第18讲分式的加法与减法（知识点+题型精讲）2026年人教版八年级数学上册暑假预习讲义

第18讲 分式的加法与减法 目录 知识点1 同分母分式加减法法则 2 知识点2 异分母分式加减法法则 2 知识点3 整式与分式的加减运算 2 知识点4 分式四则混合运算顺序 2 知识点5 分式恒等式原理 2 知识点6 分式化简求值与最值基础 3 题型1 同分母分式加减法 3 题型2 异分母分式加减法 4 题型3 整式与分式加减法 4 题型4 已知分式恒等式，确定分子或分母 5 题型5 分式加减混合运算 6 题型6 分式加减的实际应用 7 题型7 分式加减乘除混合运算 8 题型8 分式化简求值 8 题型9 分式最值 9 1. 知识目标：掌握同分母、异分母分式加减法法则，理解整式与分式运算规则，熟记分式四则混合运算顺序，明晰分式化简求值、最值问题的核心原理。 2. 能力目标：熟练完成各类分式加减运算、混合运算；掌握恒等式求参数、化简求值、实际应用、分式最值的解题方法，运算规范、结果最简。 3. 素养目标：培养类比迁移、化异为同、整体代换思维，规避通分、符号、运算顺序等常见错误，提升分式综合运算与应用能力。 知识点1 同分母分式加减法法则 1. 法则：分母不变，只把分子相加减。 2. 公式： 3. 关键要求：分子是多项式时必须整体加括号运算，加减后合并同类项，最终约分至最简。 知识点2 异分母分式加减法法则 1. 核心思路：先通分，后加减，化异分母为同分母分式。 2. 公式： 3. 标准步骤：找最简公分母→统一分母→分子相加减→整理化简→约分最简。 知识点3 整式与分式的加减运算 1. 运算规则：将整式看作分母为1的分式，统一通分后再进行加减。 2. 易错点：整式加减分式时，必须整体通分，不能直接分子分母单独加减。 知识点4 分式四则混合运算顺序 1. 优先级：先乘除，后加减；有括号先算括号内。 2. 同级运算：从左到右依次计算。 3. 通用要求：每一步运算后及时化简约分，最终结果必须是最简分式或整式。 知识点5 分式恒等式原理 若两个分式恒等，则化简后对应次数的系数完全相等，可通过系数对应相等求解未知分子、分母中的参数。 知识点6 分式化简求值与最值基础 1. 化简求值：先化简分式，再代入数值计算，优先整体代换简化运算。 2. 分式最值：多通过分离常数、配方成完全平方形式，利用平方非负性求解最值。 题型1 同分母分式加减法 解题技巧（分母不变、分子整体加减、及时化简） 1. 固定操作：全程保持分母不变，只对分子做加减运算； 2. 括号防护：分子为多项式时，减法必须给后项分子加括号，防止符号出错； 3. 整理合并：分子加减后立刻去括号、合并同类项； 4. 最后约分：观察分子分母是否有公因式，务必化为最简分式。 【典例1】．计算： (1) (2) 【变式1】．计算： (1)； (2)； (3)． 【变式2】．计算： (1)； (2)． 【变式3】．计算： (1)； (2)； 题型2 异分母分式加减法 解题技巧（先定公分母、统一通分、再做加减） 1. 预处理：分母为多项式优先因式分解，方便找最简公分母； 2. 通分变形：以最简公分母为统一分母，分子同步扩倍，保证分式值不变； 3. 分子运算：通分后转为同分母加减，整体计算分子； 4. 彻底化简：分子因式分解，与分母约分，结果最简。 【典例2】．化简：． 【变式1】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式2】．化简：． 【变式3】．计算：． 题型3 整式与分式加减法 解题技巧（整式化分式、统一分母、整体运算） 1. 统一形式：把整式写成分母为1的分式，实现全式分式统一； 2. 整体通分：以分式分母为公分母，对整式扩倍； 3. 分子合并：整体加减，严禁漏乘、少项； 4. 规范化简：整理分子，约分得到最简结果。 【典例3】．计算的结果等于（     ） A． B． C． D． 【变式1】．计算的结果是________． 【变式2】．（1）计算： （2）计算：． 【变式3】．计算：． 题型4 已知分式恒等式，确定分子或分母 解题技巧（交叉相等、展开对比、系数对应） 1. 交叉相乘：利用分式恒等，交叉相乘得到整式恒等式； 2. 展开整理：将式子全部展开、合并同类项，按降幂排列； 3. 系数对应：等式左右同次项系数一一相等，列方程求参数； 4. 回代检验：求出参数后代回原式，验证分式有意义、等式成立。 【典例4】．若常数，满足，则（     ） A． B． C． D． 【变式1】．若，其中，为常数，则的值为________． 【变式2】．我们定义：如果两个分式A与B的差为整数k，则称A是B的“差整分式”，整数k称为A关于B的“差整值”．例如分式，，，则A是B的“差整分式”，A关于B的“差整值”为2． (1)已知分式，，判断C是不是D的“差整分式”．若不是，请说明理由；若是，求出C关于D的“差整值”． (2)已知分式，，M是N的“差整分式”，且M关于N的“差整值”是，求P所代表的代数式． 【变式3】．如果分式与分式的差等于它们的积，即，那么称分式是分式的“智慧分式”，如分式与，因为，，所以是的“智慧分式”． (1)分式_____分式的“智慧分式”．（填“是”或“不是”） (2)已知关于的分式是关于的分式的“智慧分式”，求的值． (3)已知分式是分式的“智慧分式”，求分式． 题型5 分式加减混合运算 解题技巧（分步通分、逐层化简、杜绝跳步） 1. 顺序运算：从左至右依次计算，多项加减不一次性乱通分； 2. 分组简化：结构对称、分母相近可分组运算，降低计算量； 3. 符号严控：连续加减注意变号，负号紧跟对应分子； 4. 每步最简：算完一段化简一段，避免式子繁琐、出错率升高。 【典例5】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】．计算： (1)． (2)． 【变式2】．计算： (1)； (2)； (3)． 【变式3】．化简：． 题型6 分式加减的实际应用 解题技巧（题意建模、分式列式、运算求解） 1. 审题建模：将工程、行程、浓度、数量变化等实际问题，转化为分式加减列式； 2. 准确列式：根据“和、差、多、少、快慢”关系列出分式算式； 3. 规范运算：按分式加减法则通分、化简、求值； 4. 实际校验：结果符合实际意义，舍去负数、无意义值，规范作答。 【典例6】．某施工队每天挖掘米隧道，改进施工技术后每天能多挖掘，那么同样挖掘米隧道，比原来少用的天数为（     ） A． B． C． D． 【变式1】．有一大捆粗细均匀的电线，现要确定其长度的值，从中先取出1米长的电线，称它的质量为，再称其余电线的总质量为，则这捆电线的总长度是________． 【变式2】．【阅读理解】 在比较两个数或代数式的大小时，解决策略一般是利用“作差法”，即要比较代数式，的大小，只要作出差，若，则；若，则；若，则． 例如：比较与的大小．解答如下 ， ． 【知识运用】 (1)若，，，试比较与的大小． 【解决问题】 (2)食堂采购员与采购大米：每次固定支出500元，每次固定采购100千克大米．分两次采购，第一次单价元/千克，第二次元/千克（）． ①分别求出两人采购大米的平均单价； ②请通过计算判断，食堂采购员与的采购方式，哪种方式的平均单价更低？ 【变式3】．【生活观察】数学来源于生活，生活中处处有数学．在生活中，我们常用盐的质量与盐水总质量的比表示盐水的浓度． (1)现有克盐水中含克盐，则盐水的浓度为，若放了一段时间，蒸发掉克纯水，盐水浓度变为，生活经验告诉我们，盐水会变咸，由此得到不等式：_____（填“”，“”或“”）； 【数学思考】 (2)将（1）中的“蒸发掉克纯水”改为“加入克盐”，充分搅拌后全部溶解，感觉盐水变得更咸了，由此得到新的不等式_______________（用含、、的式子表示），试证明你发现的新的不等式； 【结论运用】 (3)在四边形中，四条边的长度分别为、、、，（其中），试运用上面证明得到的不等式证明： ． 题型7 分式加减乘除混合运算 解题技巧（先乘除后加减、括号优先、分步化简） 1. 严守顺序：先算乘除（乘方优先），再算加减，括号内部优先计算； 2. 乘除预处理：除法变乘法、因式分解、提前约分，简化式子； 3. 最后通分：乘除运算完成后，剩余分式再统一通分加减； 4. 收尾整理：合并同类项、彻底约分，结果最简。 【典例7】．计算：． 【变式1】．分式化简：． 【变式2】．计算： 【变式3】．化简：． 题型8 分式化简求值 解题技巧（先化简、后代入、整体代换） 1. 优先化简：不急于代值，先完成所有混合运算，化为最简分式； 2. 整体代换：已知代数式整体值，优先整体代入，不单独求未知数； 3. 取值校验：代入数值前，必须保证原式所有分母不为0； 4. 精准计算：最简式代值，大幅降低计算失误。 【典例8】．先化简，再求值：，其中． 【变式1】．先化简，再从1，2，3中选择一个合适的数作为的值代入求值． 【变式2】．先化简，再求值：，其中的取值范围如图所示，且为正整数． 【变式3】．先化简：，并任选一个数a代入求值，a是整数且满足． 题型9 分式最值 解题技巧（分离常数+配方非负性） 1. 分离常数：将复杂分式拆分为“常数+简单分式”的结构； 2. 配方变形：分母或分子整理为完全平方形式，利用非负性； 3. 分析范围：根据平方取值范围，判断分式最大、最小值； 4. 锁定取等条件：写出取得最值时未知数的取值，保证原式有意义。 【典例9】．已知，为实数，且，，则下列关于的说法正确的是（   ）． A．有最大值，且最大值为 B．有最小值，且最小值为 C．有最大值，且最大值为 D．有最小值，且最小值为 【变式1】．已知，为正实数，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式2】．当一个命题被证明了是真命题时，可作为结论解决其他问题． 已知，．求证：． 证明：，， ． ∴当，时，． (1) ， ； (2)运用结论解决问题： ①当时，式子的最小值为 ； ②已知分式． （ⅰ）分式的取值范围是 ； （ⅱ）设分式，比较与的大小关系，并说明理由． 【变式3】．阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：；． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当______时，式子取到最小值，最小值为______； (2)假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有______个； (3)已知，当x取何值时，分式取到最小值，最小值为多少？ 1．计算：（     ） A． B． C． D． 2．照相机成像应用了一个重要原理，即（），其中表示照相机镜头的焦距，表示物体到镜头的距离，表示胶片（像）到镜头的距离，则（     ） A． B． C． D． 3．化简的结果是（     ） A． B． C． D． 4．化简 的结果是（     ） A． B． C． D． 5．小明与小乐同时在同一家店购买面粉，其中第一次购买面粉时价格为每千克m元，第二次购买面粉时价格为每千克n元（）．小明每次购买120千克面粉，小乐每次则花120元钱购买面粉．记小明与小乐两次购买面粉的平均价格分别为每千克M元和N元，则M，N的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 6．若（，，均为常数）的计算结果为，则的值为（     ） A． B． C．3 D．7 7．小明骑自行车从家到学校的路程共，其中有的上坡路，的下坡路．若小明走上坡路的速度是，走下坡路的速度是，则他放学回家所用的时间比上学所用的时间多（     ）． A． B． C． D． 8．建筑学要求：家用住宅房间窗户的面积必须小于房间地面的面积，但窗户的面积与地面面积的比值越大，采光条件越好．小明提出把房间的窗户和地面都增加相同的面积，他这样做采光条件（　　） A．变好了 B．变差了 C．不变 D．无法确定 9．甲、乙两人绕同一段环湖步道匀速跑步，甲从起点跑到终点的速度为，沿原路折返的速度为，（，，）；乙全程以固定速度匀速跑完往返全程．设甲、乙两人往返全程总用时分别为、，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D．与无法比较 10．给定一列数，把这列数中的第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，以此类推，第个数记为（为正整数）．已知，并规定（为正整数），下列说法： ①当时，； ②当时，； ③． 其中正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 11．已知A，B两地相距，某货车从A地驶向B地的平均速度为，从B地驶向A地的平均速度为，则该货车从B地驶向A地的时间比从A地驶向B地的时间少________h．（用含b的代数式表示） 12．化简：____________． 13．学习了“分式的加减法运算”后，叶老师设计了如图所示的计算流程图．小明按照该流程图计算的过程中，正确的路径是：________．（填写序号） 14．把一个分式化为另外几个分式的代数和的形式是处理分式运算和变形的常见策略．已知（a，b为常数），则_____． 15．阅读材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：． 解决下列问题： (1)填空：分式是______（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式______形式； (2)如果分式的值为整数，满足条件的整数x的值为______． 16．化简： (1) (2) 17．先化简，再求值：，其中． 18．下面是小甜化简分式的过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 化简 解：原式① ② ③ (1)化简过程中，从第_____（填序号）步开始出现错误； (2)请写出正确的化简过程，并求出当时，该代数式的值． 19．先化简后求值：，其中． 下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 同学 部分运算过程 甲同学 解：原式… 乙同学 解：原式… (1)甲同学解法的依据是_________；乙同学解法的依据是_________；（填序号） ①等式的基本性质    ②分式的基本性质    ③乘法分配律    ④乘法交换律 (2)请你选择上面的一种解法，写出完整的解答过程． 20．定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“差积和谐分式”例如：与，， ，是的“差积和谐分式”． (1)①分式________分式的“差积和谐分式”（填“是”或“不是”）； ②的“差积和谐分式”是________； (2)已知分式是分式的“差积和谐分式”， ①求分式；        ②求整数为何值时，分式的值是正整数，并写出分式的值． 21．定义：若分式A与分式B的差等于它们的积，即，则称分式B是分式A的“可存异分式”．如与因为，所以是的“可存异分式”． (1)填空：分式________分式的“可存异分式”（填“是”或“不是”）； (2)分式的“可存异分式”是____________； (3)已知分式是分式A的“可存异分式”． ①求分式A； ②若整数x使得分式A的值是正整数，求x的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第18讲 分式的加法与减法 目录 知识点1 同分母分式加减法法则 2 知识点2 异分母分式加减法法则 2 知识点3 整式与分式的加减运算 2 知识点4 分式四则混合运算顺序 2 知识点5 分式恒等式原理 2 知识点6 分式化简求值与最值基础 2 题型1 同分母分式加减法 3 题型2 异分母分式加减法 5 题型3 整式与分式加减法 8 题型4 已知分式恒等式，确定分子或分母 9 题型5 分式加减混合运算 12 题型6 分式加减的实际应用 16 题型7 分式加减乘除混合运算 20 题型8 分式化简求值 21 题型9 分式最值 23 1. 知识目标：掌握同分母、异分母分式加减法法则，理解整式与分式运算规则，熟记分式四则混合运算顺序，明晰分式化简求值、最值问题的核心原理。 2. 能力目标：熟练完成各类分式加减运算、混合运算；掌握恒等式求参数、化简求值、实际应用、分式最值的解题方法，运算规范、结果最简。 3. 素养目标：培养类比迁移、化异为同、整体代换思维，规避通分、符号、运算顺序等常见错误，提升分式综合运算与应用能力。 知识点1 同分母分式加减法法则 1. 法则：分母不变，只把分子相加减。 2. 公式： 3. 关键要求：分子是多项式时必须整体加括号运算，加减后合并同类项，最终约分至最简。 知识点2 异分母分式加减法法则 1. 核心思路：先通分，后加减，化异分母为同分母分式。 2. 公式： 3. 标准步骤：找最简公分母→统一分母→分子相加减→整理化简→约分最简。 知识点3 整式与分式的加减运算 1. 运算规则：将整式看作分母为1的分式，统一通分后再进行加减。 2. 易错点：整式加减分式时，必须整体通分，不能直接分子分母单独加减。 知识点4 分式四则混合运算顺序 1. 优先级：先乘除，后加减；有括号先算括号内。 2. 同级运算：从左到右依次计算。 3. 通用要求：每一步运算后及时化简约分，最终结果必须是最简分式或整式。 知识点5 分式恒等式原理 若两个分式恒等，则化简后对应次数的系数完全相等，可通过系数对应相等求解未知分子、分母中的参数。 知识点6 分式化简求值与最值基础 1. 化简求值：先化简分式，再代入数值计算，优先整体代换简化运算。 2. 分式最值：多通过分离常数、配方成完全平方形式，利用平方非负性求解最值。 