专题02 含有理数运算的数轴与绝对值问题（专项训练）数学新教材人教版七年级上册

**基本信息** 聚焦数轴与绝对值综合应用，通过7类分层题型构建从概念理解到动态应用的逻辑体系，强化几何直观与分类讨论能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |利用数轴判断式子的正误|3题|结合数轴比较大小、判断运算结果|数轴上点的位置与有理数性质的关联| |用数轴上的点表示有理数|3题|数与形转化、排序|有理数与数轴上点的一一对应| |数轴上的动点问题|3题|含分段运动、距离计算|运动过程中数与形的动态关系| |数轴上的新定义型问题|3题|自定义“对称数组”“格距点”等概念|新情境下数轴性质的迁移应用| |绝对值的非负性|3题|利用非负性求参数|绝对值性质的直接应用| |利用数轴化简绝对值|3题|结合数轴去绝对值符号|数轴直观简化绝对值运算| |分类讨论化简绝对值|3题|含参数或多情况绝对值化简|分类讨论思想解决复杂绝对值问题|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02含有理数运算的数轴与绝对值问题 内容概览 目常考题型精准突破 题型1利用数轴判断式子的正误（重） 题型2用数轴上的点表示有理数（高频） 题型3数轴上的动点问题（高频） 题型4数轴上的新定义型问题（难） 题型5绝对值的非负性（高频） 题型6利用数轴化筒绝对值（高频） 题型7分类讨论化筒绝对值（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型：精准突破 ◆题型1利用数轴判断式子的正误 1.(2026福建中考真题)实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是() b-1 0a1 A.a+bz0 B.a-b<0 C.ab>0 00 2.(25-26七年级上山东德州期中)有理数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示，则() bL十 -101 A.a-b<0 B.a+b>0 C.a<0 D.b>0 3.(25-26七年级上广东东莞期中)有理数a,b在数轴上的位置如图所示，则下列各式一定成立的个数 有() ①a-b>0:②>a:@h<0:④81. b 0 a A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 1/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型2用数轴上的点表示有理数 4.(25-26七年级上河南开封期中)在数轴上表示下列各数，并用“<”号把它们按照从小到大的顺序 排列. 2,(-1)05,1-(-2）-2,-1-25 5-4-3-2-1012345 5.(25-26七年级上广东深圳阶段检测)已知一组数：-3.5,0，卜5，-P,-（4) (1)把这些数在数轴上表示出来： (2)请将这些数按顺序排列（用“>”连接）， 6.(25-26七年级上江苏徐州期中)如图，数轴上点A表示的数是-4，点B表示的数是3， A B (1)在图中所示的数轴上标出原点O: (2)在图中所示的数轴上表示下列各数，并将它们按从小到大的顺序用“<”连接起来 +1-十3，-(+2)，(-2,2 --3-(+2)-2.+1，，(（-22 ◆ 0■ →则-<-(221<(-2明 B ◆题型3数轴上的动点问题 7.(25-26七年级上河北保定·期末)如图，数轴上点A表示的有理数为-5，点B表示的有理数为9，点 P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动，当点P到达点A后立即返回，再以每秒2 个单位长度的速度向右运动，回到点B后停止运动.设点P运动的时间为(~)， A B -6-5-4-3-2-1012345678910 (I)当点P返回到点B时，求t的值： (2)当t=6时，求点P表示的数： (3)当点P表示的数是3时，求t的值. 8.(25-26七年级上·吉林四平·期中)阅读下面的材料： 2/10 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在数轴上A点表示的数为a,B点表示的数为b,则点A到点B的距离记为AB.线段AB的长可以用右边的 数减去左边的数表示，即AB=b-a.请用这个知识解答下面的问题， 如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2Cm到达A点，再向左移动3cm到达B点，然后向右移动 9cm到达C点，用1个单位长度表示lcm -6-5-4-3-2-10123456* (I)点A表示的数为一，点B表示的数为 一，点C表示的数为. (2)若将点A向右移动xCm,则移动后的点A表示的数为一（用含x的代数式表示）： 3)若数轴上有一点D,且AD=5,求点D表示的数： (4)若点B以每秒2cm的速度沿数轴向左运动，同时A、C两点分别以每秒lcm、4cm的速度沿数轴向右运 动.设运动时间为秒，试探索：AC-AB的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由. 9.(25-26七年级上广东珠海期中)【阅读理解】 数轴是初中数学学习的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要 a+b 的规律.数轴上点AB分别表示数ab,则4B两点之间的距离为AB=口-b,将数轴沿表示2 的点折叠，可使点A、B重合，例如：点M表示的数是2，点N表示的数是6，则M、N两点之间的距 2+6 离MN=2-6=4,将数轴沿表示2的点折叠，可使点MN重合. 【问题解决】 请你解决以下问题： 数轴上点A、B、C分别表示数a、b、C,在数轴上的位置如图所示，其中a<c<b. a c 备用图 (1)若a=-1，,b=5,则A,B两点之间的距离为 (2)在(1)的条件下，沿数轴上某点折叠，使点A、点B重合，则折痕处对应的点表示的数为 【拓展探究】 (3)若a=-2,b=6,c=1,在数轴上点A以每秒x个单位长度的速度向左匀速运动，同时点B以每秒3 个单位长度的速度向右匀速运动，运动秒后，点B表示的数为. (用含有t的代数式表示)， 若运动过程中，2BC-3AC的值不变，求x的值. (4)在数轴上剪下10个单位长度（从-2到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分 某处剪一刀得到三条线段.若这三条线段的长度之比为1：1：3，则折痕处对应的点所表示的数是 3/10 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型4数轴上的新定义型问题 10.(25-26七年级上浙江金华·期中)阅读理解，并完成下列各题：对于数轴上任意一点P,把与点P相 距b个单位长度(b是正数)的两点所表示的数分别记作和n(其中m<m),并把、n这两个数叫做“点P 关于b的对称数组”，记作N(P,b)=(m,n).例如：原点O表示数0，原点0关于2的对称数组是 N(0,2)=(-2,2). (1)如果点P表示数2，那么点P关于4的对称数组是 (2②)如果N(P,b)=(3,4049),求出点P表示的数以及b的值： (3)如果点P、Q是数轴上的两个动点，两点同时从原点出发，点P在数轴上以每秒3个单位长度沿着数轴 正方向运动，点Q在数轴上以每秒4个单位长度沿着数轴负方向运动，己知N(P,4)=(m,”）, N(,3)=(P,9),经过t秒后，是否存在常数k,使得n-g为定值？若存在，请求出k的值以及这个定值； 若不存在，请说明理由. 11.(25-26七年级上：广东茂名期中)如图，数轴上点A表示的数是-2，点B表示的数是3，阅读以下材 料并解决相关问题.若在数轴上存在一点P,使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和等于，则 称点P为点A、B的“格距点”.例如：在图1中，点P表示的数是-1，点P到点A的距离与点P到点B 的距离之和为1+4=5，则称点P为点A、B的“5格距点”. AP B -5-4-3-2-1012345 (图1) A B -5-4-3-2-1012345 (备用图) (1)若点P表示的数是0，则n的值为 (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点P为点A、B的“5格距点”，则这样的整点P有_个； (3)若点P为数轴上一点，且点P到点B的距离为2，求点P表示的数及的值： (4)若点P在数轴上运动，满足点P到点B的距离等于点P到点A的距离的3倍，且此时点P为点A、B的 “n格距点”，求点P表示的数及n的值. 12.(25-26七年级上福建福州期末)在数轴上，点A表示的数为1，点B表示的数为3.对于数轴上的 图形M,给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为线段AB上任意一点，如果线段PQ的长度有最小 4/10 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 值，那么称这个最小值为图形M关于线段AB的极小距离，记作④(M,线段AB);如果线段P的长 度有最大值，那么称这个最大值为图形M关于线段AB的极大距离，记作2(M,线段AB). 例如：点K表示的数为4，则4（点K,线段AB)=1,4,(点K,线段AB)=3. A B K 54321012345 人上上上上 已知点O为数轴原点，点C,D为数轴上的动点， (I)4(点O,线段AB),4(点O,线段AB) (2)若点C,D表示数分别为m,m+2,d(线段CD,线段AB)=2.求m的值： (3)点C从原点出发，以每秒2个单位长度沿x轴正方向匀速运动：点D从表示数-2的点出发，第1秒以每 秒2个单位长度沿x轴正方向匀速运动，第2秒以每秒4个单位长度沿x轴负方向匀速运动，第3秒以每秒 6个单位长度沿x轴正方向匀速运动，第4秒以每秒8个单位长度沿x轴负方向匀速运动，·，按此规律运 动，C,D两点同时出发，设运动的时间为t秒，若，（线段CD,线段AB)=5,求t的值. ◆题型5绝对值的非负性 13.(25-26七年级上贵州遵义阶段检测)若a-2+(b-3)'=0,则a-b的值为 14.(25-26七年级上福建龙岩阶段检测)如果x-2+(y+3)=0,那么y的值为一 15.(25-26七年级上四川内江阶段检测)若k+2+-3=0,则x+)的值为. ◆题型6利用数轴化简绝对值 16.(25-26七年级上重庆万州期中)按下列要求解答： ()已知2<x<3,化简：3x-6+5x-15: (②)若a、b、c在数轴上对应位置如图所示，化简：a-2la+b+2c-b+a-. b0 17.在数轴上，a,b,c对应的数如图所示，=. a b (1)确定符号：a0,b0,C0,b+C0,a-C0:(填“>”、“<”、 5/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 “=”) (2)化简：la+- 3)化简：1a-a-c+b+2. 18.(25-26七年级上四川凉山期末)已知有理数a,b,c,满足a,b互为相反数，ac>0,>4. (1)若a=-2,c=-5,请画出数轴，并在数轴上表示出有理数a,b,c. (2)若a<0,用“>”或“<”填空：c+b0:a-C0:a-b0. (3)若a<0,化简式子：la-b+lc+b-a-d. ◆题型7利用数轴化筒绝对值 19.(25-26七年级上重庆阶段检测)己知a,b,c在数轴上的位置如图，且l4<. c 60a→ (1)abc0,c+a0,c-b0(请用“<”“>”填空)； 4+2b-e (2)化简：a+-bg b-a c-b c+a (3)化简：a-b+b-de+a的值. 20.(25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔阶段检测)我们知道在化简a的时候，需要判断a的正负，当 a≥0时，l4=a;当a≤0时，a=-a.请回答下列问题. (1)己知ab,c在数轴上的位置如图所示，则 d l= a b 化简：la-bl+lb+c-a+c= c b o (2②)若4=7，b=3,且la-b=b-a,求ad2-b的值. b+c,a+c a+b (3)若a+b+c=0,abc>0则1a+6g 21.(25-26七年级上：广东茂名期中)我们知道在化简4的时候，需要判断a的正负：当a>0时，4=a; 当a<0时，a=-a」 6/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)已知a,b,c三个数在数轴上的对应的点如图所示： 用>”、“<”或“=”填空， a-b0,b+c0,a+c_0, (2)化简：la-b+b+c-a+c 3)思维扩展：由“当a>0时，a=a;a<0时，a=-a”可以推出： 日-g1,当a<0时， 当a>0时，=a 4=-0=-1. 应用这个结论，解决下列问题： 因凶+E 已知x,少，z是有理数，x+y+2=0:z≠0，化简：x+y+: 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1.若la-l与b-2互为相反数，则a+b的值为() A.3 B.-3 C.0 D.3或-3 2.在数轴上，点P表示的数是5，到点P距离4个单位的点表示的数是() A.-9 B.-9或-1 C.9 D.-1 3.实数a,b在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是() bo 0 A.atb<o B.a-b>0 C.a.b>0 n.0 ldcl 4.己知a+b+c=0:则。+方+。的最大值为() A.6 B.5 C.4 D.3 5.如图，已知A,B(B在A的左侧)是数轴上的两点，点A对应的数为12，且AB=18,动点P从点A出 发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为AP，BP的中点， 设运动时间为(>0)秒，则下列结论中正确的有() ①B对应的数是-6： 7110 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②点P到达点B时，t=9: ③BP=2时，t=6; ④在点P的运动过程中，线段MN的长度会发生变化. B N二PMA A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 6.当x=一时，-x-2+2024的值最大. 7.如图，数轴上点A,B表示的数分别是-15,10，C是线段AB上的一个动点，以C为圆心，CA为半径 画弧交数轴于点D.若BD=3,则点C表示的数是 A C B→ lalo 8.己知有理数。b满足b≠0：则 a b 9.点A,，B在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a和b,对于以下结论：①b-a<0;②a+b>0; b ③l>:④名-1.其中正确的是 (填序号) ↓ -3a0 36→ 10.如图，已知数轴上A,B两点表示的数分别是-4,8.若点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度 向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，设运动时间为t秒，当点Q遇到 点P时，两点都立即以原来的速度向相反的方向运动，当点P到达点A时，两点同时停止运动.当= 秒时，BP=2BQ A B -4 8 三、解答题 11.在数轴上表示下列各数，并用“<”号把它们按照从小到大的顺序排列 1.5,-(-1)1-(-2),-2,-1-2} 2 为432寸013345→ 12.己知有理数a,b,c在数轴上对应位置如图所示： 0 a ()用“>”，“<”填空：a-b0;a+c0；b-c0 (②)化简：la+c-a-b-c-b-d. 8/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13.根据|4≥0这一性质，解答下列问题： ()当a=时，|a-4有最小值，此时最小值为： (2)当a取何值时，|a-1川+3有最小值？这个最小值是多少？ (3)当a取何值时，4-4有最大值？这个最大值是多少？ 14.(25-26七年级上：河南周口·阶段检测)定义：已知点M,N,Q为数轴上三点，我们规定：点Q到 点M的距离是点Q到点N的距离的K倍，则称Q是[M,N]的“K倍点”，记作：[M,N]=K.例如： 若点Q表示的数为0，点M表示的数为-2，点N表示的数为1，则Q是[M,N]的“2倍点”，记作： Q[M,N]=2 B 5-43201234567分 应用： 如图有一条数轴，A、B、P为数轴上三点，分别对应-1,5，-3， (1)①P、B两点之间的距离是 ②求P[B,4的值： (②)若点C在数轴上且C[4,B]=1,求点C表示的数： (③)若点D是数轴上一点，且D[4,B]=2,直接写出点D表示的数. 15.如图，点M、N均在数轴上，点M所对应的数是-3，点N在点M的右边，且距M点4个单位长度， 点P是数轴上的两个动点。 M ON -3 0 (I)求出点N所对应的数： (2)当点P到点M、N的距离之和是5个单位长度时，求出此时点P所对应的数： (3)若点PQ分别从点M、N出发，均沿数轴向左运动，点P每秒运动2个单位长度，点Q每秒运动3个单 位长度.若点P先出发5秒后点出发，当PQ两点相距2个单位长度时，直接写出此时点PQ分别对 应的数 16.在解决问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的思想解决问题的 过程，请仔细阅读并填空，根据要求解决下列问题， 【提出问题】若丰零有理数。6同号，求包以 a6的值 9/10 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【解决问题】解：由a,b同号可知，a,b有两种可能. la.ba.b (1)若a>0'b>0有a=a,=b,所以。+6-。+6 4,h (2)若a0,b<0有4=-a,=一所以。+6 一=-21 4+回 综上所述，。+6的值为2或2 lal b lc 【拓展探究】若三个有理数。'b'c满足c>0'求a问十c的值. 10/10 专题02 含有理数运算的数轴与绝对值问题 常考题型·精准突破 题型1 利用数轴判断式子的正误（重） 题型2 用数轴上的点表示有理数（高频） 题型3 数轴上的动点问题（高频） 题型4 数轴上的新定义型问题（难） 题型5 绝对值的非负性（高频） 题型6 利用数轴化简绝对值（高频） 题型7 分类讨论化简绝对值（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 利用数轴判断式子的正误 1．D 2．B 3．B ◆题型2 用数轴上的点表示有理数 4． 【答案】图见解析， 【详解】解：，，，， 把各数在数轴上表示为： 按从小到大排列为：． 5． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：，，． 把这些数在数轴上表示出来如下： ． （2）解：由数轴可知，． 6． 【答案】(1) 如图所示，即为所求； (2) ，，， 数轴表示如下所示： 则． ◆题型3 数轴上的动点问题 7． 【答案】(1) (2)0 (3)t的值为3或 【详解】（1）解：由题意得，， ∵点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动， ∴（秒），故点P到达A点时用的时间为秒； ∵当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动， ∴， 故当点P返回到点B时，； （2）解：∵P到达A点时用的时间为（秒）， 当时，，即时，点P从A点返回； ； ∴当时，点P表示的有理数是：； （3）解：当点P第一次到达时，， 当点P运动到点A，然后向右运动到时， ， 综上所述，t的值为3或． 8． 【答案】(1)；；4 (2) (3)或3 (4)的值不会随着的变化而变化， 理由如下： 根据题意得：平移后，cm ， ， ， 的值恒为3，不会随着t的变化而变化． 【详解】（1）解：A：，即，A表示， B：，即，B表示， C：，即，C表示4， 故答案为：；；4； （2）解：将点A向右移动，则移动后的点表示的数为； 故答案为： ； （3）解：设D表示的数为d， ， ， 解得：或， 点D表示的数为或3； 故答案为：或3； （4）略 9． 【答案】【问题解决】（1）6；（2）2； 【拓展探究】（3）；；（4）1或3或5 【详解】解：【问题解决】 （1）若，，则，两点之间的距离为； 故答案为：6； （2）沿数轴上某点折叠，使点、点重合， 则折痕处对应的点表示的数为； 故答案为：2； 【拓展探究】 （3）∵点表示的点为6， 且点以每秒个单位长度的速度向右匀速运动， ∴运动秒后，点表示的数为； ∵点表示的点为，点表示的点为1， 又∵点以每秒个单位长度的速度向左匀速运动， ∴运动秒后，点表示的数为， ∴，， ∴， ∵运动过程中，的值不变， ∴，解得， ∴在运动过程中，当时，的值不变． 故答案为：． （4）∵在数轴上剪下个单位长度（从到）的一条线段， ∴， 当， 则可知，如图1， ∴点B对应的点为0，点C对应的点为2， ∴折痕处对应的点所表示的数为； 当， 则可知，如图2， ∴点B对应的点为0，点C对应的点为6， ∴折痕处对应的点所表示的数为； 当， 则可知，如图3， ∴点B对应的点为4，点C对应的点为6， ∴折痕处对应的点所表示的数为； 综上，折痕处对应的点所表示的数是1或3或5． 故答案为：1或3或5． ◆题型4 数轴上的新定义型问题 10． 【答案】(1) (2)点P表示的数是2026，的值是2023 (3)，定值为 【详解】（1）∵点P表示数2， ∴，， 对称数组是； （2）∵， ∴点P表示的数， ∴； （3）秒后，点P表示的数为， 由，得， 点Q表示的数为，由， 得， 假设存在常数k，使得为定值： ， 要使为定值，则t的系数为0，即， 解得， 此时定值为． 11． 【答案】(1)5 (2)6 (3)①当点P表示的数为1时，；②当点P表示的数为5时， (4)点P表示的数为：，此时；点P表示的数为：，此时 【详解】（1）解：∵点P表示的数为0， ∴点P到点A距离与点P到点B的距离之和为， ∴点P为点A、B的“5格距点”， ∴， 故答案为：5； （2）解：∵整点P为点A、B的“5格距点”， ∴，即P在线段上， ∴整点P所表示的数是，，0，1，2，3共6个， 故答案为：6； （3）解：∵点P到点B的距离为2， ∴点P表示的数为1或5， ①当点P表示的数为1时，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为， 此时； ②当点P表示的数为5时，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为， 此时； （4）解：①当P在之间时，， 点P表示的数为：， 此时； ②当P在点A左边时，，， 点P表示的数为：， 此时． 综上所述，点P表示的数为：，此时；点P表示的数为：，此时． 12． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或秒． 【详解】（1）解：（点，线段）， （点，线段）， 故答案为：，； （2）解：当线段在线段左侧时， 可得：（线段，线段）， 解得：； 当线段在线段右侧时， 可得：（线段，线段）， 解得：； 综上所述，或； （3）解：当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）， 解得：(不符合题意)； 当时，点表示的数是，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）， 解得：； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）， 解得：； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时， 则有（线段，线段）； 综上所述，若（线段，线段），则有或或或秒． ◆题型5 绝对值的非负性 13． 14．9 15．1 ◆题型6 利用数轴化简绝对值 16． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ，， ； （2）解：由数轴可知：， ，，， ． 17． 【答案】(1)；；；； (2) (3) 【详解】（1）解：观察数轴得：， ∵， ∴，， 故答案为：；；；；； （2）解： ； （3）解：∵，， ∴， ∴ ． 18． 【答案】(1) 如图，有理数a，b，c在数轴上表示， (2)，，； (3) 【详解】（1）解：∵，，a，b互为相反数， ∴； （2）解：∵a，b互为相反数， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，，， 故答案为：，，； （3）解：若，由（2）得：，，， ∴， ∴． ◆题型7 利用数轴化简绝对值 19． 【答案】(1)；； (2)0 (3)1 【详解】（1）解：从数轴可知：，， ∴，，， 故答案为：；；． （2）解：∵， （3）解：∵， ∴，，， 20． 【答案】(1)1，， (2)46或52 (3)或3 【详解】（1）解：根据数轴可知：，， ∴，，，，， ∴ ； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴当，时，； 当，时，； （3）解：∵， ∴，，， ∵， ∴、b、c中有2个负数， 当a、b为负数，c为正数时： ； 当a、c为负数，b为正数时： ； 当b、c为负数，a为正数时： ； 综上分析可知：或． 21． 【答案】(1)>，<，< (2) (3) 【详解】（1）解：由数轴知：且， ，，， 故答案为：，，； （2）解：，，， ； （3）解：，， 当，，中一正两负时，； 当，，中两正一负时，， 综上所述，． 故答案为：． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．A 2．B 3．B 4．C 5．B 二、填空题 6． 7．或 8．2或或0 9．②④/④② 10．3或5 三、解答题 11． 【答案】数轴见解析， 【详解】，，，，， 在数轴上表示为： ． 12． 【答案】(1)，， (2) 【详解】（1）解：（1）观察数轴可知：，， ∴，，， 故答案为：，，； （2）∵观察数轴可知：，， ∴，，， ． 13． 【答案】(1)4，0 (2)，3 (3)，4 【详解】（1）因为，所以当时，有最小值，这个最小值是0． 故答案为：4，0 （2）因为，所以当时，有最小值，这个最小值是3． （3）因为，所以，所以当时，有最大值，这个最大值是4． 14． 【答案】(1)①8；②4； (2)2 (3)3或11 【详解】（1）解：①∵、、为数轴上三点，分别对应，，． ∴、两点之间的距离是， 故答案为：8； ②由数轴知， ∴，则； （2）解：∵点C在数轴上且， ∴，则点C为的中点， ∴点C表示的数为； （3）解：因为D是数轴上一点，且，所以． 因为点A表示的数为，点B表示的数为5，所以． 当点D在点A，B之间时，点D表示的数为； 当点D在点B的右边时，点D表示的数为． 所以点D表示的数为3或11． 15． 【答案】(1)； (2)或； (3)点对应的数是，点对应的数是或点对应的数是，点对应的数是． 【详解】（1），故点所对应的数是； （2）， 点在点的左边， ， 点在点的右边， ， 故点所对应的数是或； （3）点在点的左边， （秒）， 点对应的数是，点对应的数是； 点在点的右边， （秒）， 点对应的数是，点对应的数是， 综上可知：点对应的数是，点对应的数是或点对应的数是，点对应的数是． 16． 【答案】（1）2；（2）；3或 【详解】解：（1）若，，有，，所以， （2）若，，有，，所以， 故答案为：（1）2；（2）； 拓展探究：由，可得a，b，c三个有理数都为正数或一正两负，分情况讨论如下： ①当a，b，c都是正数，即时， 则， ②当a，b，c一正两负时：设， 则， 的值为3或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 含有理数运算的数轴与绝对值问题 常考题型·精准突破 题型1 利用数轴判断式子的正误（重） 题型2 用数轴上的点表示有理数（高频） 题型3 数轴上的动点问题（高频） 题型4 数轴上的新定义型问题（难） 题型5 绝对值的非负性（高频） 题型6 利用数轴化简绝对值（高频） 题型7 分类讨论化简绝对值（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 利用数轴判断式子的正误 1．（2026·福建·中考真题）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用数轴确定a、b的取值范围，然后逐项判断即可． 【详解】解：由数轴可得：， ∴，，，， ∴选项A、B、C说法错误；选项D说法正确． 2．（25-26七年级上·山东德州·期中）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴确定，的取值范围及绝对值大小，利用有理数加减法法则判断． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，，且∴，故选项B正确， ∵，， ∴，故选项A错误， ∵，，故选项C、D错误． 3．（25-26七年级上·广东东莞·期中）有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列各式一定成立的个数有（     ） ①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据数轴上点的位置确定、的正负号及绝对值的大小关系，结合有理数的运算法则逐一判断即可． 【详解】解：由数轴可知：，且， ∴，故①正确； ，故②正确； ，故③正确； ，故④错误． 综上所述，一定成立的有①②③，共3个． ◆题型2 用数轴上的点表示有理数 4．（25-26七年级上·河南开封·期中）在数轴上表示下列各数，并用“”号把它们按照从小到大的顺序排列． ，，，，． 【答案】图见解析， 【分析】本题考查了有理数大小比较，数轴，有理数的减法，有理数的乘方，掌握有理数的大小比较方法，有理数的减法运算法则，有理数的乘方运算法则是解题的关键． 先根据有理数的乘方运算法则，有理数的减法法则进行计算，然后再把各数在数轴上表示出来，最后按从小到大排列即可， 【详解】解：，，，， 把各数在数轴上表示为： 按从小到大排列为：． 5．（25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）已知一组数：，0，，，． (1)把这些数在数轴上表示出来； (2)请将这些数按顺序排列（用“”连接）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了数轴、绝对值、有理数的乘方、化简多重符号，熟练掌握数轴的性质是解题关键． （1）先化简绝对值和多重符号、计算有理数的乘方，再将这些数在数轴上表示出来即可； （2）根据数轴的性质比较有理数的大小即可得． 【详解】（1）解：，，． 把这些数在数轴上表示出来如下： ． （2）解：由数轴可知，． 6．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是． (1)在图中所示的数轴上标出原点O； (2)在图中所示的数轴上表示下列各数，并将它们按从小到大的顺序用“”连接起来． ，，，，． 【答案】(1) 如图所示，即为所求； (2) ，，， 数轴表示如下所示： 则． 【分析】（1）根据点A、B表示的数找出原点即可； （2）先化简，再把各数表示在数轴上，最后根据数轴上左边的数总比右边的数小得出比较结果． 本题考查了有理数大小比较，数轴，相反数，绝对值和乘方，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）略 ◆题型3 数轴上的动点问题 7．（25-26七年级上·河北保定·期末）如图，数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为9，点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动，当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动，回到点B后停止运动．设点P运动的时间为． (1)当点P返回到点B时，求t的值； (2)当时，求点P表示的数； (3)当点P表示的数是时，求t的值． 【答案】(1) (2)0 (3)t的值为3或 【分析】本题考查两点之间的距离，用点表示数轴上的数，分情况讨论是解题的关键； （1）先求出之间的距离，再分别计算点P到达A点和返回时用的时间，相加即可； （2）根据P到达A点时用的时间确定路径，再计算所走路程，即可解答； （3）分两种情况计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动， ∴（秒），故点P到达A点时用的时间为秒； ∵当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动， ∴， 故当点P返回到点B时，； （2）解：∵P到达A点时用的时间为（秒）， 当时，，即时，点P从A点返回； ； ∴当时，点P表示的有理数是：； （3）解：当点P第一次到达时，， 当点P运动到点A，然后向右运动到时， ， 综上所述，t的值为3或． 8．（25-26七年级上·吉林四平·期中）阅读下面的材料： 在数轴上点表示的数为点表示的数为，则点到点的距离记为．线段的长可以用右边的数减去左边的数表示，即．请用这个知识解答下面的问题． 如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达点，再向左移动到达点，然后向右移动到达点，用1个单位长度表示． (1)点表示的数为______，点表示的数为______，点表示的数为_______； (2)若将点向右移动，则移动后的点表示的数为_____（用含的代数式表示）； (3)若数轴上有一点，且，求点表示的数； (4)若点以每秒的速度沿数轴向左运动，同时、两点分别以每秒、的速度沿数轴向右运动．设运动时间为秒，试探索：的值是否会随着的变化而改变？请说明理由． 【答案】(1)；；4 (2) (3)或3 (4)的值不会随着的变化而变化， 理由如下： 根据题意得：平移后，cm ， ， ， 的值恒为3，不会随着t的变化而变化． 【分析】本题考查了数轴、数轴上两点之间的距离以及整式的加减运算，掌握数轴上两点之间的距离求解方法是解决问题的关键． （1）根据题意分别表示出距离求出坐标画出图形； （2）将点A向右移动，则移动后的点表示的数为； （3）设D表示的数为a，由绝对值的意义容易得出结果； （4）表示出和，再相减即可得出结论． 【详解】（1）解：A：，即，A表示， B：，即，B表示， C：，即，C表示4， 故答案为：；；4； （2）解：将点A向右移动，则移动后的点表示的数为； 故答案为： ； （3）解：设D表示的数为d， ， ， 解得：或， 点D表示的数为或3； 故答案为：或3； （4）略 9．（25-26七年级上·广东珠海·期中）【阅读理解】 数轴是初中数学学习的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律．数轴上点、分别表示数、，则、两点之间的距离为，将数轴沿表示的点折叠，可使点、重合，例如：点表示的数是，点表示的数是，则、两点之间的距离，将数轴沿表示的点折叠，可使点、重合． 【问题解决】 请你解决以下问题： 数轴上点、、分别表示数、、，在数轴上的位置如图所示，其中． （1）若，，则，两点之间的距离为_____________； （2）在（1）的条件下，沿数轴上某点折叠，使点、点重合，则折痕处对应的点表示的数为_____________； 【拓展探究】 （3）若，，，在数轴上点以每秒个单位长度的速度向左匀速运动，同时点以每秒个单位长度的速度向右匀速运动，运动秒后，点表示的数为_____________（用含有的代数式表示），若运动过程中，的值不变，求的值． （4）在数轴上剪下个单位长度（从到）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数是_____________． 【答案】【问题解决】（1）6；（2）2； 【拓展探究】（3）；；（4）1或3或5 【分析】本题考查了数轴求解两点间距离，数轴表示有理数，解决本题的关键是会应用公式求解数轴上两点间距离． 【问题解决】 （1）根据两点之间的距离公式求解即可； （2）根据将数轴沿表示的点折叠，求解即可； 【拓展探究】 （3）求解出点的运动路程，再根据求解即可；再根据两点之间的距离公式求解与，根据定值不变求解即可． （4）先根据整个线段长为10，再由长度之比为，可得对应的线段长为，再分类讨论；；三种情况求解即可． 【详解】解：【问题解决】 （1）若，，则，两点之间的距离为； 故答案为：6； （2）沿数轴上某点折叠，使点、点重合， 则折痕处对应的点表示的数为； 故答案为：2； 【拓展探究】 （3）∵点表示的点为6， 且点以每秒个单位长度的速度向右匀速运动， ∴运动秒后，点表示的数为； ∵点表示的点为，点表示的点为1， 又∵点以每秒个单位长度的速度向左匀速运动， ∴运动秒后，点表示的数为， ∴，， ∴， ∵运动过程中，的值不变， ∴，解得， ∴在运动过程中，当时，的值不变． 故答案为：． （4）∵在数轴上剪下个单位长度（从到）的一条线段， ∴， 当， 则可知，如图1， ∴点B对应的点为0，点C对应的点为2， ∴折痕处对应的点所表示的数为； 当， 则可知，如图2， ∴点B对应的点为0，点C对应的点为6， ∴折痕处对应的点所表示的数为； 当， 则可知，如图3， ∴点B对应的点为4，点C对应的点为6， ∴折痕处对应的点所表示的数为； 综上，折痕处对应的点所表示的数是1或3或5． 故答案为：1或3或5． ◆题型4 数轴上的新定义型问题 10．（25-26七年级上·浙江金华·期中）阅读理解，并完成下列各题：对于数轴上任意一点P，把与点P相距b个单位长度是正数的两点所表示的数分别记作m和其中，并把m、n这两个数叫做“点P关于b的对称数组”，记作．例如：原点O表示数0，原点O关于2的对称数组是． (1)如果点P表示数2，那么点P关于4的对称数组是______； (2)如果，求出点P表示的数以及b的值； (3)如果点P、Q是数轴上的两个动点，两点同时从原点出发，点P在数轴上以每秒3个单位长度沿着数轴正方向运动，点Q在数轴上以每秒4个单位长度沿着数轴负方向运动，已知，，经过t秒后，是否存在常数k，使得为定值？若存在，请求出k的值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点P表示的数是2026，的值是2023 (3)，定值为 【分析】（1）根据“对称数组”的定义，点P表示数2，与P相距4个单位的两点m、可通过“，”计算； （2）设点P表示的数为x，根据对称数组的定义，，，因此，，代入，即可求解； （3）先根据点P、Q的运动速度和时间t，表示出t秒后P、Q的位置，再结合“对称数组”的定义求出n和q，最后分析为定值的条件． 【详解】（1）∵点P表示数2， ∴，， 对称数组是； （2）∵， ∴点P表示的数， ∴； （3）秒后，点P表示的数为， 由，得， 点Q表示的数为，由， 得， 假设存在常数k，使得为定值： ， 要使为定值，则t的系数为0，即， 解得， 此时定值为． 11．（25-26七年级上·广东茂名·期中）如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是3，阅读以下材料并解决相关问题．若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和等于n，则称点P为点A、B的“n格距点”．例如：在图1中，点P表示的数是，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为，则称点P为点A、B的“5格距点”． (1)若点P表示的数是0，则n的值为______； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点P为点A、B的“5格距点”，则这样的整点P有______个； (3)若点P为数轴上一点，且点P到点B的距离为2，求点P表示的数及n的值； (4)若点P在数轴上运动，满足点P到点B的距离等于点P到点A的距离的3倍，且此时点P为点A、B的“n格距点”，求点P表示的数及n的值． 【答案】(1)5 (2)6 (3)①当点P表示的数为1时，；②当点P表示的数为5时， (4)点P表示的数为：，此时；点P表示的数为：，此时 【分析】本题考查了新定义，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，理解题意，利用数形结合的思想是解题关键． （1）由题意可求出点到点的距离与点到点的距离之和为5，即可求解； （2）根据题意可得出，即说明点在线段上，从而得出整点所表示的数是，，，，，； （3）由题意可求出点表示的数为或，进而即可求出的值； （4）分两种情况讨论，当在之间时和当在点的左边时，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵点P表示的数为0， ∴点P到点A距离与点P到点B的距离之和为， ∴点P为点A、B的“5格距点”， ∴， 故答案为：5； （2）解：∵整点P为点A、B的“5格距点”， ∴，即P在线段上， ∴整点P所表示的数是，，0，1，2，3共6个， 故答案为：6； （3）解：∵点P到点B的距离为2， ∴点P表示的数为1或5， ①当点P表示的数为1时，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为， 此时； ②当点P表示的数为5时，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为， 此时； （4）解：①当P在之间时，， 点P表示的数为：， 此时； ②当P在点A左边时，，， 点P表示的数为：， 此时． 综上所述，点P表示的数为：，此时；点P表示的数为：，此时． 12．（25-26七年级上·福建福州·期末）在数轴上，点表示的数为，点表示的数为．对于数轴上的图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形关于线段的极小距离，记作（，线段）；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形关于线段的极大距离，记作（，线段）． 例如：点表示的数为，则（点，），（点，线段）． 已知点为数轴原点，点，为数轴上的动点． (1)（点，线段）________，（点，线段）________； (2)若点，表示数分别为，，（线段，线段）．求的值； (3)点从原点出发，以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动；点从表示数的点出发，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，…，按此规律运动，，两点同时出发，设运动的时间为秒，若（线段，线段），求的值． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或秒． 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示数、数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题，解决本题的关键是计算数轴上两点间的距离，进行分类讨论． (1)根据定义求值即可； (2)分线段在线段左侧和右侧两种情况求解； (3)根据点的运动方向和速度分情况讨论． 【详解】（1）解：（点，线段）， （点，线段）， 故答案为：，； （2）解：当线段在线段左侧时， 可得：（线段，线段）， 解得：； 当线段在线段右侧时， 可得：（线段，线段）， 解得：； 综上所述，或； （3）解：当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）， 解得：(不符合题意)； 当时，点表示的数是，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）， 解得：； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）， 解得：； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时， 则有（线段，线段）； 综上所述，若（线段，线段），则有或或或秒． ◆题型5 绝对值的非负性 13．（25-26七年级上·贵州遵义·阶段检测）若，则的值为_________． 【答案】 【分析】本题考查了非负性的性质，解决本题的关键是求解出a与b的值． 利用绝对值和平方的非负性，和为零则每个部分为零，求出a和b的值运算即可． 【详解】解：∵， ∴且， ∴，， 解得，， ∴． 故答案为：． 14．（25-26七年级上·福建龙岩·阶段检测）如果，那么的值为____． 【答案】9 【分析】本题考查绝对值和平方的非负性，以及代数式的求值，准确的计算是解决本题的关键． 根据非负数的性质，绝对值和平方项的和为零时，每个部分都为零，从而求出未知数的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵，，且， ∴且， ∴， ∴，． 则． 故答案为：9． 15．（25-26七年级上·四川内江·阶段检测）若  ，则的值为___________． 【答案】1 【分析】本题主要考查了非负数的性质，求代数式的值．根据非负数的性质，绝对值和平方项均非负，它们的和为零，则每项均为零，由此可求出x和y的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵ 且， ∴ ， ∴， 解得， ∴ ． 故答案为：1． ◆题型6 利用数轴化简绝对值 16．（25-26七年级上·重庆万州·期中）按下列要求解答： (1)已知，化简：； (2)若、、在数轴上对应位置如图所示，化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有数轴判断式子的正负，化简绝对值，熟练掌握相关定义为解题关键． （1）根据题意判断出，，再化简求值即可； （2）先根据数轴上字母的位置判断出，再得到，，，从而化简求出结果即可． 【详解】（1）解：， ，， ； （2）解：由数轴可知：， ，，， ． 17．在数轴上，，，对应的数如图所示，．    (1)确定符号：______0，______0，______0，______0，______0；（填“ ”、“”、“”） (2)化简： (3)化简：．   【答案】(1)；；；； (2) (3) 【分析】（1）观察数轴得：，再由，可得，，即可； （2）先根据绝对值的性质化简，再合并，即可； （3）先根据绝对值的性质化简，再合并，即可． 【详解】（1）解：观察数轴得：， ∵， ∴，， 故答案为：；；；；； （2）解： ； （3）解：∵，， ∴， ∴ ． 18．（25-26七年级上·四川凉山·期末）已知有理数a，b，c，满足a，b互为相反数，，． (1)若，，请画出数轴，并在数轴上表示出有理数a，b，c． (2)若，用“”或“”填空：______0；______0；______0． (3)若，化简式子：． 【答案】(1) 如图，有理数a，b，c在数轴上表示， (2)，，； (3) 【分析】本题主要考查相反数的概念，数轴上点的大小关系，有理数的加减运算，绝对值的化简，利用已知条件推导大小关系是解题的关键． （1）先根据相反数求得b，进而画出数轴表示a，b，c即可； （2）根据有理数的加减及正负数判断即可求解； （3）根据正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，结合（2）结论化简即可． 【详解】（1）解：∵，，a，b互为相反数， ∴； （2）解：∵a，b互为相反数， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，，， 故答案为：，，； （3）解：若，由（2）得：，，， ∴， ∴． ◆题型7 利用数轴化简绝对值 19．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）已知a，b，c在数轴上的位置如图，且． (1) _____0，_____0，_____0（请用“”“”填空）； (2)化简：． (3)化简：的值． 【答案】(1)；； (2)0 (3)1 【分析】本题主要考查了根据数轴判断式子的正负以及化简绝对值等知识． （1）根据数轴可知，，进而可判断式子的正负． （2）根据数轴可知，进而可化简绝对值． （3）根据数轴可知，，进而可化简绝对值． 【详解】（1）解：从数轴可知：，， ∴，，， 故答案为：；；． （2）解：∵， （3）解：∵， ∴，，， 20．（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）我们知道在化简的时候，需要判断的正负，当时，；当时，．请回答下列问题． (1)已知在数轴上的位置如图所示，则________，________，化简：________． (2)若，且，求的值． (3)若，则_______． 【答案】(1)1，， (2)46或52 (3)或3 【分析】本题主要考查了绝对值意义，数轴，代数式求值，熟练掌握绝对值意义，是解题的关键． （1）根据在数轴上的位置得出，，然后化简绝对值即可； （2）根据，得出，，根据得出，即可得出，，然后代入求值即可； （3）根据，得出，，，根据得出、b、c中有2个负数，然后分类讨论，求出结果即可． 【详解】（1）解：根据数轴可知：，， ∴，，，，， ∴ ； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴当，时，； 当，时，； （3）解：∵， ∴，，， ∵， ∴、b、c中有2个负数， 当a、b为负数，c为正数时： ； 当a、c为负数，b为正数时： ； 当b、c为负数，a为正数时： ； 综上分析可知：或． 21．（25-26七年级上·广东茂名·期中）我们知道在化简的时候，需要判断a的正负：当时，；当时，． (1)已知a，b，c三个数在数轴上的对应的点如图所示： 用“>”、“<”或“=”填空， ______0，______0，______0， (2)化简：． (3)思维扩展：由“当时，；时，”可以推出： 当时，；当时，． 应用这个结论，解决下列问题： 已知x，y，z是有理数，，，化简：______． 【答案】(1)>，<，< (2) (3) 【分析】本题考查了绝对值的化简，整式的加减运算，数轴与有理数，解题的关键是熟练掌握绝对值的化简． （1）根据数轴可得且，即可判断所求式子的正负； （2）根据绝对值的性质去绝对值符号，再合并同类项即可； （3）根据，，可知，，中一正两负或两正一负，据此化简即可． 【详解】（1）解：由数轴知：且， ，，， 故答案为：，，； （2）解：，，， ； （3）解：，， 当，，中一正两负时，； 当，，中两正一负时，， 综上所述，． 故答案为：． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．若与互为相反数，则的值为（　　） A．3 B． C．0 D．3或 【答案】A 【分析】本题重点考查了绝对值的非负性，属于基础题，记住“几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0”是解题关键．根据相反数的定义可得，再通过“几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0”，计算出a和b的值，即可得出结果． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ， ， ∴， 故选：A． 2．在数轴上，点表示的数是，到点距离4个单位的点表示的数是（   ） A． B．或 C．9 D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴表示数，数轴上两点的距离，分两种情况或，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵点表示的数是， ∴到点距离4个单位的点表示的数是：或， ∴到点距离4个单位的点表示的数是或， 故选：B． 3．实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了数轴与绝对值，有理数的运算，弄清数轴上点的位置是解本题的关键．根据数轴上点的位置判断，且，再进一步分析即可． 【详解】解：由数轴上的点位置得：，且， ∴，，，， 故选：B． 4．已知，则的最大值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查有理数的运算，根据，得到的符号为2正1负，或者2负1正，根据绝对值的意义，以及式子的特点得到，时，式子的值最大，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴的符号为2正1负，或者2负1正， ∴，，为2个1，1个或1个，2个 ∵最大， ∴，， ∴ 的最大值为； 故选C． 5．如图，已知，在的左侧是数轴上的两点，点对应的数为，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点的运动过程中，，始终为，的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有　　 ①对应的数是； ②点到达点时，； ③时，； ④在点的运动过程中，线段的长度会发生变化． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上两点距离．利用数轴，分类讨论即可求解． 【详解】解：已知，在的左侧是数轴上的两点，点对应的数为，且， 对应的数为：；故①是正确的； ，故②是正确的； 当时，，，故③是错误的； 在点的运动过程中，，故④是错误的； 故选：B． 二、填空题 6．当 时，的值最大． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据，若使有最大值，则应为即可． 【详解】解：， 要使得的值最大，则需满足，即． 故答案为：． 7．如图，数轴上点A，B表示的数分别是，10，C是线段上的一个动点，以C为圆心，为半径画弧交数轴于点D．若，则点C表示的数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，数轴表示有理数，根据题意得到，以及，再结合分两种情况①当点D在点B左侧时，②当点D在点B右侧时，讨论求解，即可解题． 【详解】解：数轴上点A，B表示的数分别是，10， ， 由题可知， ， ①当点D在点B左侧时， ， ， ， 则点C表示的数是， ②当点D在点B右侧时， ， ， ， 则点C表示的数是， 综上所述，点C表示的数是或； 故答案为：或． 8．已知有理数、满足，则 ． 【答案】2或或0 【分析】本题主要考查了有理数的绝对值和有理数的加法运算，属于常考题型，全面分类、掌握解答的方法是解题关键． 分a、b同号与a、b异号两种情况，根据绝对值的意义和有理数的加法法则解答即可． 【详解】解：∵， ∴，， 若a、b同号， 当，时，； 当，时，； 若a、b异号， 当，时，； 当，时，； 综上分析可知，的值为2，，0． 故答案为2或或0． 9．点，在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是和，对于以下结论：①；②；③；④．其中正确的是 （填序号） 【答案】②④/④② 【分析】本题考查了绝对值的意义，比较两个数大小的方法，有理数的运算．由数轴得，，然后绝对值意义，用理数的加法、除法法则判断两数的和、差、商的符号即可． 【详解】解：由数轴得，， ∴，故错误，不符合题意； 由数轴得，， ∴，故正确，符合题意； 由数轴得，， ∴，故不符合题意； 由数轴得，， ∴，故正确，符合题意． 故答案为：②④． 10．如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别是，8．若点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，设运动时间为t秒，当点Q遇到点P时，两点都立即以原来的速度向相反的方向运动，当点P到达点A时，两点同时停止运动．当 秒时，． 【答案】3或5 【分析】本题主要考查了数轴上的动点．熟练掌握数轴上点表示的数，两点间的距离，是解题的关键． 相遇前点P表示的数，点Q表示的数，，，根据，解得；相遇后，点P表示的数，点Q表示的数t，，，得． 【详解】解：∵A，B两点表示的数分别是，8， ∴点P表示的数为：，点Q表示的数为， ∴，， ∵， ∴， 解得； 相遇时间是， 相遇点表示的数为：， 相遇后，点P表示的数为：，点Q表示的数为， ∴，， ∴， 解得． ∴或． 故答案为：3或5． 三、解答题 11．在数轴上表示下列各数，并用“<”号把它们按照从小到大的顺序排列． 【答案】数轴见解析， 【分析】本题考查了相反数和绝对值的性质，用数轴上的点表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，注意，在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大． 先将各数能化简的化简，再在数轴上表示出来，根据数轴上右边的数总大于左边的数，进行排列即可作答． 【详解】，，，，， 在数轴上表示为： ． 12．已知有理数a，b，c在数轴上对应位置如图所示： (1)用“”，“”填空：_____；______；_____； (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）观察数轴判断，，的正负和绝对值的大小关系，然后再根据有理数的加减法则进行判断即可； （2）根据有理数的加减法则判断，和的正负，然后根据绝对值的性质进行化简即可． 本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是熟练掌握绝对值的性质． 【详解】（1）解：（1）观察数轴可知：，， ∴，，， 故答案为：，，； （2）∵观察数轴可知：，， ∴，，， ． 13．根据这一性质，解答下列问题： (1)当 时，有最小值，此时最小值为 ； (2)当a取何值时，有最小值？这个最小值是多少？ (3)当a取何值时，有最大值？这个最大值是多少？ 【答案】(1)4，0 (2)，3 (3)，4 【分析】本题考查了整式的绝对值的求解能力，对绝对值的性质的理解和掌握是解题的关键． （1）根据绝对值的性质，可知0的绝对值最小，为0，则可得时，有最小值，由此即可求解； （2）要使有最小值，则要取最小，即，由此即可求解； （3）要使有最大值，则取最小值，结合即可求解． 【详解】（1）因为，所以当时，有最小值，这个最小值是0． 故答案为：4，0 （2）因为，所以当时，有最小值，这个最小值是3． （3）因为，所以，所以当时，有最大值，这个最大值是4． 14．（25-26七年级上·河南周口·阶段检测）定义：已知点，，为数轴上三点，我们规定：点到点的距离是点到点的距离的倍，则称是的“倍点”，记作：．例如：若点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则是的“倍点”，记作：． 应用： 如图有一条数轴，、、为数轴上三点，分别对应，，． (1)①、两点之间的距离是__________； ②求的值； (2)若点在数轴上且，求点表示的数； (3)若点是数轴上一点，且，直接写出点表示的数． 【答案】(1)①8；②4； (2)2 (3)3或11 【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离，理解题中定义和分类讨论是解答的关键． （1）①根据两点之间的距离即可求解；②根据新定义，求得即可求解； （2）根据新定义得到点C为的中点，进而求解即可； （3）根据新定义分两种情况：点D在线段上和点D在线段的延长线上，分别求解即可． 【详解】（1）解：①∵、、为数轴上三点，分别对应，，． ∴、两点之间的距离是， 故答案为：8； ②由数轴知， ∴，则； （2）解：∵点C在数轴上且， ∴，则点C为的中点， ∴点C表示的数为； （3）解：因为D是数轴上一点，且，所以． 因为点A表示的数为，点B表示的数为5，所以． 当点D在点A，B之间时，点D表示的数为； 当点D在点B的右边时，点D表示的数为． 所以点D表示的数为3或11． 15．如图，点均在数轴上，点所对应的数是，点在点的右边，且距点个单位长度，点是数轴上的两个动点． (1)求出点所对应的数； (2)当点到点的距离之和是个单位长度时，求出此时点所对应的数； (3)若点分别从点出发，均沿数轴向左运动，点每秒运动个单位长度，点每秒运动个单位长度．若点先出发秒后点出发，当两点相距个单位长度时，直接写出此时点分别对应的数． 【答案】(1)； (2)或； (3)点对应的数是，点对应的数是或点对应的数是，点对应的数是． 【分析】（）根据两点间的距离公式即可求解； （）分两种情况：点在点的左边，；点在点的右边，进行讨论即可求解； （3）分两种情况：点在点的左边，点在点的右边，进行讨论即可求解； 本题考查了两点间的距离和数轴，解题的关键是熟练掌握数轴及“分类讨论”的数学思想． 【详解】（1），故点所对应的数是； （2）， 点在点的左边， ， 点在点的右边， ， 故点所对应的数是或； （3）点在点的左边， （秒）， 点对应的数是，点对应的数是； 点在点的右边， （秒）， 点对应的数是，点对应的数是， 综上可知：点对应的数是，点对应的数是或点对应的数是，点对应的数是． 16．在解决问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的思想解决问题的过程，请仔细阅读并填空，根据要求解决下列问题． 【提出问题】若非零有理数，同号，求的值． 【解决问题】解：由，同号可知，，有两种可能． （1）若，，有，，所以__________； （2）若_____0，，有，_____，所以_____． 综上所述，的值为2或． 【拓展探究】若三个有理数，，满足，求的值． 【答案】（1）2；（2）；3或 【分析】本题考查了绝对值、有理数的混合运算、分类讨论等，熟练掌握相关知识并能运用分类讨论思想是解题的关键． 解决问题：（1）当a、b都正数；（2）当a、b都是负数分别求解即可； 拓展探究：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数，分情况讨论：①当a，b，c都是正数，即时，②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设，代入计算即可． 【详解】解：（1）若，，有，，所以， （2）若，，有，，所以， 故答案为：（1）2；（2）； 拓展探究：由，可得a，b，c三个有理数都为正数或一正两负，分情况讨论如下： ①当a，b，c都是正数，即时， 则， ②当a，b，c一正两负时：设， 则， 的值为3或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $