1.4.2.2充要条件·课时作业同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 分层设计清晰（A组基础巩固、B组能力提升），知识从概念辨析到综合应用递进，强化推理意识与运算能力，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组基础巩固|单一知识点（充要条件判断）到简单应用（数值范围充要条件）|以选择为主，含多选强化概念辨析（如第1题多组充要条件判断）| |B组能力提升|综合应用（方程根充要条件证明）与逻辑推理（集合关系充分不必要条件）|含解答题（第9题证明题）提升证明规范与应用能力|

1.4.2 充要条件·课时作业 班级：＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿　　建议用时：25分钟　　第二课时 说明：A组全体必做；B组优生班必做、普通班选做。解答题要求写出完整过程。 A组　基础巩固 1．（多选）下列各组中，p是q的充要条件的是（　　） A．p：x＝0，q：x²＝0 B．p：两个三角形全等，q：两个三角形面积相等 C．p：a＞0且b＞0，q：a＋b＞0且ab＞0 D．p：|a|＝a，q：a≥0 2．若−2≤x≤2，则x²≤a成立的充要条件是（　　） A．a≤4　　B．a≥4　　C．a＜4　　D．a＞4 3．设有非空集合A、B、C，若"aA"的充要条件是"aB且aC"，则"aB"是"aA"的（　　） A．充分非必要条件　　B．必要非充分条件　　C．充要条件　　D．既非充分又非必要条件 4．若x，yR，则"x＞y"的一个充分不必要条件可以是（　　） A．|x|＞|y|　　B．x²＞y²　　C．x＞y＋1　　D．x＞y－1 5．"1－x＜0"成立的一个必要不充分条件是（　　） A．x＞1　　B．x＞0　　C．x＞2　　D．0＜x＜1 6．使"a＜b"成立的一个充分不必要条件是（　　） A．a＜b＋1　　B．a＜b－1　　C．|a|＜|b|　　D．a²＜b² 7．（多选）下列说法正确的是（　　） A．若p是q的充要条件，则q也是p的充要条件 B．若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件 C．"x＞2"是"x²＞4"的充要条件 D．"a＝0"是"ab＝0"的充分不必要条件 8．命题"x≥2是x＞m的必要不充分条件"是假命题，则m的取值可能是（　　） A．1　　B．2　　C．3　　D．4 B组　能力提升（★） 9．（解答题）求证：关于x的方程ax²＋2x－1＝0（a0）有两个不相等的实数根的充要条件是a＞－1且a0。 10．已知A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若"xA"是"xB"的充分不必要条件，则a的取值范围是（　　） A．a≤2　　B．a≥2　　C．a＜2　　D．a＞2 11．设p：≤x≤1，q：a≤x≤a＋1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是＿＿＿＿＿＿。 参考答案与详解 1．ACD。A项：x＝0x²＝0（真），x²＝0x＝0（真），充要，选。B项：全等面积相等（真），但面积相等全等（等底等高不同形状的两三角形为反例），只充分不必要，不选。C项：a＞0且b＞0a＋b＞0且ab＞0（真）；反过来a＋b＞0且ab＞0，由ab＞0知a、b同号，又a＋b＞0排除同负，故同正（真），充要，选。D项：|a|＝a当且仅当a≥0，充要，选。 2．B。"−2≤x≤2时x²≤a恒成立"，需a不小于x²在[−2,2]上的最大值。x²在[−2,2]上最大值为4（在x＝±2处取得），故充要条件是a≥4。选B。（若a＜4，则x＝2时x²＝4＞a，不成立；a≥4时对所有−2≤x≤2都有x²≤4≤a，成立——这正是"当且仅当"。） 3．B。由题意"aA""aB且aC"，即A＝B∩C，所以AB。判断"aB"是"aA"的什么条件：aAaB（因AB，真），即"aB"是"aA"的必要条件；反过来aBaA（B中元素未必在A中，因A是B∩C可能更小，假）。正推（以aB为p、aA为q，正推是aBaA）假、反推（aAaB）真，必要非充分。选B。 4．C。"x＞y的充分不必要条件"即该条件能推出x＞y、但x＞y推不出它。A项|x|＞|y|与x＞y互不推出（x＝−3、y＝1时|x|＞|y|但x＜y）；B项x²＞y²同理；D项x＞y−1是x＞y的必要不充分条件（x＞yx＞y−1，反之不成立）；C项x＞y＋1x＞y（真，因y＋1＞y），而x＞yx＞y＋1（x＝y＋0.5为反例），正真反假，充分不必要。选C。 5．B。"1−x＜0"即x＞1。求它的"必要不充分条件"，即找一个条件M，使"x＞1M"成立（M必要）但"Mx＞1"不成立（M不充分）——也就是M对应的集合真包含{x|x＞1}。A项x＞1与原条件等价，是充要，不选；C项x＞2是x＞1的充分不必要（范围更小），不选；D项0＜x＜1与x＞1无交集，不选；B项x＞0：x＞1x＞0（真），x＞0x＞1（x＝0.5为反例，假），{x|x＞1}{x|x＞0}，是必要不充分条件。选B。 6．B。"a＜b的充分不必要条件"即能推出a＜b、a＜b推不出它。A项a＜b＋1是a＜b的必要不充分（a＜ba＜b＋1，反之不成立）；C、D项绝对值与平方和a＜b互不推出；B项a＜b−1a＜b（真，因b−1＜b），a＜ba＜b−1（a＝b−0.5为反例，假），充分不必要。选B。 7．ABD。A项充要条件对称，正确。B项若pq且qp（p充分不必要），则以q为条件、p为结论：qp、pq，即q是p的必要不充分条件，正确。C项x＞2x²＞4（真），但x²＞4x＞2或x＜−2，取x＝−3满足x²＞4但不满足x＞2（假），只充分不必要，不是充要，C错。D项a＝0ab＝0（真），ab＝0a＝0（可能b＝0而a0，假），充分不必要，正确。故选ABD。 8．A。由"x≥2是x＞m的必要不充分条件"，得m≥2；则由命题"x≥2是x＞m的必要不充分条件"是假命题，得m＜2。所以m的取值可能是1。故选A。 9．证明：分两步。 充分性（a＞−1且a0 方程有两个不相等的实数根）：因a0，方程ax²＋2x−1＝0是一元二次方程。判别式Δ＝2²−4·a·(−1)＝4＋4a＝4(1＋a)。因为a＞−1，所以1＋a＞0，Δ＝4(1＋a)＞0，故方程有两个不相等的实数根。充分性得证。 必要性（方程有两个不相等的实数根 a＞−1且a0）：方程有两个不相等的实数根，说明它是一元二次方程，故a0；且判别式Δ＞0，即4(1＋a)＞0，解得a＞−1。所以a＞−1且a0。必要性得证。 综上，原命题成立。（采分点：分两步、每步标明方向、a0与Δ＞0两个条件都不能漏。） 10．B。p是q的充分不必要条件即AB。A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}。要AB，需A中所有元素小于a，A的右端逼近2，故a≥2；a＝2时B＝{x|x＜2}，A＝{x|1＜x＜2}B且AB（B含更多元素，如x＝0），是真子集，成立。a＜2时（如a＝1.5）A中的x＝1.8不满足x＜1.5，AB。故a≥2，选B。（B是无限区间、A是有限区间，两者不可能相等，真子集的"真"自动满足，只需a≥2。） 11．0≤a≤。p是q的充分不必要条件即AB，A＝{x|≤x≤1}、B＝{x|a≤x≤a＋1}。要AB：需a≤且a＋1≥1，即a≤且a≥0，得0≤a≤。真子集：A的长度为、B的长度为1，长度不同，A、B永远不可能相等，真子集自动满足。故a的取值范围是0≤a≤。（采分点：翻译成AB、由包含列出0≤a≤、说明因长度不同真子集自动成立。） 学科网（北京）股份有限公司 $