题型1 同分母分式加减法 解题技巧（分母不变、分子整体加减、及时化简） 1. 固定操作：全程保持分母不变，只对分子做加减运算； 2. 括号防护：分子为多项式时，减法必须给后项分子加括号，防止符号出错； 3. 整理合并：分子加减后立刻去括号、合并同类项； 4. 最后约分：观察分子分母是否有公因式，务必化为最简分式。 【典例1】．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解： ． 【变式1】．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据同分母分式加减法法则进行计算，若分母互为相反数，则先统一分母再进行计算． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【变式2】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】同分母分式加减法法则，分母不变，分子相加减，再对结果约分化简即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】．计算： (1)； (2)； 【答案】(1)1 (2)1 【分析】（1）利用同分母分式的加减运算法则计算即可； （2）先化为同分母，再计算即可. 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 题型2 异分母分式加减法 解题技巧（先定公分母、统一通分、再做加减） 1. 预处理：分母为多项式优先因式分解，方便找最简公分母； 2. 通分变形：以最简公分母为统一分母，分子同步扩倍，保证分式值不变； 3. 分子运算：通分后转为同分母加减，整体计算分子； 4. 彻底化简：分子因式分解，与分母约分，结果最简。 【典例2】．化简：． 【答案】 【分析】先找到分母最简公分母通分，合并分子后因式分解，约去公因式化为最简分式． 【详解】解：由，确定最简公分母是， 原式 ． 【变式1】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 【变式2】．化简：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 【变式3】．计算：． 【答案】 【分析】先通分，将异分母分式化为同分母分式，再相减计算，最后约分，化成最简分式． 【详解】解： ． 题型3 整式与分式加减法 解题技巧（整式化分式、统一分母、整体运算） 1. 统一形式：把整式写成分母为1的分式，实现全式分式统一； 2. 整体通分：以分式分母为公分母，对整式扩倍； 3. 分子合并：整体加减，严禁漏乘、少项； 4. 规范化简：整理分子，约分得到最简结果。 【典例3】．计算的结果等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：原式 【变式1】．计算的结果是________． 【答案】 【分析】将整式通分为分母为的分式，再根据同分母分式的减法法则计算，化简得到结果． 【详解】解：原式． 【变式2】．（1）计算： （2）计算：． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键； （1）根据分式的加减进行计算即可求解； （2）先将除法转化为乘法然后计算加减即可求解． 【详解】解：（1）原式； （2）原式． 【变式3】．计算：． 【答案】 【详解】解：原式． 题型4 已知分式恒等式，确定分子或分母 解题技巧（交叉相等、展开对比、系数对应） 1. 交叉相乘：利用分式恒等，交叉相乘得到整式恒等式； 2. 展开整理：将式子全部展开、合并同类项，按降幂排列； 3. 系数对应：等式左右同次项系数一一相等，列方程求参数； 4. 回代检验：求出参数后代回原式，验证分式有意义、等式成立。 【典例4】．若常数，满足，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将等式右侧通分，根据左右两侧分子恒等得到与的值，利用平方差公式进行因式分解后，进行计算即可. 【详解】解： 又， ∴， ∴. 【变式1】．若，其中，为常数，则的值为________． 【答案】 【分析】先对等式右侧通分整理，根据分式相等时分母相同则分子对应系数相等，列出关于,的方程组，求解得到,后，计算即可. 【详解】解：对等式右边通分整理，得， 由题意得， ∴，解得， ∴. 【变式2】．我们定义：如果两个分式A与B的差为整数k，则称A是B的“差整分式”，整数k称为A关于B的“差整值”．例如分式，，，则A是B的“差整分式”，A关于B的“差整值”为2． (1)已知分式，，判断C是不是D的“差整分式”．若不是，请说明理由；若是，求出C关于D的“差整值”． (2)已知分式，，M是N的“差整分式”，且M关于N的“差整值”是，求P所代表的代数式． 【答案】(1)是； (2) 【分析】（1）先计算，再根据结果即可得解； （2）先根据题意得出，进而得到，最后进行整理即可． 【详解】（1）解：C是D的“差整分式”， 理由：∵， ∴C关于D的“差整值”为， ∴C是D的“差整分式”，C关于D的“差整值”为． （2）解：∵M是N的“差整分式”，且M关于N的“差整值”是， ∴， ∴， 整理得． 【变式3】．如果分式与分式的差等于它们的积，即，那么称分式是分式的“智慧分式”，如分式与，因为，，所以是的“智慧分式”． (1)分式_____分式的“智慧分式”．（填“是”或“不是”） (2)已知关于的分式是关于的分式的“智慧分式”，求的值． (3)已知分式是分式的“智慧分式”，求分式． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】（1）分别求出分式与的差和积，然后根据“智慧分式”的定义判断即可； （2）分别求出分式与的差和积，然后根据“智慧分式”的定义列方程求解即可； （3）根据“智慧分式”的定义可得，再将代入运用分式的混合运算法则化简即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴，即分式是分式的“智慧分式”． （2）解：∵关于的分式是关于的分式的“智慧分式”， ∴， ， ， ，解得：． （3）解：∵分式是分式的“智慧分式”， ∴，即， ， ， ∵ ． 题型5 分式加减混合运算 解题技巧（分步通分、逐层化简、杜绝跳步） 1. 顺序运算：从左至右依次计算，多项加减不一次性乱通分； 2. 分组简化：结构对称、分母相近可分组运算，降低计算量； 3. 符号严控：连续加减注意变号，负号紧跟对应分子； 4. 每步最简：算完一段化简一段，避免式子繁琐、出错率升高。 【典例5】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分式加减法的混合运算，理解通分的运算法则，分式的加减法运算法则是解答关键． （1）先通分，再利用分式加减法运算法则求解； （2）先通分，再利用分式加减法运算法则求解； （3）先通分，再利用分式减法运算法则求解； （4）先变号，再通分，再利用分式减法运算法则求解． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： ． 【变式1】．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）原式三项通分并利用同分母分式的加减法则计算即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式2】．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)2； (3)． 【分析】本题考查了分式的加减运算，掌握分式的加减运算法则是解题的关键． （1）原式先通分，再化简即可； （2）先利用平方差公式，再化简即可； （3）先对前两项进行计算，再对最后一项约分，接下来通分，再化简即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【变式3】．化简：． 【答案】 【分析】本题考查分式的加减混和运算，根据分式的加减混和运算法则计算即可． 【详解】解： ． 题型6 分式加减的实际应用 解题技巧（题意建模、分式列式、运算求解） 1. 审题建模：将工程、行程、浓度、数量变化等实际问题，转化为分式加减列式； 2. 准确列式：根据“和、差、多、少、快慢”关系列出分式算式； 3. 规范运算：按分式加减法则通分、化简、求值； 4. 实际校验：结果符合实际意义，舍去负数、无意义值，规范作答。 【典例6】．某施工队每天挖掘米隧道，改进施工技术后每天能多挖掘，那么同样挖掘米隧道，比原来少用的天数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别计算原施工和改进技术后挖掘米隧道所需的天数，再计算天数差即可得到结果． 【详解】解：∵原来每天挖掘米，挖掘米隧道需要的天数为， 改进施工技术后，每天挖掘的长度为米， ∴改进技术后，挖掘米隧道需要的天数为， 因此比原来少用的天数为：． 【变式1】．有一大捆粗细均匀的电线，现要确定其长度的值，从中先取出1米长的电线，称它的质量为，再称其余电线的总质量为，则这捆电线的总长度是________． 【答案】米 【详解】解：电线粗细均匀，米长电线的质量为，其余电线的总质量为， 其余电线的长度为米， 这捆电线的总长度为米． 【变式2】．【阅读理解】 在比较两个数或代数式的大小时，解决策略一般是利用“作差法”，即要比较代数式，的大小，只要作出差，若，则；若，则；若，则． 例如：比较与的大小．解答如下 ， ． 【知识运用】 (1)若，，，试比较与的大小． 【解决问题】 (2)食堂采购员与采购大米：每次固定支出500元，每次固定采购100千克大米．分两次采购，第一次单价元/千克，第二次元/千克（）． ①分别求出两人采购大米的平均单价； ②请通过计算判断，食堂采购员与的采购方式，哪种方式的平均单价更低？ 【答案】(1) (2)解：①，； ② ． ，， ， ， ∴食堂采购员、的采购方式中，采购员的方式平均单价更低． 【分析】（1）作差法比较大小即可； （2）①用总价除以数量，求出平均单价即可；②作差法比较大小即可. 【详解】（1）解：， ，， ， ； （2）解：①根据题意，食堂采购员两次采购大米的平均单价为； 食堂采购员两次采购大米的平均单价为． ②略 【变式3】．【生活观察】数学来源于生活，生活中处处有数学．在生活中，我们常用盐的质量与盐水总质量的比表示盐水的浓度． (1)现有克盐水中含克盐，则盐水的浓度为，若放了一段时间，蒸发掉克纯水，盐水浓度变为，生活经验告诉我们，盐水会变咸，由此得到不等式：_____（填“”，“”或“”）； 【数学思考】 (2)将（1）中的“蒸发掉克纯水”改为“加入克盐”，充分搅拌后全部溶解，感觉盐水变得更咸了，由此得到新的不等式_______________（用含、、的式子表示），试证明你发现的新的不等式； 【结论运用】 (3)在四边形中，四条边的长度分别为、、、，（其中），试运用上面证明得到的不等式证明： ． 【答案】(1) (2)解：新的不等式：，证明如下： ， ，， ，， ∴， ∴，即． (3)证明：由（2）可得：，，，， ∴， 即． ， ， ． 【分析】（1）根据盐水会变咸可得盐水浓度变大，据此解答即可； （2）先计算，再结合，进行判断即可； （3）得出，，，，据此即可得证． 【详解】（1）解：∵生活经验告诉我们，盐水会变咸， ∴蒸发掉克纯水，盐水浓度变大， ∴． （2）解：略． （3）证明：略． 题型7 分式加减乘除混合运算 解题技巧（先乘除后加减、括号优先、分步化简） 1. 严守顺序：先算乘除（乘方优先），再算加减，括号内部优先计算； 2. 乘除预处理：除法变乘法、因式分解、提前约分，简化式子； 3. 最后通分：乘除运算完成后，剩余分式再统一通分加减； 4. 收尾整理：合并同类项、彻底约分，结果最简。 【典例7】．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【变式1】．分式化简：． 【答案】 【详解】解：原式 ； 【变式2】．计算： 【答案】 【详解】解： ． 【变式3】．化简：． 【答案】 【详解】解： ． 题型8 分式化简求值 解题技巧（先化简、后代入、整体代换） 1. 优先化简：不急于代值，先完成所有混合运算，化为最简分式； 2. 整体代换：已知代数式整体值，优先整体代入，不单独求未知数； 3. 取值校验：代入数值前，必须保证原式所有分母不为0； 4. 精准计算：最简式代值，大幅降低计算失误。 【典例8】．先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【分析】根据分式的运算法则化简可得：原式，再把代入化简后的分式计算求值． 【详解】解： ， 当时， 原式． 【变式1】．先化简，再从1，2，3中选择一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】，当时，原式． 【分析】先利用分式的混合运算法则化简，然后再从1，2，3中选择一个分式有意义的的值代入求值即可． 【详解】解： ； ∵分母不能为0， ， ∴当时，原式． 【变式2】．先化简，再求值：，其中的取值范围如图所示，且为正整数． 【答案】， 【分析】先通分计算括号内分式，将除法转为乘法并因式分解约分得到化简结果，再由数轴得，结合分式分母不为零和取正整数得到的值，最后代入化简结果求值即可． 【详解】解：， ， ， ， 不能取1，，且， 又为正整数， ， 当时，原式． 【变式3】．先化简：，并任选一个数a代入求值，a是整数且满足． 【答案】化简为，时，原式的值为 【详解】解： ， ∵分式要有意义， ∴， ∴， 是整数且满足， ， ∴原式． 题型9 分式最值 解题技巧（分离常数+配方非负性） 1. 分离常数：将复杂分式拆分为“常数+简单分式”的结构； 2. 配方变形：分母或分子整理为完全平方形式，利用非负性； 3. 分析范围：根据平方取值范围，判断分式最大、最小值； 4. 锁定取等条件：写出取得最值时未知数的取值，保证原式有意义。 【典例9】．已知，为实数，且，，则下列关于的说法正确的是（   ）． A．有最大值，且最大值为 B．有最小值，且最小值为 C．有最大值，且最大值为 D．有最小值，且最小值为 【答案】D 【分析】本题考查不等式的性质、代数式的消元变形，通过消元将二元问题转化为一元问题，再结合不等式范围推导最值，是解题的关键． 由得，代入得，进而将表示为，分析其取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴， 代入，得， 即， 整理得， ∴解得， ∵， 又∵， ∴， ∴， 当时，等号成立，即取得最小值， ∴有最小值． 故选：． 【变式1】．已知，为正实数，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查基本不等式的运用，掌握基本不等式公式是解题的关键． 先将原式拆分并化简，再利用正实数的基本不等式（当且仅当时取等号）求解最小值． 【详解】解：∵，为正实数， ∴原式可拆分化简为：， ∵正实数，满足， 令，， 则， 当且仅当，即时取等号， ∴， 即原式的最小值为9， 故选D． 【变式2】．当一个命题被证明了是真命题时，可作为结论解决其他问题． 已知，．求证：． 证明：，， ． ∴当，时，． (1) ， ； (2)运用结论解决问题： ①当时，式子的最小值为 ； ②已知分式． （ⅰ）分式的取值范围是 ； （ⅱ）设分式，比较与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)，； (2)①4； ②（ⅰ）； （ⅱ）解：，理由如下： 设分式， ∴， ∵， ∴，，， ∴，即， ∴，当且仅当时，等号成立， 故与的大小关系为． 【分析】（1）根据完全平方公式求解即可； （2）①根据结论可得，由此求解即可； ②（ⅰ）先对分式进行变形，再由结论求解范围即可； （ⅱ）先表示出，再结合的取值范围比较大小即可． 【详解】（1）解：由完全平方公式可得； （2）解：①由结论：当，时，． 则有当时，， 当且仅当时，等号成立，即， ∴当时，式子的最小值为4； ②（ⅰ）． ∵，则有， ∴， 当且仅当时，等号成立，即， ∴分式的取值范围是； （ⅱ）略 【变式3】．阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：；． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当______时，式子取到最小值，最小值为______； (2)假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有______个； (3)已知，当x取何值时，分式取到最小值，最小值为多少？ 【答案】(1)， (2)， (3)当时，分式取到最小值，最小值为 【分析】（1）将代入即可； （2），根据是的整数约数进行求值； （3），结合进行求值．注意验证取等． 【详解】（1）解：， ， 当且仅当（即）时取等号， 又，故， 因此，当时，式子取到最小值，最小值为； （2）解：； 若分式的值为整数， 则需为整数，即是的整数约数， 的整数约数有， 因此，，， 共个满足条件的整数； （3）解：， ， ， ， 当且仅当（即）时取等号， 又∵，故，即， 此时分式的最小值为； 因此，当时，分式取到最小值，最小值为． 1．计算：（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】同分母分式相减，分母不变，分子相减，运用同分母分式减法法则计算，约分后可得结果． 【详解】解：． 2．照相机成像应用了一个重要原理，即（），其中表示照相机镜头的焦距，表示物体到镜头的距离，表示胶片（像）到镜头的距离，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的等式变形，掌握分式通分运算法则和等式变形方法即可求解，将原式移项整理得到对应表达式，对比选项得到结果． 【详解】解：∵， 移项得， 对右边通分得， 两边取倒数得，与选项C一致． 3．化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： ． 4．化简 的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将整式部分通分，转化为同分母分式后进行减法运算，用到平方差公式计算，最后化简得到结果． 【详解】解：原式． 5．小明与小乐同时在同一家店购买面粉，其中第一次购买面粉时价格为每千克m元，第二次购买面粉时价格为每千克n元（）．小明每次购买120千克面粉，小乐每次则花120元钱购买面粉．记小明与小乐两次购买面粉的平均价格分别为每千克M元和N元，则M，N的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】先根据平均价格等于总花费除以总重量，分别求出和的表达式，再用作差法结合完全平方公式比较大小. 【详解】解：∵ 小明两次购买总重量为千克，总花费为元 ， ∴， ∵小乐两次购买总花费为元，总重量为千克， ∴， ∴， 由题意，， ∴， ∴，即. 6．若（，，均为常数）的计算结果为，则的值为（     ） A． B． C．3 D．7 【答案】D 【分析】先将左侧三个分式通分，公分母为，将分子展开并整理，得到．由左右分式相等且分母相同，可知分子对应项系数相等，据此列出三元一次方程组，解得，，，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 7．小明骑自行车从家到学校的路程共，其中有的上坡路，的下坡路．若小明走上坡路的速度是，走下坡路的速度是，则他放学回家所用的时间比上学所用的时间多（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】上学和放学的上下坡路程相反，根据时间路程速度，分别计算上学到校和放学回家的总时间，再求时间差即可得到结果． 【详解】∵上学时，上坡路长，速度，下坡路长，速度， ∴上学总时间为， ∵放学回家时，原下坡路变为上坡路，原上坡路变为下坡路，即上坡路长，下坡路长， ∴放学总时间 ∴时间差为：， 即放学回家所用时间比上学到校慢． 8．建筑学要求：家用住宅房间窗户的面积必须小于房间地面的面积，但窗户的面积与地面面积的比值越大，采光条件越好．小明提出把房间的窗户和地面都增加相同的面积，他这样做采光条件（　　） A．变好了 B．变差了 C．不变 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了分式的性质和运用知识解决实际问题的能力．增加前的窗户面积与地板面积的比值减去增加后的窗户面积与地板面积的比值，即可得出答案． 【详解】解：， ∵， ∴，， 即． 所以他这样做采光条件变好了． 9．甲、乙两人绕同一段环湖步道匀速跑步，甲从起点跑到终点的速度为，沿原路折返的速度为，（，，）；乙全程以固定速度匀速跑完往返全程．设甲、乙两人往返全程总用时分别为、，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D．与无法比较 【答案】B 【分析】设单程环湖步道长度为，根据“时间路程速度”分别表示出和，再用作差法比较两者大小，即可得到结论． 【详解】解：设单程环湖步道长度为， ∵ 甲从起点跑到终点的时间为，折返时间为， ∴ ∵ 乙往返总路程为，速度为， ∴ ， ，，, ， ， ，即， ． 10．给定一列数，把这列数中的第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，以此类推，第个数记为（为正整数）．已知，并规定（为正整数），下列说法： ①当时，； ②当时，； ③． 其中正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】先根据递推公式找出数列的循环周期，再逐一验证三个说法即可． 【详解】解：首先根据递推公式推导数列周期： ∵，， ∴， ， ， ， ∴这列数每个一循环， 验证①：当时，， ，①正确； 验证②：， 两边平方得， 展开得， 整理得，②正确； 验证③：计算一个周期的乘积： ，即每项乘积为， ， ，③正确； 综上，①②③都正确，正确个数为． 11．已知A，B两地相距，某货车从A地驶向B地的平均速度为，从B地驶向A地的平均速度为，则该货车从B地驶向A地的时间比从A地驶向B地的时间少________h．（用含b的代数式表示） 【答案】 【分析】根据路程，速度，时间的关系，时间等于路程除以速度，分别计算货车从A地到B地，从B地到A地的行驶时间，再将两个时间作差，化简即可得到结果． 【详解】解：根据题意得，货车从A地驶向B地的时间为：， 货车从B地驶向A地的时间为：， ∴时间差为． 12．化简：____________． 【答案】 【详解】解：． 13．学习了“分式的加减法运算”后，叶老师设计了如图所示的计算流程图．小明按照该流程图计算的过程中，正确的路径是：________．（填写序号） 【答案】②③ 【分析】按照异分母分式加减的步骤进行选择即可． 【详解】解：， 由计算知，正确的路径：是先通分，化为同分母分式的加减，再按照同分母分式的加减进行，最后得到结果，即经过②③完成计算． 14．把一个分式化为另外几个分式的代数和的形式是处理分式运算和变形的常见策略．已知（a，b为常数），则_____． 【答案】2 【分析】先将等式右侧通分，再与等式左边进行比较，对应项系数相等，列出一个关于二元一次方程组，解方程组可得的值，代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 15．阅读材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：． 解决下列问题： (1)填空：分式是______（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式______形式； (2)如果分式的值为整数，满足条件的整数x的值为______． 【答案】(1)真分式， (2) 【分析】（1）根据题干给出的真分式与假分式定义判断的类型，再对假分式拆分子变形，化为带分式形式； （2）先将假分式化为带分式，根据分式值为整数，得到为整数，结合为整数，找出的所有可能整数值，求解得到即可． 【详解】（1）解：根据题意，分式中，分子次数为，分母次数为，，因此是真分式；； （2）解：， 分式的值为整数，为整数， 为整数，即是的因数， ， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 因此满足条件的整数的值为． 16．化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同分母分式加减法法则计算即可； （2）先计算括号内的分式加减法，再计算分式的除法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 17．先化简，再求值：，其中． 【答案】化简的结果为，值为 【详解】解： ， 当时，原式． 18．下面是小甜化简分式的过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 化简 解：原式① ② ③ (1)化简过程中，从第_____（填序号）步开始出现错误； (2)请写出正确的化简过程，并求出当时，该代数式的值． 【答案】(1)① (2)；0 【分析】（1）根据分式的混合运算法则逐步判断即可； （2）根据分式的混合运算法则化简式子，再代入求值． 【详解】（1）解：在分式的混合运算中，应先算乘除，再算加减．因此该求解过程中，从第①步开始出现错误． （2）解： ， 当时，原式． 19．先化简后求值：，其中． 下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 同学 部分运算过程 甲同学 解：原式… 乙同学 解：原式… (1)甲同学解法的依据是_________；乙同学解法的依据是_________；（填序号） ①等式的基本性质    ②分式的基本性质    ③乘法分配律    ④乘法交换律 (2)请你选择上面的一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】(1)②；③ (2)方法一：按甲同学的通分法 解：原式 当时，原式． 方法二：按乙同学的分配律法 解：原式 当时，原式 【分析】（1）根据分式的基本性质，以及乘法分配律，即可解答； （2）任选一种情况，根据分式的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律； （2）略 20．定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“差积和谐分式”例如：与，， ，是的“差积和谐分式”． (1)①分式________分式的“差积和谐分式”（填“是”或“不是”）； ②的“差积和谐分式”是________； (2)已知分式是分式的“差积和谐分式”， ①求分式；        ②求整数为何值时，分式的值是正整数，并写出分式的值． 【答案】(1)①不是；② (2)①；②当整数，1或3时，分式的值分别是2，6或4 【分析】（1）①根据“差积和谐分式”的定义判断即可；②设的“差积和谐分式”是，再结合“差积和谐分式”的定义计算即可得出结果； （2）①根据“差积和谐分式”的定义计算即可得出结果；②由①可得，再结合正整数的定义求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴分式不是分式的“差积和谐分式”； ②设的“差积和谐分式”是， 由题意得， ∴， ∴， ∴； 即的“差积和谐分式”是 （2）解：①根据题意得， ， ， ； ②， 当整数，，1或3时，分式的值分别是2，，6或4． ∵分式的值是正整数， 当整数，1或3时，分式的值分别是2，6或4． 21．定义：若分式A与分式B的差等于它们的积，即，则称分式B是分式A的“可存异分式”．如与因为，所以是的“可存异分式”． (1)填空：分式________分式的“可存异分式”（填“是”或“不是”）； (2)分式的“可存异分式”是____________； (3)已知分式是分式A的“可存异分式”． ①求分式A； ②若整数x使得分式A的值是正整数，求x的值． 【答案】(1)是； (2)； (3)①；②x的值是1，3，． 【分析】（1）根据“可存异分式”的定义进行求解即可； （2）根据“可存异分式”的定义进行求解即可； （3）①由题意易得，然后进行求解即可； ②由①可知，然后根据“分式A的值是正整数”进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴分式是分式的“可存异分式”； （2）解：设分式的“可存异分式”是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴分式的“可存异分式”是； （3）解：①由条件可知， ， ； ②，且A为正整数， ∴x为整数，且是3的约数， ∴当时，， 当时，， 当时，， ∴x的值是1，3，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $