27.1 反比例函数的概念（课件）2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦反比例函数概念，涵盖定义、三种表达式及解析式求法。通过高铁速度、矩形草坪等实际问题导入，对比正比例函数，构建从具体到抽象的学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于情境化导入培养数学眼光，概念辨析与分层练习发展数学思维和语言。如用手机流量问题抽象函数关系，辨析题区分反比例关系与函数，例题结合几何物理培养模型意识。帮助学生深化理解，教师可用于随堂巩固和复习。

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（2024）数学九年级上册教学课件 第二十七章 反比例函数 27.1 反比例函数的概念 2026年8月3日 人教版九年级下册27.1 反比例函数的概念同步练习题 一、知识梳理 一般地，形如$$y=\dfrac{k}{x}$$（$$k$$为常数，$$k≠0$$）的函数，叫做反比例函数。其中$$x$$是自变量，$$y$$是函数，自变量$$x$$的取值范围是不等于0的一切实数。反比例函数描述的是两个变量的乘积为定值的变化关系，与正比例函数、一次函数的线性变化关系有本质区别。 反比例函数的三种等价形式：标准式$$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$$、乘积式$$xy=k(k≠0)$$、负指数式$$y=kx^{-1}(k≠0)$$。解题中可灵活转换形式判断函数类型，其中乘积式是判断两个变量是否成反比例关系的核心依据，只要两个变量的积是不为0的定值，二者即成反比例函数关系。 核心概念辨析：正比例函数是比值一定（$$\dfrac{y}{x}=k$$），变量同时增大或减小；反比例函数是乘积一定（$$xy=k$$），变量变化趋势相反，一个增大另一个随之减小。同时注意$$k≠0$$是反比例函数的必备条件，若$$k=0$$，函数无意义，不属于反比例函数。 基础解题应用：根据反比例函数定义求参数取值、判断函数解析式类型、利用待定系数法求反比例函数解析式。已知一组对应的$$x、y$$值，代入解析式即可求出常数$$k$$，确定完整函数关系式，是后续学习反比例函数图象与性质的基础。 二、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 下列函数中，属于反比例函数的是（） A.$$y=3x$$ B.$$y=\dfrac{3}{x}$$ C.$$y=3x+1$$ D.$$y=3x^2$$ 2. 反比例函数$$y=\dfrac{5}{x}$$中，常数$$k$$的值是（） A.0 B.5 C.$$-5$$ D.1 3. 已知函数$$y=(m-2)x^{-1}$$是反比例函数，则$$m$$的取值范围是（） A.$$m≠2$$ B.$$m=2$$ C.$$m≠0$$ D.$$m$$为任意实数 4. 若变量$$x、y$$满足$$xy=-6$$，则$$y$$与$$x$$的函数关系是（） A.正比例函数 B.反比例函数 C.一次函数 D.二次函数 5. 对于反比例函数$$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$$，自变量$$x$$的取值范围是（） A.全体实数 B.$$x≠0$$ C.$$x>0$$ D.$$x<0$$ 三、填空题（每题4分，共20分） 1. 反比例函数$$y=-\dfrac{4}{x}$$的常数$$k=$$________。 2. 若函数$$y=\dfrac{k}{x}$$经过点$$(2,3)$$，则$$k=$$________。 3. 已知$$y=(m+1)x^{m^2-2}$$是反比例函数，则$$m=$$________。 4. 成反比例关系的两个变量，________始终是定值且不为0。 5. 写出一个反比例函数解析式：________。 四、判断正误题（每题3分，共15分） 1. 函数$$y=\dfrac{1}{2x}$$是反比例函数。（） 2. 若$$y$$与$$x$$成反比例，则$$y$$随$$x$$的增大而增大。（） 3. 函数$$y=\dfrac{0}{x}$$是反比例函数。（） 4. $$xy=7$$可化为反比例函数$$y=\dfrac{7}{x}$$。（） 5. 反比例函数自变量可以取任意实数。（） 五、解答题（共3小题，总分35分） 1. （12分）判断下列函数是否为反比例函数，若是，写出对应的$$k$$值；若不是，说明理由。 （1）$$y=\dfrac{6}{x}$$ （2）$$y=-\dfrac{1}{3x}$$ （3）$$y=2x-1$$ 2. （11分）已知$$y$$是$$x$$的反比例函数，且当$$x=-3$$时，$$y=4$$。 （1）求该反比例函数的解析式； （2）求当$$x=2$$时，对应的函数值$$y$$。 3. （12分）已知函数$$y=(m^2-4)x^{m^2-m-3}$$是反比例函数。 （1）求$$m$$的值； （2）写出该反比例函数解析式； （3）求$$x=-1$$时的函数值。 参考答案 一、选择题：1.B 2.B 3.A 4.B 5.B 二、填空题：1.$$-4$$；2.$$6$$；3.$$1$$；4.乘积；5.$$y=\dfrac{2}{x}$$（答案不唯一） 三、判断题：1.√ 2.× 3.× 4.√ 5.× 四、解答题 1. 解：（1）是反比例函数，$$k=6$$；（2）是反比例函数，$$k=-\dfrac{1}{3}$$；（3）不是反比例函数，是一次函数，自变量次数为1，不符合反比例函数定义。 2. 解：（1）设解析式为$$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$$，代入$$x=-3，y=4$$，得$$k=-12$$，解析式为$$y=-\dfrac{12}{x}$$；（2）当$$x=2$$时，$$y=-6$$。 3. 解：（1）由题意得$$m^2-m-3=-1$$且$$m^2-4≠0$$，解得$$m=2$$（舍去）或$$m=-1$$，故$$m=-1$$；（2）解析式为$$y=-\dfrac{3}{x}$$；（3）当$$x=-1$$时，$$y=3$$。 本套习题聚焦反比例函数的核心定义、三种表达式、参数求解与解析式求法，针对性突破概念辨析易错点，题型梯度合理，适配新课随堂巩固、课后作业与基础专项复习。 思考 在下列问题中，变量之间具有函数关系吗？如果有，它们的解析式有什么共同特点？ (1) 京沪高铁全程为1 318 km，某次列车的平均速度v（单位：km/h）随此次列车的全程运行时间t（单位：h）的变化而变化； 在问题(1)中，有两个变量t与v，当一个量t变化时，另一个量 v 随着 t 的变化而变化，而且对于 t 的每一个确定的值，v 都有唯一确定的值与其对应，所以这两个变量之间具有函数关系. 解析式为v = . 思考 在下列问题中，变量之间具有函数关系吗？如果有，它们的解析式有什么共同特点？ (2) 某住宅小区要种植一块面积为1 000 m²的矩形草坪，草坪相邻两边的一边长y（单位：m）随另一边长x（单位：m）的变化而变化； 在问题(2)中，有两个变量y与x，当一个量x变化时，另一个量y随着x的变化而变化，而且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，所以这两个变量之间具有函数关系. 解析式为y = . 思考 在下列问题中，变量之间具有函数关系吗？如果有，它们的解析式有什么共同特点？ (3) 李明计划在一段时间内使用完5 GB手机流量，平均每天使用的流量Q（单位：GB）随使用完流量的总时间t（单位：天）的变化而变化. 在问题(3)中，有两个变量Q与t，当一个量t变化时，另一个量Q随着t的变化而变化，而且对于t的每一个确定的值，Q都有唯一确定的值与其对应，所以这两个变量之间具有函数关系. 解析式为Q = . 思考：这些解析式有什么共同特点？ v = ，y = ，Q = . 上述解析式都具有 y = 的形式，其中 k 是非零常数. 一般地，形如 y = （k为常数，k≠0）的函数叫作反比例函数，其中 x 是自变量，其取值范围是不等于0的一切实数. 注意：在 y = 中，当x=0 时，分式 无意义. 反比例关系 反比例函数 区 别 如果 ab=k（k 为常数，k≠0），那么a与b这两个量成反比例关系. 例如：若 y+2 与 x−5 成反比例，则 y+2=（k 为常数，k≠0）. 反比例函数是描述了变量之间成反比例关系的一种数学函数，是形如 y = ​（k 为常数，k≠0）的函数. 联 系 反比例函数是反比例关系的一种特殊形式，成反比例关系不一定是反比例函数，但反比例函数中的两个变量一定成反比例关系. 例如：y= 表示 y 与 x2​ 成反比例，但 y 不是关于 x 的反比例函数. 辨析 反比例关系与反比例函数的区别和联系 1. 返回 下列函数中，y是x的反比例函数的是(　　) C 举一反三 8 返回 2. 已知反比例函数y＝ ，则k的值不可能是(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 C 举一反三 下列函数： ① ；② ；③ xy8=0；④ +1；⑤ ；⑥ ； ⑦ ；⑧ （a 为常数）. 其中  是  的反比例函数的有___________________.（填序号） 例1 ①②③⑦⑧ 易错：在反比例函数y=kx－1(k≠0)中，自变量x的指数是1，要与正比例函数y=kx (k≠0)相区别 反比例函数的常见形式： ①y = ；②y=kx－1；③xy=k.（k为常数，k≠0） 用函数解析式表示下列问题中变量之间的关系，并指出它们各是什么函数. (1)当圆锥的体积是 50 cm3 时，它的高 h (cm) 与底面圆的面积 S (cm2 ) 之间的关系； (2)我国某磁悬浮列车最高速度可达 600 km/h，该列车以最高速度行驶路程 s (km) 与它行驶的时间 t (h) 之间的关系； 解：(1) 依题意，得 50=Sh，则 h=，该函数是反比例函数. (2) 依题意，得 s=600t，该函数是正比例函数. 例2 用函数解析式表示下列问题中变量之间的关系，并指出它们各是什么函数. (3)当做功是 50 J 时，力 F (N) 与物体在力 F 的方向上移动的距离 s (m) 之间的关系； (4)用长为 20 m 的篱笆围成一个矩形菜园（篱笆全部用完），设菜园的一边长为 x (m)，菜园的面积 S (m2 ) 与 x (m) 之间的关系. W=Fs （ W：功(J) ；F：力(N)；s：在力的方向上移动的距离(m) ） 解：(3) 依题意，得 F=，该函数是反比例函数. (4) 依题意，得 S=x(10－x)，即 S=－x2+10x，该函数是二次函数. 例2 例3 已知 y 是 x 的反比例函数，且当 x=2 时，y=6. (1) 写出 y 关于 x 的函数解析式； (2) 当 x=4 时，求 y 的值. 分析：因为y是x的反比例函数，所以设 y= . 把 x=2，y=6 代入上式，就可求出常数 k 的值. 解：(1) 设 . 因为当 x=2 时，y=6， 所以 解得 k = 12. 因此 (2) 把 x=4 代入 y， 得 用待定系数法求反比例函数的解析式 在反比例函数 （ 为常数，）中，只有一个待定系数 ，因此只要给出一对  的对应值，就可以求出待定系数  的值，从而确定反比例函数的解析式. 实质是代入一对 x，y 的对应值解方程 用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤 一设：根据题意，设反比例函数的解析式为 （）； 二代：把 x，y 的一对对应值代入  中，得到一个关于 k 的方程； 三解：解方程，求出  的值； 四写：将  的值代入所设解析式中，即得到该反比例函数的解析式. 返回 3. 在反比例函数y＝ 中，系数k＝__________，自变量x的取值范围是________． x≠0 举一反三 返回 4. (1)若函数y＝ 是反比例函数，则a的值为________； (2)若函数y＝5x2m－3是反比例函数，则m的值为________． －1 1 举一反三 已知 y 是 x 的反比例函数，当 x=6 时，y=－. 跟踪训练 (1)求 y 关于 x 的函数解析式； (2)当 x= -8 时，求 y 的值； (3)当 y=12 时，求 x 的值. 己经明确“y是x的反比例函数”或“y与x成反比例”时，可直接设函数的解折式为 y 解：(1)设（）. 因为当时，，所以，解得, 所以. (2)当x=-8时，. (3)当y=12时，12，所以. 易错：代入-8时，不要漏掉解析式中原有的负号 下列哪些关系式中的y是x的反比例函数？每一个反比例函数相应的k值是多少？ 返回 5. 解：②④⑧⑨是反比例函数，相应的k值分别是－3， ，－2，a2＋1. 举一反三 【河北人文气息】[沧州期末]国道G107马头南至冀豫界段是我省重点建设项目，其某段施工需运送土石方104 m3，则土石方日运送量V(m3/天)与完成运送任务所需时间t(天)满足(　　) A．反比例函数关系 B．正比例函数关系 C．一次函数关系 D．二次函数关系 返回 6. A 举一反三 返回 7. 某城市市区人口为x万人，市区绿地面积为50万平方米，平均每人拥有绿地y平方米，则y与x之间的函数解析式为(　　) A．y＝x＋50 B．y＝50x C．y＝ D．y＝ C 举一反三 返回 8. 当三角形的面积为9 cm2时，它的底边长a(cm)与底边上的高h(cm)之间的关系式为____________． 举一反三 返回 9. 学校图书馆有一批图书要分发给学生，学生人数和每名学生分得的图书本数如下表： 每名学生分得的图书本数 2 3 4 学生人数 300 200 150 用y表示学生人数，x表示每名学生分得的图书本数，用式子表示y与x的关系为________，y与x成________比例函数关系． 反 举一反三 23 返回 10. [教材P65例变式]已知y与x成反比例，且当x＝3时，y＝－8. (1)求y关于x的函数解析式； 举一反三 24 返回 (2)当x＝－4时，求y的值； (3)当y＝12时，求x的值． 举一反三 25 返回 11. 某工厂计划生产零件m个，生产天数为d(天)，每日生产量为n(个)，则在下列三个结论中，正确的是(　　) ①当d一定时，m是n的反比例函数； ②当m一定时，d是n的反比例函数； ③当n一定时，m是d的反比例函数． A．① B．② C．③ D．①②③ B 举一反三 26 返回 12. 【易错题】已知函数 是反比例函数，则n的值为(　　) A．1 B．－1 C．±1 D．±2 A 举一反三 27 13. 如图是用绳子围成的矩形，记矩形相邻的两边长分别为x m，y m. (1)若绳子长为10 m，则y与x的关系式为__________， y是x的________函数； (2)若矩形的周长为20 m，矩形的面积为S m2，则S与x的关系式为____________，S是x的________函数； (3)若矩形的面积是10 m2，则y与x的关系式为________，y是x的________函数． y＝－x＋5 返回 一次 S＝－x2＋10x 二次 反比例 举一反三 14. 已知函数y＝2y1－y2，y1与x＋1成正比例，y2与x成反比例．当x＝1时，y＝4；当x＝2时，y＝3. (1)求y关于x的函数解析式； 返回 举一反三 解：由题意，设y1＝k1(x＋1)，y2＝ ∵y＝2y1－y2，∴y＝2k1(x＋1)－ ∵当x＝1时，y＝4；当x＝2时，y＝3， 返回 举一反三 (2)当x＝－1时，求y的值． 返回 举一反三 15. [石家庄期中]在面积为定值的一组菱形中，当菱形的一条对角线长为4 cm时，它的另一条对角线长为12 cm. (1)设菱形的两条对角线的长分别为x(cm)，y(cm)，求y关于x的函数解析式．这个函数是反比例函数吗？如果是，指出比例系数； 返回 举一反三 (2)若其中一个菱形的一条对角线长为6 cm，求它的另一条对角线长． 解：48÷6＝8(cm)． 答：它的另一条对角线长为8 cm. 返回 举一反三 一般地，形如 y = （k为常数，k≠0）的函数 ①y = ；②y=kx－1；③xy=k.（k为常数，k≠0） 三种形式 概念 确定解析式 用待定系数法求反比例函数的解析式 设、代、解、写 反比例函数 实际问题 抽象 课堂小结 谢谢观看 THANKS A．y＝ B．y＝x C．y＝ D．y＝ － － ①y＝＋1；②y＝－；③y＝；④xy＝；⑤y＝；⑥＝2；⑦y＝；⑧y＝－2x－1；⑨y＝(a为常数)． a＝ y＝ 解：设y关于x的函数解析式为y＝， 将x＝3，y＝－8代入，得－8＝， 解得k＝－24， 所以y关于x的函数解析式为y＝－. 解：将y＝12代入y＝－，得12＝－，解得x＝－2. 解：将x＝－4代入y＝－，得y＝－＝6. y＝(n＋1)xn2－2 y＝ ∴解得 ∴y＝(x＋1)－＝x＋＋. . . 解：当x＝－1时，y＝－－3＋＝－3. 解：由题意，得菱形的面积为×4×12＝24(cm2)，∴xy＝24，∴xy＝48，即y＝， 这个函数是反比例函数，比例系数为48. $