第二章 有理数的运算全章高频重点题型突破（七大高频+三大重难题型，专项训练）数学新教材人教版七年级上册

**基本信息** 聚焦有理数运算全章高频重难点，以基础题型→核心提升→综合特训为逻辑主线，覆盖运算技能与实际应用，强化运算能力与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础拿分|7类基础题型（含选择、填空、解答）|单一运算技能训练，覆盖加、减、乘、除、乘方、运算律、科学记数法|从基本运算法则到简单应用，构建运算基础体系| |核心提升|3类重难题型|混合运算符号与顺序、运算律复杂运用、实际应用问题|深化运算技巧，衔接实际情境，培养推理意识| |题型专练|综合选择/填空/解答|融合高频考点，设置新运算、规律探究等创新题型|整合全章知识，模拟中考命题，提升综合应用能力|

第二章 有理数的运算全章高频重点题型突破 ◆题型1 有理数的加法运算 1.【答案】B 【详解】． 2.【答案】(1)-10 (2)-10 【分析】（1）先去括号，再添括号，将正数和负数分开计算，再作减法即可； （2）将小数部分相同的或能凑整的放在一起计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算．计算含小数的式子时，可先观察，可将小数部分相同或能凑整的放在一起计算，这样能简化计算过程，避免出错．括号前是“＋”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“−”，去括号后，括号里的各项都改变符号．添括号时，若括号前是“＋”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“−”，添括号后，括号里的各项都改变符号． ◆题型2 有理数的减法运算 3. 【答案】B 【详解】解： 4. 【答案】C 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意． 5.【答案】 【详解】解： ∴两地相对高度为． ◆题型3 有理数的乘法运算 6.【答案】D 【分析】根据有理数的乘法法则可得另外两个数的积为正数，由此即可得． 【详解】解：∵四个数的积为负数，其中有两个数异号（这两个数的积为负数）， ∴另外两个数的积一定为正数， ∴另外两个数一定同号． 7.【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的乘法，掌握有理数的乘法运算法则是解题的关键． 根据有理数的乘法运算法则求解即可． 【详解】解： ． 故选：A． 8.【答案】80 【详解】解：由题意得，8折指售价为标价的， 则每件商品的售价是（元）． 9.【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据有理数的加减法运算法则计算即可； （2）结合乘法分配律将原式展开，先计算乘法，再计算加减法即可． 【详解】（1） ． （2） ． ◆题型4 有理数的除法运算 10.【答案】D 【详解】解：． 11.【答案】D 【详解】解：． 12.【答案】 【分析】本题为同级乘除运算，所以按照从左到右的顺序计算，再将除法转化为乘法，统一为分数乘法运算即可． 【详解】解： ． 13.【答案】 【分析】本题主要考查了有理数乘除混合运算，熟练掌握有理数乘除混合运算法则，是解题的关键．有理数乘除混合运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． ◆题型5 有理数的乘方与混合运算 14.【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘方运算，根据乘方的定义计算每个选项，即可判断正误． 【详解】解：对选项A， ， A错误； 对选项B， ， B错误； 对选项C， ， C错误； 对选项D， ， D正确． 15.【答案】B 【分析】本题需依据乘方运算的符号规则与运算顺序，分别计算每个选项中两个式子的结果，再对比是否相等． 【详解】解：∵，，， ∴A选项数值不相等，不符合题意； ∵，，， ∴B选项数值相等，符合题意； ∵，， ∴C选项数值不相等，不符合题意； ∵，， ∴D选项数值不相等，不符合题意， 故选：B 16.【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的混合运算： （1）根据有理数的加法、减法、除法法则，及绝对值的计算方法计算即可； （2）计算出乘方，再根据有理数的除法和乘法法则即可计算； （3）根据有理数的除法和乘法法则，结合乘法分配律即可计算； （4）先计算乘方及括号里面的，再根据有理数乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． ◆题型6 运算律的灵活运用 17.【答案】 【分析】先计算乘方和小括号内的减法，再算乘法，最后求和即可 【详解】解： 18.【答案】(1) (2) 【分析】第一题涉及有理数乘法分配律的计算；第二题涉及到乘方的计算和绝对值的计算． 【详解】（1） （2） 19.【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ◆题型7 科学记数法与近似数 20.【答案】C 【详解】亿用科学记数法表示为． 21.【答案】C 【详解】解：数据用科学记数法可以表示为 22.【答案】C 【分析】判断带计数单位的近似数的精确度，需先将带单位的近似数还原为不带单位的原数，再观察最后一位有效数字所在的数位，即可得到近似数精确到的数位． 【详解】解：万，85000中最后一位有效数字“”位于千位， 则近似数万精确到千位． 23.【答案】C 【详解】解：根据题意精确到万位可得，． ◆题型1 混合运算中的符号处理与运算顺序 1．【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ． ◆题型2 运算律在复杂计算中的灵活运用 2．【答案】(1)278 (2)1 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ◆题型3有理数运算的实际应用 3．【答案】(1)第五次 (2)收工时在地正东方向，距地 (3)共耗油升 【分析】（1）根据记录的数字，求出第一次第七次记录时，距地的距离，由此即可得； （2）将记录的数字相加求和即可； （3）将记录的数字的绝对值相加，再乘以每千米耗油量即可． 【详解】（1）解：第一次记录时：， 第二次记录时：， 第三次记录时：， 第四次记录时：， 第五次记录时：， 第六次记录时：， 第七次记录时：， 由此可知，在第五次记录时距地最远． （2）解： ， ∵规定向东行驶为正， ∴收工时在地正东方向，距地． （3）解： （升）， 答：共耗油升． 1．C 2．A 3．C 4．C 5. A 6. A 7. 0 8. -3 9. -8 10. 11. 12. 13. 10 14. 4 15. (1)3 (2) 16. (1) (2) (3) (4) 17. 14 18 ．(1) (2) (3) (4) 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 有理数的运算全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 有理数的加法运算 题型2 有理数的减法运算 题型3 有理数的乘法运算 题型4 有理数的除法运算 题型5 有理数的乘方与混合运算 题型6 运算律的灵活运用 题型7 科学记数法与近似数 核心提升：重难题型归纳 题型1 混合运算中的符号处理与运算顺序 题型2 运算律在复杂计算中的灵活运用 题型3 有理数运算的实际应用 题型专练：高频重难特训 ◆题型1 有理数的加法运算 1.计算的结果是（     ） A．1 B． C．5 D． 【答案】B 【详解】． 2.计算 (1)； (2) 【答案】(1)-10 (2)-10 【分析】（1）先去括号，再添括号，将正数和负数分开计算，再作减法即可； （2）将小数部分相同的或能凑整的放在一起计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算．计算含小数的式子时，可先观察，可将小数部分相同或能凑整的放在一起计算，这样能简化计算过程，避免出错．括号前是“＋”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“−”，去括号后，括号里的各项都改变符号．添括号时，若括号前是“＋”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“−”，添括号后，括号里的各项都改变符号． ◆题型2 有理数的减法运算 3. 计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 4. 下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意． 5.吐鲁番盆地最低点海拔为，珠穆朗玛峰峰顶海拔为，两地相对高度是________． 【答案】 【详解】解： ∴两地相对高度为． ◆题型3 有理数的乘法运算 6.如果四个数的积为负数，其中有两个数异号，则另外两个数（　　） A．一定都是正数 B．一定都是负数 C．一定也异号 D．一定同号 【答案】D 【分析】根据有理数的乘法法则可得另外两个数的积为正数，由此即可得． 【详解】解：∵四个数的积为负数，其中有两个数异号（这两个数的积为负数）， ∴另外两个数的积一定为正数， ∴另外两个数一定同号． 7.计算的结果是（   ） A．10800 B．-2700 C．-432 D．1080 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的乘法，掌握有理数的乘法运算法则是解题的关键． 根据有理数的乘法运算法则求解即可． 【详解】解： ． 故选：A． 8. 已知某商品每件标价为100元，按照标价的8折出售，那么每件商品的售价是______元. 【答案】80 【详解】解：由题意得，8折指售价为标价的， 则每件商品的售价是（元）． 9.计算题，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据有理数的加减法运算法则计算即可； （2）结合乘法分配律将原式展开，先计算乘法，再计算加减法即可． 【详解】（1） ． （2） ． ◆题型4 有理数的除法运算 10.计算的结果为（     ） A． B．2 C． D．8 【答案】D 【详解】解：． 11.（     ） A．2 B． C．1 D．4 【答案】D 【详解】解：． 12.计算：． 【答案】 【分析】本题为同级乘除运算，所以按照从左到右的顺序计算，再将除法转化为乘法，统一为分数乘法运算即可． 【详解】解： ． 13. 计算：； 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数乘除混合运算，熟练掌握有理数乘除混合运算法则，是解题的关键．有理数乘除混合运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． ◆题型5 有理数的乘方与混合运算 14. 下列算式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘方运算，根据乘方的定义计算每个选项，即可判断正误． 【详解】解：对选项A， ， A错误； 对选项B， ， B错误； 对选项C， ， C错误； 对选项D， ， D正确． 15.下列各对数值相等的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题需依据乘方运算的符号规则与运算顺序，分别计算每个选项中两个式子的结果，再对比是否相等． 【详解】解：∵，，， ∴A选项数值不相等，不符合题意； ∵，，， ∴B选项数值相等，符合题意； ∵，， ∴C选项数值不相等，不符合题意； ∵，， ∴D选项数值不相等，不符合题意， 故选：B 16.计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的混合运算： （1）根据有理数的加法、减法、除法法则，及绝对值的计算方法计算即可； （2）计算出乘方，再根据有理数的除法和乘法法则即可计算； （3）根据有理数的除法和乘法法则，结合乘法分配律即可计算； （4）先计算乘方及括号里面的，再根据有理数乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． ◆题型6 运算律的灵活运用 17.计算： 【答案】 【分析】先计算乘方和小括号内的减法，再算乘法，最后求和即可 【详解】解： 18. 计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】第一题涉及有理数乘法分配律的计算；第二题涉及到乘方的计算和绝对值的计算． 【详解】（1） （2） 19.计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ◆题型7 科学记数法与近似数 20.党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务．2014-2018年，中央财政累计投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”，专项补助资金亿元，将亿用科学记数法表示应为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】亿用科学记数法表示为． 21.贵州简称“贵”或“黔”，地处中国西南腹地，总面积约为平方千米．数据用科学记数法可以表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：数据用科学记数法可以表示为 22.近似数万精确到（   ）位． A．十 B．十分位 C．千 D．万 【答案】C 【分析】判断带计数单位的近似数的精确度，需先将带单位的近似数还原为不带单位的原数，再观察最后一位有效数字所在的数位，即可得到近似数精确到的数位． 【详解】解：万，85000中最后一位有效数字“”位于千位， 则近似数万精确到千位． 23. 精确到万位是（　　 ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意精确到万位可得，． ◆题型1 混合运算中的符号处理与运算顺序 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ． ◆题型2 运算律在复杂计算中的灵活运用 2．用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)278 (2)1 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ◆题型3有理数运算的实际应用 3．某检修小组从A地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一 天中七次行驶记录如下． （单位：） (1)在第几次记录时距A地最远． (2)求收工时在A地的什么方向？距A地多远？ (3)若每千米耗油0.3升，问共耗油多少升？ 【答案】(1)第五次 (2)收工时在地正东方向，距地 (3)共耗油升 【分析】（1）根据记录的数字，求出第一次第七次记录时，距地的距离，由此即可得； （2）将记录的数字相加求和即可； （3）将记录的数字的绝对值相加，再乘以每千米耗油量即可． 【详解】（1）解：第一次记录时：， 第二次记录时：， 第三次记录时：， 第四次记录时：， 第五次记录时：， 第六次记录时：， 第七次记录时：， 由此可知，在第五次记录时距地最远． （2）解： ， ∵规定向东行驶为正， ∴收工时在地正东方向，距地． （3）解： （升）， 答：共耗油升． 【答案】 一、选择题 1．计算（     ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】根据有理数的减法运算法则计算即可． 【详解】解：． 2．据悉神舟系列飞船的传感器可探测到直径约的太空微小碎片（这类碎片也属于太空中的小型天体类物质），该直径用科学记数法可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 3．规定新运算：，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先把写出整数的混合运算，然后再运用整数混合运算法则计算即可． 【详解】解：由新运算规则得， 4．的倒数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据倒数定义：乘积是1的两个数互为倒数，即可解答． 【详解】解：的倒数是． 5．计算24×的结果是（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】根据乘法分配律求解即可． 【详解】解：． 6．若x，y为实数，且，则的值为（     ） A．1 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】利用绝对值和算术平方根的非负性求解，当几个非负数的和为0时，每个非负数都为0，先求出x，y的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】∵，，且， ∴，， 解得：，， 故． 二、填空题 7．绝对值小于的所有整数的和是_____． 【答案】0 【分析】先根据绝对值的性质找出绝对值小于的所有整数，再根据有理数加法法则计算求和即可． 【详解】解：绝对值小于的所有整数为， ． 8.一天早晨的气温是，中午上升了，半夜又下降了，则半夜的气温是 _______． 【答案】 【分析】根据有理数加减运算法则计算即可 【详解】解：根据题意可得，半夜的气温为：， 9. 计算： _______． 【答案】 【分析】由同底数幂的乘法运算的逆运算、积的乘方运算的逆运算、及有理数乘法运算计算即可得到答案． 【详解】解： ． 10. 计算：________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算．先计算乘除运算，将除法转化为乘法，利用有理数运算法则，负负得正，最后计算数值． 【详解】解：原式 故答案为：． 11. 如果，则的平方根是_________． 【答案】 【分析】根据绝对值和偶次幂的非负性，求出，的值．代入代数式计算出结果后，再求该结果的平方根即可． 【详解】解：由题意可得，， ， ∴，， 解得，． 将，代入得：． ， 的平方根是． 12. 根据第七次人口普查数据统计，涟水县常住人口约为829000人，将数829000用科学记数法表示为________． 【答案】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，只需确定和的值即可； 【详解】解：． 13．有一个数值转换器，其工作原理如图所示，若输入，则输出的结果是________． 【答案】10 【分析】把代入转换器中计算即可． 【详解】解：， ， 输出结果为10． 14.观察下列等式：，，，，，，，…通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是______． 【答案】4 【分析】观察已知等式可知，以2为底的幂的个位数字按，，，依次循环，计算得到余数，根据余数即可确定的个位数字． 【详解】解：观察给出的等式，，，，，…， ∴以2为底的幂的个位数字每4个数为一个循环组依次循环，循环顺序为，，，． ， ∴的个位数字与的个位数字相同，是． 三、解答题 15．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 16．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 17． 已知有理数，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是4，是最小的正整数，求的值． 【答案】 【分析】根据相反数、倒数、绝对值、最小的正整数的定义，先求出相关量的值，再代入代数式计算即可求解． 【详解】解：由题意得 ，互为相反数，因此 ，互为倒数，因此 ． 的绝对值是，因此 ． 是最小的正整数，因此 ． 所以 18．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】 (1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 有理数的运算全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 有理数的加法运算 题型2 有理数的减法运算 题型3 有理数的乘法运算 题型4 有理数的除法运算 题型5 有理数的乘方与混合运算 题型6 运算律的灵活运用 题型7 科学记数法与近似数 核心提升：重难题型归纳 题型1 混合运算中的符号处理与运算顺序 题型2 运算律在复杂计算中的灵活运用 题型3 有理数运算的实际应用 题型专练：高频重难特训 ◆题型1 有理数的加法运算 1.计算的结果是（     ） A．1 B． C．5 D． 2.计算 (1)； (2) ◆题型2 有理数的减法运算 3. 计算：（    ） A． B． C． D． 4．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 5. 吐鲁番盆地最低点海拔为，珠穆朗玛峰峰顶海拔为，两地相对高度是________． ◆题型3 有理数的乘法运算 6.如果四个数的积为负数，其中有两个数异号，则另外两个数（　　） A．一定都是正数 B．一定都是负数 C．一定也异号 D．一定同号 7.计算的结果是（   ） A．10800 B．-2700 C．-432 D．1080 8. 已知某商品每件标价为100元，按照标价的8折出售，那么每件商品的售价是______元. 9.计算题，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． (1) (2) ◆题型4 有理数的除法运算 10.计算的结果为（     ） A． B．2 C． D．8 11.（     ） A．2 B． C．1 D．4 12.计算：． 13.计算：； ◆题型5 有理数的乘方与混合运算 14.下列算式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 15.下列各对数值相等的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 16.计算： (1)； (2)； (3)； (4)． ◆题型6 运算律的灵活运用 17.计算： 18.计算： (1) (2)． 19.计算： (1)； (2)． ◆题型7 科学记数法与近似数 20.党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务．2014-2018年，中央财政累计投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”，专项补助资金亿元，将亿用科学记数法表示应为（     ） A． B． C． D． 21. 贵州简称“贵”或“黔”，地处中国西南腹地，总面积约为平方千米．数据用科学记数法可以表示为（     ） A． B． C． D． 22.近似数万精确到（   ）位． A．十 B．十分位 C．千 D．万 23. 精确到万位是（　　 ） A． B． C． D． ◆题型1 混合运算中的符号处理与运算顺序 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． ◆题型2 运算律在复杂计算中的灵活运用 2．用简便方法计算： (1)； (2)． ◆题型3有理数运算的实际应用 3．某检修小组从A地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天 中七次行驶记录如下． （单位：） (1)在第几次记录时距A地最远． (2)求收工时在A地的什么方向？距A地多远？ (3)若每千米耗油0.3升，问共耗油多少升？ 一、选择题 1．计算（     ） A． B．1 C． D．3 2．据悉神舟系列飞船的传感器可探测到直径约的太空微小碎片（这类碎片也属于太空中的小型天体类物质），该直径用科学记数法可表示为（     ） A． B． C． D． 3．规定新运算：，则等于（     ） A． B． C． D． 4．的倒数是（     ） A． B． C． D． 5．计算24×的结果是（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 6．若x，y为实数，且，则的值为（     ） A．1 B． C．3 D． 二、填空题 7．绝对值小于的所有整数的和是_____． 8．一天早晨的气温是，中午上升了，半夜又下降了，则半夜的气温是 _______． 9．计算： _______． 10．计算：________． 11．如果，则的平方根是_________． 12．根据第七次人口普查数据统计，涟水县常住人口约为829000人，将数829000用科学记数法表示为________． 13．有一个数值转换器，其工作原理如图所示，若输入，则输出的结果是________． 14．观察下列等式：，，，，，，，…通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是______． 三、解答题 15．计算： (1)； (2)． 16．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．已知有理数，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是4，是最小的正整数，求的值． 18．计算： (1) (2) (3) (4) 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $