第二章 有理数的运算（单元分层自测·基础通关卷）数学新教材人教版七年级上册

**基本信息** 2026-2027学年七年级上册数学第二章有理数的运算单元自测卷，以基础通关为目标，融合科技热点（31.4万亿科学记数法）、生活情境（月饼质量、新能源汽车行驶）及数学文化（华罗庚名言、快乐数），全面考查有理数运算核心知识，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|倒数、科学记数法、数轴比较、快乐数|结合圆周率热点，设置“快乐数”新定义考查抽象能力| |填空题|6/18|倒数相反数、程序计算、数形结合|以华罗庚名言引入数形结合，体现几何直观| |解答题|9/72|新定义运算、新能源汽车费用计算、除方探究、数轴运动|设计新能源汽车费用对比（模型意识）、除方新运算（运算能力），层次分明|

2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第二章 有理数的运算·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C A D A A B A B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11． 12． 13． 14．7 15． 16．8或 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17． 【详解】（1）解： ；...............3分 （2）解： ．...............6分 18． 【详解】解：，，． 图见答案，用“”连接见答案． ...............4分 ...............6分 19． 【详解】解：， 整数集合：{，，，…}；...............2分 分数集合：{，，，，…}；...............4分 非正有理数集合：{，，，…}．...............6分 20． 【详解】（1）解：小河计算时，违反同级运算从左到右的计算顺序，先计算了后一项的乘法，第一步就得到错误结果，因此小河从第一步开始出现错误． 小北计算时，错误对除法使用分配律拆分，第一步就得到错误结果，因此小北从第一步开始出现错误．...............2分 （2）解：正确计算过程如下： ．...............4分 21． 【详解】（1）解：；...............3分 （2）解：．...............8分 22． 【详解】（1）解： ∵ 7天的路程偏差中，最大值为，最小值为， ∴ 路程最多的一天比最少的一天多走 ．...............2分 （2）解：∵ 7天的路程偏差总和为 ， 7天的标准总路程为 ， ∴ 七天总行驶路程为 ．...............5分 （3）解：汽油车行驶的费用为 （元）， 新能源车行驶的费用为 （元）， 节省的费用为 （元）； 答：这7天的行驶费用比原来节省146.8元．...............8分 23． 【详解】（1）解：和两张卡片，幂最大，；...............2分 （2）解：根据正数大于零，正数大于负数， 故抽取的卡片上的数字之积为负数时，积最小， 抽取、和三张卡片，乘积最小，最小为；...............5分 （3）解：抽取、、、，（答案不唯一）...............8分 24． 【详解】（1）解：， ；...............3分 （2）解：①任何非零数的2次商都等于1，故①正确； ②对于任何正整数，当为奇数时，，当为偶数时，，故②不正确； ③， ∴故③不正确； ④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数，故④正确；...............6分 （3）解：， ；...............9分 （4）解： ．...............12分 25． 【详解】（1）解：∵，又， ∴， ∴， 故答案为：，4；...............4分 （2）∵该数轴沿着点C折叠，使得点A、点B能重合， ∴点表示的数为：， ∵点E与点A之间相距3个单位长度， ∴点表示的数为：或， ∴点表示的数为：或； 故答案为：1或7；...............8分 （3）①当点E表示的数为−7，点D表示的数为1时，则， 由题意，得机器猫到达E点所用的时间为秒， 在这8秒内，电子狗一直在运动， ∴电子狗运动的路程为：个单位长度； ②当点E表示的数为−13，点D表示的数为7时，则， 由题意，得机器猫到达E点所用的时间为秒， 在这20秒内，电子狗一直在运动， ∴电子狗运动的路程为个单位长度； 答：电子狗运动的路程为12或30个单位长度．...............12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第二章 有理数的运算·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．2026的倒数是（    ） A． B．2026 C． D． 2．下列运算错误的是（     ） A． B． C． D． 3．每年的3月14日是“圆周率日”．谷歌在3月14日宣布，圆周率已计算到小数点后的31.4万亿位．其中数值31.4万亿可用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 4．数和数在直线上的对应点的位置如图． 下面选项中，结果最大的是（     ） A． B． C． D． 5．下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 6．在，，，，中，负数的个数是（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 7．周日，小敏与妈妈一起去买月饼，妈妈买了一盒月饼（共计6枚）．回家后她仔细地看了标签和包装盒上面写着净含量克，她们把6枚月饼的质量称重后统计列表如下：（其中超出标准质量记为正，不足标准质量记为负），则这六枚月饼的总质量为（     ）． 第n枚 1 2 3 4 5 6 质量偏差/克 A．420.3克 B．423克 C．420克 D．417克 8．定义，例如，则的结果为（     ） A． B． C．1 D．3 9．“快乐数”是指将正整数的每一位数字平方后相加，得到的新数再重复这一过程，最后结果为1的数．以“快乐数”70为例：，则下列数中不是“快乐数”的是（     ） A．3 B．7 C．13 D．31 10．有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列各式一定成立的个数有（     ） ①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．计算： ____________ 12．若有理数，互为倒数，，互为相反数，则__________． 13．对于有理数、，定义运算“※”如下：（其中），则______ 14．按如图所示的程序进行计算，若输入的值是，则输出的值是___________． 15．“数形结合思想”是数学学习中非常重要的一种数学思想，我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”在计算时，可以联想到图（1），则．请观察图（2），计算_____． 16．已知，，，则的值等于____________． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．计算： (1)； (2)． 18．在数轴上表示下列各数，再用“”连接起来． ，，，． 19．把下列各数填入相应的大括号里． ，，，，，，，，，． 整数集合：{________…}； 分数集合：{________…}； 非正有理数集合：{________…}． 20．小河和小北计算的过程如下． 小河的解答 解：原式  ……第一步   ……第二步   ……第三步 小北的解答 解：原式  ……第一步   ……第二步   ……第三步 (1)小河和小北的解题过程都出现了错误，小河是第________步开始出现错误，小北是第________步开始出现错误； (2)请你正确计算该题． 21．对于任意有理数，，我们规定：． 例如：；． (1)计算： ； (2)计算：． 22．近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“+”，不足的记为“-”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（） (1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多走______； (2)请求出小明家的新能源汽车这7天一共行驶了多少千米? (3)已知汽油车每行驶需用汽油升，汽油价元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为度，每度电为元，请估计小明家换成新能源汽车后这天的行驶费用比原来节省多少钱? 23．小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中抽取2张卡片，将2张卡片上的数字分别作为底数和指数，使所得的幂最大，应如何抽取？幂的最大值是多少？ (2)从中抽取3张卡片，使这3张卡片上数字的乘积最小，应如何抽取？积的最小值是多少？ (3)从中抽取4张卡片，将四个数（四个数都用且只能用一次，可使用括号） “”、“”、“”、“”运算，使其结果等于．（写出一种情况即可） 24．规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作读作“2的3次商”，记作，读作“的4次商”，一般地，把n个记作读作“a的n次商”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：______，______； (2)关于除方，下列说法错误的是______； ①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数n，；③；④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：； (3)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式． ______；______； (4)求． 25．如图①，点A、B在数轴上对应的数分别为a、b，且 (1)填空：a＝ ，b＝ ； (2)若将该数轴沿着点C折叠，如图②所示，使得点A、点B能重合．已知点D也为该数轴上的一点，沿着点C进行同样的折叠后，与数轴上的点E重合．若点E与点A之间相距3个单位长度，则点D所表示的数为 ； (3)在（2）的条件下，再将该数轴沿着点C还原．有一机器猫从点D沿数轴向左运动，同时一电子狗从对应的点E沿数轴向右运动，当电子狗遇到机器猫立刻返回到点E再向右运动，遇到机器猫再返回…设机器猫每秒运动1个单位长度，电子狗每秒运动1.5个单位长度，当机器猫到点E处停止运动，此时电子狗也停止运动．求电子狗运动的路程． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第二章有理数的运算·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.2026的倒数是() 1 1 A.-2026 B.2026 C.-2026 D.2026 2.下列运算错误的是（) A.-2+2=0 B（4)÷4=-1 c.3-(-3)=0 D.2×(-2)=-4 3.每年的3月14日是“圆周率日”.谷歌在3月14日宣布，圆周率已计算到小数点后的31.4万亿位.其 中数值31.4万亿可用科学记数法表示为() A.3.14×102 B.31.4×102 C.3.14×103 D.31.4×10 4.数M和数N在直线上的对应点的位置如图. M N 0 下面选项中，结果最大的是() A.M+N B.M÷N C.N-M D.N×M 5.下列式子中，积的符号为负的是() a（+o R（(o e3x(-7)x0 D. 6.在-(2，十.，引{号)中负题的个数是() A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 1/6 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.周日，小敏与妈妈一起去买月饼，妈妈买了一盒月饼（共计6枚）·回家后她仔细地看了标签和包装盒 上面写着净含量6×70克，她们把6枚月饼的质量称重后统计列表如下：（其中超出标准质量记为正，不 足标准质量记为负)，则这六枚月饼的总质量为()· 第n枚 1 2 3 4 5 6 质量偏 -0.7 +0.2 +0.8 -0.4 -0.6 +1 差克 A.420.3克 B.423克 C.420克 D.417克 8.定义0*6=a÷6-2 *3=53÷(3-2)=125 ，例如 （-3)*11 则 的结果为() A.-1 B.-3 C.1 D.3 9.“快乐数”是指将正整数的每一位数字平方后相加，得到的新数再重复这一过程，最后结果为1的数. 以“快乐数”70为例：72+02=49→42+92=97→92+72=130→1P+32+02=10→1+02=1，则下列数 中不是“快乐数”的是() A.3 B.7 C.13 D.31 10.有理数a,b在数轴上的位置如图所示，则下列各式一定成立的个数有() 71 ①a-b>0:②lb>a:③b<0:④b 6 0 a A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.计算：-8-9= 12.若有理数0，b互为倒数。c,d互为相反数，则c+dm-b= 13.对于有理数a方：定义运算“※”如下：※b=b =a+b（其中a+b≠0)，则2※3= 14.按如图所示的程序进行计算，若输入x的值是-2，则输出y的值是 216 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 输入x 平方→乘以3 减去5 结果大于0 输出y 否 15.“数形结合思想”是数学学习中非常重要的一种数学思想，我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少 直观，形少数时难入微：数形结合百般好，隔离分家万事休.”在计算1+3+5+7+9+11时，可以联想到 1111 图（1)，则1+3+5+7+9+11=6=36：请观察图(2)，计算2+48+16一 4 1 1 16 8 图(1) 图(2) x 16,已知4,2，x<y,则少的值等于 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分：第21,22,23题，每题8分；第24,25题，每题12分： 共9小题，共72分) 17.计算： r各1+品 2-1m-0-0.5)×3×[10-(2]-（-1 18.在数轴上表示下列各数，再用“<”连接起来 -5-4-3-2-1012345→ 19.把下列各数填入相应的大括号里· 316 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 314,,15%,0,-040,(-2,10.-元，，4. 整数集合： …}； 分数集合： …} 非正有理数集合：{ .} 5÷5×(-3)-6÷ 32 20.小河和小北计算 23的过程如下. 小河的解答 小北的解答 15÷5×(-3)-6÷ 32Y 23 155x-3-6[8引 解：原式=15+(15)-6÷ 6 …第一 解：原式=3×(-3)-(4-9)…第一步 步 =-9-(-5) …第二步 =-1-5…第二步 =6…第三步 =-4…第三步 (1)小河和小北的解题过程都出现了错误，小河是第 步开始出现错误，小北是第 步开始出 现错误： (2)请你正确计算该题. 21.对于任意有理数a,b,我们规定：a⑧b=a2-2b. 例如：3⑧4=32-2×4=9-8=1：6⑧8=62-2×8=36-16=20. （-2)83= (1)计算： 1 (2)计算： 2 22.近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加.小明 家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表），以50km为标准，多于50km 的记为“+”，不足50km的记为“-”，刚好50km的记为“0”. 4/6 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程( -8 -12 -16 0 +22 +31 +33 km) ()这7天里路程最多的一天比最少的一天多走 km (2)请求出小明家的新能源汽车这7天一共行驶了多少千米？ (3)已知汽油车每行驶100km需用汽油5.5升，汽油价8.2元/升，而新能源汽车每行驶100m耗电量为15度， 每度电为0.56元，请估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱？ 23.小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： -3 -5 0 +3 +4 ()从中抽取2张卡片，将2张卡片上的数字分别作为底数和指数，使所得的幂最大，应如何抽取？幂的最 大值是多少？ (2)从中抽取3张卡片，使这3张卡片上数字的乘积最小，应如何抽取？积的最小值是多少？ (3)从中抽取4张卡片，将四个数（四个数都用且只能用一次，可使用括号）“+”、“一”、“×”、“ ÷”运算，使其结果等于24.（写出一种情况即可） 24.规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2+2÷2(-3)(-3)÷(-3列=(-3) 等.类比有理数的乘方，我们e2+2+2记作2读作“2的3次商”，（3)(3)()*(-3》记作-3 读作。-3的4次商”，一般地，把n个a≠0) 记作”读作“a的n次商”. 【初步探究】 ()直接写出计算结果：2，= (-3)4= (2)关于除方，下列说法错误的是一； ①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数n, (,.=-1,回3，=4，①负数的奇数次商结果是 ③ 负数，负数的偶数次商结果是正数。 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数 的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 516 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 例如： 2-2*22-29 (3)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式. (-3)4= *5(好 25.如图①，点A、B在数轴上对应的数分别为a、b,且Q+10+b-4)=0. A B a b B 图① 图② 备用图 (1)填空：a=-,b=-: (2)若将该数轴沿着点C折叠，如图②所示，使得点A、点B能重合.已知点D也为该数轴上的一点，沿着 点C进行同样的折叠后，与数轴上的点E重合.若点E与点A之间相距3个单位长度，则点D所表示的数 为； (3)在(2)的条件下，再将该数轴沿着点C还原.有一机器猫从点D沿数轴向左运动，同时一电子狗从对 应的点E沿数轴向右运动，当电子狗遇到机器猫立刻返回到点E再向右运动，遇到机器猫再返回·设机器 猫每秒运动1个单位长度，电子狗每秒运动1.5个单位长度，当机器猫到点E处停止运动，此时电子狗也 停止运动.求电子狗运动的路程， 616 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第二章 有理数的运算·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．2026的倒数是（    ） A． B．2026 C． D． 【答案】D 【分析】根据倒数的定义计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴的倒数为． 2．下列运算错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A、B、D的运算结果均正确，不符合题意； ，选项C运算错误，符合题意． 3．每年的3月14日是“圆周率日”．谷歌在3月14日宣布，圆周率已计算到小数点后的31.4万亿位．其中数值31.4万亿可用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵万亿， ∴万亿. 4．数和数在直线上的对应点的位置如图． 下面选项中，结果最大的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数轴上点的位置确定M、N的取值范围，采用特殊值法代入各选项计算并比较大小即可解答． 【详解】由数轴可知：， 不妨设，则， ∵， ∴的结果最大． 5．下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数乘法的运算法则，几个非0的有理数的乘法，积的符号由因数中负号的个数决定，奇负偶正，进行判断即可． 【详解】解：A、原式有2个负号，积的符号为正，不符合题意； B、原式有4个负号，积的符号为正，不符合题意； C、原式有一个因数为0，故积为0，不符合题意； D、原式有3个负号，积的符号为负，符合题意． 6．在，，，，中，负数的个数是（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】先根据乘方，绝对值，相反数的定义化简每个数，再根据负数的定义统计个数即可． 【详解】解：∵，，，，， ∴负数为，，，，共4个． 7．周日，小敏与妈妈一起去买月饼，妈妈买了一盒月饼（共计6枚）．回家后她仔细地看了标签和包装盒上面写着净含量克，她们把6枚月饼的质量称重后统计列表如下：（其中超出标准质量记为正，不足标准质量记为负），则这六枚月饼的总质量为（     ）． 第n枚 1 2 3 4 5 6 质量偏差/克 A．420.3克 B．423克 C．420克 D．417克 【答案】A 【分析】先计算6枚月饼的标准总质量，再计算所有质量偏差的和，两者相加得到实际总质量． 【详解】解：∵由题意得，每枚月饼标准质量为70克，共6枚， ∴6枚月饼的标准总质量为克， 计算6枚月饼的质量偏差和： ， ∴这六枚月饼的实际总质量为克． 8．定义，例如，则的结果为（     ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】解：∵， ∴ ． 9．“快乐数”是指将正整数的每一位数字平方后相加，得到的新数再重复这一过程，最后结果为1的数．以“快乐数”70为例：，则下列数中不是“快乐数”的是（     ） A．3 B．7 C．13 D．31 【答案】A 【分析】根据“快乐数”的定义，对各选项依次重复计算每一位数字的平方和，最终结果为1就是快乐数，否则不是． 【详解】解：A、∵，，，，，，，，，，，，， ∴计算进入循环，无法得到1，故3不是快乐数； B、∵， ∴最终结果为1，故7是快乐数； C、∵，， ∴最终结果为1，故13是快乐数； D、∵，， ∴最终结果为1，故31是快乐数． 10．有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列各式一定成立的个数有（     ） ①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据数轴上点的位置确定、的正负号及绝对值的大小关系，结合有理数的运算法则逐一判断即可． 【详解】解：由数轴可知：，且， ∴，故①正确； ，故②正确； ，故③正确； ，故④错误． 综上所述，一定成立的有①②③，共3个． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．计算： ____________ 【答案】 【详解】解：． 12．若有理数，互为倒数，，互为相反数，则__________． 【答案】 【详解】解：∵有理数，互为倒数，，互为相反数， ∴，， ∴． 13．对于有理数、，定义运算“※”如下：（其中），则______ 【答案】 【分析】根据题中给出的新定义运算规则，将对应数值代入公式计算即可得到结果． 【详解】解：根据定义的新运算，将，代入得：． 14．按如图所示的程序进行计算，若输入的值是，则输出的值是___________． 【答案】7 【详解】解：由题意得， ∴输出的值是7． 15．“数形结合思想”是数学学习中非常重要的一种数学思想，我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”在计算时，可以联想到图（1），则．请观察图（2），计算_____． 【答案】 【分析】直接根据图（2）作答即可． 【详解】解：由图（2）可知． 16．已知，，，则的值等于____________． 【答案】8或 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴当时，，，两种情况均不符合条件，舍去， ∴， ①当，时，满足， ； ②当，时，满足， ； 综上所述，的值为或． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用乘法运算律计算即可得出结果； （2）先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．在数轴上表示下列各数，再用“”连接起来． ，，，． 【答案】， 【详解】解：，，． 图见答案，用“”连接见答案． 19．把下列各数填入相应的大括号里． ，，，，，，，，，． 整数集合：{________…}； 分数集合：{________…}； 非正有理数集合：{________…}． 【答案】，，，；，，，，；，，， 【分析】本题考查了有理数的乘方，有理数的分类；根据有理数的分类填写，即可求解． 【详解】解：， 整数集合：{，，，…}； 分数集合：{，，，，…}； 非正有理数集合：{，，，…}． 20．小河和小北计算的过程如下． 小河的解答 解：原式  ……第一步   ……第二步   ……第三步 小北的解答 解：原式  ……第一步   ……第二步   ……第三步 (1)小河和小北的解题过程都出现了错误，小河是第________步开始出现错误，小北是第________步开始出现错误； (2)请你正确计算该题． 【答案】(1)一，一 (2) 【分析】（1）先根据有理数混合运算的顺序，分别检查小河和小北的每一步计算：小河在第一步计算时，违反同级运算从左到右的顺序，错误先算，因此从第一步开始出错；小北在第一步计算时，错误对除法使用分配律拆分，因此从第一步开始出错． （2）按照有理数混合运算的正确顺序：先算括号内的减法，再算乘除，最后算减法，同级运算从左到右依次计算，逐步脱式计算出正确结果． 【详解】（1）解：小河计算时，违反同级运算从左到右的计算顺序，先计算了后一项的乘法，第一步就得到错误结果，因此小河从第一步开始出现错误． 小北计算时，错误对除法使用分配律拆分，第一步就得到错误结果，因此小北从第一步开始出现错误． （2）解：正确计算过程如下： ． 21．对于任意有理数，，我们规定：． 例如：；． (1)计算： ； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解：． 22．近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“+”，不足的记为“-”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（） (1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多走______； (2)请求出小明家的新能源汽车这7天一共行驶了多少千米? (3)已知汽油车每行驶需用汽油升，汽油价元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为度，每度电为元，请估计小明家换成新能源汽车后这天的行驶费用比原来节省多少钱? 【答案】(1) (2)千米 (3)元 【分析】（1）找出路程偏差的最大值与最小值，计算二者的差值即可得到结果； （2）先计算7天路程偏差的总和，再加上7天的标准总路程，得到总行驶路程； （3）分别计算汽油车和新能源车行驶总路程的费用，作差得到节省的费用． 【详解】（1）解： ∵ 7天的路程偏差中，最大值为，最小值为， ∴ 路程最多的一天比最少的一天多走 ． （2）解：∵ 7天的路程偏差总和为 ， 7天的标准总路程为 ， ∴ 七天总行驶路程为 ． （3）解：汽油车行驶的费用为 （元）， 新能源车行驶的费用为 （元）， 节省的费用为 （元）； 答：这7天的行驶费用比原来节省146.8元． 23．小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中抽取2张卡片，将2张卡片上的数字分别作为底数和指数，使所得的幂最大，应如何抽取？幂的最大值是多少？ (2)从中抽取3张卡片，使这3张卡片上数字的乘积最小，应如何抽取？积的最小值是多少？ (3)从中抽取4张卡片，将四个数（四个数都用且只能用一次，可使用括号） “”、“”、“”、“”运算，使其结果等于．（写出一种情况即可） 【答案】(1)抽取和两张卡片，幂最大，最大为 (2)抽取、、三张卡片，乘积最小，最小为； (3)抽取、、、，（答案不唯一） 【分析】（1）如果底数是正数，指数越大，幂越大；如果底数是负数，指数必须是偶数，结果才为正数，且底数的绝对值越大、指数越大，幂越大．指数越大，幂通常越大，据此即可求解； （2）根据同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，计算积，再根据有理数的大小比较解答即可； （3）根据有理数的混合运算解答即可． 【详解】（1）解：和两张卡片，幂最大，； （2）解：根据正数大于零，正数大于负数， 故抽取的卡片上的数字之积为负数时，积最小， 抽取、和三张卡片，乘积最小，最小为； （3）解：抽取、、、，（答案不唯一） 24．规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作读作“2的3次商”，记作，读作“的4次商”，一般地，把n个记作读作“a的n次商”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：______，______； (2)关于除方，下列说法错误的是______； ①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数n，；③；④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：； (3)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式． ______；______； (4)求． 【答案】(1)，； (2)②③； (3)； (4)． 【分析】（1）根据新定义直接计算即可求解； （2）理解除方运算，利用除方运算的法则和意义解决初步探究，通过除方的法则，把深入思考的除方写成幂的形式，即可求解； （3）根据法则计算即可求解； （4）根据法则结合有理数的混合运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解：， ； （2）解：①任何非零数的2次商都等于1，故①正确； ②对于任何正整数，当为奇数时，，当为偶数时，，故②不正确； ③， ∴故③不正确； ④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数，故④正确； （3）解：， ； （4）解： ． 25．如图①，点A、B在数轴上对应的数分别为a、b，且 (1)填空：a＝ ，b＝ ； (2)若将该数轴沿着点C折叠，如图②所示，使得点A、点B能重合．已知点D也为该数轴上的一点，沿着点C进行同样的折叠后，与数轴上的点E重合．若点E与点A之间相距3个单位长度，则点D所表示的数为 ； (3)在（2）的条件下，再将该数轴沿着点C还原．有一机器猫从点D沿数轴向左运动，同时一电子狗从对应的点E沿数轴向右运动，当电子狗遇到机器猫立刻返回到点E再向右运动，遇到机器猫再返回…设机器猫每秒运动1个单位长度，电子狗每秒运动1.5个单位长度，当机器猫到点E处停止运动，此时电子狗也停止运动．求电子狗运动的路程． 【答案】(1)，4 (2)1或7 (3)电子狗运动的路程为12或30个单位长度 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，绝对值的非负性，有理数乘除的实际应用．熟练掌握绝对值的非负性以及数轴上两点间的距离公式，是解题的关键． （1）根据绝对值的非负性，进行求解即可； （2）根据对称性确定点表示的数，根据点E与点A之间相距3个单位长度，得到点表示的数，再根据对称性，得到点表示的数即可； （3）分两种情况，结合路程等于速度乘以时间，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，又， ∴， ∴， 故答案为：，4； （2）∵该数轴沿着点C折叠，使得点A、点B能重合， ∴点表示的数为：， ∵点E与点A之间相距3个单位长度， ∴点表示的数为：或， ∴点表示的数为：或； 故答案为：1或7； （3）①当点E表示的数为−7，点D表示的数为1时，则， 由题意，得机器猫到达E点所用的时间为秒， 在这8秒内，电子狗一直在运动， ∴电子狗运动的路程为：个单位长度； ②当点E表示的数为−13，点D表示的数为7时，则， 由题意，得机器猫到达E点所用的时间为秒， 在这20秒内，电子狗一直在运动， ∴电子狗运动的路程为个单位长度； 答：电子狗运动的路程为12或30个单位长度． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $