1.5.1 全称量词与存在量词-【重难点手册】2026-2027学年高中数学必修第一册同步练习册（人教A版）浙江专用

案不唯一) (3)若a=-5,显然M∩P={x|-5≤x<-3或5< x≤8}，则a=-5是M∩P={x|5<x≤8}的一个必 要不充分条件.如图，结合数轴可知α<一3时符合题 意，则实数a的取值范围可以是{aa<一3).（答案不 唯一) 8之 8.(1)当a=2时，集合A={x0≤x≤3}， 则CuA={x|x<0或x>3}, 所以(CuA)∩B={x|-6≤x<0或3<x≤4. (2)由“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件， 得A为B的真子集，显然A≠0， 则-22-6，或a-2>-6, 或 a+1<4 a+14, 解得一4a≤3，故实数a的取值范围为一4≤a≤3. C拓展拔高练 1.AD提示：对于A,当a=2时，B={0,-2,一1}，此时 C(B)=3,故A正确. 对于B,当a=0时，B={0},此时C(B)=1,故B错误 对于C,当a=0时，B={0},此时C(B)=1,A={0, -1},所以C(A)=2,所以A*B=1; 当A￥B=1时，因为C(A)=2,所以C(B)=1或3， a=0, 若C(B)=1,满足 解得a=0;若C(B) 4=a2-4<0, =3,因为方程x2+a.x=0的两个根x1=0,x2=一a 都不是方程x2十ax十1=0的根，所以需满足 a≠0， 解得a=土2，所以“a=0”是“AB= △=a2-4=0, 1”的充分不必要条件，故C错误。 对于D,因为C(A)=2,要A￥B=1,所以C(B)=1 或3，由C可知a=0或a=±2，所以S={0,2,-2}, 所以C(S)=3,故D正确， 2.(1)S(A)={0,1,2,3,4},T(A)={0,1,2,3,4} （2)充分性：若x2一x1=x3一x2=…=xn一xm-1, 设x2一x1=x3-x2=…=xn一xn-1=d>0, 则x2=x1十d,x3=x2十d=x1十2d,…, xn=xm-1十d=…=x1+(n-l)d,n∈N*, .Vi,j∈N',1≤i≤j≤n,x:十x,=2x1+(i+j-2)d, 而i十j的取值有2,3,4，·，2n共(2n一1)个值， .S(A)={a+bla∈A,b∈A}={x:+x|x:∈A,x;∈ A}有2m-1个元素，即d(S(A)=2n-1, 10 必要性：若d(S(A))=2n一1. 由题意知2x1<x1十x2<2x2<x2十x3<<2xw-1< xm-1十xn<2xn, ∴.(2n-1)个值2x1,x1十x2,2x2,x2十x3,…,2xm-1, xm-1十xn,2xn∈S(A), .S(A)={2x1,x1十x2,2x2,x2十x3,…,2xn-1xn-1十 In,2xn1. 又x:十x+1<x:十x+2<x+1十x+2, 且集合S(A)中元素x:十x+1与x+1十x+2之间只 有一个元素2x+1,∴.x:十x+2=2x+1, …x+2-x+1=x+1一x,i∈{1,2,3，…，n-2}, x2一x1=xg一x2=…=xn一xn-1 1.5全称量词与存在量词 变式训练答案 [变式1】()p:3x∈R,x2-x十<0.假命题 (2)一q:至少存在一个正方形不是矩形.假命题. (3)r:Ha,b∈R,a2+ab+b2≥0.真命题. (4)s:Hx∈R,x3十1≠0.假命题. [变式2]2≤m≤6.提示：命题“3x∈R,使得x2十 mx十2m-3<0”的否定为“Hx∈R,使得x2+mx+ 2m-3≥0”， 因为命题“3x∈R,使得x2十mx十2m一3<0”为假命题， 则“Vx∈R,使得x2十mx十2m-3>0”为真命题， 所以△=m2-4(2m-3)≤0，解得2≤m≤6， 则实数m的取值范围是2m≤≤6. 真题演练答案 1.C提示：命题p是一个存在量词命题，其否定是全称 量词命题“Vn∈N,n2≤2m”. 2.A提示：根据定义可知命题的否定为“存在xo∈R,使 得x<0” 1.5.1全称量词与存在量词 练习册答案 A学考过关练 1.C2.A 3.AB提示：易知A,B为真命题，C中，由于a-b=2n 3n=一n,所以对于任意的n∈N,都有a<b,即a≠ b,故C为假命题；D中，由A={aa=2n,n∈N"}, B={bb=3,n∈N*},得6∈A,且6∈B,故D为假 命题 4.3x<0,使得(1+x)(1-9x)2>0. 5.存在量词命题；假；Vx∈R,x2十2x十5≥0；真. 提示：因为x2+2x+5=(x+1)2十4≥0恒成立， 所以命题p是假命题，一p是真命题， 6.a>1.提示：命题“3x∈R,x2十2x十a=0”为假命 题，则关于x的方程x2+2x十a=0没有实数根，得△= 4一4a<0,解得a>1,所以实数a的取值范围是a>1. B高考提能练 1.C2.B 3.A提示：命题“存在x∈{x|0<x<3),使得2x-m= 0成立”是假命题，即命题“存在x∈{x|0<x<3},使 得x=受成立”是假命题，所以受≤0或受≥3，解得 m0或m≥6，则实数m的取值范围是m0或m≥6. 4.AB提示：由题意可知，“3x∈M,x<一5”为假命题， 可得M二{xx≥-5}.又“Hx∈M,|x|>x”为真命 题，可得M{x|x<0},∴.M二{x|-5≤x<0},对 照选项可知A,B满足题意 5.a≥1.提示：根据题意，若p为真命题，则a≥1，若g 为假命题，则x2+x+2a-1=0无解，则有△=1- 42a-1D<0,解得。>号放若p为真命题，9为假命 题，则有a≥1. 6.对任意6>a>0,m>n>0,都有十m>a十” 6+mb+n 提示：真分数号(6>a>0)满足g}>8,6 6+1>6'6+2 a十1a十3a+2, b+16+3>6+2…,∴写出的一个全称量词命题 为对推任意>a>0m>>0,嘉有+号 7.(1)由命题p为真命题可得A二B,且B≠0， -3m+1m-1, 则 -3m+1≤1， 解得m≥8， m-1≥7， 即实数m的取值范围为m≥8. (2),q:3x∈B,x∈A是真命题，A∩B≠0， 1-3m+1m-1, 小-3m+1<1,或m-121: 解得m≥2， 即实数m的取值范围为m≥2. 8.(1)若p为真命题，则△=4-4a2>0,解得-1<a<1. (2)若g为真命题，由一元二次方程x2十ax十2=0有 A=a2-8≥0， 两个负根，可得 解得a≥22 -a<0, 若p和q有且只有一个是真命题，则p真q假或p假 q真， -1<a<1, 当p真q假时，由 解得-1<a<1; a<2√2， a≥1或a-1, 当p假q真时，由 解得a≥2√2. a≥22， 综上，a的取值范围为-1<a<1或a≥22. C拓展拔高练 1./n∈N",1+3+5+…+(2m-1)=n2. 2.(1)由题意知，A={xx≤0或x≥4}. A∩B=B,.B≤A. 当B=必时，即a十1≥2a一1，即a≤2时，符合题意； 当B≠⑦时，即a>2时，由B二A,得a十1≥4或2a 1≤0，得a≥3. 综上，实数a的取值范围为{aa≤2或a≥3. (2)若Vx∈A,均有x氏B,当a≤2时，B=满足题意， |a+1≥0 当a>2时， 2a-1≤4 ,解得-1a≤号， 所以2×a<号 综上a≤号，即a的取值范国是ae≤号}。 (3)若]x∈B,且x4A,它的否定是Hx∈B,x∈A, 先求Hx∈B,则x∈A时a的范围， 这样若B=0,即a≤2时，满足题意； 当a>2时，2弘-10或a+1≥4a<号或≥3，所以 a≥3. 综上，a2或a≥3， 因此原命题了x∈B,且xA,为真时，a的取值范围 是2<a<3,即{a2<a<3. 1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定 练习册答案 A学考过关练 1.B2.A 3.D提示：若p为假命题，则“Hx>0,x十a一1≠0”为 真命题，所以1-a≤0，解得a≥1. 4.A提示：由题意知“]x∈R,x2一4x十a=0”为真命 题，则关于x的方程x2一4x十a=0有实数根，即△= 16-4a≥0，解得a≤4. 5.AC提示：对于A,2是偶数，也是素数，所以原命题为 假命题，故它的否定为真命题；对于B,原命题为真命 题，故它的否定为假命题；对于C,原命题为假命题，故 11第一章集合与常用逻辑用语 1.5全称量词与存在量词 1.5.1全称量词与存在量词 A学考过关练 测试时间：10分钟 B高考提能练 测试时间：15分钟 1.[知识点2]下列命题中是存在量词命题的是 1.[知识点1]命题“Hx∈R,x2>3”的另一种写 (). 法是( A.所有能被3整除的整数都是奇数 A.有一个x∈R,使得x2>3 B.每一个四边形的四个顶点在同一个圆上 B.有一些x∈R,使得x2>3 C.有的三角形是等边三角形 C.对任意的x∈R,都有x2>3 D.任意两个等边三角形都相似 D.至少有一个x∈R,使得x2>3 2.[知识点1]下列命题中，既是全称量词命题又 2.[题型3]若命题“存在x∈R,使x2-2x-m 是真命题的是() 0”是真命题，则实数m的取值范围是(). A.每一个命题都能判断真假 A.{mm≤-1} B.{mlm≥-1} B.至少有一个实数使不等式x2一3x+6<0成立 C.{m|-1≤m≤1} D.{mlm>-1} C.对任意实数a,b,若a<b,则a2<b 3.[题型3]已知命题“存在x∈{x0<x<3},使 D.存在x∈R,使√x2-x十1=0 得2x一m=0成立”是假命题，则实数m的取 3.[题型1们（多选）给出下列命题，其中真命题有 值范围是( (). Am≤0或m≥6 B.m<0或m>6 A.存在x<0,使|x|>x C.m<0或m≥6 D.m≤0或m>6 B.对于一切x<0,都有|x|>x 4.[题型3]（多选）若“Hx∈M,|x|>x”为真命 C.已知a=2n,b=3n,则存在n∈N*,使得 题，“3x∈M,x<-5”为假命题，则集合M可 a=b 以是( D.已知A={a|a=2n,n∈N*},B={b|b= A.{x|-5≤x<0} B.{x|-3<x≤-1} 3n,n∈N*},则A∩B=☑ C.{x|x>3} D.{x|0≤x≤3} 4.[知识点2]命题“有些负数满足不等式(1+x)· 5.[题型3]已知p:Vx∈{x|x≤1}，4a-4x≥0， (1一9x)2>0”用“了”写成存在量词命题为 q:3x∈R,x2+x十2a-1=0,若p为真命题，g 为假命题，则实数α的取值范围是 5.[题型1、2]命题p:3x∈R,x2+2x+5<0是 6.[知识点1]已知真分数号6>a>0)满足士} b+1 (填“全称量词命题”或“存 aa+2、a+1a+3、a+2 在量词命题”)，它是 (填“真”或“假”) 6’6+26十1'b+3>6十2，…根据上述性 命题，一： 质，写出一个全称量词命题为 它是 (填“真”或“假”)命题 7.[题型3]已知集合A={x|1≤x≤7}，B= 6.[题型3]已知命题“]x∈R,x2十2x十a=0” {x|-3m十1≤x≤m-1},且B≠0. 为假命题，则实数a的取值范围是 (1)若命题p:Hx∈A,x∈B是真命题，求实 11 重难点手册高中教学必修第一册（上）UA(浙江专用) 数m的取值范围. C拓展拔高练 测试时间：5分钟 (2)若命题q:3x∈B,x∈A是真命题，求实 1.根据事实1=12,1+3=22,1+3+5=32,1十 数m的取值范围. 3十5+7=4，…，写出一个含有量词的全称量 词命题： 2.(2025·江苏天一中学高一年级竞赛训练)已 知全集U=R,集合A={x|x-2|≥2}，B= {xla+1<x<2a-1}. (1)若A∩B=B,求实数a的取值范围， (2)若Vx∈A,均有x氏B,直接写出实数a的 取值范围， (3)若3x∈B,且x庄A,直接写出实数a的取 值范围。 8.[题型3]已知p:]x∈R,抛物线y=一x2+ 2x一a2上存在点位于x轴上方；q:x2十a.x十 2=0有两个负根 (I)若p为真命题，求a的取值范围， (2)若饣和q有且只有一个是真命题，求a的 取值范围. 12