专题1.3 二次函数的性质（8大题型+高效培优讲义）数学新教材浙教版九年级上册

本讲义聚焦二次函数y=ax²+bx+c的性质这一核心知识点，系统梳理配方法转化顶点式、顶点坐标与对称轴公式推导、增减性分析及最值求解等内容，构建从基础转化到性质应用再到综合问题解决的递进式学习支架。 该资料通过“知识点+题型+变式”设计，结合即学即练与中考真题，强化配方法本质理解和数形结合思想，培养运算能力与推理意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过真题演练查漏补缺，提升复杂情境下问题解决能力。

专题1.3 二次函数的性质 教学目标 1. 会用配方法熟练将二次函数一般式y=ax²+bx+c化为顶点式y=a(x-h)²+k。 2. 掌握顶点坐标、对称轴的推导公式，能快速判断图象特征与函数增减性。 3. 能运用函数性质解决最值相关问题，深化数形结合与化归思想。 教学重难点 1.重点 （1） 熟练掌握一般式化为顶点式的配方法步骤，牢记顶点坐标与对称轴公式。 （2）精准运用二次函数性质，分析图象特征、判断增减性并求解函数最值。 2.难点 （1）理解配方法转化函数形式的本质，灵活处理系数运算避免出错。 （2）结合对称轴与自变量取值范围，精准分析复杂情境下的函数最值。 知识点01 y=ax²+bx+c的图象与性质 二次函数 y=ax²+bx+c （ a≠0 ）图象与性质 函数 （） （） 图象的开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 二次函数的增减性 函数 （） （） 增减性 当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小； 二次函数的最值 函数 （） （） 最值 当时，有最小值， 无最大值； 当时，有最大值， 无最小值. 【即学即练】1．（2026·宁夏银川·三模）点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线，可得对称轴为直线，，即当时，随着的增大而减小，由点关于对称轴对称的点坐标为，，可得． 【详解】解：∵抛物线， ∴对称轴为直线，， ∴当时，随着的增大而减小， ∴点关于对称轴对称的点坐标为， ∵， ∴． 2．（2026·安徽安庆·模拟预测）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且图象经过点，则下列结论错误的是（     ） A． B． C．若，两点都在二次函数的图象上，则 D．若点在二次函数的图象上，则有 【答案】D 【分析】根据抛物线的开口方向、与轴的交点和对称轴可得，，则选项A正确；将点代入二次函数的解析式即可得选项B正确；根据对称性可得点在这个二次函数的图象上，利用增减性即可得选项C正确；求出二次函数的最大值即可得选项D错误． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，与轴的交点位于轴的正半轴上，对称轴为直线， ∴，， ∴， ∴，选项A正确； ∵这个二次函数的图象经过点， ∴， ∴，即，选项B正确； ∵这个二次函数的图象开口向下，其对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小；当时的函数值与当时的函数值相等，即为， ∴点在二次函数的图象上， 又∵点在二次函数的图象上，且， ∴，选项C正确； 将代入二次函数得：， ∴这个二次函数的最大值为， ∵点在二次函数的图象上， ∴，即，选项D错误． 3．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 【答案】5 【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再由正方形的性质以及已知条件求出，然后代入抛物线的表达式解方程即可． 【详解】解：， ∴顶点为， ∵四边形为正方形，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，， ∴，关于抛物线的对称轴对称， ∴， 将点代入，则， 整理得，， 解得，（舍）， ∴． 题型01 二次函数 y=ax²+bx+c 的最值 【典例1】（26-27九年级·全国·暑假作业）已知二次函数，当自变量x满足时，函数y的最小值为2，则a的值为（   ） A．0或2 B．1或3 C．任意实数 D．2或4 【答案】C 【分析】先对二次函数配方，得到开口方向、对称轴和顶点坐标，再结合给定的x范围判断对称轴位置，然后根据二次函数的性质求最值即可求得a． 【详解】解：∵ ， ∴ 二次函数开口向上，对称轴为直线，顶点纵坐标为， ∵ 自变量x满足 ∴恒成立，即对称轴一定在给定区间内， ∴ 二次函数在处取得最小值，最小值恒为，符合题意 ∴为任意实数． 【变式1】（26-27九年级·全国·暑假作业）关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，y有最大值1 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质．根据二次函数的一般形式，通过系数判断开口方向，利用对称轴公式求对称轴，在顶点处求最值，并分析增减性． 【详解】解：∵二次函数为，其中， ∴，函数图象开口向下，故A错误； 对称轴为，故B错误； 当时，， ∵开口向下， ∴有最大值1，故C正确； ∵对称轴且开口向下， ∴当时，y随x增大而减小，故D错误． 故选：C． 【变式2】（26-27九年级·全国·暑假作业）已知抛物线，当时，函数的最大值是_____． 【答案】6 【分析】先将抛物线解析式配方，得到抛物线的开口方向和对称轴，根据开口向上的抛物线的性质，在给定范围内，代入端点计算后比较得到最大值． 【详解】解：对抛物线解析式配方得：， ， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 已知的取值范围为， 分别代入端点计算函数值：当时，， 当时，， 比较得， 因此的最大值为． 【变式3】（2026·山东枣庄·模拟预测）已知二次函数，当时，函数的最大值为4，则m的值为______． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质，分3种情况进行讨论求解即可. 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小， ∵当时，函数的最大值为4， ∴当时，则当时，函数有最大值为，解得（舍去）； 当时，则当时，函数有最大值为，解得（舍去）； 当时，则当时，函数有最大值为，解得或 （舍去）； 综上：. 题型02 一次函数、二次函数图象综合判断 【典例1】【变式1】（26-27九年级·浙江·暑假作业）若二次函数的图象如图所示，则一次函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由二次函数图像开口向下得出，再根据对称轴在轴右侧推出，最后结合一次函数的特征，判断图像即可． 【详解】解：∵开口方向：抛物线开口向下， ∴， ∵从图中可知对称轴在轴右侧， ∴根据对称轴公式，得， ∵， ∴ ， 分析一次函数的图像： ，说明直线从左上到右下； ，说明直线与轴交于正半轴； 故符合这两个特征的是选项C． 【变式1】（25-26九年级下·全国·课堂例题）如图，函数和（a是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数的图象性质，熟练掌握二次函数的开口方向、对称轴，以及一次函数的斜率与截距的意义是解题的关键． 先根据一次函数的图象确定的符号，再结合二次函数的开口方向、对称轴等性质，逐一判断选项是否符合． 【详解】解：A、二次函数开口向上，；一次函数过一、三象限，，一次函数与y轴的正半轴相交，二次函数的对称轴为，时对称轴应在轴右侧，符合，故A项可能． B、二次函数开口向上，；一次函数过二、四象限，，矛盾，故B项不可能． C、二次函数开口向上，；一次函数过二、四象限，，矛盾，故C项不可能． D、二次函数开口向下，；一次函数过二、四象限，，但二次函数的对称轴为，时对称轴应在轴左侧，而图中对称轴在轴右侧，矛盾，故D项不可能． 故选：A． 【变式2】（26-27九年级·全国·暑假作业）在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 本题可先由一次函数图象与二次函数的图象分别求出对应的a，c的范围，再相比较看是否一致即可． 【详解】解：∵一次函数与y轴交点坐标为，二次函数与y轴交点坐标为， ∴选项A、C的直线和抛物线与y轴交点坐标是同一点，不合题意， 选项B、D直线和抛物线与y轴交点坐标都是关于x轴对称， 但选项B观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意； 选项D观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，有可能，故本选项符合题意； 故选：D 【变式3】（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，抛物线与直线相交于点，，则关于x的方程的解为______． 【答案】， 【分析】本题考查了二次函数与一次函数，二次函数的图象和性质等知识点，能根据交点的坐标得出方程的解是解此题的关键．根据，两点的横坐标和函数的图象得出方程的解即可． 【详解】解：∵抛物线与直线相交于点， ∴关于的方程的解为， 故答案为：． 题型03 反比例函数、二次函数图象综合判断 【典例1】（2026·山东淄博·二模）抛物线和双曲线（）在同一直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象判断的取值，利用数形结合即可求解． 【详解】解：A、由反比例函数图象得，，由抛物线得，可得抛物线和双曲线（）的图象不可能在同一坐标系中，故选项A不符合题意； B、由反比例函数图象得，，由抛物线得，，则可得抛物线和双曲线（）的图象不可能在同一坐标系中，故选项B不符合题意； C、由反比例函数图象得，，由抛物线得，，则可得抛物线和双曲线（）的图象不可能在同一坐标系中，故选项C不符合题意； D、由反比例函数图象得，，由抛物线得，，则可得抛物线和双曲线（）的图象可能在同一坐标系中，故选项D符合题意． 【变式1】（25-26九年级下·广西崇左·阶段检测）已知一次函数和反比例函数的图象如图所示，则二次函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数和反比例函数的图象经过的象限可判断出的符号，则可确定二次函数的开口方向，对称轴的位置和与y轴的交点位置，据此结合函数图象可得答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴； ∵反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴， ∴， ∴， ∴二次函数的图象与y轴交于y轴的正半轴，对称轴在y轴左侧，且开口向下， ∴四个选项中只有B选项中的函数图象符合题意． 【变式2】（25-26九年级上·河南驻马店·期末）一次函数与反比例函数的图象如图所示，则二次函数的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象、反比例函数的图象以及二次函数的图象，解题的关键是根据一次函数与反比例函数的图象找出的正负．本题属于基础题，难度不大，熟悉函数图象与系数的关系． 根据一次函数与反比例函数图象找出的正负，再根据抛物线的对称轴为，找出二次函数对称轴在y轴左侧，与y轴交点在x轴上方，比对四个选项的函数图象即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数图象过第二、三、四象限， ∴，， ∴ ， ∴二次函数开口向下，二次函数对称轴在y轴左侧； ∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴， ∴与y轴交点在x轴上方． 满足上述条件的函数图象只有选项． 故选：B． 【变式3】（2025·安徽·一模）如图是直线 （，，是常数且，，），则二次函数 和反比例函数 在同一平面直角坐标系中的大致图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数，二次函数，反比例函数的图象和性质，熟练掌握其图象和性质，根据图形确定出、的正负情况是解题的关键．先根据一次函数图象确定出，，即可确定双曲线经过的象限，再根据抛物线对称轴位置进行判断，即可得解． 【详解】 直线的函数图象经过二、三、四象限， ，． ∴， ∴二次函数的对称轴，在轴的左侧，图象在二，四象限，只有A选项符合题意， 故选：A． 题型04 根据二次函数的图象判断式子符号 【典例1】（2026·山东济宁·二模）已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象开口方向、对称轴、特殊点坐标与系数关系是解答的关键，根据二次函数的图象与性质，结合对称轴、特殊点的函数值及最值性质逐项判断即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则； ∵对称轴为直线， ∴，即，故①正确； ∵当时，图象在轴下方， ∴，故②正确； ∵对称轴为直线， ∴与时的函数值相等， ∵当时，， ∴当时，，故③正确； ∵抛物线开口向下， ∴当时，函数取得最大值， ∴当时，， 即，故④错误． 综上所述，正确的结论是①②③． 【变式1】（25-26九年级下·山东烟台·期中）二次函数的图象如图所示，下列结论：；；；若，则．其中正确的结论有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴交点位置确定、、的符号及相互关系，再结合特殊点的函数值及不等式性质逐一判断． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线与轴交于正半轴， ， 对称轴， ， ，故正确； 对称轴，， ， ，故正确； ，，， ，， 当时，，且， ，即， ， 即，故正确； 对称轴， ， ， ， ， ，故错误． 综上所述，正确的结论只有，共个． 【变式2】（25-26九年级上·山东泰安·期末）如图是二次函数图像的一部分，对称轴为且经过点，有下列说法：①；②；③；④若是抛物线上的两点，则，上述说法正确的是____（填序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数中、、的符号判断、对称轴性质是解题的关键．由抛物线开口方向、对称轴、与轴交点判断、、的符号，分析①；根据对称轴公式推导与的关系，分析②；利用抛物线过点判断的值，分析③；根据对称轴判断点和到对称轴的距离，分析④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴． ∵对称轴为， ∴． ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴． ∵，，， ∴，故①正确． ∵， ∴，故②正确． ∵抛物线经过点， ∴当时，，故③错误． ∵对称轴为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∴，故④正确． 故答案为：①②④． 【变式3】（25-26九年级下·全国·单元复习）如图，二次函数的图象经过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④（其中）；⑤；正确的结论有_____．（填序号） 【答案】②④/④② 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据开口方向，对称轴和抛物线与轴的交点判断①，特殊点判断②，对称轴判断③，最值判断④，根据，得到的关系式判断⑤． 【详解】解：∵抛物线的开口向上，对称轴为直线，与轴交于负半轴， ∴， ∴，，故①③错误； ∵抛物线过点， ∴， ∴，故②正确； ∵抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数有最小值，为， ∴当时，， ∴；故④正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴；故⑤错误； 故答案为：②④． 题型05 待定系数法求二次函数解析式 【典例1】（2026·江苏扬州·一模）已知抛物线顶点坐标为，且与的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线开口和形状确定二次项系数，再将顶点坐标代入顶点式，即可得出解析式． 【详解】解：设抛物线为， 抛物线与的开口方向、形状大小完全相同， ， 将代入可得． 【变式1】（25-26九年级下·河南驻马店·期中）若二次函数的图像过点，则a的值为______． 【答案】2 【分析】将点代入二次函数解析式得到关于a的方程求解即可． 【详解】解：将点代入二次函数得：，解得：． 【变式2】（2026·河南·一模）已知二次函数的图象与x轴交于、两点，与y轴交于点，则该二次函数的解析式为_____． 【答案】 【分析】利用待定系数法将，，代入求解即可． 【详解】解：将，，代入得， 解得 ∴该二次函数的解析式为． 【变式3】（2026九年级下·山东聊城·专题练习）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线对称，点A的坐标为． (1)求二次函数的表达式． (2)当时，写出x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出点坐标，再由待定系数法求解函数解析式； （2）先求出抛物线与轴交点的横坐标，再由图象求解即可． 【详解】（1）解：∵点与点B关于直线对称， ∴点B的坐标为， 代入，得：， 解得， ∴二次函数的表达式为 （2）解：由， 解得：， ∵ ∴ 题型06 已知抛物线上对称的两点求对称轴 【典例1】（2026·河北张家口·三模）抛物线：经过点，，，，则下列选项中，值不变的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线对称性计算对称轴，分析即可． 【详解】解：∵抛物线：经过点，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点，到对称轴的距离相等， ∴， ∴， 其他选项的值都不确定． 故选B． 【变式1】（2025九年级上·全国·专题练习）已知二次函数的图象过点，若点也在该二次函数图象上，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的对称性和增减性是解题关键．由，和点，得出二次函数图象开口向上，对称轴为直线，即可得到答案． 【详解】解：二次函数的图象过点， 二次函数图象开口向上，对称轴为直线， 距离对称轴越远的点，函数值越大， 点在该二次函数图象上，且点离对称轴最远，点离对称轴最近， ， 故选：B． 【变式2】（25-26九年级下·全国·单元复习）抛物线与轴的交点是，那么这条抛物线的对称轴是直线______． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，以及如何求二次函数的对称轴，对于此类题目可以用公式法也可以将函数化为顶点式来求解，也可以用公式求解，即抛物线与轴的交点是，，则抛物线的对称轴为直线． 因为点与的纵坐标都为，所以可判定这两点是一对对称点，把两点的横坐标代入公式求解即可． 【详解】解：抛物线与轴的交点为，， 两交点关于抛物线的对称轴对称， 则此抛物线的对称轴是直线． 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）二次函数图象上部分点的坐标满足下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 8 3 0 m 3 … 则________． 【答案】0 【分析】本题考查二次函数图象的对称性，根据表格中的数据，利用对称性求出对称轴，再根据对称性求出的值即可． 【详解】解：由表格可知，和的函数值相同， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴和的函数值相同， ∴； 故答案为：0． 题型07 根据二次函数的对称性求函数值 【典例1】（25-26九年级上·湖北恩施·阶段检测）用描点法画二次函数（a≠0）的图象时，列出了下面的表格： x … 0 1 2 … y … m 0 4 … 从表中信息可得m值为（    ） A．0 B．－1 C．－2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的对称性，解题的关键是利用二次函数图象的对称性质确定对称轴，进而求解的值． 先根据表格中值相同的点确定二次函数的对称轴，再根据对称轴的对称性找到与对称的点，从而求出的值． 【详解】解：∵当时，；当时，， ∴对称轴为直线， ∵点与点关于对称轴对称，且时， ∴时，即． 故选：A． 【变式1】（26-27九年级·浙江·暑假作业）如图，抛物线的对称轴是直线，且经过点，则的值为（   ） A．0 B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查抛物线的对称性，代数式求值，先求出点关于对称轴的对称点，代入抛物线解析式即可求解． 【详解】解：对称轴是直线， 点关于对称轴的对称点为，即， 将代入，得：， 故选：A． 【变式2】（26-27九年级·浙江·暑假作业）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是______． 【答案】/ 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴开口向上的抛物线上，点离对称轴越远，对应的函数值越大， 分别计算三点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵， ∴． 【变式3】设二次函数（a，b，c是常数，），如表列出了x，y的部分对应值． x … 1 2 3 … y … m 0 n … 则方程的解是 ___________． 【答案】或 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的对称性进行解答即可． 【详解】解：从表格数据看，和的函数值相同， 则抛物线的对称轴为：， 当时，， 根据抛物线对称性，另外一个使的x值为：， 故答案为：或． 题型08 利用二次函数对称性求最短路径 【典例1】（26-27九年级·浙江·暑假作业）如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点，连接，，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】设抛物线与轴的另一个交点为，连接，，根据解析式求得的坐标，根据轴对称的性质得出，继而得出取得最小值，最小值为的长，勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，设抛物线与轴的另一个交点为，连接，， ∵，令， 即， 解得：， ∴, 令，解得， ∴， ∵点是对称轴上的一个动点， ∴， ∵ ∴当三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 即， 故选：D． 【点睛】本题考查了根据二次函数对称性求线段和的最值，掌握二次函数对称性是解题的关键． 【变式1】（25-26九年级下·河北·单元复习）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，P为抛物线上一点，其横坐标为，C为抛物线对称轴上一动点，连接，，当取得最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角函数、二次函数的图象与性质、轴对称的性质及一次函数的图象与性质，熟练掌握三角函数、二次函数的图象与性质、轴对称的性质及一次函数的图象与性质是解题的关键；由题意易得，，连接，，当P、B、C三点共线时，取得最小值，然后求得直线的解析式为，进而根据三角函数可进行求解． 【详解】解：当时，则有， ∴， 由可知：对称轴为直线，当时，则有， 解得：， ∴， 连接，，如图所示： 由轴对称可知：，所以， ∴当P、B、C三点共线时，取得最小值， 设直线的解析式为，则有， ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴当时，则有， ∴，即， ∵， ∴； 故选A． 【变式2】（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点，M点在抛物线的对称轴上，当周长最小时，点M的坐标为__________ 【答案】 【分析】连接，由点M在对称轴上，根据对称性可得，根据两点间线段最短可得，确定当点M在上时，最小，利用待定系数法求出的解析式，再求抛物线对称轴与的交点M的坐标即可． 【详解】解：连接， ∵点M在对称轴上， ∴， ∴， ∴当点M在上时，的最小值，此时的周长最小， ∵点， 设解析式为，把点A、C的坐标代入得：， 解得， ∴解析式为， 当时， 则点． 【变式3】（2026·辽宁·一模）如图．点中，点是轴上一动点，以点为旋转中心，将线段逆时针旋转90°，得到线段，连接，则线段的最小值为_____． 【答案】/ 【分析】本题主要考查旋转的性质，勾股定理及二次函数的最值问题，掌握配方法求最值是解题的关键． 设，则，根据勾股定理得，结合配方法求最值即可求解． 【详解】设，则， 由题知，， ， ， 时，取得最小值． 故答案为：． 一、单选题 1．（26-27九年级·上海·暑假作业）当时，的函数值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将代入，得 2．（2026·广东·二模）已知二次函数的图象如图所示，图象与轴交点的横坐标从左到右依次为，，如果时，＜，则当时，函数值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据二次函数解析式求出对称轴为直线，并计算出当时．根据抛物线的对称性可知当时．结合图象可知，当时，的取值范围在和之间，从而确定的取值范围．进而得出的取值范围，最后利用二次函数的增减性判断的值与的大小关系． 【详解】解：二次函数解析式为 对称轴为直线 当时， 抛物线关于直线对称 当时， 由图象可知，当时，图象在轴下方，对应的值在和之间 图象与轴交点为，且开口向上 当时， 抛物线开口向上，对称轴为直线 当时，随的增大而减小 当时的函数值大于当时的函数值，即． 3．（2026·四川成都·模拟预测）如图，二次函数（）的图象与轴交于点，对称轴为直线，下列结论中错误的是（     ） A． B．当时，随的增大而增大 C．二次函数图形与轴的另一个交点的横坐标为 D． 【答案】D 【分析】根据开口向上，可得，根据对称轴计算公式可得，根据抛物线与y轴的交点位置可得，据此可判断A，B；根据对称性可得抛物线与x轴的另一个交点的坐标为，则当时，，据此可判断C，D． 【详解】解：函数图象开口方向向上，与轴交于负半轴， ，， 对称轴为直线， ∴，当时，y随x的增大而增大；故B正确， ∴， ∴，故A正确， 二次函数的图象与x轴交于点，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标为， 即二次函数图形与x轴的另一个交点的横坐标为，故C正确， ∴由函数图象可知，当时，， ∴，故D错误． 4．（2026·宁夏固原·三模）已知二次函数（）与反比例函数（）在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则一次函数的大致图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数开口及顶点判断，的正负，根据反比例函数图象所在象限判断的正负，结合一次函数图象性质即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数图象开口向下， ∴， ∵二次函数图象与y轴交于正半轴， ∴ ∵反比例函数图象在第二，四象限， ∴， 一次函数过一、二、四象限． 5．（2026·陕西西安·模拟预测）已知关于x的二次函数，当时，该二次函数有最大值．若该函数图象经过两点，且，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出二次函数的对称轴，根据函数在取最大值判断开口方向，再比较两点到对称轴的距离，开口向下的二次函数，点离对称轴越远函数值越小，据此比较和的大小． 【详解】解：二次函数为 对称轴为 时二次函数有最大值 抛物线开口向下，即对于开口向下的二次函数，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小 到对称轴的距离为，到对称轴的距离为 ，即点到对称轴的距离更远 二、填空题 6．（24-25九年级上·云南昭通·阶段检测）已知二次函数图象经过点和，那么该二次函数图象的对称轴是直线________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的对称性，根据函数值相同的两个点关于对称轴对称，进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数图象经过点和， ∴抛物线的对称轴为直线； 故答案为：． 7．（26-27九年级·浙江·暑假作业）抛物线经过点，则________． 【答案】/ 【分析】将已知点的坐标代入抛物线解析式，通过整理变形即可求出所求代数式的值． 【详解】解：把点代入得： ， 整理得， 移项得， 等式两边同时除以，得． 8．（2026·广东珠海·三模）二次函数的最小值为，当时，随增大而增大，请写出一个满足条件的二次函数解析式_________（请写顶点式）． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质，确定顶点式中各参数的取值范围，再选取符合条件的参数得到解析式． 【详解】解： 有最小值， 因此对于，可得，顶点纵坐标； 当 时 随增大而增大，开口向上的二次函数，对称轴右侧随增大而增大， 因此对称轴； 取，，得二次函数解析式为（答案不唯一）． 9．（2026·上海·模拟预测）若抛物线的顶点在直线上，且位于第二象限，则的值为__________． 【答案】 【分析】 先求出抛物线的顶点坐标，将顶点坐标代入直线方程得到关于的一元二次方程，求解后根据第二象限点的坐标特征筛选出符合条件的的值即可； 【详解】解：， 顶点坐标为， 抛物线顶点在直线上， ， 整理得， 则， ， 解得：，， 顶点在第二象限，第二象限内点的横坐标小于，纵坐标大于， 当时，顶点横坐标为，不符合要求，舍去； 当时，顶点横坐标为，纵坐标为，符合要求； 故的值为． 10．（2023九年级·山东枣庄·专题练习）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）若点、点、点在该函数图象上，则；（5）（为常数）．其中正确的结论有______个 【答案】 【分析】根据抛物线的开口方向、与轴交点的位置、对称轴，可知、、，可得：；由函数图象可知当时，，所以可得：；由抛物线经过点，因为抛物线的对称轴是，可知，可得：，所以；根据二次函数的对称性可知点关于的对称点为，根据二次函数的性质可知；根据抛物线的对称轴为直线，可得：，所以成立． 【详解】解：二次函数的图象开口向下， ， 二次函数的图象与轴的交点在轴的正半轴， 对称轴为直线， ， ， ， 故（1）正确； 由二次函数的图象可知，当时，， ， ， 故（2）错误； ， ， 图象过点， ， ， ， 故（3）正确； 点关于的对称点为，， ， 故（4）错误； 抛物线的对称轴为直线， 二次函数的最大值为， 当时， 可得：， ， 故（5）正确； 综上所述，正确的结论有个． 三、解答题 11．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A，B两点，点B的坐标为，若点在抛物线上． (1)求该抛物线的解析式； (2)通过配方，求此抛物线的对称轴和顶点坐标． 【答案】(1) (2)抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，求抛物线的对称轴与顶点坐标，求出解析式是关键． （1）把点及点坐标代入，解方程组即可； （2）配方后化为顶点式，则可求得抛物线的对称轴与顶点坐标． 【详解】（1）解：由题意，把点及点坐标代入， 得：， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：配方得：， 故抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为． 12．（25-26九年级下·全国·课后作业）已知二次函数． (1)求出函数顶点坐标； (2)当时，随的增大而_____________（填“增大”或“减小”）； (3)当时，的取值范围为_____________． 【答案】(1) (2)增大 (3) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）将一般式化为顶点式，即可得出结果； （2）根据二次函数的增减性进行判断即可； （3）根据二次函数的增减性求出函数值的范围即可． 【详解】（1）解：， ∴顶点坐标为； （2）解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大； （3）解：由（2）可知，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，当时，函数有最小值为， ∵， ∴当时，值最大，为；当时，函数有最小值为， ∴． 13．（2026·安徽合肥·二模）抛物线的顶点纵坐标与抛物线的顶点纵坐标之和为1． (1)求n的值． (2)已知为抛物线上一点，为抛物线上一点． （i）若仅存在一个实数s，使得，求当时，p的值； （ii）若，且，求的最小值． 【答案】(1) (2)（i）的值为或；（ii） 【分析】（1）分别求出抛物线与抛物线的顶点坐标，建立关于n的方程求解即可； （2）（i）由（1）得，根据题意得到，即，由仅存在一个实数，使得，则关于的一元二次方程，有两个相等的实数根，求出，进而根据，即可得出的值； （ii）根据题意求出，由，得到，求出，根据二次函数的性质，即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴抛物线顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的顶点纵坐标与抛物线的顶点纵坐标之和为1， ∴，即； （2）解：（i）由（1）知， ∴抛物线， ∵为抛物线上一点， ∴， ∵，即， ∴，即， ∵仅存在一个实数，使得， ∴关于的一元二次方程，有两个相等的根， ∴，即， 解得：， ∵在上， ∴， 代入， 整理得： 解得：或 当时，； 当时，或． 综上，的值为或． （ii）∵，即，代入得 整理因式分解得： ， ， 故，即． 代入得：． ∴，代入 ∴ ∴当时，最小值为​． 14．（2026·云南昆明·二模）已知抛物线，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，记． (1)求的值； (2)若点在该抛物线上，当时，函数的最大值与最小值之差为，求的值． 【答案】(1)2 (2)或 【分析】（1）抛物线对称轴，代入，对称轴可得，； （2）由（1）得抛物线解析式为，代入得，故，，分三种情况讨论：①，②，③，分别分析各个情况的最大值最小值，代入条件求t的值即可． 【详解】（1）解：由题意可知，对称轴是直线，， ∴， ∴； （2）解：由（1）得抛物线的解析式为， ∵点在该抛物线上，， ∴， ∴，即，，， ∴， ∴， ∴， ， 该抛物线的顶点坐标为， 分三种情况讨论： ①当，即时， 当时，函数值最大：， 当时，函数值最小：， ∵函数的最大值与最小值之差为，即， ∴，解得：，符合； ②当，即时， 函数最小值为顶点纵坐标， ， 最大值最大能在或时取得， 当时，，当时，， 最大值减最小值最大只能为，不可能等于6， 故t不可能取到； ③当时， 当时，函数值最大， 当，函数值最小， ∴，解得：，符合； 综上所述：或． 15．（2026·河南平顶山·三模）定义：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究． (1)对一次函数进行探究后，得出下列结论： ①是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②是“不动点函数”，且只有一个不动点； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点． 以上结论中，你认为正确的是___________（填写正确结论的序号）． 该兴趣小组继续对二次函数进行探究，并设计了以下问题，请你解答． (2)若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式． (3)在（2）的条件下，当时，对应函数的最大值与最小值的差为5，请求出b，c的值． 【答案】(1)②③ (2) (3)b，c的值分别为，或， 【分析】（1）根据新定义逐一进行判断即可； （2）一般式化为顶点式，求出顶点坐标，根据新定义即可得出对应的关系式； （3）分3种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：①当时，，故不是“不动点函数”； ②把点代入，得，解得， ∴是“不动点函数”，且只有一个不动点； ③对于任意一个的值，点都在直线上，故是“不动点函数”，且有无数个不动点． 综上：正确的是②③； （2）解：∵， ∴顶点坐标为， ∵抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点， ∴，即． （3）解：由（2），得． ∴函数图象为开口向上的抛物线，顶点坐标为． 分以下三种情况讨论： ①当时，由二次函数的性质，可知当时，y随x的增大而增大， ∴当时，y有最小值，；当时，y有最大值，． ∴，解得． ∵， ∴符合题意． 将代入，得． ∴，． ②当时，由二次函数的性质，可知当时，y随x的增大而减小． ∴当时，y有最大值，；当时，y有最小值，． ∴，解得， ∵， ∴符合题意， 将代入，得， ∴，． ③当时，函数在时取最小值，． Ⅰ．当时，函数在时取最大值，． ∴，即，解得． ∵， ∴不符合题意． Ⅱ．当时，函数在时取最大值，， ∴，即，解得． ∵， ∴不符合题意， 综上所述，b，c的值分别为，或，． 一、单选题 1．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）将抛物线向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的平移规律，熟练掌握以上知识点是解题关键． 根据“左加右减，上加下减”的规则进行计算即可． 【详解】解：将抛物线 向左平移5个单位，新解析式为： ， 再向下平移1个单位， 新解析式为： ． 故选：B． 2．（25-26九年级上·山东济南·期中）已知二次函数，下列说法中错误的是（   ） A．其图象的开口向下 B．函数的最小值为2 C．其图象的对称轴为直线 D．其图象的顶点坐标为 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据二次函数的顶点式的性质，判断开口方向、最小值、对称轴和顶点坐标即可． 【详解】解：∵中，， ∴其图象开口向上，故A错误，符合题意； ∵顶点坐标为，且， ∴最小值为2，对称轴为直线，故B、C、D正确，不符合题意． 故选：A． 3．（25-26九年级上·云南昆明·期中）已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 根据二次函数的图象和性质，先确定对称轴，再根据增减性进行求解即可． 【详解】解：∵ 二次函数的对称轴为，且开口向下， ∴ 点离对称轴越近，值越大， 计算各点到对称轴的距离： 点：， 点：， 点：， ∴ 距离关系：近，其次，最远， 故值大小关系为，即， 故选： C． 4．（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，二次函数的图像与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论中，错误的是（   ） A． B． C． D．当时， 【答案】C 【分析】此题主要考查了二次函数的图像与系数之间的关系，解答此题的关键是熟练掌握二次函数图像的开口方向、顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点坐标． 利用二次函数图像和系数的关系，二次函数与不等式的关系，二次函数的性质等知识点，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、由抛物线开口向上得，； 与y轴的交点位于y轴的负半轴得，； 对称轴位于y轴的左侧得，a，b的符号相同，即； ∴，故A选项正确，不符合题意； B、由对称轴为直线得，与是对称点， ∴当时，，故B选项正确，不符合题意； C、由对称轴为直线得，， 整理得，即，故C选项错误，符合题意； D、∵对称轴为直线，图象与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴当时，，故D选项正确，不符合题意； 故选：C． 5．（25-26九年级上·福建福州·期中）抛物线图像上有两点，当时，函数值与哪个值有关（    ） A．a B． C．c D．和 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，掌握二次函数图象上点的特征及二次函数的对称性是解题关键． 由于两点纵坐标相同，它们关于抛物线的对称轴对称，利用对称轴公式可得，将代入抛物线解析式，化简后得，因此函数值与有关． 【详解】∵ 点和在抛物线上，且纵坐标相同， ∴ 对称轴 ， 又∵ 抛物线对称轴为， ∴ ， ∴ 。 当 时， ， ∴ 的值与有关． 故选：C． 二、填空题 6．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）已知抛物线如图1所示，现将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图2．当直线与新图象有四个交点时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解决本题的关键是数形结合画出直线． 由抛物线可知，抛物线顶点为，翻折后该点变为，再根据直线与抛物线的交点个数判断即可． 【详解】解：抛物线的顶点翻折后为， 则可知，当时，即直线为， 此时直线与新图象恰有三个交点，如图， 当时，即直线为， 此时直线与新图象恰有两个交点，如图， ∴可知，当时，直线与新图象有四个交点． 故答案为： ． 7．（25-26九年级上·上海·期中）将抛物线向右平移3个单位，所得抛物线的表达式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了函数图象的平移，根据左加右减，上加下减的平移方法求解是解题的关键． 根据二次函数图象的平移规律，向右平移3个单位，即将自变量替换为． 【详解】将抛物线向右平移3个单位，所得抛物线的表达式为， 展开计算得； 答案为：． 8．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）二次函数的图象如图，以下结论中：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论序号为 【答案】②③④ 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解决本题的关键是读懂图象，由图象得到之间的关系 ． 根据图象可知该函数的对称轴大于零，可判断符号，由此可判断①；由函数图象可知该函数与x轴交于和两点，由此可求对称轴，由此可判断②；根据，，由此判断③；根据a与c的符号可判断④；根据函数的最小值即可判断⑤． 【详解】解：①：由图象可知，该函数的对称轴大于零， ∴，即， ∴，故①错误； ②：∵该函数与x轴交于和两点， ∴对称轴为， 即，则有， ∵点在函数图象上， ∴，即， 将，代入， 即，可得， ∴， ∵函数图象开口向上，即， ∴，则，故②正确； ③：由②知，，， ∴，故③正确； ④：∵，且， ∴， ∴，故④正确； ⑤∵，， ∴⑤由图象可知，该函数的最小值小于， 即，且， ∴，故⑤错误． ∴正确的结论序号为②③④． 故答案为：②③④ ． 9．（25-26九年级上·青海西宁·期中）已知四个二次函数的图像如图所示，那么，，，的大小关系是 ．（请用“”连接排序） 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质，掌握二次项系数与图像的关系是解题的关键． 直接利用二次函数的图像开口大小与a的关系即可得出答案． 【详解】解：根据图像可知的图像和的图像的开口向上，且的图像的开口小于的图像的开口， 则． 根据图像可知的图像和的图像的开口向下，且的图像的开口大于的图像的开口， 则． ∴． 故答案为：． 10．（25-26九年级上·辽宁大连·期中）已知二次函数，当自变量满足时，函数的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数在给定区间上的最值，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． 由于二次项系数为正，抛物线开口向上，函数在对称轴处取得最小值，最大值在区间端点处取得，比较端点函数值即可得到最大值． 【详解】解：二次函数的对称轴为， ， 抛物线开口向上，在对称轴上有最小值， 则在区间内，最小值在处，而最大值为端点函数值较大者， 当时，； 当时，； ， 当自变量满足时，函数的最大值为， 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26九年级上·天津西青·阶段练习）已知抛物线经过点 (1)求此抛物线的函数解析式； (2)判断点是否在此抛物线上； (3)求出抛物线上纵坐标为的点的坐标． 【答案】(1)； (2)点B不在此抛物线中； (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数的知识，涉及到待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质以及二次函数的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的性质，此题难度不大． 把点代入抛物线中求得a的值，即可求得此抛物线的解析式； 把代入此函数解析式即可判断； 把代入抛物线的解析式中求得x的值即可． 【详解】（1）抛物线经过点， 把点代入抛物线中：， ， 此抛物线的函数解析式为：； （2）当时，， 点不在此抛物线上； （3）此抛物线上一点的纵坐标为， 把代入此抛物线中得：， ， 此抛物线上纵坐标为的点的坐标为或． 12．（25-26九年级上·福建漳州·期中）已知二次函数，其图象上有不同的两点坐标分别，记y的最小值为p． (1)若，请求出该二次函数图象的顶点坐标． (2)若，求m的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据题意求得对称轴为直线，进而根据抛物线开口向上，结合题意，当，最小值，可得顶点坐标； （2）由（1）可得抛物线的解析式为，代入得出，根据，得出方程，解方程，即可求解； 【详解】（1）解：∵二次函数，其图像上有不同的两点坐标分别为、 ∴对称轴为直线，抛物线开口向上， ∴当，最小值， ∴该二次函数图像的顶点坐标； （2）在的函数图像上， ， ， ， ， ，； 13．（25-26九年级上·上海·期中）在直角坐标系中，点是抛物线的顶点， (1)用配方法求此抛物线顶点的坐标； (2)将上述抛物线平移后顶点坐标为，求平移后的抛物线的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数顶点坐标和函数图象的平移，准确分析计算是解题的关键． （1）先转化成一般形式，再利用配方法变形即可； （2）根据平移后的顶点坐标可得出解析式； 【详解】（1）， ， 顶点坐标为； （2）抛物线平移后顶点坐标为， ． 14．（25-26九年级上·浙江金华·开学考试）抛物线的图象如图． (1)若抛物线的对称轴为直线，与y轴的交点为，当时，求x的取值范围． (2)在（1）的条件下，若此抛物线图象上有两点，求当时，二次函数的值． (3)若此抛物线图象上有两点，当时，函数值与解析式中的哪个系数有关？请说明理由． 【答案】(1)或 (2)函数值 (3)函数值与解析式中的系数c有关，理由见解析 【分析】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，轴对称的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据抛物线的对称轴为直线，与y轴的交点为，得到点关于直线的对称点为，于是得到当时，x的取值范围为或； （2）根据已知条件得到点M与点N关于直线对称，求得，当时，函数的值； （3）由点，得到两点关于对称轴直线对称，求得，当时，代入解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，与y轴的交点为， ∴点关于直线的对称点为， ∴当时，x的取值范围为或； （2）解：∵， ∴点M与点N关于直线对称， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知：当时，函数的值； （3）解：函数值与解析式中的系数c有关， 理由：∵两点， ∴这两点关于对称轴直线对称， ∵， ∴， ∵， ∴当时，， 即函数值与解析式中的系数c有关． 15．（25-26九年级上·北京通州·期中）已知二次函数． (1)将化成的形式：___________； (2)补全表格，则___________，___________； x … 0 m 2 n 4 … y … 0 k 0 … (3)若关于x的方程在的范围内有解，则t的取值范围是___________． 【答案】(1) (2)1，3，图象见解析 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一元二次方程的关系，解一元二次方程，画出函数图象，利用数形结合的数学思想是解决问题的关键． （1）利用配方法将函数解析式进行转换即可； （2）令，即可求得，，然后根据表格中数据描点、连线即可； （3）由题意可知要使得方程在的范围内有解，只需函数与有交点即可，由图可知，符合题意． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：令，，解得：，， ∴，； 则，在坐标系中描点、连线： 故答案为：1，3； （3）∵， ∴， 即：方程的解可看作函数与交点的横坐标， 要使得方程在的范围内有解，只需函数与有交点即可， 由图可得：当时，则，当时，则， 关于x的方程在的范围内有解，则t的取值范围， 故答案为：． 16．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)直接写出点的坐标； (2)在图1中，用无刻度直尺作出点的对应点． (3)在图2中，用无刻度直尺在对称轴上作出点，使的值最小．求点的坐标和的最小值． 【答案】(1)； (2)详见解析； (3)作图见解析，，的最小值为 【分析】本题考查二次函数的图象及性质、待定系数法及两点间线段最短的原理，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． （1）根据二次函数的对称性，即可求解； （2）连接交对称轴于点，连接交二次函数抛物线于点，点即为所求； （3）根据二次函数的对称性，在对称轴上的点，易得，即当、、三点共线时，的值最小，最小值为的长．连接交对称轴于点，点即为所求，连接．先求出直线的解析式，解析式与对称轴的交点即为点的坐标． 【详解】（1）解：点关于对称轴的对称点为点，对称轴是直线， 点为； （2）解：如图所示，连接交对称轴于点，连接交二次函数抛物线于点，点即为所求； （3）解：当时，， 点为， 如图所示，连接交对称轴于点，点即为所求，连接， 点为， ， 点关于对称轴的对称点为点， ， 当、、三点共线时，的值最小，最小值为的长， 设直线的解析式为， 将点、点代入得， 解得， 直线的解析式为， 点在抛物线的对称轴上， ， 则点，的最小值为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题1.3 二次函数的性质 内容总览 1教学目标、教学重难点 知识点01二次函数的性质 2.知识清单 题型o1二次函数y=ax2+bx+c的最值 题型02一次函数、二次函数图象综合判断 题型03反比例函数、二次函数图象综合判断 二次函数的性质 题型04根据二次函数的图象判断式子符号 3.题型精讲 题型05待定系数法求二次函数解析式 题型06已知抛物线上对称的两点求对称轴 题型07根据二次函数的对称性求函数值 题型08利用二次函数的对称性求最短路径 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1.会用配方法熟练将二次函数一般式y=ax2+bx+c化为顶点式y=a(&-h)+k。 教学目标 2.掌握项点坐标、对称轴的推导公式，能快速判断图象特征与函数增减性。 3. 能运用函数性质解决最值相关问题，深化数形结合与化归思想。 1.重点 (1) 熟练掌握一般式化为顶点式的配方法步骤，牢记顶点坐标与对称轴公式。 (2)精准运用二次函数性质，分析图象特征、判断增减性并求解函数最值。 教学重难点 2.难点 (1)理解配方法转化函数形式的本质，灵活处理系数运算避免出错。 (2)结合对称轴与自变量取值范围，精准分析复杂情境下的函数最值。 1/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识清单 知识点01y=ax2+bx+c的图象与性质 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0)图象与性质 函数 y=ax-+bx+c (a>0) y=ax-+bx+c (a<0) 图象的开口方向 向上 向下 b 对称轴 直线易 x=- b 直线2a b 4ac-b2 b 4ac-b2 顶点坐标 2a'4a 2a'4a 二次函数的增减性 函数 y=ax-+bx+c (a>0) y=ax-+bx+c (a<0) U x<- 6 x<- 当 2a时，y随x的增大而增大： 增减性 当2a时，y随x的增大而诚小； b 当 2a时，y随x的增大而增达： X> 当 2a时，y随x的增大而诚小： 二次函数的最值 函数 y=ax-+bx+c (a>0) y=ax2+bx+c (a<0) b 4ac-b2 4ac-D X=- x=- 当 2a时，y有最小值4a 当 2a时，y有最大值4a 最值 无最大值： 无最小值. 【即学即练】1.(2026宁夏银川三模)点A(-2,),B(1,),C(2,)是抛物线y=(x+12+2上的 三点，则，2，的大小关系为() A.当>y2>B.y>>y2 C.y3>y2>y D.y2>>3 2.(2026安徽安庆模拟预测)二次函数y=am2+br+C的部分图象如图所示，其对称轴为直线x=-1, 且图象经过点(-3,0)，则下列结论错误的是() 2/19 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -3 A.abc>0 B.3a+c=0 C.若(-4，)，(3，y2)两点都在二次函数y=axr2+bx+c的图象上，则y> D.若点(m,n)在二次函数y=ax2+bx+c的图象上，则有am2+bm≥a-b 3.(2026江苏苏州中考真题)如图，关于x的二次函数y=x2-2mx+m+1的图像为抛物线C,直线 y=a与抛物线C交于A,B两点，过抛物线C的顶点作x轴的平行线l,过A,B分别作I的垂线，垂足为 M,N.若四边形ABNM为正方形，则a= y=a 题型精讲 题型01二次函数y=ax2+bx+c的最值 【典例1】(26-27九年级全国暑假作业)已知二次函数y=x2-2ax+a2+2,当自变量x满足 a-1≤x≤a+2时，函数y的最小值为2，则a的值为() A.0或2 B.1或3 C.任意实数 D.2或4 【变式1】(26-27九年级全国暑假作业)关于二次函数y=-2x+4x-1,下列说法正确的是() A.图象开口向上 B.对称轴是直线x=-1 C.当x=1时，y有最大值1 D.当x>1时，y随x的增大而增大 【变式2】(26-27九年级全国暑假作业)己知抛物线y=x2-4x+1,当-1≤x≤4时，函数y的最大值是 3/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式3】(2026山东枣庄模拟预测)已知二次函数y=-x+2x+1,当1≤x≤3时，函数的最大值为 4,则u的值为 题型02一次函数、二次函数图象综合判断 【典例1】【变式1】(26-27九年级浙江·暑假作业)若二次函数y=xr+br+c的图象如图所示，则一 次函数y=ax+b图象大致是() VA VA D 【变式1】(25-26九年级下全国课堂例题)如图，函数y=r2-2x+1和y=ax+a(a是常数，且a≠0 )在同一平面直角坐标系中的图象可能是() 4/19 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 卡 【变式2】(26-27九年级全国暑假作业)在同一平面直角坐标系内，一次函数y=-C与二次函数 y=ar2+4x+c的图象可能是() 【变式3】(26-27九年级全国·暑假作业)如图，抛物线y=a2+bx与直线y=mx+n相交于点A(4,-5), B(L,-2),则关于x的方程ax2+bx=mx+n的解为一· B 题型03反比例函数、二次函数图象综合判断 【典例1】(2026山东淄博二模)抛物线y=a心2+hx和双曲线y= ax（ab≠0)在同一直角坐标系中的 图象可能是() 5/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 bc 【变式1】(25-26九年级下：广西崇左·阶段检测)已知一次函数y=ax+c和反比例函数片=x的图象如 图所示，则二次函数为=ar+br+C的大致图象是() B 【变式2】(25-26九年级上河南驻马店期末)一次函数y=x+b与反比例函数y=的图象如图所示， 则二次函数y=ar+br+c的大致图象是() 6/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 【变式3】(2025安徽·一模)如图是直线y=aCx-ab(a,b,c是常数且a≠0，b≠0，c≠0)，则 ab 二次函数y=㎡2+hx+c和反比例函数y=-X在同一平面直角坐标系中的大致图象可能为（） B o 题型04根据二次函数的图象判断式子符号 7/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例1】(2026~山东济宁·二模)已知二次函数y=xr+br+c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：① 2a+b=0:②a-b+c<0:③4a+2b+c>0:④am2+bm>a+b(m≠1)，其中正确的是() x=1 A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④ 【变式1】(25-26九年级下山东烟台期中)二次函数y=ar2+br+c(a≠0)的图象如图所示，下列结论： b ①abc<0:②2a+b<0; ③34+4<2：④若-1<m<n<1,则m+n< .其中正确的结论有() A4个 B.3个 C.2个 D.1个 【变式2】(25-26九年级上山东泰安期末)如图是二次函数y=ar+bx+c(a≠0)图像的一部分，对称 轴为x=2且经过点(2,0)，有下列说法①bc<0:②a+b=0:③4+2b+c<0:④若(0，y),(1,y)是 抛物线上的两点，则=，上述说法正确的是一（填序号）· 【变式3】(25-26九年级下全国单元复习)如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点 对称轴为直线x=1,下列结论：①abc<0:②a-2b+4c=0;③2a+b>0;④a+b≤m(am+b)(其中 m≠1)；⑤b-C>0;正确的结论有一·（填序号） 8/19 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 VA 题型05待定系数法求二次函数解析式 【典例1】(2026江苏扬州：一模)己知抛物线片顶点坐标为(-1,2)，且与少=x的开口方向、形状大小 完全相同，则抛物线的解析式为() A.y=(x-1)+2B.y=(x+1+2C.y=-(x+1)2+2D.y=-(x-1)+2 【变式1】(25-26九年级下河南驻马店期中)若二次函数y=a2的图像过点（山，2），则a的值为 【变式2】(2026河南·一模)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点，与y 轴交于点C(0,3),则该二次函数的解析式为一 【变式3】(2026九年级下山东聊城专题练习)如图，二次函数y=x+bx+C的图象与x轴交于A,B两 点，与y轴交于点C,且关于直线x=1对称，点A的坐标为(-1,0) (1)求二次函数的表达式。 (2)当y<0时，写出x的取值范围. 题型06已知抛物线上对称的两点求对称轴 【典例1】(2026河北张家口三模)抛物线L:y=axr2+br+C(a≠0)经过点(1，-)，(0，-)，(1，)， (2,-),则下列选项中，值不变的是（) 9/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.t-k B C.k-2t D.tk 【变式1】(2025九年级上全国专题练习)已知二次函数y=ax+br+c(a>0)的图象过点 A(,”),B(3,),若点C(山，片)，D(0,),E(6,乃)也在该二次函数图象上，则下列结论正确的是() A.<2<B.y2<y< C.<y<2 D.y<<2 【变式2】(25-26九年级下全国单元复习)抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点是(-1,0)，(3,0)，那么这 条抛物线的对称轴是直线一。 【变式3】(25-26九年级上·河南安阳阶段检测)二次函数y=ax+br+c(a≠0)图象上部分点的坐标满 足下表： 0 8 0 则m= 题型07 根据二次函数的对称性求函数值 【典例1】(25-26九年级上湖北恩施阶段检测)用描点法画二次函数y=ar2+br+c(0)的图象时， 列出了下面的表格： -2 -1 0 -2 从表中信息可得值为() A.0 B.-1 C.-2 D.1 【变式1】(26-27九年级浙江暑假作业)如图，抛物线y=am2+br+c(a>0)的对称轴是直线x=1,且 经过点P3,0),则a-b+c的值为() 2 1 P -10 123x A.0 B.-1 C.2 D.3 10119 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式2】(26-27九年级浙江暑假作业)若A(-4,,B(-3,),C(1,)为二次函数y=(x+2+C的 图象上的三点，则少，，的大小关系是 【变式3】设二次函数y=ar+br+c(a,b,c是常数，a≠0)，如表列出了x,y的部分对应值. -5 -3 y -2.79 -2.79 则方程ax2+br+c=n的解是 题型08利用二次函数对称性求最短路径 【典例1】(26-27九年级浙江暑假作业)如图，抛物线yx-2x-3与y轴交于点A,与x轴的负半轴 交于点B,点M是对称轴上的一个动点，连接AM,BM,则AM+BM的最小值为() A.2 B.V10 C.25 D.32 【变式1】(25-26九年级下·河北单元复习)如图，抛物线y=- x+x+4与x轴交于A,B两点， 4 抛物线上一点，其横坐标为3，C为抛物线对称轴上一动点，连接4C,PC,当PC+AC取得最小值时， tan∠BAC的值为（) A OE A. 3 B.3 3 c D. √2 4 11/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式2】(2026湖南长沙模拟预测)如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-3,0)、B两点，与y轴 交于C(O,3)点，M点在抛物线的对称轴x=-1上，当△MBC周长最小时，点M的坐标为. 【变式3】(2026辽宁·一模)如图.点A(3,0)中，点B是x轴上一动点，以点B为旋转中心，将线段B0 逆时针旋转90°，得到线段BC,连接AC,则线段AC的最小值为一. 强化训练 基础自测 一、 单选题 1.(26-27九年级上海暑假作业)当x=0.5时，y=8x2-4x+1的函数值为() A.0 B.1 C.2 D.3 2.(2026广东·二模)已知二次函数y=ar2-2ax+2(a>0)的图象如图所示，图象与x轴交点的横坐标从 左到右依次为，x2,如果x=m时，y<0,则当x=m-2时，函数值() 12119 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.y=2 B.y<2 C.y>2 D.0<y<2 3.(2026四川成都模拟预测)如图，二次函数y=axr2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(3,0),对 称轴为直线x=1,下列结论中错误的是() X= A.abc>0 B.当x>1时，y随x的增大而增大 C.二次函数图形与x轴的另一个交点的横坐标为-1 D.4a-2b+c<0 k 4.（2026宁夏固原：三模)己知二次函数y=ax2+c（ac≠0)与反比例函数y=x(k≠0)在同一平面 直角坐标系中的图象如图所示，则一次函数y=c一a的大致图象是() 之人 5. (2026陕西西安模拟预测)已知关于x的二次函数y=2ax2-4x+3,当x=1时，该二次函数有最大 13119 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 值.若该函数图象经过两点A心，y),B3-1,,),且0<1<2，则下列关系正确的是() A.出>2 B.y<2 C.y=2 D.H≥2 二、填空题 6.(24-25九年级上云南昭通阶段检测)已知二次函数图象经过点(3,2)和(1,2)，那么该二次函数图象 的对称轴是直线 7.(26-27九年级浙江暑假作业)抛物线y=a2+bx+2经过点(-2,3)，则2a-b= 8.(2026广东珠海三模)二次函数y=ax2+br+C(a≠0)的最小值为-3，当x>1时，y随x增大而增大， 请写出一个满足条件的二次函数解析式 (请写项点式)· 9.(2026上海模拟预测)若抛物线y=x'-6mx+6m2+5m+3的顶点在直线y=x+2上，且位于第二象限， 则m的值为. 10.(2023九年级山东枣庄·专题练习)二次函数y=ar+br+C(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点 （-1,0),对称轴为直线x=2,下列结论：(1)abc<0:(2)4a+c>2b:(3)3b-2c>0:(4)若点 -2、点- 2、点 2)在该函数图象上，则y<为<乃，：(5)4a+2b≥m(am+b)（m为 常数).其中正确的结论有一个 三、解答题 11.(2425九年级上湖北省直辖县级单位·期中)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+bx+3与x 轴相交于A,B两点，点B的坐标为(3,0)，若点C(2,3)在抛物线上. 14119 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (1)求该抛物线的解析式： (2)通过配方，求此抛物线的对称轴和顶点坐标」 12.(25-26九年级下·全国课后作业)己知二次函数y=x2-4x+2. (1)求出函数顶点坐标： (2)当x>2时，y随x的增大而 (填“增大”或“减小”)： (3)当1≤x≤4时，Y的取值范围为 13.(2026安徽合肥二模)抛物线片=x2+x+n的顶点纵坐标与抛物线2=-x-mx的顶点纵坐标之和为 1. (1)求n的值. (2)已知A(,)为抛物线y=x+m+n上一点，B(P,9)为抛物线乃=-x2-mx上一点. ()若仅存在一个实数5，使得S+t=0,求当p+q=0时，卫的值： (ii)若p=s+2,且t+9=1,求p+9的最小值 14.(2026云南昆明·二模)已知抛物线y=x2+bx+5,当x<-1时，y随x的增大而减小，当x>-1时， y随x的增大而增大，记H=m-2m m3 (1)求b的值： (②)若点M(m,3m+7)(m≠0)在该抛物线上，当t≤x≤t+2时，函数的最大值与最小值之差为6H,求1的值， 15.(2026河南平顶山三模)定义：对于一个函数，如果存在自变量。=m时，其对应的函数值%=m, 那么我们称该函数为“不动点函数”，点(m,m)为该函数图象上的一个不动点.例如：在函数y=x中， 当x=1时，y=1,则我们称函数y=x2为“不动点函数”，点(，)为该函数图象上的一个不动点.某数学 兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究 ()对一次函数y=+b(k≠0)进行探究后，得出下列结论： ①y=x+2是“不动点函数”，且只有一个不动点： 15119 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②y=-3x+2是“不动点函数”，且只有一个不动点； ③y=x是“不动点函数”，且有无数个不动点 以上结论中，你认为正确的是 (填写正确结论的序号)· 该兴趣小组继续对二次函数进行探究，并设计了以下问题，请你解答. (2)若抛物线y=x2-2bx+c的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b,c满足的关系式. (3)在(2)的条件下，当0≤x≤2时，对应函数的最大值与最小值的差为5，请求出b,c的值. 能力提升 一、单选题 1.(25-26九年级上安徽阜阳期中)将抛物线y=x向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度， 所得抛物线的解析式是() A.y=(x+5)+1B.y=(x+5-1C.y=(x-5)2+1D.y=(x-5)2-1 2.(25-26九年级上山东济南期中)已知二次函数y=5(x-3+2,下列说法中错误的是() A.其图象的开口向下 B.函数的最小值为2 C.其图象的对称轴为直线x=3 D.其图象的顶点坐标为(3,2) 3.(25-26九年级上云南昆明期中)已知点P(-4,),M(-2,2),N(3,)在二次函数 y=-2(x+)/+C的图象上，则y,‘,的大小关系是() A.y<2<B.<2< C.y3<y<y2 D.y<y3<y2 4.(25-26九年级上广东惠州期中)如图，二次函数y=ar2+bx+c(a≠0)的图像与x轴的一个交点坐标 为1,0)，对称轴为直线x=-1,下列四个结论中，错误的是() A.abc<0 B.4a-2b+c<0 C.2a+b=0 D.当-3<x<1时，axr2+bx+c<0 16119 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.(25-26九年级上福建福州期中)抛物线y=r2+br+C(a≠0)图像上有两点(m,p)(n,p),当 x=m+n时，函数值y与哪个值有关() A.a B.b C.c D.a,b和c 二、填空题 6.(25-26九年级上江苏苏州期中)已知抛物线y=(x-1-3如图1所示，现将抛物线在x轴下方的部 分沿x轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图2.当直线y=m与新图象有四个交点时，m的取 值范围是 图1 图2 7.(25-26九年级上上海期中)将抛物线y=2x2-1向右平移3个单位，所得抛物线的表达式是 8.(25-26九年级上内蒙古乌兰察布期中)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，以下结论中：①ab>0 ②3a+c<0；③b:c=1:4;④a-c>0;⑤4ac-b2>-4a.其中正确的结论序号为 4 9.(25-26九年级上·青海西宁·期中)已知四个二次函数的图像如图所示，那么a,a2,4,a4的大小关 系是 (请用“>”连接排序) y=a.x =ax 10.(25-26九年级上辽宁大连期中)已知二次函数y=x-4x-3,当自变量x满足-2≤x≤5时，函数y 17119 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的最大值为 三、解答题 11.(25-26九年级上天津西青·阶段练习)已知抛物线y=ax2经过点A(-2,-8) (1)求此抛物线的函数解析式： (②)判断点B(1,-4)是否在此抛物线上： (3)求出抛物线上纵坐标为-18的点的坐标. 12.(25-26九年级上·福建漳州期中)己知二次函数y=ax2+bx+c(a>0),其图象上有不同的两点坐标分 别(m,),(2-m,m),记y的最小值为卫. (1)若p=一4，请求出该二次函数图象的项点坐标. (2)若n-p=9a,求m的值 13.(25-26九年级上上海期中)在直角坐标系中，点P是抛物线y=2(2-x(x+)的顶点， (1)用配方法求此抛物线顶点P的坐标： (②)将上述抛物线平移后顶点坐标为Q(0,),求平移后的抛物线的表达式。 14.(25-26九年级上·浙江金华开学考试)抛物线y=ax+bx+c的图象如图. -10 ()若抛物线的对称轴为直线x=1,与y轴的交点为(0,2)，当y<2时，求x的取值范围。 (2)在(1)的条件下，若此抛物线图象上有两点M(:,-2025),N(:,-2025),求当x=x+x,时，二次函数 的值 (3)若此抛物线图象上有两点(：，m),(x2,m),当x=x+x2时，函数值与解析式中的哪个系数有关？请说明 理由 15.(25-26九年级上北京通州期中)已知二次函数y=-x2+4x-3. 18119 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 2 1 方4321012345市 -2 -4 -5h (1)将y=-x2+4-3化成y=a(x-h)2+k的形式： (2)补全表格， 则m= -,n= (m<n): 0 L 2 y -3 0 0 -3 (3)若关于x的方程-x+4x-3-t=0在0<x<3的范围内有解，则t的取值范围是 16.(25-26九年级上湖北武汉阶段练习)如图，抛物线y=ar+bx+3(a≠0)与x轴交于A,B两点，与 y轴交于点C,已知点A的坐标是(-l,0),抛物线的对称轴是直线x=1. B B 图1 图2 (1)直接写出点B的坐标： (2)在图1中，用无刻度直尺作出C点的对应点D, (3)在图2中，用无刻度直尺在对称轴上作出点P,使PA+PC的值最小.求点P的坐标和PA+PC的最小 值. 19119