专题3.2 圆心角（7大题型+高效培优讲义）数学新教材浙教版九年级上册

本初中数学讲义聚焦圆心角核心知识点，系统梳理弦、弧、圆心角的定义及相关概念，构建同圆或等圆中三者关系定理的知识体系，衔接圆的对称性前置知识，为后续圆周角学习奠定基础。 资料通过概念辨析、定理应用及7类题型的典例与变式训练，培养学生几何直观与推理能力，即学即练及时巩固知识，分层作业设计兼顾课中教学辅助与课后查漏补缺，助力提升数学思维与应用意识。

专题3.2 圆心角 教学目标 1. 理解弦、弧、圆心角的定义及相关概念，能准确区分优弧、劣弧与半圆。 2. 掌握同圆或等圆中弦、弧、圆心角之间的关系定理，会用定理进行简单推理。 3. 体会转化思想在几何中的应用，提升观察分析与逻辑推理的数学素养。 教学重难点 1.重点 （1）弦、弧、圆心角的概念辨析，同圆或等圆中三者之间的相等关系定理。 （2）运用三者的关系定理证明弧相等、弦相等，解决基础几何证明与计算问题。 2.难点 （1） 理解“同圆或等圆”这一前提条件的必要性，避免定理的滥用。 （2）结合圆的对称性，构造圆心角或弧的等量关系，解决复杂几何问题。 知识点01 圆的对称性 1.圆的对称性 （1）圆是轴对称图形，对称轴是经过圆心的任意一条直线． （2）圆是中心对称图形，对称中心是圆心． 2.弧、弦、圆心角 （1）顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分成360等分，每一份的弧对应1o的圆心角，我们也称这样的弧为1o的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等． （2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． 【即学即练】1．如图，点A，B，C，D都在上，，下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆心角，弧，弦的关系判断即可． 【详解】解：∵， ，，，． 2．下列说法：①直径是圆中最长的弦；②长度相等的两条弧是等弧；③相等的圆心角所对的弧相等；④三角形的外心是三角形三个内角平分线的交点．其中是真命题的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据弦的定义，等弧的定义，圆心角与弧的关系，三角形外心的定义，逐一判断命题真假即可得到结果． 【详解】解：①直径是圆中最长的弦，该命题为真； ②等弧的定义是同圆或等圆中能够完全重合的弧，仅长度相等的两条弧不一定是等弧，该命题为假； ③只有在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等，缺少前提条件，该命题为假； ④三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，三角形内角平分线的交点是内心，该命题为假； 综上，真命题共1个． 3．如图，是的直径，、、是的弦，且，则________． 【答案】 【分析】连接，由得到，根据，得到，即可解答． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 题型01 由圆心角、弧、弦的关系判断结论正误 【典例1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，若，则下列判断错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，根据圆心角、弧、弦的关系得出，，，即可得出选项，解此题的关键是熟练掌握圆心角、弧、弦的关系． 【详解】解：∵， ，，故A正确； ∴，故C正确； ，，故D正确； ∵和无法确定相等， 无法判断， 故选：B． 【变式1】（25-26九年级上·广东江门·阶段检测）如图，和是上的两条弦，圆心O到它们的距离分别为和，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、∵和是上的两条弦，且， ∴，原说法错误，不符合题意； B、∵和是上的两条弦，圆心O到它们的距离分别为和， ∴， ∵， ∴，原说法错误，不符合题意； C、在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴，原说法错误，不符合题意； D、∵和是上的两条弦，且，圆心O到它们的距离分别为和， ∴，， ∴，原说法正确，符合题意； 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，是半圆的直径，是半圆弧的中点，和均内接于半圆，分别连结、交于点、．若是的中点，给出下面四个结论： ①；②；③；④． 上述结论中，正确结论的序号有________． 【答案】①②④ 【分析】①根据点是弧的中点得，由此可对结论①进行判断；②证明，由此可对结论②进行判断；③连接，根据点是的中点，得，由此可对结论③进行判断；④连接，根据是半圆弧的中点，得垂直平分，所以，由此可对结论④进行判断． 【详解】解：①∵点是的中点， ， ∴，故①正确； ②∵是半圆的直径， ， ， 是半圆弧的中点， ， ， ， ， ， ，故②正确； ③如图，连接， ∵点是的中点，是半圆弧的中点， ∴， ∵， ， ∴，故③错误； ④如图，连接， ∵是半圆弧的中点， ∴垂直平分， ∴， 在中，根据勾股定理：， ∴，故④正确； 综上所述：正确结论的序号有①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】此题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，圆心角，弧，弦的关系，勾股定理等知识点，熟练掌握圆周角定理，圆心角，弧，弦的关系是解决问题的关键． 【变式3】（2024·江苏扬州·二模）已知锐角如图， （1）在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交射线于点，连接； （2）分别以点，为圆心，长为半径作弧，交于点，； （3）连接， 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中，所有正确结论的序号是______． ①；②若，则；③；④ 【答案】①③/③① 【分析】由作图知，再利用圆周角定理、圆心角定理逐一判断可得． 【详解】解：连接、、， 由作图知， ∴，故①正确； ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，故②错误； ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，故③正确； ∵，且， ∴，故④错误； 故答案为：①③． 【点睛】本题主要考查作图复杂作图，等边三角形的判定及性质，圆周角定理，弧、弦、圆心角之间的关系，以及三角形的内角和定理，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理等知识点． 题型02 由圆心角、弧、弦的关系求线段长度 【典例1】（25-26九年级上·浙江舟山·期中）如图，在中，，若，，则的半径是（    ） A．3 B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理；能熟练利用垂径定理，勾股定理进行求解是解题的关键．过圆心作交于点，交于点，连接、，由垂径定理得，由圆的基本性质得，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：过圆心作交于点，交于点，连接、， ， ， ， ， ， ， ， 设半径为，则， ， ， ， 解得， 故的半径是， 故选：B． 【变式1】（2024·湖南·模拟预测）如图，是的直径，是的内接三角形．若，，则的直径的长为（   ）. A． B． C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了在同圆中直径所对的圆周角是，圆周角定理，圆心角，弦，弧之间的关系，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 连接，，根据在同圆中直径所对的圆周角是可得，根据圆周角定理可得，根据圆心角，弦，弧之间的关系可得，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，，如图： ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在中，， 故选：A． 【变式2】（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，是的直径，的弦，弦，的平分线交于，则长是______． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理和推论，勾股定理．连接，利用圆周角定理结合勾股定理求得的长，再证明是等腰直角三角形，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∵的平分线交于， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：． 题型03 由圆心角、弧、弦的关系求角度 【典例1】（2026·云南临沧·二模）如图，在中，直径，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，三角形的内角和定理．试题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用和利用弧、弦、圆心角的关系求解．根据垂径定理得到，再根据圆周角定理，利用弧与圆心角的关系和三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：连接，如图， ∵是直径，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， 在中，， ∴， ∴， 在中，． 【变式1】（2026·宁夏银川·一模）如图所示，是的直径，点，在上，，与交于点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直径所对的圆周角为，可知，根据可得，根据邻补角互补、“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”以及已知条件可得，最后根据三角形外角的定义和性质求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（2026·陕西渭南·一模）如图，、、都是的半径，连接、．若，，则的度数为______°． 【答案】 80 【详解】解：， . ， ． 【变式3】（2026·江苏盐城·一模）如图，是半圆的直径，点C、D是半圆上的两点，，且，则的度数为_____°． 【答案】20 【分析】先求得，根据四边形是半圆的内接四边形，可以求得 ，根据直角三角形的两个锐角互余求解即可． 【详解】解：，， ， ， 由四边形是半圆的内接四边形， ， 是半圆的直径， ， ； 题型04 由圆心角、弧、弦的关系求弧度 【典例1】（25-26九年级上·浙江丽水·期末）如图，是半圆的直径，点在半圆上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理(直径所对的圆周角为直角，圆周角的度数等于所对弧度数的一半)，关键是利用直径的性质和圆周角与弧的度数关系求解． 【详解】解：如图，连接． ∵是半圆的直径， ∴． ∵， 在中，． ∴的度数为； 故选：C． 【变式1】24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，是的直径，点C在圆上，将沿翻折与交于点D．若，的度数为，则（　　）° A．100 B．120 C．60 D．30 【答案】B 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质、圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系等知识点，作辅助线是解答本题的关键． 作D关于的对称点E，连接，则，然后再根据的度数为知，然后再根据圆周角定理、邻补角性质可得，即可解答． 【详解】解：如图，作D关于的对称点E，连接，则, ∵的度数为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，    是的直径，弦，若，则的度数是__________． 【答案】/30度 【分析】连接，根据平行线的性质可得，由可得，再根据三角形内角和定理可求得的度数，即的度数． 【详解】 连接， ， ． ， ， ， ∴的度数是． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了弧的度数：圆中，弧的度数即弧所对的圆心角的度数，掌握这一点知识是解题的关键． 【变式3】（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在正方形网格中，一条圆弧经过三点，那么弧的度数是_____． 【答案】/90度 【分析】本题考查了勾股定理的应用，判断出圆心的位置是解决本题的关键． 作的垂直平分线，作的垂直平分线，两垂直平分线交于点Q，连接，分别表示出的长，可得为等腰直角三角形，进而即可得解． 【详解】解：作的垂直平分线，作的垂直平分线，两垂直平分线交于点Q，连接，如图， 由图可得圆心为点Q， ∵，，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴弧的度数是， 故答案为：． 题型05 由圆心角、弧、弦的关系求周长 【典例1】（2023九年级下·全国·专题练习）如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧，若该等边三角形的边长为3，则这个“莱洛三角形”的周长是（　　） A．9 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等边三角形的性质、弧长公式，根据等边三角形的性质得到，利用弧、弦的关系和弧长公式求得的长，进而可求解． 【详解】解：如图， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴该“莱洛三角形”的周长是． 故选：B． 【变式1】（2023·陕西西安·模拟预测）如图的弦，且于，连接，若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接AB、OA、OD，然后由弦与弧的关系，求出，得到，再根据勾股定理求出半径，即可得到答案． 【详解】解：连接AB、OA、OD，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在直角△AOD中，设OA=OD=R， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴圆的周长为：； 故选：A． 【点睛】本题考查了圆的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题． 【变式2】（23-24九年级上·江苏泰州·期末）如图，扇形中，，，为弧的中点，点为上一动点，连接，当阴影部分周长最小时，等于 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了求正切，与圆有关的计算，轴对称的性质如图，利用轴对称的性质，得出当点移动到点时，阴影部分的周长最小，进而根据等腰三角形的性质得出，进而根据轴对称的性质，即可求解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接交于点，连接、， 由对称可知，，， ∵，当点移动到点时，取等号，此时最小， ∵为弧的中点， ∴，则， ， 又， ， ， 由轴对称可知，， ， 当阴影部分周长最小时，，则 ． 故答案为：． 【变式3】（2024·河南驻马店·三模）如图，在扇形中，，，C为的中点，为上一点，且，连接，，在绕点旋转的过程中，当取最小值时，的周长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查圆中最值问题，等边三角形的判定以及勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 判断出在的旋转过程中，三点共线时，最短，得出是等边三角形，由勾股定理求出，即可解决问题． 【详解】解：∵， ， ∵为的中点， ， 在绕点旋转的过程中，当三点共线时，的值最小，如图， ， ， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∵为的中点， ∴， 由勾股定理得，， ∴的周长， 故答案为：． 题型06 由圆心角、弧、弦的关系求面积 【典例1】（24-25六年级下·上海·单元测试）如果一个半径为 厘米的圆的面积恰好与一个半径为 厘米的扇形面积相等．那么这个扇形的圆心角度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了圆和扇形的面积计算. 设这个扇形的圆心角度数为，利用圆和扇形的面积公式得出方程，求解即可． 【详解】解：设这个扇形的圆心角度数为， 由题意得：， 解得：， 故答案为：． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图中有大小两个等腰直角三角形，已知阴影部分的面积是50cm2，环形的面积是 ．    【答案】157平方厘米 【分析】根据图形可知，大三角形的面积等于大圆的直径乘大圆的半径除以2，小三角形的面积等于小圆的直径乘小圆的半径除以2，阴影部分的面积等于大三角形的面积减小三角形的面积，等于大圆半径的平方减小圆半径的平方，圆环的面积等于大圆的面积减小圆的面积，据此解答即可。 【详解】解：设大圆的半径为R，小圆的半径为r. ， 环形的面积是： （平方厘米） 所以环形的面积是157平方厘米. 故答案为：157平方厘米 【点睛】本题考查了圆的性质，圆心角、弦、弧之间的关系，的圆心角所对的弦是直径，等腰三角形的性质等知识，正确理解圆的有关性质是解题的关键. 【变式2】（22-23九年级下·浙江温州·期中）如图，点A，B，C，D，E，F都在上，且．若的半径为4，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是垂径定理、圆心角、弧、弦的关系定理，根据圆心角、弧、弦的关系的关系求出是解题的关键．连接、，交于H，根据圆心角、弧、弦的关系的关系求出，解直角三角形分别求出，，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，连接、，交于H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为： 【变式3】（2025·陕西渭南·一模）如图，半圆的直径长为16，点C，D是半圆的三等分点，连接，，过点C作，垂足为E，求图中阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题考查同弧或等弧所对的圆周角（圆心角）相等、等边三角形的判定与性质、解直角三角形及求扇形面积，熟练掌握相关知识点是解题关键．根据点C，D是半圆的三等分点得出是等边三角形，，根据“三线合一”的性质得出，利用的三角函数得出，根据即可得答案． 【详解】解：如图，连接、， ∵半圆的直径长为16，点C，D是半圆的三等分点， ∴，，， ∴是等边三角形，， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型07 由圆心角、弧、弦的关系证明 【典例1】（山西省太原市小店区太原华师双语学校2024-2025学年上学期九年级数学第六次月考试卷）如图，A、B、C、D是上的四点，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查垂径定理和圆周角定理，掌握垂径定理和圆周角定理是解题的关键． 由圆周角定理可知，再根据垂径定理得，再根据同弧所对圆心角相等即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 故选：B． 【变式1】（25-26九年级上·广东韶关·期中）如图，为的直径，点C，D是上位于异侧的两点，连接，．若，则的度数为______．    【答案】 【分析】本题主要考查了弧，弦，圆心角的关系，圆周角定理， 先根据弧，弦，圆心角的关系得出，再根据圆周角定理得出答案． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴． 故答案为：．    【变式2】（25-26九年级上·江西·期末）如图，在中，，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴， ∴； (2) 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了圆周角定理，弧与弦之间的关系，全等三角形的性质与判定，熟知圆的相关知识是解题的关键。 （1）可证明，则可证明； （2）先证明，再利用证明，则可证明． 【详解】（1）略 （2）略 【变式3】（2026·山东烟台·中考真题）如图，中，，是边上一点，以为半径作，分别与，交于，两点，与相切于点，连接，． (1)求证：； (2)试用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵是的切线， ∴ ∵， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴； (2)， 证明：如图，连接，过点作于点， ∴ 由（1）可得 又∵ ∴ ∴， ∵ ∴， ∴ ∴ ∴，即 【分析】（1）根据切线的性质可得，根据直角三角形的两个锐角互余可得，则，根据得出，等量代换可得，即可得出； （2）连接，过点作于点，证明得出，进而证明，得出，根据线段的和差关系，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 一、单选题 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）下图中的是圆心角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角的概念，解决本题的关键是掌握顶点在圆心的角叫作圆心角. 根据圆心角的概念判断即可. 【详解】解：A、顶点C不在圆心，不符合圆心角的概念，不符合题意； B、顶点C在圆心，符合圆心角的概念，符合题意； C、顶点C在圆内，不符合圆心角的概念，不符合题意； D、顶点C在圆外，不符合圆心角的概念，不符合题意； 故选：B ． 2．（24-25九年级下·贵州贵阳·月考）如图，均为上的点，且，则下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆心角，弦，弧之间的关系．由A、B、C、D是⊙O上的点，，根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两条弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等作答即可． 【详解】解：∵， ∴，，故A选项说法正确，不符合题意； ∴，即，故B选项说法正确，不符合题意； ∵， ∴，即， ∴，故C选项说法正确，不符合题意； 不能证明，故D选项说法错误，符合题意； 故选：D． 3．（22-23九年级上·浙江宁波·月考）下列说法不一定正确的是（   ） A．平分弦和这条弦所对的弧的直线必过圆心 B．相等的弧所对的弦相等 C．三角形的外心到三角形三边的距离相等 D．直径所对的弧是半圆 【答案】C 【分析】本题考查了圆的相关定理和性质，根据垂径定理，三角形的外接圆与外心，圆心角、弧、弦的关系，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A、平分弦和这条弦所对的弧的直线必过圆心，故本选项正确； B、相等的弧所对的弦相等，故本选项正确； C、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故本选项错误； D、直径所对的弧是半圆，故本选项正确； 故选：C． 4．（25-26九年级上·河南信阳·期中）如图，是的直径，．若，则的度数为（    ） A．140° B．70° C．65° D．55° 【答案】B 【分析】本题考查了在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等，熟练掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等的性质是解答本题的关键．由在同圆中等弧所对的圆心角相等得从而求得答案． 【详解】解：是的直径，， ， ， 故选：B． 5．（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，已知是的两条直径，弦，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对顶角相等得，由得到，由得到，即可求出，得到的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵ ∴， ∵ ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：B 【点睛】此题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理、圆心角和弧的度数的关系等知识，熟练掌握圆心角和弧的度数的关系是解题的关键． 二、填空题 6．（24-25九年级上·新疆吐鲁番·期末）如图，点A，B，C，D在上，，A是的中点，若，则的长是 ． 【答案】 【分析】连接，先求得，再利用弧长公式解答即可． 本题考查了圆周角定理，弧，圆心角，弦之间的关系，弧长公式，熟练掌握定理和公式是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵A是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交对线于点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点E，连接，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了尺规作图以及等弧或等弦所对的圆心角相等．连接，根据作图，，推出，即可得到，据此即可求解． 【详解】解：如图，连接，由作图可知：， 由作图可知：， ∴， ， ∴， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，已知的半径为1，，是的两条弦，且，延长交于点D，连结，，． （1）若，则 ； （2）若，则 ． 【答案】 【分析】可证，推出，，，，即可证明；依据对应边成比例，设，表示出、，根据，列方程求解即可． 【详解】解：在和中， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ，的半径为1， ， ， （负值已舍去）； 故答案为：； （2）， ， 设，则， ∴， ， ， ，， ， 整理得：， 即， 解得：（舍去），， （舍去）， 因此， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质． 9．（24-25九年级上·江西南昌·期中）如图，经过原点，并与两坐标轴分别交于，两点，已知 则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了圆周角定理；连接，根据已知得出，根据等弧所对的圆周角相等，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵ ， ∴ ， 又∵ ∴ ∵ ∴， 故答案为：． 10．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，是的直径，点D，C在上，，，，则的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．延长交于，连接，，过作于，证明是等腰直角三角形即可解决问题． 【详解】解：延长交于，连接，，过作于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形，； ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵是等腰直角三角形， ∴． 故答案为：． 三、解答题 11．（20-21九年级上·江苏南京·月考）如图，在中，；，以为直径作，分别交、于、． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系． （1）连接，求出和度数，求出，即可求出度数，即可求出答案； （2）根据得出，求出，然后根据圆心角、弧、弦的关系即可得到． 【详解】（1）解：连接，如图， ，， ， ， ， 连接， ， ， ， 的度数是， 的度数是； （2）证明：， ， ， ． 12．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）如图，已知是的直径，弦与弦交于点E，且，垂足为点F．若点C是的中点． (1)求的度数； (2)若，求的值； 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，根据三线合一得到，再根据等弧所对圆心角相等得到，推出，即可求解； （2）根据含30度角的直角三角形的性质以及线段的和差即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵C是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴． 13．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，已知是的直径，点C、D都在上，． (1)求证：； (2)若的度数为，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，圆心角、弧、弦间的关系．要探讨两弧的关系，根据等弧对等圆心角可以转化为探讨所对的圆心角的关系，根据等弧所对的圆周角相等，可以再进一步转化为探讨所对的圆周角的关系． （1）欲证弧弧，只需证明它们所对的圆心角相等，即． （2）利用圆周角、弧，弦的关系得，则． 【详解】（1）证明：连接， ， ． ， ，． ． ； （2）解：的度数是， ． ． ， ， ． 14．（2025·北京房山·二模）如图，已知为的外接圆，为的直径，是的中点，弦于点，是上一点，连接． (1)求证：； (2)若，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，垂径定理，圆周角定理，以及解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据题意可得，根据垂径定理可得进而可得，则； （2）连接，证明得出，进而得出，根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵D是的中点， ∴， ∵且为的直径， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设的半径为，则， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 15．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，点在上，，．求证． 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．根据圆心角、弧、弦的关系，先由得，由得，则，求出，即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 一、单选题 1．（25-26九年级上·贵州黔西南·期末）如图，在中，点是的中点，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，弦，弧，圆心角的关系，熟练掌握关系和定理是解题的关键． 先根据点是的中点，推出，再运用圆的性质和三角形的内角和性质求解即可． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵在中， ∴， ∴． ∵在中，， ∴， ， ， ． 故选：D． 2．（2025·四川广元·一模）如图，在中，下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了“弧，弦，圆心角”的关系，全等三角形的性质和判定， 根据“弧，弦，圆心角”的关系得，即可说明A，C；再证明解答D即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，则A正确，C正确； ∵， ∴， ∴，则D正确． 不一定相等，则B不正确 故选：B． 二、填空题 3．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，点C，D在以为直径的半圆O上，且，若，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，圆心角、弧、弦的关系，三角形内角和定理，关键是掌握圆心角和它所对的弧的度数相等． 连接，由平行线的性质推出，由等腰三角形的性质推出，由三角形内角和定理求出，得到的度数． 【详解】解：连接， ∵， ， ， ， ， ∴的度数， 故答案为： 4．（22-23九年级下·浙江温州·开学考试）如图，点A在半圆O上，为直径，若，，则的长是_____． 【答案】 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长． 5．（2025·陕西西安·一模）如图，是的直径，，若，则的度数为__________． 【答案】/35度 【分析】此题考查弧、弦、圆心角的关系，等边对等角和三角形的外角． 根据等边对等角和三角形的外角可得，然后根据弧、弦、圆心角的关系解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 6．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图：在半圆中，是半圆上的一个点，将沿弦折叠交直径于点，点是的中点，连接，若的最小值为，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了圆的折叠性质、弧与圆心角的关系、勾股定理，补全折叠后的圆并确定最小情况，结合弧的圆心角推导与勾股定理建立方程是解题的关键． 补全弧所在的圆及圆心，连接，，，，由三角形任意两边之差小于第三边得当，，三点共线时最小，所对圆心角的度数为，所对圆心角的度数为，再设半径为，利用勾股定理列方程求解，即可求出． 【详解】解：如图，补全弧所在的圆及圆心，连接，，，， 由三角形任意两边之差小于第三边，得当，，三点共线时最小，设所对圆心角的度数为，则所对的圆心角的度数为， ∵， ∴所对圆心角的度数为， 由折叠得所对圆心角的度数为， ∴所对圆心角的度数为， ∵点为中点， ∴所对圆心角的度数为， ∴所对圆心角的度数为，即， 设半圆的半径为，则由对折可得，， 在中， ， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴． 故答案为：． 三、解答题 7．（25-26九年级下·全国·课后作业）如图，是直径，，．求的大小． 【答案】 【分析】根据等弧所对的圆心角相等可得，再根据平角的定义求解即可． 【详解】解：，， ， 是直径， ． 8．（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，，C、D是以O为圆心的的三等分点，连接分别交于点E，F．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了弧，弦和圆周角的关系，等角对等边，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握以上性质． 连接，根据得出的度数，由等腰三角形的性质求出的度数，根据等角对等边可得出，同理可得，再根据，由此可得出结论． 【详解】证明：连接， ∵在中，半径，C、D为以O为圆心的弧的三等分点， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，同理， ∵C，D是的三等分点， ∴， ∴． 9．（2026·广东广州·二模）某校有一块圆形劳动教育实践基地，现在其内部规划一个四边形区域植鲜花．如图，数学兴趣小组已经确立了、、三点的位置，．已知点在劣弧上，且 (1)尺规作图：请在上确定点的位置，并连接、； (2)已知，求鲜花种植区域四边形的面积（请用含的式子表达） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意作，即可求解； （2）过点分别作的垂线，垂足分别为，证明，，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，根据四边形的面积，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为， 由（1）可得， ∵ ∴， 在，中， ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴四边形的面积 10．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，中，，以为半径的与相交于点D． (1)若，求的度数 (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查计算圆心角度数，三角形内角和定理，等腰三角形性质，勾股定理等． （1）根据题意连接，再利用内角和定理计算出，继而求出本题答案； （2）作，根据垂径定理得，再利用勾股定理计算出，利用等积法求出，再利用勾股定理即可计算出本题答案． 【详解】（1）解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）解：作， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∴． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题3.2圆心角 内容总览 1教学目标、教学重难点 知识点01圆的对称性 2.知识清单 题型01由圆心角、弧、弦的关系判断结论正误 题型02由圆心角、弧、弦的关系求线段长度 圆心角 题型03由圆心角、弧、弦的关系求角度 题型04由圆心角、弧、弦的关系求弧度 3.题型精讲 题型05由圆心角、孤、弦的关系求周长 题型06由圆心角、弧、弦的关系求面积 题型07由圆心角、弧、弦的关系证明 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1.理解弦、弧、圆心角的定义及相关概念，能准确区分优弧、劣弧与半圆。 教学目标 2.掌握同圆或等圆中弦、弧、圆心角之间的关系定理，会用定理进行简单推理。 3.体会转化思想在几何中的应用，提升观察分析与逻辑推理的数学素养。 1.重点 (1)弦、弧、圆心角的概念辨析，同圆或等圆中三者之间的相等关系定理。 (2)运用三者的关系定理证明弧相等、弦相等，解决基础几何证明与计算问题。 教学重难点 2.难点 (1)理解“同圆或等圆”这一前提条件的必要性，避免定理的滥用。 (2)结合圆的对称性，构造圆心角或弧的等量关系，解决复杂几何问题。 知识清单 1/17 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识点01圆的对称性 1.圆的对称性 (1)圆是轴对称图形，对称轴是经过圆心的任意一条直线. (2)圆是中心对称图形，对称中心是圆心. 2.弧、弦、圆心角 (1)顶点在圆心的角叫做圆心角.将整个圆分成360等分，每一份的弧对应1°的圆心角，我们也称这样 的弧为1°的弧.圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。 (2)圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等， 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们 所对应的其余各组量分别相等. 【即学即练】1.如图，点A,B,C,D都在OO上，∠AOB=∠COD,下列说法一定正确的是() D A.AB=AD B.AB=BC C.AB=CD D.AD=BC 2.下列说法：①直径是圆中最长的弦；②长度相等的两条弧是等弧；③相等的圆心角所对的弧相等：④ 三角形的外心是三角形三个内角平分线的交点.其中是真命题的有()个。 A.1 B.2 C.3 D.4 3.如图，AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是OO的弦，且BC=CD=DA,则∠BOD=°. 题型精讲 2/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型01由圆心角、弧、弦的关系判断结论正误 【典例1】(25-26九年级上浙江杭州期中)如图，在⊙0中，若AB=CD,则下列判断错误的是 B A.AB=CD B.AC=CB C.AC=BD D.∠AOC=∠BOD 【变式1】(25-26九年级上·广东江门·阶段检测)如图，AB和CD是⊙0上的两条弦，圆心0到它们的距 离分别为OM和ON,若AB>CD,则下列结论正确的是() D A.< B.AM<CN C.OM>ON D.∠AOM>∠CON 【变式2】(2425九年级上：吉林长春·期末)如图，AB是半圆O的直径，C是半圆弧的中点，△ABD和 △ABC均内接于半圆O,分别连结AC、OC交BD于点E、F.若D是AC的中点，给出下面四个结论： ①∠CAD=LDBA:②CE=CF:③BC=2AD:④AD2+DF2=BF2. 上述结论中，正确结论的序号有 【变式3】(2024江苏扬州·二模)已知锐角∠AOB.如图， 3/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)在射线OA上取一点C,以点O为圆心，OC长为半径作PQ,交射线OB于点D,连接CD; (2)分别以点C,D为圆心，CD长为半径作弧，交PQ于点M,N: (3)连接OM,MW. 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中，所有正确结论的序号是 ①LCOM=∠COD;②若OM=MN,则∠AOB=30°；③MN∥CD;④MN=3CD. 题型02由圆心角、弧、弦的关系求线段长度 【典例1】(25-26九年级上浙江舟山期中)如图，在⊙0中，AB=2CD,若AB=6,CD=13，则 ⊙0的半径是() B 13 A.3 B.4 e D.4 【变式1】(2024湖南模拟预测)如图，AD是⊙0的直径，△ABC是⊙0的内接三角形.若 ∠DAC=∠ABC,AC=4,则⊙O的直径AD的长为()· D B A.42 B.4v3 C.6 D.7 4/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 【变式2】(25-26九年级上广东广州期中)如图，AB是⊙0的直径，⊙0的弦AC=6cm,弦BC=8cm, ∠ACB的平分线交⊙O于D,则BD长是cm. O D 题型03由圆心角、弧、弦的关系求角度 【典例1】(2026云南临沧二模)如图，在⊙0中，直径AB1CD，,∠C=65°，则∠D的度数为() A.250 B.40° C.50° D.55° 【变式1】(2026：宁夏银川一模)如图所示，BD是O0的直径，点A,C在⊙0上，AB=AD,AC与 BD交于点G,∠BOC=54°，则∠AGB的度数为() D G B A.108° B.110° C.106° D.117° 【变式2】(2026陕西渭南·一模)如图，OA、OB、OC都是⊙0的半径，连接AB、AC.若 ∠BAC=20°，AB=2BC,则∠AOB的度数为°. 5/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式3】(2026江苏盐城一模)如图，AB是半圆的直径，点C、D是半圆上的两点，AD-DC,且 LCAD=35°，则LBAC的度数为_°. 题型04由圆心角、弧、弦的关系求弧度 【典例1】(25-26九年级上浙江丽水·期末)如图，AB是半圆的直径，点C在半圆上，若∠BAC=40°， 则AC的度数是() A.40° B.80° C.100° D.140° 【变式1】24-25九年级上浙江金华期中)如图，AB是⊙0的直径，点C在圆上，将AC沿AC翻折与 AB交于点D.若OA=3cm,BC的度数为30°，则AD=() A.100 B.120 C.60 D.30 【变式2】(24-25九年级上·江苏徐州阶段检测)如图，AB、CD是O0的直径，弦CE∥AB,若 ∠AOC=75°，则CE的度数是 6/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D ◇ 0 E C 【变式3】(25-26九年级上·江苏扬州阶段检测)如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A,B,C三点， 那么弧AC的度数是 A B 题型05由圆心角、弧、弦的关系求周长 【典例1】(2023九年级下·全国·专题练习)如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三 “边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧，若该等边三角形的边长为3，则 这个“莱洛三角形”的周长是() A.9 B.3π C.6π D.9元 【变式1】(2023：陕西西安·模拟预测)如图⊙O的弦AC=BD,且AC⊥BD于E,连接AD,若 AD=3V6,则⊙0的周长为() 7/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 0 的 D E C A.6V3元 B.4v6元 C.3v3π D.4π 【变式2】(23-24九年级上江苏泰州期末)如图，扇形OAB中，OA=R,∠A0B=60°，C为弧AB的 中点，点D为OB上一动点，连接ADDC,当阴影部分周长最小时，tan∠ADC等于一 B 【变式3】(2024河南驻马店·三模)如图，在扇形AOB中，∠A0B=90°，B0=2,C为B0的中点，D 为AB上一点，且2BD=AD,连接AC,DC,在OC绕点O旋转的过程中，当CD取最小值时，△ACO 的周长为一· B D 题型06由圆心角、弧、弦的关系求面积 【典例1】(24-25六年级下·上海·单元测试)如果一个半径为2厘米的圆的面积恰好与一个半径为4 厘米的扇形面积相等.那么这个扇形的圆心角度数为一· 【变式1】(2024七年级上·全国专题练习)如图中有大小两个等腰直角三角形，已知阴影部分的面积是 50cm2,环形的面积是一· 8/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式2】(22-23九年级下浙江温州期中)如图，点A,B,C,D,E,F都在⊙0上，且 AB=BC=CD=DE=EF=AF.若OO的半径为4，则△ABF的面积是一· A D 【变式3】(2025陕西渭南一模)如图，半圆AmB的直径长为16，点C,D是半圆的三等分点，连接 AC,BD,过点C作CE L AB,垂足为E,求图中阴影部分的面积. C m B 题型07由圆心角、弧、弦的关系证明 【典例1】（山西省太原市小店区太原华师双语学校2024-2025学年上学期九年级数学第六次月考试卷） 如图，A、B、C、D是⊙0上的四点，OA⊥BC,∠ADC=25°，则∠AOB的度数是() B A.250 B.50° C.30° D.45° 【变式1】(25-26九年级上广东韶关·期中)如图，AB为⊙0的直径，点C,D是⊙0上位于AB异侧的 9/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 两点，连接AD,CD.若AC=BC,则∠D的度数为 D ⊙ 【变式2】(25-26九年级上：江西期末)如图，在⊙0中，BD=AC,∠A=∠D.求证： (1)AB=CD: (2 BE=CE 【变式3】(2026山东烟台中考真题)如图，△ABC中，∠C=90°，0是边AB上一点，以OB为半径作 ⊙O,分别与BC,AB交于D,E两点，与AC相切于点F,连接EF,BF, F (I)求证：EF=FD; (2)试用等式表示线段BE,BD,CD之间的数量关系，并证明你的结论. 强化训练 基础自测 一、 单选题 1.(25-26九年级上·全国课后作业)下图中的∠ACB是圆心角的是() 10117 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B B B 2.(24-25九年级下贵州贵阳月考)如图，A,B,C,D均为⊙0上的点，且AB=CD,则下列说法不正确 的是() B A.∠AOB=∠COD B.∠AOC=∠BOD C.AC=BD D.OC=CD 3.(22-23九年级上·浙江宁波·月考)下列说法不一定正确的是() A.平分弦和这条弦所对的弧的直线必过圆心B.相等的弧所对的弦相等 C.三角形的外心到三角形三边的距离相等D.直径所对的弧是半圆 4.(25-26九年级上河南信阳期中)如图，AB是⊙O的直径，BC=BD.若∠AOC=110°，则∠BOD的 度数为() B D A.140° B.70° C.65 D.55 5.(24-25九年级上山东淄博期末)如图，已知AB,CD是⊙0的两条直径，弦CE∥AB,∠BOD=112°， 则CE的度数为() 11/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.38 B.44° C.48° D.54° 二、填空题 6.(2425九年级上新疆吐鲁番期末)如图，点A,B,C,D在⊙0上，∠ADB=30°，A是BC的中点， 若OB=2,则BC的长是 A D 7.(25-26九年级上·黑龙江哈尔滨期中)如图，∠A0B=28°，在射线0A上取一点C,以点0为圆心， OC长为半径作PQ,交对线OB于点D,以点C为圆心，CD长为半径画弧，交PQ于点E,连接OE,则 ∠DOE的度数为 D B 8.(2425九年级上浙江温州阶段练习)如图，已知⊙0的半径为1，AB,AC是⊙O的两条弦，且 AB=AC,延长BO交AC于点D,连结OA,OC,BC, (1)若AD= 2则OD= (2)若AD=AB·DC,则OD= B 9.(2425九年级上江西南昌期中)如图，⊙C经过原点，并与两坐标轴分别交于A,D两点，已知 OD=2OA则∠OBA的度数为 12117 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 10.(25-26九年级上江苏无锡阶段练习)如图，AB是⊙0的直径，点D,C在⊙0上，∠DOC=90°， AD=√2，BC=1,则⊙O的半径为一 三、解答题 11.(20-21九年级上江苏南京·月考)如图，在△ABC中，∠A=70°；∠B=55°，以BC为直径作⊙0， 分别交AB、AC于E、F. E B (1)求BF的度数： (2)求证：BE=CF 12.(25-26九年级上：浙江阶段练习)如图，已知AB是⊙O的直径，弦AC与弦BD交于点E,且 OD⊥AC,垂足为点F.若点C是BD的中点. D B (1)求∠AOD的度数： (2)若AB=8,求DF的值： 13.(25-26九年级上江苏连云港期中)如图，已知AB是⊙0的直径，点C、D都在⊙0上，AC‖OD 13117 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B (I)求证：BD=CD: (2)若AC的度数为58°，求∠AOD的度数， 14.(2025北京房山二模)如图，己知⊙0为△ABC的外接圆，AB为⊙0的直径，D是BC的中点，弦 DE L AB于点F,P是AE上一点，连接CP,BP. D E (I)求证：BC=DE: (2)若AC=6,BF=2,求tan∠BPC. 15.(25-26九年级上江苏南京期中)如图，点A,B,C,D,E在⊙0上，AB∥CD,BC∥DE，BC=CD. 求证AB=DE. 能力提升 一、单选题 1.(25-26九年级上贵州黔西南期末)如图，在⊙0中，点A是BC的中点，∠AOB=50°，则∠OBC的 度数为(). 14117 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A.25° B.30° C.35 D.40° 2.(2025四川广元·一模)如图，在⊙0中，BD=CA下列结论不正确的是() B D A.AB=CD B.∠BOC=∠BOD C.AB=CD D.S.40=S.cOD 二、填空题 3.(25-26九年级上浙江温州：期中)如图，点C,D在以AB为直径的半圆O上，且OD∥BC,若 ∠AOD=40°，则BC的度数为一 C D 0 B 4.(22-23九年级下浙江温州开学考试)如图，点A在半圆O上，BC为直径，若AB=120°，BC=6, 则AC的长是 5.(2025陕西西安·一模)如图，AB是⊙0的直径，AC=CD=DE,若∠BE0=52.5°，则∠AOC的度 数为 15117 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E 6.(25-26九年级上江苏无锡·阶段检测)如图：在半圆O中，C是半圆上的一个点，将AC沿弦AC折叠 交直径AB于点D,点E是AD的中点，连接OE,若OE的最小值为2，则AB=一· B D 三、解答题 7.(25-26九年级下全国课后作业)如图，AB是直径，BC=CD=DE,∠B0C=40°，求∠A0E的大 小. D E B 8.(25-26九年级上全国·单元测试)如图，∠AOB=90°，C、D是以O为圆心的AB的三等分点，连接 AB分别交OC,OD于点E,F.求证：AE=BF=CD. E 9.(2026广东广州二模)某校有一块圆形劳动教育实践基地，现在其内部规划一个四边形ABCD区域植 鲜花.如图，数学兴趣小组已经确立了A、B、C三点的位置，∠BAC=30°.已知点D在劣弧AC上，且 CD=BC. 16117 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ B 0 (I)尺规作图：请在⊙O上确定点D的位置，并连接AD、CD: (②)已知AC=a,求鲜花种植区域四边形ABCD的面积（请用含a的式子表达） 10.(25-26九年级上江苏泰州阶段检测)如图，△ABC中，∠C=90°，以AC为半径的⊙C与AB相交 于点D C (1)若∠B=35°，求AD的度数 (2)若AC=3,BC=4,求DB的长. 17/17