专题2.3 解直角三角形的应用（举一反三讲义）数学新教材湘教版九年级上册

本讲义聚焦解直角三角形的应用这一核心知识点，系统梳理从实际问题抽象为数学模型、选用锐角三角函数求解、回归实际问题的完整步骤，通过仰角俯角测高度、坡度坡比求坡长等14个题型构建学习支架，覆盖测量高度、距离等现实应用场景。 该资料以丰富题型和生活实例为特色，如测量观星台高度培养用数学眼光观察现实世界，方位角航行问题发展数学思维中的推理能力，无人机航拍测距强化用数学语言表达实际问题。例题与变式结合的设计，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺。

专题2.3 解直角三角形的应用（举一反三讲义） 【新教材湘教版】 题型归纳 【题型1 仰角俯角测高度】 2 【题型2 坡度坡比求坡长】 4 【题型3 方位角航行与定位距离】 6 【题型4 测量河宽或距离】 8 【题型5 梯子靠墙求高度】 10 【题型6 旗杆或塔高测量】 12 【题型7 隧道长度计算】 15 【题型8 视线遮挡问题】 16 【题型9 影子长度求物高】 18 【题型10 无人机航拍测距】 21 【题型11 物理实验问题】 23 【题型12 山坡上树高测量】 25 【题型13 实物建模问题】 26 【题型14 方案设计问题】 28 考点1 解直角三角函数的应用 知识点 解直角三角形在实际问题中的应用 1. 利用解直角三角形解决实际问题的步骤： （1）将实际问题抽象为数学问题，即画出平面图形，转化为解直角三角形的问题； （2）根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案． 2. 常见类型 （1）仰角、俯角 当视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫做仰角；当视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫做俯角． 如图（1）所示，OC 为水平线，OD为铅垂线，OA，OB 为视线，我们把称为仰角，称为俯角． 图（1） 图（2） （2）方位角 正北方向或正南方向与目标方向所形成的小于90°的角叫做方位角． 如图（2）所示，OA所表示的方位角是北偏东55°，OB 所表示的方位角是南偏东45°，OC所表示的方位角是南偏西70°，OD所表示的方位角是北偏西30°． （3）坡度、坡角 坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i，即，坡度通常写成的形式． 坡面与水平面的夹角叫坡角（或倾斜角），记作，于是有． 【题型1 仰角俯角测高度】 【例1】（2026·河南漯河·二模）河南登封的观星台是元代天文学家郭守敬主持建造的天文观测台的遗址，台体为砖石结构．小明在水平地面上测量观星台的高度． 活动主题 测量观星台的高度 实物图和测量示意图 测量过程及数据 小明眼睛距离地面米，如图，他在点处用眼睛观测到观星台顶部的仰角为，然后沿水平方向向观星台走近米到达点，此时用眼睛观测到顶部的仰角为．已知图中各点均在同一铅垂面内，且观星台底部与点，在同一水平面上． 根据以上信息，解决下列问题． (1)求观星台的高．（结果精确到米，参考数据：） (2)假设（1）中得到的高度是准确的，小明按照同样方法又测量了一遍，他在点处用眼睛观测到观星台顶部的仰角为，沿水平方向向观星台前进了米，此时用眼睛观测到顶部的仰角为． ①求与的函数关系式；（式中的数精确到） ②小明发现，当仰角大于时，由于抬头过高，不利于观测，为了保证观测效果，他应该至少距离观星台底部多远？（结果精确到米） 【变式1-1】（2026·山西太原·一模）项目化学习 项目背景：雁丘园是太原市政府以金末元初文学家元好问的《摸鱼儿·雁丘词》为灵魂，打造的古建筑群，其核心建筑“好问堂”高耸于汾河畔．综合实践小组的同学围绕《“好问堂”的测量与计算》开展项目学习活动． 方案设计：如图，观察员在“好问堂”左侧道路旁的地面点C处进行观察，并测得“好问堂”顶部点A的仰角；观察员调整位置，在园区内点D处再次观察，并测得点A的仰角． 数据应用：经测量点C处测得点A的仰角为；在点D处测得点A的仰角为，已知图中各点均在同一竖直平面内，点C与点D的竖直方向高度差米，点C与点D的水平距离为31米．请根据上述数据，计算“好问堂”顶部A点到地面的距离的高度．（结果精确到1米．参考数据： ，，，，，）． 【变式1-2】（2026·山东聊城·一模）如图所示，、处有两架固定机位的无人机，位于的正上方，在处观察的仰角为，为使演出效果最佳，需要调整处无人机的位置，当上升米到达处时测得的仰角为，测得的仰角为． (1)求与之间的距离； (2)求处两架固定机位的无人机的距离． 【变式1-3】小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底处出发，向前走米到达处，测得树顶端的仰角为，他又继续走下台阶到达处，测得树的顶端的仰角是，再继续向前走到大树底处，测得食堂楼顶的仰角为，已知点离地面的高度米，，且三点在同一直线上． (1)求树的高度； (2)求食堂的高度． 【题型2 坡度坡比求坡长】 【例2】（2026·广东广州·一模）某学校计划修建地下车库，一数学兴趣小组根据《车库建筑设计规范》与所学知识，为学校地下车库设计并绘制了入库坡道示意图（如图），相关信息如下： （i）直线主坡道的水平距离为，坡度为0.12； （ii）左、右两段缓坡道为，，水平距离均为； （iii）和车库地面均与水平方向平行． 已知坡度，试根据上述信息解决以下问题： (1)求主坡道的铅直高度； (2)根据《车库建筑设计规范》：缓坡道坡度为主坡道坡度的，坡道的最小净高不低于．（坡道的净高为车库上方横梁到坡道的垂直距离） ①求车库高度； ②若，判断该坡道的最小净高是否符合设计规范，并说明理由． 参考数据：当时，，． 【变式2-1】（2026·海南省直辖县级单位·二模）有一座过街天桥如图所示，天桥高为6米，坡面的坡度为，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为． (1)求新坡面的坡角； (2)原天桥底部正前方7米处（的长）有一文化墙，若新坡面下处与文化墙之间需留下至少3米宽的人行道，问文化墙是否需要拆除？请说明理由．（约为）． 【变式2-2】（2026·河南洛阳·三模）如图，一儿童游乐场滑道的坡角为（即），从安全角度考虑要降低坡角，变成新滑道．小明实地测量后得到点到水平地面的垂直距离为4.8米，也为4.8米． (1)求修改后的滑道的坡角比修改前滑道的坡角减缓了多少度； (2)求修改后新滑道的底部与修改前滑道的底部之间的距离．（结果精确到0.1米．参考数据：，，） 【变式2-3】（2026·新疆乌鲁木齐·一模）综合与实践：山坡绿化与节水灌溉设计 活动背景 为响应“建设美丽校园”的号召，学校计划在校园的小山坡两侧分别种植树木和草皮，并采用滴灌系统进行节水灌溉．数学兴趣小组的同学在老师的指导下，开展了方案设计与实地测量． 活动一：设计测量坡角方案 如图1，同学们在山坡上安装了一个简易测角仪．支架垂直于斜坡，铅垂线自然下垂，垂直于水平线．测得的度数即为坡角的度数． 活动二：设计滴灌管道方案 如图2，为了实施节水灌溉，他们决定从坡底沿小山坡两侧分别铺设水管至山顶，形成“人”字形管道．已知左侧从点A到山顶B共种植了13棵树，且每两棵树之间的水平距离为5.5米，测得左侧坡角； 右侧从点C到山顶B种植，测得右侧坡角． 请你完成下列任务 (1)请证明“活动一”中； (2)请你帮助同学们计算铺设两侧水管的总长度．（参考数据： ） 【题型3 方位角航行与定位距离】 【例3】（2026·河北廊坊·一模）如下图，两条互相垂直的道路m，n交于点M，道路m上有相距的A，B两个观察点，同时观察到道路n上有一辆汽车C．此时汽车C位于观察点B的北偏东方向上，位于观察点A的北偏东方向上． (1)求C到M的距离； (2)汽车C突然加速，后到达点D，位于观察点B的北偏东方向上．问汽车C是否超速？（限速，） 【变式3-1】（2026·重庆·模拟预测）为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，、、、在同一平面内，、是瞭望台，已知位于的北偏东方向，某一时刻，无人机甲位于处巡查，位于的北偏东方向400米处，位于的北偏西方向米处，重点监测点位于的正东方向且位于的南偏东方向上．（参考数据：，，，） (1)求的长度（结果保留根号）； (2)无人机甲、乙同时分别从，出发沿，往处进行巡视，甲无人机速度为乙无人机速度的3倍．当两无人机相距300米时，它们可以进行数据共享．请问无人机乙飞离处多少米时，两无人机可以进行数据共享（结果保留小数点后一位）？ 【变式3-2】（25-26九年级上·重庆·期末）如图，四边形是彩云湖公园的环湖步道，点，，，在同一平面内，经测量，点在点的南偏东方向，且、两地相距900米，点在点的北偏东方向，点在点的北偏东方向，点在点的北偏西方向．（参考数据：，，） (1)求两地的距离（结果保留根号）； (2)小育从点出发沿慢跑到终点，同时小才从点出发，沿步行到终点，当小育跑到一半时，两人的直线距离与小才到点的距离之比为，求此时小才与点的距离（结果保留一位小数）． 【变式3-3】（2026·安徽阜阳·三模）小明家计划“春假”去郊外游玩，小明爸爸从平面地图上查看四处景点，，，的位置，如图，点在点的北偏东方向上，从点测得点和点分别在北偏东方向和南偏东方向上，已知点在点的正北方向处．小明家计划先从景点到景点游玩，再从景点到景点游玩，请你帮助小明计算小明家游玩路线长．（结果取整数，参考数据：，，） 【题型4 测量河宽或距离】 【例4】（2026·辽宁鞍山·三模）小伟和小华想用所学数学知识测量小河的宽．测量示意图如图所示，他们在河边的山坡上的点C处安装测角仪，测得河对岸点A的俯角α为，与的夹角β为，又测得点C与河岸点B之间的距离为．已知，点A，B，C，D，M，N在同一平面上，点A，B，N在同一水平直线上，且．求河宽．（参考数据：，，，，，） 【变式4-1】（25-26九年级上·湖南株洲·期末）小伟和小华想用所学数学知识测量小河的宽，测量示意图如图所示，他们在河边的山坡上的点C处安装测角仪，测得河对岸点的俯角为，测角仪与的夹角为，又测得点C与河岸点B之间的距离为，已知，，点A，B，C，D，E，M，N在同一平面上，点A，B，N在同一水平直线上，且于点E． (1)求点C到直线的距离的长； (2)求河宽． 【变式4-2】（2026·山西阳泉·三模）问题情境： 汾河是黄河的第二大支流．汾河景区内的河面宽度在至左右，景区北起上兰漫水桥，南至迎宾桥南，全长．汾河的宽度在不同河段有所不同． 测量计算： 如图，某河段的汾河两岸互相平行．甲、乙两同学分别站在河东岸的A，B处观察河西岸的某景观建筑物．甲同学测得该建筑物一端C在A处的北偏西的方向上，乙同学测得该建筑物另一端D在B处的南偏西的方向上．已知A，B两点相距，图中各点均在同一平面内，点A，B在同一条直线上，测得景观建筑物两端点C，D之间的距离为，求此段汾河的河宽．（结果精确到；参考数据：，） 【变式4-3】（2026·河南平顶山·三模）数学兴趣小组开展“测量一条河流宽度”的综合实践活动，经过实地调研，兴趣小组制订了如下两种测量方案． 测量示意图 方案说明 方案一    如图1，小组成员在河边斜坡上的点处竖直安装测角仪，测得河对岸点处的俯角为．已知斜坡的坡比为，，，图中所有点均在同一竖直平面内，点，在同一水平线上． 方案二    如图2，小组成员将无人机从点处竖直向上飞行至点处，再沿水平方向飞行至点处，在点处测得点的俯角为，点的俯角为 ．已知 ，图中所有点均在同一竖直平面内，点，在同一水平线上． 请你从两种方案中选择一种，计算河流的宽度．（结果保留整数．参考数据：，，，，，，，，） 【题型5 梯子靠墙求高度】 【例5】（2026·广东惠州·二模）综合与实践 【实验背景】 某中学数学小组开展“梯子安全使用”实验活动．通过查阅资料，结合学校地面与墙面的实际情况，经多次实验得出结论：要想安全使用梯子，梯子与地面所成的锐角一般满足（角度过小易滑倒，过大易倾倒）．下表是小组在研究活动中的一份测量记录表． 【实验记录】 测量次数 梯子长度 梯子底端到墙脚的水平距离 梯子顶端到墙脚的垂直高度 梯子与水平面的夹角 安全判定（是/否） 第1次 是 第2次 第3次 否 【实验探究】 (1)补全表格中第2次测量的信息． (2)在保证安全的情况下，求长度为的梯子底端到墙脚的距离的取值范围． (3)在一次使用中，初始放置时，长度为的梯子的底端距墙脚，根据使用需求，要将梯子顶端下移，此时它的底端向外移动多少米？并判断移动后是否仍符合安全使用要求？（精确到） 参考数据：，，，，，， 【变式5-1】如图（1）是一架踏板式人字梯，图（2）是其侧面抽象示意图，是攀爬梯，是支撑梯．在攀爬梯上焊接了块宽度相同的踏板，当梯子完全撑开时，踏板均平行于水平地面，且相邻两块踏板之间的竖直距离及地面与最低一层踏板之间的竖直距离均为，最上面一层踏板正好可以连接两边的梯子与．已知． (1)求这架人字梯的张角的大小； (2)求人字梯的最高点到水平地面的距离．（结果精确到)（参考数据：，，，） 【变式5-2】（2026·河南三门峡·三模）如图，一架梯子斜靠在墙上，墙与地面的夹角，当时，端点A离地面的高度为，将梯子底部端点B水平向左移动到点，端点A沿墙竖直向上移动到点，此时，则的长可以表示为_________． 【变式5-3】（25-26九年级上·山东泰安·期中）根据题中所给的素材，完成下面的任务． 换房间的灯泡 素材1 房间内的灯泡到地面的距离为． 素材2 现有一架家用可调节式脚踏人字梯，其中踏板，地面都是水平的，梯子的侧面简化结构如图所示，左右支撑架长度相等，，设梯子一边与地面的夹角为，且可调节的范围为． 素材3 当时，电工站在梯子安全挡中最高一挡踏板上的最大触及高度为． 示意图    任务1 当时，求踏板离地面的高度．（精确到） 任务2 调节角度，试判断电工是否可以换下灯泡，并说明理由．（参考数据：，，，） 【题型6 旗杆或塔高测量】 【例6】（2025·贵州黔东南·一模）综合与实践．在数学活动课中，老师组织同学们分小组测量学校旗杆的高度（学校旗杆底部有基座，经测量，基座高于运动场水平面米）确定以下两种测量方案． 课题 测量学校旗杆高度 成员 组长：××  组员：×××，×××，××× 测量方案 标杆方案 测角仪方案 测量示意图 卷尺、标杆    卷尺、可调节支架的测角仪    实施过程 ①选取运动场与旗杆相距一定距离的处； ②在处站直看旗杆顶，调整标杆位置，使标杆顶点与旗杆顶点在同一视线上； ③测量，的距离，测量人眼到地面高度、标杆的长度． ①在运动场与旗杆底部相距一定距离的处，调整测角仪支架高度，使与旗杆底部位于同一水平高度； ②测量旗杆顶的仰角； ③沿方向前移至处，再次测量杆顶的仰角； ④测量距离． 测量数据 ①；②； ③；④． ①；②； ③． 备注 ①图上所有点均在同一平面内； ②，均与地面垂直； ③旗杆底部基座与运动场的高度差． ①图上所有点均在同一平面内； ②参考数据：，，． (1)任务一：说明以上两种方案各自运用的数学知识：“标杆方案”运用的知识是_________，“测角仪方案”运用的知识是_________．（请在下列选项中选择一个填入横线中） ①全等三角形；②相似三角形；③锐角三角函数；④勾股定理． (2)任务二：根据以上测量结果，任意选择一种方案，计算旗杆的高度（结果精确到），并说明你选择该种方案的理由． 【变式6-1】（2025·湖南长沙·模拟预测）在校园科技节中，小星和小麓设计了“制作测角仪，测量旗杆高度”的探究活动．如图，小星在处测得旗杆顶端的仰角为，小麓在处测得旗杆顶端的仰角为，已知两人所处位置的水平距离米，处距地面的垂直高度米，处距地面的垂直高度米，点在同一条直线上． (1)求的长度； (2)求旗杆的高度．(结果保留根号) 【变式6-2】（2024·浙江杭州·一模）图1是某景区塔，图2是它的测量示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是塔高所在的直线．为了测量塔高，在地面上点测得塔顶的仰角为，继续向前走22米到达点，又测得塔顶仰角为，此时恰好共线，若塔顶底部米，与交于点（）在同一水平线上，参考数据：） (1)求塔尖高度． (2)若塔身与地面夹角的正切值为6（即），则还需要往前走多少米到达塔底处（精确到米）． 【变式6-3】（2026·安徽合肥·一模）某山林瞭望塔建在山坡上，用于观测火情或特殊目标．山坡的坡度为，坡长为26米，瞭望塔高3米，塔顶为观测点．巡山员在将某信号弹从地面点垂直发射前，在观测点测得点的俯角为37°，发射3秒后，测得信号弹升至处的仰角为53°，请根据以上数据，估算巡山员发射的信号弹平均垂直上升速度．（参考数据：，，） 【题型7 隧道长度计算】 【例7】（2026·安徽宿州·二模）如图，工程队用无人机测量一段隧道的长度，无人机在空中C点测得，点A的俯角为，再将无人机沿方向飞行至点D处，测得点B的俯角为，已知，求隧道的长度．（参考数据：，．） 【变式7-1】（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图是某地下停车库入口的设计示意图，延长与交于点，坡道的坡比是指坡面的铅直高度与水平宽度的比，已知米，米． (1)请求出的长； (2)按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，试确定该车库入口的限高数值（即点到的距离）． (3)为保障安全，车辆顶部到隧道顶部至少保留米的安全距离，现有一辆货车装满货物后高度为米，通过计算判断这辆货车能否驶入该隧道_____（填“能”或“不能”）； 【变式7-2】（2026·安徽蚌埠·三模）如图，某施工队需要在一座小山开挖隧道，为了计算成本，需要获得，两点的距离．由于无法直接测量，施工队先在小山附近选取一点，测得为700米，为1500米，．求，两点的距离．参考数据：，，． 【变式7-3】（2026·湖南益阳·二模）我国古代数学家刘徽在《海岛算经》中记载了利用“重差术”测量物体高度的方法．某高铁路段隧道施工中，工程人员利用该原理测量接触网支架高度，其纵截面的示意图如下：四边形为接触网支架的主体，四边形为接触网支架的底座．连接，已知，测得，，，，底座高．（参考数据：，，，，） (1)求的长（结果精确到）； (2)求点到地面的距离（结果精确到）． 【题型8 视线遮挡问题】 【例8】（25-26九年级上·浙江金华·期末）小聪为测量河对岸大楼的高度，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1． 测量方法：如图2，人眼在P点观察所测物体最高点C，量角器零刻度线上A，B两点均在视线上，将铅锤悬挂在量角器的中心点O．当铅锤静止时，测得视线与铅垂线所夹的角为α，此时的仰角为β． 实践操作：如图3，小聪利用上述工具测量河对岸大楼的高度．他先站在水平地面的点H处，视线为，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为；然后他向前走12米站在点R处，视线为，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为． 问题解决： (1)请用含α的代数式表示仰角β． (2)如果，，在同一平面内，小聪的眼睛到水平地面的距离为米，求大楼的高度．（结果保留根号） 【变式8-1】（2026·浙江杭州·一模）汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域． 如图①，驾驶员的眼睛位于点处，和为驾驶员看向汽车两侧的视线，，为汽车两侧的盲区截面图． 图②为示意图，已知视线与地面的夹角，视线与地面的夹角，点分别为与车窗底部的交点，，，，垂足分别为． (1)求盲区中线段的长． (2)已知点在线段上，在处有一个高度为的障碍物，驾驶员能看到障碍物吗？请说明理由．（参考数据：，，，）． 【变式8-2】（2026·安徽合肥·二模）某综合实践小组围绕“校园内校徽高度的测量与计算”开展了项目式学习的实践活动，形成了如下实验报告． 项目主题 校徽高度的测量与计算 活动任务 如何测量校园内教学楼上方的校徽的高度 活动过程 方案说明 ．工具准备：测角仪、卷尺等． ．测量过程：如图，在教学楼正前方的水平地面上，有一棵大树（大树与教学楼均垂直于水平地面），大树底部为点，顶端为点． （1）学生甲站在与教学楼底部、大树底部共线的水平地面处，由于大树的遮挡，视线恰能看到悬挂的校徽的顶部的点，当学生甲的视线与大树顶端，校徽顶部三点共线时，学生乙和丙同时测量，两点与，两点间的距离、学生甲的眼睛处看校徽顶部的仰角； （2）学生甲沿直线向后退至点处时，视线恰能看到校徽的底部点，当学生甲的视线与大树顶端，校徽底部三点共线时，学生乙和丙同时测量，两点间的距离、学生甲的眼睛处看校徽底部的仰角． ．测量图示：   数据测量 ，，米，米，米，，，，均与地面垂直． 计算 … 请根据上述实验过程与测量数据，计算校徽的长度．（精确到米，参考数据：，，，，，） 【变式8-3】如图，、区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线与地面的夹角，视线与地面的夹角，点A，F为视线与车窗底端的交点，，，．若点A到点B的距离． (1)求的长度； (2)求的长度． 【题型9 影子长度求物高】 【例9】（25-26九年级上·安徽亳州·阶段检测）综合与实践 【项目主题】某数学兴趣小组的同学们准备研究并制作中国古代用于测量太阳影子长度的天文仪器——圭表． 【项目准备】 ①小组内同学协同制作了如图1所示的圭表，直立于平地上测日影的标杆，叫作表；正南正北方向平放的测定表影长度的刻板，叫作圭．通过观察记录这根杆正午时影子的长短变化来确定季节和节气的变化．夏至日影子最短，冬至日影子最长． ②秋分时，表的影子的长度等于夏至和冬至影子的长度的平均值． ③如图2，为同学们制作的表，，的长度为，为圭．经查阅资料，夏至时太阳光线与水平地面的夹角为，冬至时太阳光线与水平地面的夹角为． 参考数据：，，，，，． 【项目任务】 任务一：（1）求的长度． 任务二：（2）求秋分时，表的影子的长度． 任务三：（3）秋分正午时，该小组的同学测得旗杆的影子在水平地面上的长度为，求旗杆的长度． 【变式9-1】学校某班开展数学“综合与实践”测量活动．有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线的距离皆为．小王同学观测到高度矮圆柱的影子落在地面上，其长为；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题： (1)已知小王同学的身高为，且此刻她的影子完全落在地面上，则她的影子长为多少？ (2)若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为，则高圆柱的高度为多少？ 【变式9-2】（2026·河南南阳·二模）小刚家准备购买一套新楼房，要求楼层是一楼，位置在第二排，冬天采光不受第一排的影响．以下是小刚和爸爸看房后完成的调查报告． 调查目的 居民楼一楼采光是否受到影响 调查数据 ①五一正午测得楼房影子的长度为，楼间距为，太阳光线与水平线的夹角为． ②一楼窗户下端距离地面的高度为． ③该小区冬至正午的太阳光线与水平线的夹角为，第一排楼房的影子会落在第二排楼房的墙上． 建立模型 小刚同学根据调查数据画出了数学图形．如图，，，，，，． 备注 点A，B，C，D，E在同一平面内 参考数据：． 请你根据报告中的信息，解决以下问题． (1)根据调查数据，请你计算楼房的高度（精确到）； (2)计算在冬至正午第一排楼房影子落在第二排楼房墙上的高度（精确到）； (3)判断会不会影响一楼的采光，并说明理由． 【变式9-3】（2026·上海闵行·三模）根据以下素材，探索完成任务． 探究遮阳伞下的影子长度 素材1 图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．已知支架长为2.5米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的4倍．当伞面完全张开时，点，，始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直．    素材2 某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度角（度） 90 75 60 45 30 15 素材3 小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面的距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点． 问题解决： (1)任务1（确定影子长度）：若某一时刻测得米 ① 米， ； ②求此时影子的长度． (2)任务2（判断是否照射到）：这天14点，小明坐在离支架3米处的点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？并说明理由 【题型10 无人机航拍测距】 【例10】（25-26九年级上·重庆江北·期末）2025年6月17日，“魅力重庆”无人机灯光秀以11787架无人机，获得吉尼斯世界纪录“最多无人机组成的空中图案”的称号．为保证表演的顺利进行，有关部门分别在弹子石的点、朝天门的点、江北嘴的点和北滨路的点使用反制无人机压制干扰信号．经测量，在的北偏东方向，在的东南方向1200米处，在的北偏东方向，在的北偏西方向，且在的正北方向，与交于点．（参考数据：，，） (1)求，两点的距离；（结果保留根号） (2)表演过程中，有甲、乙两架无人机在人群上空巡航，它们同时从点出发，前往点．甲无人机的巡航路线：，速度为30米／分；乙无人机的巡航路线：，速度为40米／分．请通过计算说明甲乙两架无人机哪一架先到达点．（结果保留整数） 【变式10-1】（25-26九年级上·河北沧州·期末）如图，嘉嘉在公园里练习无人机的使用，他在处操作无人机起飞，飞至点处静止，此时从处测得无人机的仰角为，嘉嘉向西走了 到达处，此时测得无人机的仰角为． (1)的度数为_____； (2)求无人机飞至点时距地面的高度； (3)若无人机从点处沿射线的方向飞行一段时间后，到达点处．此时，从处测得无人机的仰角为，求无人机在处时到点处的距离． 【变式10-2】（2026·河南平顶山·三模）如图1是小明家小区内的一个观景湖，小明准备用无人机测量这个湖的东西长度．如图2，小明在湖正西岸边处控制无人机，当无人机飞到湖面上空处时，无人机高度为，无人机观测到湖正东部处的俯角为，小明仰头观测无人机的仰角为，他的眼睛距地面（即）为．已知，，，均在同一平面内，求观景湖的东西长度的长．（结果精确到．参考数据：，，） 【变式10-3】（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）在课堂上，同学们已经学习了一些测量距离的方法．小刚想尝试利用无人机测量一河某处的宽度．如图所示，小刚站在河岸一侧的点操控无人机，操纵器距地面距离米，在河对岸安放了一标志物点，无人机在点正上方的点，无人机的飞行速度为米秒，无人机匀速水平飞行秒到达点，此时，小刚手里的操纵器测量无人机的仰角为，然后无人机又继续以同样的速度水平飞行秒到达点，测得点的俯角为（点，，，，，在同一平面内） (1)______米，______； (2)求无人机的飞行高度； (3)求河宽的距离．（参考数据：，，） 【题型11 物理实验问题】 【例11】（24-25九年级下·江苏淮安·阶段检测）无动力帆船是借助风力前行的．如图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为，风对帆的作用力 F为．根据物理知识，F可以分解为两个力与，其中与帆平行的力不起作用，与帆垂直的力又可以分解为两个力与，与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：，则______．（单位：N）（参考数据：）. 【变式11-1】（2025九年级·全国·专题练习）跨物理学科  如图是潜望镜工作原理的平面示意图，一条平行光线经镜面反射到后得到光线，且，虚线为光线的反射轨迹．若测得两条平行光线间的距离为，虚线的长为2，则虚线与所夹钝角的度数为_____． 【变式11-2】（2026·湖南衡阳·二模）如图1，在物理兴趣课上，老师演示了“尺子挂锤子”的平衡实验．同学们将实验装置抽象成如图2所示的几何模型．已知直尺斜靠在桌边，悬绳（A，B，C在同一直线上）的上端A点与桌边接触点D的连线，垂直于直尺下边，其中．请根据以上信息，求的长．（结果保留一位小数．参考数据：，，，，，） 【变式11-3】（2025·湖南·模拟预测）某学习小组在物理实验结束后，利用实验装置探究几何测量问题． 课题 探究物理实验装置中的几何测量问题 成员 组长：×××　组员：×××，×××，××× 实验工具 木块、测角仪、皮尺、摄像机等 测量方案 示意图 方案一 (已知 方案二 (已知 说明 点为摄像机的位置，小车从同一斜面上相同高度处，由静止开始沿斜面下滑，点为小车从斜面到达水平面的位置，点为木块的位置 测量 方案一 米，， 方案二 米，， 请选择其中一种方案计算出摄像机机位到小车行驶轴线的竖直距离．(结果精确到米，参考数据：，，) 【题型12 山坡上树高测量】 【例12】（2026·安徽宣城·二模）综合与实践小组的同学把“测量风力发电叶片长度”作为一项课题活动，并完成任务．如图，风力发电机组的底部在一个山坡顶上，沿山坡向下走了到达点处，在点设置高为的测量台，假设A，B，C三点在同一竖直线上．已知和均与水平线垂直，测得：①山坡上点与点在同一个水平线上，且；②；③；④图中各点均在同一平面上，求叶片的长度．（结果精确到．参考数据：，，，，，） 【变式12-1】（2026·江苏徐州·一模）为了参加数学课的综合与实践小组活动，几位同学在周末前往本地公园山坡上测量一个信号杆的高度．测量示意图如图所示，山坡的倾斜角等于，当太阳的仰角是时，信号杆在山坡上的影子的长是米，求信号杆的高．（精确到）（参考数据：，，） 【变式12-2】如图，某高为60米的大楼旁边的山坡上有一个“5G”基站，从大楼顶端测得基站顶端的俯角为，山坡坡长米，坡度，大楼底端到山坡底端的距离米，则该基站的高度______米． 【变式12-3】如图，小王在山坡上E处，用高1.5米的测角仪EF测得对面铁塔顶端A的仰角为25°，DE平行于地面BC，若DE＝2米，BC＝10米，山坡CD的坡度i＝1：0.75，坡长CD＝5米，则铁塔AB的高度约是（　　）（参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47 ） A．11.1米 B．11.8米 C．12.0米 D．12.6米 【题型13 实物建模问题】 【例13】（2026·山东济南·一模）实物展示台是多媒体教室不可或缺的教学设备之一，把它连接在投影仪和电视机上时，就可以将资料、讲义、实物、幻灯片等清晰地展示出来．一台普通的实物展示台包括三个部分：摄像头、光源和台面．图1是一个实物展示台，图2、图3是其侧面抽象示意图．立柱且立柱垂直水平桌面．为摄像头，可绕点旋转，且． （参考数据： ） (1)当与水平桌面平行时，如图2，投影宽度，投影线，求摄像头的广角及的度数； (2)如图3，将绕点旋转，在旋转过程中摄像头的广角及的大小始终保持不变，当，求投影宽度的长（结果保留一位小数）． 【变式13-1】（2024九年级下·广东江门·学业考试）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线表示固定支架，垂直水平桌面于点O，点B为旋转点，可转动，当绕点B顺时针旋转时，投影探头始终垂直于水平桌面，经测量：，，，．（参考数据：，，，）如图2，，．求投影探头的端点D到桌面的距离． 【变式13-2】（2024·湖北宜昌·模拟预测）为提高中小学生午休质量，实现由“趴睡”变“躺睡”，某校新购了一批可躺式座椅（实物如图1所示），可适应坐直、躺睡两种状态，该椅子的凳面始终与地面保持平行．躺睡时，根据人体工学原理，当椅面与椅背夹角在左右时比较舒适．如图2，若腿托长为，椅面长为，椅背长为，，，请你求出此时座椅在地面的水平长度．（结果精确到0.1cm，参考数据：，，） 【变式13-3】（2025·辽宁本溪·模拟预测）平开窗是生活中常见的一种窗户，安装平开窗需要一种滑撑支架，如图是这种平开窗的实物展示图． 把上述实物图抽象成如示意图．已知滑撑支架的滑动轨道固定在窗框底边，固定在窗页底边，点B，C，D三点固定在同一直线上，当窗户关闭时，点E与点A重合，和均落在上；当点O向点B滑动时，四边形始终为平行四边形，其中，，．窗户打开一定角度后，与形成一个角．出于安全考虑，部分公共场合的平开窗有开启角度限制要求：平开窗的开启角度应该控制在以内（即）． (1)求滑动轨道的长度． (2)为符合安全规范要求，某公共场合的平开窗需在滑动轨道上安装一个限位器P，控制平开窗的开启角度，当点O滑动到点P时，则限位器P应装在离点A多远的位置？（结果保留根号） 【题型14 方案设计问题】 【例14】（2025·广东·中考真题）综合与实践 【阅读材料】 如图，在锐角中，，，的对边长分别为，，，则有．这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题． 【问题提出】万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地．某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意图，现需要知道湖中，两岛间的实际距离．由于地形原因，无法利用测距仪直接测量，该小组对这一问题进行了探究． 【方案设计】 工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）． 测量过程： 步骤1：如图，在空旷地找一点； 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得，； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得，． 【问题解决】 （1）请你利用【阅读材料】中的结论计算，两岛间的距离． （参考数据：，，） 【评价反思】 （2）设计其他方案计算，两岛间的距离．要求：选用【方案设计】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识． 【变式14-1】（24-25九年级上·福建福州·阶段检测）为了充分利用四边形余料，小明设计了不同的方案裁剪正方形，裁剪方案与数据如表： 方案设计 方案1 方案2 裁剪方案示意图 说明 图中的正方形AEFG和正方形MNPQ四个顶点都在原四边形的边上 测量数据 ，，，； 任务1：探寻边角 填空：________ ，________； 任务2：应用实践 通过计算比较正方形和正方形边长的大小． 【变式14-2】（25-26九年级下·宁夏吴忠·阶段检测）解决问题 方案名称 滑梯安全改造 测量工具 测角仪、皮尺等 方案设计 如图，将滑梯顶端拓宽为，使（，并将原来的滑梯改为．（图中所有点均在同一平面内，点B，C，E在同一直线上，点A，D，F，G在同一直线上） 测量数据 步骤一：利用皮尺测得滑梯的高度（）； 步骤二：在点F处用测角仪测得 步骤三：在点G处用测角仪测得 解决问题 调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求的长） （参考数据：，，，，，） 【变式14-3】（2024·甘肃·模拟预测）某学习小组在物理实验结束后，利用实验装置探究几何测量问题． 课题 探究物理实验装置中的几何测量问题 成员 组长：xxx  组员：xxx，xxx，xxx 实验工具 测角仪，皮尺，摄像机等 方案设计 方案一 方案二 测量方案 示意图 （已知） （已知） 说明 点P为摄像机的位置，小车从同一斜面上相同高度处由静止开始沿斜面下滑，点A为小车从斜面到达水平面的位置，点C为木块的位置． 测量数据 米，， ． 米，， ． 请选择其中一种方案计算出摄像机机位P到小车行驶轴线的竖直距离.（结果精确到0.1米，参考数据） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 解直角三角形的应用（举一反三讲义） 【新教材湘教版】 题型归纳 【题型1 仰角俯角测高度】 2 【题型2 坡度坡比求坡长】 8 【题型3 方位角航行与定位距离】 14 【题型4 测量河宽或距离】 20 【题型5 梯子靠墙求高度】 26 【题型6 旗杆或塔高测量】 31 【题型7 隧道长度计算】 38 【题型8 视线遮挡问题】 43 【题型9 影子长度求物高】 49 【题型10 无人机航拍测距】 57 【题型11 物理实验问题】 63 【题型12 山坡上树高测量】 68 【题型13 实物建模问题】 73 【题型14 方案设计问题】 78 考点1 解直角三角函数的应用 知识点 解直角三角形在实际问题中的应用 1. 利用解直角三角形解决实际问题的步骤： （1）将实际问题抽象为数学问题，即画出平面图形，转化为解直角三角形的问题； （2）根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案． 2. 常见类型 （1）仰角、俯角 当视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫做仰角；当视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫做俯角． 如图（1）所示，OC 为水平线，OD为铅垂线，OA，OB 为视线，我们把称为仰角，称为俯角． 图（1） 图（2） （2）方位角 正北方向或正南方向与目标方向所形成的小于90°的角叫做方位角． 如图（2）所示，OA所表示的方位角是北偏东55°，OB 所表示的方位角是南偏东45°，OC所表示的方位角是南偏西70°，OD所表示的方位角是北偏西30°． （3）坡度、坡角 坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i，即，坡度通常写成的形式． 坡面与水平面的夹角叫坡角（或倾斜角），记作，于是有． 【题型1 仰角俯角测高度】 【例1】（2026·河南漯河·二模）河南登封的观星台是元代天文学家郭守敬主持建造的天文观测台的遗址，台体为砖石结构．小明在水平地面上测量观星台的高度． 活动主题 测量观星台的高度 实物图和测量示意图 测量过程及数据 小明眼睛距离地面米，如图，他在点处用眼睛观测到观星台顶部的仰角为，然后沿水平方向向观星台走近米到达点，此时用眼睛观测到顶部的仰角为．已知图中各点均在同一铅垂面内，且观星台底部与点，在同一水平面上． 根据以上信息，解决下列问题． (1)求观星台的高．（结果精确到米，参考数据：） (2)假设（1）中得到的高度是准确的，小明按照同样方法又测量了一遍，他在点处用眼睛观测到观星台顶部的仰角为，沿水平方向向观星台前进了米，此时用眼睛观测到顶部的仰角为． ①求与的函数关系式；（式中的数精确到） ②小明发现，当仰角大于时，由于抬头过高，不利于观测，为了保证观测效果，他应该至少距离观星台底部多远？（结果精确到米） 【答案】(1)米 (2)①；②米 【分析】（1）设观星台高，则，由得，在中．结合，列方程，解得米； （2）①由正切定义得；②令，解方程得，再计算水平距离，得至少距离观星台底部米． 【详解】（1）解：由图可知，在中，， ∴， 设， 在中，， ∴， ∴． ∴，即 解得（米）； （2）解：①由（1）知，， ∵前进米后，对应仰角为， ∴， ∴， ②当仰角等于时，， ∴ 解得， ∴， 即他应该至少距离观星台底部米． 【变式1-1】（2026·山西太原·一模）项目化学习 项目背景：雁丘园是太原市政府以金末元初文学家元好问的《摸鱼儿·雁丘词》为灵魂，打造的古建筑群，其核心建筑“好问堂”高耸于汾河畔．综合实践小组的同学围绕《“好问堂”的测量与计算》开展项目学习活动． 方案设计：如图，观察员在“好问堂”左侧道路旁的地面点C处进行观察，并测得“好问堂”顶部点A的仰角；观察员调整位置，在园区内点D处再次观察，并测得点A的仰角． 数据应用：经测量点C处测得点A的仰角为；在点D处测得点A的仰角为，已知图中各点均在同一竖直平面内，点C与点D的竖直方向高度差米，点C与点D的水平距离为31米．请根据上述数据，计算“好问堂”顶部A点到地面的距离的高度．（结果精确到1米．参考数据： ，，，，，）． 【答案】28米 【分析】延长交于点F，分别过点C，F作的垂线，垂足分别为点G，H，则四边形，四边形，四边形均为矩形，在中，可得设米．在中，可得，在中， 可得，再由，即可求出x的值，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点F，分别过点C，F作的垂线，垂足分别为点G，H，则四边形，四边形，四边形均为矩形． 米，米，， 在中，，， ， 设米． 在中，，， ， ． 在中，，， ， ． ， ， ． 解得． （米） 答：“好问堂”顶部A点到地面的距离的高度约为28米． 【变式1-2】（2026·山东聊城·一模）如图所示，、处有两架固定机位的无人机，位于的正上方，在处观察的仰角为，为使演出效果最佳，需要调整处无人机的位置，当上升米到达处时测得的仰角为，测得的仰角为． (1)求与之间的距离； (2)求处两架固定机位的无人机的距离． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）过点作交过点的水平线于点，交过点的水平线于点，解，，表示出，根据建立方程，求得，进而即可求解； （2）由（1）可得，，依题意，，，根据，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作交过点的水平线于点，交过点的水平线于点， 依题意，，， 在中， 在中， ∴ 解得： ∴， 答：与之间的距离为米 （2）解：由（1）可得， 依题意， ∴ ∴米 答：处两架固定机位的无人机的距离为米 【变式1-3】小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底处出发，向前走米到达处，测得树顶端的仰角为，他又继续走下台阶到达处，测得树的顶端的仰角是，再继续向前走到大树底处，测得食堂楼顶的仰角为，已知点离地面的高度米，，且三点在同一直线上． (1)求树的高度； (2)求食堂的高度． 【答案】(1)米； (2)米． 【分析】（）设，根据直角三角形性质可得，，进而求得，然后依据，解得，即树的高度为米； （）延长交延长线于点，则，由（）知，，则，又，可得，从而求解． 【详解】（1）解：设， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴中，， 即，解得， ∴树的高度为米； （2）解：延长交延长线于点，则， 由（）知，， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴食堂的高度为米． 【题型2 坡度坡比求坡长】 【例2】（2026·广东广州·一模）某学校计划修建地下车库，一数学兴趣小组根据《车库建筑设计规范》与所学知识，为学校地下车库设计并绘制了入库坡道示意图（如图），相关信息如下： （i）直线主坡道的水平距离为，坡度为0.12； （ii）左、右两段缓坡道为，，水平距离均为； （iii）和车库地面均与水平方向平行． 已知坡度，试根据上述信息解决以下问题： (1)求主坡道的铅直高度； (2)根据《车库建筑设计规范》：缓坡道坡度为主坡道坡度的，坡道的最小净高不低于．（坡道的净高为车库上方横梁到坡道的垂直距离） ①求车库高度； ②若，判断该坡道的最小净高是否符合设计规范，并说明理由． 参考数据：当时，，． 【答案】(1) (2)①； ②解：该坡道的最小净高符合设计规范．理由如下： 如图，过E作于P，交于M，过M作于S， 则，，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴, ∵， ∴该坡道的最小净高符合设计规范． 【分析】（1）根据坡度定义求解即可； （2）①根据坡度定义和坡度间的关系求解即可； ②如图，过E作于P，交于M，过M作于S，根据锐角三角函数，结合已知数据求解即可． 【详解】（1）解：∵直线主坡道的水平距离为，坡度为， ∴在中，， ∴， 答：主坡道的铅直高度为； （2）解：①∵缓坡道的坡度为主坡道的坡度的， ∴在中，， 解得， 在中， 解得：， ， 答：车库高度为； ②略 【变式2-1】（2026·海南省直辖县级单位·二模）有一座过街天桥如图所示，天桥高为6米，坡面的坡度为，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为． (1)求新坡面的坡角； (2)原天桥底部正前方7米处（的长）有一文化墙，若新坡面下处与文化墙之间需留下至少3米宽的人行道，问文化墙是否需要拆除？请说明理由．（约为）． 【答案】(1) (2)解：需要拆除．理由如下： 如图，过点C作的延长线于点D， ∵坡面的坡度为， ∴， ∵新坡面的坡度为， ∴， ∴米， ∴米， ∴， ∴原天桥底部正前方7米处（的长）的文化墙需要拆除． 【分析】（1）如图，过点C作的延长线于点D，结合坡度与三角函数可得答案． （2）如图，过点C作的延长线于点D，再分别求解即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，过点C作的延长线于点D， ∵新坡面的坡度为， ∴， ∴． （2）略 【变式2-2】（2026·河南洛阳·三模）如图，一儿童游乐场滑道的坡角为（即），从安全角度考虑要降低坡角，变成新滑道．小明实地测量后得到点到水平地面的垂直距离为4.8米，也为4.8米． (1)求修改后的滑道的坡角比修改前滑道的坡角减缓了多少度； (2)求修改后新滑道的底部与修改前滑道的底部之间的距离．（结果精确到0.1米．参考数据：，，） 【答案】(1) (2)0.8米 【分析】（1）求解出的度数即可求解； （2）先由求解出的长，再由的长求解即可． 【详解】（1）解：， 在中，， ， ． 答：修改后的滑道的坡角比修改前的滑道的坡角减缓了； （2）解：在中，， 故． 故（米）． 答：修改后新滑道的底部与修改前滑道的底部之间的距离约为0.8米． 【变式2-3】（2026·新疆乌鲁木齐·一模）综合与实践：山坡绿化与节水灌溉设计 活动背景 为响应“建设美丽校园”的号召，学校计划在校园的小山坡两侧分别种植树木和草皮，并采用滴灌系统进行节水灌溉．数学兴趣小组的同学在老师的指导下，开展了方案设计与实地测量． 活动一：设计测量坡角方案 如图1，同学们在山坡上安装了一个简易测角仪．支架垂直于斜坡，铅垂线自然下垂，垂直于水平线．测得的度数即为坡角的度数． 活动二：设计滴灌管道方案 如图2，为了实施节水灌溉，他们决定从坡底沿小山坡两侧分别铺设水管至山顶，形成“人”字形管道．已知左侧从点A到山顶B共种植了13棵树，且每两棵树之间的水平距离为5.5米，测得左侧坡角； 右侧从点C到山顶B种植，测得右侧坡角． 请你完成下列任务 (1)请证明“活动一”中； (2)请你帮助同学们计算铺设两侧水管的总长度．（参考数据： ） 【答案】(1)证明：如图，设与相交于G， ， ∵，， ∴， ∴，， 又， ∴，即； (2)米 【分析】（1）根据余角的性质和对顶角的性质证明即可； （2）过B作于D，在中，根据三角函数的定义求出的长度，在中，根据含的直角三角形的性质求出的长度，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：过B作于D， 根据题意，得， 在中，， ， ∴， 在中，， ∴， ∴铺设两侧水管的总长度为（米）． 【题型3 方位角航行与定位距离】 【例3】（2026·河北廊坊·一模）如下图，两条互相垂直的道路m，n交于点M，道路m上有相距的A，B两个观察点，同时观察到道路n上有一辆汽车C．此时汽车C位于观察点B的北偏东方向上，位于观察点A的北偏东方向上． (1)求C到M的距离； (2)汽车C突然加速，后到达点D，位于观察点B的北偏东方向上．问汽车C是否超速？（限速，） 【答案】(1) (2)汽车C没有超速 【分析】（1）设，解得到，解得到，再根据建立方程求解即可； （2）根据（1）可得的长，解直角三角形求出的长，进而求出的长，再求出汽车的速度即可得到答案． 【详解】（1）解：设， 由题意得，，， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， ∴， 答：C到M的距离为； （2）解：由（1）得， 在中，， ∴， ∴， ∴汽车的速度为， ∵， ∴汽车C没有超速． 答：汽车C没有超速． 【变式3-1】（2026·重庆·模拟预测）为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，、、、在同一平面内，、是瞭望台，已知位于的北偏东方向，某一时刻，无人机甲位于处巡查，位于的北偏东方向400米处，位于的北偏西方向米处，重点监测点位于的正东方向且位于的南偏东方向上．（参考数据：，，，） (1)求的长度（结果保留根号）； (2)无人机甲、乙同时分别从，出发沿，往处进行巡视，甲无人机速度为乙无人机速度的3倍．当两无人机相距300米时，它们可以进行数据共享．请问无人机乙飞离处多少米时，两无人机可以进行数据共享（结果保留小数点后一位）？ 【答案】(1)米 (2)无人机乙飞离处59米时，两无人机可进行数据共享 【分析】（1）是通过作辅助线，构造直角三角形，利用角度关系和勾股定理求线段的长度； （2）先求出、的长度，再设乙无人机飞行的速度为，甲无人机飞行的速度为结合速度关系表示甲乙人机的位置，最后利用勾股定理列方程求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， 根据题意，，，，（米）， ，， ，， 在中，， ，， ，，，， 是等腰直角三角形， ， （米）； （2）如图所示， 由已知，，， ，即是等边三角形， 米， 根据题意，点，分别表示甲和乙，设秒时甲与乙刚好相距300米，设乙的速度为，则甲的速度为， ，，则，， 过点作于点， ， ，则，， ， 在中，， ， 解得，，（不合题意，舍去）， 无人机乙飞离处59米时，两无人机可进行数据共享． 【变式3-2】（25-26九年级上·重庆·期末）如图，四边形是彩云湖公园的环湖步道，点，，，在同一平面内，经测量，点在点的南偏东方向，且、两地相距900米，点在点的北偏东方向，点在点的北偏东方向，点在点的北偏西方向．（参考数据：，，） (1)求两地的距离（结果保留根号）； (2)小育从点出发沿慢跑到终点，同时小才从点出发，沿步行到终点，当小育跑到一半时，两人的直线距离与小才到点的距离之比为，求此时小才与点的距离（结果保留一位小数）． 【答案】(1)米； (2)194.6米． 【分析】此题考查了勾股定理，解直角三角形的应用，含角的直角三角形等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）过点A作，垂足为M，根据题意求出各角的度数，再求出，在中，，，根据即可求出答案； （2）过E作，垂足为N，设小才走到点E处，小育走到点F处，设（米），则（米），求出即可得到答案． 【详解】（1）解：过点A作，垂足为M，如图： 由题意知：，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，，，， （米） （米）， ∴（米） 在中，，， ∴， ∴， （米）， 答：A、C两地的距离为米； （2）解：当小育跑到一半时，设小才走到点E处，小育走到点F处，设（米），则（米）， 过E作，垂足为N，如图： 在中，，， ∴， ， 在中，， ，， 解得：，（米） 答：小才与点A的距离为194.6米． 【变式3-3】（2026·安徽阜阳·三模）小明家计划“春假”去郊外游玩，小明爸爸从平面地图上查看四处景点，，，的位置，如图，点在点的北偏东方向上，从点测得点和点分别在北偏东方向和南偏东方向上，已知点在点的正北方向处．小明家计划先从景点到景点游玩，再从景点到景点游玩，请你帮助小明计算小明家游玩路线长．（结果取整数，参考数据：，，） 【答案】小明家游玩路线长约 【分析】作于点，由题意可得，，，先使用三角函数计算出、，进而求出、，计算出后再求出，最后求和即可． 【详解】解：作于点， 由题意知，，， ∴， 在中，，， 在中， ，， ∴， 在中， ， ∴． 答：小明家游玩路线长约． 【题型4 测量河宽或距离】 【例4】（2026·辽宁鞍山·三模）小伟和小华想用所学数学知识测量小河的宽．测量示意图如图所示，他们在河边的山坡上的点C处安装测角仪，测得河对岸点A的俯角α为，与的夹角β为，又测得点C与河岸点B之间的距离为．已知，点A，B，C，D，M，N在同一平面上，点A，B，N在同一水平直线上，且．求河宽．（参考数据：，，，，，） 【答案】河宽约为． 【分析】延长交于点H，则．，解直角三角形得出，，以及，由平行线的性质得出，解，得出，最后由求解即可． 【详解】解：延长交于点H，则． 在中，， ∵， ， ∴， ． ∴． ∵， ∴． 在中， ∵， ∴． ∴， 答：河宽约为． 【变式4-1】（25-26九年级上·湖南株洲·期末）小伟和小华想用所学数学知识测量小河的宽，测量示意图如图所示，他们在河边的山坡上的点C处安装测角仪，测得河对岸点的俯角为，测角仪与的夹角为，又测得点C与河岸点B之间的距离为，已知，，点A，B，C，D，E，M，N在同一平面上，点A，B，N在同一水平直线上，且于点E． (1)求点C到直线的距离的长； (2)求河宽． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练利用三角函数是解题的关键． （1）由题意可得，则可求得； （2）求得，解直角三角形可求得，根据即可． 【详解】（1）解：，测角仪与的夹角为， ， ； （2）解：由题意可得，， ， ， ． 【变式4-2】（2026·山西阳泉·三模）问题情境： 汾河是黄河的第二大支流．汾河景区内的河面宽度在至左右，景区北起上兰漫水桥，南至迎宾桥南，全长．汾河的宽度在不同河段有所不同． 测量计算： 如图，某河段的汾河两岸互相平行．甲、乙两同学分别站在河东岸的A，B处观察河西岸的某景观建筑物．甲同学测得该建筑物一端C在A处的北偏西的方向上，乙同学测得该建筑物另一端D在B处的南偏西的方向上．已知A，B两点相距，图中各点均在同一平面内，点A，B在同一条直线上，测得景观建筑物两端点C，D之间的距离为，求此段汾河的河宽．（结果精确到；参考数据：，） 【答案】此段汾河的宽约为 【分析】分别过点C，D作，，垂足分别为F，E，在和中，解直角三角形求得，，根据，列式计算即可求解． 【详解】解：如图，分别过点C，D作，，垂足分别为F，E， 则， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 设， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 解得， 答：此段汾河的宽约为． 【变式4-3】（2026·河南平顶山·三模）数学兴趣小组开展“测量一条河流宽度”的综合实践活动，经过实地调研，兴趣小组制订了如下两种测量方案． 测量示意图 方案说明 方案一    如图1，小组成员在河边斜坡上的点处竖直安装测角仪，测得河对岸点处的俯角为．已知斜坡的坡比为，，，图中所有点均在同一竖直平面内，点，在同一水平线上． 方案二    如图2，小组成员将无人机从点处竖直向上飞行至点处，再沿水平方向飞行至点处，在点处测得点的俯角为，点的俯角为 ．已知 ，图中所有点均在同一竖直平面内，点，在同一水平线上． 请你从两种方案中选择一种，计算河流的宽度．（结果保留整数．参考数据：，，，，，，，，） 【答案】选择方案一，河流的宽度约为 【分析】（1）选择方案一：延长交于点，则．根据斜坡的坡比为，设，则．根据，求得，进而可得的长，在中，设，则，根据建立方程，解方程，即可求解； （2）过点作于点，则四边形为矩形，依题意，，，解，分别求得，根据，即可求解． 【详解】解：选择方案一： 如图1，延长交于点，则． 斜坡的坡比为， 设，则． ，， 解得（负值已舍去）． ，． ． 设，则． 在中，，， ， 解得． 答：河流的宽度约为． 或选择方案二： 如解图2，过点作于点，则四边形为矩形 依题意，，． ． 在中，． 在中，． ． 答：河流的宽度约为． 【题型5 梯子靠墙求高度】 【例5】（2026·广东惠州·二模）综合与实践 【实验背景】 某中学数学小组开展“梯子安全使用”实验活动．通过查阅资料，结合学校地面与墙面的实际情况，经多次实验得出结论：要想安全使用梯子，梯子与地面所成的锐角一般满足（角度过小易滑倒，过大易倾倒）．下表是小组在研究活动中的一份测量记录表． 【实验记录】 测量次数 梯子长度 梯子底端到墙脚的水平距离 梯子顶端到墙脚的垂直高度 梯子与水平面的夹角 安全判定（是/否） 第1次 是 第2次 第3次 否 【实验探究】 (1)补全表格中第2次测量的信息． (2)在保证安全的情况下，求长度为的梯子底端到墙脚的距离的取值范围． (3)在一次使用中，初始放置时，长度为的梯子的底端距墙脚，根据使用需求，要将梯子顶端下移，此时它的底端向外移动多少米？并判断移动后是否仍符合安全使用要求？（精确到） 参考数据：，，，，，， 【答案】(1)；；是 (2) (3)向外移动，移动后符合安全使用要求 【分析】（1）使用勾股定理计算出，再根据三角函数求出，并判断是否符合安全判定； （2）分别计算和时，的值，从而得出安全范围； （3）梯子顶端下移后的位置为，则，利用勾股定理计算出，从而得到，再使用勾股定理求出，与对比即可计算出移动距离，再结合（1）的数据即可得到，并判断是否符合安全． 【详解】（1）解：由题意可知，第二次测量时，，， 由勾股定理可得，， 在中，， ∴， ∵， ∴符合安全判定； （2）解：当时，， 当时，， ∴在保证安全的情况下，求长度为的梯子底端到墙脚的距离的取值范围为； （3）解：如图，梯子顶端下移后的位置为，则， 在中，， ∴， 在中，， ∴向外移动， 由（1）可知，此时，符合安全使用要求． 【变式5-1】如图（1）是一架踏板式人字梯，图（2）是其侧面抽象示意图，是攀爬梯，是支撑梯．在攀爬梯上焊接了块宽度相同的踏板，当梯子完全撑开时，踏板均平行于水平地面，且相邻两块踏板之间的竖直距离及地面与最低一层踏板之间的竖直距离均为，最上面一层踏板正好可以连接两边的梯子与．已知． (1)求这架人字梯的张角的大小； (2)求人字梯的最高点到水平地面的距离．（结果精确到)（参考数据：，，，） 【答案】(1)=23° (2)203.4cm 【分析】（1）过A作AF⊥DE于点F，在Rt△ADF中，可求得∠DAF的正弦值，对照题中给出的数值，可求得∠DAF的度数，根据等腰三角形三线合一，可得∠BAC的度数； （2）在Rt△ADF中，运用锐角三角函数可得AF的长，由AD=AM，则可得点M到DE的距离为2AF，点M到DE的距离，加上点D到BC的距离，即为所求． 【详解】（1）解：如图，过A作AF⊥DE于点F， 由题意可得，AD=AE， ∴DF=EF==8cm，∠DAF=， 在Rt△ADF中，sin∠DAF=， ∴∠DAF=11.5°， ∴=23°． （2）解：在直角三角形ADF中，cos∠DAF=≈0.98， ∴AF=0.98AD=39.2cm， ∵AD=AM=40cm， ∴点M到DE的距离为2AF=78.4cm， ∵相邻两块踏板之间的竖直距离及地面与最低一层踏板之间的竖直距离均为， ∴人字梯的最高点到水平地面的距离为78.4+5×25=203.4cm． 【点睛】本题考查锐角三角函数的实际应用，根据题意作出辅助线，由三角函数值得到角的度数是解题的关键． 【变式5-2】（2026·河南三门峡·三模）如图，一架梯子斜靠在墙上，墙与地面的夹角，当时，端点A离地面的高度为，将梯子底部端点B水平向左移动到点，端点A沿墙竖直向上移动到点，此时，则的长可以表示为_________． 【答案】/ 【分析】根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，从而可得，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长. 【详解】解：由题意得：，， 在中，，， ， ， 在中，， ， ， 的长可以表示为. 【变式5-3】（25-26九年级上·山东泰安·期中）根据题中所给的素材，完成下面的任务． 换房间的灯泡 素材1 房间内的灯泡到地面的距离为． 素材2 现有一架家用可调节式脚踏人字梯，其中踏板，地面都是水平的，梯子的侧面简化结构如图所示，左右支撑架长度相等，，设梯子一边与地面的夹角为，且可调节的范围为． 素材3 当时，电工站在梯子安全挡中最高一挡踏板上的最大触及高度为． 示意图    任务1 当时，求踏板离地面的高度．（精确到） 任务2 调节角度，试判断电工是否可以换下灯泡，并说明理由．（参考数据：，，，） 【答案】任务1：踏板离地面的高度约为 任务2：电工可以换下灯泡， 理由如下：由题意可知：当时，最大， 在中，， 则， ， 电工可以换下灯泡． 【分析】本题考查利用锐角三角函数解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．任务1：在中，，，由即可求解；任务2：由题意可知：当时，最大， ，同时利用任务1中的结果即可得出结论． 【详解】解：任务1：在中，，， ， ， 答：踏板离地面的高度约为； 任务2：略 【题型6 旗杆或塔高测量】 【例6】（2025·贵州黔东南·一模）综合与实践．在数学活动课中，老师组织同学们分小组测量学校旗杆的高度（学校旗杆底部有基座，经测量，基座高于运动场水平面米）确定以下两种测量方案． 课题 测量学校旗杆高度 成员 组长：××  组员：×××，×××，××× 测量方案 标杆方案 测角仪方案 测量示意图 卷尺、标杆    卷尺、可调节支架的测角仪    实施过程 ①选取运动场与旗杆相距一定距离的处； ②在处站直看旗杆顶，调整标杆位置，使标杆顶点与旗杆顶点在同一视线上； ③测量，的距离，测量人眼到地面高度、标杆的长度． ①在运动场与旗杆底部相距一定距离的处，调整测角仪支架高度，使与旗杆底部位于同一水平高度； ②测量旗杆顶的仰角； ③沿方向前移至处，再次测量杆顶的仰角； ④测量距离． 测量数据 ①；②； ③；④． ①；②； ③． 备注 ①图上所有点均在同一平面内； ②，均与地面垂直； ③旗杆底部基座与运动场的高度差． ①图上所有点均在同一平面内； ②参考数据：，，． (1)任务一：说明以上两种方案各自运用的数学知识：“标杆方案”运用的知识是_________，“测角仪方案”运用的知识是_________．（请在下列选项中选择一个填入横线中） ①全等三角形；②相似三角形；③锐角三角函数；④勾股定理． (2)任务二：根据以上测量结果，任意选择一种方案，计算旗杆的高度（结果精确到），并说明你选择该种方案的理由． 【答案】(1)②，③ (2)选择方案一，理由为测量工具较简单，方便；的高度约为 【分析】（1）“标杆方案”测量出各边的长度，利用相似三角形对应边成比例的性质求出旗杆的高度；“测角仪方案”测量出角的度数，利用三角函数表示出各边的长度，列方程求出旗杆的高度； （2）分别用两种不同的方案计算出旗杆的高度． 【详解】（1）解：测量出①，②，③，④， 可得：，， ， 根据可证， ， 根据对应边成比例求出的高度， 再根据旗杆的高度为求出结果， “标杆方案”运用的知识是②相似三角形； 测出的度数， 可知， 测出， 可知， ， 根据， 可以求出的高度， 根据旗杆的高度为求出结果， “测角仪方案”运用的知识是③锐角三角函数； （2）解：选择方案一，理由为测量工具较简单，方便， 如图： 由题意得：，，， ，， ， ， ， ， ， ，即， 解得：， ， 答：旗杆的高度约为； 选择方案二，理由为测量较准确， 由题意得：，， 设， ，， ， 在中，，， ，即， 解得（米）， 答：旗杆的高度约为米． 【变式6-1】（2025·湖南长沙·模拟预测）在校园科技节中，小星和小麓设计了“制作测角仪，测量旗杆高度”的探究活动．如图，小星在处测得旗杆顶端的仰角为，小麓在处测得旗杆顶端的仰角为，已知两人所处位置的水平距离米，处距地面的垂直高度米，处距地面的垂直高度米，点在同一条直线上． (1)求的长度； (2)求旗杆的高度．(结果保留根号) 【答案】(1)（米） (2)旗杆的高度为米 【分析】本题主要考查解直角三角形的运用，理解图示，掌握解直角三角形的计算是关键． （1）根据题意得到四边形和四边形为矩形，结合图形即可求解； （2）根据题意，设长为x米，则（米），根据，，分别求出，结合列式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴四边形和四边形为矩形， 米，米， （米）； （2）解：设长为x米，则（米）， ，，， ， ，， ， 由（1）得四边形和四边形为矩形， ， 米， ， 解得， 米， 答：旗杆的高度为米． 【变式6-2】（2024·浙江杭州·一模）图1是某景区塔，图2是它的测量示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是塔高所在的直线．为了测量塔高，在地面上点测得塔顶的仰角为，继续向前走22米到达点，又测得塔顶仰角为，此时恰好共线，若塔顶底部米，与交于点（）在同一水平线上，参考数据：） (1)求塔尖高度． (2)若塔身与地面夹角的正切值为6（即），则还需要往前走多少米到达塔底处（精确到米）． 【答案】(1)； (2)还需要往前走米到达塔底处． 【分析】本题考查了平行线的性质，解直角三角形，锐角三角函数，掌握相关知识是解题的关键． （1），所在直线为对称轴，可得，且，即可求解； （2）设，则，求得，作交于点，求得即可求解． 【详解】（1）解∶∵，所在直线为对称轴， ∴，且， ∵共线，， ∴， ∴． （2）解：设， ∵ ， 解得：，即， ∵， ∴， 作交于点，如图： ∵， ， ， ∴， ∴还需要往前走米到达塔底处． 【变式6-3】（2026·安徽合肥·一模）某山林瞭望塔建在山坡上，用于观测火情或特殊目标．山坡的坡度为，坡长为26米，瞭望塔高3米，塔顶为观测点．巡山员在将某信号弹从地面点垂直发射前，在观测点测得点的俯角为37°，发射3秒后，测得信号弹升至处的仰角为53°，请根据以上数据，估算巡山员发射的信号弹平均垂直上升速度．（参考数据：，，） 【答案】巡山员发射的信号弹平均垂直上升速度约为 【分析】过点作于点，延长交直线于点，设，则，结合勾股定理求得，，再由正切函数求出、即可求解． 【详解】解：过点作于点，延长交直线于点， ，， ， 的坡度为， 设，则， 在中，， 由， 解得， ，， 在中，， 在中，， ． ． 答：巡山员发射的信号弹平均垂直上升速度约为． 【题型7 隧道长度计算】 【例7】（2026·安徽宿州·二模）如图，工程队用无人机测量一段隧道的长度，无人机在空中C点测得，点A的俯角为，再将无人机沿方向飞行至点D处，测得点B的俯角为，已知，求隧道的长度．（参考数据：，．） 【答案】隧道的长度为 【分析】过点C作延长线于点E，过点B作延长线于点F，则，四边形是矩形，由此得到，在，中，运用解直角三角形的计算得到的值，代入计算即可求解． 【详解】解：如图所示，过点C作延长线于点E，过点B作延长线于点F，则， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，，，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴ ∴隧道的长度为． 【变式7-1】（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图是某地下停车库入口的设计示意图，延长与交于点，坡道的坡比是指坡面的铅直高度与水平宽度的比，已知米，米． (1)请求出的长； (2)按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，试确定该车库入口的限高数值（即点到的距离）． (3)为保障安全，车辆顶部到隧道顶部至少保留米的安全距离，现有一辆货车装满货物后高度为米，通过计算判断这辆货车能否驶入该隧道_____（填“能”或“不能”）； 【答案】(1)米 (2)该车库入口的限高数值为米 (3)不能 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理，解题的关键是数形结合，作出辅助线． （1）根据，得出，即，求出米，得出（米）； （2）过点D作于H，证明，得出，设，，根据勾股定理求出，根据米，得出，最后求出结果即可； （3）根据（2）中结果求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，， ∵， ∴， ∴， ∵米， ∴米．　　 ∵米， ∴（米）； （2）解：过点D作于点H，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设，， ∴， ∵米， ∴， 解得， ∴（米）， 答：该车库入口的限高数值为米； （3）∵， ∴这辆货车不能驶入该隧道， 故答案为：不能． 【变式7-2】（2026·安徽蚌埠·三模）如图，某施工队需要在一座小山开挖隧道，为了计算成本，需要获得，两点的距离．由于无法直接测量，施工队先在小山附近选取一点，测得为700米，为1500米，．求，两点的距离．参考数据：，，． 【答案】米 【分析】根据正弦和余弦可知的长度，进而根据勾股定理即可求解． 【详解】解：过点作的垂线，与线段的延长线交于点， ∵， ∴， ∵米， ∴（米）， （米）， 又（米）， ∴（米）， 则（米）． 【变式7-3】（2026·湖南益阳·二模）我国古代数学家刘徽在《海岛算经》中记载了利用“重差术”测量物体高度的方法．某高铁路段隧道施工中，工程人员利用该原理测量接触网支架高度，其纵截面的示意图如下：四边形为接触网支架的主体，四边形为接触网支架的底座．连接，已知，测得，，，，底座高．（参考数据：，，，，） (1)求的长（结果精确到）； (2)求点到地面的距离（结果精确到）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查锐角三角函数解直角三角形，能够构造合适的直角三角形是解题的关键． （1）过点作于点，过点作于点，构造，，利用锐角三角函数求解即可； （2）过点作交于点，交于点，交于点，则四边形是矩形，根据（1）可知，利用锐角三角函数即可求得，结合题意即可求解． 【详解】（1）解：过点作于点，过点作于点，则，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，则， ∴， ∴； （2）解：过点作交于点，交于点，交于点，则， 由（1）可知， ，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【题型8 视线遮挡问题】 【例8】（25-26九年级上·浙江金华·期末）小聪为测量河对岸大楼的高度，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1． 测量方法：如图2，人眼在P点观察所测物体最高点C，量角器零刻度线上A，B两点均在视线上，将铅锤悬挂在量角器的中心点O．当铅锤静止时，测得视线与铅垂线所夹的角为α，此时的仰角为β． 实践操作：如图3，小聪利用上述工具测量河对岸大楼的高度．他先站在水平地面的点H处，视线为，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为；然后他向前走12米站在点R处，视线为，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为． 问题解决： (1)请用含α的代数式表示仰角β． (2)如果，，在同一平面内，小聪的眼睛到水平地面的距离为米，求大楼的高度．（结果保留根号） 【答案】(1) (2)米 【分析】本题考查了解直角三角形−仰角俯角问题，列代数式，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）延长交于L，根据题意可得：，从而可得：，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答； （2）延长交于点M，根据题意可得：米，米，然后设米，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：如图：延长交于L， 由题意得： ∴， ∵， ∴ ∴； （2）解：延长交于点M， 由题意得：， 设米， 在中，， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∵， ∴ 解得： ∴米， ∴米， ∴大楼的高度为米． 【变式8-1】（2026·浙江杭州·一模）汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域． 如图①，驾驶员的眼睛位于点处，和为驾驶员看向汽车两侧的视线，，为汽车两侧的盲区截面图． 图②为示意图，已知视线与地面的夹角，视线与地面的夹角，点分别为与车窗底部的交点，，，，垂足分别为． (1)求盲区中线段的长． (2)已知点在线段上，在处有一个高度为的障碍物，驾驶员能看到障碍物吗？请说明理由．（参考数据：，，，）． 【答案】(1)盲区中线段的长约为 (2) 解：驾驶员不能看到障碍物，理由如下： 如图，过点作交于点， 根据题意可得四边形为矩形， ， 在直角三角形中，， ， 在直角三角形中，， ， 驾驶员不能看到障碍物． 【分析】（1）解直角三角形即可解答； （2）过点作交于点，计算的长度，比较即可． 【详解】（1）解：在直角三角形中，， 答：盲区中线段的长约为； （2）略 【变式8-2】（2026·安徽合肥·二模）某综合实践小组围绕“校园内校徽高度的测量与计算”开展了项目式学习的实践活动，形成了如下实验报告． 项目主题 校徽高度的测量与计算 活动任务 如何测量校园内教学楼上方的校徽的高度 活动过程 方案说明 ．工具准备：测角仪、卷尺等． ．测量过程：如图，在教学楼正前方的水平地面上，有一棵大树（大树与教学楼均垂直于水平地面），大树底部为点，顶端为点． （1）学生甲站在与教学楼底部、大树底部共线的水平地面处，由于大树的遮挡，视线恰能看到悬挂的校徽的顶部的点，当学生甲的视线与大树顶端，校徽顶部三点共线时，学生乙和丙同时测量，两点与，两点间的距离、学生甲的眼睛处看校徽顶部的仰角； （2）学生甲沿直线向后退至点处时，视线恰能看到校徽的底部点，当学生甲的视线与大树顶端，校徽底部三点共线时，学生乙和丙同时测量，两点间的距离、学生甲的眼睛处看校徽底部的仰角． ．测量图示：   数据测量 ，，米，米，米，，，，均与地面垂直． 计算 … 请根据上述实验过程与测量数据，计算校徽的长度．（精确到米，参考数据：，，，，，） 【答案】校徽的长度约为米． 【分析】先证明四边形、是矩形，得到，，在中，，在中，，最后通过算得答案． 【详解】解：，， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， （米）， 在中，， （米）， ，， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， （米）， 在中，， （米）， （米）， 答：校徽的长度约为米． 【变式8-3】如图，、区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线与地面的夹角，视线与地面的夹角，点A，F为视线与车窗底端的交点，，，．若点A到点B的距离． (1)求的长度； (2)求的长度． 【答案】(1)的长度为 (2)的长度为 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，解直角三角形的相关运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合，，得，即可作答． （2）先证明四边形是矩形，故，把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：在中，，， 则， 答：的长度为； （2）解：∵，，． ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， 则， 答：的长度为． 【题型9 影子长度求物高】 【例9】（25-26九年级上·安徽亳州·阶段检测）综合与实践 【项目主题】某数学兴趣小组的同学们准备研究并制作中国古代用于测量太阳影子长度的天文仪器——圭表． 【项目准备】 ①小组内同学协同制作了如图1所示的圭表，直立于平地上测日影的标杆，叫作表；正南正北方向平放的测定表影长度的刻板，叫作圭．通过观察记录这根杆正午时影子的长短变化来确定季节和节气的变化．夏至日影子最短，冬至日影子最长． ②秋分时，表的影子的长度等于夏至和冬至影子的长度的平均值． ③如图2，为同学们制作的表，，的长度为，为圭．经查阅资料，夏至时太阳光线与水平地面的夹角为，冬至时太阳光线与水平地面的夹角为． 参考数据：，，，，，． 【项目任务】 任务一：（1）求的长度． 任务二：（2）求秋分时，表的影子的长度． 任务三：（3）秋分正午时，该小组的同学测得旗杆的影子在水平地面上的长度为，求旗杆的长度． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，平行投影，熟知相关知识是解题的关键． （1）解直角三角形求出的长，则可求出的长； （2）根据秋分时，表的影子的长度等于夏至和冬至影子的长度的平均值求解即可； （3）根据同一时刻，同一地方物长与影长的比值一定列出比例式求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴ ∴； （2）∵秋分时，表的影子的长度等于夏至和冬至影子的长度的平均值． ∴； （3）设旗杆的长度为， 由题意得，， 解得， 答：旗杆的长度为． 【变式9-1】学校某班开展数学“综合与实践”测量活动．有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线的距离皆为．小王同学观测到高度矮圆柱的影子落在地面上，其长为；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题： (1)已知小王同学的身高为，且此刻她的影子完全落在地面上，则她的影子长为多少？ (2)若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为，则高圆柱的高度为多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，平行投影等知识，解题的关键是理解实际物体与影长之间的关系解决问题，属于中考常考题型． （1）根据同一时刻，物长与影长成正比，构建方程即可解决问题． （2）过点作于点，设，，利用勾股定理求出和，得到，过点作于点，再根据同一时刻身高与影长的比例，求出的长度，即可得到． 【详解】（1）设小王的影长为， 由题意，得：，解得： 经检验，是原分式方程的解. 答：小王的影长为120cm. （2）如图，过点F作，垂足为点G， ∵， ∵，∴   ∴设，，在中，，， ∴，， ∴，   过点F作于点H，则四边形HBGF为矩形， ∴，， ∴，解得：， ∴， 答：高圆柱的高度为280cm. 【变式9-2】（2026·河南南阳·二模）小刚家准备购买一套新楼房，要求楼层是一楼，位置在第二排，冬天采光不受第一排的影响．以下是小刚和爸爸看房后完成的调查报告． 调查目的 居民楼一楼采光是否受到影响 调查数据 ①五一正午测得楼房影子的长度为，楼间距为，太阳光线与水平线的夹角为． ②一楼窗户下端距离地面的高度为． ③该小区冬至正午的太阳光线与水平线的夹角为，第一排楼房的影子会落在第二排楼房的墙上． 建立模型 小刚同学根据调查数据画出了数学图形．如图，，，，，，． 备注 点A，B，C，D，E在同一平面内 参考数据：． 请你根据报告中的信息，解决以下问题． (1)根据调查数据，请你计算楼房的高度（精确到）； (2)计算在冬至正午第一排楼房影子落在第二排楼房墙上的高度（精确到）； (3)判断会不会影响一楼的采光，并说明理由． 【答案】(1)楼房的高度约为 (2) (3)不会影响一楼的采光，见解析 【分析】（1）根据正切的定义求出； （2）延长交延长线于点F，先根据正切的定义和的长求出，进一步求出，再使用一次正切的定义求出即可； （3）根据（2）的结果进行判断即可． 【详解】（1）解：根据题意，得： 在中，，，， ∵， ∴， ∴楼房的高度为； （2）解：如图，延长交的延长线于点F， ∵， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，； （3）解：∵一楼窗户下端距离地面的高度为，， ∴不会影响一楼的采光． 【变式9-3】（2026·上海闵行·三模）根据以下素材，探索完成任务． 探究遮阳伞下的影子长度 素材1 图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．已知支架长为2.5米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的4倍．当伞面完全张开时，点，，始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直．    素材2 某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度角（度） 90 75 60 45 30 15 素材3 小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面的距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点． 问题解决： (1)任务1（确定影子长度）：若某一时刻测得米 ① 米， ； ②求此时影子的长度． (2)任务2（判断是否照射到）：这天14点，小明坐在离支架3米处的点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？并说明理由 【答案】(1)①，；②影子的长度为米 (2)解：小明会被照射到，理由：过点作交于点． 由（1）知，． ， ． 在中，米，米， 米． 在中，米． 在中，米． 在中，当米时，米． ∴小明刚好被照射到时离点的距离为． ∴小明会被照射到． 【分析】（1）①由米可得答案；如图，过作于，结合等腰三角形的性质与勾股定理可得米，进一步可得答案； ②先过点作于点，过点作于点，再求出米，从而结合，可证，最后利用三角函数即可得出的长度； （2）如图，过点作交于点，在中，米，米，可得米，在中，米，在中，米，在中，当米时，米，进一步求解即可． 【详解】（1）解：任务1：悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的4倍， （米）， 如图，过作于，而米，米， 米， 米， ； ②如图，过点作于点，过点作于点， 结合题意可得：四边形为矩形， ， ， ， 由条件可知米， 在中，， 又， ， 解得：米， 此时影子的长度为米； （2）略 【题型10 无人机航拍测距】 【例10】（25-26九年级上·重庆江北·期末）2025年6月17日，“魅力重庆”无人机灯光秀以11787架无人机，获得吉尼斯世界纪录“最多无人机组成的空中图案”的称号．为保证表演的顺利进行，有关部门分别在弹子石的点、朝天门的点、江北嘴的点和北滨路的点使用反制无人机压制干扰信号．经测量，在的北偏东方向，在的东南方向1200米处，在的北偏东方向，在的北偏西方向，且在的正北方向，与交于点．（参考数据：，，） (1)求，两点的距离；（结果保留根号） (2)表演过程中，有甲、乙两架无人机在人群上空巡航，它们同时从点出发，前往点．甲无人机的巡航路线：，速度为30米／分；乙无人机的巡航路线：，速度为40米／分．请通过计算说明甲乙两架无人机哪一架先到达点．（结果保留整数） 【答案】(1)米 (2)乙无人机先到达点 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，理解题意是解题的关键． （1）过点作于点，则，由题意得，，米，再分别解和，求出的长，即可解答； （2）分别计算甲、乙无人机巡航所需时间，再比较大小即可解答． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 则， 由题意得，，，米， 在中，（米），（米）， 在中，（米）， ∴（米）， 答：，两点的距离为米； （2）解：由（1）得，米， ∴（米）， ∴甲无人机巡航所需时间为（分）； 如图，过点作交延长线于点， 则， 由题意得，，， ∴， 在中，（米），（米）， 在中，（米），（米）， ∴（米）， ∴乙无人机巡航所需时间为（分）； ∵， ∴乙无人机先到达点． 【变式10-1】（25-26九年级上·河北沧州·期末）如图，嘉嘉在公园里练习无人机的使用，他在处操作无人机起飞，飞至点处静止，此时从处测得无人机的仰角为，嘉嘉向西走了 到达处，此时测得无人机的仰角为． (1)的度数为_____； (2)求无人机飞至点时距地面的高度； (3)若无人机从点处沿射线的方向飞行一段时间后，到达点处．此时，从处测得无人机的仰角为，求无人机在处时到点处的距离． 【答案】(1) (2)无人机飞至点时距地面的高度 (3)无人机在处时到点处的距离 【分析】本题考查了解直角三角形与实际问题，关键是利用三角函数解直角三角形； （1）利用三角形内角和求角的度数； （2）过点作于，设，利用三角函数表示，利用列方程求解； （3）过点作于，先在中求出，再在中，求得即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：过点作于，设， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， 解得：， 答：无人机飞至点时距地面的高度； （3）解：过点作于， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，． 答：无人机在处时到点处的距离． 【变式10-2】（2026·河南平顶山·三模）如图1是小明家小区内的一个观景湖，小明准备用无人机测量这个湖的东西长度．如图2，小明在湖正西岸边处控制无人机，当无人机飞到湖面上空处时，无人机高度为，无人机观测到湖正东部处的俯角为，小明仰头观测无人机的仰角为，他的眼睛距地面（即）为．已知，，，均在同一平面内，求观景湖的东西长度的长．（结果精确到．参考数据：，，） 【答案】 【分析】过点作于点，过点作于点，分别解和即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点． 由题意得，，， ∴． 在中，， ∴． 由题意得，． 在中，，， ∴ ∴． 答：观景湖的东西长度约为． 【变式10-3】（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）在课堂上，同学们已经学习了一些测量距离的方法．小刚想尝试利用无人机测量一河某处的宽度．如图所示，小刚站在河岸一侧的点操控无人机，操纵器距地面距离米，在河对岸安放了一标志物点，无人机在点正上方的点，无人机的飞行速度为米秒，无人机匀速水平飞行秒到达点，此时，小刚手里的操纵器测量无人机的仰角为，然后无人机又继续以同样的速度水平飞行秒到达点，测得点的俯角为（点，，，，，在同一平面内） (1)______米，______； (2)求无人机的飞行高度； (3)求河宽的距离．（参考数据：，，） 【答案】(1)28；63 (2)米 (3)米 【分析】（1）根据题意可得：，根据速度乘以时间求得的长； （2）利用（1）中结论，解，求出，根据可得结论； （3）过点作，垂足为，根据题意可得，米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，利用（1）的结论求出的长，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：∵无人机在点正上方的点，无人机的飞行速度为米秒，无人机匀速水平飞行秒到达点，小刚手里的操纵器测量无人机的仰角为， ∴，米， 故答案为：；． （2）解：在中，， ∴（米）， ∵米， ∴， 答：无人机的飞行高度为米； （3）解：过点作，垂足为， 则，米， 在中，， （米）， （米），米， （米）， （米）， 河宽的距离为米． 【题型11 物理实验问题】 【例11】（24-25九年级下·江苏淮安·阶段检测）无动力帆船是借助风力前行的．如图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为，风对帆的作用力 F为．根据物理知识，F可以分解为两个力与，其中与帆平行的力不起作用，与帆垂直的力又可以分解为两个力与，与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：，则______．（单位：N）（参考数据：）. 【答案】32 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据锐角三角函数的定义解直角三角形是解题的关键． 先求出，由得，求出，求出，在中，根据求解即可． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 由题意可知，， ∴， ∴， 在中，， ∴． 故答案为：32． 【变式11-1】（2025九年级·全国·专题练习）跨物理学科  如图是潜望镜工作原理的平面示意图，一条平行光线经镜面反射到后得到光线，且，虚线为光线的反射轨迹．若测得两条平行光线间的距离为，虚线的长为2，则虚线与所夹钝角的度数为_____． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的应用，三角函数以及平行线的性质，解题关键是通过作辅助线构造直角三角形，利用三角函数求出锐角的度数，再结合平角的性质求出钝角的度数． 通过作辅助线构造直角三角形，利用三角函数求出锐角的度数，再根据平角的性质求出虚线与所夹的钝角的度数． 【详解】解：如图，过点作于点． 在中，，． ， ， ∵与互补， ． 即虚线与所夹钝角的度数为． 故答案为：． 【变式11-2】（2026·湖南衡阳·二模）如图1，在物理兴趣课上，老师演示了“尺子挂锤子”的平衡实验．同学们将实验装置抽象成如图2所示的几何模型．已知直尺斜靠在桌边，悬绳（A，B，C在同一直线上）的上端A点与桌边接触点D的连线，垂直于直尺下边，其中．请根据以上信息，求的长．（结果保留一位小数．参考数据：，，，，，） 【答案】的长约为． 【分析】过点B作于点F，在中，解直角三角形求出，在中，解直角三角形求出，利用三角形内角和定理求出，在中，解直角三角形求出，再由即可求解． 【详解】解：如图，过点B作于点F． 在中，， ∴． 在中，， ∴． 又∵， ∴在中，， ∴， ∴． 答：的长约为． 【变式11-3】（2025·湖南·模拟预测）某学习小组在物理实验结束后，利用实验装置探究几何测量问题． 课题 探究物理实验装置中的几何测量问题 成员 组长：×××　组员：×××，×××，××× 实验工具 木块、测角仪、皮尺、摄像机等 测量方案 示意图 方案一 (已知 方案二 (已知 说明 点为摄像机的位置，小车从同一斜面上相同高度处，由静止开始沿斜面下滑，点为小车从斜面到达水平面的位置，点为木块的位置 测量 方案一 米，， 方案二 米，， 请选择其中一种方案计算出摄像机机位到小车行驶轴线的竖直距离．(结果精确到米，参考数据：，，) 【答案】米． 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意，把实际问题抽象为数学问题是关键；选择方案一：设米，在中，有；在中，有，由此建立方程，求得，即可求得的长；选择方案二：设米，在中，有；在中，有，由此建立方程，求得，即可求得的长； 【详解】解：选择方案一，设米，则米． 在中，， 米． 在中，， 米， ， 解得， 米． 选择方案二，设米，则米． 在中，， 米． 在中，， 米， ， 解得， 米． 【题型12 山坡上树高测量】 【例12】（2026·安徽宣城·二模）综合与实践小组的同学把“测量风力发电叶片长度”作为一项课题活动，并完成任务．如图，风力发电机组的底部在一个山坡顶上，沿山坡向下走了到达点处，在点设置高为的测量台，假设A，B，C三点在同一竖直线上．已知和均与水平线垂直，测得：①山坡上点与点在同一个水平线上，且；②；③；④图中各点均在同一平面上，求叶片的长度．（结果精确到．参考数据：，，，，，） 【答案】叶片的长度约为 【分析】延长交的延长线于点，利用相似三角形的判定和性质得出线段之间的关系，求出相关线段，然后用锐角三角函数以及勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点， 根据题意知，，， ，， ， ， ， 在中，，， ， 又， ， 在中，，， ， 在中，，， ， ， 答：叶片的长度约为． 【变式12-1】（2026·江苏徐州·一模）为了参加数学课的综合与实践小组活动，几位同学在周末前往本地公园山坡上测量一个信号杆的高度．测量示意图如图所示，山坡的倾斜角等于，当太阳的仰角是时，信号杆在山坡上的影子的长是米，求信号杆的高．（精确到）（参考数据：，，） 【答案】 【分析】通过延长信号杆与地面相交构造两个直角三角形，先在含山坡倾角的直角三角形中求出相关边长，再利用仰角的等腰直角三角形性质求出对应高，两高相减得到信号杆的高度． 【详解】解：延长交水平线于点，可得（为竖直信号杆，为水平地面），因此和均为直角三角形， 在中：米，， 根据三角函数定义：， ， 在中：，， ∴， ∴． 【变式12-2】如图，某高为60米的大楼旁边的山坡上有一个“5G”基站，从大楼顶端测得基站顶端的俯角为，山坡坡长米，坡度，大楼底端到山坡底端的距离米，则该基站的高度______米． 【答案】 【分析】如图（见解析），先根据坡度的定义、勾股定理求出的长，从而可得的长，再根据解直角三角形可得的长，然后根据可得的长，从而可得的长，最后根据即可得． 【详解】解：如图，延长相交于点，过点作于点， 则四边形是矩形， ， 坡度， 设米，则米， 在中，， 解得， 米，米， 米， 米， 由题意得：， 在中，米， 米， 米， 米， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形、坡度等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键． 【变式12-3】如图，小王在山坡上E处，用高1.5米的测角仪EF测得对面铁塔顶端A的仰角为25°，DE平行于地面BC，若DE＝2米，BC＝10米，山坡CD的坡度i＝1：0.75，坡长CD＝5米，则铁塔AB的高度约是（　　）（参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47 ） A．11.1米 B．11.8米 C．12.0米 D．12.6米 【答案】D 【分析】如图，过点E、F分别作AB的垂线，垂足分别为G、H，得矩形EFHG，可得GH＝EF＝1.5，HF＝GD+2，过点D作BC延长线的垂线，垂足为M，得矩形DMBG，根据CD的坡度i＝1：0.75＝4：3，CD＝5，可得DM＝4，CM＝3，再根据锐角三角函数求出AH的长，即可求出AB的高度． 【详解】解：如图，过点E、F分别作AB的垂线，垂足分别为G、H，得矩形EFHG， ∴GH＝EF＝1.5，HF＝GE＝GD+DE＝GD+2， 过点D作BC延长线的垂线，垂足为M， 得矩形DMBG， ∵CD的坡度i＝1：0.75＝4：3，CD＝5， ∴DM＝4，CM＝3， ∴DG＝BM＝BC+CM＝10+3＝13，BG＝DM＝4， ∴HF＝DG+2＝15， 在Rt△AFH中，∠AFH＝25°， ∴AH＝FH•tan25°≈15×0.47≈7.05， ∴AB＝AH+HG+GB≈7.05+1.5+4≈12.6（米）． 答：铁塔AB的高度约是12.6米． 故选：D． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题、坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义和坡度坡角定义． 【题型13 实物建模问题】 【例13】（2026·山东济南·一模）实物展示台是多媒体教室不可或缺的教学设备之一，把它连接在投影仪和电视机上时，就可以将资料、讲义、实物、幻灯片等清晰地展示出来．一台普通的实物展示台包括三个部分：摄像头、光源和台面．图1是一个实物展示台，图2、图3是其侧面抽象示意图．立柱且立柱垂直水平桌面．为摄像头，可绕点旋转，且． （参考数据： ） (1)当与水平桌面平行时，如图2，投影宽度，投影线，求摄像头的广角及的度数； (2)如图3，将绕点旋转，在旋转过程中摄像头的广角及的大小始终保持不变，当，求投影宽度的长（结果保留一位小数）． 【答案】(1)，； (2)此时的投影宽度的长约为 【分析】（1）先证明四边形是矩形，得到，再得到，解直角三角形求出，即可求解； （2）过点作于点，过点作于点，易证四边形是矩形，求出，通过解直角三角形求出，，再解直角三角形求出；，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，依题意． ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， 答：摄像头的广角的度数约为． （2）解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； ， ∴． 即此时的投影宽度的长约为． 【变式13-1】（2024九年级下·广东江门·学业考试）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线表示固定支架，垂直水平桌面于点O，点B为旋转点，可转动，当绕点B顺时针旋转时，投影探头始终垂直于水平桌面，经测量：，，，．（参考数据：，，，）如图2，，．求投影探头的端点D到桌面的距离． 【答案】投影探头的端点D到桌面的距离为 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是构造直角三角形．延长交于，先证明得到，解求出，进而计算即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于， ∵，， ∴， ， ∵在中，，， ， ， ， 投影探头的端点到桌面的距离为． 【变式13-2】（2024·湖北宜昌·模拟预测）为提高中小学生午休质量，实现由“趴睡”变“躺睡”，某校新购了一批可躺式座椅（实物如图1所示），可适应坐直、躺睡两种状态，该椅子的凳面始终与地面保持平行．躺睡时，根据人体工学原理，当椅面与椅背夹角在左右时比较舒适．如图2，若腿托长为，椅面长为，椅背长为，，，请你求出此时座椅在地面的水平长度．（结果精确到0.1cm，参考数据：，，） 【答案】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质等知识，延长交的延长线于点G，延长交的延长线于点H，证明四边形是矩形，在中求出，在中求出，根据即可得到答案． 【详解】解：延长交的延长线于点G，延长交的延长线于点H， 由题意可知，，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴ 在中， 在中， ∴， 即座椅在地面的水平长度为． 【变式13-3】（2025·辽宁本溪·模拟预测）平开窗是生活中常见的一种窗户，安装平开窗需要一种滑撑支架，如图是这种平开窗的实物展示图． 把上述实物图抽象成如示意图．已知滑撑支架的滑动轨道固定在窗框底边，固定在窗页底边，点B，C，D三点固定在同一直线上，当窗户关闭时，点E与点A重合，和均落在上；当点O向点B滑动时，四边形始终为平行四边形，其中，，．窗户打开一定角度后，与形成一个角．出于安全考虑，部分公共场合的平开窗有开启角度限制要求：平开窗的开启角度应该控制在以内（即）． (1)求滑动轨道的长度． (2)为符合安全规范要求，某公共场合的平开窗需在滑动轨道上安装一个限位器P，控制平开窗的开启角度，当点O滑动到点P时，则限位器P应装在离点A多远的位置？（结果保留根号） 【答案】(1)； (2)限位器P应装在离A点的位置． 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，解直角三角形的计算，勾股定理的运用，理解题意，掌握锐角三角形的计算是关键． （1）根据平行四边形的性质得到，根据当窗户关闭时，点E与点A重合，和均落在上，得到即可求解； （2）过点C作交于点，依题意得，在中，，，则，，所以限位器P的位置离A点，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形始终为平行四边形，， ∴， ∵当窗户关闭时，点E与点A重合，和均落在上， ∴； （2）解：过点C作交于点， 依题意得， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴在中，，， ∴， 又∵，， ∴根据勾股定理可得， ∴， ∴限位器P的位置离A点， 答：限位器P应装在离A点的位置． 【题型14 方案设计问题】 【例14】（2025·广东·中考真题）综合与实践 【阅读材料】 如图，在锐角中，，，的对边长分别为，，，则有．这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题． 【问题提出】万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地．某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意图，现需要知道湖中，两岛间的实际距离．由于地形原因，无法利用测距仪直接测量，该小组对这一问题进行了探究． 【方案设计】 工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）． 测量过程： 步骤1：如图，在空旷地找一点； 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得，； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得，． 【问题解决】 （1）请你利用【阅读材料】中的结论计算，两岛间的距离． （参考数据：，，） 【评价反思】 （2）设计其他方案计算，两岛间的距离．要求：选用【方案设计】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识． 【答案】（1）； （2）工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）． 测量过程： 步骤1：如图，在空旷地找一点，使得是锐角三角形； 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得的度数； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得，． 计算过程： 过点作，则， ∵在中，，， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴． 答：，两岛间的距离为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，理解题意是解题的关键． （1）利用三角形内角和定理求出，根据题意可得，代入数据求出的长，即可解答； （2）运用解直角三角形、勾股定理等数学知识设计方案即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 由题意得，， 又∵， ∴， 答：，两岛间的距离为． （2）略 【变式14-1】（24-25九年级上·福建福州·阶段检测）为了充分利用四边形余料，小明设计了不同的方案裁剪正方形，裁剪方案与数据如表： 方案设计 方案1 方案2 裁剪方案示意图 说明 图中的正方形AEFG和正方形MNPQ四个顶点都在原四边形的边上 测量数据 ，，，； 任务1：探寻边角 填空：________ ，________； 任务2：应用实践 通过计算比较正方形和正方形边长的大小． 【答案】任务1：15； 任务2：正方形的边长大于正方形边长 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正方形的性质，勾股定理，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 任务1：作于，利用勾股定理以及三角函数的定义求解即可； 任务2：分两种情况，画出图形，利用三角函数的关系即可求解； 【详解】解：任务1：探寻边角， 作于， ，， 四边形是矩形， ，，， ，， 故答案为：15，； 任务2：应用实践 设与相交于点，正方形的边长为， ， ，， 在中， ，，， ， 解得； ∴正方形的边长为； 设正方形边长为， ∵正方形， ∴，， ， 在中，，则， 在中，，则， ， 解得， ∴正方形边长为； ∵ ∴正方形的边长大于正方形边长. 【变式14-2】（25-26九年级下·宁夏吴忠·阶段检测）解决问题 方案名称 滑梯安全改造 测量工具 测角仪、皮尺等 方案设计 如图，将滑梯顶端拓宽为，使（，并将原来的滑梯改为．（图中所有点均在同一平面内，点B，C，E在同一直线上，点A，D，F，G在同一直线上） 测量数据 步骤一：利用皮尺测得滑梯的高度（）； 步骤二：在点F处用测角仪测得 步骤三：在点G处用测角仪测得 解决问题 调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求的长） （参考数据：，，，，，） 【答案】 【分析】过点作于点，利用锐角三角函数进行求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴． 【变式14-3】（2024·甘肃·模拟预测）某学习小组在物理实验结束后，利用实验装置探究几何测量问题． 课题 探究物理实验装置中的几何测量问题 成员 组长：xxx  组员：xxx，xxx，xxx 实验工具 测角仪，皮尺，摄像机等 方案设计 方案一 方案二 测量方案 示意图 （已知） （已知） 说明 点P为摄像机的位置，小车从同一斜面上相同高度处由静止开始沿斜面下滑，点A为小车从斜面到达水平面的位置，点C为木块的位置． 测量数据 米，， ． 米，， ． 请选择其中一种方案计算出摄像机机位P到小车行驶轴线的竖直距离.（结果精确到0.1米，参考数据） 【答案】摄像机机位P到小车行驶轴线的竖直距离米 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意，把实际问题抽象为数学问题是关键； 选择方案一：在中，有；在中，有，由此建立方程，求得，即可求得的长； 选择方案二：在中，有；在中，有，由此建立方程，求得，即可求得的长； 【详解】解：选择方案一：在中，有； 在中，有， 即：， ， （米）； 选择方案二：在中，有； 在中，有， 即， ， （米）； 答：摄像机机位P到小车行驶轴线的竖直距离为米． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $