理数；分数一定是有理数；带根号不一定是无理数。 【典例1-1】（25-26七年级下·江苏南通·期末）下列各数中，是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【典例1-2】在下列各数0、、、、（每两个1之间多一个0）、、中，无理数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-1】（25-26七年级下·广西梧州·期末）实数，，，，，，（相邻两个之间依次多一个），其中无理数有（     ）个． A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25八年级上·四川成都·期中）在下列各数：、、、，、中无理数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-3】（25-26七年级下·安徽芜湖·期末）在，，，，，中，无理数有________个． ▌题型02 无理数的大小估算 1. 夹逼法核心：找相邻两个完全平方 / 立方数，锁定无理数范围。 例：估算，，得。 2. 进阶估算：算出小数近似值比较，常用近似值：。 3. 负数估算：负无理数绝对值越大，数值越小。 【典例2-1】（25-26七年级下·重庆·期末）已知，则整数的值为（     ） A． B． C． D． 【典例2-2】（25-26七年级下·江苏南通·阶段检测）估计的值在（     ） A．0到1之间 B．1到2之间 C．2到3之间 D．3到4之间 【变式1-1】（2026·江苏连云港·中考真题）已知，以下对p的值估算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】若为正整数，且满足，则的值为_______． 【变式1-3】（25-26七年级下·江苏南通·期末）如图，将长为，宽为的长方形纸片分割成个三角形后，恰好拼成一个正方形，则与正方形边长最接近的整数是（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 ▌题型03 实数概念的理解 1. 平方根：若，是平方根；正数两个互为相反数，0 平方根是 0，负数无平方根。 2. 算术平方根：，非负，只有 1 个，。 3. 立方根：，任意实数都有唯一立方根；正数立方根正，负数立方根负，。 4. 关键等式：；；。 【典例3-1】（25-26七年级下·江苏南通·阶段检测）下列说法错误的是（    ） A．无限小数都是无理数 B．无理数也能用数轴上的点表示 C．无理数与无理数的和可能是有理数 D．无理数都是无限小数 【典例3-2】下列说法正确的是（   ） A．有理数是有限小数 B．无理数是无限小数 C．无限小数是无理数 D．是分数 【变式1-1】下列说法正确的是（　　） A．实数包括有理数、无理数和零 B．有理数包括正有理数和负有理数 C．无限不循环小数和无限循环小数都是无理数 D．无论是有理数还是无理数都是实数 【变式1-2】（24-25八年级上·河北保定·阶段检测）下列说法错误的是（   ） A．正数的算术平方根一定比它本身小 B．负数没有平方根 C．的相反数是 D．立方根是本身的数只有，0，1 【变式1-3】（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）下列说法：①无理数包括正无理数、0、负无理数；②无理数与无理数的和仍然是无理数；③若一个数的平方等于它的算术平方根，则这个数是0或1；④正实数和负实数统称为实数；⑤有理数与数轴上的点一一对应．其中，正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ▌题型04 实数的分类 1. 二分法分类： · 有理数：整数（正整数、0、负整数）、分数（有限 / 无限循环小数）； · 无理数：无限不循环小数。 2. 三分法分类：正实数、0、负实数。 3. 分类步骤：先化简再判断（如归整数，不是无理数）。 4. 易错点：不是分数；0 既不是正数也不是负数。 【典例4-1】（25-26七年级上·四川成都·期中）下列各数中：1.2， ， 0， ，1.010010001，，，0.35，，正分数的个数为（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【典例4-2】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中． ，，，，，0，，，，0.31． 有理数集合：{ … }； 无理数集合：{ …}； 正实数集合：{ …}． 【变式1-1】（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）下列各数中：、（每个之间多个）、、、、，负有理数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1-2】（25-26八年级上·江苏泰州·期中）把下列各数分别填入相应的集合里． ，，0，，，（每两个1之间多增加1个0），，，． (1)正数集合：{          …} (2)整数集合：{          …}； (3)无理数集合：{          …}； (4)平方不大于本身的数的集合：{          …}． 【变式1-3】（25-26八年级上·江西萍乡·期中）请把下列各数的序号填入相应的集合中：①，②5.2，③0，④，⑤，⑥，⑦，⑧2005，⑨（每两个3之间的0依次多一个） (1)整数集合：{____________…}； (2)分数集合：{____________…}； (3)负有理数集合：{____________…}； (4)无理数集合：{____________…}． ▌题型05 求一个的数的相反数或绝对值 1. 相反数：实数的相反数是；互为相反数两数和为 0；数轴上到原点距离相等、分居两侧。 例：的相反数是。 2. 绝对值：，结果恒非负。 例：（，去掉绝对值变相反数）。 3. 倒数：倒数，乘积为 1；0 无倒数。 【典例5-1】（25-26七年级下·北京·期中）的相反数是（     ） A．5 B． C． D． 【典例5-2】（24-25八年级上·陕西榆林·期末）的绝对值为（    ） A． B．2 C． D． 【变式1-1】下列关于的说法错误的是（     ） A．的绝对值是 B．的相反数是 C．的倒数是 D．是有理数 【变式1-2】（23-24八年级下·云南昆明·阶段检测）下列各组数中，互为相反数的一组是（    ） A．131和 B．和 C．和 D．和 【变式1-3】已知|x|，y是11的平方根，且x＞y，求x+y的值． ▌题型06 实数和数轴的关系 1. 一一对应：每一个实数都能在数轴上找到唯一对应点；数轴上每一点都对应唯一实数。 2. 作图：可利用勾股定理在数轴画出等无理数。 3. 几何意义：数轴上两点距离；原点左侧负数，右侧正数，越右数值越大。 【典例6-1】（2026·江苏连云港·中考真题）如图，数轴上的点A，B，C分别对应实数a，b，c．下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【典例6-2】（2026·陕西渭南·模拟预测）若将，，这三个数表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹（阴影）覆盖的数是________． 【变式1-1】如图，数轴上A，B两点表示的数分别是和，A是线段的中点，则点C所表示的实数为（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26七年级下·江苏南通·期末）如图，面积为的正方形的顶点在数轴上表示数，以点为圆心，长为半径作圆弧交数轴于点，若点在点的右侧，则点表示的数为（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，． (1)点A表示的数是______，点A表示的数______（填“”、“”或“”）； (2)在数轴上作出所对应的点（保留作图痕迹）； (3)这种研究和解决问题的方式，体现了______的数学思想． A．数形结合   B．方程   C．分类讨论   D．化归 ▌题型07 实数的大小比较 1. 数轴法：数轴右边的数＞左边的数。 2. 正负区分：正数＞0＞负数；两个负数，绝对值大的反而小。 3. 算术平方根 / 立方根比较： （1）正数直接平方 / 立方再比；例与 3，平方，； （2）不同根指数：统一根指数再比较。 4. 作差法：；作商法（正数）：。 5. 近似值法：代入近似值直接比较。 【典例7-1】（2026·山东济南·二模）下列各数中，绝对值最大的数是(   ) A． B． C． D． 【典例7-2】（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）（1）比较和0.6的大小，并说明理由． （2）若，用<号连接、、、四个数的大小，不用说明理由． 【变式1-1】（24-25八年级上·江苏南京·阶段检测）比较大小：_______1，_______（填“”、“”或“”）． 【变式1-2】（25-26七年级下·天津·期中）比较大小：_______；________4；______（填“＞”或“＜”） 【变式1-3】（23-24七年级下·安徽六安·期末）在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“”把这些数连接起来． ，，，，， ▌题型08 有关数轴与绝对值的化简 1. 第一步：根据数轴判断字母正负、大小关系，确定绝对值内式子正负。 2. 第二步：去绝对值法则：内部为正直接去；内部为负，整体加负号。 3. 第三步：去括号、合并同类二次根式 / 整式。 4. 核心公式：，算术平方根化简必须结合绝对值。 【典例8】（24-25八年级上·广东深圳·阶段检测）实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（    ） A． B． C．b D． 【变式1-1】（25-26八年级上·四川眉山·期中）已知a、b、c在数轴上位置如下图所示，化简______． 【变式1-2】化简求值： (1)已知a是的整数部分，，求的平方根． (2)已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：． 【变式1-3】如图所示，，，是数轴上三个点，，所对应的实数．其中是的一个平方根，是的立方根，是的相反数． (1)填空： ， ， ； (2)先化简，再求值： ▌题型09 实数非负性的应用 1. 三大非负数（和为 0 则每一项都为 0）： ① 绝对值：；② 算术平方根：；③ 平方：。 2. 核心模型：若，则，据此列方程求未知数。 3. 隐含条件：有意义，二次根式被开方数非负。 【典例9】若x，y为实数，且，则的值是_________． 【变式1-1】若，求的平方根． 【变式1-1】若实数满足． (1)求和的值； (2)求的算术平方根． 【变式1-3】已知实数，在数轴上对应点的位置如图所示： (1)化简：； (2)若实数，满足，求的立方根． ▌题型10 实数的混合运算 1. 运算顺序：先乘方、开方→再乘除→最后加减；有括号先算括号内。 2. 零次幂、负整数指数：；。 3. 乘方符号：负数偶次幂正，奇次幂负。 4. 实数在运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所求的精确度用相应的近似 有限小数去代替无理数，再进行计算. 【典例10】（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）计算： (1) (2) 【变式1-1】（24-25七年级下·重庆渝北·期中）计算： (1) (2) 【变式1-2】计算： (1)； (2)． 【变式1-3】（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）计算： (1)； (2)． ▌题型11 程序设计与实数运算 1. 解题步骤：读懂流程图 / 文字程序→写出对应代数式→代入实数计算。 2. 循环型程序：按步骤多次代入，直到满足终止条件；分支程序分情况讨论。 3. 易错点：区分输入输出、判断条件（大于 / 小于 / 等于），二次根式注意取值范围。 4. 技巧：分步列式，每一步单独计算，避免连续运算出错。 【典例11】在如图所示的运算程序中，若输入的值是729，则输出的值是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26七年级下·四川广元·期末）小吴是一个编程爱好者，他设计了一个如图所示的程序运算，如果输入的值是，那么输出的结果是，当输入的值是时，输出的值是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24七年级下·江苏南通·期中）如图是一个数值转换器示意图： (1)当输入的x为36时，输出的y的值是_______； (2)若输入x值后，始终输不出y的值，则满足题意的x值是_______； (3)若输出的，则x的最小整数值是_______. 【变式1-3】（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图是一个数值转换器（） (1)当输入的为时，输出的值是________； (2)若输入实数后，始终输不出值，则所有满足要求的的值为________； (3)若输出的是，求的负整数值． ▌题型12 新定义与实数运算 1. 核心思路：照抄定义，替换字母，把陌生运算转化为常规实数四则、根式运算。 2. 步骤： ① 拆解新定义公式，分清运算前后两个数对应字母； ② 将题目给定数字代入定义式； ③ 按实数混合运算法则化简计算。 3. 拓展题型：含参数新定义，先列方程，利用平方根、非负性求解参数。 4. 注意：新运算不一定满足交换律、结合律，不能随意调换数字顺序。 【典例12】（2026·内蒙古·中考真题）计算下列各题： (1)对实数，定义一种新运算“”：，其中，等式右边是实数运算．计算：． (2)已知多项式，，求． 【变式1-1】小甘同学学完《实数》这章知识后，类比平方根、立方根知识探究四次方根的内容，，． (1)尝试给四次方根下定义：定义：如果，那么这个数叫做的四次方根，记作． 探究性质： ①16的四次方根是__________； ②0的四次方根是__________； ③__________（填“存在”或“不存在”）； (2)巩固应用：计算：． 【变式1-2】定义运算，且，，，其中为任意实数．如： ． (1)求的值； (2)若的立方根是2，求的平方根． 【变式1-3】对于实数a，如果我们规定：用符号表示不大于的最大整数，则称为a的根整数．例如：，． (1)仿照以上算法计算：________，________，________； (2)若，写出满足题意的b的整数值________； (3)计算： 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 实数十二大题型专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01 无理数的识别 题型02 无理数的大小估算 题型03 实数概念的理解 题型04 实数的分类 题型05 求一个的数的相反数或绝对值 题型06 实数和数轴的关系 题型07 实数的大小比较 题型08 有关数轴与绝对值的化简 题型09 实数非负性的应用 题型10 实数的混合运算 题型11 程序设计与实数运算 题型12 新定义与实数运算 ▌题型01 无理数的识别 【典例1-1】【答案】C 【典例1-2】【答案】C 【变式1-1】【答案】C 【变式1-2】【答案】B 【变式1-3】【答案】2 ▌题型02 无理数的大小估算 【典例2-1】【答案】C 【典例2-2】【答案】D 【变式1-1】【答案】C 【变式1-2】【答案】 【变式1-3】【答案】B ▌题型03 实数概念的理解 【典例3-1】【答案】A 【典例3-2】【答案】B 【变式1-1】【答案】D 【变式1-2】【答案】A 【变式1-3】【答案】B ▌题型04 实数的分类 【典例4-1】【答案】B 【典例4-2】 【答案】见解析 【分析】本题考查了实数的分类、求立方根、求算术平方根，先根据立方根与算术平方根的定义进行化简，再根据实数的分类法则即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，， 故有理数集合：{，3.14，，0，，0.31}； 无理数集合：{，，，}； 正实数集合：{，3.14，，，0.31}． 【变式1-1】【答案】B 【变式1-2】 【答案】(1)，，，，π (2)，0， (3)（每两个1之间多增加1个0）， (4)，0 【分析】本题考查实数的分类，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据正数的定义，进行作答即可； （2）根据整数分为正整数，负整数和0，进行作答即可； （3）根据无限不循环小数是无理数，进行作答即可； （4）根据平方不大于本身的数为大于等于0且小于等于1的数，进行判断即可． 【详解】（1）解：，； 故正数集合：{，，，，π…}； （2）整数集合：{，0，…}； （3）无理数集合{ （每两个1之间多增加1个0），…} （4）平方不大于本身的数的集合：{，0…}． 【变式1-3】 【答案】(1)③⑥⑧ (2)①②⑤⑦ (3)⑥⑦ (4)④⑨ 【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解题的关键．分别根据整数、分数、负数和无理数的定义进行解答即可． （1）根据整数的概念求解即可； （2）根据分数的概念求解即可； （3）根据负有理数的概念求解即可； （4）根据无理数的概念求解即可． 【详解】（1）解：， 整数集合：③⑥⑧； （2）解：分数集合：①②⑤⑦； （3）解：负有理数集合：⑥⑦； （4）解：无理数集合：④⑨． ▌题型05 求一个的数的相反数或绝对值 【典例5-1】【答案】B 【典例5-2】【答案】A 【变式1-1】【答案】D 【变式1-2】【答案】B 【变式1-3】 【答案】或． 【分析】直接利用绝对值的性质以及平方根的性质分类讨论得出答案． 【详解】解：∵|x|， ∴x＝±， ∵y是11的平方根， ∴y＝±， ∵x＞y， ∴当x，则y， 故x+y， 当x，则y， 故x+y， 综上所述：x+y的值为或． 【点睛】此题主要考查了实数的性质，正确分类讨论是解题关键． ▌题型06 实数和数轴的关系 【典例6-1】【答案】B 【典例6-2】【答案】 【变式1-1】【答案】A 【变式1-2】【答案】A 【变式1-3】 【答案】(1)； (2)见解析 (3)A 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，无理数的大小估算等知识点． （1）根据勾股定理得到，即可求解点A表示的数，再根据无理数的估算方法比较大小； （2）以点为圆心画弧，交原点右侧数轴于点，则可得，那么点表示的数即为； （3）根据题干以及解析即可确定解题思想． 【详解】（1）解：∵，且在原点左侧， ∴点A表示的数是， ∵，即 ∴， 点A表示的数， 故答案为：，； （2）解：点表示的数即为； （3）解：这种研究和解决问题的方式，体现了数形结合的数学思想， 故答案为：A． ▌题型07 实数的大小比较 【典例7-1】【答案】A 【典例7-2】 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查了二次根式、无理数的大小比较、平方根、立方根，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据作差法进行解题即可； （2）结合作差法和作商法解题即可． 【详解】解：（1）， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴，， ∴，即， ，即， ∵， ∴的立方根一定大于的算术平方根，即； 综上，． 【变式1-1】【答案】 【变式1-2】【答案】 ＞ ＞ ＞ 【变式1-3】 【答案】 ，，， 在数轴上表示各数如下， ． 【分析】先计算乘方，立方根和绝对值，再在数轴上表示出各数，最后根据数轴上左边的数小于右边的数用小于号将各数连接起来即可． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了实数与数轴，利用数轴比较实数的大小，求一个数的立方根，绝对值和乘方计算，正确在数轴上表示出各数是解题的关键． ▌题型08 有关数轴与绝对值的化简 【典例8】【答案】B 【变式1-1】【答案】 【变式1-2】【答案】(1) (2) 【分析】（1）先估算出的取值范围，求出a的值；由于，根据算术平方根的定义可求b，再代入计算，进一步求平方根即可． （2）利用数轴得出各项符号，进而利用二次根式和绝对值的性质化简． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的平方根是； （2）由数轴可得：， 则， 则 ． 【点睛】本题考查了算术平方根与平方根的定义，以及估算无理数的大小，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【变式1-3】 【答案】(1)，， (2)； 【分析】本题考查了整式的加减，实数的运算，平方根，立方根，实数与数轴，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据数轴可得，根据平方根，立方根，相反数的意义，即可解答； （2）根据数轴可得，化简各式，再代入数据计算即可求解． 【详解】（1）根据数轴可得 ∵是的一个平方根， ∴ 根据数轴可得 ∴， 的立方根为，则， ∵是的相反数 ∴， 故答案是：，，； （2）∵ ∴， ∴ 当，时， 原式 ▌题型09 实数非负性的应用 【典例9】【答案】 【变式1-1】 【答案】 【分析】根据绝对值，算术平方根和平方的非负性，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为， 【变式1-1】 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据非负数的性质即可求解； （）根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得． （2）解：∵， ∴， ∴． 【变式1-3】 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是实数与数轴，非负数的性质，算术平方根的性质，求一个数的立方根，绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义和算术平方根的性质是解题的关键． （1）根据数轴上点的位置判断出绝对值和根号里边式子的正负，利用绝对值和算术平方根的代数意义化简，去括号合并即可得到结果； （2）利用非负数的性质求得实数a，b的值，再代入计算求立方根即可． 【详解】（1）解：由数轴可知：， ∴， ∴ ； （2）解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴其立方根为． ▌题型10 实数的混合运算 【典例10】 【答案】(1) (2)31 【分析】本题考查了有理数的混合运算，求立方根，求算术平方根． （1）先计算立方根，算术平方根，乘方，再计算加减即可； （2）先计算乘方，再计算乘除，最后计算减法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 【变式1-1】 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了算术平方根，绝对值和立方根，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算算术平方根，绝对值和立方根，然后计算加减即可； （2）首先计算算术平方根，立方根，然后计算加减即可． 【详解】（1） ； （2） ． 【变式1-2】 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用立方根，绝对值，零指数幂化简，再进行加减计算； （2）先利用算术平方根，立方根，绝对值化简，再进行加减计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1-3】 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据立方根定义和算术平方根定义，绝对值意义进行求值即可； （2）根据算术平方根的定义进行化简，再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ▌题型11 程序设计与实数运算 【典例11】【答案】C 【变式1-1】【答案】C 【变式1-2】 【答案】(1) (2)0和1 (3)5 【分析】本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断， （1）根据运算规则即可求解； （2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断； （3）先得出输入的，，再根据运算法则，进行逆运算即可求解． 【详解】（1）解：当时，取算术平方根，不是无理数， 继续取6算术平方根，是无理数， 所以输出的y值为； 故答案为：； （2）解：当，1时，始终输不出y值．因为0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，一定是有理数； 故答案为：0，1； （3）∵输出的， ∴， ∴输入的， 当时，5的算术平方根是，是无理数， 所以输出的y值为， ∴x的最小整数值是． 【变式1-3】 【答案】(1) (2)2或3或1 (3)的负整数值为或 【分析】本题主要考查了算术平方根与实数的概念，熟练掌握其算术平方根与实数定义是解题的关键． （1）由题意利用框图中的算法，直接计算求值即可； （2）根据0和1的算术平方根是它本身，确定的值，进而求得的值即可； （3）由是逆推的值，进而求得的值即可． 【详解】（1）解：当时，，，3不是无理数， 再求算术平方根，是无理数， ∴ 当输入的为时，输出的值是； 故答案为：； （2）解：∵算术平方根是它本身的数为，而且为有理数， ∴当或时，始终输不出y值， ∴或或； 故答案为：2或3或1； （3）解：若第1次运算是， ∴， ∴， 解得或， ∵为负整数， ∴输入的值为； 若第2次运算是， ∴，， ∴， 解得或， ∵为负整数， ∴ 输入的值为， ∴， ∴的负整数值为或． ▌题型12 新定义与实数运算 【典例12】 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：将，代入得： ． 【变式1-1】 【答案】(1)①；②0；③不存在 (2) 【分析】（1）①根据四次方根即可求解；②根据四次方根即可求解；③根据四次方根的定义，即可获得答案； （2）首先根据立方根的定义、四次方根的定义及绝对值的性质进行计算，然后进行进一步运算即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴16的四次方根是； ②∵， ∴0的四次方根是0； ③∵， ∴不存在四次方根； （2）解：原式 ． 【变式1-2】 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义运算的理解与应用、有理数的加减运算、立方根、平方根以及解一元一次方程： （1）根据定义进行加法运算即可； （2）利用题意列等式，利用新定义将等式的左边化简为一元一次方程，再求解出，最后计算其平方根． 【详解】（1）解：． （2）解：的立方根是2， ， ， ， ， 解得， 的平方根为． 【变式1-3】 【答案】(1)5，2，1 (2)1，2，3 (3) 【分析】（1）根据题意列出不等式，求最大整数解即可； （2）根据题意由，确定的范围，找出整数值即可； （3）根据题意分别求出及的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：, ； , ， ； ， ． （2）解：， ， ， 又∵为整数， ． （3）解：， ,， ，， 原式． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $