第2章 一元二次函数、方程和不等式 单元学能测评-【重难点手册】2026-2027学年高中数学必修第一册同步练习册（人教A版）浙江专用

重难点手册高中数学必修第一册（上）？J(浙江专用) 单元学能测评 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 A.a≥-1 B.a≤3 在每小题给出的4个选项中，只有一项是符 C.a≤8 D.a≥8 合题目要求的 7.(数学文化)(2025·浙江杭州学军中学高一期中) 1.不等式-x2-x十2≥0的解集为( ) 如图所示的“大方图”称为“赵爽弦图”，它是由 A.{x|-2x<1}》 中国数学家赵爽于公元3世纪在给《周髀算 B.{x|x<-2或x≥1} 经》“勾股网方图”作注时给出的一种几何平面 C.{x|-2≤x≤1} 图.他用数学符号语言将其表示为“若直角三 D.{xx≤-2或x≥1} 角形两直角边为a,b,斜边为c(a,b,c均为正 2.已知a,b,c满足c<b<a且ac<0,那么下列 数)，则(a十b)2=4ab+(a-b)2,(a+b)2= 选项中一定成立的是() 2c2-(b-a)2.”某同学读到此书中的“赵爽弦 A.abac B.c(b-a)<0 图”时，出于好奇，想用软钢丝制作此图，他用一 C.b2<ab2 D.ac(a-c)>0 段长8cm的软钢丝作为a十b的长度（制作其 3.若m=x2+y2,n=2(x十y-1),则m与n的 他边长的软钢丝足够用)，请你给他算一算，他 大小关系是(). 能制作出来的“赵爽弦图”的最小面积为(. A.m<n B.m≤n C.m>n D.m≥n 4.(2023·浙江省学业水平考试)已知a为实数， 则>0ax+2鬼a≥1的 A.充分不必要条件 A.24 cm2 B.30 cm2 B.必要不充分条件 C.32 cm2 D.36 cm2 C.充要条件 &已不等式号+京≥-2红+日对满足2a十 1 D.既不充分也不必要条件 b(1一a)=0的所有正实数a,b都成立，则正 5.已知关于x的不等式ax2十bx十c≥0的解集为 数x的最大值为( {x-2≤x≤3，则x+b ax-b 0的解集为( A号 B.1 c D.2 A}<≤2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. B.{x-3≤x≤2} 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分 C{zx<-1或x≥-6》 分，有选错的得0分. D.{-1<x<-} 9.已知实数a,b,c满足0<a<b<c,则下列说 法正确的是(). 6.命题“Hx∈{x-1≤x≤4}，x2-2x-a>0” 1 为假命题，则实数a的取值范围是(). A1、 c-a b-a 24 第二章一元二次函数、方程和不等式么出 B.&b+c B={xlx2-2mx+m2-1≤0，m∈R}. a atc (1)求集合A. 1 1 Ca6-a>b(c-a】 (2)若x∈A是x∈B的必要条件，求实数 D.ab+c2>ac+bc 的取值范围. 10.若a>0,b>0,且a十b=4,则下列不等式错 误的是( ）. A.a2+b2≤8 B号 C.√a+√b≤2√2 81 a 11.关于x的不等式ax2十bx十c≥0的解集为 {x|x≤一1或x≥4}，下列说法正确的是 (). A.a>0 B.不等式cx2一bx+a<0的解集为 {-<< 16.(15分)10已知x>0,y>0,+片=2，求xw C号+c的最大值为-4 的最大值，并求取到最大值时x,y的值. D.若关于x的不等式x2十bx十c<0的解集 (2)已知a>1, +号=7求 中仅有两个整数，则Q的取值范围是)< 36一的最小值， 1 a≤号 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若x<y<0,设M=(x2+y2)(x-y),N x2y-xy2,则M,N的大小关系是 18.已知正数a6满起+名-2，若行在a6满 足不等式2a十b<x2+3x有解，则实数x的 取值范围为 14.(2026·湖北襄阳四中模拟)已知a>0,关于 x的不等式x2一ax十6≤0的解集中有且仅 有3个整数n一1，n,n十1，则n= a的取值范围为 17.(15分)(2026·上海七宝中学单元检测)对于 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出 二次函数y=ax2+bx十c(a≠0)，若]xo∈R, 文字说明、证明过程或演算步骤， 使得a.x十bxo十c=xo成立，则称xo为二次 15（13分)已知集合A-{+1,集合 函数y=ax2十bx十c(a≠0)的不动点. 25 重难点手册高中数学必修第-一册（上）JA(浙江专用) (1)求二次函数y=x2十2x一2的不动点. 19.(17分)(2025·湖南长沙一中期中)对于四个 (2)若二次函数y=2x2-(2+a)x+a-1有 正数x,y,之，w,如果xw<yz,那么称(x,y) 两个不相等的不动点x1,x2,且x1,x2> 是（之，心）的“下位序列” 0,求2+1的最小值 (1)对于2,3,7,11，试求(2,7)的“下位序列” (2)设a,b,c,d均为正数，且(a,b)是(c,d) 的下位序列”，试判断后，号十之间的 大小关系，并证明你的结论 (3)设正整数n满足条件：对集合{m0<m< 2024}内的每个m∈N,总存在正整数k, 使得(m,2024)是(k,n)的“下位序列”，且 (k,n)是(m十1,2025)的“下位序列”，求 正整数n的最小值. 18.(17分)某厂家拟举行促销活动，经调查测算， 该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件 与年促销费用m万元(m≥0)满足x=3 m千1为常数)，如果不搞促销活动，那么该 产品的年销售量只能是1万件.已知每年生 产该产品的固定投入为8万元，每生产1万 件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产 品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5倍（产品成本包括固定投人和再投入两部 分资金). (1)将该产品的年利润y万元表示为年促销 费用m万元的函数. (2)该厂家年促销费用投入多少万元时，厂家 的利润最大？ 26所以x+x号=(x1十x2)2-2x1x2=(m-2)2-2(3- m)=m2-2m-2=6, 即m2-2m-8=0,解得m=-2(舍去)或m=4,故实 数m的值为4. (2)由题得方程x2+(2一m)x+3-m=0在区间(0， 2)上有两个不等实根， △=m2-8>0, 所以 "22. 3-m>0, 4+2(2-m)+3-m=11-3m>0, 解得2√2<m<3, 因此，实数m的取值范围是2√2<m<3. C拓展拔高练 1.0或1.提示：由已知可得(x一a十2)(x一a)(x一a2)≥ 0,易知该不等式对应方程的三个根为x1=a一2<x2= a,x3=a2≥0，且a2>a-2恒成立； 已知x≥0时，不等式(x-a+2)[x2-(a十a2)x十 a3]≥0恒成立，则需满足当a2=0时，解得a=0成立； 当a2>0时，a=a2,-a十2>0，解得a=1成立. 综上可得a=0或a=1. 2.C提示：设2x2+y2=m,则y2=m-2x2,,5x2 4xy-y2=5,.4xy=5x2-y2-5,.16x2y2 (5.x2-y2-5)2,.16x2(m-2x2)=（-m-5+ 7x2)2,.81x4-(30m+70)x2+(m+5)2=0,设 x2=t,∴.81t2-(30mm+70)t+(m+5)2=0,.△= (30m+70)2-4×81(m+5)2≥0，即576m2+960m- 320≥0，解得m≥号或m<-9（舍去)，22+ y的最小值是号 单元学能测评 1.C提示：由-x2-x十2>≥0，得x2+x-2≤0，即(x+ 2)(x-1)≤0，解得-2≤x≤1，∴.解集为{x|-2≤ x1} a>0, 又b>c,ab>ac,故 c<0. A一定成立.b-a<0,c<0,∴c(b-a)>0,故 B不成立.若b2=0,则可验证C不成立，而ac<0,a c>0,.ac(a-c)<0,故D不成立. 3.D提示：m-n=x2+y2-2(x十y-1)=(x-1)2+ (y-1)2≥0，所以m≥n,当且仅当x=y=1时取 等号 4C提示：由题意≥1时，x十≥2，条件必要：a十 ≥2令1i>0a≥(2=1，条件充分 5.D提示：因为不等式ax2十bx+c≥0的解集为{x| -2≤x≤3}，所以a<0且-2,3是a.x2+bx+c=0的 (_b=-2+3, a 根，所以仁=一2×3， 所以b=-a,c=-6a,a<0, a a<0, 侧中合0可转化为千。≥0，脚≤0，解 得-1K≤-合 6.A提示：依题意，命题“3x∈{x|-1≤x≤4}，x2 2x-a≤0”为真命题，所以a≥(x2-2x)mn,由于x2 2x=(x-1)2-1,所以当x=1时，x2-2x取得最小 值为一1，所以a≥一1. 7.C提示：由题可知，a十b=8,a>0,b>0,则a+b≥ 2√ab,即8≥2√ab,所以ab≤16，当且仅当a=b=4 时，等号成立，又“赵爽弦图”的面积为c2=a2十b2= (a十b)2-2ab=64-2ab>64-2×16=32,所以当a= b=4时，“赵爽弦图”的最小面积为32cm2. 8D提示：由题知（得+）≥-2x+2因为a, b为正实数，所以由2a十b(1-a)=0得2a十b=ab,即 会+1，所以2(+)-2[（日)+(g门≥ (日)+（层）}'+2×号×是-（层+日）°-1当且 仅当号-日且2a十b=ab,即a=2,6=4时，等号成 立，所以2（侵+）≥1，即+会≥，所以≥ x2-2x+2,整理得x-2x<0,则0≤x<2,结合x 为正数，得0<x≤2，所以正数x的最大值为2. 9.BCD提示：由0<a<b<c,得b-a>0,c-a>0,c 6>0A选项，。-6。=88 c-a)6-a<0,即1<，1 b一c 即c一aC6二a,A选项错误；B选 项名牛-+a-8g>0即 a(a十c) 23 b>b+,B选项正确；C选项，ab一a)一b(c一a) .1 1 aa十c bc-ab-ab+a2b2-2ab+a2 b-a ab(b-a)(c-a)-ab(b-a)(c-a)-ab(c-a)>0, 1 1 即ab-a广c-aC选项正确：D选项，ab+c2 (ac+bc)=a(b-c)-c(b-c)=(b-c)(a-c)>0; ab十c2>ab十bc,D选项正确. 10.ABD提示：对于A,由a2十b2≥2ab可得2(a2+ b2)≥a2+b2+2ab=(a+b)2,又a十b=4,所以2(a2+ b2)≥(a+b)2=16,即a2+b2≥8，当且仅当a=b=2 时等号成立，故A中不等式错误； 对于B,由a十b=4可得a十b=4≥2√ab,即0<ab 4,所以品≥子，当且仅当a=6=2时等号成立：放B 中不等式错误； 对于C,由a十b≥2√ab可得2(a+b)≥a+b+ 2√ab=(a+√b)2,所以可得8≥(a十√b)2,即 √a+√b≤2√2，当且仅当a=b=2时等号成立，故C 中不等式正确； 对于D.易知+-a+6(+)=(1+ 号++)≥(+2√层日)-1即+6 1,当且仅当a=b=2时等号成立，故D中不等式 错误 11.ACD提示：不等式ax2+bx十c≥0的解集为{x|x≤ -1或x≥4}，故x=-1和x=4是方程ax2+bx十 a>0, c=0的两个根，所以 0 =一1十4，解得 b=一3a, c=-4a, =-1X4, 故A正确；对于B,cx2-bx十a<0可变为-4ax2+ 3ar+a<0>x2-3x-1>0,解得x>1或x<-子 放B错误：对于C品。十(-4a)=马。-a -(日+4a)<-4,当且仅当。=4a,即a=2时等 号成立，所以号+c的最大值为-4，故C正确；对 于D,关于x的不等式x2十bx十c<0可变为x2 3a.x-4a<0,记y=x2-3a.x-4a,由于x=0时，y= -4a<0,故0是x2+bx十c<0的一个整数解，由于 24 对称轴为直线x-号>0，要使不等式2+证十c<0 1-3a-4a<0, 的解集中仅有两个整数，则22-6a一4a≥0，故 (-1)2+3a-4a≥0， 号<a<号，故D正确 12.M<N.提示：M-N=(x2+y2)(x-y)-(x2y- y)=6x-0x+y-y)=x-0(-z)+ 3y2 因为x<y<0,所以x-y<,(x-之)+ 3￥>0，所以（红-y)[(-名）‘+3]<0，所以 M<N 13.{xx>1或x<-4.提示：正数a,b满足1十 号=2，·2a+6=2(2a+6)(日+号)= 2 号(+号+2)≥号(+2巴·日)=4，当且仅 当b=2a时等号成立. ,不等式2a十b<x2+3x有解， x2+3x>4,解得x>1或x<-4, .实数x的取值范围为{xx>1或x<-4). 143号<a<提示：由题意4=。2-24>0，即 a>2W6,设不等式的解集为{xx1xx2},则x1十 x2=a,x1x2=6, 则x2-x1=√(x1十x2)2-4x1x2=√a2-24. 因为不等式解集中有且仅有3个整数，所以2≤x2一 x1<4,即2≤√a2-24<4,解得2√7≤a<2√10， 所以y=x2一ax十6的对称轴x=受满足V7≤x= 号<V而，而厅<3<√而，即离对称轴距离最近的 整数只有3，所以n=3,所以三个整数解为2,3,4， 2w7≤a<2√10， 4-2a+6≤0， 所以1-a十6>0， 解得a< 16-4a+60, 25-5a+6>0, 150调为经1，即t名g+3≤0， 2x-3 (3x+6)(2x-3)≤0， 所以 2x-3≠0， 所以-2<.所以A={女-2≤x<}. (2)若x∈A是x∈B的必要条件，所以B二A, B={xlx2-2mx+m2-1≤0，m∈R}={x|[x (m-1)][x-(m+1)]≤0，m∈R}={xm-1≤x≤ m+1}, m-1≥-2， 所以 3,懈得-1<m<分 m+1<2 所以实数m的取值范围是一1<m<2 16(1已知x>0>0,登+学=2， 则受+≥2g,解得y≤6， 即受=学=1时，等号成立，解得x=2,y=3, 则xy的最大值为6. (2令a=0= 1 去分母化简得xy-5x-y=7,所以(x一1)(y-5)=12, 所以22+动-3x+y=3-1D+y-)+ 8>2W√3(x-1)(y-5)+8=20, 当组仅当a-号6=鲁时，等号成立，故其最小值为20 17.(1)令x2+2x-2=x,可得x2+x-2=0, 可得(x-1)(x十2)=0，解得x1=-2,x2=1, 所以二次函数y=x2+2x一2的不动点为一2和1. (2)二次函数y=2x2-(2十a)x十a-1有两个不相 等的不动点x1,x2,且x1,x2>0, 则方程2x2-(2+a)x十a一1=x有两个不相等的正 实数根， 即方程2x2-(3十a)x十a-1=0有两个不相等的正 实数根， 所以4=(3+a)2-8(a-1)>0,且x1十x2=30, 2 1=, 因为>0，即2>0，可得a-1>0,解得a>1, 所以+=+=十xP-2z1 t1X2 Z1X2 2）-a1 2+2a十13_(a-1)2+4(a-1)+16 a-1 2(a-1) 2(a-1) 2 号+2+22高+2-6 2 当且仅当号。即a=5时等号成立， 所以+的最小值为6. 18.(1)由题意可知，当m=0时，x=1,所以1=3-k, 2 所以k=2,所以x=3 m十1' 每件产品的销售价格为1.5.8+16万元， 所以年利润y=x·1,5.8+16x-8-16z一m=4十 x 16 8x-m=28-m- m+1' 所以y=28- m+1m,其中m≥0. 16 (因为当m2≥0时片+m中8，即 m十十m≥7， 所以)区28-7=21，当且仅当，9=m+1,即m 3万元时，ymx=21万元. 所以当厂家年促销费用投入3万元时，厂家的利润最大. 19.（1)由题意可知7x<2y,此时x=3,y=11,则(2,7) 的“下位序列”为(3,11). (2)由题意可知ad<c,此时号<行，取a=1,6=2, 6=2d=3则号-日8+行号<号-号， 猜想只<a十cc bb十dd 先证左边，台青6t0-总产 b(6+d) 6(6+d) 0,则4<a十c bb十di 再边，号专-+0- d(b+d) d6+d)> 0.则+后台 缘上8<台 |mn<2024k, (3)由题意可知 ① "2025k<m十n, 25 |mm+1≤2024k, 又m,n,k∈N*,则 (2025k≤nm+n-1, 此时n十1 2024 k≤mn十n-l 2025 于是g2 mn+n- 4049 2025 ,解得n≥2024一m 又对集合{m|0<m<2024}内的每个m∈N,上式都 成立， 则n≥ 4049\ 4049 2024-7m/-2024-2023-4049, 下证n=4049满足题意， 由D可知微<<2密台08<< 2024 4049m+4049 2025 再由(2)可知1,04n<2X4049mg+4049=2m+1< 2024 4049 4049m+4049 2025 即对集合{m|0<m<2024}内的每个m∈N,总存在 k=2m+1是满足题意的. 综上所述，正整数n的最小值为4049. 第三章函数的概念与性质 3.1函数的概念及其表示 3.1.1函数的概念 变式训练答案 [变式1]A提示：A选项中，f(x)可化为f(x)=x, x∈R与g(x)=x是同一函数. B选项中，g(x)=√x=|x与f(x)=x对应法则不 一样 C选项中，g(x)=x°=1(x≠0)与f(x)=1的定义域 不一样 D选项中，g(x)= =x(x≠0)与f(x)=x的定义域 不一样 () 1+(2) 1+a,所以fa)+f(日）=1 2由1)知fa)+f(日)=1， 从而f(2)+f(2)=f(3)+f(3)=f(4)+ 26 f(号)=1，故[f2+f(合]+[r3+f(号】+ [f④+f()门-3，而f=3所以f+f2+ (2)+f3)+(3)++()=名 [变式3](1)使式子√2x+6有意义的实数x的集合是 {xx≥-3}，所以函数的定义域为{xlx≥-3. (2)使式子√个一x有意义的实数x的集合是{xx≤1)， 使式子写十有意义的实数x的巢合是x≠一5引， 所以函数f(x)=V1一元+与的定义域是(xx≤1 且x≠-5}. [变式4](1)因为函数f(x2+1)中的x2+1相当于函 数f(x)中的x,所以0≤x2十1≤1. 所以-1≤x2≤0，所以x=0, 所以f(x2+1)的定义域为{0}， (2)因为f(2x-1)的定义域为[0,1)， 即0≤x<1,所以-1≤2x-1<1, 所以f(x)的定义域为[-1,1)， 所以-11-3z<1,所以0Kx≤号， 所以1-)的定义装为(0，号] [变式5]由题意知ax十1≥0，a<0, ∴x<是，即函数的定义域为(-©，]， 函数在区间（一∞，1]上有意义， -o(-,-】 又，a<0,∴.-l≤a<0.即a的取值范围是[-1,0). [变式6]已知函数式可变形为yx2+2yz十3y=2x2+ 4x-7,即(y-2)x2+2(y-2)x+3y+7=0, 当y≠2时，将上式视为关于x的一元二次方程. ,x∈R,.△≥0，即[2(y-2)]2-4(y-2)(3y+7)≥0， 整理得2y+5y-18<0,解得一号≤y<2(也可以依据 二次函数y=2x2+5x一18在x轴下方的图象求解). 当y=2时，3×2十7≠0，不符合题意，应舍去。 故函数的值较为[号2） 真题演练答案 1.B提示：易知函数f(x)的定义域为（一∞，1]，即M=