专题3.3 垂径定理（9大题型+高效培优讲义）数学新教材浙教版九年级上册

本讲义聚焦垂径定理这一核心知识点，系统梳理定理的推导过程、“知二推三”推论及半径、弦长、弦心距的数量关系公式，搭建起圆的基本概念与后续几何性质的学习支架。 资料设计亮点突出，涵盖9类分层题型及典例变式，通过筒车、拱门等实际问题培养数学眼光，辅助线构造与逻辑推理训练数学思维，即学即练与综合练习助力课中教学增效，课后查漏补缺强化知识应用。

的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题3.3垂径定理 内容总览 1.教学目标、教学重难点 知识点01垂径定理及推论 2.知识清单 题型01利用垂径定理判断正误 题型02利用垂径定理求角度 题型03利用垂径定理求线段长度 垂径定理 题型04利用垂径定理求坐标 题型05利用垂径定理求平行弦问题 3.题型精讲 题型06利用垂径定理求同心圆问题 题型07垂径定理推论 题型08垂径定理的实际应用 题型09利用垂径定理求最值 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1. 理解垂径定理的内涵与推导过程，明确定理的条件和结论，能准确表述定理内 容。 教学目标 2. 掌握垂径定理及其推论的应用方法，能解决弦长、半径、弦心距的相关计算问 题。 3.培养几何建模与逻辑推理能力，体会数形结合思想在圆的相关问题中的运用。 1.重点 教学重难点 (1)垂径定理的推导过程与核心内容，以及定理和推论之间的内在逻辑联系。 (2)运用垂径定理建立半径、弦长、弦心距的数量关系，解决实际几何计算问题。 1/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.难点 (1)分析复杂圆的图形，精准构造符合垂径定理应用的辅助线，转化已知条件。 (2)区分垂径定理及其推论的适用场景，避免在解题中混淆条件与结论。 知识清单 知识点01垂径定理及推论 1)垂径定理：垂直于弦的直径平分弦、且平分弦所对的两条弧。 证明：连AQBO ,CD⊥AB∴.∠AEC∠CEB90° 又.'OE-=OE,O4OB∴.△OAE≌△OBE(L) ..AB-EB,.AD-BD AC-CB 2)知二推三（推论) ①CD过圆心（直径/半径）；②CD垂直弦A:③CD平分AB,④ACCB,⑤AD-BD 垂径定理重要推论：上述5个条件中，任意2个条件成立，则其余3个条件必定成立，即“知二推三”。 AB=a,l0E-d根据勾股定理：7 3)重要公式：设半径为 圆中常用的辅助线：连OB,作OE垂直弦AB,构造出直角三角形。 【即学即练】1.(25-26九年级下福建泉州期中)如图，⊙0的直径AB垂直于弦CD,∠BAD=35°，则 LBOC的度数为(） B A.35 B.55° C.60° D.70° 2/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 2.(25-26八年级下山东日照·期末)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图，当筒车工作时， 盛水桶的运行路径可以看作是以轴心0为圆心的⊙0，且圆心在水面上方.在某一时刻，⊙0被水面截得 的弦AB长为6米，过点O作OC1AB,交O0于点C,交AB于点D,水面下盛水桶的最大深度为1米 (即CD=1米)，则OO的半径为 米 B 3.(25-26九年级下·四川内江阶段检测)如图是某桨轮船的轮子的示意图，桨轮船的轮子被水面截得的 弦AB长8m.设圆心为O,OC⊥AB,交水面AB于点D,轮子的吃水深度CD为2m,求该桨轮船的轮子 半径. 水面 题型精讲 题型01利用垂径定理判断正误 【典例1】(23-24九年级上浙江温州期中)如图，CD是⊙O的直径，AB是弦且不是直径，CD1AB, 则下列结论不一定正确的是() E B D A.AE=BE B.OE=DE C.A0=CO D.AD=BD 3/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式1】(25-26九年级上·山东聊城·期末)如图，AB是OO的直径，CD是弦但不是直径，AB⊥CD 于点E,连接OC,则下列结论不一定正确的是() A.CE=ED B.A0=CO C.OE=BE D.AC=AD 【变式2】(23-24九年级上·河北邯郸期中)如图，在△ABC中，用尺规按照下面步骤作图： ①作线段AB的垂直平分线DE: ②作线段BC的垂直平分线FG,交DE于点O: ③以O为圆心，OB长为半径作⊙O,分别交DE,FG于点M,N 嘉嘉和瑣瑣分别给出了一个结论.嘉嘉：点O是△ABC的外心. 頭：若∠A=∠B,则AM=BN 对于两人的结论，下列判断正确的是() D M B 米G A.两人的结论都正确 B.两人的结论都不正确 C.嘉嘉的结论正确，瑣瑣的结论不正确D.瑣瑣的结论正确，嘉嘉的结论不正确 【变式3】(25-26九年级上浙江课后作业)如图，在O0中，MN是直径，AB是弦，且MN⊥AB,垂 足为C,下列结论： ①AC=BC,②AW=BN,③BM=AM,④OC=CN上述结论中，正确的有」 (填序号) 4/21 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M 题型02利用垂径定理求角度 【典例1】(25-26九年级上四川泸州期中)如图，在⊙0中，半径0C垂直弦AB,D为⊙0上的点， ∠ADC=30°，则∠BOC的度数是() D B A.30° B.60 C.80 D.40° 【变式1】(25-26九年级上浙江月考)如图，在⊙0中，弦AB垂直平分半径0D,点C是圆上的一点， 且∠AOC=152°，则∠BAC的度数是() D A.32 B.22° C.20° D.16° 【变式2】(25-26九年级上陕西延安月考)如图，点A、B、C、D都在⊙0上，连接 OA、OB、CD、AD、BC、OA⊥BC,∠CDA=25°，则∠CBO的度数为 5/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式3】(25-26九年级上：浙江杭州期中)如图，AB是⊙O的直径，AC的度数是55°，BE的度数是 2I°，且∠AFC=∠BFD,∠AGD=LBGE,则∠FDG的度数为 D E B G 【典例1】 题型03利用垂径定理求线段长度 【典例1】(2026黑龙江佳木斯·二模)如图，⊙0的直径AB=10,弦CD1AB于点E,若CE=3,则 DE的长为() D A.2 B.3 C.4 D.7 6.(2026湖南长沙一模)如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E,连接OA,己知 CD=10,AB=8,则DE的长为() A.2 B.2.5 C.3 D.3.5 7.(25-26九年级上·北京东城期中)已知O0中，弦AB=8cm,圆心到AB的距离为3cm,则此圆的半 6/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 径为 cm 8.(2026:安徽阜阳·三模)已知AB是⊙O的直径，弦CD1AB,垂足为点E,连接AD,AB=9,AD=6, 则弦CD的长为 题型04利用垂径定理求坐标 【典例1】(25-26九年级上：广西钦州期末)如图，在直角坐标系中，⊙A经过原点O,并与x轴交于点 B,己知点A的坐标是(2,2)，则点B的坐标是() B A.(0,2) B.(0,4) c.(4,0) D.(-4,0) 【变式1】(25-26九年级上·内蒙古赤峰期末)如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A、B两点，点P 的坐标为(4,2)，点B的坐标为5.5,0)，则点A的坐标为（) B A.(1.5,0) B.(2.5,0) C.(3.5,0) D.(4.5,0) 【变式2】(2425九年级上·吉林白城阶段检测)如图，半径为5的⊙A与y轴交于点B(0,2)、C(0,10), 则点A的坐标为 A B 【变式3】(2425九年级上山东济宁·期中)如图，M为x轴正半轴上一点，⊙M与x轴负半轴交于点A, 与y轴正半轴交于点B,连接AB,将△OAB绕顶点B逆时针旋转90得到△CDB,此时点C恰在OM上， 7/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 若⊙M半径为N5,则点D的坐标是 B 0 M 题型05利用垂径定理求平行弦问题 【典例1】(25-26九年级上山东滨州期中)已知⊙0的直径为34cm,AB,CD是⊙0的两条弦， ABIICD,AB=30cm,CD=16cm,则AB和CD之间的距离是() A.7cm或23cmB.14cm或46cmC.7cm D.23cm 【变式1】(25-26九年级上河南新乡阶段检测)已知⊙0的半径为6cm,弦AB∥CD,且AB=6W2cm, CD=6N3cm,则AB与CD之间的距离为 【变式2】(2425九年级上河北石家庄期中)己知⊙0的半径为5，弦AB=6,弦CD=8,AB川CD, 则这两条平行弦AB、CD的距离为， 【变式3】(2425九年级上全国课后作业)如图，A,B,C,D在⊙0上，AB/CD经过圆心O的线段 EF⊥AB于点F,与CD交于点E,已知⊙O半径为5. B y D (1)若AB=6,CD=8,求EF的长； (2)若CD=4W6,且EF=BF,求弦AB的长： 题型06利用垂径定理求同心圆问题 【典例1】(2026河北石家庄·一模)如图，小高和小雪分别沿着环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢 8/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 跑训练，两个人的速度相同，己知内圈跑道的半径为20米、外圈跑道的半径为25米，则慢跑过程中两人 的距离不可能是() 小雪 A.5米 B.15米 C.40米 D.50米 【变式1】(25-26九年级上·湖北武汉期中)如图，半径为5和V34的两个圆都以点0为圆心，大圆的弦 AB交小圆于C,D两点，若CD=8,则AB的大小为() A.6 B.8 C.10 D.12 【变式2】(25-26九年级上·贵州遵义期末)如图，两个圆都以点0为圆心，大圆的弦AB交小圆于C,D 两点，大圆的半径为10，小圆半径为7.若AB=16,则弦CD的长是 0 【变式3】(25-26九年级上：河南周口期末)如图，半径为3V5和5的两个圆都以0为圆心，大圆的弦 AB交小圆于CD两点，若CD=8,则AB=一 0 题型07 垂径定理的推论 【典例1】(2026陕西西安·模拟预测)如图，△ABC内接于⊙O,AB=AC,点D在⊙0上，OD平分 9/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB,若∠B=68°，则∠AD0的度数为() A.68 B.63 C.56° D.48° 【变式1】(2026广东佛山'二模)如图，网格中的每个小正方形的边长都为1，一条圆弧经过A,B,C 三点，则这条圆弧所在圆的半径长为() B A.2 B.5 C.2 D.3 【变式2】(2026辽宁鞍山一模)如图，⊙0的半径为5，弦AB的长为8，点C是⊙0上一点，且 AC=BC,连接CO并延长，交AB于点D,交⊙O于点E,则DE的长为 D B E 【变式3】(2425九年级上江苏扬州期中)如图，过AB的中点C作CD⊥AB,垂足为D,AD=4, CD=2,则AB所在圆的半径长是 C ◇ D B 题型08 垂径定理的实际应用 【典例1】(25-26九年级上浙江杭州期末)如图，某学校的石拱门顶部是拱门模型，跨度（弧所对的弦 10/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的长AB)为6米，拱高（弧的中点到弦的距离CD)为2米，则该拱门模型的半径为(） D 13 A.4米 B.4米 c.米 D.5米 【变式1】(25-26九年级上浙江宁波期末)图1是一个球形灯罩，图2是球形灯罩的轴截面示意图，过 最高点H的直线HF经过圆心，且垂直底座CD于点F,点A,B在圆上，AC,BD都垂直于CD,己知 AC=BD=lcm,CD=12cm,HF=3lcm,则灯罩轴截面所在圆的半径为() H C FD 图1 图2 A.15.5cm B.15.6cm C.15.7cm D.15.8cm 【变式2】(2026安徽芜湖·二模)如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为6cm,瓶内液体已经过 半，液面到烧瓶底部最大距离为8cm,则截面圆中弦AB的长为 cm 【变式3】(2026河北廊坊一模)如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称 “月洞门”.图2是月洞门的示意图，月洞门呈圆弧形，用ACB表示，点O是ACB所在圆的圆心，AB是 月洞门的横跨，CD是月洞门的拱高.已知AB=3m,CD=2.5m,则月洞门所在圆的半径为m. C D 图1 图2 11/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型09 利用垂径定理求最值 【典例1】(2425九年级上·浙江嘉兴阶段检测)如图所示，已知⊙0的半径为10，弦AB=12,M是 AB上任意一点，则线段OM长的最小值是() M A.7 B.8 C.9 D.11 【变式1】(25-26九年级上河北邢台期末)如图，P是劣弧AB上的一动点，OP与AB交于点C.若 AB=8,OP=5,则OC的最小值为() A.2 B.3 C.4 D.5 【变式2】(2025九年级全国专题练习)如图，⊙0的半径是5，弦AB=8,P是弦AB上的一个动点 (不与点A,B重合)，则线段OP的最小值是一 P 【变式3】(2425九年级上江苏盐城期中)如图，在半圆0中，直径AB=6,C是半圆上一点，将弧 AC沿弦AC折叠交AB于D,点E是弧AD的中点.连接OE,则OE的最小值为 B E 12/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 强化训练 基础自测 一、单选题 1.(25-26九年级上浙江课后作业)如图，CD为⊙0的直径，弦AB⊥CD于E,CE=2,AE=3,则 △ACB的面积为() D E A.3 B.5 C.6 D.8 2.(25-26九年级上广西柳州期中)如图是排水管示意图，截面是半径为5分米的圆，管内水面AB=8 分米，则水深CD等于() 0 C B D A.√2分米 B.√3分米 C.2分米 D.3分米 3.(25-26九年级上重庆期中)如图，AB为⊙0的直径，BC=BD,∠CDB=24°，则∠ACD的度数为 () D A.24° B.66 C.729 D.48 4.(25-26九年级上浙江杭州期中)如图，四边形ABCD内接于⊙O中，直径DE L AB交AB于点F, OB∥CD,若⊙O半径为5，BC=4,则AB的长度是() 13/21 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D O B A.8 B. 2 c5 5.(25-26九年级上江苏苏州月考)如图，CD是O0的直径，AB是弦，CD⊥AB,则下列结论不一定 正确的是() B O A.AE=BE B.OE=DE C.A0=CO D.AD=BD 二、填空题 6.(25-26九年级上江苏苏州月考)如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC所在圆的圆心坐标是 7.(25-26九年级上浙江杭州期中)如图，已知⊙O中，直径AF⊥弦BC于点H,点D在AB上， AC-BD=60°，过点A作AE⊥CD交CD于点E,已知AE=3,且BC=4,则OO的半径长为一 14/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y D B 8.(25-26九年级上·北京期中)如图，OA是⊙0的半径，弦BC⊥OA,D是⊙0上一点，且点D在优弧 BC上.若∠ADB=26°，则∠AOC的度数为—°. 9.(25-26九年级上山东泰安·月考)如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD,垂足为E,若AB=12, BE=3,则CD的长为 B D 10.(25-26九年级上内蒙古呼和浩特·月考)如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为cm，瓶内液 体已经过半，最大深度CD=Tcm,则截面圆中弦AB的长为， cm D 三、解答题 11.(25-26九年级上海南省直辖县级单位期中)如图，AB,AC是⊙O的弦，AB=AC,半径OE,OF 分别与弦AB,AC垂直，垂足分别为G,H,AM∥OF,交OE于点M,AN∥OE交OF于点N,连 15/21 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 接OA A E F M G H B (I)求证：∠AOE=∠AOF: (2)求证：四边形AMON是菱形. 12.(25-26九年级上浙江湖州月考)如图，在⊙0中，弦AB垂直平分半径OC. B (1)求∠C的度数： (2)若⊙0的半径为r,求弦AB的长. 13.(25-26九年级上：安徽六安月考)如图，⊙0的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,∠A=22.5°. OC=4,求CD、BE的长. D 14.(25-26九年级上：浙江杭州月考)如图，AD是O的直径，弦BC⊥AD于点P,连接AB,BD D (I)求证：∠A=∠DBC (2)若BC=16,PD=4,求O的半径. 16/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15.(25-26九年级上黑龙江大庆期中)如图，OA=OB,AB交⊙0于点C,D,OE是半径，且 OE⊥AB于点F, B D (I)求证：AC=BD: (2)若CD=8,EF=1,求⊙0的半径. 能力提升 一、单选题 1.(25-26九年级下湖南期中)如图，在⊙0中，⊙0的半径长为4V2,圆心O到AB的距离0E=4,则 弦AB的长为() A.8 B.82 C.4 D.42 2.(2026江苏宿迁·一模)如图，CD为⊙0的直径，弦AB⊥CD于E,BC=V3,AE=3,则△ACB的 面积为() EO D A.3 B.4 c.5 D.6 3.(2022山东枣庄模拟预测)如图，已知AB是⊙0的直径，弦CD交AB于点E,∠CEA=30°，OE=2 ,DE=5V3,则AE+CE=() 17/21 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.5+5V3 B.5+4V5 C.5+3v3 D.7+3V5 4.(2026河南安阳一模)如图，AB是⊙0的弦，半径0C1AB于点D,若AB=6cm,CD=2cm,则半 径OA的长为() A.4cm B.5cm 11 cm D.4 5.(2026广西百色·三模)如图，化学实验中有一个底部呈球形的烧瓶，其截面圆中弦AB的长为8cm, 瓶内液体已经过半，最大深度CD=8m,则球的半径为() 烧瓶 y B D A.5cm B.4cm C.8cm D.10cm 二、填空题 6. (2026江苏常州一模)如图，在O0中，AB是直径，弦CD1AB于点E,若AB=6cm,OE=2EB, 则CD= cm E D 18/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.(2026北京大兴一模)《弧矢算术》为明代数学家顾应祥所撰，该著作系统整理了“径矢求弦、径弦 求矢、弦矢求径”等10余类问题，是中国古代切割圆形进行计算的重要方法，对当时的工程测量、历法计 算具有重要实用价值.其中有一题目为：“圆径十寸，从旁截一弧，矢阔一寸.问：截弦？”.题意为： 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E.若AB=10,AE=1,则CD的长为一· B 8.(2026黑龙江哈尔滨模拟预测)如图，在⊙0中，AB为直径，弦CD⊥AB于点H,若AH=CD=4, 则⊙0的半径长为. H D P 9.(2026内蒙古赤峰二模)如图，AB是⊙0的直径，点C在⊙0上，连接AC.过点C作AB的垂线， 垂足为G在AB的垂线上截取CD=AC,CD交O0于点F,连接AD,交O0于点H.若AG=12,GF=5, 则DF的长度为一 G F 10.(25-26九年级下·湖南长沙期中)所学即所用，所用即所得，周末邓紫展同学利用所学测算如图①所 示的厨房锅盖直径，图②是其截面图，垂直放置的锅盖与架子左右两竖杆的交点为A,B,锅盖直径为 40cm,锅盖最低点C到AB的距离是8cm,则AB= cm 19121 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 图① 图② 三、解答题 11.(24-25九年级上·甘肃平凉·阶段检测)如图是我国古代园林的圆形拱门，它是⊙0的一部分，已知拱 门的地面宽度CD=2m,线段EM是过圆心且垂直于CD于点M,EM=2m,求构成该拱门的⊙O的半径」 E 12.(25-26九年级下·全国课后作业)如图，AB是⊙0的弦，半径0C1AB于点D,且 AB=8cm,OC=5cm.求DC的长. dD B 13.(25-26九年级下·山东聊城阶段检测)如图，已知点O是∠EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆 和角的两边分别交于点A、B和C、D.求证： B一E (1)∠OBA=∠OCD. (2)AB=CD 14.(2026山东临沂·二模)如图，AB是⊙0的直径，BC,BD是⊙0的两条弦，点C与点D在AB的两 20121 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 侧，E是OB上一点(OE>BE),连接OC,CE,且∠BOC=2∠BCE. B E D 图1 图2 (1)如图1，若BE=1,CE=2,求⊙0的半径： (2)如图2，若BD=2OE,求证：BD‖OC 15.(2026安徽合肥三模)如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB,垂足为H,BC⊥AB,交AD延长线 于点C 0月 B (I)求证：D是AC的中点： (2)若AB=12,AC=4W13,求⊙0的半径. 21/21 专题3.3 垂径定理 教学目标 1. 理解垂径定理的内涵与推导过程，明确定理的条件和结论，能准确表述定理内容。 2. 掌握垂径定理及其推论的应用方法，能解决弦长、半径、弦心距的相关计算问题。 3. 培养几何建模与逻辑推理能力，体会数形结合思想在圆的相关问题中的运用。 教学重难点 1.重点 （1）垂径定理的推导过程与核心内容，以及定理和推论之间的内在逻辑联系。 （2）运用垂径定理建立半径、弦长、弦心距的数量关系，解决实际几何计算问题。 2.难点 （1）分析复杂圆的图形，精准构造符合垂径定理应用的辅助线，转化已知条件。 （2）区分垂径定理及其推论的适用场景，避免在解题中混淆条件与结论。 知识点01 垂径定理及推论 1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦、且平分弦所对的两条弧。 证明：连AO、BO ∵CD⊥AB ∴∠AEC=∠CEB=90° 又∵OE=OE，OA=OB ∴△OAE≌△OBE（HL） ∴AE=EB，∴= = 2）知二推三（推论） ①CD过圆心（直径/半径）；②CD垂直弦AB；③CD平分AB；④=；⑤= 垂径定理重要推论：上述5个条件中，任意2个条件成立，则其余3个条件必定成立，即“知二推三”。 3）重要公式：设半径为r，，=d，根据勾股定理： 圆中常用的辅助线：连OB，作OE垂直弦AB，构造出直角三角形。 【即学即练】1．（25-26九年级下·福建泉州·期中）如图，的直径垂直于弦，则的度数为（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂径定理得出，再根据圆周角定理得出，从而求出的度数． 【详解】解：连接， 为的直径，， ， ． 与分别是所对的圆周角和圆心角， ． ， ， ． 2．（25-26八年级下·山东日照·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，当筒车工作时，盛水桶的运行路径可以看作是以轴心为圆心的，且圆心在水面上方．在某一时刻，被水面截得的弦长为6米，过点作，交于点，交于点，水面下盛水桶的最大深度为1米（即米），则的半径为____________米． 【答案】 【分析】由垂径定理可得的长，设的半径为，则可用含的式子表示，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：， 米， （米） ． 设的半径为米，则，． 在中，由勾股定理得， 即． 解得． 3．（25-26九年级下·四川内江·阶段检测）如图是某桨轮船的轮子的示意图，桨轮船的轮子被水面截得的弦长．设圆心为O，，交水面于点D，轮子的吃水深度为，求该桨轮船的轮子半径． 【答案】 【分析】利用垂径定理和勾股定理列出方程进行求解． 【详解】解：设轮子的半径为，则， ∵， ∴， 由勾股定理得， 即， 解得． 题型01 利用垂径定理判断正误 【典例1】（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，是的直径，是弦且不是直径，，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理．解题的关键是熟练掌握垂径定理的内容． 由于，根据垂径定理有，，不能得出，圆的半径都相等，即可求解； 【详解】解：， ，， 的半径都相等， 那么， 不能得出． 故选B． 【变式1】（25-26九年级上·山东聊城·期末）如图，是的直径，是弦但不是直径，于点，连接，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了垂径定理，由于于点，是的直径，得到，，，即可得到答案． 【详解】解：∵于点，是的直径， ∴，，， 无法证明， ∴C不正确，符合题意；A、B、D正确，不符合题意； 故选：C． 【变式2】（23-24九年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，用尺规按照下面步骤作图： ①作线段的垂直平分线； ②作线段的垂直平分线，交于点； ③以为圆心，长为半径作，分别交于点M，N． 嘉嘉和瑣瑣分别给出了一个结论．嘉嘉：点O是的外心． 瑣瑣：若，则． 对于两人的结论，下列判断正确的是（   ） A．两人的结论都正确 B．两人的结论都不正确 C．嘉嘉的结论正确，瑣瑣的结论不正确 D．瑣瑣的结论正确 ，嘉嘉的结论不正确 【答案】C 【分析】本题考查了作图复杂作图,尺规作图和三角形外心的性质．根据三角形外心的定义对嘉嘉的结论进行判断；利用垂径定理对瑣瑣的结论进行判断． 【详解】解：点是和的垂直平分线的交点， 点是的外心，故嘉嘉的结论正确； ， ∴，不能说明， 和的长度不确定，故瑣瑣的结论不正确． 故选：C． 【变式3】（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，在中，是直径，是弦，且，垂足为C，下列结论： ①，②，③，④上述结论中，正确的有_______（填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查的是垂径定理，熟知垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键． 根据垂径定理对各小题进行逐一分析即可． 【详解】解：∵在中是直径，是弦，且， ∴，，，故①②③正确； ∵不一定过的中点， ∴与的大小关系不能确定． 故答案为：①②③． 题型02 利用垂径定理求角度 【典例1】（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，在中，半径垂直弦，D为上的点，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理．连接，根据圆周角定理可得，再由垂径定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵半径垂直弦， ∴， ∴． 故选：B 【变式1】（25-26九年级上·浙江·月考）如图，在中，弦垂直平分半径，点C是圆上的一点，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，连接、，由垂直平分线的性质得，，再证、都是等边三角形，得出，求出，然后由圆周角定理即可得出答案． 【详解】解：如图，连接、， ∵弦垂直平分半径， ∴，， ∵， ∴， ∴、都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·陕西延安·月考）如图，点A、B、C、D都在上，连接、，，则的度数为 ． 【答案】40 【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，等边对等角和三角形内角和定理，连接，由垂径定理和圆周角定理可求出，再由等边对等角和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：40． 【变式3】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的直径，的度数是，的度数是，且，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，熟练掌握圆周角定理，垂径定理是解决问题的关键；过点作于点，的延长线交于点，过点作于点，的延长线交于点，根据垂径定理得：，的度数的度数，然后可得点在同一条直线上，同理：的度数的度数，点在同一条直线上，进而根据圆周角定理可进行求解． 【详解】解：过点作于点，的延长线交于点，过点作于点，的延长线交于点，如图所示： 根据垂径定理得：，的度数的度数， 是线段的垂直平分线， ， 根据等腰三角形性质得：， ， ， ， ， ∴点在同一条直线上， 同理：的度数的度数，点在同一条直线上， 的度数为的度数的度数）， 根据圆周角定理得：的度数． 故答案为：． 【典例1】 题型03 利用垂径定理求线段长度 【典例1】（2026·黑龙江佳木斯·二模）如图，的直径，弦于点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂径定理解答即可． 【详解】解：∵的直径，弦于点，， ∴． 6．（2026·湖南长沙·一模）如图，是的直径，弦于点，连接，已知，则的长为（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】A 【分析】根据垂径定理得到，设的长为x，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵是的直径，弦于点， ∴， ∵， ∴， 设的长为x， 则， ∴， 解得：，（大于半径，舍去）． 即的长为2． 7．（25-26九年级上·北京东城·期中）已知中，弦，圆心到的距离为3cm，则此圆的半径为________ 【答案】5 【分析】过圆心作弦的垂线，利用垂径定理得到弦长的一半，再结合勾股定理即可求出圆的半径． 【详解】解：如图所示，过点作于点，连接， ∵，是的弦， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴，即此圆的半径为． 8．（2026·安徽阜阳·三模）已知是的直径，弦，垂足为点E，连接，，，则弦的长为________． 【答案】 【分析】利用垂径定理得到，再结合勾股定理建立等式求解的长度，即可得到的长． 【详解】解：连接， 是的直径，， ， ，垂足为， 由垂径定理得，， 设，，， 在中，， 由勾股定理得， 在中，， 由勾股定理得， 展开整理得，即， 将代入得， 解得， 把代入得， ， ， ． 题型04 利用垂径定理求坐标 【典例1】（25-26九年级上·广西钦州·期末）如图，在直角坐标系中，经过原点O，并与x轴交于点B，已知点A的坐标是，则点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的定义及性质，综合运用以上知识是解题的关键．连接，，过点A作于点C，先证是等腰三角形，结合与点A的坐标是，得到，从而求得点B坐标． 【详解】解：如图，连接，，过点A作于点C， ∵经过原点O，并与x轴交于点B， ∴， ∵， ∴． ∵点A的坐标是，， ∴， ∵， ∴， ∵点B在x轴上， ∴点B的坐标是． 故选：C． 【变式1】（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，以点为圆心的圆弧与轴交于A、B两点，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点P作于D，则A，B两点一定关于对称．即可求解． 【详解】解：过点P作于D， 则D的坐标是． 点的坐标为， ． ． ，B两点一定关于对称， ． ． 则点A的坐标是． 故选∶B． 【变式2】（24-25九年级上·吉林白城·阶段检测）如图，半径为5的与轴交于点、，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形性质，垂径定理等知识点，过A作于D，连接，根据点B和点C的坐标求出，再根据垂径定理求出，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：过A作于D，连接， ∵半径为5的与y轴交于点、， ∴，，， ∵，过圆心A， ∴， ∴， ∴点A的纵坐标是6， 由勾股定理得：， ∴点A的横坐标是3， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·山东济宁·期中）如图，为轴正半轴上一点，与轴负半轴交于点，与轴正半轴交于点，连接，将绕顶点逆时针旋转得到，此时点恰在上，若半径为，则点的坐标是_____．    【答案】/ 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化——旋转，熟练掌握旋转的性质，垂径定理，矩形的判断和性质，勾股定理解三角形，是解题的关键． 过点M作的垂线，垂足为N，连接，利用垂径定理证明四边形是矩形，令，则，利用勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】解：过点M作的垂线，垂足为N，连接，    则， ∵半径为， ∴， 由旋转知，，，， ∴轴， ∴轴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． ∴， 令，则， 在中，， 解得（舍负）， ∴， 即． 又∵， 即． 所以点D的坐标为：， 故答案为：． 题型05 利用垂径定理求平行弦问题 【典例1】（25-26九年级上·山东滨州·期中）已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】解题需分情况讨论弦、与圆心的位置关系，避免漏解，先求出圆心到两条弦的距离，再分情况计算两弦间的距离。 【详解】解：①当弦和在圆心同侧时， 连接，，过点作于点并延长交于点．则，如图， ，， ，， ， ，， ； ②当弦和在圆心异侧时，如图， ，， ，， ， ，， ． 与之间的距离为或． 【变式1】（25-26九年级上·河南新乡·阶段检测）已知的半径为，弦，且，，则与之间的距离为______． 【答案】或 【分析】由于弦，需分两种情况讨论：当与在圆心同侧时，距离为圆心到两弦距离之差；当在圆心两侧时，距离为圆心到两弦距离之和，利用垂径定理和勾股定理求出圆心到各弦的距离． 【详解】过点作于点，则为中点，连接， ∴， 在中，， 由勾股定理得， 过点作于点，则为中点， ∴， 在中，， 由勾股定理得， 如图所示，当与在圆心同侧时，与之间的距离为； 如图所示，当与在圆心两侧时，与之间的距离为． 故答案为：或． 【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理的应用，通过作圆心到弦的垂线，将弦长、半径和弦心距转化为直角三角形的三边关系，实现几何量的计算；解决本题的关键是利用分类讨论的思想，当两条平行弦在圆内时，需分弦的圆心同侧和弦在圆心两侧两种情况． 【变式2】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）已知的半径为，弦，弦，，则这两条平行弦、的距离为___________． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论，即弦和在圆心的同侧或异侧，分别求出圆心到两条弦的距离，再计算两条平行弦的距离．本题主要考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理并分情况讨论是解题的关键． 【详解】解：过点作于点，交于点，连接，． ，， ． ，，， ，． 在中，． 在中，． 当，在圆心的同侧时， ； 当，在圆心的异侧时， ． 故答案为：或． 【变式3】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，A，B，C，D在上，经过圆心O的线段于点F，与交于点E，已知半径为5． （1）若，，求的长； （2）若，且，求弦的长； 【答案】（1）7；（2）8 【分析】（1）连接AO和DO，由垂径定理得，再由勾股定理求出OF的长，同理求出OE的长，即可求出EF的长； （2）连接BO和DO，先由垂径定理和勾股定理求出OE的长，设，在中，利用勾股定理列式求出x的值，得到BF的长，即可求出AB的长． 【详解】解：（1）连接AO和DO， ∵，且EF过圆心， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理， ， ∴； （2）如图，连接BO和DO， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ，解得，（舍去）， ∴， ∴． 【点睛】本题考查垂径定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理，并能够结合勾股定理进行运用求解． 题型06 利用垂径定理求同心圆问题 【典例1】（2026·河北石家庄·一模）如图，小高和小雪分别沿着环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练，两个人的速度相同，已知内圈跑道的半径为20米、外圈跑道的半径为25米，则慢跑过程中两人的距离不可能是（   ） A．5米 B．15米 C．40米 D．50米 【答案】D 【分析】根据同心圆上两点之间的最值问题进行解决． 【详解】解：根据同心圆的半径可知， 两圆上两点最远的距离为（米）， 两圆上两点最近的距离为（米）， ∴两人的距离不可能是50米． 【变式1】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，半径为5和的两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于，两点，若，则的大小为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，解题的关键是正确作出垂线．连接，过点作于点，由垂径定理可得，再由勾股定理可得，求出，即可求解． 【详解】解：连接，过点作于点， ∵，经过圆心， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴（舍去负值）， ∴ 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·贵州遵义·期末）如图，两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于两点，大圆的半径为10，小圆半径为7．若，则弦的长是__________． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，过圆心作弦的垂线构造直角三角形是解题的关键． 作于点，连接、，根据垂径定理可得，，再利用勾股定理分别求出和的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，作于点，连接、， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，半径为和5的两个圆都以为圆心，大圆的弦交小圆于两点，若，则____． 【答案】12 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，过点作于点，连接，由垂径定理可得，由勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点作于点，连接， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 故答案为：． 题型07 垂径定理的推论 【典例1】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，内接于，，点在上，平分，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，令的交点为，先求出，再利用垂径定理及三角形内角和定理得到，最后求出等腰三角形的底角的度数即可. 【详解】解：连接， ∵ ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴即：， ∴， ∵， ∴. 【变式1】（2026·广东佛山·二模）如图，网格中的每个小正方形的边长都为1，一条圆弧经过，，三点，则这条圆弧所在圆的半径长为（     ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查网格中圆弧所在圆的半径计算，解题核心是利用垂径定理的推论确定圆心，再结合勾股定理计算半径． 【详解】解：圆弧经过，，三点，连接，， 圆心在和垂直平分线的交点， 半径． 【变式2】（2026·辽宁鞍山·一模）如图，的半径为5，弦的长为8，点C是上一点，且，连接并延长，交于点D，交于点E，则的长为________． 【答案】2 【分析】连接，根据垂径定理推论可得，，勾股定理求出，即可得． 【详解】解：连接， ∵点C是上一点，且，连接并延长，交于点D，交于点E，弦的长为8， ∴，， ∵的半径为5， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，过的中点作，垂足为，，，则所在圆的半径长是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理的推论，勾股定理，解一元一次方程等知识点，熟练掌握垂径定理的推论及勾股定理是解题的关键． 由“点是的中点，”，根据垂径定理的推论可知，所在圆的圆心在所在的直线上，延长到圆心，连接，设所在圆的半径长为，则，，在中，根据勾股定理可得，即，解方程即可求出所在圆的半径长． 【详解】解：如图，延长到圆心，连接， 设所在圆的半径长为，则， ， ， 在中，根据勾股定理可得： ， ， 解得：， 所在圆的半径长为， 故答案为：． 题型08 垂径定理的实际应用 【典例1】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，某学校的石拱门顶部是拱门模型，跨度（弧所对的弦的长）为6米，拱高（弧的中点到弦的距离）为2米，则该拱门模型的半径为（   ） A．米 B．4米 C．米 D．5米 【答案】A 【分析】设拱门的圆心为O，连接，设拱门的半径为r，由垂径定理可得米，再根据勾股定理列出方程，解方程即可求出拱门的半径r． 【详解】解：如图，设拱门的圆心为O，连接， 设拱门的半径为r， 由题意可得：米，米，点O，D，C三点共线， 米， ， ， ， ． 【变式1】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）图1是一个球形灯罩，图2是球形灯罩的轴截面示意图，过最高点的直线经过圆心，且垂直底座于点，点在圆上，都垂直于．已知，，，则灯罩轴截面所在圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了垂径定理、勾股定理，矩形的性质与判定，连接交于点，设圆心为点O，连接，证明四边形是矩形，四边形是矩形，得到，由垂径定理可得，设灯罩截面所在圆的半径为，则，由勾股定理可得，，据此即可求出答案． 【详解】解：连接交于点，设圆心为点O，连接， ∵都垂直于．， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵直线经过圆心， ∴， 设灯罩截面所在圆的半径为，则 在中，由勾股定理可得， 即， 解得 即灯罩截面所在圆的半径为， 故选：B． 【变式2】（2026·安徽芜湖·二模）如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，液面到烧瓶底部最大距离为，则截面圆中弦的长为_______． 【答案】 【分析】过点作交于点，延长交于点，连接，根据题意可得，，，，先求出，再根据勾股定理求出，即可求出，即可得出答案． 【详解】解：过点作交于点，延长交于点，连接，如图： 则，，，， ∴， 在中，， ∴． 即截面圆中弦的长为． 【变式3】（2026·河北廊坊·一模）如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”．图2是月洞门的示意图，月洞门呈圆弧形，用表示，点O是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高．已知，，则月洞门所在圆的半径为______． 【答案】 【分析】设月洞门所在圆的半径为，则，，由垂径定理得到，再由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 设月洞门所在圆的半径为，则， ∴， 由题意得，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴月洞门所在圆的半径为． 题型09 利用垂径定理求最值 【典例1】（24-25九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图所示，已知的半径为，弦，是上任意一点，则线段长的最小值是（    ） A．7 B．8 C．9 D．11 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，垂线段最短等知识点，熟练掌握垂线段最短是解题的关键． 连接，过点作，垂足为，则此时最短，然后利用垂径定理、勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点作，垂足为，则此时最短， ，， ， 在中，， 故选：B． 【变式1】（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图，是劣弧上的一动点，与交于点．若，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先过点O作，运用垂径定理，勾股定理进行列式计算，得，再结合是上的一动点，与交于点，进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，过点O作，交于一点，连接，如图所示： ∵，， ∴，， ∴， ∵是上的一个动点，与交于点． ∴当时，即点与点重合时，则有最小值，且为3， 故选：B 【变式2】（2025九年级·全国·专题练习）如图，的半径是5，弦，P是弦上的一个动点（不与点A，B重合），则线段的最小值是_____． 【答案】3 【分析】利用垂线段最短的性质，当时，取得最小值．结合垂径定理和勾股定理来计算的长度． 【详解】解：过点作于点．根据垂线段最短，此时的长度就是的最小值． 由垂径定理可知，． ∵， ∴． 已知⊙的半径，在中，根据勾股定理： ． ∴线段的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解题关键是利用垂线段最短确定最小时的位置，再结合垂径定理和勾股定理进行计算． 【变式3】（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，在半圆中，直径，是半圆上一点，将弧沿弦折叠交于，点是弧的中点．连接，则的最小值为 _______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了轴对称、垂径定理、勾股定理和圆的有关知识，解题的关键是通过作辅助线，根据三角形三边关系确定的取值范围． 把所在的圆补全为，可知点与点关于对称，求出，长，的最小值为． 【详解】解：如图，把所在的圆补全为，连接，，，，交于点，可知点与点关于对称，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点是弧的中点， ∴， ∴， ∵， 在中，， ∵， ∴的最小值为． 故答案为：． 一、单选题 1．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，为的直径，弦于E，，，则的面积为（　　） A．3 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的面积；垂径定理的应用是解此题的关键； 根据垂径定理求出，根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】为的直径，，， ， ， 的面积为， 故选：C． 2．（25-26九年级上·广西柳州·期中）如图是排水管示意图，截面是半径为5分米的圆，管内水面分米，则水深等于（   ） A．分米 B．分米 C．2分米 D．3分米 【答案】C 【分析】本题主要考查的是垂径定理的应用，由题意知，交于点C，由垂径定理可得出的长，在中，根据勾股定理求出的长，由即可得出结论． 【详解】解：连接， 由题意知，交于点C， ∵分米， ∴（分米）， 在中，根据勾股定理得： （分米）， ∴（分米）． 故选：C． 3．（25-26九年级上·重庆·期中）如图，为的直径，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，掌握相关知识是解题的关键．先根据为的直径，，得到，则，再根据圆周角定理得到，进而即可求解． 【详解】解：∵为的直径，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形内接于中，直径交于点，，若半径为5，，则的长度是（   ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于点，连接，则，设，则由勾股定理得，解得，再由勾股定理求解，然后证明，最后由垂径定理得到． 【详解】解：过点作于点，连接，则， 设， 则由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识点，解题的关键是正确添加辅助线，运用垂径定理和勾股定理求解． 5．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）如图，是的直径，是弦，，则下列结论不一定正确的是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题重点考查垂径定理、线段的垂直平分线的性质等知识，正确理解和应用垂径定理是解题的关键． 由是的直径，是弦，，根据垂径定理得，可判断不符合题意；连接、，因为垂直平分，而但不一定平分，所以，而与不一定相等，可判断B符合题意，不符合题意；由、都是的半径，得，可判断不符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：是的直径，是弦，， ， 故A不符合题意； 连接、， 垂直平分，而但不一定平分， ，而与不一定相等， 故B符合题意，不符合题意； 、都是的半径， ， 故C不符合题意， 故选：B． 二、填空题 6．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）如图，在平面直角坐标系中，所在圆的圆心坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理的推论，熟练掌握垂径定理的推论是解题关键．连接，根据垂径定理的推论可得的线段垂直平分线的交点即为所求，结合网格写出坐标即可得． 【详解】解：连接，结合网格作的线段垂直平分线，交点即为所在圆的圆心． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知中，直径弦于点，点在上，，过点作交于点，已知，且，则的半径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理、圆周角定理及勾股定理的综合应用，解题的关键是结合弧的关系推导圆周角，再利用直角三角形性质和勾股定理建立方程． 先由垂径定理得的一半长度，结合弧的关系推导的度数，再在直角三角形中求出的长，最后通过勾股定理建立关于半径的方程求解． 【详解】解：由垂径定理得： 直径，是中点， ． 设，则． ， ， ． 由圆周角定理，． ，，， （直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半）． ，， 由勾股定理得 设， ， 在中，， 即； 在中，， 即， 解得． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·北京·期中）如图，OA是的半径，弦，D是上一点，且点在优弧BC上．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，熟练掌握圆周角定理，垂径定理是解题的关键． 连接，根据垂径定理，证明，圆周角定理，证明，计算即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（25-26九年级上·山东泰安·月考）如图，是圆的弦，直径，垂足为，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，连接，首先根据题意可求得，，根据勾股定理即可求得的长，再根据垂径定理即可求得的长． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴，， ∵， ∴在中，， ∴． 故答案为：． 10．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·月考）如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 由垂径定理得，再由勾股定理得，进而完成解答． 【详解】解：如图，连接， 由题意得：， ， 由条件可知， 由勾股定理得：， ． 截面圆中弦的长为． 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，是的弦，，半径，分别与弦，垂直，垂足分别为，，，交于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查弧，弦，圆心角之间的关系，垂径定理，菱形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据弧，弦，角之间的关系以及垂径定理，即可得证； （2）先证明四边形为平行四边形，等积法推出，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵半径分别与弦垂直， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵半径分别与弦垂直， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为菱形． 12．（25-26九年级上·浙江湖州·月考）如图，在中，弦垂直平分半径． (1)求的度数； (2)若的半径为，求弦的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是垂径定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解决问题的关键． （1）由已知条件得出，证出，得出，证出是等边三角形，即可得出结果； （2）由垂径定理得出，由勾股定理得出方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：弦垂直平分半径． ，， ， ， ， 是等边三角形， ； （2）解：的半径为， 垂直平分半径， ，， 在中，， 即， 解得：或（舍去）， 弦的长为． 13．（25-26九年级上·安徽六安·月考）如图，的直径垂直于弦，垂足为，．，求、的长． 【答案】， 【分析】本题主要考查垂径定理，圆周角定理，勾股定理，掌握相关定理及应用是解题的关键． 根据圆周角定理得到，进而得到是等腰直角三角形，设，根据勾股定理可得，再由垂径定理得到，结合即可得到． 【详解】，， ，又， 是等腰直角三角形． ．设， ，解得， ， ， 过圆心，， ． 14．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，是的直径，弦于点，连接，． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等弧所对的圆周角相等，垂径定理，勾股定理等知识点，熟练掌握垂径定理是解题的关键． （1）由垂径定理可得，再由等弧所对的圆周角相等即可得出结论； （2）连接，设的半径为，由垂径定理可得，利用勾股定理列方程求解即可得出答案． 【详解】（1）证明：是的直径，， ． ． （2）解：连接， 设的半径为， 是的直径，， ，． ． ，， ，． ． 解得． 15．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查垂径定理、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，掌握垂径定理和等腰三角形的性质是解题的关键． （1）由垂径定理得到，由等腰三角形的性质得到，再根据线段的和差即可证明结论； （2）如图：连接，设的半径是r，则，由垂径定理得到，再根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图：连接， 设的半径是r，则， ∵， ∴， ∵， ∴，解得： ， ∴的半径是． 一、单选题 1．（25-26九年级下·湖南·期中）如图，在中，的半径长为，圆心到的距离，则弦的长为（   ） A．8 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理的内容是解题的关键． 利用垂径定理得到，根据勾股定理求出长，进而求出长． 【详解】解：是的半径，， 、， 在中，由勾股定理得：， ． 2．（2026·江苏宿迁·一模）如图，为的直径，弦于E，，，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据垂径定理求出的长，在中利用勾股定理求出的长，最后根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵为的直径，弦于，且， ∴， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴的面积为． 3．（2022·山东枣庄·模拟预测）如图，已知是的直径，弦交于点E，，， ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂径定理可知，由对顶角相等可知，再根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理可求出，，从而可求出的长，进而得出的长，由又可求出的长．再次根据勾股定理可求出，从而得出，最后计算即可． 【详解】解：如图，过点O作于点M，连接． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 4．（2026·河南安阳·一模）如图，是的弦，半径于点，若，，则半径的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂径定理和勾股定理进行解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 在中，由勾股定理可得：， 解得：， ∴， ∴则半径的长为． 5．（2026·广西百色·三模）如图，化学实验中有一个底部呈球形的烧瓶，其截面圆中弦的长为，瓶内液体已经过半，最大深度，则球的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆的圆心为点，连接，利用垂径定理得出，设半径为，在中利用勾股定理列关于的方程，求解即可． 【详解】解：设圆的圆心为点， 如图，连接， 由题意得，， ， 设半径为，即， 则， 在中， ，即， 解得， 球的半径为：． 二、填空题 6．（2026·江苏常州·一模）如图，在中，是直径，弦于点，若，，则__________． 【答案】 【分析】根据直径的长度求出半径，结合线段的数量关系求出的长，在直角三角形中利用勾股定理求出的长，最后根据垂径定理求出的长． 【详解】解：是的直径， ，且 在 中，由勾股定理得 是直径， 由垂径定理得． 7．（2026·北京大兴·一模）《弧矢算术》为明代数学家顾应祥所撰，该著作系统整理了“径矢求弦、径弦求矢、弦矢求径”等10余类问题，是中国古代切割圆形进行计算的重要方法，对当时的工程测量、历法计算具有重要实用价值．其中有一题目为：“圆径十寸，从旁截一弧，矢阔一寸．问：截弦？”．题意为：如图，是的直径，弦于点E．若，，则的长为_____． 【答案】 6 【分析】先根据圆的直径求出半径，再结合已知条件求出的长度，然后利用垂径定理和勾股定理求出的长度，最后根据垂径定理求出弦的长度． 【详解】解：连接，如图， 已知是的直径，且， 可得， 因为，， 所以． 因为弦于点， 根据勾股定理可得， 因为弦于点， 所以． 8．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，为直径，弦于点H，若，则的半径长为______． 【答案】// 【分析】连接，设圆的半径为，根据垂径定理可得，在中由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图，连接， 设圆的半径为， ∵， ∴， 在中，，， ∴ 解得， ∴半径为． 9．（2026·内蒙古赤峰·二模）如图，是的直径，点在上，连接．过点作的垂线，垂足为在的垂线上截取交于点，连接，交于点．若，则的长度为_____． 【答案】 【分析】连接，根据已知条件及垂径定理得到，，，然后，由勾股定理得，，最后可得出的长． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径，， ∴，，， ∵， ∴，， ∴． 10．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）所学即所用，所用即所得，周末邓紫展同学利用所学测算如图①所示的厨房锅盖直径，图②是其截面图，垂直放置的锅盖与架子左右两竖杆的交点为，，锅盖直径为，锅盖最低点到的距离是，则______． 【答案】32 【分析】根据题意设锅盖的圆心为，与交于点，连接，进而构造直角三角形，运用已知条件及勾股定理求出，由垂径定理可得的长． 【详解】解：如图，锅盖的圆心为，与交于点，连接， 由题意知，，， ∴，． ∴在中，， ∴． 三、解答题 11．（24-25九年级上·甘肃平凉·阶段检测）如图是我国古代园林的圆形拱门，它是的一部分，已知拱门的地面宽度，线段是过圆心且垂直于于点M，，求构成该拱门的的半径． 【答案】构成该拱门的的半径为． 【分析】根据垂径定理求出，设的半径为，则，，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，线段是过圆心且， ∴， 设的半径为，则， ∴， 在中，，即， 解得：， ∴构成该拱门的的半径为． 12．（25-26九年级下·全国·课后作业）如图，是的弦，半径于点，且．求的长． 【答案】 【分析】根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴． 13．（25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）如图，已知点是的平分线上的一点，以为圆心的圆和角的两边分别交于点、和、．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明：，理由如下： 过点分别作，，垂足分别为、， ，， 和是直角三角形， ， ， 在和中， ， ， ． (2)证明：， ， ，， ， ． 【分析】（1）过点分别作，，则可知，且，则可证得，可得出． （2）由，可得，再根据垂径定理即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 14．（2026·山东临沂·二模）如图，是的直径，，是的两条弦，点与点在的两侧，是上一点（），连接，，且． (1)如图1，若，，求的半径； (2)如图2，若，求证：． 【答案】(1) (2)证明：过作于， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【分析】（1）根据，结合同圆半径相等，推导与的位置关系，确定为直角三角形，利用勾股定理列方程求解即可； （2）过作于，利用垂径定理求出长，进而得到，证明，则，从而得出结论． 【详解】（1）解：， ， ， ，即， ， ， ， 解得：， 即的半径为； （2）略． 15．（2026·安徽合肥·三模）如图，是的弦，半径，垂足为H，，交延长线于点C． (1)求证：D是的中点； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明：如图，连接． ∵是的弦，半径， ∴D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即D为的中点； (2)的半径为． 【分析】（1）连接，根据垂径定理推出，根据直角三角形的性质及等腰三角形的判定推出，等量代换即可得解； （2）连接，根据垂径定理推出，根据勾股定理求出，设，则，根据勾股定理，据此求解即可． 【详解】（1）证明：略； （2）解：如图，连接． ∵半径，垂足为H，， ∴， ∵D是的中点，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， 即的半径为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $