专题1.7 位似（举一反三讲义）数学新教材湘教版九年级上册

本讲义聚焦初中数学位似核心知识点，以相似图形为基础，系统梳理位似图形的概念、与相似的关系、性质、画法及平面直角坐标系中的位似变换，构建从基础到应用的学习支架。 资料通过9类题型分层设计，从识别位似图形到规律探究，例题与变式题结合，强化几何直观和推理能力。图文辅助理解，课中助教师高效授课，课后学生可通过练习查漏补缺，提升应用意识。

专题1.7 位似（举一反三讲义） 【新教材湘教版】 题型归纳 【题型1 识别位似图形】 2 【题型2 作位似图形】 4 【题型3 判断位似中心】 8 【题型4 求位似图形的位似比】 12 【题型5 】 15 【题型6 的周长比】 18 【题型7 的面积比】 21 【题型8 的对应坐标】 24 【题型9 与位似有关的规律探究】 28 考点1 位似 知识点1 位似图形的有关概念 1. 一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P，P'所在的直线都经过同一点O，且有，那么这样的两个多边形叫做位似多边形．点O叫做位似中心，k就是这两个相似多边形的相似比．位似中心可能在两个位似图形的同侧，也可能在两个位似图形的异侧，也可能在其中一个图形的边上，还可能在两个位似图形的内部． 2. 位似与相似的关系 位似 相似 形状 完全相同 完全相同 对应角 相等 相等 对应边 成比例 成比例 位置关系 对应点所在直线都经过同一点 任意摆放 联系 位似是相似的特殊情况 知识点2 位似图形的性质 1. 位似图形对应顶点的连线所在直线必过位似中心． 2. 位似图形任意一组对应点到位似中心的距离之比等于相似比． 3. 位似图形的对应线段所在直线平行（或共线），且对应线段之比相等． 4. 如果两个图形是位似图形，则两个图形必相似，其周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 知识点3 位似图形的画法 1. 利用位似图形的性质将一个图形进行放大或缩小的过程叫做位似变换． 2. 画位似图形的步骤 （1）确定位似中心O； （2）分别连接位似中心和能代表原图形的关键点； （3）按相似比找出所作位似图形的对应点； （4）顺次连接上述各点，所得的图形就是所求的位似图形． 知识点4 平面直角坐标系中的位似变换 1. 在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为，即若原图形的某一顶点坐标为，则其位似图形对应顶点的坐标为或． 2. 平移、轴对称、旋转、位似变换中坐标的变化规律 名称 规律 平移变换 对应点的横坐标或纵坐标加上（或减去）平移的单位长度 轴对称变换 若以x轴为对称轴，则对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；若以y轴为对称轴，则对应点的纵坐标相等，横坐标互为相反数 旋转变换 将一个图形绕原点旋转180°，则旋转前后两个图形对应点的横坐标与纵坐标都互为相反数 位似变换 当以原点为位似中心时，变换前后两个图形对应点的横坐标、纵坐标之比的绝对值都等于相似比 【题型1 识别位似图形】 【例1】如图所示，是位似图形的几种画法，其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用位似图形的画法：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 【详解】解：由位似图形的画法可得：4个图形中，都是的位似图形． 【变式1-1】（25-26九年级上·河北石家庄·期末）观察下列各组图形，其中属于位似图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了位似图形的识别，对应点连线交于一点的两个相似图形是位似图形，据此求解即可． 【详解】解：A、两个图形不相似，故不是位似图形，不符合题意； B、对应点连线交于一点，且两个图形是相似图形，故是位似图形，符合题意； C、对应点连线不交于一点，故不是位似图形，不符合题意； D、两个图形不是相似图形，故不是位似图形，不符合题意； 故选：B． 【变式1-2】（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）下列图形变化属于位似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是位似图形，两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．根据位似图形的定义判断即可． 【详解】解：选项A的图形属于位似图形，符合题意； 选项B、C、D的图形都不属于位似图形，不符合题意； 故选：A． 【变式1-3】（25-26九年级上·山西晋城·期末）下列是相似图形但不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似图形与位似图形的定义，关键在于明确位似图形是特殊的相似图形，需额外满足“对应顶点的连线交于同一点，且对应边互相平行或共线”的条件． 【详解】解：根据相似图形与位似图形的定义：相似图形指形状相同的图形；位似图形是特殊的相似图形，需同时满足“对应顶点的连线交于同一点”和“对应边互相平行或共线”． 选项A、B、C的图形均为位似图形(同时是相似图形)； 选项D的图形是相似图形，但对应顶点连线未交于同一点，不是位似图形． 故选：D． 【题型2 作位似图形】 【例2】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）在图1与图2中分别作出一个位置不同的三角形，使得其与关于坐标原点位似，且其边长是的边长的两倍． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图——位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点A、B的横纵坐标都乘以2（或）得到对应点的坐标，然后描点并连接即可． 【详解】解：如图1，如图2所示，即为所求作． 【变式2-1】如图，已知外一点，以点为位似中心，将缩小为原图形的不写作法，请保留作图痕迹 【答案】见解析 【分析】分别连接、、，再取它们的中点、、，则满足条件． 【详解】解：如图，为所作． 【点睛】本题考查了作图位似变换，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【变式2-2】（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图1、图2均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点，B，C，D均在格点上，在图1、图2中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，保留必要的作图痕迹． (1)在图1中以点为位似中心、以线段为边画一个，使它与位似； (2)在图2中的线段上画一个点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了画位似三角形，相似三角形的性质与判定，熟知位似三角形和相似三角形的相关知识是解题的关键． （1）取格点E，连接，则即为所求，利用网格的特点和勾股定理可证明，则和是以点A为位似中心的位似三角形； （2）取格点C、D，连接交于点P，则点P即为所求，可证明，则． 【详解】（1）解：如图1所示，即为所求； （2）解：如图2所示，点P即为所求． 【变式2-3】（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在下方网格图中，三个顶点坐标分别为，，． (1)请画出沿轴正方向平移4个单位长度所得到的； (2)以原点为位似中心，将（1）中的放大为原来的3倍得到，请在第一象限内画出． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了位似变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题的关键． （1）直接利用平移的性质得出对应点位置即可得出答案； （2）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案，平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为3，位似图形对应点的坐标比等于：，本题在第一象限所以只取位似图形对应点的坐标比等于3，求出坐标即可画出图形． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求． 【题型3 判断位似中心】 【例3】如图，在正方形和正方形中，点和点的坐标分别为，，则两个正方形的位似中心的坐标是___________. 【答案】或 【分析】根据位似变换中对应点的坐标的变化规律，分两种情况：一种是当点E和C是对应顶点，G和A是对应顶点；另一种是A和E是对应顶点，C和G是对应顶点. 【详解】∵正方形和正方形中，点和点的坐标分别为， ∴ （1）当点E和C是对应顶点，G和A是对应顶点，位似中心就是EC与AG的交点. 设AG所在的直线的解析式为 解得 ∴AG所在的直线的解析式为 当时，，所以EC与AG的交点为 （2）A和E是对应顶点，C和G是对应顶点.，则位似中心就是AE与CG的交点 设AE所在的直线的解析式为 解得 ∴AE所在的直线的解析式为 设CG所在的直线的解析式为 解得 ∴AG所在的直线的解析式为 联立解得 ∴AE与CG的交点为 综上所述，两个正方形的位似中心的坐标是或 故答案为或 【点睛】本题主要考查位似图形，涉及了待定系数法求函数解析，求位似中心，正确分情况讨论是解题的关键. 【变式3-1】（25-26九年级上·浙江温州·期末）在如图所示的的方格中，是格点，线段是由线段位似放大得到的，则它们的位似中心可以是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查位似中心的定义，解题关键是理解“位似中心是对应顶点连线的交点”，通过找到对应顶点并分析其连线的交点来确定答案．需找到线段与线段对应顶点（如A与C、B与D）连线的交点，该交点即为位似中心． 【详解】解：位似中心是位似图形中对应顶点连线的交点， 观察方格图中各点位置，连接A与C、B与D，发现这两条线段的交点为点， 因此位似中心是点． 故选：B． 【变式3-2】（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）图中的与位似，则位似中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查图形的位似：连接，三条直线的交点即为位似中心． 【详解】解：如图： 与位似，则位似中心是点N， 故选：B． 【变式3-3】（25-26九年级上·福建宁德·期末）如图，是三个全等的等腰三角形，底边在同一直线上．分别交于点，．小明发现与位似，其位似中心是___________． 【答案】点F 【分析】本题主要考查了求两个位似图形的位似中心，相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键．证明，得出点A与点D为对应点，点B与点Q为对应点，证明， ，根据底边在同一直线上，且过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，得出与在同一直线上，即可证明结论． 【详解】解：连接，，如图所示： ∵是三个全等的等腰三角形， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴点A与点D为对应点，点B与点Q为对应点， ∵，， ∴为平行四边形， ∴， 同理：四边形为平行四边形， ∴， ∵底边在同一直线上，且过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， ∴与在同一直线上， ∴与交于点F， ∴与的位似中心为点F． 故答案为：点F． 【题型4 求位似图形的位似比】 【例4】（25-26九年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，与是位似图形，点O为位似中心，若，，则它们的位似比为________． 【答案】 【分析】本题主要考查图形的位似，与的位似比． 【详解】解：根据题意可知，与的位似比． 故答案为： 【变式4-1】（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，与为位似图形，且顶点都在正方形格点上，若与的位似比为k，则位似中心的坐标与k的值分别为（　　） A．， B．，2 C．， D．，2 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换、坐标与图形的性质等知识．两对对应点的连线的交点即为位似中心；找到任意一对对应边的边长，让其相比即可求得k． 【详解】解：如图，连接，延长交的延长线于点， 点就是位似中心，坐标为， ． ． 故选：D． 【变式4-2】如图，点是等边三角形的中心，分别是，，的中点，则与是位似三角形．此时，与的位似比为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、相似三角形的判定、位似图形与位似中心，熟记位似图形与位似中心的定义是解题关键．先根据三角形中位线定理可得，，，，得出，再根据位似中心的定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所在的直线都经过同一点，对应边互相平行（或共线），那么这样的两个图形叫位似图形，这个点叫做位似中心，从而即可求解． 【详解】解：∵分别是，，的中点， ∴，，，， ∴， 又∵分别是，，的中点， ∴点与点，点与点，点与点的连线都经过点， ∴与是位似三角形，其位似中心是点， ∵， ∴与的位似比为， 故答案为：． 【变式4-3】如图，正方形的两边，分别在平面直角坐标系的、轴的正半轴上，正方形与正方形是以的中点为中心的位似图形，已知，若点的坐标为，则正方形与正方形的相似比是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似变换和坐标与图形的变化的知识，解题的关键是根据已知条件求得两个正方形的边长． 延长交于点E，根据大正方形的对角线长求得其边长，然后求得小正方形的边长后即可求两个正方形的相似比． 【详解】解：延长交于点E，如图． ∵在正方形中，， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵正方形与正方形是以的中点为中心的位似图形， ∴， ∴， ∴， ∴正方形与正方形的相似比是． 故选：B． 【题型5 】 【例5】如图，与位似，点为位似中心，位似比为，，别的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似变换，先利用位似的性质得到，相似比为，然后根据相似三角形的性质求解，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与位似，点为位似中心，位似比为， ∴，相似比为， ∴， 即， 解得， 故选：． 【变式5-1】如图，是的中位线，是的中位线，连结、、．已知，，，．则的长度为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了中位线的性质和位似图形的判定与性质．掌握了以上知识是解答本题的关键；通过中位线的性质得出，再证明，得出相似比为，即可得到，从而得出答案． 【详解】∵是的中位线，是的中位线， ∴，， ∵，，， ∴， ∴与位似，点O为位似中心， ∴， ∴相似比为， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式5-2】（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，与是以点为位似中心的位似图形，位似比为1：3，正方形的边长为1，点在边上，点在边上，直线交于点，则的长度为_____． 【答案】 【分析】先根据位似图形的性质得 ，且，即可求出 ，进而得出，再说明 ，然后根据相似三角形的对应边成比例得出答案． 【详解】解：∵和是以点A为位似中心的位似图形，且位似比是， ∴ ， ∴，． ∵，正方形的边长为1， ∴， ∴． ∵， ∴ ， ∴， 即， 解得． 【变式5-3】如图，在平面直角坐标系xOy中，五边形A1B1C1D1E1与五边形ABCDE是位似图形，坐标原点O是位似中心，若五边形A1B1C1D1E1与五边形ABCDE的面积之比为9：1，且线段OA1＝9，则线段OA的长度为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】结合题意，根据位似图形的性质，推导得；再根据相似三角形的性质证明，通过相似比计算，即可得到答案． 【详解】∵五边形A1B1C1D1E1与五边形ABCDE是位似图形，五边形A1B1C1D1E1与五边形ABCDE的面积之比为9：1 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵OA1＝9 ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了位似图形和相似三角形的知识；解题的关键是熟练掌握位似图形和相似三角形的性质，从而完成求解． 【题型6 的周长比】 【例6】如图，在平面直角坐标系中，与关于原点位似，且，若的周长为2，则的周长为（     ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】根据位似图形的性质可知与相似，由得出相似比，再利用相似三角形周长比等于相似比即可求解． 【详解】解：∵与关于原点位似， ∴， ∵， ∴和的相似比是2， ∴， ∵的周长为2， ∴的周长为4． 【变式6-1】（25-26九年级上·重庆·阶段检测）如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点，且，则四边形的周长与四边形的周长之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了位似的概念、位似多边形的性质等知识点，掌握位似多边形的周长的比等于相似比是解题的关键．先根据题意求出两个相似多边形的相似比，再根据相似多边形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形与四边形位似，位似中心为点O，， ∴，即四边形与四边形位似比为， ∴． 故选：C． 【变式6-2】（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，关于的中点作位似图形，若点恰为的重心，则与的周长比为__________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形重心的性质和位似比的概念，关键是掌握三角形重心的性质． 根据三角形重心的性质可以求出，从而进一步求出，，，这样便可求出，从而根据相似三角形的周长比计算即可． 【详解】解：点恰为的重心， 点是的三等分点， ， 是关于点的位似图形， ，，， ， ， 故答案为：． 【变式6-3】（25-26九年级上·内蒙古包头·期末）如图，五边形，是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点，的坐标分别为，．若五边形的周长为16，则五边形的周长为（   ） A．24 B．32 C．40 D．48 【答案】A 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定与性质．根据位似图形的性质得到，即五边形的相似比为，据此即可求解． 【详解】解：∵五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点的坐标分别为，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴五边形的相似比为， ∵五边形的周长为16， ∴五边形的周长为24， 故选：A． 【题型7 的面积比】 【例7】（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，在外任取一点，连接，并取它们的中点，连接得到，则下列说法错误的是（   ） A．与是位似图形 B．四边形与的面积比是 C．与的周长比为 D．与的面积比为 【答案】B 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，正确的记忆位似图形性质是解决问题的关键．根据位似图形的性质，得出与是位似图形；由中位线定理得 与相似比为，面积比为，四边形面积是减去的面积，即的倍，故二者面积比为，而非；进而根据位似图形一定是相似图形得出与是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案． 【详解】解：根据位似性质可得： A、与是位似图形，故A选项正确，不符合题意； B、设的面积为， ∵是的中位线， ∴，相似比为，则的 面积为， ∵ 四边形的面积=的面积的面积 ， ∴四边形与的面积比为，故B选项错误，符合题意； C、∵点，为中点， ∴将的三边缩小到原来的得到， ∴与的周长之比为，故C选项正确，不符合题意； D、∵面积比等于相似比的平方， ∴与的面积之比为，故D选项正确，不符合题意． 故选：B． 【变式7-1】（2025·浙江杭州·一模）如图．在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点，若点的对应点，则的面积与的面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查位似图形的概念和性质，相似三角形的性质，掌握相似三角形面积比等于相似比的平方式是解题关键．先根据位似图形的概念求出相似比，再根据相似的性质，面积比等于相似比的平方，即可解题． 【详解】解：∵点，， ∴，， ∵与位似，位似中心为点O， ∴， ∴， ∴的面积与积之比． 故选：C． 【变式7-2】如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心．若，四边形的面积是25，则四边形的面积是（　　） A．4 B．10 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似图形的性质，比例的性质，相似多边形的性质；先根据位似的性质得到，四边形与四边形相似，，再利用比例的性质得，然后根据相似多边形的面积比等于相似比的平方求解即可；掌握性质，能根据性质求出相似比是解题的关键. 【详解】解：四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心， ， 四边形与四边形相似， ， ， ， ， 解得：； 故选：A． 【变式7-3】（25-26九年级下·江苏常州·阶段检测）如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形（四边形），，若四边形的面积是1，则四边形的面积是__________． 【答案】9 【分析】通过位似得到四边形与四边形相似比为，然后根据相似多边形面积的比等于相似比的平方求解． 【详解】解：∵四边形与四边形是位似图形， ∴， ∵， ∴． 【题型8 的对应坐标】 【例8】（24-25九年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在第二象限，点的坐标为，点的坐标为，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形．若点的对应点的坐标为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】根据点的坐标为，点的坐标为，,得，，根据，得，过点A作轴于点D，过点作轴于点E，利用，解答即可． 本题考查了位似性质，熟练掌握位似的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为，, ∴，， ∵， ∴， 过点A作轴于点D，过点作轴于点E， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式8-1】（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如图，平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，（点、点、点的对应点分别是点、点、点），的坐标为，点在第四象限，那么点的坐标为_____ 【答案】 【分析】本题考查了位似图形的性质和相似三角形的性质、勾股定理．首先根据点的坐标为，点的坐标为，求出和的长度，根据可以求出，过点作轴，过点作轴，构造相似三角形，根据相似三角形的性质求出、的长度，再根据点在第四象限，确定点的坐标． 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为， ，， ， ， 如下图所示， 过点作轴，过点作轴， 点的坐标是，点的坐标为， ，， ， 轴，轴， ， ， ， ，， 解得：，， ，， 又点在第四象限， 点的坐标为． 故答案为： ． 【变式8-2】（25-26九年级上·四川泸州·阶段检测）如图，正方形与正方形是位似图形，O为位似中心，相似比为，点A的坐标为，则点E的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，位似图形的性质及平面直角坐标系中点的坐标特征，利用正方形的性质、相似图形的性质及平面直角坐标系中点的坐标与距离的关系来求解即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴， 又∵四边形和均为正方形， ∴，， ∴点E的坐标为， 故选：C． 【变式8-3】如图，与位似，点B为位似中心，与的周长之比为，若点B坐标为，则点D的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．根据周长比确定相似比，由点得坐标确定的，即可求解、长度，便可求解点的坐标． 【详解】解：∵与位似，点为位似中心，与的周长之比为， ∴，相似比为， 即， 又∵坐标为， ∴， 且直线为， ∴，， ∴， ∴的坐标为． 故答案为：A． 【题型9 与位似有关的规律探究】 【例9】如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点，，，在轴上，延长交射线于点，以为边长作正方形；延长交射线于点，以为边长作正方形，分别连接，，，，得到， ， ，按照此规律继续下去，若，则的面积为___． 【答案】 【分析】本题考查了位似变换，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，找出规律是解题的关键． 根据已知条件得到，求得，得到求得，得到，过作，根据等腰直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为， ， 轴，轴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 过作于， ， 的面积， 同理， 的面积， 的面积 ， 的面积， 故答案为：． 【变式9-1】（2025·山东烟台·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的顶点的坐标为．以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧；以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧……按照以上规律作图，点的坐标为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了位似的性质，根据位似比等于变换后与变换前的图形的对应线段的比，根据两点距离得出进而得出，求得直线的解析式，根据，即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴， 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴ 设 ∴ 解得：（舍去） ∴ 故答案为：． 【变式9-2】如图，是边长为1的等边三角形，取的中点，作，，得到四边形，它的面积记为，取的中点，作，，得到四边形，它的面积记作，照此规律，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质和应用，找出规律，是解题的关键．首先由得出，根据相似三角形的性质得出，根据的面积求出，，求出，同理，，，…，根据规律可写出，再n将取2023，计算即可得答案． 【详解】解∶的中点，， ∴， ， ， ， ， 的面积是 ， 推理， ， 同理，，，…， （个） 故答案为∶． 【变式9-3】（24-25九年级上·湖南岳阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，以为位似中心，将边长为的等边三角形作次位似变换，经第一次变换后得到等边三角形，其边长缩小为的，经第二次变换后得到等边三角形，其边长缩小为的，经第三次变换后得到等边三角形，其边长缩小为的，…，按此规律，经第次变换后，所得等边三角形的顶点的坐标为，则的值是__________． 【答案】 【分析】本题考查了位似变换、点的坐标变换规律．首先根据变换的规律依次计算出点、、的坐标，从中找出坐标变换的规律，根据规律得到的值即可． 【详解】解：第一次变换后，点的坐标为， 第二次变换后，点的坐标为， 第三次变换后，点的坐标为， ， 第次变换后，点的坐标为， 等边三角形的顶点的坐标为， ， 解得：． 故答案为： ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.7 位似（举一反三讲义） 【新教材湘教版】 题型归纳 【题型1 识别位似图形】 2 【题型2 作位似图形】 3 【题型3 判断位似中心】 5 【题型4 求位似图形的位似比】 6 【题型5 】 7 【题型6 的周长比】 8 【题型7 的面积比】 10 【题型8 的对应坐标】 11 【题型9 与位似有关的规律探究】 12 考点1 位似 知识点1 位似图形的有关概念 1. 一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P，P'所在的直线都经过同一点O，且有，那么这样的两个多边形叫做位似多边形．点O叫做位似中心，k就是这两个相似多边形的相似比．位似中心可能在两个位似图形的同侧，也可能在两个位似图形的异侧，也可能在其中一个图形的边上，还可能在两个位似图形的内部． 2. 位似与相似的关系 位似 相似 形状 完全相同 完全相同 对应角 相等 相等 对应边 成比例 成比例 位置关系 对应点所在直线都经过同一点 任意摆放 联系 位似是相似的特殊情况 知识点2 位似图形的性质 1. 位似图形对应顶点的连线所在直线必过位似中心． 2. 位似图形任意一组对应点到位似中心的距离之比等于相似比． 3. 位似图形的对应线段所在直线平行（或共线），且对应线段之比相等． 4. 如果两个图形是位似图形，则两个图形必相似，其周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 知识点3 位似图形的画法 1. 利用位似图形的性质将一个图形进行放大或缩小的过程叫做位似变换． 2. 画位似图形的步骤 （1）确定位似中心O； （2）分别连接位似中心和能代表原图形的关键点； （3）按相似比找出所作位似图形的对应点； （4）顺次连接上述各点，所得的图形就是所求的位似图形． 知识点4 平面直角坐标系中的位似变换 1. 在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为，即若原图形的某一顶点坐标为，则其位似图形对应顶点的坐标为或． 2. 平移、轴对称、旋转、位似变换中坐标的变化规律 名称 规律 平移变换 对应点的横坐标或纵坐标加上（或减去）平移的单位长度 轴对称变换 若以x轴为对称轴，则对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；若以y轴为对称轴，则对应点的纵坐标相等，横坐标互为相反数 旋转变换 将一个图形绕原点旋转180°，则旋转前后两个图形对应点的横坐标与纵坐标都互为相反数 位似变换 当以原点为位似中心时，变换前后两个图形对应点的横坐标、纵坐标之比的绝对值都等于相似比 【题型1 识别位似图形】 【例1】如图所示，是位似图形的几种画法，其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-1】（25-26九年级上·河北石家庄·期末）观察下列各组图形，其中属于位似图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）下列图形变化属于位似的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26九年级上·山西晋城·期末）下列是相似图形但不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【题型2 作位似图形】 【例2】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）在图1与图2中分别作出一个位置不同的三角形，使得其与关于坐标原点位似，且其边长是的边长的两倍． 【变式2-1】如图，已知外一点，以点为位似中心，将缩小为原图形的不写作法，请保留作图痕迹 【变式2-2】（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图1、图2均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点，B，C，D均在格点上，在图1、图2中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，保留必要的作图痕迹． (1)在图1中以点为位似中心、以线段为边画一个，使它与位似； (2)在图2中的线段上画一个点，使． 【变式2-3】（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在下方网格图中，三个顶点坐标分别为，，． (1)请画出沿轴正方向平移4个单位长度所得到的； (2)以原点为位似中心，将（1）中的放大为原来的3倍得到，请在第一象限内画出． 【题型3 判断位似中心】 【例3】如图，在正方形和正方形中，点和点的坐标分别为，，则两个正方形的位似中心的坐标是___________. 【变式3-1】（25-26九年级上·浙江温州·期末）在如图所示的的方格中，是格点，线段是由线段位似放大得到的，则它们的位似中心可以是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式3-2】（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）图中的与位似，则位似中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式3-3】（25-26九年级上·福建宁德·期末）如图，是三个全等的等腰三角形，底边在同一直线上．分别交于点，．小明发现与位似，其位似中心是___________． 【题型4 求位似图形的位似比】 【例4】（25-26九年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，与是位似图形，点O为位似中心，若，，则它们的位似比为________． 【变式4-1】（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，与为位似图形，且顶点都在正方形格点上，若与的位似比为k，则位似中心的坐标与k的值分别为（　　） A．， B．，2 C．， D．，2 【变式4-2】如图，点是等边三角形的中心，分别是，，的中点，则与是位似三角形．此时，与的位似比为______． 【变式4-3】如图，正方形的两边，分别在平面直角坐标系的、轴的正半轴上，正方形与正方形是以的中点为中心的位似图形，已知，若点的坐标为，则正方形与正方形的相似比是（    ） A． B． C． D． 【题型5 】 【例5】如图，与位似，点为位似中心，位似比为，，别的长度为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，是的中位线，是的中位线，连结、、．已知，，，．则的长度为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式5-2】（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，与是以点为位似中心的位似图形，位似比为1：3，正方形的边长为1，点在边上，点在边上，直线交于点，则的长度为_____． 【变式5-3】如图，在平面直角坐标系xOy中，五边形A1B1C1D1E1与五边形ABCDE是位似图形，坐标原点O是位似中心，若五边形A1B1C1D1E1与五边形ABCDE的面积之比为9：1，且线段OA1＝9，则线段OA的长度为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【题型6 的周长比】 【例6】如图，在平面直角坐标系中，与关于原点位似，且，若的周长为2，则的周长为（     ） A．2 B．4 C． D． 【变式6-1】（25-26九年级上·重庆·阶段检测）如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点，且，则四边形的周长与四边形的周长之比是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，关于的中点作位似图形，若点恰为的重心，则与的周长比为__________． 【变式6-3】（25-26九年级上·内蒙古包头·期末）如图，五边形，是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点，的坐标分别为，．若五边形的周长为16，则五边形的周长为（   ） A．24 B．32 C．40 D．48 【题型7 的面积比】 【例7】（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，在外任取一点，连接，并取它们的中点，连接得到，则下列说法错误的是（   ） A．与是位似图形 B．四边形与的面积比是 C．与的周长比为 D．与的面积比为 【变式7-1】（2025·浙江杭州·一模）如图．在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点，若点的对应点，则的面积与的面积之比为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心．若，四边形的面积是25，则四边形的面积是（　　） A．4 B．10 C． D． 【变式7-3】（25-26九年级下·江苏常州·阶段检测）如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形（四边形），，若四边形的面积是1，则四边形的面积是__________． 【题型8 的对应坐标】 【例8】（24-25九年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在第二象限，点的坐标为，点的坐标为，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形．若点的对应点的坐标为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为________． 【变式8-1】（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如图，平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，（点、点、点的对应点分别是点、点、点），的坐标为，点在第四象限，那么点的坐标为_____ 【变式8-2】（25-26九年级上·四川泸州·阶段检测）如图，正方形与正方形是位似图形，O为位似中心，相似比为，点A的坐标为，则点E的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】如图，与位似，点B为位似中心，与的周长之比为，若点B坐标为，则点D的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【题型9 与位似有关的规律探究】 【例9】如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点，，，在轴上，延长交射线于点，以为边长作正方形；延长交射线于点，以为边长作正方形，分别连接，，，，得到， ， ，按照此规律继续下去，若，则的面积为___． 【变式9-1】（2025·山东烟台·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的顶点的坐标为．以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧；以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧……按照以上规律作图，点的坐标为______． 【变式9-2】如图，是边长为1的等边三角形，取的中点，作，，得到四边形，它的面积记为，取的中点，作，，得到四边形，它的面积记作，照此规律，则_______． 【变式9-3】（24-25九年级上·湖南岳阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，以为位似中心，将边长为的等边三角形作次位似变换，经第一次变换后得到等边三角形，其边长缩小为的，经第二次变换后得到等边三角形，其边长缩小为的，经第三次变换后得到等边三角形，其边长缩小为的，…，按此规律，经第次变换后，所得等边三角形的顶点的坐标为，则的值是__________． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $