18.2分式的乘法与除法（3大知识点+4大题型+分层训练）2026-2027学年人教版八年级数学上册

18.2分式的乘法与除法 学习目标导航 1、掌握法则：理解并掌握分式的乘除法法则，能熟练进行简单的分式乘除运算。 2、综合运算：能够进行分式的乘除混合运算以及分式的乘方运算，并注意运算顺序和符号的处理。 3、化简能力：在运算过程中，能主动将结果化为最简分式或整式，提升代数式的化简能力。 洞悉◆教材知识 知识点01 分式的乘法 1. 分式的乘法： （1） 乘法运算法则： 。分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。（2）具体步骤： ①对能 因式分解 的分子分母进行因式分解。 ②分子分母有 公因式 的要先约分，所有的分母可以和所有的分子进行约分。 ③再用分子乘分子得到积的分子，分母乘分母得到积的分母。 知识点02 分式的除法 2. 分式的除法： （1） 除法运算法则： 。分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 3. 分式的乘除混合运算： 分式的乘除混合运算，可以统一为 乘法 运算。最后的结果一定是 最简分式 或 整式 。 知识点03 分式的乘方 4.分式的乘方的运算法则： 一般地，当n为正整数时，。分式乘方要把分子、分母分别乘方。 【注意】整数负指数幂：。 核心题型◆归纳 题型01 分式的乘除运算 题型02 分式的乘方运算 题型03 分式的乘除与乘方的混合运算 题型04 求运算中的未知部分 ABC分层训练 题型解析◆精准备考 题型01 分式的乘除运算 【典例1】计算的结果为（　　） A． B．1 C．﹣1 D．﹣2 【变式1】计算： （1）； （2）． 【变式2】计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 题型02 分式的乘方运算 【典例1】计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式1】化简（）2的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式2】计算：的结果是（　　） A． B． C． D． 题型03 分式的乘除与乘方的混合运算 【典例1】计算：　 ． 【变式1】计算：． 【变式2】计算：． 题型04 求运算中的未知部分 【典例1】若运算的结果不是分式，则M不可能的是（　　） A．ab B．a2 C．a2﹣ab D． 【变式1】美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号后面的式子污染，即，通过查看答案，得知答案为，则被污染的式子为（　　） A． B． C． D． 【变式2】如果的运算结果为整式，则被遮挡的式子可能是（　　） A． B．3xy C．5y D．x+y ABC分层训练 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．若分式“”，可以进行约分化简，则“□“不可以是（   ） A．1 B．2 C．4 D．x 3．已知，关于甲、乙的说法，下列判断正确的是（    ） 甲：可化为最简分式；：当时，． A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 4．计算：的结果是（　　） A． B． C． D． 5．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．计算的结果是（       ） A． B． C． D． 7．计算：＝______________________． 8．计算的结果是__________． 9．计算：________． 10．化简______． 11．计算： (1)； (2)． 12．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 13．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 14．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 15．下列式子计算后的结果与相等的是（    ） A． B． C． D． 16．化简后的结果为（    ） A． B． C． D． 17．计算______． 18．计算的结果是_________． 19．计算：___________． 20．计算：_____________． 21．计算： (1)； (2)． 22．计算：． 23．先化简，再求值：其中． 24．先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 18.2分式的乘法与除法 学习目标导航 1、掌握法则：理解并掌握分式的乘除法法则，能熟练进行简单的分式乘除运算。 2、综合运算：能够进行分式的乘除混合运算以及分式的乘方运算，并注意运算顺序和符号的处理。 3、化简能力：在运算过程中，能主动将结果化为最简分式或整式，提升代数式的化简能力。 洞悉◆教材知识 知识点01 分式的乘法 1. 分式的乘法： （1） 乘法运算法则： 。分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。（2）具体步骤： ①对能 因式分解 的分子分母进行因式分解。 ②分子分母有 公因式 的要先约分，所有的分母可以和所有的分子进行约分。 ③再用分子乘分子得到积的分子，分母乘分母得到积的分母。 知识点02 分式的除法 2. 分式的除法： （1） 除法运算法则： 。分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 3. 分式的乘除混合运算： 分式的乘除混合运算，可以统一为 乘法 运算。最后的结果一定是 最简分式 或 整式 。 知识点03 分式的乘方 4.分式的乘方的运算法则： 一般地，当n为正整数时，。分式乘方要把分子、分母分别乘方。 【注意】整数负指数幂：。 核心题型◆归纳 题型01 分式的乘除运算 题型02 分式的乘方运算 题型03 分式的乘除与乘方的混合运算 题型04 求运算中的未知部分 ABC分层训练 题型解析◆精准备考 题型01 分式的乘除运算 【典例1】计算的结果为（　　） A． B．1 C．﹣1 D．﹣2 【答案】D 【解答】解： •• ＝﹣2． 故选：D． 【变式1】计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）﹣1． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ＝﹣1． 【变式2】计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）2；（2）；（3）；（4）． 【解答】解：（1）原式 ＝2； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 题型02 分式的乘方运算 【典例1】计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：原式． 故选：B． 【变式1】化简（）2的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：原式． 故选：D． 【变式2】计算：的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：原式 ． 故选：C． 题型03 分式的乘除与乘方的混合运算 【典例1】计算：　　 ． 【答案】． 【解答】解：原式 ． 【变式1】计算：． 【答案】． 【解答】解：原式． 故答案为：． 【变式2】计算：． 【答案】． 【解答】解： ••• ． 题型04 求运算中的未知部分 【典例1】若运算的结果不是分式，则M不可能的是（　　） A．ab B．a2 C．a2﹣ab D． 【答案】D 【解答】解：∵ ， ∴化简结果为， 要使运算结果不是分式，即结果为整式，那么分母a必须被约掉，所以M必须含有因子a， A、当M＝ab时，，是整式，不符合题意； B、当M＝a2时，，是整式，不符合题意； C、当M＝a2﹣ab＝a（a﹣b）时，，是整式，不符合题意； D、当时，，是分式，符合题意． 故选：D． 【变式1】美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号后面的式子污染，即，通过查看答案，得知答案为，则被污染的式子为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解： ， 故选：C． 【变式2】如果的运算结果为整式，则被遮挡的式子可能是（　　） A． B．3xy C．5y D．x+y 【答案】B 【解答】解：设被遮挡的式子为t， 则， ∵原式的运算结果为整式， ∴t中一定含有xy的单项式， ∴只有B选项符合题意． 故选：B． ABC分层训练 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式乘法 【分析】本题考查分式的乘法运算，根据分式乘法法则，将分子相乘的积作为分子，分母相乘的积作为分母，再进行约分即可求解． 【详解】解：， 故选：B． 2．若分式“”，可以进行约分化简，则“□“不可以是（   ） A．1 B．2 C．4 D．x 【答案】B 【知识点】分式乘法、约分 【分析】本题主要考查分式的乘法，分式可以进行约分化简，则分子与分母有公因式，据此分析即可． 【详解】解：A、分母为，分子有，可约分，结果为，故A不符合题意； B、分母为，无法在整数范围内分解，无法与分子约分，故B符合题意； C、分母为，分子有，可约分，结果为，故C不符合题意； D、分母为，分子有，可约分，结果为，故D不符合题意． 故选：B． 3．已知，关于甲、乙的说法，下列判断正确的是（    ） 甲：可化为最简分式；：当时，． A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【答案】C 【知识点】分式除法 【分析】本题考查分式的化简求值，根据分式的除法法则进行计算，求出时的函数值，进行判断即可． 【详解】解： ； 当时，，分式无意义， 故甲正确，乙不正确； 故选C． 4．计算：的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式乘法、分式乘方 【分析】本题考查了分式的乘除法．先进行分式平方及立方的运算，然后约分，即可得出答案． 【详解】解： ． 故选：C． 5．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式除法 【分析】本题考查分式的除法，根据分式的除法法则逐项计算即可． 【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意； B、，原计算错误，故此选项不符合题意； C、，原计算错误，故此选项不符合题意； D、，计算正确，故此选项符合题意； 故选：D． 6．计算的结果是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式乘除混合运算 【分析】此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式先化除法为乘法，再约分即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 故选：C 7．计算：＝______________________． 【答案】/ 【知识点】分式乘法 【分析】本题考查的是分式的乘除法，分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母． 根据分式的乘法法则计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 8．计算的结果是__________． 【答案】 【知识点】分式乘法、分式乘方 【分析】本题主要考查分式的乘方及乘法运算，原式先计算乘方，再进行约分计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 9．计算：________． 【答案】 【知识点】分式除法 【分析】此题考查分式的除法，将分式的分子和分母因式分解，将除法化为乘法，计算乘法即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 10．化简______． 【答案】 【知识点】分式乘除混合运算 【分析】先把分式的除法变为乘法，再进行分式的乘法运算即可．此题考查了分式乘除混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解： 故答案为： 11．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】分式乘除混合运算、含乘方的分式乘除混合运算 【分析】本题考查的是分式的乘方，乘除混合运算； （1）把除法化为乘法运算，再约分即可； （2）先计算乘方，再计算乘除运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 12．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式乘法 【分析】本题考查了分式的乘法，熟练掌握分式乘法的运算法则是解题的关键．根据分式乘法的运算法则即可解答． 【详解】解：． 故选：A． 13．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的乘除法运算，熟记运算法则是解题关键．根据分式的乘除法法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 14．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式除法 【分析】本题考查了分式的除法运算，结合分式除法法则进行化简计算，即可作答． 【详解】解：， 故选：D 15．下列式子计算后的结果与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式乘除混合运算 【分析】根据分式的乘除混合运算的运算顺序逐一计算各选项，从而可得答案． 【详解】解：，故A不符合题意； ，故B不符合题意； ，故C不符合题意； ，故D符合题意； 故选D 【点睛】本题考查的是分式的乘除混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键． 16．化简后的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】完全平方公式分解因式、分式乘除混合运算、约分 【分析】先把除法转化为乘法运算，同时把第一个分式的分子分母因式分解，然后根据分式的乘法法则运算、约分化简成最简分式即可． 【详解】解：原式 ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分式的乘除法混合运算，解题的关键是先把分式的分子或分母因式分解，根据分式的乘除法混合运算法则计算，然后进行约分，得到最简分式或整式． 17．计算______． 【答案】 【知识点】分式乘法 【分析】本题考查的是分式的乘法运算，根据分式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为： 18．计算的结果是_________． 【答案】 【知识点】分式乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算，根据分式的乘除法运算法则求解即可． 【详解】 ． 故答案为：． 19．计算：___________． 【答案】 【知识点】分式乘法 【分析】本题考查了分式的乘法，熟练掌握分式的乘法法则是解题关键．根据分式的乘法法则计算即可得． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 20．计算：_____________． 【答案】 【知识点】分式乘方、分式乘除混合运算 【分析】先计算分式的乘方，再计算分式的乘除即可． 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题综合考查分式的乘除和乘方运算．熟记相关运算法则即可． 21．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】分式乘法、分式除法 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）将除法转化为乘法，约分即可得解； （2）根据分式的乘法法则计算即可得解． 【详解】（1）解：； （2）解：． 22．计算：． 【答案】 【知识点】分式乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握分式的乘除法法则是解题关键． 根据分式的乘除法法则计算即可得出答案． 【详解】解： ． 23．先化简，再求值：其中． 【答案】， 【知识点】分式乘除混合运算 【分析】本题考查分式的化简求值，除法变乘法，约分化简后，利用整体代入法进行计算即可．熟练掌握分式的乘除法则，是解题的关键． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴原式． 24．先化简，再求值： (1)，其中；(2)，其中． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】分式乘除混合运算 【分析】此题主要考查了分式的化简求值． （1）首先运用完全平方公式和平方差公式将原式化简得，再整体代入求值即可； （2）首先根据乘方的运算法则和分式的除法法则，将原式化简，再代值计算即可． 【详解】（1）解：原式 ， ∵， ∴原式； （2）解：原式 ， 当时，原式． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $