专题3.5 圆内接四边形 正多边形（6大题型+高效培优讲义）数学新教材浙教版九年级上册

本讲义聚焦圆内接四边形与正多边形核心知识点，系统梳理圆内接四边形的定义、对角互补及外角等于内对角的性质，正多边形的中心、半径、中心角等概念及计算方法，承接圆周角知识，构建定义-性质-应用的学习支架。 该资料通过典例与变式分层设计题型，结合烯分子结构、古建筑纹样等跨情境实例，培养学生推理意识与几何直观，尺规作图环节提升空间观念，练习题覆盖不同难度，课中辅助教师高效教学，课后助力学生查漏补缺。

专题3.5 圆内接四边形 正多边形 教学目标 1. 理解圆内接四边形、四边形外接圆的定义，掌握圆内接四边形对角互补、外角等于内对角的性质，能运用性质完成角度计算与简单证明。 2. 认识正多边形概念，理清正多边形与圆的内在联系，掌握中心、半径、中心角等概念，会计算中心角、内角。 3. 经历性质探究过程，发展逻辑推理能力，能在几何图形中综合运用本节知识，体会转化思想，提升分析几何综合题的能力。 教学重难点 1.重点 （1）圆内接四边形的概念与核心性质，熟练运用对角互补、外角等于内对角进行角度推导与几何证明，实现圆周角相关知识的综合运用。 （2）正多边形与圆的关系，掌握正多边形相关概念，熟练开展中心角、内角计算，理解正六边形外接圆半径与边长相等的特殊规律。 2.难点 （1）在复杂几何图形中识别圆内接四边形，灵活利用性质实现角的等量转化，区分四点共圆条件，解决综合性几何推理问题。 （2）理解正多边形依托圆生成的原理，结合半径、边心距构造直角三角形进行计算，灵活运用正多边形性质解决圆的相关综合题型。 知识点01 圆内接四边形 1.圆的内接四边形：如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆． 2. 圆内接四边形的性质：圆的内接四边形的对角互补． 【即学即练】1．（2026·新疆昌吉·模拟预测）如图，四边形内接于，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆内接四边形的外角等于内对角求出的度数，再利用圆周角定理求出的度数． 【详解】解：∵四边形内接于，是四边形的外角， ， ∵， ∴， ∵ 与是同弧所对的圆周角和圆心角， ∴． 2．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，四边形内接于，连接，，若，则的度数为________． 【答案】/60度 【分析】根据圆内接三角形的性质得到，由圆周角定理得到，据此求解即可． 【详解】解：四边形内接于， ， ， ， ， 解得：． 3．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图，经过原点，且与轴交于点，点、在上，已知，，则的半径为__________． 【答案】 【分析】先根据圆内接四边形的性质得出，再利用三角形的内角和定理得出，进一步得出，最后利用勾股定理求值即可． 【详解】解：经过原点，且与轴交于点， ． 四边形是圆内接四边形， ． ， ，为的直径， ， ． 在中， ，且为的直径， 的半径为． 知识点01 正多边形 1.正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心．外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．作相等的圆心角就可以等分圆周，从而得到相应正多边形． 2.每个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，正多边形的边心距就是内切圆的半径．研究正多边形往往构造等腰三角形，并结合勾股定理、三角函数等解决． 【即学即练】4．（2026·山东泰安·三模）如图，在边长为6的正六边形中，以点为圆心，以的长为半径作，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】B 【分析】先求出正六边形的一个内角的度数，进而求出扇形的圆心角的度数，过点作，求出的长，再利用圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，进行求解即可． 【详解】解：∵正六边形， ∴，， ∴，， ∴， 过点作于点，则：， 设圆锥的底面圆的半径为，则：， ∴． 5．（2026·云南红河·一模）五十六个民族共同组成了中华民族大家庭，如同烯分子中的微粒像足球一样团结在一起．一个烯分子由12个正五边形、20个正六边形组成（如图①所示）．如图②，在正六边形中，连接，若，则正六边形的边长为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】B 【分析】本题考查了正六边形的性质；解题的关键是掌握正六边形对顶点连线（长对角线）的长度等于边长的2倍．由正六边形的对称性知对顶点连线经过中心，长度为2倍边长，由直接求得边长为9． 【详解】解：设正六边形的边长为， 正六边形的六个顶点均匀分布在圆周上，中心角为， 正六边形的对顶点连线（长对角线）经过中心，长度为边长的2倍， 为正六边形的一组对顶点， ， ， ， ． 6．（2026·上海闵行·三模）已知正多边形一个内角的度数是，那么该正多边形中心角的度数是_____． 【答案】 【分析】先利用内角与外角互为邻补角求出外角的度数，再根据多边形外角和定理求出正多边形的边数，最后根据正多边形中心角的性质计算中心角度数． 【详解】解：该正多边形的一个内角为， 该正多边形的一个外角为， 任意多边形的外角和为， 该正多边形的边数， 正多边形的中心角和为， 该正多边形的中心角为． 题型01 已知圆内接四边形求角度 【典例1】（2026·贵州黔东南·三模）如图，点A、B、C、D在上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆内接四边形的性质可得，再根据圆周角定理可得，再结合题目已知进行列方程组求解即可． 【详解】解：在四边形中，， ∵， ∴， 由图可得，，且， ∴， 解得． 【变式1】（26-27九年级·江苏·暑假作业）如图，在中，，，为上的任意一点，，，，是上的四个点，则的角度为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质求出的度数，根据圆内接四边形的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴． 【变式2】（25-26九年级下·江苏盐城·期末）如图，四边形内接于，若，则的度数为_________ ． 【答案】/100度 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∴． 【变式3】（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，________． 【答案】 14 【分析】根据圆内接四边形的性质求出，根据直径所对的圆周角是直角得出，然后根据计算即可. 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， 又， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴. 题型02 求四边形外接圆的直径 【典例1】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）正方形的边长为2，则正方形外接圆的直径是（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】考查了正多边形和圆以及正多边形的性质，解决本题的关键是理解正方形外接圆直径为正方形的对角线长．明确正方形外接圆直径为正方形的对角线长，求出对角线长即可． 【详解】解：正方形外接圆直径为正方形的对角线长． 正方形的边长为2， 正方形的对角线长为， 外接圆直径为． 故选：D． 【变式1】（25-26九年级上·四川泸州·期末）如图，四边形的四个顶点均在上，，若是的中点，且，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，利用方程解决问题，熟练掌握相关知识是解题的关键；连接，设的半径为，根据垂径定理得，列关于半径的方程求解即可． 【详解】解：连接，设的半径为， 则，， ，， ， 是的中点， ， ， 在中，， 解得， 即的半径为， 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·河北唐山·阶段检测）已知关于x的一元二次方程的两个根分别是矩形的长和宽，则这个矩形的外接圆的直径是______________． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系，矩形外接圆的性质等知识，设矩形的长和宽分别为a、b，根据根与系数的关系得到，利用勾股定理得到矩形的对角线长，再利用完全平方公式和整体代入的方法可计算出矩形的对角线长，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵一个矩形的长和宽分别是一元二次方程的两个实数根， ∴设矩形的长和宽分别为a、b，则， ∴矩形的对角线长， ∴这个矩形的外接圆的直径是， 故答案为：． 【变式3】（23-24九年级上·江苏扬州·阶段检测）已知四边形中，，，，试判断A、B、C、D四点是否在同一个圆上，并说明理由．      【答案】在，见解析 【分析】连接，在中，利用勾股定理求得的长，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形即可证得． 【详解】连接，    在中，， ∴， 在中， ， ∴ ∴， ∴A、B、C、D四点在同一个圆上． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，直角三角形的三个顶点在以斜边为直径的圆上． 题型03 求正多边形的中心角 【典例1】（2026·辽宁盘锦·模拟预测）若正五边形绕着它的中心旋转一定的角度后与原来位置重合，则这个角度可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形的旋转对称性，正n边形绕中心旋转后与自身重合，最小旋转角度为． 【详解】解：∴正五边形的最小旋转角为， ∴当旋转角度是的整数倍，即可与原位置重合， 选项中只有符合要求． 【变式1】（25-26九年级下·广西防城港·期中）如图，是的内接正边形的一边，点在上．若，则的值是（     ） A．10 B．12 C．14 D．15 【答案】B 【分析】先根据圆周角定理求出圆心角的度数，再根据正边形的中心角公式求出的值即可． 【详解】解：∵是的圆周角，是的圆心角，且， ∴． ∵是的内接正边形的一边， ∴， 解得． 【变式2】（25-26八年级下·甘肃张掖·阶段检测）如图，多边形是正八边形，点M是延长线上一点，连接，则的度数为________． 【答案】/112.5度 【分析】设点O为正八边形的外接圆圆心，连接，则，求出正八边形中心角，再利用三角形内角和定理求出，最后再利用平角的定义求解即可． 【详解】解：如图所示，设点O为正八边形的外接圆圆心，连接， 则， ∵， ∴， ∴． 【变式3】（2026·黑龙江绥化·中考真题）如图，有一个亭子，它的地基是边长为的正六边形，则这个正六边形地基的面积是_________（计算结果保留根号）． 【答案】 【分析】连接正六边形的中心与各顶点，可将正六边形分割成个全等的等边三角形，求出其中一个等边三角形的面积，再乘以即可得到正六边形的面积． 【详解】解：如图，设正六边形的中心为， 连接、， 过点作于点 多边形是正六边形 ， 是等边三角形 在中，由勾股定理得： 正六边形的面积为： ． 题型04 已知正多边形的中心角求边数 【典例1】（2026·广东中山·二模）如图，在正边形中，，则的值是（     ） A．8 B．9 C．10 D．18 【答案】B 【分析】根据圆周角定理，得到，再根据中心角的计算公式求出的值即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴. 【变式1】（2026·河南濮阳·一模）如图，是内接正边形的一条边，，这个正边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用等腰三角形的定义结合三角形内角和定理求出，即可求出，再利用多边形内角和公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴这个正边形的内角和是． 【变式2】（25-26七年级下·山西长治·期末）大疆航拍无人机在距地面相同的高空，沿正多边形航线飞行完成拍摄任务，它到达正多边形的每个顶点时需要转动才能继续沿该正多边形的边飞行，则这个正多边形的边数为__________． 【答案】 【分析】根据题意可知无人机在顶点处转动的角度即为正多边形的外角，利用多边形的外角和定理列式计算即可求解． 【详解】解：设这个正多边形的边数为， 根据题意，无人机到达正多边形的每个顶点时需要转动， 即该正多边形的每个外角为， 由多边形的外角和等于， 得． 【变式3】（2026·浙江绍兴·二模）如图，在中，弦，分别是的内接正三角形和内接正方形的一条边，连接，也是的内接正n边形的一条边，则n的值是________． 【答案】12 【分析】连接、、，如图，利用正多边形与圆，分别计算的内接正四边形与内接正三角形的中心角得到，，则，然后计算即可得到n的值． 【详解】解：连接、、，如图， ∵，分别为的内接正三角形和内接正方形的一条边， ∴，， ∴， ∵也是的内接正n边形的一条边， ∴． 题型05 正多边形和圆的综合 【典例1】（2026·安徽·二模）如图，一个正多边形中心点为正多边形的中心，，若，则这个正多边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于，根据正多边形的性质得出，根据圆周角定理得出，根据含角的直角三角形的性质得出，根据正多边形所有中心角和为，得出该正多边形为正十二边形，根据正十二边形的面积为即可得出答案． 【详解】解：如图所示，过点作于， ∵是正多边形的中心， 、都是正多边形外接圆的半径，、是正多边形的相邻顶点，在外接圆上， ， ，和是外接圆的圆心角和圆周角， ， ∴， 正多边形所有中心角和为， 正多边形的边数为，即该正多边形为正十二边形， ， 正十二边形的面积为． 【变式1】（2026·江苏徐州·二模）在一次射箭比赛中，使用的靶盘是一个边长为2的正六边形．靶盘中心有一个圆形区域，该圆恰好是正六边形的内切圆．若运动员射出的箭都能落在靶盘内，且落在靶盘内各点的机会均等，则箭落在圆形区域内的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设切边于点H，连接，，，则，根据六边形是正六边形得到是等边三角形，因此，，求出，进而得到，，根据几何概型得到箭落在圆形区域内的概率为即可求解． 【详解】解：设切边于点H，连接，，，则， ∵六边形是正六边形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴在中，， ∴， ， ∴， ∴箭落在圆形区域内的概率为． 【变式2】（2026·安徽阜阳·模拟预测）如图，正方形是的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则的度数是___________． 【答案】/45度 【分析】根据正方形的性质可得，再根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得，从而求解． 【详解】解：四边形是的内接正方形， ， 与都是所对的圆周角， ． 【变式3】（2026·福建福州·模拟预测）如图，正七边形，连接对角线，交于点，则的度数为________． 【答案】 【分析】作正七边形的外接圆，证明得出，再证明，求出，然后根据求解即可． 【详解】解：如图，作正七边形的外接圆， ∵正七边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型06 尺规作图--正多边形 【典例1】（25-26九年级上·北京·课堂例题）如图，已知，求作：内接正六边形，以下是甲、乙两同学的作业： 甲：①先作直径；②作的垂直平分线交于点、；③作的垂直平分线交于点、；④依次连接，六边形即为所求（如图①）． 乙：①上任取点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；②以点为圆心，为半径画弧交于点；③同上述作图方法逆时针作出点、、；④依次连接，多边形即为正六边形（如图②）． 对于两人的作业，下列说法正确的是（    ） A．两人都不对 B．甲对，乙不对 C．两人都对 D．甲不对，乙对 【答案】C 【分析】由甲同学的作业可知，，同理可知，由乙同学的作业可知．依次画弧可得．进而即可判断 【详解】由甲同学的作业可知，，同理可知， 六边形是正六边形，即甲同学的作业正确． 由乙同学的作业可知．依次画弧可得． 六边形为正六边形，即乙同学的作业正确． 故选C 【点睛】本题考查了正多边形的尺规作图，掌握正多边形与圆的相关知识是解题的关键． 【变式1】（2024·山东潍坊·模拟预测）如图，在⊙O中，MF为直径，OA⊥MF，圆内接正五边形ABCDE的部分尺规作图步骤如下： ①作出半径OF的中点H． ②以点H为圆心，HA为半径作圆弧，交直径MF于点G． ③AG长即为正五边形的边长、依次作出各等分点B，C，D，E． 已知⊙O的半径R＝2，则AB2＝__．（结果保留根号） 【答案】 【分析】连接AG，由作图可知，OA＝2，H为OF中点，可求OH=，由勾股定理得AH＝，可求OG＝﹣1，由勾股定理AB2＝AG2＝OA2+OG2＝4+（﹣1）2＝10﹣2即可． 【详解】解：连接AG，由作图可知，OA＝2，OH＝1，H为OF中点， ∴OH=， 在Rt△OAH中，由勾股定理 ∴AH＝， ∵AH＝HG＝， ∴OG＝GH﹣OH＝﹣1， 在Rt△AOG中，由勾股定理得， ∴AB2＝AG2＝OA2+OG2＝4+（﹣1）2＝10﹣2． 故答案为：10﹣2． 【点睛】本题考查尺规作圆内接正五边形的方法与步骤，线段垂直平分线，勾股定理，作圆弧，掌握圆内接正五边形的方法与步骤，线段垂直平分线，勾股定理，作圆弧的方法是解题关键． 【变式2】（25-26九年级下·全国·课后作业）利用尺规作图，作出已知圆的内接正方形和内接正六边形． 【答案】 【分析】设已知圆为，半径为，作的内接正方形：过圆心作任意直径，作的垂直平分线，交于、两点，顺次连接、、、，四边形即为的内接正方形． 作的内接正六边形：将圆规两脚的间距调整为的半径，在上任取一点，以为圆心，为半径画弧，交于点、点，以为圆心，为半径画弧，交于点；重复该步骤，依次得到交点，，顺次连接，，，，，，六边形即为的内接正六边形． 【详解】略 【变式3】（2026·甘肃白银·一模）【文化阅读】甘肃境内遗存众多古塔（如图1为宁县湘乐砖塔），其塔刹基座或内部藻井常装饰有精美的正六边形几何纹样，这些纹样均绘制在一个完美的圆形基面上．在文物修复现场，工匠往往只能找到带有部分纹样痕迹的圆弧形残片，应用“定圆心，画六方”的技法来复原正六边形几何纹样，展现了古人“以理定形”的营造智慧． 【知识溯源】“定圆心、画六方”技法在我们的教科书中也有呈现： ①定圆心：在圆弧上任取两条弦，作两条弦的垂直平分线，相交于点O，即为该圆的圆心O； ②画六方：因圆内接正六边形的边长等于外接圆的半径R，所以在半径为R的圆上，依次截取等于R的弦，可将圆六等分，进而作出圆内接正六边形． 【知识迁移】某修复工作现场收集到的一块圆弧形残片（示意图如图2，弧线部分为原圆形基面的边缘），请你利用无刻度直尺和圆规，在图2中依据这块圆弧形残片完成其对应正六边形纹样的复原设计图．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】在圆弧上任意取两条不平行的弦，分别用无刻度直尺和圆规作这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是该圆的圆心O，同时确定圆的半径R；以O为圆心、R为半径，用圆规补出完整的圆；在圆上任取一点A，以R为半径，用圆规在圆上依次截取，得到B、C、D、E、F六个等分点，顺次连接这六个点，就得到圆内接正六边形． 【详解】解：如图，正六边形纹样的复原设计图即为所求． 一、单选题 1．（2026·江苏南京·二模）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∵是所对的圆周角， ∴的度数 = ． 2．（2026·重庆·二模）如图，四边形为的内接四边形，，的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的内接四边形对角互补求解即可． 【详解】∵四边形为的内接四边形， ∴ ∵ ∴． 3．（2026·北京顺义·二模）如图，，是上两点，，．若，是正边形的两条邻边，则的值为（     ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】作出圆心，连接，由圆周角定理得到，利用弦相等则弧相等得出 ，最后根据正多边形中心角公式求解． 【详解】解：作出圆心，连接 ∴ ∴ 是正边形的两条邻边 正边形的一边所对的圆心角为 ． 4．（2026·甘肃白银·三模）如图，已知四边形是的内接四边形．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆内接四边形对角互补的性质求出的度数，再利用圆周角定理求出的度数． 【详解】解：四边形是的内接四边形， ， ， ， 和是同弧所对的圆心角与圆周角， ． 5．（2026·福建福州·模拟预测）小明捡到一个量角器碎片，按如图的方式测量的度数，他让点落在量角器圆弧上，并将角的两边与量角器圆弧的交点分别记为，．若点，对应的刻度分别为、，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接设的直径为，根据角的和差关系求出的度数，根据圆周角定理求出的度数，再根据圆内接四边形的性质，求出的度数即可. 【详解】解：连接设的直径为，如图， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴． 二、填空题 6．（2026年5月福建省漳州市龙海区浮宫中学九年级练习试卷）如图，为的一条弦，且，C为劣弧上一点，连接，则的度数为_____． 【答案】/120度 【分析】在优弧上构造圆周角，利用同弧所对圆周角等于圆心角的一半求出该角，再利用圆内接四边形对角互补求出． 【详解】解：在优弧上任取一点，连接，． ， ． 四边形内接于 ， ， ． 7．（2026·北京房山·二模）如图，点、、、在上，．若，则_________°． 【答案】 【分析】连接，由圆内接四边形的性质得，再根据等弧所对的圆周角相等即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ． ∵， ． 8．（2026·陕西·一模）如图，四边形内接于是的直径，连接．若的半径为2，，则的长为_____． 【答案】 【分析】连接，根据圆内接四边形的性质，圆周角定理，得到为等腰直角三角形，进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵是的直径，的半径为2， ∴， ∵四边形内接于，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 9．（2026·福建厦门·模拟预测）如图，边长为2的正六边形的中心为，则该正六边形的边心距为______． 【答案】 【分析】如图：连接，过O作于H，易得是等边三角形，然后根据等边三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：连接，过O作于H， ∵点O是正六边形的中心，且正六边形的边长为2， ∴,, ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，即该正六边形的边心距为． 10．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）拙政园的天泉亭因亭内正中一口元代古井——天泉井而得名，天泉亭形制为重檐八角攒尖亭，从亭子正上方俯瞰，呈正八边形（如图），图中是由绕着点按逆时针方向旋转一定角度得到，则旋转角的度数为________． 【答案】 【分析】根据正八边形的性质求出中心角的度数，结合旋转的性质确定旋转角为，即可求解． 【详解】解：∵ 俯视图呈正八边形， ∴ 正八边形的中心角为 ， 即 ， ∵ 是由 绕着点按逆时针方向旋转得到的， ∴ 线段 旋转后的对应线段为 ，线段旋转后的对应线段为， ∴ 旋转角为， ∴ 旋转角 ． 三、解答题 11．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，四边形是的内接四边形，点G在边的延长线上． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) 解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴； (2) 【分析】本题主要考查圆内接四边形，同弧或等弧所对圆周角相等，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）根据圆内接四边形的性质求解即可； （2）根据圆内接四边形的性质得到，则，由同弧所对圆周角相等即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 12．（25-26九年级上·河南安阳·期末）如图，在中，，以为直径作，与相交于点．连接，与相交于点，连接，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，根据已知可得，根据圆周角定理可得，进而根据圆内接四边形对角互补，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴ 13．（四川绵阳市游仙区2025-2026学年九年级下学期学情自测数学试题）如图，四边形内接于一圆，是边的延长线． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到，根据同角的补角相等证明结论； （2）根据圆周角定理得到，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】（1）证明：∵四边形内接于圆， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 14．（2026·天津北辰·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B均在格点上． （1）线段的长为________； （2）若点A，B，C是圆上的点，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，满足，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）________ 【答案】 取圆与格线的交点,取格点，连接,其中交圆于，连接，交于点，连接并延长交圆于，连接交于，连接并延长，交圆于点，即为所求点． 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）取圆与格线的交点,取格点，连接,其中交圆于，连接，交于点，连接并延长交圆于，连接交于，连接并延长，交圆于点，即为所求点． 【详解】解：（1）； （2）图略． 取圆与格线的交点,取格点，连接,其中交圆于，连接，交于点， 因为， 所以为直径，所以为圆心， 连接并延长交圆于，所以为直径， 连接交于，连接并延长，交圆于点，连接， 根据作图可知垂直平分，点和点关于对称，则，故， ∵， ∴． 15．（2026·江苏南京·二模）如图，在中，过，，三点的交于点． (1)求证； (2)若点为中点，，，求的半径． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形 ∴ ∵四边形是的内接四边形 ∴ 又∵ ∴ 又∵ ∴ ∴； (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，根据圆内接四边形的性质可得，得出，根据等角对等边，即可得证； （2）过点作于点，过点作于点，交于点，则四边形是矩形，根据为中点，得出，根据，求得，进而勾股定理求得，设，则，进而在，中，勾股定理分别表示出，根据建立方程，求得的值，进而求得的半径． 【详解】（1）略 （2）如图，过点作于点，过点作于点，交于点，则四边形是矩形， ∵为中点， ∴ 由（1）可得， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ 在中， ∴ 设，则 ∵， ∴， ∴ 在中，， 在中，, ∵ ∴ ∴ 解得： ∴，即的半径为． 一、单选题 1．（25-26九年级下·河南信阳·阶段检测）如图，甲同学利用尺规作图找到了一件圆形“青花瓷盘”文物瓷片的圆心，点，，均在圆弧上，经测量得，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】补全整个圆，进而根据圆周角定理作答即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴． 2．（2026·贵州遵义·一模）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆内接四边形的性质得出，求出，由圆周角定理得出． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 3．（2026·江苏连云港·二模）如图，正六边形内接于，点P是上的任意一点，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、，根据正六边形的性质求出圆心角的度数，再利用圆周角定理即可求出的大小 【详解】解：连接、，如图所示： 六边形是正六边形， ， 点是上的任意一点，是所对的圆周角， ． 4．（2026·安徽阜阳·三模）如图，五边形是的内接正五边形，过点E作交于点F，连接，下列结论错误的是（     ） A． B．F是的中点 C．是的直径 D． 【答案】D 【分析】连接，首先求出，求出，得到，即可判断C；求出，然后利用圆周角定理求出，即可判断A；求出，得到，即可判断B；由直径得到，求出即可判断D． 【详解】解：如图，连接 ∵五边形是的内接正五边形， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴是的直径，故C正确； ∴ ∴，故A正确； ∴ ∴ ∴F是的中点，故B正确； ∵是的直径， ∴ ∵ ∴． 5．（2026·浙江温州·三模）如图，已知四边形内接于，连接，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据圆内接四边形的对角互补求出的度数，再根据圆周角定理求出的度数． 【详解】解：四边形内接于， ， ， ， 与是同弧所对的圆心角与圆周角， ． 二、填空题 6．（2026·江苏盐城·模拟预测）如图，是四边形的外接圆，连接，，若，则______． 【答案】/140度 【分析】根据圆内接四边形的性质可得，再由圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵是四边形的外接圆，， ∴， ∴． 7．（2026·陕西咸阳·二模）如图，点为正八边形的中心，连接、，则的度数为_________． 【答案】90 【详解】解：根据正多边形的性质，正n边形的每个中心角为， ． 8．（2026·河南南阳·一模）金砖国家（）是一个国际组织，创始成员国包括：巴西、俄罗斯、印度、中国．如图①是金砖国家的图标，可近似看作如图②所示的圆及其内接正五边形，则的度数为__________． 【答案】 【分析】先利用正五边形内接于圆的性质，算出每段等弧的度数为，再依据圆周角定理，得出所对弧的圆周角为． 【详解】解：∵正五边形内接于圆，将整个圆五等分， ∴每段相等的弧的度数为：，即所对的圆心角度数为， ∵是圆周角，所对弧， ∴． 9．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，内接于，点M是弦的中点，连接．若，则的度数为________． 【答案】 【分析】连接，根据圆的内接四边形的性质，圆心角与圆周角关系，垂径定理推论，求解即可． 【详解】解：如图，在优弧上任取点F，连接， 则四边形是的内接四边形， ， ， ， ， ∵点M是弦的中点，， ． 10．（2026·陕西西安·三模）如图四边形内接于，，，，则的周长为_____． 【答案】 【分析】连接，，，作交的延长线于点，半径，根据圆周角定理和圆内接四边形的性质，得，，再根据勾股定理，可求出，求出半径，最后利用周长公式计算即可． 【详解】解：如图，连接，，，作交的延长线于点， 设半径， ， ， 在中，， 四边形内接于， ， ， ， ，，， 在中，， ， 在中，， ， 解得， 则的周长为：． 三、解答题 11．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，四边形内接于，是的直径，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题关键．先根据圆内接四边形的性质可得，则可得，再根据圆周角定理求解即可得． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴． 12．（24-25九年级下·江西九江·开学考试）请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，圆内多边形是矩形，请作出该圆的圆心；点 即为所求； (2)在图2中，圆内正多边形是正五边形，请作出垂直的直径．线段 即为所求． 【答案】(1)作图见解析， (2)作图见解析， 【分析】本题考查了矩形的性质，垂径定理，圆周角定理；熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）连接，，交点即为圆心． （2）延长交于点，作射线交圆于点，则即为所求． 【详解】（1）解：如图1，连接，，相交于点，则点即为所求． （2）解：如图2，延长交于点，作射线交圆于点，则即为所求． 13．（25-26九年级上·吉林辽源·阶段检测）如图，的内接四边形两组对边的延长线分别交于点E、F． (1)若，求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查圆的内接四边形，三角形的内角和及外角定理，对顶角相等，解题的关键是熟知三角形的内角和及圆内接四边形的性质． （1）根据对顶角与三角形的外角定理即可求解； （2）根据圆内接四边形得到，再根据三角形的内角和及外角定理即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ∵， ； （2）∵四边形是的内接四边形，， ∴， ． ，且， ∴, ， ∵， ． 14．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，正六边形内接于，半径为．    (1)求的长度； (2)若G为的中点，连接，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，，根据正六边形的性质可得，再根据圆的半径都相等可得是等边三角形，进而可求解． （2）连接，，由为的直径，得，利用勾股定理及中点的性质即可求解． 【详解】（1）解：连接，，如图：   六边形是正六边形， ， 又，是的半径，且半径为， ， 是等边三角形， ． （2）连接，，如图：    则为的直径， ，， 由（1）得：， 在中，， ， G为的中点， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查了正多边形的性质、等边三角形的判定及性质、勾股定理及圆周角，熟练掌握基础知识，借助适当的辅助线解决问题是解题的关键． 15．（2026·安徽宿州·二模）如图，四边形内接于，于E，平分，延长交于F，分别交，于G，H． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据圆周角定理得到，证明，即可得到结论． （2）根据圆内接四边形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据补角的定义即可得到答案． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， 和是所对的圆周角，和是所对的圆周角， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：四边形内接于， ， ， ， ， ， ． 16．（2026·内蒙古通辽·三模）如图，四边形内接于，延长，相交于点，是上一点，交于点，且，． (1)若，，求的度数； (2)求证：； (3)若，，求的周长． 【答案】(1) (2)证明：， ， 由（1），知， ， 即， ， ， ， ； (3) 【分析】（1）根据弦相等，对应弧相等得到，根据同弧或等弧所对圆周角相等得到，再由三角形外角和的性质即可求解； （2）根据等边对等角得到，结合（1）得到，再根据同弧或等弧所对圆周角相等，角的等量代换得到，由此即可求解； （3）如图，过点作，垂足为，由垂径定理得到，根据内接四边形的性质得到，则，由勾股定理得到，再根据三角形的周长的计算，线段的等量代换得到的周长为线段的长，由此即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ，                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                ； （2）略 （3）解：如图，过点作，垂足为， ， ， ， ， 四边形内接于， ， ， ， 同理，可得， ， ， ， ， 解得． 的周长， 的周长为． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，垂径定理，勾股定理，同弧或等弧所对圆周角相等，等边对等角等知识的综合，掌握以上知识，合理作出辅助线是关键． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题3.5圆内接四边形正多边形 内容总览 1教学目标、教学重难点 知识点01圆内接四边形 2.知识清单 知识点02正多边形 题型01已知圆内接四边形求角度 圆内接四边形正 题型02求四边形外接圆的直径 多边形 题型03求正多边形的中心角 3.题型精讲 题型04已知正多边形的中心角求边数 题型05正多边形和圆的综合 题型06尺规作图-正多边形 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1.理解圆内接四边形、四边形外接圆的定义，掌握圆内接四边形对角互补、外角等 于内对角的性质，能运用性质完成角度计算与简单证明。 2.认识正多边形概念，理清正多边形与圆的内在联系，掌握中心、半径、中心角等 教学目标 概念，会计算中心角、内角。 3.经历性质探究过程，发展逻辑推理能力，能在几何图形中综合运用本节知识，体 会转化思想，提升分析几何综合题的能力。 1.重点 (1)圆内接四边形的概念与核心性质，熟练运用对角互补、外角等于内对角进行角 教学重难点 度推导与几何证明，实现圆周角相关知识的综合运用。 (2)正多边形与圆的关系，掌握正多边形相关概念，熟练开展中心角、内角计算， 1/18 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 理解正六边形外接圆半径与边长相等的特殊规律。 2.难点 (1)在复杂几何图形中识别圆内接四边形，灵活利用性质实现角的等量转化，区分 四点共圆条件，解决综合性几何推理问题。 (2)理解正多边形依托圆生成的原理，结合半径、边心距构造直角三角形进行计 算，灵活运用正多边形性质解决圆的相关综合题型。 知识清单 知识点01圆内接四边形 1.圆的内接四边形：如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这 个圆叫做四边形的外接圆. 2.圆内接四边形的性质：圆的内接四边形的对角互补 【即学即练】1.(2026新疆昌吉模拟预测)如图，四边形ABCD内接于⊙O,∠DCE=60°，则 ∠BOD=() D B A.120° B.130° C.140° D.150° 2.(2026陕西咸阳模拟预测)如图，四边形ABCD内接于⊙0，连接OA,OC,若∠AOC=∠ADC,则 ∠ABC的度数为 D 3.(25-26九年级上甘肃张掖期末)如图，⊙A经过原点0，且与x轴交于点C(6,0),点B、D在⊙A上， 已知∠0BC=135°，∠0CD=90°，则⊙A的半径为. 2/18 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 知识点01正多边形 1.正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心.外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对 的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。作相等的圆 心角就可以等分圆周，从而得到相应正多边形. 2.每个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，正多边形的边心距就是内切圆的半径.研究正多边形往往 构造等腰三角形，并结合勾股定理、三角函数等解决. 【即学即练】4.(2026山东泰安三模)如图，在边长为6的正六边形ABCDEF中，以点F为圆心，以 FB的长为半径作BD,剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为() A.1 B.3 C.25 D.3 5.(2026云南红河·一模)五十六个民族共同组成了中华民族大家庭，如同烯分子(C0)中的微粒像足球 一样团结在一起.一个烯分子由12个正五边形、20个正六边形组成（如图①所示）.如图②，在正六边 形ABCDEF中，连接BE,若BE=I8,则正六边形ABCDEF的边长为() 图① 图② A.6 B.9 C.12 D.18 6.(2026上海闵行·三模)已知正多边形一个内角的度数是150°，那么该正多边形中心角的度数是 3/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型精讲 题型01已知圆内接四边形求角度 【典例1】(2026贵州黔东南三模)如图，点A、B、C、D在⊙0上，若∠1+∠2=110°，则∠B的度数 为() A.55° B.60° C.65° D.70° 【变式1】(26-27九年级江苏暑假作业)如图，在⊙0中，AB川CD,∠BCD=100°，E为⊙0上的任 意一点，A,B,C,D是⊙0上的四个点，则∠AEC的角度为() .0 A.110° B.70° C.80 D.100° 【变式2】(25-26九年级下江苏盐城期末)如图，四边形ABCD内接于⊙0，若∠C=130°，则∠B0D 的度数为， B 【变式3】(25-26八年级下·江苏南京期末)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙0的直径， 连接CE,若LBAD=104°，∠DCE=°. 4/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 题型02求四边形外接圆的直径 【典例1】(23-24九年级上：海南省直辖县级单位期末)正方形的边长为2，则正方形外接圆的直径是( A.2 B.4 c.√2 D.2√2 【变式1】(25-26九年级上四川泸州期末)如图，四边形ADBC的四个顶点均在⊙0上，AB=AC，若 D是AB的中点，且DE=2,AC=8,则⊙O的半径为() D A.3 B.4 c.5 D.6 【变式2】(25-26八年级上：河北唐山阶段检测)已知关于x的一元二次方程x2-5x+5=0的两个根分别 是矩形的长和宽，则这个矩形的外接圆的直径是 【变式3】(23-24九年级上江苏扬州阶段检测)已知四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3,BC=4, CD=√21，AD=2,试判断A、B、C、D四点是否在同一个圆上，并说明理由. B 5/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型03 求正多边形的中心角 【典例1】(2026辽宁盘锦·模拟预测)若正五边形绕着它的中心旋转一定的角度后与原来位置重合，则 这个角度可以是() A.36 B.72° C.90° D.180° 【变式1】(25-26九年级下广西防城港期中)如图，AB是⊙0的内接正n边形的一边，点C在⊙0上. 若∠ACB=15°，则n的值是() A B A.10 B.12 C.14 D.15 【变式2】(25-26八年级下甘肃张掖阶段检测)如图，多边形ABCDEFGH是正八边形，点M是DE延 长线上一点，连接AE,则∠AEM的度数为 【变式3】(2026黑龙江绥化中考真题)如图，有一个亭子，它的地基是边长为4m的正六边形，则这个 正六边形地基的面积是 m2(计算结果保留根号)· 题型04已知正多边形的中心角求边数 【典例1】(2026广东中山二模)如图，在正n边形中，∠ADB=20°，则n的值是() 6/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.8 B.9 C.10 D.18 【变式1】(2026河南濮阳·一模)如图，AB是⊙0内接正n边形的一条边，∠0BA=72°，这个正n边形 的内角和是() B A.900° B.1080° C.1440° D.1800° 【变式2】(25-26七年级下·山西长治·期末)大疆航拍无人机在距地面相同的高空，沿正多边形航线飞行 完成拍摄任务，它到达正多边形的每个顶点时需要转动36°才能继续沿该正多边形的边飞行，则这个正多 边形的边数为， 【变式3】(2026浙江绍兴二模)如图，在⊙0中，弦AB,AC分别是⊙0的内接正三角形和内接正方 形的一条边，连接BC,BC也是OO的内接正n边形的一条边，则n的值是 B 题型05正多边形和圆的综合 【典例1】(2026安徽二模)如图，一个正多边形中心点0为正多边形的中心，0A=1,若∠ACB=15°， 则这个正多边形的面积为() 7/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A.1 B.3 C.π D.3 【变式1】(2026江苏徐州：二模)在一次射箭比赛中，使用的靶盘是一个边长为2的正六边形ABCDEF 靶盘中心有一个圆形区域，该圆恰好是正六边形的内切圆.若运动员射出的箭都能落在靶盘内，且落在靶 盘内各点的机会均等，则箭落在圆形区域内的概率为() A 0 4 B.V3n 6 C.3 8 D.9 【变式2】(2026：安徽阜阳模拟预测)如图，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧CD上不同 于点C的任意一点，则∠BPC的度数是 D 【变式3】(2026福建福州模拟预测)如图，正七边形ABCDEFG,连接对角线AE,BG交于点H,则 ∠1的度数为 G 题型06尺规作图-正多边形 8/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例1】(25-26九年级上：北京课堂例题)如图，已知⊙0，求作：⊙O内接正六边形ABCDEF,以下 是甲、乙两同学的作业： 甲：①先作直径BE;②作OB的垂直平分线交⊙0于点A、C:③作OE的垂直平分线交⊙0于点D、F: ④依次连接A→B→C→D→E→F→A,六边形ABCDEF即为所求（如图①）， 乙：①⊙0上任取点A,以点A为圆心，OA为半径画弧，交⊙0于点B;②以点B为圆心，OA为半径画 弧交⊙O于点C:③同上述作图方法逆时针作出点D、E、F；④依次连接 A→B→C→D→E→F→A,多边形ABCDEF即为正六边形（如图②）. 对于两人的作业，下列说法正确的是() D 0 图① A 图② A.两人都不对B.甲对，乙不对C.两人都对 D.甲不对，乙对 【变式1】(2024山东潍坊模拟顶测)如图，在⊙O中，MF为直径，OA⊥MF,圆内接正五边形ABCDE 的部分尺规作图步骤如下： ①作出半径OF的中点H. ②以点H为圆心，HA为半径作圆弧，交直径MF于点G ③AG长即为正五边形的边长、依次作出各等分点B,C,D,E. 已知⊙O的半径R=2,则AB2=一.（结果保留根号） 41 【变式2】(25-26九年级下·全国课后作业)利用尺规作图，作出已知圆的内接正方形和内接正六边形. 9/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 【变式3】(2026甘肃白银一模)【文化阅读】甘肃境内遗存众多古塔（如图1为宁县湘乐砖塔），其 塔刹基座或内部藻井常装饰有精美的正六边形几何纹样，这些纹样均绘制在一个完美的圆形基面上.在文 物修复现场，工匠往往只能找到带有部分纹样痕迹的圆弧形残片，应用“定圆心，画六方”的技法来复原 正六边形几何纹样，展现了古人“以理定形”的营造智慧。 【知识溯源】“定圆心、画六方”技法在我们的教科书中也有呈现： ①定圆心：在圆弧上任取两条弦，作两条弦的垂直平分线，相交于点O,即为该圆的圆心O: ②画六方：因圆内接正六边形的边长等于外接圆的半径R,所以在半径为R的圆上，依次截取等于R的弦， 可将圆六等分，进而作出圆内接正六边形 【知识迁移】某修复工作现场收集到的一块圆弧形残片（示意图如图2，弧线部分为原圆形基面的边缘）， 请你利用无刻度直尺和圆规，在图2中依据这块圆弧形残片完成其对应正六边形纹样的复原设计图.（保 留作图痕迹，不写作法) 图 图2 强化训练 基础自测 一、单选题 1.(2026江苏南京·二模)如图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形，若∠A=110°，则BD的度数为 0 10/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ A.55 B.70° C.110° D.140° 2.(2026重庆二模)如图，四边形ABCD为⊙0的内接四边形，∠B=75°，∠D的度数是() 0. A.75° B.85° C.95 D.105° 3.(2026北京顺义：二模)如图，C,D是AB上两点，BD=CD,∠A=40°.若BD,CD是正n边形的 两条邻边，则n的值为() D B A.8 B.9 C.10 D.11 4.(2026甘肃白银三模)如图，己知四边形ABCD是⊙0的内接四边形.若∠BCD=115°，则∠BOD的 度数为() B A.120 B.65 C.115° D.130° 5.(2026福建福州模拟预测)小明捡到一个量角器碎片，按如图的方式测量∠B的度数，他让点B落在 量角器圆弧上，并将角的两边与量角器圆弧的交点分别记为A,C.若点A,C对应的刻度分别为54°、 136°，则∠B的度数为() B 动幼o9 十s如06文含 TTTTX A.130° B.139° C.140° D.141° 二、填空题 6.(2026年5月福建省漳州市龙海区浮宫中学九年级练习试卷)如图，AB为⊙0的一条弦，且 11/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=8,∠AOB=120°，C为劣弧AB上一点，连接AC、BC,则∠ACB的度数为」 B C 7.(2026北京房山二模)如图，点A、B、C、D在⊙0上，AB=BC.若∠ABC=140°，则∠ADB=- D 0 8.(2026陕西一模)如图，四边形ABCD内接于O0,DE是⊙0的直径，连接BE.若⊙0的半径为2， ∠BCD=135°，则BE的长为—· E 9 (2026福建厦门模拟预测)如图，边长为2的正六边形ABCDEF的中心为O,则该正六边形的边心距 为 10.(25-26七年级下·江苏苏州期末)拙政园的天泉亭因亭内正中一口元代古井一一天泉井而得名，天泉 亭形制为重檐八角攒尖亭，从亭子正上方俯瞰，呈正八边形（如图），图中△OCD是由△OAB绕着点O按 逆时针方向旋转一定角度得到，则旋转角的度数为—°. 12118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G B 三、解答题 11.(25-26九年级上江苏盐城期中)如图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形，点G在边DC的延长线 上 G 0 (I)求证：∠BAD=∠GCB: (②)若∠DBA=80°，∠CDA=50°，求∠CAD的度数. 12.(25-26九年级上河南安阳期末)如图，在△ABC中，AC=BC,以AB为直径作⊙0，与AC相交于 点D.连接OC,与⊙O相交于点E,连接DE,求∠ADE的度数. 13.(四川绵阳市游仙区2025-2026学年九年级下学期学情自测数学试题)如图，四边形ABCD内接于一 圆，CE是边BC的延长线， E (I)求证：∠DAB=∠DCE: (2)若∠DAB=65°，∠ACB=70°，求∠ABD的度数. 13/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 14.(2026天津北辰二模)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A,B均在格点上. B (1)线段AB的长为 (2)若点A,B,C是圆上的点，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P,满足 ∠ABC+∠ACP=180°，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） 15.(2026江苏南京二模)如图，在口ABCD中，过A,B,C三点的OO交AD于点E D O. (I)求证CE=CD: (2)若点E为AC中点，AB=4,BC=6,求⊙O的半径. 能力提升 一、单选题 1.(25-26九年级下·河南信阳阶段检测)如图，甲同学利用尺规作图找到了一件圆形“青花瓷盘”文物 瓷片的圆心O,点A,B,C均在圆弧上，经测量得∠ABC=144°，则∠AOC的度数为() A.34° B.56° C.68 D.72° 2.(2026:贵州遵义·一模)如图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形，若∠ABC=100°，则∠AOC的度数 14118 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 是() D B A.40° B.80 C.100° D.160° 3.(2026江苏连云港二模)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O,点P是CD上的任意一点，则∠APB 的大小是() E D 0。 B A.30° B.45° C.60° D.75° 4.(2026安徽阜阳三模)如图，五边形ABCDE是⊙0的内接正五边形，过点E作EF‖OB交⊙0于点 F,连接DF,下列结论错误的是() D A.∠AEF=18°B.F是AB的中点C.DF是⊙O的直径D.∠EDF=48 5.(2026浙江温州三模)如图，己知四边形ABCD内接于O0,连接OA,OC,若LADC=122°，则 ∠AOC的度数是() B A.106° B.1169 C.122° D.136° 15/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二、填空题 6.(2026江苏盐城模拟预测)如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，连接OB,OD,若∠BCD=110°， 则∠BOD= B C 7.(2026陕西咸阳二模)如图，点O为正八边形ABCDEFGH的中心，连接OD、OF,则∠DOF的度 数为 A H 8.(2026河南南阳·一模)金砖国家(BRICS)是一个国际组织，创始成员国包括：巴西、俄罗斯、印度、 中国.如图①是金砖国家的图标，可近似看作如图②所示的圆及其内接正五边形ABCDE,则∠CAD的度 数为 BRICS B D 图① 图② 9.(2026陕西西安·模拟预测)如图，△ABC内接于⊙0，点M是弦AB的中点，连接OM.若 ∠ACB=124°，则∠MOB的度数为 M B 10. (2026陕西西安三模)如图四边形ABCD内接于⊙0，∠ADC=45°，AB=1,BC=V2,则⊙0的 16118 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 周长为 D 三、解答题 11.(25-26九年级上吉林期中)如图，四边形ABCD内接于⊙0，AB是⊙0的直径，∠BCD=110°，求 ∠ABD的度数 C D 12.(24-25九年级下·江西九江开学考试)请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）· E 图1 图2 (I)在图1中，圆内多边形ABCD是矩形，请作出该圆的圆心；点即为所求： (2)在图2中，圆内正多边形ABCDE是正五边形，请作出垂直CD的直径.线段_即为所求. 13.(25-26九年级上·吉林辽源阶段检测)如图，⊙0的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点 E、F B (I)若∠E=∠F,求证：∠ADC=∠ABC: (2)若∠E=∠F=40°，求∠A的度数 14.(23-24九年级上·浙江绍兴阶段检测)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙0，半径为2cm. 17118 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E (I)求CD的长度： (2)若G为CD的中点，连接AG,求AG的长度， 15.(2026安徽宿州二模)如图，四边形ABCD内接于O0,CE⊥AD于E,AC平分∠BAD,延长CE 交OO于F,BF分别交AC,AD于G,H. D (I)求证：AB=AH: (2)若∠BCD=140°，求∠AHF的度数. 16.(2026内蒙古通辽：三模)如图，四边形AGBC内接于⊙0，延长AG,CB相交于点D,E是AC上 一点，GE交AB于点F,且AB=AC,GE=CE. E G ●O D (1)若∠GCD=20°，∠D=50°，求∠ACB的度数： (2)求证：AF=GF: (3)若BD=GD=6,BC=12,求△AEF的周长. 18/18