27.1反比例函数的概念 课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦反比例函数的概念及表达式，通过复习一次函数、二次函数等旧知梳理函数学习脉络，搭建从具体到抽象的学习支架，引导学生建立新旧知识联系。 其亮点是以实际问题（高铁速度、矩形草坪等）驱动探究，培养抽象能力和符号意识，通过概念辨析、三种表达式归纳发展推理意识，典例与练习结合强化模型意识。结构化小结助学生系统梳理，分层作业满足不同需求，助力学生提升数学应用能力，便于教师高效教学。

人教版数学九年级上册 第二十七章 反比例函数 27.1 反比例函数的概念 学习目标 1 2 会通过分析实际问题的情境确定反比例函数的表达式，体会反比例函数的意义. 理解反比例函数的概念和表达式. 目录 1 4 2 3 巩固练习 典例分析 复习引入 合作探究 5 6 当堂检测 课堂小结 7 布置作业 1 复习引入 2.我们学习了一次函数和二次函数的哪些知识呢？ 一次函数 1.函数是描述现实世界中变量关系和变化规律的数学模型，我们学习过哪些函数呢？ 函数与 方程、不等式 函数的 图象和性质 函数的概念 及相关概念 正比例函数 特殊 函数与 实际问题 二次函数 2 合作探究 思考 在下列问题中，变量之间具有函数关系吗?如果有，它们的解析式有什么共同特点? (1)京沪高铁全程为1 318 km，某次列车的平均速度v(单位：km/h)随此次列车的全程运行时间t(单位：h)的变化而变化； 分析：在问题(1)中，有两个变量t与v，当一个量t变化时，另一个量v随着t的变化而变化，而且对于t的每一个确定的值，v都有唯一确定的值与其对应. 函数关系式为v= 2 合作探究 思考 在下列问题中，变量之间具有函数关系吗?如果有，它们的解析式有什么共同特点? (2)某住宅小区要种植一块面积为1 000 m2的矩形草坪，草坪相邻两边的一边长y(单位：m)随另一边长x(单位：m)的变化而变化； 分析：在问题(2)中，有两个变量x与y，当一个量x变化时，另一个量y随着x的变化而变化，而且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应. 函数关系式为y= 2 合作探究 思考 在下列问题中，变量之间具有函数关系吗?如果有，它们的解析式有什么共同特点? (3)李明计划在一段时间内使用完5 GB手机流量，平均每天使用的流量Q(单位：GB)随使用完流量的总时间t(单位：天)的变化而变化. 分析：在问题(3)中，有两个变量t与Q，当一个量t变化时，另一个量Q随着t的变化而变化，而且对于t的每一个确定的值，Q都有唯一确定的值与其对应. 函数关系式为Q= 2 合作探究 思考 观察下列函数关系式，它们有什么共同点? 一般地，形如y=(k为常数，k≠0)的函数叫作反比例函数，其中 x是自变量，y是x的函数. v= y= Q= 答:他们都具有y=的形式，其中k是非零常数. “思考”中的解析式 自变量的取值范围 追问 反比例函数y=(k≠0) 的自变量 x 的取值范围是什么？ 2 合作探究 答:因为当x=0时，分式无意义， 所以自变量x的取值范围是不等于0的一切实数. ★温馨提示 在实际问题中，还应考虑自变量的实际意义. t>0 v= y= Q= x>0 t>0 概念辨析 下列函数中哪些是反比例函数？若是，请指出k的值. ① y=3x−1 ② y=− x ③ y=− ④ y= ⑤xy=5 ⑥ y=− 是，k=3 不是 y= 不是 2 合作探究 是，k=2 是，k=5 不是 y= 2 合作探究 归纳总结 反比例函数的三种表达形式： ， ， . （注意：k .） y= y=kx−1 xy=k ≠0 3 典例分析 例1 已知y是x的反比例函数，且当x=2时，y=6. (1)写出y关于x的函数解析式； (2)当x=4时，求y的值. 分析：因为y是x的反比例函数，所以设y=. 把x=2，y=6代入上式，就可求出常数k的值. 3 典例分析 解：(1)设y=. 因为当x=2时，y=6， 所以 6=. 解得 k=12. 因此 y=. (2)把x=4代人y=，得 y==3. 待定系数法 求函数解析式 ①设出反比例函数解析式(含待定系数) ②将已知条件代入解析式，列出关于待定系数的方程 ③解方程，求出待定系数 ④写出反比例函数解析式 3 典例分析 变式 已知y与x+1成反比例，且其函数图象经过点(1，1)． (1)求y关于x的表达式； (2)当y=4时，求x的值． 解：(1)因为y与x+1成反比例，所以设y=(k≠0). ∵函数图象经过点(1，1)， ∴=1，解得k=2. ∴y关于x的表达式为y=； （2）解：当y=4时，=4，解得x=− ． 例2 若函数y=(m+2)x|m|−3是反比例函数，则m的值是（ ） A．2 B．−2 C．±2 D．0 解：∵函数y=(m+2)x|m|−3是反比例函数， ∴|m|−3=−1，m+2≠0， 解得 m=±2且m≠−2， ∴m=2． 方法总结：已知某个函数为反比例函数，只需要根据反比例函数的定义列出方程或不等式求解即可，如本题中x的次数为－1，且系数不等于0. 3 典例分析 A 4 巩固练习 1. 用函数解析式表示下列问题中变量之间的关系： (1)一个游泳池的容积为2000 m³，游泳池注满水所用时间t(单位：h)随注水速度v(单位：m³/h)的变化而变化； (2)学校准备将1000 m²实践田平均划分给一些班级，每班分得的实践田面积y(单位：m²)随班级个数x的变化而变化； (3)在某次物理实验中，电路中的电压U为3 V，则该电路中的电流I(单位：A)随电阻R(单位：Ω)的变化而变化. 解：(1) t= ； （2）y= ； （3）I=. 4 巩固练习 2. 下列关系式中，y是x的反比例函数的是（    ） A．y=3x B．y= C．y=3x+1 D．y=x2 B 3. 反比例函数y=的k值是（     ） A．− B．−5 C．5 D． D 4 巩固练习 4. 小王记录了家中扫地机器人（电量完全耗尽）充电状态下显示屏显示的电量y%与充电时长t（单位：min）的部分数据如下表： 通过表中数据，小王发现该扫地机器人充电状态下显示屏显示的电量y与充电时长t之间满足学过的某种函数关系．则y与t之间的函数关系式为（    ） A．y= B．y=2t C．y= D．y= A 4 巩固练习 5. 已知y是x的反比例函数，当x=−2时，y=4.求这个函数的解析式和自变量的取值范围. 解：(1)设y=. 因为当x=−2时，y=4， 所以 4=. 解得 k=−8. 因此 y=− . 自变量的取值范围是x≠0. 5 当堂检测 1.如图所示，已知菱形ABCD的面积为180，设它的两条对角线AC，BD的长分别为x，y. 写出变量y与x之间的关系式，并指出它是什么函数. 解：因为菱形的面积等于两条对角线长 乘积的一半，所以 S菱形ABCD=xy=180. 所以变量y与x之间的关系式为y=， 它是反比例函数. A B C D 5 当堂检测 2.令y=axm+(2a+1)xm−1+1，其中m为整数，a为常数且a≠0． （1）若m=0时，y是关于x的反比例函数，则a=________． −1 解：（1）当m=0时，y=a++1=(a+1)+， ∵y是关于x的反比例函数， ∴a+1=0，2a+1≠0， 解得 a=−1； 5 当堂检测 2.令y=axm+(2a+1)xm−1+1，其中m为整数，a为常数且a≠0． （2）下列结论正确的是________．（填写正确结论的序号） ①若y是关于x的一次函数，则其函数图象一定经过第二象限． ②若y是关于x的二次函数，则其函数图象一定经过第二象限． ③若y是关于x的二次函数，则其与一次函数y=ax+1的图象一定有两个不同的交点． 5 当堂检测 解：（2）①若y是关于x的一次函数， ∵a≠0，∴m=1， ∴y=ax+2a+1+1=a(x+2)+2， 当x+2=0时，即x=−2时，y=2， ∴函数恒过定点(−2，2)，该点在第二象限， ∴函数图象一定经过第二象限，故①正确； 2.令y=axm+(2a+1)xm−1+1，其中m为整数，a为常数且a≠0． ①若y是关于x的一次函数，则其函数图象一定经过第二象限． 5 当堂检测 解：（2）②若y是关于x的二次函数， ∴m=2， ∴y=ax2+(2a+1)x+1， 当x=0时，y=ax2+(2a+1)x+1=1， ∴函数过点(0，1)， ∴函数图象一定经过第二象限，故②正确； 2.令y=axm+(2a+1)xm−1+1，其中m为整数，a为常数且a≠0． ②若y是关于x的二次函数，则其函数图象一定经过第二象限． 5 当堂检测 解：（2）③联立得，y=ax2+(2a+1)x+1且y=ax+1， 整理得：ax2+(a+1)x=0， ∴当Δ=(a+1)2−4a×0=0时，a=−1，此时方程有两个相同的实数根 ∴此时只有一个交点，故③错误． 2.令y=axm+(2a+1)xm−1+1，其中m为整数，a为常数且a≠0． ③若y是关于x的二次函数，则其与一次函数y=ax+1的图象一定有两个不同的交点． 综上所述，正确的结论是①②． 6 课堂小结 反比例函数 概念 表达形式 图象 和性质 一般地，形如y=(k为常数，k≠0)的函数叫作反比例函数，其中 x是自变量，y是x的函数. 反比例函数的三种表达形式：y=，y=kx−1，xy=k . (注意：k≠0) 与方程的关系 实际应用 7 布置作业 A B 习题27.1：第1，2题. 习题27.1：第3题. $