第一章 有理数（单元分层自测·培优冲刺卷）数学新教材北京版七年级上册

**基本信息** 七年级上册数学有理数单元培优卷，以奥运射击、网页设计等真实情境为载体，通过基础概念与创新应用结合，提升抽象能力与运算能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|有理数概念、数轴中点等|第2题数轴中点多解，考查分类讨论能力| |填空题|6/18|规律探究、实际应用等|第15题地砖图案规律，培养几何直观；第14题停车收费，体现应用意识| |解答题|8/52|新定义、跨学科应用等|第22题倍分点新定义，发展推理意识；第23题十六进制换算，融合信息科技，强化模型意识|

2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第一章 有理数·培优冲刺（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A B D A C C A D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11． 12．或 13．3或 14．（答案不唯一） 15． 16． 三、解答题（本大题共8小题，共52分） 17．（12分） 【详解】（1）解：原式 ． （2）原式 ． （3）原式 ． （4）原式 ． （5）原式 ． （6）原式 ． 18．（5分） 【详解】（1）解：∵负分数不仅有负分数还有负的有限小数，还有负的无限循环小数； ∴负分数集：； ∵非负整数包括正整数和； ∴非负整数集：； ∵正有理数包括正整数和正分数； ∴正有理数集： （2）   如图所示： 19．（5分） 【详解】解： a和b互为相反数，c和d互为倒数， ，， ， ， ， ． 20．（5分） 【详解】解：由题意知，． 21．（5分） 【详解】（1）解：∵以21环为基准， ∴第⑥枪的环记为：；第⑩枪的环记为：； 故答案为：；； （2）解：根据题意，绝对值比其他各枪的绝对值大， ∴环是偏离21环最大的一次射击； ∴序号为：⑩； 故答案为：⑩． （3）解：根据题意，各枪正负数的和为：， ∴这10枪的总成绩为：（环）． 22．（6分） 【详解】（1）解：∵点是点关于点的“倍分点”， ∴， 设点表示的数是， ∵点表示的数是，点表示的数是，点在线段上， ∴，， ∴， 解得： ∴点表示的数是． （2）∵点是点关于点的“倍分点”， ∴， ∵点表示的数是，点表示的数是，， 点在点左侧时，点表示的数是， 此时，， ∴ 解得： 点在点右侧时，点表示的数是6， 此时，， 由题意得： 解得： 所以的值为或； 23．（7分） 【详解】（1）解：由题意知，根据格式要求， 红色部分的十六进制数为，绿色部分的十六进制数为，蓝色部分的十六进制数为， 故答案为：，，． （2）解：， ∴红色部分的十进制数为76． （3）解：， ， 由（2）知，红色部分得十进制数为76， 由题意知，增加后的红色部分十进制数为， 增加后的绿色部分十进制数为， 减少后的蓝色部分十进制数为， ∴将红色部分十进制数转为十六进制数为：，此时余数为10， ∴红色部分十六进制编码为：， 将绿色部分十进制数转为十六进制数为：，此时余数为4， ∴绿色部分十六进制编码为：24， 将蓝色部分十进制数转为十六进制数为：，此时余数为5， ∴蓝色部分十六进制编码为：55， 调整后的十六进制编码为． 故答案为：． 24．（7分） 【详解】（1）解：①∵点表示的数为1，点表示的数为3，点表示的数为5 ∴，，， ∵ ∴ ∴ ∴点是线段的3倍跟随点； ②设点表示的数是p ∴，，， ∵点是线段的4倍跟随点 ∴ 当时， 解得； 当时， ∴，不符合题意； 当时， 解得； 综上所述，点表示的数是或6； （2）解：根据题意得，运动后点A表示的数为，点B表示的数为，点P表示的数为， ∴，， ∵点是线段的2倍跟随点 ∴ ∴ ∴ ∴当时， 解得，不符合题意； ∴当时， 解得，符合题意； 当时， 解得，符合题意； 当时， 解得，不符合题意； 综上所述，的值为3.1或3.5． 6/6 5/6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第一章 有理数·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列数，，，，，中，有理数的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的定义，熟练掌握有理数的定义是解题的关键．根据有理数的定义，整数和分数统称为有理数，求解即可． 【详解】解：在，，，，，中， 有理数有：，，，，，共个； 故选：B． 2．在数轴上有A，B，C三点，其中点A表示的数是2，点B表示的数是，如果其中一点为另外两点形成的线段的中点，则点C表示的数是（   ） A．或 B．或8或2 C．或8或1 D．或或8 【答案】D 【分析】本题考查了数轴的基本性质和数轴上两点间的距离计算，本题的解题关键是数轴上两点间的距离计算，根据数轴的基本性质和数轴上两点间的距离即可求解． 【详解】解：、、是数轴上三点，且点表示的数是，点表示的数为1， 设点表示的数为， 当其中一点是另外两点构成的线段中点， ①为线段的中点， 的值为：； ②为线段的中点， 的值为：； ③为线段的中点， 的值为：； 则点C表示的数是或或8， 故选：D． 3．式子的最大值是（   ） A．5 B．7 C．3 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的非负性是解题关键．根据绝对值的非负性可得，从而可得，据此即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴式子的最大值是5， 故选：A． 4．如图，若点、、在数轴上所对应的数分别为、、，则下列大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的大小比较，相反数的含义，把表示在数轴上，根据数轴上右边的数大于左边的数，即可求解． 【详解】解：由题意可知，，且， 如图所示，把表示在数轴上， ∴， 故选：B． 5．已知，，，则的值是（   ） A．8 B．4或8 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值，解题的关键是掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 根据绝对值的定义得出，，进而得出，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴或， 故选：D． 6．据2021年2月28日我市十届人大五次会议《政府工作报告》：“2016年全市生产总值达到839亿元，比上一年增长”．如果“十三五”期间（2016年-2020年）每年的全市生产总值都按年增长率增长，那么到“十三五”末我市生产总值约为（     ）（保留三个有效数字） A．亿元 B．亿元 C．亿元 D．亿元 【答案】A 【分析】本题考查增长率的应用，利用增长率问题公式计算，终值等于初始值乘以（1增长率）的次方，为增长年限，计算后保留三个有效数字，再写成科学记数法形式即可． 【详解】解：由题意得，十三五期间为2016年到2020年，以2016年生产总值为基数，到2020年末共增长4次， ∴到“十三五”末我市生产总值约为（亿元）． 7．实数对应的位置如图所示，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴得出a和b的范围，进而得出，，根据有理数运算法则逐一判断即可． 【详解】解：由数轴可得：，， ∴，， ∴，，，， 故A、B、D错误，C正确． 8．按下面的程序运算，若开始输入x的值为正数，最后输出的结果为656，满足条件的x的不同值的个数最多有（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了程序框图的逻辑关系，用一元一次方程解决实际问题，关键是读懂程序图，并能逆向思维． 根据题意反推，最后结果为656，则有，得出；再令，得出；依次下去，直到求出的x为最小的正数，过程即完成． 【详解】解：∵最后输出的结果为656， ∴， 解得：， 由，得； 由，得； 由，得； 由，得，不合题意； ∴． 故满足条件的x的不同值最多有4个． 故选：C． 9．有50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，．．．，49，50．从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上．如图，这五张卡片编号分别记为A，B，C，D，E，相邻两张卡片上的数的和如下表所示，则卡片上的数最大的编号记为（   ） 卡片编号 A，B B，C C，D D，E A，E 两数的和 71 48 54 66 59 A．D B．C C．B D．A 【答案】A 【分析】将五个相邻两数之和的等式相加，求出五个数的总和，再结合已知条件依次求出各数，比较大小即可． 【详解】解：由题意得：，，，，， 将以上五式相加得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，，， ∵，即， ∴卡片上的数最大的编号记为D． 10．对于一个正整数A，计算它各位数字的平方和，得到一个新数，再计算这个新数各位数字的平方和，不断重复同样的操作，如果在某一次计算之后得到1，就称最初的正整数A为“快乐数”、例如：7→49→97→130→10→1，所以7是“快乐数”．关于“快乐数”，有以下结论： ①2026是“快乐数”； ②将一个“快乐数”的各位数字任意重新排序，所得新数（最高位不是0）仍是“快乐数”； ③若一个正整数的各位数字的平方和是“快乐数”，则这个正整数也是“快乐数” 所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘方运算以及新定义，能够读懂定义是解题关键；根据“快乐数”的定义逐一对每个选项进行判断即可． 【详解】解：①∵，， ，，， ∴2026是“快乐数”，故①正确； ②设A是“快乐数”，B是A的数字重排序（最高位非0）， ∴中各个位数的平方和与中各个位数的平方和相等， ∴对于一个正整数，计算它各位数字的平方和，得到一个新数，再计算这个新数各位数字的平方和，不断重复同样的操作时，对和进行计算，得到的第一个新数相同，故后面所有重复操作得到结果都一样， 若A是“快乐数”，则重复操作最后计算结果为1，同理重复操作最后计算结果也为1， ∴也是“快乐数”，故②正确； ③设正整数为，各位数字的平方和为， 对于一个正整数，计算它各位数字的平方和，得到一个新数，再计算这个新数各位数字的平方和，不断重复同样的操作， ∴相当于是正整数在判断是否为“快乐数”的第一步，若为“快乐数”，则还原可得到也为“快乐数”． ∴①②③正确． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．比较大小（填“”、“”、“”）： ________；________；________． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的大小比较． 根据负数，绝对值大的反而小；先化简表达式，再比较大小即可． 【详解】解：比较和： ，， 由于，所以， 即． 比较和： ，， 由于，所以． 比较和： ，所以， ， 由于，所以． 故答案为：，，． 12．已知：与，且，则的值是__________． 【答案】或 【分析】本题考查了有理数的加法，绝对值和平方的定义，解决此类问题的关键是先根据绝对值和平方的定义求出未知数的值，再利用所给的条件对这些值进行筛选，必须同时满足题中条件的未知数的值才是所求的代数式中未知数的值，代入求解． 【详解】解：与， ，， ， ，或，， 或， 故答案为：或． 13．数轴上的点表示，则到点距离为5个单位长度的点所表示的数是_____． 【答案】3或 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，解题的关键是考虑所求点在已知点的左右两侧两种情况． 分所求点在点右侧和左侧两种情况，根据数轴上两点间的距离公式计算． 【详解】解：设到点距离为5个单位长度的点表示的数为， 根据数轴上两点间的距离公式，即， 当时，， 当时，， 所以到点距离为5个单位长度的点所表示的数是3或． 14．某日小王将一辆小型车停到路边收费停车区域内，第二天离开时缴费24元．该区域停车收费标准如图： 根据以上信息，判断他离开的时刻可能是________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了分段计费问题的实际应用，先计算白天停车产生的费用，再计算夜间停车的费用，最后根据剩余费用推算第二天白天停车的时长． 【详解】解：小王停小型车， 处于白天停车， 此时白天的停车时长为：， 根据小型车的收费标准，分为首小时和首小时后， ， 首小时费用：（元），首小时后的费用：（元）， 第一天白天的费用：（元）， 则剩余费用为：（元）， 夜间时段为：次日， 共小时， ， 夜间费用为：（元）， 则扣除夜间费用还剩（元）， 此时的3元为第二天白天收费阶段， （个）， ， 离开时间为：（答案不唯一）． 15．用黑、白两种颜色的正六边形地砖按如图所示的规律拼成若干个图案，则第个图案中白色地砖有______块，第个图案中白色地砖有______块． 【答案】 【分析】本题考查图形规律的探索，熟练掌握图形规律的探索方法是解题的关键．依次列出第个图案中白色地砖有（块），第个图案中白色地砖有（块），第个图案中白色地砖有（块），，即可得出规律解答． 【详解】解：第个图案中白色地砖有（块）， 第个图案中白色地砖有（块）， 第个图案中白色地砖有（块）， 第个图案中白色地砖有（块）， 第个图案中白色地砖有块， 故答案为：；． 16．学校组织数学节活动，活动中设置两个类别的游戏，每个类别包含的游戏项目及相应的积分（单位：分）如下： 游戏类别 Ⅰ Ⅱ 游戏项目 A B C D E F G H 积分（参与即获得相应积分） 3 6 5 4 5 7 8 9 每名学生选择游戏项目时要符合如下规则： ①必须选择5个游戏项目，并且同一个游戏项目不能重复选择； ②两个类别的游戏都至少选择1个，并且选择类别Ⅱ的游戏项目的个数多于选择类别Ⅰ的游戏项目的个数； ③游戏项目B与游戏项目H不能同时选择； ④游戏项目C与游戏项目D只能都选择或都不选择． （1）若某同学已经选择了游戏项目B和游戏项目C，则他获得的总积分最多为_____ 分； （2）小明和小龙都按规则参与了数学节的活动，那么他们各自获得的总积分的差的最大值是_____ 分． 【答案】 【分析】先根据规则确定选项目的可能数量组合：类别Ⅰ选个，类别Ⅱ选个，满足，，得仅或两种情况，再结合特殊规则分别计算目标值． 【详解】解：整理已知：类别Ⅰ共个项目，积分分别为，，；类别Ⅱ共个项目，积分分别为，，，，，规则为：B与H不能同时选，C与D必须同时选或不选． （1）该同学已选B和C，因此类别Ⅰ已选个，即，得． ∵C已选， ∴D必须选，类别Ⅱ已确定选D，还需再选个类别Ⅱ项目． ∵B已选， ∴H不能选，剩余可选项目为E，F，G，要总积分最大，选积分最大的F，G． 总积分为：． （2）求积分差的最大值，即求最高总积分减去最低总积分． ①求最高总积分： 若，最大总积分为（第一问结果）； 若，要积分最大，选最高积分组合：选C，则必须选D，剩余个类别Ⅱ选积分最高的F，G，H， 总积分为：，比大， 因此最高总积分为． ②求最低总积分： 若，要积分最小，选类别Ⅰ积分最小的A,C， ∵C已选， ∴D必须选，剩余个类别Ⅱ选积分最小的E，F， 总积分为：； 若，总积分为，比大， 因此最低总积分为． ③积分差的最大值为：． 三、解答题（本大题共8小题，共52分） 17．（12分）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6)22 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键． （1）先去括号，再算加减即可； （2）先算除法，再算乘法即可； （3）按照从左往右的顺序依次计算即可； （4）利用乘法分配律进行计算即可； （5）先算乘方，去绝对值符号，再算乘除法，最后算加减即可； （6）先算乘方，再算乘除法，最后算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）原式 ． （3）原式 ． （4）原式 ． （5）原式 ． （6）原式 ． 18．（5分）已知下列个数字：①、②、③、④、⑤ (1)把上述个数的序号填入相应的大括号内： 负分数集：；非负整数集：；正有理数集： (2)把这个数在数轴上表示，并用“”连接． 【答案】(1) 负分数集：；非负整数集：；正有理数集： (2) 【分析】本题考查了有理数的分类，关键是熟练应用知识点区分； （1）根据负分数、非负整数、正有理数的定义进行填空； （2）根据数轴上从右往左的顺序用“”连接. 【详解】（1）解：∵负分数不仅有负分数还有负的有限小数，还有负的无限循环小数； ∴负分数集：； ∵非负整数包括正整数和； ∴非负整数集：； ∵正有理数包括正整数和正分数； ∴正有理数集： （2）   如图所示： 19．（5分）已知：a和b互为相反数，c和d互为倒数，且．求： 的值． 【答案】0 【分析】本题考查相反数、倒数、平方，代数式求值，根据相反数、倒数、平方的定义，可得，，，代入所求代数式即可求解． 【详解】解： a和b互为相反数，c和d互为倒数， ，， ， ， ， ． 20．（5分）对有理数a、b规定运算※如下：，求 的值． 【答案】 【分析】本题考查新定义运算，根据列式求值即可． 【详解】解：由题意知，． 21．（5分）2024年7月27日，在巴黎奥运会射击10米气步枪混合团体比赛中，中国选手黄雨婷和盛李豪获得巴黎奥运会首枚金牌，其中最后10轮成绩如下表所示： 序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 环数                                                   若以21环为基准，记录相对环数，超过的环数记为正数，不足的环数记为负数，则上述成绩可表示为： 序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 相对环数      0 0      ______ ______ (1)请填写表中的两个空格； (2)这10轮中，与21环偏差最大的那轮射击的序号为______； (3)请计算这10轮的总成绩． 【答案】(1)； (2)⑩ (3) 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数的加减的应用，解题的关键是熟练掌握题意，正确地列出式子进行解题． （1）由正负数的定义，大于21的记为正数，小于21的记为负数，然后填入数据即可； （2）由题意，求出绝对值最大的一次即可； （3）先求出正负数的和，然后加上基数，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵以21环为基准， ∴第⑥枪的环记为：；第⑩枪的环记为：； 故答案为：；； （2）解：根据题意，绝对值比其他各枪的绝对值大， ∴环是偏离21环最大的一次射击； ∴序号为：⑩； 故答案为：⑩． （3）解：根据题意，各枪正负数的和为：， ∴这10枪的总成绩为：（环）． 22．（6分）对于数轴上不同的三个点，，，若满足，则称点是点关于点的“倍分点”．例如，如图，在数轴上，点，表示的数分别是，，可知原点是点关于点的“倍分点”，原点也是点关于点的“倍分点”．在数轴上，已知点表示的数是，点表示的数是． (1)若点在线段上，且点是点关于点的“倍分点”，则点表示的数是 ； (2)若点在数轴上，，且点是点关于点的“倍分点”，求的值； 【答案】(1)1 (2)的值为或； 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离和一元一次方程的应用，理解“倍分点”的定义，根据题意分情况讨论并列出方程是解此题的关键． （1）根据点是点关于点的“倍分点”，得到，设点表示的数是，得出关于的一元一次方程，求解即可得到答案； （2）根据点是点关于点的“倍分点”，得到，分两种情况讨论：①点在点左侧，②点在点右侧，分别列出关于的一元一次方程，求解即可得到答案； 【详解】（1）解：∵点是点关于点的“倍分点”， ∴， 设点表示的数是， ∵点表示的数是，点表示的数是，点在线段上， ∴，， ∴， 解得： ∴点表示的数是． （2）∵点是点关于点的“倍分点”， ∴， ∵点表示的数是，点表示的数是，， 点在点左侧时，点表示的数是， 此时，， ∴ 解得： 点在点右侧时，点表示的数是6， 此时，， 由题意得： 解得： 所以的值为或； 23．（7分）在网页设计中，颜色常用十六进制编码表示，格式为：以#开头，紧跟着六位字符从左到右，每两位一组，分别代表红色、绿色、蓝色的强度，强度值用十六进制数表示． 十六进制是逢十六进一，其表示引用了字母A至F，与十进制数位上数字的对应关系如下表： 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 十六进制数与十进制数的换算方法为：从右向左，每个数位上的数分别乘，，，，…，再把所得的积相加． 例如，两位的十六进制数，可简单写为，换算为十进制数的过程如下： ．（规定：当时，） 某颜色的十六进制编码为，请回答以下问题： (1)该颜色代码中红色、绿色、蓝色三个部分对应的十六进制数分别为：红色部分：______，绿色部分：______，蓝色部分：______； (2)将红色部分对应的十六进制数转换为十进制数，并写出转换过程； (3)根据某图案设计要求，需将该颜色“变暖”．设计师将红色的十进制数值增加30，绿色的十进制数值增加10，蓝色的十进制数值减少10，得到了较满意的效果，调整后的颜色的十六进制编码为#______． 【答案】(1)，， (2)76 (3) 【分析】本题考查了十六进制数与十进制数的转换及含乘方的有理数计算． （1）根据题中定义即可得出结果； （2）先找出红色部分的十六进制数，再结合题中十六进制数与十进制数的转换即可得出结果； （3）分别得出原红色、绿色、蓝色部分的十六进制数转换为十进制数的结果，再根据题意得出现在红色、绿色、蓝色部分的十进制数，利用整除获得余数对照关系表格即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意知，根据格式要求， 红色部分的十六进制数为，绿色部分的十六进制数为，蓝色部分的十六进制数为， 故答案为：，，． （2）解：， ∴红色部分的十进制数为76． （3）解：， ， 由（2）知，红色部分得十进制数为76， 由题意知，增加后的红色部分十进制数为， 增加后的绿色部分十进制数为， 减少后的蓝色部分十进制数为， ∴将红色部分十进制数转为十六进制数为：，此时余数为10， ∴红色部分十六进制编码为：， 将绿色部分十进制数转为十六进制数为：，此时余数为4， ∴绿色部分十六进制编码为：24， 将蓝色部分十进制数转为十六进制数为：，此时余数为5， ∴蓝色部分十六进制编码为：55， 调整后的十六进制编码为． 故答案为：． 24．（7分）定义：对于数轴上不同的三点，，，点到点的距离表示为，点到点的距离表示为，点到点的距离表示为．如果满足，我们就称点是线段的倍跟随点．例如，如图，若点，，表示的数分别为，1，2．可知，，，，根据可得，此时称点是线段的5倍跟随点．    (1)若点表示的数为1，点表示的数为3． ①当点表示的数为5时，点是线段的______倍跟随点． ②若点是线段的4倍跟随点，则点表示的数是___________． (2)在数轴上，，分别表示数，，，点，，同时开始在数轴上运动．若点从点处以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时，点和点分别从点和点处以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动．假设运动秒后，点是线段的2倍跟随点，请直接写出的值． 【答案】(1)①3；②或6 (2)3.1或3.5 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，绝对值意义，一元一次方程的应用等知识点，解题的关键是理解跟随点的定义． （1）①首先求出，，，然后根据求解即可； ②首先求出，，，然后根据分情况求解即可； （2）首先得到运动后点A表示的数为，点B表示的数为，点P表示的数为，然后表示出，，，然后根据分情况求解即可． 【详解】（1）解：①∵点表示的数为1，点表示的数为3，点表示的数为5 ∴，，， ∵ ∴ ∴ ∴点是线段的3倍跟随点； ②设点表示的数是p ∴，，， ∵点是线段的4倍跟随点 ∴ 当时， 解得； 当时， ∴，不符合题意； 当时， 解得； 综上所述，点表示的数是或6； （2）解：根据题意得，运动后点A表示的数为，点B表示的数为，点P表示的数为， ∴，， ∵点是线段的2倍跟随点 ∴ ∴ ∴ ∴当时， 解得，不符合题意； ∴当时， 解得，符合题意； 当时， 解得，符合题意； 当时， 解得，不符合题意； 综上所述，的值为3.1或3.5． 16/20 17/20 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第一章 有理数·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列数，，，，，中，有理数的个数是（   ） A． B． C． D． 2．在数轴上有A，B，C三点，其中点A表示的数是2，点B表示的数是，如果其中一点为另外两点形成的线段的中点，则点C表示的数是（   ） A．或 B．或8或2 C．或8或1 D．或或8 3．式子的最大值是（   ） A．5 B．7 C．3 D．0 4．如图，若点、、在数轴上所对应的数分别为、、，则下列大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 5．已知，，，则的值是（   ） A．8 B．4或8 C． D．或 6．据2021年2月28日我市十届人大五次会议《政府工作报告》：“2016年全市生产总值达到839亿元，比上一年增长”．如果“十三五”期间（2016年-2020年）每年的全市生产总值都按年增长率增长，那么到“十三五”末我市生产总值约为（     ）（保留三个有效数字） A．亿元 B．亿元 C．亿元 D．亿元 7．实数对应的位置如图所示，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 8．按下面的程序运算，若开始输入x的值为正数，最后输出的结果为656，满足条件的x的不同值的个数最多有（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．有50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，．．．，49，50．从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上．如图，这五张卡片编号分别记为A，B，C，D，E，相邻两张卡片上的数的和如下表所示，则卡片上的数最大的编号记为（   ） 卡片编号 A，B B，C C，D D，E A，E 两数的和 71 48 54 66 59 A．D B．C C．B D．A 10．对于一个正整数A，计算它各位数字的平方和，得到一个新数，再计算这个新数各位数字的平方和，不断重复同样的操作，如果在某一次计算之后得到1，就称最初的正整数A为“快乐数”、例如：7→49→97→130→10→1，所以7是“快乐数”．关于“快乐数”，有以下结论： ①2026是“快乐数”； ②将一个“快乐数”的各位数字任意重新排序，所得新数（最高位不是0）仍是“快乐数”； ③若一个正整数的各位数字的平方和是“快乐数”，则这个正整数也是“快乐数” 所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．比较大小（填“”、“”、“”）： ________；________；________． 12．已知：与，且，则的值是__________． 13．数轴上的点表示，则到点距离为5个单位长度的点所表示的数是_____． 14．某日小王将一辆小型车停到路边收费停车区域内，第二天离开时缴费24元．该区域停车收费标准如图： 根据以上信息，判断他离开的时刻可能是________（写出一个即可）． 15．用黑、白两种颜色的正六边形地砖按如图所示的规律拼成若干个图案，则第个图案中白色地砖有______块，第个图案中白色地砖有______块． 16．学校组织数学节活动，活动中设置两个类别的游戏，每个类别包含的游戏项目及相应的积分（单位：分）如下： 游戏类别 Ⅰ Ⅱ 游戏项目 A B C D E F G H 积分（参与即获得相应积分） 3 6 5 4 5 7 8 9 每名学生选择游戏项目时要符合如下规则： ①必须选择5个游戏项目，并且同一个游戏项目不能重复选择； ②两个类别的游戏都至少选择1个，并且选择类别Ⅱ的游戏项目的个数多于选择类别Ⅰ的游戏项目的个数； ③游戏项目B与游戏项目H不能同时选择； ④游戏项目C与游戏项目D只能都选择或都不选择． （1）若某同学已经选择了游戏项目B和游戏项目C，则他获得的总积分最多为_____ 分； （2）小明和小龙都按规则参与了数学节的活动，那么他们各自获得的总积分的差的最大值是_____ 分． 三、解答题（本大题共8小题，共52分） 17．（12分）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 18．（5分）已知下列个数字：①、②、③、④、⑤ (1)把上述个数的序号填入相应的大括号内： 负分数集：；非负整数集：；正有理数集： (2)把这个数在数轴上表示，并用“”连接． 19．（5分）已知：a和b互为相反数，c和d互为倒数，且．求： 的值． 20．（5分）对有理数a、b规定运算※如下：，求 的值． 21．（5分）2024年7月27日，在巴黎奥运会射击10米气步枪混合团体比赛中，中国选手黄雨婷和盛李豪获得巴黎奥运会首枚金牌，其中最后10轮成绩如下表所示： 序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 环数                                                   若以21环为基准，记录相对环数，超过的环数记为正数，不足的环数记为负数，则上述成绩可表示为： 序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 相对环数      0 0      ______ ______ (1)请填写表中的两个空格； (2)这10轮中，与21环偏差最大的那轮射击的序号为______； (3)请计算这10轮的总成绩． 22．（6分）对于数轴上不同的三个点，，，若满足，则称点是点关于点的“倍分点”．例如，如图，在数轴上，点，表示的数分别是，，可知原点是点关于点的“倍分点”，原点也是点关于点的“倍分点”．在数轴上，已知点表示的数是，点表示的数是． (1)若点在线段上，且点是点关于点的“倍分点”，则点表示的数是 ； (2)若点在数轴上，，且点是点关于点的“倍分点”，求的值； 23．（7分）在网页设计中，颜色常用十六进制编码表示，格式为：以#开头，紧跟着六位字符从左到右，每两位一组，分别代表红色、绿色、蓝色的强度，强度值用十六进制数表示． 十六进制是逢十六进一，其表示引用了字母A至F，与十进制数位上数字的对应关系如下表： 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 十六进制数与十进制数的换算方法为：从右向左，每个数位上的数分别乘，，，，…，再把所得的积相加． 例如，两位的十六进制数，可简单写为，换算为十进制数的过程如下： ．（规定：当时，） 某颜色的十六进制编码为，请回答以下问题： (1)该颜色代码中红色、绿色、蓝色三个部分对应的十六进制数分别为：红色部分：______，绿色部分：______，蓝色部分：______； (2)将红色部分对应的十六进制数转换为十进制数，并写出转换过程； (3)根据某图案设计要求，需将该颜色“变暖”．设计师将红色的十进制数值增加30，绿色的十进制数值增加10，蓝色的十进制数值减少10，得到了较满意的效果，调整后的颜色的十六进制编码为#______． 24．（7分）定义：对于数轴上不同的三点，，，点到点的距离表示为，点到点的距离表示为，点到点的距离表示为．如果满足，我们就称点是线段的倍跟随点．例如，如图，若点，，表示的数分别为，1，2．可知，，，，根据可得，此时称点是线段的5倍跟随点．    (1)若点表示的数为1，点表示的数为3． ①当点表示的数为5时，点是线段的______倍跟随点． ②若点是线段的4倍跟随点，则点表示的数是___________． (2)在数轴上，，分别表示数，，，点，，同时开始在数轴上运动．若点从点处以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时，点和点分别从点和点处以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动．假设运动秒后，点是线段的2倍跟随点，请直接写出的值． 6/6 5/6 学科网（北京）股份有限公司 $ ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第一章 有理数·培优冲刺 建议用时：120分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列数，，，，，中，有理数的个数是（   ） A． B． C． D． 2．在数轴上有A，B，C三点，其中点A表示的数是2，点B表示的数是，如果其中一点为另外两点形成的线段的中点，则点C表示的数是（   ） A．或 B．或8或2 C．或8或1 D．或或8 3．式子的最大值是（   ） A．5 B．7 C．3 D．0 4．如图，若点、、在数轴上所对应的数分别为、、，则下列大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 5．已知，，，则的值是（   ） A．8 B．4或8 C． D．或 6．据2021年2月28日我市十届人大五次会议《政府工作报告》：“2016年全市生产总值达到839亿元，比上一年增长”．如果“十三五”期间（2016年-2020年）每年的全市生产总值都按年增长率增长，那么到“十三五”末我市生产总值约为（     ）（保留三个有效数字） A．亿元 B．亿元 C．亿元 D．亿元 7．实数对应的位置如图所示，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 8．按下面的程序运算，若开始输入x的值为正数，最后输出的结果为656，满足条件的x的不同值的个数最多有（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．有50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，．．．，49，50．从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上．如图，这五张卡片编号分别记为A，B，C，D，E，相邻两张卡片上的数的和如下表所示，则卡片上的数最大的编号记为（   ） 卡片编号 A，B B，C C，D D，E A，E 两数的和 71 48 54 66 59 A．D B．C C．B D．A 10．对于一个正整数A，计算它各位数字的平方和，得到一个新数，再计算这个新数各位数字的平方和，不断重复同样的操作，如果在某一次计算之后得到1，就称最初的正整数A为“快乐数”、例如：7→49→97→130→10→1，所以7是“快乐数”．关于“快乐数”，有以下结论： ①2026是“快乐数”； ②将一个“快乐数”的各位数字任意重新排序，所得新数（最高位不是0）仍是“快乐数”； ③若一个正整数的各位数字的平方和是“快乐数”，则这个正整数也是“快乐数” 所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．比较大小（填“”、“”、“”）： ________；________；________． 12．已知：与，且，则的值是__________． 13．数轴上的点表示，则到点距离为5个单位长度的点所表示的数是_____． 14．某日小王将一辆小型车停到路边收费停车区域内，第二天离开时缴费24元．该区域停车收费标准如图： 根据以上信息，判断他离开的时刻可能是________（写出一个即可）． 15．用黑、白两种颜色的正六边形地砖按如图所示的规律拼成若干个图案，则第个图案中白色地砖有______块，第个图案中白色地砖有______块． 16．学校组织数学节活动，活动中设置两个类别的游戏，每个类别包含的游戏项目及相应的积分（单位：分）如下： 游戏类别 Ⅰ Ⅱ 游戏项目 A B C D E F G H 积分（参与即获得相应积分） 3 6 5 4 5 7 8 9 每名学生选择游戏项目时要符合如下规则： ①必须选择5个游戏项目，并且同一个游戏项目不能重复选择； ②两个类别的游戏都至少选择1个，并且选择类别Ⅱ的游戏项目的个数多于选择类别Ⅰ的游戏项目的个数； ③游戏项目B与游戏项目H不能同时选择； ④游戏项目C与游戏项目D只能都选择或都不选择． （1）若某同学已经选择了游戏项目B和游戏项目C，则他获得的总积分最多为_____ 分； （2）小明和小龙都按规则参与了数学节的活动，那么他们各自获得的总积分的差的最大值是_____ 分． 三、解答题（本大题共8小题，共52分） 17．（12分）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 18．（5分）已知下列个数字：①、②、③、④、⑤ (1)把上述个数的序号填入相应的大括号内： 负分数集：；非负整数集：；正有理数集： (2)把这个数在数轴上表示，并用“”连接． 19．（5分）已知：a和b互为相反数，c和d互为倒数，且．求： 的值． 20．（5分）对有理数a、b规定运算※如下：，求 的值． 21．（5分）2024年7月27日，在巴黎奥运会射击10米气步枪混合团体比赛中，中国选手黄雨婷和盛李豪获得巴黎奥运会首枚金牌，其中最后10轮成绩如下表所示： 序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 环数                                                   若以21环为基准，记录相对环数，超过的环数记为正数，不足的环数记为负数，则上述成绩可表示为： 序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 相对环数      0 0      ______ ______ (1)请填写表中的两个空格； (2)这10轮中，与21环偏差最大的那轮射击的序号为______； (3)请计算这10轮的总成绩． 22．（6分）对于数轴上不同的三个点，，，若满足，则称点是点关于点的“倍分点”．例如，如图，在数轴上，点，表示的数分别是，，可知原点是点关于点的“倍分点”，原点也是点关于点的“倍分点”．在数轴上，已知点表示的数是，点表示的数是． (1)若点在线段上，且点是点关于点的“倍分点”，则点表示的数是 ； (2)若点在数轴上，，且点是点关于点的“倍分点”，求的值； 23．（7分）在网页设计中，颜色常用十六进制编码表示，格式为：以#开头，紧跟着六位字符从左到右，每两位一组，分别代表红色、绿色、蓝色的强度，强度值用十六进制数表示． 十六进制是逢十六进一，其表示引用了字母A至F，与十进制数位上数字的对应关系如下表： 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 十六进制数与十进制数的换算方法为：从右向左，每个数位上的数分别乘，，，，…，再把所得的积相加． 例如，两位的十六进制数，可简单写为，换算为十进制数的过程如下： ．（规定：当时，） 某颜色的十六进制编码为，请回答以下问题： (1)该颜色代码中红色、绿色、蓝色三个部分对应的十六进制数分别为：红色部分：______，绿色部分：______，蓝色部分：______； (2)将红色部分对应的十六进制数转换为十进制数，并写出转换过程； (3)根据某图案设计要求，需将该颜色“变暖”．设计师将红色的十进制数值增加30，绿色的十进制数值增加10，蓝色的十进制数值减少10，得到了较满意的效果，调整后的颜色的十六进制编码为#______． 24．（7分）定义：对于数轴上不同的三点，，，点到点的距离表示为，点到点的距离表示为，点到点的距离表示为．如果满足，我们就称点是线段的倍跟随点．例如，如图，若点，，表示的数分别为，1，2．可知，，，，根据可得，此时称点是线段的5倍跟随点．    (1)若点表示的数为1，点表示的数为3． ①当点表示的数为5时，点是线段的______倍跟随点． ②若点是线段的4倍跟随点，则点表示的数是___________． (2)在数轴上，，分别表示数，，，点，，同时开始在数轴上运动．若点从点处以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时，点和点分别从点和点处以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动．假设运动秒后，点是线段的2倍跟随点，请直接写出的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $