第2章 实数（举一反三单元自测·拔尖卷）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 新教材北师大版七年级下册实数单元拔尖卷，通过数学史、生活情境及跨学科问题设计，覆盖无理数、平方根等核心知识，适配单元复习，可量化学生掌握程度。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|10/30|无理数概念、立方根应用|结合数学史（题1毕达哥拉斯学派）、编程情境（题4程序运算）| |填空|6/18|二次根式意义、数轴化简|逆向思维（题12求自然数a）、几何直观（题14数轴表示）| |解答|7/72|二次根式运算、规律探究|跨学科（题23A4纸折叠）、创新定义（题20相关代数式）|

第2章 实数·拔尖卷 【新教材北师大版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26七年级下·四川绵阳·阶段检测）古希腊毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，意思是一切量都可以用整数或整数的比（分数）表示，后来希帕索斯发现，边长为1的正方形对角线的长度不能用整数或整数的比（分数）表示，由此引发了第一次数学危机．这里“不能用整数或整数的比（分数）表示的数”是无理数，则下列数是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据无理数的定义，即不能用整数或整数的比（分数）表示的数是无理数，逐一判断各选项即可得出结果． 【详解】解：A．选项是有限小数，可化为分数，属于有理数，不符合要求； B．选项是分数，属于有理数，不符合要求； C．选项开平方开不尽，不能用整数或整数的比表示，是无理数，符合要求； D．选项是有限小数，可化为，属于有理数，不符合要求． 2．（25-26七年级下·福建厦门·期中）对于体积为a，底面积为b的正方体，下列说法正确的是（   ） A．它的棱长是a的立方根 B．它的棱长是b的平方根 C．它的棱长是b的立方根 D．它的棱长是a的算术平方根 【答案】A 【分析】设正方体的棱长为（，棱长为正数），根据正方体的体积和底面积得出，，即可解答； 【详解】解：设正方体的棱长为（，棱长为正数）， 根据正方体体积公式：，因此，即棱长是的立方根，A正确，D错误； 根据正方体底面积公式：，因此，即棱长是的算术平方根，B选项说“的平方根”（平方根含正负，不符合棱长为正）、C选项说“的立方根”，均错误． 3．（25-26九年级下·云南曲靖·阶段检测）估计的值应在（） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】A 【分析】先利用二次根式的乘法运算法则化简原式，再估算，即可得到原式的取值区间． 【详解】解： ， 又∵，，且， ∴， ∴即， ∴的值在和之间． 4．（25-26七年级下·四川广元·期末）小吴是一个编程爱好者，他设计了一个如图所示的程序运算，如果输入的值是，那么输出的结果是，当输入的值是时，输出的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据立方根和算术平方根的定义，并结合流程图计算即可得出结果． 【详解】解：当输入的值是时，，为有理数，再取立方根为，为无理数， 故输出的值是． 5．（25-26八年级下·广东广州·阶段检测）某同学做了以下四道习题，其中做错的题是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，原式计算正确，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，符合题意； C、由二次根式有意义的条件可知，则，原式计算正确，不符合题意； D、由二次根式有意义的条件和分式有意义的条件可得，则，原式计算正确，不符合题意； 6．（25-26八年级下·河北邢台·期末）若把中根号外的因式移入根号内，则转化后的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据二次根式有意义的条件判断x的取值范围，再利用二次根式的性质将根号外的因式移入根号内化简即可得到结果． 【详解】解：∵二次根式的被开方数为非负数，且分母不为0， ∴， ∴， ∴． 7．（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图（单位：），三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形纸片的面积为，最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式以及平方差公式的应用，解题的关键是根据正方形的边长关系求出、的值，并灵活运用平方差公式进行计算． 先根据中间正方形的面积求出其边长，再结合图形边长关系求出、,再利用平方差公式计算． 【详解】解：因为中间正方形纸片的面积为， 所以中间正方形的边长为， 由图可知，最大正方形的边长， 最小正方形的边长； 根据平方差公式， 将代入，可得， 所以． 故选：D． 8．（25-26七年级下·安徽宣城·期末）若，则的取值范围是（     ） A．取任意实数 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用二次根式的性质将原式转化为绝对值和的形式，再根据绝对值的化简规则在a的不同取值范围内讨论，即可得到的取值范围． 【详解】解：∵根据二次根式性质，， ∴原等式可化为． 分三种情况讨论： ① 当时，，， ∴， 令，解得，不满足，故此取值范围不成立； ②当时，，， ∴，等式恒成立，故此取值范围满足条件； ③ 当时，，， ∴， 令，解得，不满足，故此取值范围不成立． 综上，的取值范围是，故选D． 9．已知是的负平方根，，，则，，中最大的实数与最小的实数的差是（     ） A． B．2 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据平方根、绝对值、立方根的定义分别求出，和的值，比较大小得到最大数和最小数，计算两者的差即可． 【详解】解：是的负平方根， ． ，， ，即 最大的实数是，最小的实数是， ． 10．（25-26七年级下·重庆开州·期中）对于一个正实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，如：，．如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对11连续求根整数2次，，这时候结果为1，又例如：对17连续求根整数3次，，这时候结果为1．现有如下三种说法： ①； ②若，则满足题意的整数有5个； ③只需进行2次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的与最小的和是19． 其中正确的说法有（     ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】根据根整数的定义，结合无理数的估算逐一判断三个说法即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴根据定义得， ∴平方得， ∵是整数， ∴的取值为，共个，故②正确； 由题意，只需进行次运算得，即第二次运算结果满足对运算一次得，且第一次不能直接得到， ∵， ∴，即， 若，则，只需次运算，不符合要求，因此可取； 最小满足，得，最小正整数； 最大满足，得，最大正整数； ∴最大值与最小值的和为，故③正确； 综上，三个说法都正确． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26七年级下·河南周口·期末）若式子有意义，则____________． 【答案】 【详解】解：∵要有意义， ∴，即， ∴， ∴． 12．（25-26八年级下·陕西安康·阶段检测）已知二次根式是整数，则自然数a的所有可能结果为________． 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再结合是整数，得到为不超过的非负完全平方数，计算即可得到自然数的所有可能结果． 【详解】解：二次根式有意义， ， 即， 是自然数，是整数， 为不大于的非负完全平方数， ∵不大于的非负完全平方数为 ∴当时，，符合要求； ∴当 时，，符合要求； ∴当 时，，符合要求； 若 ，则，不是自然数，舍去； ∴自然数a的所有可能结果为． 13．（25-26七年级下·广东湛江·期中）已知，，则______． 【答案】 【分析】根据已知的式子，结合立方根的定义找到规律：被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，相应的立方根的小数点向右（或向左）移动一位，据此解答即可． 【详解】解： ， 且被开方数的小数点向右移动三位，相应的立方根的小数点向右移动一位， ． 14．（25-26七年级下·广东汕尾·期中）如图，已知实数在数轴上的对应点，化简：的结果是 ___________． 【答案】/ 【分析】先由实数在数轴上的位置判断，得到，再由算术平方根、立方根定义化简后，再去绝对值，最后合并同类项即可． 【详解】解：由图可知，，则， ． 15．（25-26八年级下·新疆哈密·期中）若，，则________．（用含、的代数式表示） 【答案】 【分析】根据二次根式的性质，将拆分为，再代入已知条件计算即可. 【详解】解：，， . 16．（2026·河南洛阳·一模）如图1所示的中国结内包含两个全等的正方形，将其抽象成如图2所示的几何图形．若两个大正方形，的面积均为，重叠部分的小正方形为的面积为，则的长为______． 【答案】 【分析】首先根据正方形面积公式求出大正方形和小正方形的边长，再结合图形中线段的和差关系，用大正方形的边长减去小正方形的边长，即可得到的长度． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴大正方形的边长； ∵重叠部分的小正方形的面积为， ∴小正方形的边长， ∴． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级下·河北邢台·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】利用二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 18．（8分）（25-26七年级下·吉林四平·期末）已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根为2，是的整数部分． (1)________； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）一个正数的两个平方根互为相反数，据此可得，解方程即可得到答案； （2）根据立方根的定义求出b的值，估算出的取值范围，可得c的值，求出的值，再根据算术平方根的定义可得答案． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是和， ∴， ∴； （2）解：∵的立方根为2， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴的整数部分为3，即， ∴， ∴的算术平方根为． 19．（10分）（25-26八年级下·广西贺州·期末）观察下列等式，解答下列问题： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； 第5个等式：；…… (1)请直接写出第8个等式：___________________________（不用化简） (2)根据上述规律猜想：若为正整数，请用含的式子表示第个等式． (3)利用（2）的结论计算： 【答案】(1) (2) (3)2026 【分析】（1）根据已知等式的规律写出第8个等式即可； （2）根据已知等式的规律写出第n个等式即可； （3）根据（2）中的规律进行计算即可． 【详解】（1）解：第1个等式：，即； 第2个等式：，即； 第3个等式：，即； 第4个等式：，即； 第5个等式：，即； …… 第8个等式：，即． （2）解：第n个等式为． （3）解： ． 20．（10分）（25-26八年级下·江西新余·期末）若两个含有二次根式的代数式，满足，其中是有理数，则称与互为“相关代数式”． (1)若与是互为“相关代数式”，则______ ； (2)若是有理数，，且与是互为“相关代数式”，求和的值； (3)若含有二次根式的代数式与互为“相关代数式”，求的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据“相关代数式”的定义列式求解即可； （2）先根据“相关代数式”的定义列式，再结合，都是有理数，求解即可； （3）根据“相关代数式”的定义列式，再结合平方差公式，以及二次根式有意义的条件求解即可． 【详解】（1）解：与是互为“相关代数式”， ， 则； （2）解：与是互为“相关代数式”， ， ，， ， 则， 即， ，都是有理数， ， 解得， ； （3）解：代数式与互为“相关代数式” ， 则， ，即， 则有，解得， 时二次根式有意义， ． 21．（12分）（25-26八年级下·安徽淮北·期中）综合与实践 【项目主题】 八年级同学在学习《二次根式》和《勾股定理及其逆定理》两章时，会遇到这种复杂形式的二次根式化简问题，如化简，，等，班级数学兴趣小组通过适当的变形帮助他们化简． 【项目准备】 简单介绍数学兴趣小组的数学变形方法．例如： ， ． 【项目实施】 帮助八年级同学完成如下任务： (1)化简； (2)化简． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先对根号下数字变形为完全平方式，再利用二次根式的性质化简即可； （2）先对根号下数字变形为完全平方式，再利用二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 22．（12分）（25-26八年级下·河南安阳·阶段检测）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，这样一类的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 【解决问题】 (1)仿照上面的解题过程，化简：_____． (2)计算：． (3)已知，，求的值． 【答案】(1) (2)2026 (3)10 【分析】（1）根据分母有理化的方法，进行求解即可； （2）先分母有理化，然后根据实数混合运算法则，进行计算即可； （3）先变形为，然后再代入求值即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：∵，， ∴ ． 23．（14分）（25-26七年级下·山西大同·期中）阅读下列材料： 材料一：如图1，我们知道，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到的大正方形面积为，其边长就是原边长为1的小正方形的对角线长． 材料二：按照国际标准，系列纸为长方形，其中A0纸的面积为1平方米，将A0纸沿长边对折、剪开，便成A1纸；将A1纸沿长边对折、剪开，便成A2纸；将A2纸沿长边对折、剪开，便成A3纸；将A3纸沿长边对折、剪开，便成A4纸，如图2，我们日常使用的A4纸就是这样由A0纸多次对折裁开得到的． 将A4纸按如图3所示的方式折叠，则A4纸的长宽__________． 请根据材料回答下列问题： (1)A5纸的面积是__________平方米． (2)A4纸的长宽__________． (3)按照图2的系列纸生成过程，经过探究发现，系列纸有一个固定的特点：每一张纸的长与宽之比都相等．请你估算面积为1平方米的A0纸的长与宽各是多少毫米？（结果取整数，） 【答案】(1) (2) (3)A0纸的长为，宽为 【分析】（1）根据系列纸的面积规律即可求出答案； （2）根据折叠的性质和材料中得到的正方形的性质即可求出答案； （3）设纸的宽为，则长为，则，运算求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知， A0纸的面积为1平方米， A1纸的面积为平方米， A2纸的面积为平方米， A3纸的面积为平方米， A4纸的面积为平方米， A5纸的面积是平方米． （2）解：如图， 由折叠的性质可知，由材料一可知，在图3折叠得到正方形中， ，即A4纸的长宽之比为； （3）解：设纸的宽为，则长为， 依题意得， ， ∵， ∴， ∵（负值不合题意，舍去）， ∴， ∴， 答：纸的长为，宽为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 实数·拔尖卷 【新教材北师大版】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26七年级下·四川绵阳·阶段检测）古希腊毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，意思是一切量都可以用整数或整数的比（分数）表示，后来希帕索斯发现，边长为1的正方形对角线的长度不能用整数或整数的比（分数）表示，由此引发了第一次数学危机．这里“不能用整数或整数的比（分数）表示的数”是无理数，则下列数是无理数的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·福建厦门·期中）对于体积为a，底面积为b的正方体，下列说法正确的是（   ） A．它的棱长是a的立方根 B．它的棱长是b的平方根 C．它的棱长是b的立方根 D．它的棱长是a的算术平方根 3．（25-26九年级下·云南曲靖·阶段检测）估计的值应在（） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 4．（25-26七年级下·四川广元·期末）小吴是一个编程爱好者，他设计了一个如图所示的程序运算，如果输入的值是，那么输出的结果是，当输入的值是时，输出的值是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·广东广州·阶段检测）某同学做了以下四道习题，其中做错的题是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·河北邢台·期末）若把中根号外的因式移入根号内，则转化后的结果是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图（单位：），三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形纸片的面积为，最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差（   ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·安徽宣城·期末）若，则的取值范围是（     ） A．取任意实数 B． C． D． 9．已知是的负平方根，，，则，，中最大的实数与最小的实数的差是（     ） A． B．2 C．6 D．8 10．（25-26七年级下·重庆开州·期中）对于一个正实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，如：，．如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对11连续求根整数2次，，这时候结果为1，又例如：对17连续求根整数3次，，这时候结果为1．现有如下三种说法： ①； ②若，则满足题意的整数有5个； ③只需进行2次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的与最小的和是19． 其中正确的说法有（     ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26七年级下·河南周口·期末）若式子有意义，则____________． 12．（25-26八年级下·陕西安康·阶段检测）已知二次根式是整数，则自然数a的所有可能结果为________． 13．（25-26七年级下·广东湛江·期中）已知，，则______． 14．（25-26七年级下·广东汕尾·期中）如图，已知实数在数轴上的对应点，化简：的结果是 ___________． 15．（25-26八年级下·新疆哈密·期中）若，，则________．（用含、的代数式表示） 16．（2026·河南洛阳·一模）如图1所示的中国结内包含两个全等的正方形，将其抽象成如图2所示的几何图形．若两个大正方形，的面积均为，重叠部分的小正方形为的面积为，则的长为______． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级下·河北邢台·阶段检测）计算： (1)； (2)． 18．（8分）（25-26七年级下·吉林四平·期末）已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根为2，是的整数部分． (1)________； (2)求的算术平方根． 19．（10分）（25-26八年级下·广西贺州·期末）观察下列等式，解答下列问题： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； 第5个等式：；…… (1)请直接写出第8个等式：___________________________（不用化简） (2)根据上述规律猜想：若为正整数，请用含的式子表示第个等式． (3)利用（2）的结论计算： 20．（10分）（25-26八年级下·江西新余·期末）若两个含有二次根式的代数式，满足，其中是有理数，则称与互为“相关代数式”． (1)若与是互为“相关代数式”，则______ ； (2)若是有理数，，且与是互为“相关代数式”，求和的值； (3)若含有二次根式的代数式与互为“相关代数式”，求的值． 21．（12分）（25-26八年级下·安徽淮北·期中）综合与实践 【项目主题】 八年级同学在学习《二次根式》和《勾股定理及其逆定理》两章时，会遇到这种复杂形式的二次根式化简问题，如化简，，等，班级数学兴趣小组通过适当的变形帮助他们化简． 【项目准备】 简单介绍数学兴趣小组的数学变形方法．例如： ， ． 【项目实施】 帮助八年级同学完成如下任务： (1)化简； (2)化简． 22．（12分）（25-26八年级下·河南安阳·阶段检测）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，这样一类的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 【解决问题】 (1)仿照上面的解题过程，化简：_____． (2)计算：． (3)已知，，求的值． 23．（14分）（25-26七年级下·山西大同·期中）阅读下列材料： 材料一：如图1，我们知道，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到的大正方形面积为，其边长就是原边长为1的小正方形的对角线长． 材料二：按照国际标准，系列纸为长方形，其中A0纸的面积为1平方米，将A0纸沿长边对折、剪开，便成A1纸；将A1纸沿长边对折、剪开，便成A2纸；将A2纸沿长边对折、剪开，便成A3纸；将A3纸沿长边对折、剪开，便成A4纸，如图2，我们日常使用的A4纸就是这样由A0纸多次对折裁开得到的． 将A4纸按如图3所示的方式折叠，则A4纸的长宽__________． 请根据材料回答下列问题： (1)A5纸的面积是__________平方米． (2)A4纸的长宽__________． (3)按照图2的系列纸生成过程，经过探究发现，系列纸有一个固定的特点：每一张纸的长与宽之比都相等．请你估算面积为1平方米的A0纸的长与宽各是多少毫米？（结果取整数，） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $