第五章 圆（单元测试·提升卷）数学鲁教版五四制九年级下册

2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第五章 圆·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 第I卷（选择题） 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.如图，一块直角三角板的斜边与量角器的直径重合，点对应的刻度值为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握并灵活运用圆周角定理是解题的关键． 根据题意，点、、、在同一圆上，设圆心为点，根据圆周角定理求出的度数，从而求出的度数即可． 【详解】解：直角三角板的斜边与量角器的直径重合，且， 点、、、在同一圆上，如图所示： 设圆心为点， ， ， ． 故选：B． 2.如图，为的外接圆，，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键． 求得，根据圆周角定理即可求得，即可得出结论． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：C． 3.如图，圆锥的底面圆半径，高，则圆锥的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算及勾股定理的应用，解题的关键是先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再代入侧面积公式计算． 由圆锥的底面半径和高，利用勾股定理求出母线长；再根据圆锥侧面积公式（乘以底面半径乘以母线长）计算侧面积． 【详解】解：圆锥的母线长， 圆锥的侧面积为． 故选：A． 4.如图，为半圆的直径，将半圆绕点顺时针旋转，使点恰好旋转到点的位置，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算及旋转的性质，根据题意，将阴影部分的面积转化为扇形的面积，再结合扇形的面积公式进行计算即可，熟知旋转的性质及扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：如图： 由旋转可知，旋转前后半圆面积相等，即， ∴， ∴， ∵， ∴扇形的面积为：，即阴影部分的面积为， 故选：C． 5.如图，在中，，O为边上一点，以O为圆心的圆经过A、C两点，与交于点D，若D为的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质，根据等边对等角和圆内接四边形的性质得到，即可得到，根据对应边成比例得到，进而解答即可． 【详解】解：∵D是的中点， ∴， 设与圆O交于点E，连接，， 则， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6. 如图，内有一内接正五边形，点为劣弧上的任意一点（不与端点重合），则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形，圆的内接四边形，能够正确作出辅助线是解题关键； 连接，通过正五边形性质求出，进而求出，最后利用圆的内接四边形对角互补计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵正五边形， ∴， ∴， ∵为圆的内接四边形， ∴， 故选：C． 7.如图，为的弦，点在上，，，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理及圆周角定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理． 设与的交点为，由得到，圆周角定理可得，进而得到，所以，在中，根据勾股定理构造方程，即可求出的长． 【详解】解：如图，设与的交点为， 为的弦，为半径，且，， ． ， ， ， 在中，． 设，则， ， ， 解得（负值舍去）， ． ， ． 故选B． 8.如图，将半径为6的沿折叠，与垂直的半径交于点D且，则折痕的长为（　　） A． B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键；延长交于点，连接，构造直角三角形， 然后根据勾股定理求出的长． 【详解】解：延长交于点，交于点F，连接， ， 为的中点， ，， ， 由折叠的性质可知：， ， 在中，由勾股定理可得：， ． 故选：B． 9.如图，在平面直角坐标系中，的圆心为坐标原点，半径为，若直线与相交，则的取值范围为（   ）    A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、解直角三角形，关键是求出圆心到直线的距离； 求出直线与圆相切时的值，即可得出结论． 【详解】解：如图，设直线与相切，且与轴交点为，与轴交点为，过O点作于，则C为切点， 当时，，当时，， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，直线切于点， ∴， ∵， ∴， 即， ∴若直线与相交，则. 故选：B．      10.如图，四边形为边长为4的正方形，的半径为2，P为上一动点，则的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理、相似三角形的性质和判定、正方形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 连接，在上取一点，使得，只要证明∽，推出，再根据三角形的三边关系即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，在上取一点，使得，则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴∽， ∴， ∴， ∴， ∵， 在中，， ∴的最小值为5． 故选：B． 第II卷（非选择题） 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.如图，的周长为，正六边形内接于．则的面积为 【答案】 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，等边三角形的判定，直角三角形的边角关系是正确解答的关键．求出圆的半径，根据正六边形的性质以及直角三角形的边角关系进行计算即可． 【详解】解：设半径为，由题意得， 解得， 正六边形内接于， ， ， 是正三角形， ，， 弦所对应的弦心距为， 的面积为， 故答案为：． 12.如图，经过A，B两点的与相切于点A，与边相交于点E，为的直径，，连接，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】此题重点考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、切线的性质、圆周角定理等知识，推导出及是解题的关键． 由，得，则，由切线的性质得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：， ， ， 为的直径，与相切于点， ， ， ， ， 故答案为：． 13.如图，在直角坐标系中，与x轴相切于点B，为的直径，点C在函数的图象上，D为y轴上一点，的面积为7，则k的值为 ． 【答案】28 【分析】根据题意设，再利用圆及切线性质得点C的坐标为，由反比例函数中k的几何意义得，由三角形面积公式得到，即，继而得到，进而可求出k的值． 本题主要考查根据图形面积求比例系数（解析式），圆的性质，切线性质定理等，熟练掌握反比例函数中k的几何意义是解题的关键． 【详解】解：设，的半径为r， ∴， ∵与x轴相切于点B， ∴轴， ∴点C的坐标为， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴， ∵的面积为7， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：28． 14.如图，把矩形纸片分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，若该圆锥的高为，则圆锥底面半径的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键． 设圆锥底面半径，，再根据题意可得，得到，再根据勾股定理求解即可． 【详解】设圆锥底面半径，， 又扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面， 所以，解得，即圆锥母线长， 所以该圆锥的高， 解得． 故答案为：． 15.如图，一个长方形木板（其中，，）在桌面上作无滑动的顺时针方向翻滚，点A从A变化至再变化至，其中第二次翻滚时被桌面上另一个小木块挡住，且使木板与桌面成30°角，那么A翻滚至时，共经过的路径长为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了弧长的计算，找到旋转中心以及旋转角度是解题的关键．根据题意，可知第一次是以为旋转中心，以长为半径旋转， 第二次是以为旋转中心，以为半径旋转，然后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：如图所示： ∵木板与桌面成30°角，垂直于桌面， ∴， ∵第一次是以为旋转中心，以长为半径旋转， ∴此次走过的路径是， ∵第二次是以为旋转中心，以为半径旋转，， ∴此次点走过的路径是， ∴点两次共走过的路径是， 故答案为：． 16.在正方形中，边长为4，点M是平面内一动点，且满足，为的中点，点M运动过程中，线段长度的最小值是 ． 【答案】 【分析】先根据中位线的性质得出，再得出点N在以O为圆心，以1为半径的圆上运动，然后利用正方形的性质和勾股定理求得，再求得的取值范围，从而可得的最小值为． 【详解】解：连接，取的中点O，连接，， ∵N为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴点N在以O为圆心，以1为半径的圆上运动， 在正方形中，， ∴的取值范围为， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）已知的半径为4，点P到圆心O的距离为d，且d满足方程，试判断点P与的位置关系． 【答案】点P在内 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，掌握点到圆心的距离与圆的半径的关系是关键． 首先解方程，得或，即或．已知的半径，根据点与圆的位置关系判定即可． 【详解】解：解方程， 因式分解得，， 所以或， 解得或，即或， 已知的半径，当时，，点P在圆内；当时，，点P也在圆内． ∴无论d取何值，点P都在内． 答案：点P在内． 18．（6分）如图，某铜镜残片呈圆弧形，测得圆弧的两端A，B之间的距离为，上的点到弦的最大距离为． (1)用无刻度的直尺和圆规作出铜镜残片所在圆的圆心； (2)求该铜镜所在圆的半径． 【答案】(1)见解析 (2)该铜镜所在圆的半径为 【分析】本题考查了圆的基本性质，几何作图能力，及勾股定理的应用，灵活利用圆的基本性质和勾股定理是解题的关键． （1）根据圆的圆心在任意弦的垂直平分线上，这一性质，通过作两条不同弦的垂直平分线，其交点即为圆心． （2）利用“圆的半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形”，结合已知条件列方程求解即可． 【详解】解：（1）如图所示 （2）如图，设的垂直平分线与圆弧交点为D，则点D是到弦距离最大的点，连接，，交于点； 设圆的半径为，由垂径定理得，，∴， 在中，由勾股定理得：， 解得： 即该铜镜所在圆的半径为． 19.（8分）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点． (1)求证：． (2)连接．若，求的度数． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）连接，如图所示，由同弧所对的圆周角相等得到，再由内心性质得到，，结合外角性质得到，再由，等量代换即可得到，结合等腰三角形的判定与性质即可得证； （2）由（1）知，再由圆周角定理及三角形内角和定理可得，再由三角形内心的性质得到，，然后在中，由三角形内角和定理代值计算即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ， ， 点是的内心， 平分，平分， ，， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ； （2）解：连接，如图所示： 由（1）知， ， 在中，由三角形内角和定理可得， 点是的内心， 平分，平分， ，， 在中， ． 20．（8分）如图，在中，，的平分线交于点D，的平分线交于点E．以上的点O为圆心，为半径作，恰好过点E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由题意可知，可知，易证得，可知，由，易知，进而可证得结论； （2）由角平分线的性质可知，可得，进而可求得，，，，由，可证得，进而可得，求得，即为的半径． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， 由题意可知， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图所示，过点作于点F， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， 解得， ∴的半径为． 21.(10分)如图，是的直径，点C是上异于A，B的一动点，点E为的中点．作，垂足为点F，连接并延长交的延长线于点P． (1)求证：； (2)如图2，延长交于点M，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）连接，由点为的中点得，可得；由直径所对圆周角是直角可证明，由得，从而可证得，故可得结论； （2）连接．设，可得，，在中，由勾股定理得，再证明，得，由勾股定理得，再证明，可得出． 【详解】（1）证明：如图1，连接． 点为的中点， ， ． 是直径， ， ． ， ， ， ， ． （2）解：如图2，连接．设． ， ． ， ． 在中，， ∴， 解得或（舍去）． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴，即， ∴， ∴， ， ， ． ， ，， ， ， ． 22.（10分）图①是某摩天轮的实景图．摩天轮可视作半径为的，其上的某个座舱可视作上的点，座舱距离地面的最低高度为，地面上的观察点到点的距离为，平面示意图如图②所示．（结果均保留小数点后一位数字，参考数据：，，，，） (1)当视线与相切时，求点处的座舱到地面的距离． (2)已知摩天轮匀速转动一周需要，当座舱距离地面不低于时，在座舱中观赏风景的体验最佳．点处的座舱随摩天轮匀速转动一周的过程中，求该座舱中乘客最佳观赏风景的时长，并求这段时间内该座舱经过的圆弧的长． 【答案】(1) (2)最佳观赏风景的时长为，． 【分析】（1）要计算A处到地面的距离，思路是连接半径OA，作垂线构造直角三角形，结合勾股定理、三角函数求出相关线段长度与角度，进而计算A到地面的垂直距离． （2）要计算观赏时间与弧长，思路是先确定高度不低于85m时的位置，通过直角三角形边角关系求出对应圆心角，再结合摩天轮的转动周期算观景时间，最后用弧长公式计算弧长． 【详解】（1）解：如图①，连接，，过点作，垂足为． 根据题意可知，． 在中，，，即， ， 在中，， ． 与相切， ， ． 在中，， ， ， ， ， 在中，． 故点A处的座舱到地面的距离约为． （2）解：如图②，过点作，交于点，延长，交于点，连接，， 不妨设． ， ， ． ， ， ． ，， ， ， 最佳观赏风景的时长为，． 故该座舱中乘客最佳观赏风景的时长为，这段时间内该座舱经过的圆弧的长约为． （12分）如图，四边形内接于，对角线是的直径，，的延长线交于点G，，于点E，交于点F，于点H． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：； (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3) 【分析】（1）由圆内接四边形的性质得出，再结合题意得出，即可得证； （2）先证明得出，连接、，再证明即可得证； （3）由勾股定理可得，证明，求出，，从而可得，再证明，设，，则，求出，证明是的中位线，得出，再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：在圆内接四边形中，， ， ， ，， ， ， ∴是等腰三角形； （2）证明：，， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ∴AF=DF， 连接、， ，，， ∴， ， ； （3）解：，， ， ，， ∴， ∴，即， 解得， ， ∴， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，，则， 解得， ∵于点H， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， 在中，由得，， 解得， ∴． 24．（12分）如图1，是的直径，弦，垂足为，为上一点，连接，，． (1)求证：； (2)如图2，，， ①若恰好经过圆心，求线段的长； ②如图3，为上的一个动点，作，连接，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①，②的最小值为． 【分析】（1）根据垂径定理可得，进一步可得答案. （2）①证明，设的半径为，由勾股定理可得，求解，可得，再进一步求解即可； ②如图，由，取的中点，则在以为圆心，为半径的圆上，连接，当三点共线时，最小，连接，，设交于点，证明，得出,，再进一步求解即可. 【详解】（1）证明：∵是的直径，弦， ∴， ∴. （2）解：①∵是的直径，弦，， ∴， 设的半径为， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴； ②如图，∵， ∴， 取的中点，则在以为圆心，为半径的圆上， ∴当三点共线时，最小， 连接，，设交于点， ∵分别为的中点， ∴ ∴ ∴ ∴, 在中， ∴ ∴ 又∵ ∴的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第五章圆能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 8 9 10 6 B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.√5 12.18° 13.28 14.1 15.3.5元 16.2√2-1 三、解答题（共8小题，共72分） 17.(6分) 【详解】解：解方程x2-4x+3=0, 因式分解得，（x-1(x-3)=0, 所以x-1=0或x-3=0,(2分) 解得x=1或x=3,即d=1或d=3, 已知⊙O的半径r=4,当d=1时，d=1<4,点P在圆内；当d=3时，d=3<4,点P 也在圆内.(5分) 无论d取何值，点P都在⊙O内.(6分) 18.(6分)【详解】解：(1)如图所示 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3分) B (2)如图，设AB的垂直平分线与圆弧交点为D,则点D是到弦AB距离最大的点，连接 OD,OA,OD交AB于点E; D 设圆的半径为心m,由垂径定理得0D1AB,4E=4B=8cm,:0E=0D-DE=r-6cm 在Rt△A0E中，由勾股定理得：r2=82+(r-6),(4分) 解得：r=25 cm(5分) 即该铜镜所在圆的半径为5。 m.(6分) 19.(8分)【详解】(1)证明：连接BE,如图所示： CD=CD' D LDAC=∠DBC,(1分) :点E是ABC的内心， BE平分∠ABC,AE平分∠BAC, 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 六∠CBE=∠ABE=∠ABC,∠BAE=∠CAB=∠BAC, 2 2 :∠DAC=∠DBC, :LBAE=∠DBC, :∠BED是△ABE的一个外角， .∠BED=∠ABE+∠BAE, LDBE=∠DBC+LCBE, ∠DBE=∠DEB,(3分) DE=DB;(4分) (2)解：连接CE,如图所示： D 由(1)知LDAC=LCBD=32°， :∠BAC=2∠CAD=2x32°=64°，(5分) 在ABC中，由三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°-64°=116°， :点E是ABC的内心， :BE平分∠ABC,CE平分∠ACB, ∠CBE=∠ABE=ABC,∠BCE=∠ACE=)∠ACB,(6分) 2 在△BCE中，∠BEC=I80°-∠CBE-∠BCE 日180°∠ABC-7∠ACB 2 e1o-i<aBc+乙4c8 =180°-x116 2 =122°.(8分) 20.(8分)【详解】(1)证明：如图所示，连接OE, 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C B 由题意可知OD=OE, .LOED=∠0DE,(1分) :DE平分∠ADC, :ZCDE Z0DE :Z0ED ZCDE ·.OE CD,(2分) 又：∠ACB=90°， .LAE0=∠ACB=90°，即OE⊥AC,(3分) :OE是⊙0的半径， AC是⊙0的切线；(4分) (2)解：如图所示，过点D作DF⊥AB于点F, B D :AD平分∠BAC,DF⊥AB,∠ACB=90°， :CD=DF, :CD=l2,tan∠ABC=3 BF DF 22=16 an∠ABc=3 4 BD=VDF2+BF2=20,(5分) .BC=CD+BD=32, AC=BC.tan∠ABC=24, AD=AC2+CD2=125,( 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OE CD, .△AE0∽△ACD, C08,即：巴125-0D_25-0 EO AO 12 12√5 125 解得E0=15-35,(7分) ⊙0的半径为15-35.(8分) 21.(10分)【详解】(1)证明：如图1，连接AE. D E :点E为BC的中点， B 图1 .CE BE, ∠CAE=LBAE=∠CBE.(1分) :AB是直径， ∠AEB=90°， :∠ABE+∠EAB=90°.(2分) :CF⊥AB, ∠PFB=90°， ∠P+∠PBF=90°， LP=LPBC,(4分) CP=CB.(5分) (2)解：如图2，连接AE.设BF=x, 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M E tan∠p= BF 1 PF 2' 图2 :PF =2x. CP=CB,CF=4, :CB PC=PF-CF=2x-4. 在RtaBCF中，BC2=BF2+CF2, .(2x-4)2=x2+42, 解得x=?或x=0(舍去 BF7分 :CF⊥AB, .∠AFC=∠CFB=90°， .∠CAF+∠ACF=90°， :AB是⊙0的直径， ∠ACB=90°，即∠ACF+∠BCF=90°， :ZCAF ZBCF .BCF∽CAF, ..CF2=AF.BF, AF=3, AC=VAF2+CF2=5.(9分) ∠AEB=∠AEM=90°， :∠AME+∠EAM=90°，∠ABE+∠EAB=90°， ∠AME=∠ABE, 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AM AB, .CM=AB-4C=3410-5-10 31 .(10分) 22.(10分)(1)解：如图①，连接OA,0D,过点A作AE⊥CD,垂足为E. 图① 根据题意可知，0C=0B+BC=50+10=60m :在aODC中，DC=80m,0C⊥DC,即∠0CD=90°， :0D=VDC2+0C2=V802+602=100m, :在Rt△0DC中，tan∠0DC=0C=60=3 CD804' ∠0DC≈36.87°.(2分) DA与⊙0相切， .OA⊥AD, ∠0AD=90°. :在Rt△OAD中，0A=50m, sim∠ODA=O4=1 0D=2 :∠0DA=30°， 4D=0D-c0s30°=100x5 50V3m, ∠ADE=∠0DA+∠0DC=30°+36.87°=66.87°，(4分) :在RtAADE中，AE=AD.sin∠ADE=50V3×sin66.87°≈79.6m. 故点A处的座舱到地面的距离约为79.6m,(5分) (2)解：如图②，过点A作AF∥CD,交O0于点F,延长CO,交AF于点H,连接0F ,0A, 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A D C 图② 不妨设CH=85m. :0C⊥CD, OH⊥AF, 0H=CH-0B-BC=85-50-10=25m.(6分) .0A=50m, ∴.cos∠AOH= OH 1 0A2 ∠A0H=60°. :0H⊥AF,OA=0F, :∠A0H=∠F0H=60°， :∠A0F=120°，(7分) 120° :最佳观赏风景的时长为 30=10min,aF_120rx50≈104.7m.(9分) 360° 180 故该座舱中乘客最佳观赏风景的时长为10min,这段时间内该座舱经过的圆弧的长约为 104.7m.(10分) 23.(12分) 【详解】(1)证明：在圆内接四边形ABCD中，∠DAB+∠BCD=180°， :∠BCG+∠BCD=180°， .∠DAB=∠BCG, :∠ACD=∠BCG,∠ACD=∠ABD, :∠ABD=∠DAB,(2分) :AD BD △ABD是等腰三角形；(4分) (2)证明：：∠DAB=∠BCG,∠ACD=∠BCG, LDAB=∠ACD, :AC是00的直径， 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 LADC=90°， LADE+∠CDE=90°，(5分) :DF⊥AC, :∠DEC=90°， .∠ADE=∠ACD, ∠DAB=∠ADE, .AF=DF,(6分) 连接0D、0F, D :OA=OD,AF=DF,OF=OF, △AOF≌aD0F(SSS),(7分) :AF =DF, :OE=OH;(8分) (3)解：：AD=8,CD=6, AC=AD2+CD2=10, :∠DAE=∠CAD,∠AED=∠ADC, .△AED∽△ADC, .AC_AD 即10-8 8 AE' 解得AE=6.4, .0H=0E=AE-A0=6.4-5=1.4, ∴AH=VA02-0H2=4.8, BH=AH=4.8,(9分) :∠GCB+∠BCD=180°，∠DHB+∠BCD=180°， .∠GCB=∠DHG, :∠BGC=∠DGH, ACBG△DHG, 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BG CG HGD 设BG=x, CG=y,则4.8+x6+y y 解餐y兰 (10分) :OH⊥AB于点H, :AH =BH, :A0=C0, .OH是ABC的中位线， .BC=20H=2.8,(11分) 在RtaBCG中，由BC2+BG2=CG得，2.82+x2 精x希 ·BG=56 15 (12分) 24.(12分) 【详解】(1)证明：：AB是⊙0的直径，弦CD⊥AB, :BC=BD, .∠M=∠BCD.(3分) (2)解：①AB是OO的直径，弦CD⊥AB,CD=8, :CE=DE=4, 设00的半径为r, .0A=0B=0C=0M=r, AE=2, .0E=r-2, r2=42+(r-22, 解得：r=5,(5分) .CM=10,BE=8, .BC=V82+42=4W5,(6分) :CM是O0的直径， 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第五章 圆·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 第I卷（选择题） 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.如图，一块直角三角板的斜边与量角器的直径重合，点对应的刻度值为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2.如图，为的外接圆，，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3.如图，圆锥的底面圆半径，高，则圆锥的侧面积是（    ） A． B． C． D． 4.如图，为半圆的直径，将半圆绕点顺时针旋转，使点恰好旋转到点的位置，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 5.如图，在中，，O为边上一点，以O为圆心的圆经过A、C两点，与交于点D，若D为的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 6. 如图，内有一内接正五边形，点为劣弧上的任意一点（不与端点重合），则的度数是（    ） A． B． C． D． 7.如图，为的弦，点在上，，，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8.如图，将半径为6的沿折叠，与垂直的半径交于点D且，则折痕的长为（　　） A． B． C．6 D． 9.如图，在平面直角坐标系中，的圆心为坐标原点，半径为，若直线与相交，则的取值范围为（   ）    A． B． C． D．或 10.如图，四边形为边长为4的正方形，的半径为2，P为上一动点，则的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D． 第II卷（非选择题） 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.如图，的周长为，正六边形内接于．则的面积为 12.如图，经过A，B两点的与相切于点A，与边相交于点E，为的直径，，连接，若，则的度数为 ． 13.如图，在直角坐标系中，与x轴相切于点B，为的直径，点C在函数的图象上，D为y轴上一点，的面积为7，则k的值为 ． 14.如图，把矩形纸片分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，若该圆锥的高为，则圆锥底面半径的长为 ． 15.如图，一个长方形木板（其中，，）在桌面上作无滑动的顺时针方向翻滚，点A从A变化至再变化至，其中第二次翻滚时被桌面上另一个小木块挡住，且使木板与桌面成30°角，那么A翻滚至时，共经过的路径长为 ．（结果保留） 16.在正方形中，边长为4，点M是平面内一动点，且满足，为的中点，点M运动过程中，线段长度的最小值是 ． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）已知的半径为4，点P到圆心O的距离为d，且d满足方程，试判断点P与的位置关系． 18．（6分）如图，某铜镜残片呈圆弧形，测得圆弧的两端A，B之间的距离为，上的点到弦的最大距离为． (1)用无刻度的直尺和圆规作出铜镜残片所在圆的圆心； (2)求该铜镜所在圆的半径． 19.（8分）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点． (1)求证：． (2)连接．若，求的度数． 20．（8分）如图，在中，，的平分线交于点D，的平分线交于点E．以上的点O为圆心，为半径作，恰好过点E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 21.(10分)如图，是的直径，点C是上异于A，B的一动点，点E为的中点．作，垂足为点F，连接并延长交的延长线于点P． (1)求证：； (2)如图2，延长交于点M，若，，求的长． 22.（10分）图①是某摩天轮的实景图．摩天轮可视作半径为的，其上的某个座舱可视作上的点，座舱距离地面的最低高度为，地面上的观察点到点的距离为，平面示意图如图②所示．（结果均保留小数点后一位数字，参考数据：，，，，） (1)当视线与相切时，求点处的座舱到地面的距离． (2)已知摩天轮匀速转动一周需要，当座舱距离地面不低于时，在座舱中观赏风景的体验最佳．点处的座舱随摩天轮匀速转动一周的过程中，求该座舱中乘客最佳观赏风景的时长，并求这段时间内该座舱经过的圆弧的长． 23.（12分）如图，四边形内接于，对角线是的直径，，的延长线交于点G，，于点E，交于点F，于点H． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：； (3)若，，求的长． 24．（12分）如图1，是的直径，弦，垂足为，为上一点，连接，，． (1)求证：； (2)如图2，，， ①若恰好经过圆心，求线段的长； ②如图3，为上的一个动点，作，连接，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第五章 圆·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 第I卷（选择题） 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.如图，一块直角三角板的斜边与量角器的直径重合，点对应的刻度值为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，为的外接圆，，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3.如图，圆锥的底面圆半径，高，则圆锥的侧面积是（    ） A． B． C． D． 4.如图，为半圆的直径，将半圆绕点顺时针旋转，使点恰好旋转到点的位置，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 第4题图 第5题图 第6题图 5.如图，在中，，O为边上一点，以O为圆心的圆经过A、C两点，与交于点D，若D为的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 6. 如图，内有一内接正五边形，点为劣弧上的任意一点（不与端点重合），则的度数是（     ） A． B． C． D． 7.如图，为的弦，点在上，，，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 第7题图 第8题图 第9题图 8.如图，将半径为6的沿折叠，与垂直的半径交于点D且，则折痕的长为（　　） A． B． C．6 D． 9.如图，在平面直角坐标系中，的圆心为坐标原点，半径为，若直线与相交，则的取值范围为（   ） A． B． C． D．或 10.如图，四边形为边长为4的正方形，的半径为2，P为上一动点， 则的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D． 第II卷（非选择题） 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 如图，的周长为，正六边形内接于．则的面积为 . 第11题图 第12题图 第13题图 12. 如图，经过A，B两点的与相切于点A，与边相交于点E，为的直径，，连接，若，则的度数为 ． 13.如图，在直角坐标系中，与x轴相切于点B，为的直径，点C在函数的图象上，D为y轴上一点，的面积为7，则k的值为 ． 14.如图，把矩形纸片分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，若该圆锥的高为，则圆锥底面半径的长为 ． 第14题图 第15题图 第16题图 15.如图，一个长方形木板（其中，，）在桌面上作无滑动的顺时针方向翻滚，点A从A变化至再变化至，其中第二次翻滚时被桌面上另一个小木块挡住，且使木板与桌面成30°角，那么A翻滚至时，共经过的路径长为 ．（结果保留） 16.在正方形中，边长为4，点M是平面内一动点，且满足，为的中点，点M运动过程中，线段长度的最小值是 ． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）已知的半径为4，点P到圆心O的距离为d，且d满足方程，试判断点P与的位置关系． 18．（6分）如图，某铜镜残片呈圆弧形，测得圆弧的两端A，B之间的距离为，上的点到弦的最大距离为． (1)用无刻度的直尺和圆规作出铜镜残片所在圆的圆心； (2)求该铜镜所在圆的半径． 19.（8分）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点． (1)求证：． (2)连接．若，求的度数． 20．（8分）如图，在中，，的平分线交于点D，的平分线交于点E．以上的点O为圆心，为半径作，恰好过点E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 21.(10分)如图，是的直径，点C是上异于A，B的一动点，点E为的中点．作，垂足为点F，连接并延长交的延长线于点P． (1)求证：； (2)如图2，延长交于点M，若，，求的长． 22.（10分）图①是某摩天轮的实景图．摩天轮可视作半径为的，其上的某个座舱可视作上的点，座舱距离地面的最低高度为，地面上的观察点到点的距离为，平面示意图如图②所示．（结果均保留小数点后一位数字，参考数据：，，，，） (1)当视线与相切时，求点处的座舱到地面的距离． (2)已知摩天轮匀速转动一周需要，当座舱距离地面不低于时，在座舱中观赏风景的体验最佳．点处的座舱随摩天轮匀速转动一周的过程中，求该座舱中乘客最佳观赏风景的时长，并求这段时间内该座舱经过的圆弧的长． 23.（12分）如图，四边形内接于，对角线是的直径，，的延长线交于点G，，于点E，交于点F，于点H． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：； (3)若，，求的长． 24．（12分）如图1，是的直径，弦，垂足为，为上一点，连接，，． (1)求证：； (2)如图2，，， ①若恰好经过圆心，求线段的长； ②如图3，为上的一个动点，作，连接，求的最小值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $