专题3.1 圆的有关概念（7大题型+高效培优讲义）数学新教材浙教版九年级上册

本讲义聚焦圆的有关概念这一核心知识点，系统梳理圆的描述性与集合性定义，圆心、半径、直径等基本概念，点与圆的位置关系（d与r的关系），以及圆的对称性、确定条件等性质，构建从概念理解到性质应用再到实际问题解决的学习支架。 该资料通过“即学即练”即时巩固基础，题型分类（典例+变式）循序渐进，结合铅球测量等生活实例。以集合定义培养抽象能力，位置关系判断发展推理意识，实际应用强化应用意识，课中助力教师分层教学，课后学生可通过练习题查漏补缺，提升知识掌握度。

的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题3.1圆的有关概念 内容总览 1教学目标、教学重难点 知识点01圆的定义 2.知识清单 知识点02点与圆的位置关系 题型01圆的基本概念辨析 题型02圆的周长和面积问题 圆的有关概念 题型03判断点与圆的位置关系 题型04利用点与圆的位置关系求半径 3题型精讲 题型05点与圆上一点的最值问题 题型06三角形外接圆的概念辨析 题型07判断确定圆的条件 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1. 理解圆的定义及圆心、半径、直径等核心概念，明确点与圆的位置关系。 教学目标 2. 掌握圆的轴对称性、中心对称性等基本性质，能规范使用圆规作图。 3.初步运用圆的概念和性质分析简单问题，培养空间想象与逻辑推理能力。 1.重点 (1)圆的定义、半径与直径的关系等核心概念，以及圆的对称性这一关键性质。 (2)运用圆的基本概念和性质解释生活现象、解决基础几何问题的方法。 教学重难点 2.难点 (1)抽象理解圆的“集合定义”，明晰圆与其他平面图形的本质区别。 (2)灵活运用圆的对称性等性质分析问题，实现知识从理论到实际应用的转化。 1/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识清单 知识点01圆的定义 1)圆： 描述性定义：在平面内，线段OA绕它固定的一个端点0旋转一周，另一端点A所形成的轨迹。记作：“⊙ 0”,读作：“圆0”，其中端点0叫作圆心 集合性定义：圆是平面内所有到定点的距离等于定长的点的集合，定点是圆心，定长是半径。 B 2)基本概念 ①半径：线段OA叫作圆的半径(OB、OC也是圆的半径) ②弦：圆上任意两点间的线段（半径是特殊的弦） ③直径：经过圆心的弦（如AB) ④弧：圆上任意两点间的部分（如AC) ⑤半圆：圆的任一直径的两个端点将圆分成两条弧，每条弧叫作半圆 ⑥等圆：两个圆能完全重合（即全等，即半径r相等） 3)确定一个圆的两要素（圆心、半径） 4)圆的任一半径长度都相等 5)圆的任一直径长度都相等，且直径长度=2倍的半径长度 6)等弧：能够完全重合的两段弧是等弧。也可说在同圆或等圆中，等长弧对应的弧相等； 7)C=2πr S=πr2 【即学即练】1.如图，点A、B、C在⊙0上，ACI‖OB,∠B=25°，则∠BOC=() A.30° B.50° C.60° D.80° 2.如图，在⊙0中，点A,O,D在一条直线上，点B,O,C在一条直线上，那么图中有弦() 2/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B E D A.2条 B.3条 C.4条 D.5条 3.小海同学用一根细绳绕某一个圆形物体一周，剪去多余的部分，再拉直量出绳子的长度为15.7cm(π 取3.14)，则这个圆形物体的直径是」 cm 知识点02点与圆的位置关系 点和圆的位置关系 1)点和圆的位置关系有3种：圆外、圆上、圆内 2)设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OPd,则： P在圆外一dDr；P在圆上一止r: P在圆内一水r 【即学即练】4.已知⊙0的半径为7cm.若点P到圆心O的距离为l0cm,则() A.点P在⊙0上B.点P在⊙0内C.点P在⊙0外 D.无法判断 5.点PQ与⊙0的位置关系如图所示，若0P=8,O0=6,则⊙0的半径可能是() A.3 B.5 C.7 D.9 6.点P到⊙0的最近点的距离为2cm,最远点的距离为7cm,则⊙0的半径是 题型精讲 题型01圆的基本概念辨析 3/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例1】(25-26九年级上·河南平顶山期中)下列说法中，错误的是() A.经过点P的圆有无数个 B.以点P为圆心的圆有无数个 C.半径为3cm且经过点P的圆有无数个D.以点P为圆心，3cm长为半径的圆有无数个 【变式1】(23-24九年级上·江苏无锡·阶段检测)下列说法正确的是() A.弦是直径 B.半圆是弧 C,等弧就是长度相等的两条弧 D.圆是轴对称图形，对称轴是任意一条直径 【变式2】(25-26九年级上·北京·课后作业)下列说法：①弦是直径；②半圆是弧：③过圆心的线段是直 径；④圆心相同半径相同的两个圆是同心圆，其中错误的有」 一.（填序号) 【变式3】(2425九年级上浙江杭州阶段检测)如图，AB是⊙0的直径，弦CD⊥AB交于点E,若 0E=4,CE=3,则⊙0的半径为 题型02 圆的周长和面积问题 【典例1】(25-26九年级上江苏常州阶段检测)如图，在⊙0中，∠A0B=60°，弦AB的长为4，则 ⊙0的面积为() B A.3π B.16π C.8π D.9元 【变式1】(25-26七年级下山西运城期末)如图，正方形ABCD是由四个边长为2的小正方形拼成的， 连接AF和DF,分别以E,G为圆心，AE的长为半径画弧，两弧交于正方形ABCD的中心O处，图中阴影 部分的面积是() 4/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D G B--- A.4 B.6 C.2π D.4π 【变式2】(25-26六年级下·上海普陀阶段检测)·已知图1、图2中两个半圆的半径相等，00分别 是两圆的圆心，图1中的阴影部分面积为S,图2中的阴影部分面积为S,那么S与S之间的大小关系是 S S2. 01 02 图1 图2 【变式3】(23-24九年级上：河南期末)如图，周长为16的正方形ABCD中，E、F分别为AD、BC的中 点，连接EF,以AB和CD为直径的两个半圆分别与EF相切，则图中阴影部分的面积为 (结果保 留π)· B 题型03 判断点与圆的位置关系 【典例1】(2026云南昆明·二模)已知⊙0的半径为6，点A到圆心0的距离为7，则点A与圆的位置关 系为() A.在圆内 B.在圆上 C.在圆外 D.不确定 【变式1】(25-26八年级下·山东潍坊期末)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4.分别以B、 C为圆心，BC长为半径作圆B、圆C,下列关于点A的位置描述正确的是() A.在圆B外部，在圆C外部 B.在圆B外部，在圆C内部 C.在圆B内部，在圆C内部 D.在圆B内部，在圆C外部 5/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 【变式2】(24-25九年级上：江苏南京期中)⊙0的半径是5cm,同一平面内，若点P到点0的距离是 6cm,则点P与⊙0的位置关系为. 【变式3】(25-26九年级上辽宁鞍山阶段检测)如图，在Rt△ABC中，AC=6,BC=8,以点A为圆 心，BC为半径画圆，则点C与OA的位置关系是 题型04利用点与圆的位置关系求半径 【典例1】(25-26九年级上·浙江杭州期末)已知点P在半径为2的⊙0上，则OP的长是() A.1 B.2 C.3 D.4 【变式1】(25-26九年级上：江西九江·期末)点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径 r满足() A.0<r<6 B.0≤r≤6 C.r≤6 D.r>6 【变式2】(25-26九年级上·江苏盐城阶段检测)⊙0的半径为5，若点A在⊙0上，则0A= 【变式3】(23-24九年级上江苏常州阶段检测)平面上一点A与⊙0上点的最短距离为2，最长距离为 10,则⊙0半径为 题型05点与圆上一点的最值问题 【典例1】(2026四川绵阳一模)如图，已知⊙0的半径为2，P是⊙0外一点，OP=4,2是⊙0上的动点， 线段PO的中点为M,连结OP,OM,则线段OM的最小值是() M A.0 B.0.5 C.1 D.1.5 【变式1】(25-26九年级上河北石家庄期末)如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=4,点E是CD边上 6/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一点，连接AE,将△ADE沿直线AE折叠得到△AD'E,连接DD'交AE于点F,连接CF,则线段CF的 最小值为() A.210-2 B.2W10+2 C.25-2 D.2W5+2 【变式2】(25-26七年级下·山东潍坊期末)已知⊙0的半径为5cm,P是⊙0内一点，OP=3cm,则点 P到⊙0上各点的最大距离是 cm 【变式3】(2023江苏徐州模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，C(0,8),4(6,0),⊙A半径为4，P 为⊙A上任意一点，E是PC的中点，则OE的最小值是 题型06三角形外接圆的概念辨析 【典例1】(2425九年级上·广东广州阶段检测)下列命题中，真命题的个数是() ①经过三点一定可以作圆；②任意一个圆只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个外接圆，并 且只有一个外接圆：④三角形的外心到三角形的三边距离相等. A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【变式1】(2425九年级上·浙江杭州期末)以Rt△ABC的斜边AB为直径作圆，点C在 (填 “圆内”“圆上”或“圆外”中的一个)· 【变式2】(2425九年级上江苏南京期末)平面内A,B,C,D,E五个点如图.过点 所作的 圆的半径最大.（从中选填三个点） 7/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A ·E D ●B ·C 题型07 判断确定圆的条件 【典例1】(25-26九年级上·宁夏固原·期中)下列条件中，能确定唯一一个圆的是() A.以点O为圆心 B.以5cm长为半径 C.以点O为圆心，5cm长为半径 D.以上都不对 【变式1】(25-26九年级上江苏扬州期中)在平面直角坐标系中，若A(1,-),B(3,3),C(5,)三点可 以确定一个圆，则n的取值范围是() A.n≠3 B.n≤5 c.n>6 D.n≠7 【变式2】(25-26九年级上·宁夏固原·期中)如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原 来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的碎片是 ② ③ ④ 【变式3】(24-25九年级上江苏南京期末)若在平面直角坐标系中的点A(1,1),B(-1,-),C(m,3)不 能确定一个圆，则m的值是一 强化训练 基础自测 一、单选题 1.(25-26九年级下·湖北武汉开学考试)在同一平面内，己知⊙0的半径r=5cm,点P到圆心O的距离 8/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OP=6cm,则点P与⊙0的位置关系是() A.点P在圆内B.点P在圆上 C.点P在圆外 D.无法确定 2.(25-26九年级上湖北孝感期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8,BC=6,点O为AB的 中点，若以点O为圆心，5为半径作⊙0，则下列判断正确的是() A.点C在⊙O外B.点C在O0上C.点C在⊙O内D.无法判断 3.(25-26九年级上湖北恩施期末)如图，在5×5的正方形网格中，点A,B，C,D均在格点上，一 条圆弧经过A,B,C三点，那么点D与这条圆弧所在圆的位置关系是() D A.在圆内 B.在圆上 C.在圆外 D.在圆内或圆上 4.(25-26九年级上河北邯郸期末)如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为(6,8)，P是⊙M上的任意 一点，PA⊥PB,且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、B关于原点O对称，则AB长的最大 值为() M A.16 B.12 C.28 D.14 5.(2026河北石家庄·二模)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2W3，BC=3.点P为△ABC内一 点，且满足PAP+PC2=AC2.当PB的长度最小时，则CP的长是() 9/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.1 B. 2 C. D. 3W5 2 二、填空题 6.(25-26九年级上江苏扬州期中)一直角三角形的两直角边是方程x2-4x+3=0的两个根，则此直角三 角形的外接圆的直径为 7.(2024上海闵行·三模)若点P到⊙A上的所有点的距离中，最大距离为8，最小距离为2，那么⊙A的 半径为。 8.(2026贵州一模)如图，已知正方形ABCD,以点A为圆心，以AB为半径作⊙A,则点C在⊙A (填“外”或“内”) B 9.(2026四I川巴中中考真题)如图，BC是⊙O的一条弦，A为圆上一点，OA⊥BC,∠0AB=60°，则 ∠ABC的度数为 三、解答题 10.(24-25九年级上·浙江湖州期中)如图，在平面直角坐标系O少中，点A,B,C的横、纵坐标都为 整数，过这三个点作一条圆弧. 10/15 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AY B 12345 ()该圆弧所在圆的圆心坐标为一： (2)求该圆的半径. 11.(2026浙江温州三模)如图，等腰三角形ABC中，AB=AC.以点B为圆心，BC长为半径作弧分 别交AC,AB于点D,E,延长ED交BC的延长线于点F B (1)若∠A=20°，求∠F的度数. (2)求证：CD=CF 3)若D为AC的中点.BC=22,求△DCF的面积. 12.(25-26七年级下·上海普陀·期末)投掷铅球比赛中，裁判员一般按以下步骤测量并给出成绩： 1.将皮尺的零刻度线拉至铅球落点： 2.将皮尺的另一端拉长并经过投掷区的圆心； 3.将皮尺拉直，读取皮尺上落在投掷区抵趾板内沿处的数值，作为运动员的成绩. 乐乐投掷铅球后（如图1），裁判员将皮尺零刻度线拉至铅球落点P,皮尺的另一端拉长经过投掷区的圆 心O,PO交抵趾板内沿于点M,测量落点P到投掷区圆心点O的距离为12.7米，乐乐铅球的成绩是9.2 米. 一一铅球落点 铅球落点 投掷区 抵趾板 投掷区 抵趾板 图1 图2 (1)投掷区所在圆的半径长为_米： 11/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图2，如果测量时错选了抵趾板内沿的点N（点N与M不重合)，测量铅球落点P到点V的距离作 为成绩，那么这个成绩相较于实际成绩偏大还是偏小呢？请说明理由 解：连接OW、NP :OW和OM都是投掷区所在圆的半径， 在△ONP中，ON+NP> ∴.ON+NP>OM+MP 即这个成绩相较于实际成绩一·（填“偏小”或“偏大”） 能力提升 一、单选题 1.(2026广西贺州三模)点与圆的位置关系中，若点到圆心的距离大于半径，则该点在() A.圆内 B.圆上 C.圆外 D.圆心 2.(2026江苏连云港中考真题)如图，扇形OAB,点C在AB上.若∠AOB=60°，则∠ACB的度数是 () 460 B A.150° B.140° C.130° D.120° 3.(2026北京房山：二模)如图，在△ABC中，AB=AC,以点B为圆心，AB长为半径画弧交BC于点 D.以点A为圆心，AC长为半径画弧，以点C为圆心，AD长为半径画弧，两弧在直线BC下方交于点E, 连接AE交BC于点F·若AB=3:BC=5,DF=5,则AF长为〈) 12/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9 > A.2 B. c. D.5 4.(25-26六年级下·上海期中)小明把一个半圆平均分成12份，拼成一个新的图形（如图）·这个新图 形的周长与半圆周长相比() 半圆 新图形 A.半圆周长更长 B.新图形的周长更长 C.一样长 D,无法比较 5.(2026山东临沂·二模)如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=6,以A、D为圆心，半径分别为2和1 画圆，E、F分别是⊙A、⊙D上的一动点，P是BC上的一动点，则PE+PF的最小值是() A.6 B.7 C.8 D.10 二、填空题 6.(2026河北石家庄·二模)如图，O是△ABC的外心，则∠I+∠2+∠3= 7.(2026吉林长春·模拟预测)如图，A为⊙0上一点，按以下步骤作图：①连接OA,②以点A为圆心， AO长为半径作弧，交⊙O于点B;③在射线OB上截取BC=OB；④连接AC.若OA=2，,则AC的长为」 13115 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 8.(2026河南驻马店模拟预测)如图，在直角坐标系中，已知点A(3,0)、点B(0,2),⊙A的半径为2， 点C是OA上的动点，点P是线段BC的中点，那么OP长的取值范围是 B 三、解答题 9.(25-26九年级下·全国课后作业)试用多种方法找出如图所示的破残轮片的圆心位置. 10.(2026河南漯河·一模)如图，在△ABC中，AB=AC,以AD为直径的圆经过A,B,C三点. B 0 (I)请用无刻度的直尺和圆规作出圆心O:(保留作图痕迹，不写作法) (②)若AC的中点为E,直线OE与BC交于点F,AD=4V5,∠BAC=120°，求线段CF的长. 11.(2026广东广州·三模)某学校计划修建一条400m标准田径跑道，数学小组根据《田径场地设计规 范》绘制了如下示意图. 14/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 己知：跑道由两条直道和两个半圆形弯道组成，直道的长度均为86m;内圈（第1道）的长度为400m, 一共8条跑道，所有跑道的终点线相同；为消除跑外圈与跑内圈的差距，起跑时让运动员处于不同的起跑 线上.（注：跑道的长度近似于该跑道的内侧线的长度） (1)内圈（第1道）半圆形弯道的半径为 一；（结果保留π） (2)如果每条跑道宽1.22m,求第2道的全长L,并计算第2道起跑线比第1道应前移多少米（结果保留元 ): (3)已知规范要求跑道宽度为1.22±0.01m,如果实际测量得到第8道起跑线比第1道前移了53.38m.请你 通过计算判断该跑道宽度是否符合规范？（π取3.14） 15/15 专题3.1 圆的有关概念 教学目标 1. 理解圆的定义及圆心、半径、直径等核心概念，明确点与圆的位置关系。 2. 掌握圆的轴对称性、中心对称性等基本性质，能规范使用圆规作图。 3. 初步运用圆的概念和性质分析简单问题，培养空间想象与逻辑推理能力。 教学重难点 1.重点 （1）圆的定义、半径与直径的关系等核心概念，以及圆的对称性这一关键性质。 （2）运用圆的基本概念和性质解释生活现象、解决基础几何问题的方法。 2.难点 （1）抽象理解圆的“集合定义”，明晰圆与其他平面图形的本质区别。 （2）灵活运用圆的对称性等性质分析问题，实现知识从理论到实际应用的转化。 知识点01 圆的定义 1）圆： 描述性定义：在平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一端点A所形成的轨迹。记作：“O”，读作：“圆O”，其中端点O叫作圆心 集合性定义：圆是平面内所有到定点的距离等于定长的点的集合，定点是圆心，定长是半径。 2）基本概念 ①半径：线段OA叫作圆的半径（OB、OC也是圆的半径） ②弦：圆上任意两点间的线段（半径是特殊的弦） ③直径：经过圆心的弦（如AB） ④弧：圆上任意两点间的部分（如） ⑤半圆：圆的任一直径的两个端点将圆分成两条弧，每条弧叫作半圆 ⑥等圆：两个圆能完全重合（即全等，即半径r相等） 3）确定一个圆的两要素（圆心、半径） 4）圆的任一半径长度都相等 5）圆的任一直径长度都相等，且直径长度=2倍的半径长度 6）等弧：能够完全重合的两段弧是等弧。也可说在同圆或等圆中，等长弧对应的弧相等； 7）C=2r S= 【即学即练】1．如图，点A、B、C在上， ，，则=（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知，是的半径，可求出，是等腰三角形，可得 ，结合，可求出，的度数，且，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，，， ∴是等腰三角形，， 则， ∵， ∴，且， ∵， ∴是等腰三角形，则， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，理解和掌握圆内接三角形中角的关系，边的关系是解题的关键． 2．如图，在中，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，那么图中有弦（　　）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】B 【分析】本题考查了圆的认识，根据弦的定义进行判断．掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）． 【详解】解：弦为、、． 故选：B． 3．小海同学用一根细绳绕某一个圆形物体一周，剪去多余的部分，再拉直量出绳子的长度为（取），则这个圆形物体的直径是______． 【答案】 【分析】由题意可知，绳子拉直后的长度为该圆形物体的周长，根据圆的周长公式即可计算出直径． 【详解】由题意得，该圆形物体的周长，圆的周长公式为 （其中为圆的直径，取），变形得 ， ∵， 代入数据得 ． 知识点02 点与圆的位置关系 点和圆的位置关系 1）点和圆的位置关系有3种：圆外、圆上、圆内 2）设O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则： P在圆外d>r； P在圆上d=r； P在圆内d<r 【即学即练】4．已知的半径为．若点P到圆心O的距离为，则（   ） A．点P在上 B．点P在内 C．点P在外 D．无法判断 【答案】C 【分析】通过比较点到圆心的距离与圆的半径的大小，即可判断点的位置． 【详解】解：设的半径为，点到圆心的距离为， ∵由题意得 ，， ∴ ，即 ， 根据点与圆的位置关系判定规则：当时，点在圆外， ∴点在外． 5．点与的位置关系如图所示，若，，则的半径可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系即可求解，解题的关键是正确理解当点到圆心的距离小于圆的半径时，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外． 【详解】解：设的半径为， ∵点在圆外且， ∴， ∵点在圆内且， ∴， ∴的半径是， ∴选项符合题意， 故选：． 6．点到的最近点的距离为，最远点的距离为，则的半径是___________ 【答案】或． 【分析】本题考查了点与圆的位置关系．根据点P与圆的位置关系分类讨论：当点P在圆外时，当点P在圆内时，分别求解即可． 【详解】如图所示，当点P在圆内时， ∵，， ∴， ∴的半径是； 如图所示，当点P在圆外时， ∵，， ∴， ∴的半径是； 综上所述，的半径是或． 故答案为：或． 题型01 圆的基本概念辨析 【典例1】（25-26九年级上·河南平顶山·期中）下列说法中，错误的是（ ） A．经过点P的圆有无数个 B．以点P为圆心的圆有无数个 C．半径为且经过点P的圆有无数个 D．以点P为圆心，长为半径的圆有无数个 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是圆的相关知识，解题的关键是熟练掌握确定圆的条件．根据圆的相关知识逐一分析即可． 【详解】解：由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．则： A、经过一个点P的圆有无数个，正确； B、以点P为圆心的圆，半径不确定，所以有无数个，正确； C、半径为且经过点P的圆，圆心不确定，所以有无数个，正确； D、以点P为圆心，以为半径的圆，圆心半径都确定，所以只有唯一的一个圆，错误． 故选：D． 【变式1】（23-24九年级上·江苏无锡·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．弦是直径 B．半圆是弧 C．等弧就是长度相等的两条弧 D．圆是轴对称图形，对称轴是任意一条直径 【答案】B 【分析】此题考查了圆的相关性质，根据圆的弦、弧、直径等相关知识进行判断即可．熟练掌握圆的相关知识是解题的关键． 【详解】直径是经过圆心的弦，不是所有的弦都是直径，故A错误； 圆上任意两点间的部分是弧，所以半圆是弧，故B正确； 只有在同圆或等圆中，能够完全重合的弧才是等弧，故C错误； 圆是轴对称图形，对称轴是任意一条直径所在的直线，故D错误． 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·北京·课后作业）下列说法：①弦是直径；②半圆是弧；③过圆心的线段是直径；④圆心相同半径相同的两个圆是同心圆，其中错误的有_______．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了圆的认识．利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：①直径是弦，但弦不一定是直径，故原说法错误； ②半圆是弧，说法正确； ③过圆心的弦是直径，故原说法错误； ④圆心相同半径不同的两个圆是同心圆，故原说法错误． 故答案为：①③④． 【变式3】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，是的直径，弦交于点，若，，则的半径为______． 【答案】5 【分析】本题考查了勾股定理．连接，在中应用勾股定理列式，即可求解． 【详解】解：连接， ， ， 在中，，即：， 故答案为：． 题型02 圆的周长和面积问题 【典例1】（25-26九年级上·江苏常州·阶段检测）如图，在中，，弦的长为4，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，等边三角形的性质与判定，可证明是等边三角形，得到，再根据圆的面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的面积为， 故选：B． 【变式1】（25-26七年级下·山西运城·期末）如图，正方形是由四个边长为2的小正方形拼成的，连接和，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于正方形的中心处，图中阴影部分的面积是（     ） A．4 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】先根据角角边分别证明和，从而证明和，通过等量转化即可推出阴影部分的面积就是半圆的面积，利用圆的面积公式即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：设与的交点为，设与的交点为，如图所示， 由题意可知，， 在和中， ， ， 在和中， ， ， 根据和， 观察图可知，图中阴影部分的面积为即是以为半径的半圆的面积． ， 半圆的面积为， 阴影部分的面积为． 【变式2】（25-26六年级下·上海普陀·阶段检测）．已知图1、图2中两个半圆的半径相等，分别是两圆的圆心，图1中的阴影部分面积为，图2中的阴影部分面积为，那么与之间的大小关系是______． 【答案】 【分析】设两个圆的半径都是r，则图1中长方形的长为，宽为r，图2中三角形的底为，高为r，图1中阴影部分的面积为长方形的面积减去半圆的面积，图2中阴影部分的面积为半圆的面积减去三角形的面积，再进行比较所得面积的大小． 【详解】解:设两个半圆的半径都是r，则图1中长方形的长为，宽为r， 图2中三角形的底为，高为r， ∴ ． 【变式3】（23-24九年级上·河南·期末）如图，周长为16的正方形中，E、F分别为、的中点，连接，以和为直径的两个半圆分别与相切，则图中阴影部分的面积为______（结果保留）． 【答案】 【分析】根据图形可知，阴影部分的面积是正方形的面积减去圆形的面积，再乘以，据此即可求解．本题考查了不规则图形的面积的计算，计算不规则图形的面积一般是将不规则图形的面积转化为通过对多个规则图形面积的加减来解答． 【详解】∵周长为16的正方形， ∴正方形的边长4， ∴图中两个半圆的直径为4， 则其半径为2， 根据图形可知，阴影部分的面积是正方形的面积减去圆形的面积，再乘以， ∴阴影部分的面积为：， 故答案为：． 题型03 判断点与圆的位置关系 【典例1】（2026·云南昆明·二模）已知的半径为6，点到圆心的距离为7，则点与圆的位置关系为（    ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不确定 【答案】C 【分析】通过比较点到圆心的距离与圆半径的大小关系，判断点与圆的位置关系． 【详解】解：∵点A到圆心O的距离为7，的半径为6，且， ∴点A在外． 【变式1】（25-26八年级下·山东潍坊·期末）在中，，，．分别以、为圆心，长为半径作圆、圆，下列关于点的位置描述正确的是（     ） A．在圆外部，在圆外部 B．在圆外部，在圆内部 C．在圆内部，在圆内部 D．在圆内部，在圆外部 【答案】B 【分析】根据点与圆的位置关系，比较点A到两个圆心的距离和对应圆的半径，即可判断点A的位置，点与圆的位置关系为：设圆半径为，点到圆心的距离为，则时点在圆外，时点在圆内． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得， 对于圆，圆心为，半径， ，点在圆外部， 对于圆，圆心为，半径， ，点在圆内部． 【变式2】（24-25九年级上·江苏南京·期中）的半径是，同一平面内，若点P到点O的距离是，则点P与的位置关系为________． 【答案】点P在外 【详解】解：已知的半径，点到圆心的距离， 可得， 因此点与的位置关系是点在圆外． 【变式3】（25-26九年级上·辽宁鞍山·阶段检测）如图，在中，，，以点为圆心，为半径画圆，则点与的位置关系是___________． 【答案】点在内 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，由题意并结合即可得解，熟练掌握点与圆的位置关系是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，，以点为圆心，为半径画圆，且， ∴， ∴点与的位置关系是点在内， 故答案为：点在内． 题型04 利用点与圆的位置关系求半径 【典例1】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）已知点P在半径为2的上，则的长是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查圆的基本性质，利用“圆上任意一点到圆心的距离等于圆的半径”这一性质即可求解 【详解】解：∵点P在半径为2的上， ∴是的半径， ∴． 故选：B． 【变式1】（25-26九年级上·江西九江·期末）点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是关键．点在圆外时，点到圆心的距离大于半径，且圆的半径为正数即可求解． 【详解】解：点P在圆O外， 点P到圆心O的距离大于圆O的半径r， 点P到圆心O的距离为，且圆的半径， ． 故选：A． 【变式2】（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）的半径为5，若点A在上，则________ ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了圆与点的位置关系，在圆上的点到圆心的距离等于该圆的半径，据此可得答案． 【详解】解：∵的半径为5，且点A在上， ∴， 故答案为：5． 【变式3】（23-24九年级上·江苏常州·阶段检测）平面上一点A与上点的最短距离为2，最长距离为10，则半径为________． 【答案】6或4 【分析】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．解题的关键是分点A在圆内或圆外进行讨论． 分点A在圆内或圆外进行讨论，分别计算即可． 【详解】解：当点A在圆内时，的直径长为，半径为6； 当点A在圆外时，的直径长为，半径为4； 即的半径长为6或4． 故答案为：6或4． 题型05 点与圆上一点的最值问题 【典例1】（2026·四川绵阳·一模）如图，已知的半径为是外一点，是上的动点，线段的中点为，连结，，则线段的最小值是（    ） A．0 B．0.5 C．1 D．1.5 【答案】C 【分析】取的中点，连接，利用三角形中位线定理求出的长度，从而确定点的轨迹是以为圆心，长为半径的圆，最后根据点与圆的位置关系求出的最小值． 【详解】解：取的中点，连接，， 为的中点，为的中点 ， 为的中位线 ， ， 的半径为，即 ， ， 点在以为圆心，为半径的圆上 ， ，为的中点， ， 当点在线段上时，取得最小值， 的最小值为． 【变式1】（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，在矩形中，，点是边上一点，连接，将沿直线折叠得到，连接交于点，连接，则线段的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】题目主要考查矩形的性质，折叠的性质，圆周角定理，勾股定理解三角形等，理解题意，作出辅助线是解题关键． 根据题意得出点F在以为直径的半圆O上运动，确定当点在一条直线上时，CF的长度最小，即，然后利用勾股定理结合图形求解即可． 【详解】解：如图所示： 由沿折叠得到， ， ， ∴点F在以为直径的半圆O上运动， ∴当点在一条直线上时，CF的长度最小，即， ∵矩形，， ， ∴在中，， ． 故选：A． 【变式2】（25-26七年级下·山东潍坊·期末）已知的半径为，是内一点，，则点到上各点的最大距离是_________． 【答案】 【分析】根据点到圆心的距离与半径的大小关系，判断点在内，点在圆内时，点到圆上各点的最大距离为半径与点到圆心距离的和． 【详解】解：的半径为，， ，即点在内， 点到上各点的最大距离为． 【变式3】（2023·江苏徐州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，，，半径为4，为上任意一点，是的中点，则的最小值是______． 【答案】3 【分析】连接，取的中点H，连接．利用三角形的中位线定理可得，推出点E的运动轨迹是以H为圆心半径为2的圆，据此求解即可． 【详解】解：如图，连接，取的中点H，连接． ∵，， ∴， ∴点E的运动轨迹是以H为圆心半径为2的圆， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值． 题型06 三角形外接圆的概念辨析 【典例1】（24-25九年级上·广东广州·阶段检测）下列命题中，真命题的个数是（   ） ①经过三点一定可以作圆；②任意一个圆只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；④三角形的外心到三角形的三边距离相等． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】本题主要考查了判断命题真假，确定圆的条件，三角形外心的性质等等，根据过不共线得到三点可以确定一个圆可判断①③，一个圆有无数个内接三角形，据此可判断②；三角形外心是三条垂直平分线的交点，据此可判断④． 【详解】①经过不共线得到三点一定可以作圆，原命题是假命题； ②任意一个圆有无数个内接三角形，原命题是假命题； ③任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆，原命题是真命题； ④三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，原命题是假命题． ∴真命题只有1个， 故选：D． 【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）以的斜边为直径作圆，点在__________（填“圆内”“圆上”或“圆外”中的一个）． 【答案】圆上 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的外接圆，以及点与圆的位置关系，当点到圆心的距离小于半径的长时，点在圆内；当点到圆心的距离等于半径的长时，点在圆上；当点到圆心的距离大于半径的长时，点在圆外． 求出点C到圆心的距离，然后根据点与圆的位置关系判断即可． 【详解】解：如图， ∵斜边为直径， ∴圆心O是斜边的中点， ∴， ∴点C在圆上． 故答案为：圆上． 【变式2】（24-25九年级上·江苏南京·期末）平面内，，，，五个点如图．过点______所作的圆的半径最大．（从中选填三个点） 【答案】A、E、C 【分析】本题主要考查了圆的认识、三角形的外接圆等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．要使过三个点的圆的半径最大，我们需要选择这三个点使得它们形成的三角形尽可能“平坦”，即接近共线，再结合图形即可得解． 【详解】解：要使过三个点的圆的半径最大，我们需要选择这三个点使得它们形成的三角形尽可能“平坦”，即接近共线； 因为当三个点接近共线时，它们所确定的圆的半径会趋向于无穷大， 由图可知点A、E、C三点接近共线，符合题意， 故答案为：A、E、C． 题型07 判断确定圆的条件 【典例1】（25-26九年级上·宁夏固原·期中）下列条件中，能确定唯一一个圆的是（   ） A．以点为圆心 B．以长为半径 C．以点为圆心，长为半径 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了确定圆的条件，确定圆要首先确定圆的圆心，然后也要确定半径． 确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案． 【详解】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆， ∴C选项正确， 故选：C． 【变式1】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）在平面直角坐标系中，若，，三点可以确定一个圆，则n的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是确定圆的条件、待定系数法求一次函数解析式，利用待定系数法求出直线的解析式，再根据不在同一直线上的三个点确定一个圆解答． 【详解】解：设直线的解析式为： 则， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 点在直线上， ，， 三点可以确定一个圆时，， 故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·宁夏固原·期中）如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的碎片是_____ ． 【答案】② 【分析】本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心． 根据不在一条直线上三点确定一个圆即可解得． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．只要有一段弧． 所以带到店去的一块玻璃碎片应该是②． 故答案为：②． 【变式3】（24-25九年级上·江苏南京·期末）若在平面直角坐标系中的点，，不能确定一个圆，则的值是______． 【答案】3 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用．熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，确定圆的条件，是解题的关键． 根据不在同一直线的三个点确定一个圆，得到当点C在直线上，三个点不能确定一个圆，进行求解即可． 【详解】解：设直线的解析式为， 把，代入， 得， 解得， ∴， ∴代入， 得， ∴当时， 平面直角坐标系中的三个点，，不能确定一个圆． 故答案为：3． 一、单选题 1．（25-26九年级下·湖北武汉·开学考试）在同一平面内，已知的半径，点P到圆心O的距离，则点P与的位置关系是（　　） A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．无法确定 【答案】C 【分析】点到圆心的距离大于半径，点在圆外；点到圆心的距离等于半径，点在圆上；点到圆心的距离小于半径，点在圆内． 【详解】∵的半径，点P到圆心O的距离， ∴，即， ∴点P在外． 2．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）如图，在中，，，，点为的中点，若以点为圆心，5为半径作，则下列判断正确的是（   ） A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系以及直角三角形斜边上的中线，连接，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得，则点C到圆心的距离等于半径，判断点C在上． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵点O为的中点， ∴， ∵的半径为5， ∴点C在上． 故选：B． 3．（25-26九年级上·湖北恩施·期末）如图，在的正方形网格中，点，，，均在格点上，一条圆弧经过，，三点，那么点与这条圆弧所在圆的位置关系是（   ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．在圆内或圆上 【答案】A 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，先确定圆心的位置，再求出圆的半径，进而根据点到圆心的距离和圆的半径的大小关系进行判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵圆心到三点距离相等， ∴圆心在线段的垂直平分线上， 如图，线段和的垂直平分线相交于点，点即为圆心， ∴圆的半径， ∵， ∴点在圆内， 故选：． 4．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）如图，的半径为4，圆心的坐标为，是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点．若点、关于原点对称，则长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆的性质、坐标与图形，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，解题的关键是作出辅助线，找出取得最大值的位置．连接，延长交于，得出当点与点重合时，取得最大值，根据圆心坐标求出，的最大值为，根据点、关于原点对称得出，根据直角三角形斜边上的中线的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，延长交于， ∵是上的任意一点， ∴当点与点重合时，取得最大值， ∵圆心的坐标为， ∴， ∵的半径为4， ∴的最大值为， ∵点、关于原点对称， ∴， ∵， ∴， ∴长的最大值为． 故选：C． 5．（2026·河北石家庄·二模）如图，中，，，．点P为内一点，且满足．当的长度最小时，则的长是（     ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理得，又长度一定，则点P在以中点O为圆心，长为半径的圆上运动，所以当B、P、O三点共线时，最短；在中，利用勾股定理可求的长，并得到点P是的中点，根据直角三角形斜边上的中线性质可求解． 【详解】解：， ∴， 取中点O，并以O为圆心，长为半径画圆，则点P在此圆上运动，当B、P、O三点共线时，最短， ， ，， ， ， ∴点P是的中点， ∴在中，． 二、填空题 6．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）一直角三角形的两直角边是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为________． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法、勾股定理以及直角三角形外接圆的性质．关键在于准确求解一元二次方程，得到直角边的长度，并正确运用勾股定理求出斜边长度，同时牢记直角三角形外接圆直径与斜边的关系．首先求解一元二次方程，得到直角三角形两条直角边的长度．然后根据勾股定理（其中、为直角边，为斜边），计算出直角三角形斜边的长度．最后依据直角三角形外接圆的直径等于斜边长度这一性质，得出外接圆的直径． 【详解】解：， ， 解得 或， 故两直角边长分别为和． 由勾股定理，斜边长为 ． 故外接圆直径为 ． 故答案为：． 7．（2024·上海闵行·三模）若点P到上的所有点的距离中，最大距离为8，最小距离为2，那么的半径为__． 【答案】或者 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，分点P在外和内两种情况讨论，当点P在外时，最大距离与最小距离之差等于直径；当点P在内时，最大距离与最小距离之和等于直径，即可得． 【详解】解：点P在外时， 外一点到上所有的点的距离中，最大距离是，最小距离是， 的半径长等于； 点P在内时， 内一点到上所有的点的距离中，最大距离是，最小距离是， 的半径长等于， 故答案为：或者． 8．（2026·贵州·一模）如图，已知正方形，以点A为圆心，以为半径作，则点C在_______．（填“外”或“内”） 【答案】外 【分析】根据正方形的性质得到，于是得到结论． 【详解】解：连接，如图， ∵正方形的对角线， ∴点C在外． 9．（2026·四川巴中·中考真题）如图，是⊙的一条弦，A为圆上一点，，，则的度数为____________． 【答案】 【分析】根据题意可得为等边三角形，进而可得，再求即可． 【详解】解：，， ，则， 为等边三角形， ， ， ． 三、解答题 10．（24-25九年级上·浙江湖州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧． (1)该圆弧所在圆的圆心坐标为______； (2)求该圆的半径． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查垂径定理，确定圆的条件，坐标与图形性质． （1）连接，作弦和的垂直平分线交于点O，则点O即为圆心； （2）根据勾股定理即可求得半径． 【详解】（1）解：如图所示，连接，作弦和的垂直平分线交于点O，则点O即为圆心， 由图可得该圆弧所在圆的圆心坐标， 故答案为：； （2）解：连接，设的中点为D， ，， ， ∴圆的半径为． 11．（2026·浙江温州·三模）如图，等腰三角形中，．以点B为圆心，长为半径作弧分别交，于点D，E，延长交的延长线于点F． (1)若，求的度数． (2)求证：． (3)若D为的中点．，求的面积． 【答案】(1) (2)证明：连接，如图 有， 设， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）连接，有，根据三角形的内角和求出，得到，推导出，得到，推导出是等边三角形，得到，即可求出； （2）连接，设，根据三角形的内角和求出，得到∴，推导出，得到，继而推导出，得到，则； （3）先推导出，，得到，证明出，设，求出，过D作于，根据勾股定理，得到， 求出，继而求出，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：连接，如图 有， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴是等边三角形， ∴． ∴． （2）略 （3）解：∵是中点， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴ 化简，得， 解得（负值已舍去）， 由（2）得，即， 过D作于，如图 ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴， ． 12．（25-26七年级下·上海普陀·期末）投掷铅球比赛中，裁判员一般按以下步骤测量并给出成绩： 1．将皮尺的零刻度线拉至铅球落点； 2．将皮尺的另一端拉长并经过投掷区的圆心； 3．将皮尺拉直，读取皮尺上落在投掷区抵趾板内沿处的数值，作为运动员的成绩． 乐乐投掷铅球后（如图1），裁判员将皮尺零刻度线拉至铅球落点，皮尺的另一端拉长经过投掷区的圆心，交抵趾板内沿于点，测量落点到投掷区圆心点的距离为12.7米，乐乐铅球的成绩是9.2米． (1)投掷区所在圆的半径长为_____米； (2)如图2，如果测量时错选了抵趾板内沿的点（点与不重合），测量铅球落点到点的距离作为成绩，那么这个成绩相较于实际成绩偏大还是偏小呢？请说明理由． 解：连接、． 和都是投掷区所在圆的半径， ∴_____________． 在中，_____（_____________________）， ． ∴_________________________． 即这个成绩相较于实际成绩_____．（填“偏小”或“偏大”） 【答案】(1)3.5 (2)；；两点之间，线段最短；；偏大 【分析】（1）根据题意得，米，米，然后相减求解即可； （2）根据半径相等得到，然后结合两点之间，线段最短列不等式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，米，米 ∴（米） ∴投掷区所在圆的半径长为3.5米； （2）解：连接、． 和都是投掷区所在圆的半径， ∴． 在中，（两点之间，线段最短）， ． ∴． 即这个成绩相较于实际成绩偏大． 一、单选题 1．（2026·广西贺州·三模）点与圆的位置关系中，若点到圆心的距离大于半径，则该点在（     ） A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．圆心 【答案】C 【详解】解：∵点到圆心的距离大于半径， ∴该点在圆外． 2．（2026·江苏连云港·中考真题）如图，扇形，点C在上．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，则，根据等边对等角与三角形内角和定理得到，，根据即可求出的度数． 【详解】解：连接，则， ∴， ， ∴． 3．（2026·北京房山·二模）如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧交于点．以点为圆心，长为半径画弧，以点为圆心，长为半径画弧，两弧在直线下方交于点，连接交于点．若，，，则长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，过点A作于点H，求出，，再利用勾股定理求解． 【详解】解∶如图，过点A作于点H， ，， ． ． 以点为圆心，长为半径画弧交于点， ． ． ． ． ． 4．（25-26六年级下·上海·期中）小明把一个半圆平均分成12份，拼成一个新的图形（如图）．这个新图形的周长与半圆周长相比（     ） A．半圆周长更长 B．新图形的周长更长 C．一样长 D．无法比较． 【答案】C 【详解】解：通过观察图形可知，把这个半圆平均分成12份，拼成一个新的图形，这个新图形的两条边之和等于半圆的弧，另外两条边之和等于半圆的直径，所以这个新图形的周长等于半圆的周长． 5．（2026·山东临沂·二模）如图，矩形中，，，以、为圆心，半径分别为2和1画圆，、分别是、上的一动点，是上的一动点，则的最小值是（     ） A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】B 【分析】以为轴作矩形的对称图形以及对称，连接交于，则就是最小值，根据勾股定理求得的长，即可求得最小值． 【详解】解：如图，以为轴作矩形的对称图形以及对称，连接交于，则就是最小值； 矩形中，，，的半径为2，的半径为1， ，，，， ， ， ． 二、填空题 6．（2026·河北石家庄·二模）如图，O是的外心，则________． 【答案】/90度 【分析】根据圆的外心定义和等腰三角形的性质得到，，，再根据三角形的内角和定理和周角定义求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴，则． 7．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，A为上一点，按以下步骤作图：①连接，②以点A为圆心，长为半径作弧，交于点B；③在射线上截取；④连接．若，则的长为______． 【答案】 【分析】连接，证明，再利用勾股定理求解． 【详解】解：连接， 由题意得，， ∴为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ． 8．（2026·河南驻马店·模拟预测）如图，在直角坐标系中，已知点、点，的半径为，点是上的动点，点是线段的中点，那么长的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据D、P分别是、的中点，，D是定点，，即点P的运动轨迹是以点D为圆心，为半径的圆，求出的长，由此解答即可． 【详解】解：连接，，取的中点D， ∵点、点， ∴D的坐标为，即， ∴ 连接， 又∵D、P分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵D是定点，，即点P的运动轨迹是以点D为圆心，为半径的圆， ∴当三点在同一条直线上时，的最小值为，的最大值为， ∴长的取值范围是． 三、解答题 9．（25-26九年级下·全国·课后作业）试用多种方法找出如图所示的破残轮片的圆心位置． 【答案】方法1：如图所示：点为破残轮片的圆心． 方法2：如图：点为破残轮片的圆心． 【分析】方法1：先从圆上找出任意的三点，连接，作线段的垂直平分线，交点即是破残轮片的圆心；方法2：作的圆周角：，直径交于点，点即为破残轮片的圆心． 【详解】解：略． 10．（2026·河南漯河·一模）如图，在中，，以为直径的圆经过，，三点． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆心；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若的中点为，直线与交于点，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）分别以点A，C为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点F，M，则直线是的垂直平分线，交于点O，则点即为所求； （2）连接，，，先说明，即可得出，可得进而求出，再说明为等边三角形，即可得出，然后求出，最后解直角三角形可得答案． 【详解】（1）解：如图，点即为所求． （2）解：如图，连接，，， ∵是的直径， ∴． 在与中， ． ∵， ∴． ∵， ∴为等边三角形， ． 的中点为 ∴直线垂直平分 ∴， 在中， ． 11．（2026·广东广州·三模）某学校计划修建一条标准田径跑道，数学小组根据《田径场地设计规范》绘制了如下示意图． 已知：跑道由两条直道和两个半圆形弯道组成，直道的长度均为；内圈（第1道）的长度为，一共8条跑道，所有跑道的终点线相同；为消除跑外圈与跑内圈的差距，起跑时让运动员处于不同的起跑线上．（注：跑道的长度近似于该跑道的内侧线的长度） (1)内圈（第1道）半圆形弯道的半径为_______；（结果保留） (2)如果每条跑道宽，求第2道的全长，并计算第2道起跑线比第1道应前移多少米（结果保留）； (3)已知规范要求跑道宽度为，如果实际测量得到第8道起跑线比第1道前移了．请你通过计算判断该跑道宽度是否符合规范？（取） 【答案】(1)； (2)，； (3)该跑道宽度符合规范．理由： 设跑道实际宽度为，第8条跑道与第1条跑道的半径差为，则起跑线前移为两个跑道的长度差，即为， ∵际测量得到第8道起跑线比第1道前移了． ∴， 解得， ∵规范要求跑道宽度为， ∴， 即 ∵， ∴该跑道宽度符合规范． 【分析】（1）设内圈（第1道）半圆形弯道的半径为，内圈（第1道）的长度为，据此列方程并解方程即可； （2）先求出第2道半圆形弯道的半径为，再用直道的长度加上第2道半圆形弯道的长度即可得到第2道的全长，用第2道的全长减去第1道的全长即可得到第2道起跑线比第1道应前移的长度； （3）设跑道实际宽度为，第8条跑道与第1条跑道的半径差为，根据起跑线前移为两个跑道的长度差求出起跑线前移的长度，再与规范要求跑道的宽度范围比较即可． 【详解】（1）解：设内圈（第1道）半圆形弯道的半径为，则 ， 解得， 即内圈（第1道）半圆形弯道的半径为； （2）解：∵每条跑道宽， ∴第2道半圆形弯道的半径为， ∴第2道全长， ∵， ∴第2道起跑线比第1道应前移； （3）略 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $