1.4 充分条件与必要条件-【重难点手册】2026-2027学年高中数学必修第一册同步练习册（人教A版）浙江专用

1.4充分条 A学考过关练 测试时间：10分钟 1.[题型1](2024·浙江省学业水平考试)“a>b> 0”是“a十b>-1”的(). A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.[题型1们俗语云“好人有好报”，这句话的意思 中“好人”是“有好报”的(). A充分条件 B.必要条件 C.既不充分也不必要条件 D.无法判断 3.[题型1们设计如图所示的四个电路图，则能表 示“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分 条件的一个电路图是( A B C D 4.[题型1]A∩B≠☑是A二B的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.[题型1门“xy=0”是“x2+y2=0”的 (填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”) 条件 第一章集合与常用逻辑用语 在超 件与必要条件 6.[题型3]设p:<<1,9:a<x<十1，若g 是p的必要不充分条件，则实数α的取值范围 是 B高考提能练 。测试时间：20分钟 1.[题型1门已知p是r的充分条件，q是r的充 分不必要条件，s是r的必要条件，p是s的必 要条件，现有下列命题：①r是p的必要不充分 条件；②r是s的充分不必要条件；③q是p的 充分不必要条件；④s是q的充要条件.其中所 有的真命题是() A.①④B.②③C.③ D.④ 2.[题型1]若非空集合A,B,C满足AUB=C, 且B不是A的子集，则(). A.“x∈C”是“x∈A”的充分不必要条件 B.“x∈C”是“x∈A”的必要不充分条件 C.“x∈C”是“x∈A”的充要条件 D.“x∈C”是“x∈A”的既不充分也不必要条件 3.[题型1]甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字 游戏，甲、乙、丙共同写出三个集合：A{x|0< △x<2},B={x|-3≤x≤5}，C={x0<x< 号}，然后他们三人各用一句话来正确措述“4” 表示的数字，并让丁同学猜出数字，以下是甲、 乙、丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正 整数；乙：x∈B是x∈A的必要不充分条件； 丙：x∈C是x∈A的充分不必要条件.则“△” 表示的数字是( A.3或4 B.2或3 C.1或2 D.1或3 4.[题型1]（多选）下列选项中，p是g的充要条 件的是(). A.p:ab=0,q:a2+b2=0 B.p:xy≥0，q:x|+ly|=|x+y| 9 重难点手册高中数学必修第一册（上）？/ 、1 C.p:m≥-49：方程x2-x一m=0有实数根 D.p:x>2或x<-1,q:x<-1 5.[题型3]（多选）关于x的方程a.x2+2x十a=0 恰有一个实数根的充分不必要条件可以是 (). A.a<2 B.a=1或a=-1 C.a=0或a=±1 D.a=0 6.[题型3](2026·上海中学检测)已知[x]表示 不大于x的最大整数，A={y|y=x一[x]}, B={y|0≤y≤m},若y∈A是y∈B的充分 不必要条件，则m的取值范围是 7.[题型3]已知集合M={xx<-3或x>5}, P={xa≤x≤8}. (1)求实数a的取值范围，使它成为M∩P= {x|5<x≤8}的充要条件. (2)求实数a的一个值，使它成为M∩P= {x|5<x≤8}的一个充分不必要条件 (3)求实数a的一个取值范围，使它成为M∩ P={x5<x≤8}的一个必要不充分条件. 8.[题型3]已知集合A={x|a-2≤x≤a十1}， B={x一6≤x≤4}，全集U=R. (1)当a=2时，求(CA)∩B. (2)若“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件， 求实数a的取值范围. 10 (浙江专用) C拓展拔高练 。测试时间：10分钟 1.(2025·湖北黄冈中学高一年级竞赛训练)（多 选)用C(A)表示非空集合A中元素的个数， (C(A)-C(B),C(A)C(B), 定义A￥B= C(B)-C(A),C(A)<C(B), 已知集合A={x|x2十x=0},B={x∈R|(x2 十a.x)(x2+ax+1)=0},则下面结论正确的 是(). A.3a∈R,C(B)=3 B.Ha∈R,C(B)≥2 C.“a=0”是“A*B=1”的必要不充分条件 D.若S={a∈RA￥B=1},则C(S)=3 2.(新定义)对于由有限个自然数组成的集合A, 定义集合S(A)={a+ba∈A,b∈A},记集合 S(A)的元素个数为d(S(A)).定义变换T,变 换T将集合A变换为集合T(A)=AUS(A. (1)若A={0,1,2},求S(A),T(A). (2)若集合A={x1,x2,x3,…,xn},(x1<x2< x3<…<xn),n∈N,证明：“d(S(A)= 2一1”的充要条件是“xc2一x1=x3一x2= =xn一x-1”真题演练答案 1.A提示：若a>1,不等式两边同乘以a,则a2>a,故 “a>1”是“a2>a”的充分条件」 若a=一1，显然有(-1)2>-1，即满足a2>a,但不满 足a>1,所以“a>1”不是“a2>a"”的必要条件」 2.B提示：x2-5x<0,.0<x<5. .x-1<1,.0<x<2. .“x2一5x<0”是“|x一1<1”的必要不充分条件. 3.A提示：若x>1且y>1,则有x十y>2成立，所以 p→q;由x+y>2不能得到x>1且y>1,即q书p. 所以力是q的充分不必要条件， 练习册答案 A学考过关练 1.A提示：若a>b>0,则a+b>0>-1,充分性得证； 若a=2,b=一1，则a十b>一1，但a>b>0不成立.故 “a>b>0”是“a十b>-1”的充分不必要条件. 2.A提示：这句话的意思中，“好人”→“有好报”，所以 “好人”是“有好报”的充分条件 3.C提示：对于A,“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充分 不必要条件；对于B,“开关A闭合”是“灯泡B亮”的 充要条件；对于C,“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必 要不充分条件；对于D,“开关A闭合”是“灯泡B亮” 的既不充分也不必要条件. 4.D提示：若A∩B≠☑，如A={1,2},B={1},满足A∩ B={1}≠0，但不满足A二B.若A二B,如A=,B= {1},满足A三B,但不满足A∩B≠必.所以A∩B≠ 是A二B的既不充分也不必要条件： 5.必要不充分.提示：由xy=0,可得x=0或y=0或 x=y=0;由x2十y2=0,可得x=y=0.显然，由 “x2十y2=0”可以推出“xy=0”,即必要性成立；而由 “xy=0”不可以推出“x2十y2=0”,即充分性不成立. 所以“xy=0”是“x2十y2=0”的必要不充分条件.故答 案为必要不充分 6.0Ca<分：提示：因为p:2<x<1,9:a<z<a十 1 1,9是p的必要不充分条件，所以 a≤2' 且两个等 a+1≥1， 号不同时成立，解得0<a≤2： B高考提能练 1.C提示：因为p是r的充分条件，所以p→r,因为q 是r的充分不必要条件，所以q→r,r尹q.因为s是r 的必要条件，所以r→s.因为p是s的必要条件，所以 s→p.由p→r,r→s,s→p可得p台r台s,则r是p的 充要条件，命题①为假命题：r是s的充要条件，命题② 为假命题；因为q→r,r肀q,所以q→p,p尹q,故q是 p的充分不必要条件，命题③为真命题；易得、肀q, q→s,所以s是q的必要不充分条件，命题④为假 命题 2.B提示：，AUB=C,且B不是A的子集 若x∈A,则x∈C,但若x∈C,则x∈A或x∈B, .“x∈C”是“x∈A”的必要不充分条件 3.C提示：因为此数为小于5的正整数，所以A={x0< Ar<2={女0<<.因为x∈B是x∈A的必 要不充分条件，x∈C是x∈A的充分不必要条件，所 以C是A的真子集，A是B的真子集，所以子<5且 云号解得号≤△<3，所以4“表示的数字是1或 2,故C正确. 4.BC提示：对于A,由p可知a=0或b=0,由g可知 a=0且b=0,故p不是q的充要条件；对于B,由|x十 |y=|x十y知x,y要么同为正数，要么同为负数，要 么至少有一个为零，故xy≥0，故p是q的充要条件； 对于C,由方程x2一x一m=0有实数根，得判别式△= 1+4m≥0，即m≥-子，所以b是g的充要条件：对于 D,因为p户q,所以p不是q的充要条件， 5.BD提示：若a=0,则原方程为x=0,恰有一个实数 根，符合；若a≠0，则△=4一4a2=0,故a=士1，故关 于x的方程ax2十2x十a=0恰有一个实数根的等价 条件为a=0或a=士1，A,B,C,D四个选项中，只有 B,D对应的选项中的元素构成的集合为{0，士1}的真 子集 6.m≥1.提示：对于集合A={y|y=x-[x]},可设 k≤x<k十1(k∈Z),由[x]的定义可知，0≤y=x [x]=x-k<1,所以A={y|y=x-[x]}={y|0≤ y<1}.若y∈A是y∈B的充分不必要条件，则A B,所以m的取值范围是m≥1. 7.(1)M∩P={x|5<x8}的充要条件是一3≤a≤5，所 以实数a的取值范围是{a|-3≤a≤5}. (2)显然，满足一3≤a≤5的任意一个a的值都是M∩ P={x|5<x≤8}的充分不必要条件，如a=-3.(答 9 案不唯一) (3)若a=-5,显然M∩P={x|-5≤x<-3或5< x≤8}，则a=-5是M∩P={x|5<x≤8}的一个必 要不充分条件.如图，结合数轴可知α<一3时符合题 意，则实数a的取值范围可以是{aa<一3).（答案不 唯一) 8之 8.(1)当a=2时，集合A={x0≤x≤3}， 则CuA={x|x<0或x>3}, 所以(CuA)∩B={x|-6≤x<0或3<x≤4. (2)由“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件， 得A为B的真子集，显然A≠0， 则-22-6，或a-2>-6, 或 a+1<4 a+14, 解得一4a≤3，故实数a的取值范围为一4≤a≤3. C拓展拔高练 1.AD提示：对于A,当a=2时，B={0,-2,一1}，此时 C(B)=3,故A正确. 对于B,当a=0时，B={0},此时C(B)=1,故B错误 对于C,当a=0时，B={0},此时C(B)=1,A={0, -1},所以C(A)=2,所以A*B=1; 当A￥B=1时，因为C(A)=2,所以C(B)=1或3， a=0, 若C(B)=1,满足 解得a=0;若C(B) 4=a2-4<0, =3,因为方程x2+a.x=0的两个根x1=0,x2=一a 都不是方程x2十ax十1=0的根，所以需满足 a≠0， 解得a=土2，所以“a=0”是“AB= △=a2-4=0, 1”的充分不必要条件，故C错误。 对于D,因为C(A)=2,要A￥B=1,所以C(B)=1 或3，由C可知a=0或a=±2，所以S={0,2,-2}, 所以C(S)=3,故D正确， 2.(1)S(A)={0,1,2,3,4},T(A)={0,1,2,3,4} （2)充分性：若x2一x1=x3一x2=…=xn一xm-1, 设x2一x1=x3-x2=…=xn一xn-1=d>0, 则x2=x1十d,x3=x2十d=x1十2d,…, xn=xm-1十d=…=x1+(n-l)d,n∈N*, .Vi,j∈N',1≤i≤j≤n,x:十x,=2x1+(i+j-2)d, 而i十j的取值有2,3,4，·，2n共(2n一1)个值， .S(A)={a+bla∈A,b∈A}={x:+x|x:∈A,x;∈ A}有2m-1个元素，即d(S(A)=2n-1, 10 必要性：若d(S(A))=2n一1. 由题意知2x1<x1十x2<2x2<x2十x3<<2xw-1< xm-1十xn<2xn, ∴.(2n-1)个值2x1,x1十x2,2x2,x2十x3,…,2xm-1, xm-1十xn,2xn∈S(A), .S(A)={2x1,x1十x2,2x2,x2十x3,…,2xn-1xn-1十 In,2xn1. 又x:十x+1<x:十x+2<x+1十x+2, 且集合S(A)中元素x:十x+1与x+1十x+2之间只 有一个元素2x+1,∴.x:十x+2=2x+1, …x+2-x+1=x+1一x,i∈{1,2,3，…，n-2}, x2一x1=xg一x2=…=xn一xn-1 1.5全称量词与存在量词 变式训练答案 [变式1】()p:3x∈R,x2-x十<0.假命题 (2)一q:至少存在一个正方形不是矩形.假命题. (3)r:Ha,b∈R,a2+ab+b2≥0.真命题. (4)s:Hx∈R,x3十1≠0.假命题. [变式2]2≤m≤6.提示：命题“3x∈R,使得x2十 mx十2m-3<0”的否定为“Hx∈R,使得x2+mx+ 2m-3≥0”， 因为命题“3x∈R,使得x2十mx十2m一3<0”为假命题， 则“Vx∈R,使得x2十mx十2m-3>0”为真命题， 所以△=m2-4(2m-3)≤0，解得2≤m≤6， 则实数m的取值范围是2m≤≤6. 真题演练答案 1.C提示：命题p是一个存在量词命题，其否定是全称 量词命题“Vn∈N,n2≤2m”. 2.A提示：根据定义可知命题的否定为“存在xo∈R,使 得x<0” 1.5.1全称量词与存在量词 练习册答案 A学考过关练 1.C2.A 3.AB提示：易知A,B为真命题，C中，由于a-b=2n 3n=一n,所以对于任意的n∈N,都有a<b,即a≠ b,故C为假命题；D中，由A={aa=2n,n∈N"}, B={bb=3,n∈N*},得6∈A,且6∈B,故D为假 命题 4.3x<0,使得(1+x)(1-9x)2>0. 5.存在量词命题；假；Vx∈R,x2十2x十5≥0；真.