13.3.1三角形的内角（第2课时 直角三角形的性质和判定）（分层作业）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 本同步练聚焦“直角三角形的性质和判定”，通过A组巩固基础、B组能力进阶、C组思维拔高及中考链接的分层设计，构建从单一计算到综合应用再到创新探究的知识巩固路径，适配新授课差异化教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|直角三角形锐角计算、性质与判定基础应用|题型01-06从直接计算到方程思想、图形变换（翻折/旋转），强化几何直观与运算能力| |B组|性质综合应用、跨学科关联|结合物理情境（斜面受力、光的折射），体现应用意识，发展模型观念| |C组|分类讨论、新定义探究|通过“友爱三角形”等创新题型，培养推理能力与创新意识，衔接中考命题|

分层作业 13.3.1三角形的内角 第2课时 直角三角形的性质和判定 目 录 A组 巩固过关 题型01 已知直角三角形中一锐角度数求另一个锐角度数 题型02利用方程思想求直角三角形锐角度数 题型03利用三角板求直角三角形锐角度数 题型04利用翻折/旋转求直角三角形锐角度数 题型05 利用直角三角形性质综合解决问题 题型06 利用直角三角形的判定解决问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型0 1 )已知三角形中一锐角的度数求另一锐角度数 1． 在中，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，一艘轮船按箭头所示方向行驶，处有一灯塔，点表示轮船的初始位置，点表示轮船行进中某一时刻的位置，当轮船从点行驶到距离灯塔最近点时，此时的度数为（    ） A． B． C． D． ( 题型0 2 )利用方程思想求直角三角形锐角度数 3．在中，，，则两个锐角的度数为（   ） A．和 B．和 C．和 D．以上说法都不对 4.在中，若两锐角之差为，则较大锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 5.如图，在直角三角形与直角三角形中，，比大，则________． ( 题型0 3 )利用三角板求直角三角形锐角度数 6.将一副教学常用三角板（厚度不计）如图摆放，则（     ） A． B． C． D． 7.如图，三角尺的顶点，分别在直线，上，若，且平分，则的度数是（     ） A． B． C． D． 8.一副三角板（内角分别是，，；，，）按如图方式叠放在一起，则的度数是（     ） A． B． C． D． ( 题型0 4 )利用翻折/旋转求直角三角形锐角度数 9.如图，将长方形纸片沿折叠，使点D落在长方形内的点处，已知，则_______． 10如图，在中，，，是边上的一个动点，连接，当为的平分线时，将沿着翻折，得到．如下结论：①点落在上；②；③平分．结论正确的是_________ 11.如图，把绕点顺时针旋转，得到，交边于点．若，则_______ ( 题型0 5 )利用直角三角形性质综合解决问题 12.如图，在中，是高，是角平分线，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 13.如图，在中，，，则的度数为__________ 14.如图，已知是的角平分线，是的高，，，求的度数． 15.如图，中，，，平分，于D，于F，求的度数． ( 题型0 6 )利用直角三角形的判定解决问题 15.具备下列条件的中，不是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 16.如图，平分．求证：是直角三角形． 17.如图，在中，，平分交于点E． (1)求的度数； (2)若于点D，．判断的形状，并说明理由． 1．将一副分别含角和角的直角三角板按如图所示方式摆放，，点在边上，保持点位置不动，将绕点旋转，始终保持边与边相交，则和的数量关系是（     ） A． B． C． D． 2.如图，在中，过点作直线，和的平分线分别交于点、，则（     ） A． B． C． D． 3.如图，将一个直角三角形纸片，沿线段折叠，使点落在处，若，，则的度数为________． 4.如图，，，则的值为________ 5.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则等腰三角形的顶角为_____度． 6.如图，将长方形沿折叠，点分别落在的位置，的延长线交于点，则度数为________ 7.如图，在中，，，平分． (1)若，，则_________； (2)计算：若，求的度数； (3)猜想：、、的关系_________． 8.已知一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，结合图形，试探索这两个角之间的数量关系． (1)如图1，，，则与之间的数量关系是___________． (2)如图2，，，则与之间的数量关系是___________． (3)若两个角的两边互相垂直，且一个角比另一个角的倍少，求这两个角的度数． 1．【跨学科试题·物理】一个小长方体木块静止在斜面上，其受力分析如图，重力的方向与水平地面垂直，摩擦力的方向与斜面平行，支持力的方向与斜面垂直．若斜面的坡角，则支持力与重力方向的夹角的度数是（     ） A． B． C． D． 2．【跨学科试题·物理】日常生活中，我们观察到的池塘水深比实际情况浅一些．如图，眼睛看到的点实际是在更深处的池底点处（点，在一条竖直直线上）．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．【分类讨论】在中，是边上的高线，垂足为，，且，则的度数为__________． 4．【分类讨论】已知：在中，，比大，点M，N分别在边上，连接，将沿着折叠，得到，当所在直线与垂直时，的度数是_______ 5．【新定义】定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． ①求、的度数． ②若是中边上的高，则、都是“友爱三角形”吗？为什么？ (2)如图2，在中，，，是边上一点（不与点，重合），连接，若是“友爱三角形”，直接写出的度数． 1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）将一个含角的三角尺和直尺如图放置，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·西藏·中考真题）如图，已知直线，于点D，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3.一个三角形的三个内角的度数的比为，这个三角形是______三角形 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 13.3.1三角形的内角 第2课时直角三角形的性质和判定 参考答案 A组 巩固过关 颗型01 已知三角形中一锐角的度数求另一锐角度数 1.B 2.C 题型02 利用方程思想求直角三角形锐角度数 3.A 4.B 5.15°/15度 题型03 利用三角板求直角三角形锐角度数 6.A 7.B 8.D 题型04 利用翻折旋转求直角三角形锐角度数 9.50 1/7 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.①②③ 11.62° 题型05 利用直角三角形性质综合解决问题 12.B 13.130° 14.解：，CE是△ABC的高，∠ACE=20°，∠B=50°， ∴，∠CAE=90-∠ACE=70°，∠BCE=90°-∠B=40°， ∴.∠ACD=∠ACE+∠BCE=60°， .AD是△ABC的角平分线， ∠CAD=克∠BAC=35, .∠ADC=180°-∠CAD-∠ACD=85° 15.解：.·∠A=50°，∠B=70°， ∴.∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-50°-70°=60°， .CE平分∠ACB, ∠BCE=∠ACB=30° 2 ,CD⊥AB, .∠BDC=90° ∴.∠BCD=90°-∠B=90°-70°=20°， ∴.∠DCE=∠BCE-∠BCD=30°-20°=10°， .DF⊥CE, ∴.∠CFD=90°， ∴.∠CDF=90°-∠CFD=90°-10°=80°」 题型06 利用直角三角形的判定解决问题 15.D 16.证明：∠A=38°，∠B=60°， .∴.∠ACB=180°-∠A-∠B=82° .CE平分∠ACB, 217 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠BCE= ∠ACB=41. .∠DCE=11, ∴.∠BCD=∠BCE-∠DCE=30, ∴.∠BCD+∠B=90°， △BCD是直角三角形. 17.(1)解：.∠A=30°，∠B=60°， ∴.∠ACB=180°-∠A-∠B=90°， .CE平分∠ACB, ∠BCE=∠ACE=∠ACB=450, ∴.∠AEC=180°-∠A-∠ACE=105°： (2)解：△CFD是直角三角形，理由如下： 由(1)得：∠BCE=45°， ,CD⊥AB, ∴.∠BDC=90°， ∴.∠BCD=90°-∠B=30°， ∴.∠DCF=∠BCE-∠BCD=15°， .∠CDF=75 .∴.∠CFD=180°-∠CDF-∠DCF=90°， △CFD是直角三角形. 0 B组 能力进阶 1.C 2.B 3.22.5° 4.135° 5.40或140 6.54° 7.(1)解：，∠B=30°，∠C=64°， .∠BAC=180°-∠B-∠C=86°， 3/7 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,AE平分∠BAC, CA0=B1C=43 ,AD⊥BC, .∠ADC=90°， ∴∠CAD=90°-∠C=26°， .∠EAD=∠CAE-∠CAD=43°-26°=17°： 故答案为：17°： (2)解：，∠BAC=180°-∠B-∠C,AE平分∠BAC, CB=克BAc=l80-B-d=90-克R克G. :AD⊥BC, .∠ADC=90°， ∠CAD=90°-∠C, ∠DaE=∠CnE-∠CD=90-3<B-克∠C-90-∠G=∠C-∠B .∠C-∠B=50°， .∠DAE=25°， 故答案为：25°： 3)解：游组：∠DA-<C-∠B ,∠BAC=180°-∠B-∠C, ,AE平分∠BAC, C-7<B4C=180-∠B-2C=90-方<B 2 C, .AD⊥BC, ∴.∠ADC=90°， ∠CAD=90°-∠C, ∠EAD=∠CAE-∠CAD=90-3<B-3<C-90°-∠C=∠C-∠B. 即<DME=<C-B 故答案为：∠DAE=号∠C-∠B. 4/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.(1)解：如图所示，设BC与EF的交点为G,AB与DE的交点为H, E 4 H .'AB⊥DEBC⊥EF G C F .∴.∠EGB=∠EHB=90° .∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°， .∠3=∠4， ∴∠1=∠2 (2)解：如图所示，设AB与DE的交点为G,BC与EF的交点为H, D A G 20E H C F ,AB⊥DE,BC⊥EF, ∴.∠EGB=∠EHB=90°， .∠1+∠2+∠EGB+∠EHB=360°， .∴.∠1+∠2=180° (3)解：设其中一个角的度数为0，则另一个角的度数为3a-40° 根据题意，得a=3&-40°或c+3a-40°=180°， 解得a=20°或a=55°. 当a=20°时，3a-40°=20° 当a=55°时，3a-40°=125°， ∴.这两个角的度数为20°，20°或55°，125° C组 思维拔高 1.B 517 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.D 3.90°或18° 4.29°或119° 5.(1)解：①，△ABC是“友爱三角形”，且∠A与∠B互为“友爱角”（∠A>∠B), .∠A=2∠B, .∠ACB=90°， ∴.∠A+∠B=180°-90°=90°，即2∠B+∠B=90°，解得∠B=30°， ∴.∠A=60 ②△ACD、△BCD都是“友爱三角形”， 理由：，CD是△ABC中AB边上的高， ∴.∠ADC=∠BDC=90°， .∠A=60°，∠B=30°， '.∠ACD=30°，∠BCD=60 在△ACD中，∠A=60°，∠ACD=30°， ∠ACD3<A ∴.△ACD为“友爱三角形”： 在△BCD中，∠BCD=60°，∠B=30°， ∠B=BCD ∴△BCD为“友爱三角形”： (2)解：，△ACD是“友爱三角形”，D是边AB上一点（不与点A,B重合）， :∠ACD=号∠A或∠ACD=∠ADC, 2 2 当AcD=方A时，ACD=方A=33 当∠ACD-方ADC时， ∴.∠A+3∠ACD=180°，即3∠ACD=114°， ∴.∠ACD=38°， 综上所述，∠ACD的度数为33°或38° 617 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 拓展 链接中考 1.B 2.A 3直角 717 分层作业 13.3.1三角形的内角 第2课时 直角三角形的性质和判定 目 录 A组 巩固过关 题型01 已知直角三角形中一锐角度数求另一个锐角度数 题型02利用方程思想求直角三角形锐角度数 题型03利用三角板求直角三角形锐角度数 题型04利用翻折/旋转求直角三角形锐角度数 题型05 利用直角三角形性质综合解决问题 题型06 利用直角三角形的判定解决问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型0 1 )已知三角形中一锐角的度数求另一锐角度数 1． 在中，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直角三角形的两个锐角互余 【分析】已知直角和的度数，用减去的度数即可求出的度数． 【详解】∵在中，， ∴． 2．如图，一艘轮船按箭头所示方向行驶，处有一灯塔，点表示轮船的初始位置，点表示轮船行进中某一时刻的位置，当轮船从点行驶到距离灯塔最近点时，此时的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】垂线段最短、直角三角形的两个锐角互余 【分析】根据垂线段最短的性质，当轮船行驶到距离灯塔最近点时，轮船与灯塔的连线垂直于航线，构成直角三角形，利用直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：当轮船行驶到距离灯塔最近点时， 此时轮船位置（即点）与灯塔的连线垂直于航线， ， ， 在中，， ． ( 题型0 2 )利用方程思想求直角三角形锐角度数 3．在中，，，则两个锐角的度数为（   ） A．和 B．和 C．和 D．以上说法都不对 【答案】A 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、直角三角形中两锐角互余等知识点，掌握直角三角形两锐角互余成为解题的关键． 由，则，然后按比例分配即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 4.在中，若两锐角之差为，则较大锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，根据直角三角形两锐角互余进行求解即可． 【详解】解：∵在中， 设较小锐角的度数为，则较大锐角的度数为， 直角三角形两锐角互余， 则 则较大的锐角度数为 故选：B． 5.如图，在直角三角形与直角三角形中，，比大，则________． 【答案】/度 【知识点】几何图形中角度计算问题、直角三角形的两个锐角互余 【分析】根据比大，并结合它们互余可求出，再根据直角三角形的两锐角互余求出，，再由角的和差即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴在中，， ∵， ∴在中，， ∴． ( 题型0 3 )利用三角板求直角三角形锐角度数 6.将一副教学常用三角板（厚度不计）如图摆放，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角板中角度计算问题、直角三角形的两个锐角互余 【详解】由图可知，． 7.如图，三角尺的顶点，分别在直线，上，若，且平分，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、根据平行线的性质求角的度数、角平分线的有关计算 【分析】根据角平分线的定义求出的度数，再根据平行线的性质可得的度数，最后利用直角三角形两锐角互余求出的度数即可． 【详解】解：平分，， ， 如图，， ， ， ． 8.一副三角板（内角分别是，，；，，）按如图方式叠放在一起，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角板中角度计算问题、直角三角形的两个锐角互余 【分析】由角度的和差关系得出，再由直角三角形两个锐角互余即可得出． 【详解】由三角板可知：，，， ， ． ( 题型0 4 )利用翻折/旋转求直角三角形锐角度数 9.如图，将长方形纸片沿折叠，使点D落在长方形内的点处，已知，则_______． 【答案】 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查折叠性质、平角定义、角度的运算，根据折叠性质得到，再根据平角定义求解即可． 【详解】解：∵长方形纸片沿折叠，使点D落在长方形内的点处， ∴， ∵， ∴    ， ∴， 故答案为：． 10如图，在中，，，是边上的一个动点，连接，当为的平分线时，将沿着翻折，得到．如下结论：①点落在上；②；③平分．结论正确的是_________ 【答案】①②③ 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、角平分线的有关计算 【分析】根据三角形内角和及角平分线求出，结合翻折得到，由此判断①；根据翻折性质得到，结合①即可判断②；根据直角三角形两锐角互余判断③． 【详解】解：在中，，， ∴， 当为的平分线时，， 由翻折得， ∴， ∴点落在上，故①正确； 由翻折得， 由①知点落在上， ∴，故②正确； ∵，， ∴， ∴平分，故③正确． 11.如图，把绕点顺时针旋转，得到，交边于点．若，则_______ 【答案】 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点、直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用 【分析】由题意得旋转角，再根据三角形的内角和求解即可． 【详解】解：∵绕点顺时针旋转，得到， ∴， 又∵， ∴． ( 题型0 5 )利用直角三角形性质综合解决问题 12.如图，在中，是高，是角平分线，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、直角三角形的两个锐角互余、角平分线的有关计算 【分析】根据已知条件是高, ，,得出,,又因为是角平分线,得出． 【详解】解： , 是角平分线 13.如图，在中，，，则的度数为__________ 【答案】 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理及直角三角形的性质，根据直角三角形的性质求出，根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可求的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ， ． 14.如图，已知是的角平分线，是的高，，，求的度数． 【答案】 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用、角平分线的有关计算 【分析】由直角三角形两个锐角互余得出，，得到，由角平分线的定义得出，最后由三角形内角和定理即可得出． 【详解】解：∵是的高，，， ∴，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 15.如图，中，，，平分，于D，于F，求的度数． 【答案】 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、直角三角形的两个锐角互余 【分析】先根据三角形的内角和定理求得的度数，根据角的平分线的定义求得的度数，再根据直角三角形两锐角互余求出，根据角的和差求出，进而在直角中求出． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ∴， ， ， ， ， ． ( 题型0 6 )利用直角三角形的判定解决问题 15.具备下列条件的中，不是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用 【分析】利用三角形内角和定理，结合各选项给出的角的数量关系，计算各角度数，判断是否为直角三角形即可． 【详解】解：A、将代入得，解得，则是直角三角形，不符合题意； B、由得，代入得，解得，则是直角三角形，不符合题意； C、由得、，代入得，解得、，则是直角三角形，不符合题意； D、将代入得，解得、，则三个角都不是，故不是直角三角形，符合题意． 16.如图，平分．求证：是直角三角形． 【答案】详见解析 【知识点】锐角互余的三角形是直角三角形、角平分线的有关计算、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查直角三角形的证明，角平分线性质和三角形内角和定理，熟练掌握基础知识点是解题关键； 先通过三角形内角和定理求出，再通过角平分线求出，进而可求出，从而可得到，进而得证． 【详解】证明：， ． 平分， ． ， ， ， 是直角三角形． 17.如图，在中，，平分交于点E． (1)求的度数； (2)若于点D，．判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形，理由见解析 【知识点】锐角互余的三角形是直角三角形、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，角平分线定义等知识点，关键是求出各个角的度数． （1）依据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到的度数． （2）依据三角形内角和定理以及直角三角形的性质，可得到的度数，进而得出的度数即可得答案． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ； （2）解：是直角三角形，理由如下： 由（1）得：， ， ， ， ， ． ， 是直角三角形． 1．将一副分别含角和角的直角三角板按如图所示方式摆放，，点在边上，保持点位置不动，将绕点旋转，始终保持边与边相交，则和的数量关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】直角三角形的两个锐角互余 【分析】根据平角的定义可得：，根据直角三角形的两个锐角互余，可得：． 【详解】解：如下图所示，在中，，， ， ， ， ， ， ， ． 2.如图，在中，过点作直线，和的平分线分别交于点、，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用、角平分线的有关计算 【分析】设与交于点，易得，再根据角平分线的定义及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，设与交于点， ∵， ∴． 和的平分线分别交于点、， ，． ， ∴． ． 3.如图，将一个直角三角形纸片，沿线段折叠，使点落在处，若，，则的度数为________． 【答案】． 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形折叠中的角度问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】根据平行线的性质和折叠的性质可得，结合直角三角形的锐角互余，即可求解． 【详解】解：， ， ， ∴∠ACB′=3∠B， ∵折叠， ∴， ， ，， ，即， ， ∴． 【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，平行线的性质以及折叠的性质，解题的关键是掌握平行线的性质和折叠的性质． 4.如图，，，则的值为________ 【答案】 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，等边对等角，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以灵活运用是解题的关键． 设，交于点，由可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由等边对等角及三角形的内角和定理可得，，则，由此即可求出的值． 【详解】解：如图，设，交于点， ， ， ， ， ， ， . 5.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则等腰三角形的顶角为_____度． 【答案】40或140 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、等腰三角形的定义 【分析】本题考查等腰三角形的性质及高的位置关系，根据题意，对等腰三角形分为锐角等腰三角形和钝角等腰三角形两种情况分别进行解答即可． 【详解】解：①如图1，若该等腰三角形为锐角三角形， 由题意可知，在中，，为边上高，且， ∴； ②如图2，若该等腰三角形为钝角三角形， 由题意可知，在中，，为边上高，且， ∴， ∴； 综上所述：等腰三角形的顶角度数为40度或140度． 故答案为：40或140． 6.如图，将长方形沿折叠，点分别落在的位置，的延长线交于点，则度数为________ 【答案】 【知识点】折叠问题、对顶角相等、直角三角形的两个锐角互余、根据平行线的性质求角的度数 【分析】由折叠性质、平行线的性质、对顶角相等求出相关角度，再由直角三角形两锐角互余求出，最后由对顶角相等即可得到答案． 【详解】解：将长方形沿折叠，则，， 设，，则， ，， 在长方形中，，则， ， 将长方形沿折叠，则， ，则， ， 则， 在长方形中，，则， ，即， ， ，解得， 在中，， ． 7.如图，在中，，，平分． (1)若，，则_________； (2)计算：若，求的度数； (3)猜想：、、的关系_________． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、与角平分线有关的三角形内角和问题、直角三角形的两个锐角互余、角平分线的有关计算 【分析】（1）先根据三角形内角和定理可计算出，再利用角平分线定义得，接着由得，根据三角形内角和得到，然后利用进行计算； （2）由三角形内角和定理得，再根据角平分线定义得，接着利用互余得到，所以，然后整理得出，将其代入计算即可． （3）同（2）得出，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：猜想：． ∵， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 故答案为：． 8.已知一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，结合图形，试探索这两个角之间的数量关系． (1)如图1，，，则与之间的数量关系是___________． (2)如图2，，，则与之间的数量关系是___________． (3)若两个角的两边互相垂直，且一个角比另一个角的倍少，求这两个角的度数． 【答案】(1) (2) (3)，或， 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、垂线的定义理解、直角三角形的两个锐角互余 【分析】（1）根据垂直可得，由直角三角形的两锐角互余可得，，再结合对顶角相等等量代换即可得解； （2）根据垂直可得，由四边形的内角和列式计算即可得解； （3）设其中一个角的度数为，则另一个角的度数为，根据这两个角相等或者互补列方程计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，设与的交点为，与的交点为， ，， ， ，， ， ． （2）解：如图所示，设与的交点为，与的交点为， ，， ， ， ． （3）解：设其中一个角的度数为，则另一个角的度数为． 根据题意，得或， 解得或． 当时，； 当时，， 这两个角的度数为，或，． 1．【跨学科试题·物理】一个小长方体木块静止在斜面上，其受力分析如图，重力的方向与水平地面垂直，摩擦力的方向与斜面平行，支持力的方向与斜面垂直．若斜面的坡角，则支持力与重力方向的夹角的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】垂线的定义理解、直角三角形的两个锐角互余、根据平行线的性质求角的度数 【分析】重力与水平地面垂直，得．由，得，由对顶角得．摩擦力与斜面平行，故．支持力与斜面垂直，即与垂直，得．由周角得． 【详解】解：如图，设重力的作用线与斜面交于点，与水平地面交于点． ∵重力的方向与水平地面垂直， ∴． ， ∴． ． 摩擦力的方向与斜面平行， ， 支持力的方向与斜面垂直， 支持力的方向与摩擦力的方向垂直， ， ． 2．【跨学科试题·物理】日常生活中，我们观察到的池塘水深比实际情况浅一些．如图，眼睛看到的点实际是在更深处的池底点处（点，在一条竖直直线上）．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用邻补角互补求角度、对顶角相等、直角三角形的两个锐角互余 【分析】利用邻补角的性质求出的度数，再根据直角三角形两锐角互余求出，最后利用对顶角相等即可求解． 【详解】解：∵点在一条竖直直线上， ， ， ， ∵水面 水平，竖直直线垂直于水面， ， ∴， ∵人眼逆着折射光线看去，感觉光线是从发出的， ∴点在同一直线上， 又∵点在同一直线上， ∴ 和是对顶角， ． 3．【分类讨论】在中，是边上的高线，垂足为，，且，则的度数为__________． 【答案】或 【知识点】几何图形中角度计算问题、直角三角形的两个锐角互余 【分析】根据直角三角形的性质，角的和差计算，需要分情况讨论垂足的位置，垂足在线段上和垂足在线段的延长线上，利用直角三角形两锐角互余求出，再结合已知条件求出，最后根据角的和差关系计算的度数． 【详解】解：是边上的高线， ，， 在中，， ， ， ， 分两种情况讨论： ①当垂足在线段上时， ， ②当垂足在线段的延长线上（点在，之间）时， ， 综上可得：的度数为或． 4．【分类讨论】已知：在中，，比大，点M，N分别在边上，连接，将沿着折叠，得到，当所在直线与垂直时，的度数是__________ 【答案】或 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、折叠问题、直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用 【分析】先求出，，再分两种情况讨论，，且点与点C在直线的异侧；，且点与点C在直线AB的同侧，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵比大， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图1，，且点与点C在直线的异侧， ∵， ∴， ∴， ∴， 由折叠得：， ∵， ， ∴， ∴； 如图2，，且点与点C在直线AB的同侧， ∵， ∴， ∴， 由折叠得， ∴， 综上所述，的度数是或． 5．【新定义】定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． ①求、的度数． ②若是中边上的高，则、都是“友爱三角形”吗？为什么？ (2)如图2，在中，，，是边上一点（不与点，重合），连接，若是“友爱三角形”，直接写出的度数． 【答案】(1)①，；②、都是“友爱三角形”；理由见解析 (2)或 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了直角三角形的性质和新定义，正确理解“友爱三角形”的定义是关键． （1）①根据与互余和“友爱三角形”的定义进行求解即可； ②根据直角三角形的性质及“友爱三角形”的定义进行判断即可； （2）直接根据“友爱三角形”定义求解即可． 【详解】（1）解：①是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（）， ， ， ，即，解得， ； ②、都是“友爱三角形”， 理由：是中边上的高， ， ， 在中，， ， 为“友爱三角形”； 在中，， 为“友爱三角形”； （2）解：是“友爱三角形”，是边上一点（不与点重合）， 或， 当时，； 当时， ，即， ， 综上所述，的度数为或． 1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）将一个含角的三角尺和直尺如图放置，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】对顶角相等、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了对顶角的性质，三角形内角和定理．根据对顶角相等和三角形的内角和定理，即可求解． 【详解】解：如图所示， 由题意得，，， ∴， 故选：B． 2．（2024·西藏·中考真题）如图，已知直线，于点D，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理应用，垂线定义理解．先利用平行线的性质求出的度数，然后利用三角形内角和定理进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，故A正确． 故选：A． 3.一个三角形的三个内角的度数的比为，这个三角形是______三角形 【答案】直角 【知识点】三角形的分类、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形类别，解答此题应明确三角形的内角度数的和是，求出最大的角的度数，然后根据三角形的分类判定类型． 【详解】解：， 这个三角形是直角三角形， 故答案为：直角． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $