专题1.5 二次函数的应用（8大题型+高效培优讲义）数学新教材浙教版九年级上册

本讲义聚焦二次函数的应用核心知识点，衔接二次函数性质（顶点、最值），构建从实际问题抽象数量关系到建立函数模型的学习脉络，提供审题建模求解检验四步解题法及图形运动拱桥销售等八大题型作为学习支架。 该资料以射水鱼捕食、矩形花园设计等真实情境培养数学眼光，通过典例变式训练强化逻辑推理与运算能力发展数学思维，注重自变量取值范围等细节培养模型意识提升数学语言表达。课中助力教师分层教学，课后练习题帮助学生巩固应用，有效落实核心素养。

专题1.5 二次函数的应用 教学目标 1. 能分析实际情境中的数量关系，建立合适的二次函数模型。 2. 会运用二次函数的性质（顶点、最值）解决利润、面积、运动等实际问题。 3. 体会数学建模思想，提升将实际问题转化为数学问题的能力与应用意识。 教学重难点 1.重点 （1）掌握从实际问题中抽象数量关系、构建二次函数模型的方法。 （2）熟练运用二次函数的顶点特征求实际问题中的最大（小）值。 2.难点 （1） 难以精准提炼实际问题中的变量关系，建立符合题意的二次函数表达式。 （2）求解时易忽略自变量的实际取值范围，导致结果不符合现实情境。 知识点01 二次函数的应用 二次函数的应用知识总结 1. 核心应用场景： - 最值问题：解决利润最大、产量最优、用料最省、高度/距离最值等 - 实际建模：根据实际情境（如抛体运动、增长率、几何图形面积）建立二次函数关系式，转化为数学问题求解。 2. 解题步骤： - 审题：明确变量关系，确定自变量取值范围（需符合实际意义）。 - 建模：设合适的函数解析式（顶点式、一般式、交点式按需选择）。 - 求解：代入已知条件求参数，利用顶点或单调性求目标值。 - 检验：验证结果是否符合实际情境，舍去不合理解。 3. 关键技巧与思想： - 解析式选择：最值问题优先用顶点式 y=a(x-h)^2+k ，已知交点用交点式 y=a(x-x_1)(x-x_2) 。 - 数形结合：通过函数图像分析自变量取值范围与最值的合理性。 - 实际约束：忽略不符合实际的解（如负数、超出定义域的数值）。 【即学即练】1．如图，矩形中，，动点P从点A出发，以的速度沿线段向点B运动，动点Q同时从点A出发，以的速度沿折线向点B运动，当一个点停止时另一个点也随之停止．设点P的运动时间是时，的面积是，则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别讨论点在上运动的情况即可求解． 【详解】解：①当点在上运动时，即： ； ②当点在上运动时，即： ； ③当点在上运动时，即： ； 综上分析可知，选项C中的函数图象符合题意． 2．如图1，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图2是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点射出，水流运动的高度与水平距离近似满足函数关系．若这只昆虫在点，则这次射出的水流______击中昆虫．（填“能”或“不能”） 【答案】不能 【分析】本题主要考查了二次函数的应用．根据题意，把代入，把结果与50比较即可． 【详解】解：把代入，得， ， 不能击中昆虫． 3．如图，一光点M从原点O出发，其路径为抛物线L的一部分，在点处达到最高，并落在x轴上的点P处，并在点P处向右侧弹起，路径为抛物线的一部分，其中抛物线G与抛物线L的开口方向和形状相同，线段的端点，． (1)直接写出点P的坐标，并求出抛物线L的解析式； (2)若抛物线G经过点，求抛物线G的函数解析式； (3)将抛物线L向右平移个单位长度使它与线段有交点，直接写出k的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先由题意可知，抛物线L的顶点为，且经过原点，根据抛物线的对称性，求出点P的坐标．再设抛物线L的解析式为：，将代入，求出a的值，即可求出抛物线L的解析式； （2）由“抛物线G与抛物线L的开口方向和形状相同”，可知，由此可得抛物线G的解析式为：，根据抛物线G经过点和点，运用待定系数法，将点和点代入抛物线G的解析式中，求出b和c的值，从而求出抛物线G的解析式； （3）由抛物线L的解析式，先写出平移后的解析式，再结合题意，将点A坐标与点B坐标分别代入平移后解析式中，求出k的值，最后结合函数图象分析出k的取值范围． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线L的顶点为，且经过原点，根据抛物线的对称性，点O与点P关于对称轴对称， 设， 则， 解得：， ∴点P的坐标为． 设抛物线L的解析式为：，将代入， 得：， 解得：， ∴抛物线L的解析式为：， 即． （2）解：∵抛物线G与抛物线L的开口方向和形状相同， ∴抛物线G的二次项系数与抛物线L的二次项系数相同， 即， ∴抛物线G的解析式为：， ∵抛物线G经过点和点， ∴将点和点代入抛物线G的解析式中， 得：， 解得：， ∴抛物线G的解析式为：． （3）解：∵抛物线L的解析式为：， ∴将其向右平移k个单位后，解析式为：， ∵，， ∴当平移后的抛物线经过点A时， 可得：， 解得：或． 同理，当平移后的抛物线经过点B时， 可得：， 解得：或． 结合图象分析，要使平移后的抛物线与线段有交点， 则k的范围为：． 题型01 图形问题 【典例1】（2026·浙江杭州·一模）如图，小聪借助直角墙角建一个矩形花园，花园两边由总长为的篱笆围成，墙长，，则花园最大面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，求得的取值范围，再利用二次函数的性质即可解答． 【详解】解：设，则， 墙长，， ，， 解得， 花园的面积， ∴当时，花园面积最大，最大面积为． 【变式1】（2026·甘肃白银·二模）如图，在等边三角形的三边上，分别取点D、E、F，使．若，，四边形的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等边三角形的性质和已知条件，证明，利用“割补法”，用大三角形的面积减去三个全等小三角形的面积，得到的面积关于的函数解析式．根据二次函数的解析式，分析其开口方向、对称轴及顶点坐标，从而确定函数图象． 【详解】是等边三角形， ，， ， ，，， ． 在、和中， ， ， ． 过作于点， 在中，，， ， ， ， ， 二次项系数， 函数图象开口向上， 对称轴为直线， 当时，取得最小值， ． 当或时，． 综上所述，函数图象为开口向上的抛物线，且经过和，观察选项，只有B选项符合． 【变式2】（25-26九年级下·辽宁铁岭·阶段检测）如图，一根铝合金型材长为，用它制作一个“日”字型窗户的框架，如果恰好用完整条铝合金型材，则窗户的最大面积是_______． 【答案】 【分析】设为，则，根据矩形的面积求得面积与的函数关系，根据二次函数的性质求解即可求得答案． 【详解】解：设为，则， 则窗户的面积 当时，取得最大值为． 【变式3】（25-26九年级下·全国·课后作业）用长为的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框．窗框的高与宽各为多少时，它的透光面积最大？最大透光面积是多少？（铝合金型材宽度不计） 【答案】窗框的高与宽各为、时，它的透光面积最大，最大透光面积是 【分析】因为窗框的宽为，则高为：，设面积为S，根据长方形面积公式建立函数关系式，再由二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设窗框的宽为，则高为：，设面积为S， 根据题意可得：． ∵ ∴当时，， 此时高为 答：窗框的高与宽各为、时，它的透光面积最大，最大透光面积是． 题型02 图形运动问题 【典例1】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，是等腰直角三角形，，，点是边上一个动点，沿的路径运动，过点作于点，设，的面积为，则下列能大致反映与函数关系的图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过A点作于H，利用等腰直角三角形的性质得到，，分类讨论：当时，如图1，易得，根据三角形面积公式得到；当时，如图2，易得，根据三角形面积公式得，于是可判断当时，y与x的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分，当时，y与x的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分，然后利用此特征可对四个选项进行判断． 【详解】解：过A点作于H， ∵是等腰直角三角形， ∴，， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，如图2， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，y与x的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分，当时，y与x的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分，故B选项符合题意． 【变式1】（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，为上一点，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿的方向匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为，正方形的面积为，当点由点运动到点时，经研究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象． （1）___________；（2）____________． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，由图2可得：当点运动到点处时得出，勾股定理即可求解，当点P运动到点A处时，，由此可得的长，进而可得的长．理解题意，结合图象，运用数形结合的思想是解题的关键． 【详解】解：由图2可得：当点在点处时，，即 如图，连接，在中，， 当点运动到点处时，， ∴， ∴． 故答案为：，． 【变式2】（25-26九年级上·天津西青·期末）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动．如果，两点分别从，两点同时出发，分别到达点，后停止运动，那么当的面积取得最大值时，出发时间的值是_____． 【答案】3 【分析】本题主要考查二次函数应用—动点问题，二次函数图象与性质等知识．根据题意得到，，则，由三角形的面积公式可得，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：设运动时间为， 根据题意有：，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故S关于t的函数解析式为； ∵， ∵， ∴当时，的面积S有最大值． 故答案为：3． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知等腰直角三角形的直角边长与正方形的边长均为，与在同一条直线上，开始时点A与点M重合，让向右移动，最后点A与点N重合． (1)试写出两图形重叠部分的面积与线段MA的长度之间的函数关系式． (2)当点A从点M开始向右移动时，重叠部分的面积是多少？ 【答案】(1)（）． (2) 【分析】（1）根据图形及题意所述可得出重叠部分是等腰直角三角形，从而根据的长度可得出y与x的关系； （2）将代入可得出重叠部分的面积． 【详解】（1）解：由题意知，开始时A点与M点重合， 让向右移动，最后点A与点N重合， 两图形重合的长度为， （）． （2）解：当时， 即， 重叠部分的面积 （）． 题型03 拱桥问题 【典例1】（24-25九年级上·江西九江·期中）某校计划举办九年级毕业典礼，想在现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口．要在拱门上顺次粘贴“毕”“业”“典”“礼”（分别记作点A，B，C，D）四个大字，要求与地面平行，且，抛物线最高点的五角星（点）到的距离为，如图2所示，则点到的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，利用待定系数法求出抛物线的解析式，再由题意得出点的横坐标为2，代入抛物线计算即可得解． 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系． 由题意可得点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为， 故设抛物线的解析式为， 将点的坐标代入上式，得， 解得：， 抛物线的解析式为． 点的横坐标为2， 点的纵坐标为， 点到的距离为． 【变式1】（2026·天津和平·二模）赛龙舟是中国端午节的习俗之一．某地计划进行一场划龙舟比赛，图①是比赛途中经过的一座拱桥，图②是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分．如图所示建立平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度与到点的水平距离近似满足函数关系．据调查，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少．有下列结论： ①水面宽度； ②拱桥的最大高度是； ③若每条龙舟赛道宽度为，最多可设计龙舟赛道条． 其中，正确结论的个数有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，求出的值，可判断①正确，把解析式化为顶点式，可判定②正确，令，求出的值，可得水面的安全距离为，可得设计龙舟赛道数为，即可判定③正确；综上即可得答案． 【详解】解：∵竖直高度与到点的水平距离近似满足函数关系， ∴当时，， 解得：，， ∴水面宽度，故①正确； ∵， ∴拱桥的最大高度是，故②正确； ∵龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少， ∴通过拱桥时龙舟最高处到水面至少， 当时，， 解得：，， ∴水面的安全距离为， ∵每条龙舟赛道宽度为， ∴可设计龙舟赛道数为(个)， ∴最多可设计龙舟赛道条，故③正确． 综上所述：正确结论的个数有个． 【变式2】2026·甘肃平凉·二模）如图1，玛曲黄河大桥位于甘肃玛曲县城南，北连玛曲县城，南通阿万仓乡，是甘肃省黄河上游的第一座桥梁，因此有“黄河第一桥”之称．如图2是它的部分示意图，可近似地用抛物线的一部分表示，若当水面宽度为时，水面到拱顶的高度为，当水位在此基础上继续上涨时，水面的宽度为______m（结果保留根号）． 【答案】 【详解】根据图示建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为顶点式，利用已知条件求出点的坐标并代入解析式求出的值，确定函数解析式，再根据水位上涨后的高度求出对应的值，再列式求出水面宽度，即可作答． 【点睛】解：设抛物线的解析式为. 由题意可知，抛物线顶点为原点，对称轴为轴， ∵，，且点在第四象限， 根据抛物线的对称性，点的横坐标为，纵坐标为， 即； 将点代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当水位上涨时，水面到拱顶的距离变为． 此时水面上点的纵坐标为， 把代入，得， 解得，， ∴水面的宽度：． 【变式3】（2026·新疆乌鲁木齐·三模）某抛物线型拱桥示意图如图所示．水面宽与桥长均为米，在距离点米的处，测得桥面到桥拱的距离为米，以桥拱顶点为原点，桥面所在直线为 轴建立平面直角坐标系．如图，桥面上方有根高度均为米的支柱、、，过相邻支柱顶端的两根钢缆可以近似看做两条形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为米． (1)求拱桥和其中一条钢缆抛物线的函数解析式； (2)春节前夕，市政打算在钢缆和桥拱之间沿竖直方向装饰若干条灯带（见图），求出可以在竖直方向安装的灯带中最短的灯带长度． 【答案】(1)拱桥抛物线表达式为；右边钢缆的抛物线表达式为；左边钢缆的抛物线表达式为 (2)灯带长度的最小值是 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设灯带长度为，则，即可得解． 【详解】（1）解：①由题意得，，右边钢缆的抛物线顶点为， 设右边钢缆的抛物线表达式为， ， ， ， ． ②由题意得，，左边钢缆的抛物线顶点为， 设左边钢缆的抛物线表达式为， ， ， ， ． 设拱桥抛物线表达式为，由题意得， ， ． ． （2）解：设灯带长度为， 则， ， 当时，有最小值为． 答：灯带长度的最小值是． 题型04 销售问题 【典例1】（2026·河南周口·二模）第十九届杭州亚运会的吉祥物“琮琮”、“宸宸”、“莲莲”深受大家喜爱．某商场购进一批吉祥物玩偶，进价为每个40元，按每个50元出售，每周可卖出200个．经调查发现，售价每上涨1元，每周少卖10个．若设每个涨价x元，每周总利润为y元，则y与x的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用总利润单个玩偶的利润销售量，分别表示出单个玩偶的利润和销售量，即可得到y与x的函数关系式． 【详解】解：设每个涨价元，则现在的售价为元，单个利润为元， 由于售价每上涨元，每周少卖个， 则涨价元后，每周的销售量为个， 根据题意得：． 【变式1】（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）某公司销售一种藜麦，成本价为30元/千克，若以35元/千克的价格销售，每天可售出450千克．当售价每涨元/千克时，日销售量就会减少15千克．若使日销售利润最大，则销售价格应定为（    ）元/千克． A．42 B．40 C．38 D．35 【答案】B 【分析】本题考查二次函数在实际销售问题中的最值应用，通过设变量建立利润与销售价格的二次函数关系式，利用二次函数开口向下的性质，求顶点对应的销售价格即为利润最大时的价格． 【详解】解：设销售价格定为元/千克，日销售利润为元， ∵每千克利润为元， 售价较35元上涨了元，每涨元日销量减少15千克，故日销量减少千克， ∴实际日销售量为千克， 则， 展开整理得， ∵二次项系数，函数图象开口向下，存在最大值， ∴当时，取得最大值． 即销售价格应定为40元/千克． 故选：B． 【变式2】（2026·福建福州·模拟预测）已知某商品的月利润是其涨价额的二次函数，且存在最大值．商家先将该物品涨价8元，月利润增多；又涨价4元，发现月利润更多了，于是商家想知道涨价多少元时利润最大．记涨价元时，利润最大，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】根据商品的月利润是其涨价额的二次函数，且存在最大值，涨价元时，利润最大，可设解析式为，其中，故抛物线开口向下，函数图象上的点到对称轴的距离越小函数值越大，据此结合题意列不等式组即可求解. 【详解】设月利润为元，涨价额为元，二次函数为，，其对称轴为． 存在最大值， 抛物线开口向下，，函数图象上的点到对称轴的距离越小函数值越大， 由题意可得：， 当时，不等式组可化为：，不等式组无解， 当时，不等式组可化为：，解得， 当时，不等式组可化为：，该不等式组恒成立， 综上所述：． 【变式3】（2026·辽宁沈阳·三模）某商场销售一种进价为每件15元的商品，售价为每件25元时，每天可售出50件；售价每上涨1元，每天的销售量就减少2件.设每件商品的售价为元（且为整数），每天的销售量为件. (1)求与的函数关系式； (2)设每天的销售利润为元，当每件商品的售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)（且为整数） (2)当每件商品的售价定为32元或33元时，每天的销售利润最大，最大利润是612元 【分析】（1）根据“现有销售量原销售量涨价减少的销售量”列出与的函数关系式，并结合实际意义确定自变量的取值范围； （2）根据“总利润每件商品的利润销售量”得到关于的二次函数, 再利用二次函数的性质结合为整数的条件, 求出最大利润和对应售价． 【详解】（1）解：（且为整数）； （2）解：， 对称轴为直线， 因为x为整数，且两侧的整数为32和33，， 当时， （元）． 当时： （元）． 答：当售价定为32元或33元时，每天利润最大，最大利润为612元． 题型05 投球问题 【典例1】（2026·甘肃定西·三模）如图，在体育测试中，小亮同学掷实心球时，实心球沿抛物线运行，其中是实心球离初始位置的水平距离，是实心球离地面的高度．若实心球抛出时离地面的高度为，则实心球掷出的水平距离为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】利用待定系数法求出二次函数的解析式，求出当时对应的的值，即可得到实心球掷出的水平距离． 【详解】解：为， 点的坐标为， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为， 当时，可得：， 解得：，（舍去）， 所以实心球掷出的水平距离为米． 【变式1】（2026·新疆·模拟预测）一位足球运动员将足球沿与地面成一定角度踢出，足球飞行的路线可以近似看作是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度（单位：m）与足球被踢出后经过的时间（单位：s）之间的关系式为．有下列结论： ①足球距离地面的最大高度为； ②足球被踢出和时，足球距离地面的高度是一样的； ③足球被踢出时落地．其中正确的有（     ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】利用配方法和二次函数的性质，计算对应时间的高度，逐一判断结论即可． 【详解】解：， 当时，取得最大值，即足球距离地面的最大高度为，故①错误； 当时，， 当时，， 足球被踢出和时高度相等，故②正确； 当时，， 即足球被踢出时高度为，落地，故③正确； 综上，正确的结论共个． 【变式2】（2026·湖北省直辖县级单位·二模）如图①是一款固定在地面处的高度可调的羽毛球发球机．如图②，A是其弹射出口，发球机能将羽毛球以固定的方向和速度弹出．在不计空气阻力的情况下，球的运动路径呈抛物线状，B是羽毛球落地点．．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．已知，，羽毛球在飞行过程中运动路径的抛物线的函数表达式为 ，羽毛球在飞行过程中距离地面的最大高度__________． 【答案】2.25 【分析】将，两点坐标代入解析式，求得、的值，用顶点公式求最大值即可． 【详解】解：由题意可知，，， ， 解得， ， ∵， ∴当时，， 羽毛球在飞行过程中距离地面的最大高度为． 【变式3】（2026·陕西西安·模拟预测）为贯彻落实“五育并举”的教育方针，某校开设了篮球队，如图，篮球运动员投篮时，篮球的运动路线可近似看作抛物线的一部分．已知篮球从距地面2米的点A处投出，并落在水平地面上的点M处，其运动路线的最高点P距地面3.8米，最高点P与篮球出手点A的水平距离为3米．以地面所在直线为x轴，过点A且与垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求点P所在抛物线的函数表达式； (2)已知篮球运动路线的形状保持不变（即抛物线的形状不变），若将篮球从点A正上方1米的点B处投出，落地点为N，点N在x轴的正半轴上，求点B与落地点N的水平距离的长． 【答案】(1) (2)​米． 【分析】（1）根据题意可知、，设抛物线顶点式为，将代入计算即可； （2）根据平移的性质得到，令，求解后根据在正半轴取合适的值即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：出手点的坐标为， 最高点距水平距离3米，距地面3.8米，因此坐标为． 设抛物线顶点式为， 将代入得：， 解得：， ∴； （2）解：∵将篮球从点A正上方1米的点B处投出， ∴新抛物线表达式为：， 令，得：， 解得， ∵在正半轴， ∴​， ∴​米． 题型06 喷水问题 【典例1】（2026·陕西·中考真题）某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把解析式化为顶点式即可得到答案． 【详解】解：， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为90， ∴这条鱼此次射出的水流的最大高度是． 【变式1】（2026·河南驻马店·二模）如图为喷泉某一截面的水流可看作关于轴对称的两条抛物线，右侧水流的竖直高度与距水管的水平距离之间满足，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，求出点B的坐标，可得到点A的坐标，即可求解． 【详解】解：对于， 当时，， 解得：， ∴点， ∵水流是关于轴对称的两条抛物线， ∴点A，B关于y轴对称， ∴点， ∴． 【变式2】（2026·甘肃天水·中考真题）如图1，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图2是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点射出，水流运动的高度与水平距离近似满足函数关系．若这只昆虫在点，则这次射出的水流______击中昆虫．（填“能”或“不能”） 【答案】不能 【分析】本题主要考查了二次函数的应用．根据题意，把代入，把结果与50比较即可． 【详解】解：把代入，得， ， 不能击中昆虫． 【变式3】（2026·内蒙古通辽·三模）某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以为原点，水平方向为轴，建立平面直角坐标系，点A在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为． (1)求雕塑的高； (2)求落水点C、之间的距离； (3)若需要在上的点处竖立雕塑，，，问：顶部是否会碰到水柱？请通过计算说明． 【答案】(1)雕塑的高为 (2) (3)当时，， ∴点在抛物线上． 又∵， ∴顶部不会碰到水柱． 【分析】（1）直接令，代入求解可得； （2）可先求出的距离，再根据对称性求的长； （3）利用，计算出的函数值，再与的长进行比较可得结论． 【详解】（1）解：当时，， ∴点的坐标为， ∴雕塑的高为． （2）解：当时，， 解得（舍去），， ∴点的坐标为， ∴． ∵从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同， ∴， ∴． （3）略 题型07 增长率问题 【典例1】（25-26九年级上·福建南平·阶段检测）某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是，则两次降价后的价格（元）与每次降价的百分率之间的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键； 根据连续两次降价，每次降价的百分率为，则两次降价后的价格等于原价乘以的平方． 【详解】解：∵每次降价的百分率都是， ∴第一次降价后价格为， 第二次降价后价格为， ∴， 故选：B． 【变式1】（25-26九年级上·山东青岛·周测）某超市一月份的营业额为30万元，三月份的营业额为y万元．设每月的平均增长率为x，则y与x之间的函数表达式为_______ 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用．由题意知，二月份的营业额万元，三月份的营业额万元，依题意得，． 【详解】解：由题意知，二月份的营业额万元，三月份的营业额万元， 依题意得，， 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段检测）由于制药技术的提高，某种疫苗的成本下降了很多，因此医院对该疫苗进行了两次降价，设平均降价率为x，已知该疫苗的原价为462元，降价后的价格为y元，则y与x之间的函数关系式为______． 【答案】 【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，本题需注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的．原价为462元，第一次降价后的价格是元，第二次降价后的价格为元，则函数解析式即可求得． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意可得： y与x之间的函数关系为：． 故答案为． 【变式3】（2025九年级上·全国·专题练习）某公司的生产利润原来是万元，经过连续两年的增长达到了万元，如果每年增长率都是，写出利润与增长的百分率之间的函数解析式，它是什么函数？ 【答案】，是二次函数． 【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，在表示增长率问题时，要明确基数，增长次数，最后的结果． 根据增长率的问题，基数是a万元，增长次数2次，结果为y，根据增长率的公式表示函数关系式． 【详解】解：依题意得， 此函数是二次函数． 题型08 线段、周长、面积问题 【典例1】（25-26九年级下·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图象与轴只有一个交点，且经过点，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据A、B两点纵坐标相等求出二次函数对称轴，进而得到b的值，再利用二次函数与x轴只有一个交点的性质求出c的值，得到函数解析式后求出m，最后计算的面积． 【详解】解：∵二次函数经过点，，两点纵坐标相等 ∴二次函数的对称轴为直线 ∵对称轴公式为， ∴，解得 又∵二次函数图象与轴只有一个交点 ∴ 解得 ∴二次函数解析式为 将代入解析式，得 ∴，， ∴，原点到直线的距离为 ∴． 【变式1】（25-26九年级上·湖北咸宁·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，抛物线的对称轴上有一点P，使的和最小，则点P坐标为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、轴对称的性质、待定系数法求一次函数解析式，熟练运用轴对称的性质是解题的关键． 根据抛物线的对称性可知，所以当点P在线段上时，的值最小，以此为依据求解即可． 【详解】解：如图，连接，交对称轴于点P，连接， ∵点和点关于抛物线的对称轴对称， ∴， 要使的值最小，则应使的值最小， ∴与对称轴的交点P，使得的值最小， 令，则， 解得，， ∴，， 抛物线的对称轴为， ∴点P的横坐标为1， 当时，， ∴， 设直线解析式为， 把，代入得， ，解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴点P坐标为． 故答案为：． 【变式2】（2026·辽宁本溪·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，，与轴交于点，若点在第二象限的抛物线上，则的面积为_____． 【答案】 【分析】先求出，对称轴为直线，从而可得点和点关于对称轴对称，轴，求出，即可得出，最后由三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：在中，当时，，即， ∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线， ∵点在第二象限的抛物线上，， ∴点和点关于对称轴对称，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 【变式3】（2026·黑龙江·模拟预测）如图，已知直线交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，抛物线经过，两点，交轴负半轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)是直线上方抛物线上的一动点，当四边形面积最大时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 【分析】（1）由题意易得，，然后根据待定系数法进行求解即可； （2）连接，由题意易得，，设点，且，然后可得，进而根据二次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入直线得：，解得：， ∴， 把代入直线得：， ∴， ∵抛物线经过，两点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：连接，如图所示： ∴， ∵，， ∴，， 设点，由题意知， ∴， ∵， ∴当时，四边形的面积最大，此时点的坐标为． 一、单选题 1．（2026·河南周口·模拟预测）如图，物流无人机在配送包裹时，将无人机当作一个点看，其飞行轨迹可近似看作抛物线的一部分，设无人机从地面原点处起飞，飞行路线为 ，已知无人机在飞行过程中达到的最大高度为米，则该抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据无人机在飞行过程中达到的最大高度为米，得到 ，把代入解析式，确定值即可． 【详解】根据题意得 ， 抛物线的解析式为， 把代入解析式，得， 解得， 抛物线的解析式为． 2．（2026·山东潍坊·二模）某校园科技节上，人形机器人进行立定跳远展示．如图，以起跳点为原点，水平向前为轴正方向，竖直向上为轴正方向，建立平面直角坐标系．机器人起跳后，脚掌的飞行轨迹可以用二次函数刻画，其中（米）为机器人脚掌离起跳点的水平距离，（米）为机器人脚掌距离地面的高度．已知机器人起跳后，脚掌离起跳点的水平距离为米时，脚掌距离地面的高度为米．下列说法正确的是（    ） A．机器人此次跳远的成绩为米 B．机器人脚掌离起跳点的水平距离大于米时，脚掌距离地面的高度越来越低 C．若在起跳点前方米处有一高米的障碍物，机器人可以成功越过障碍物 D．机器人脚掌距离地面的高度为米时，脚掌离起跳点的水平距离为米或米 【答案】D 【分析】由题意知抛物线经过点，利用待定系数法求出二次函数的解析式，再逐项判断即可求解． 【详解】解：由题意知，抛物线经过点， 把代入，得， 解得， ∴二次函数， 令，则， 解得，， ∴机器人此次跳远的成绩为米，故选项说法错误； ∵二次函数， ∴对称轴为直线， ∵， ∴当机器人脚掌离起跳点的水平距离大于米时，脚掌距离地面的高度先由低变高，再由高变低，故选项说法错误； 把时，， ∵ ， ∴若在起跳点前方米处有一高米的障碍物，机器人不可以成功越过障碍物，故选项说法错误； 当时，， 解得，， ∴当机器人脚掌距离地面的高度为米时，脚掌离起跳点的水平距离为米或米，故选项说法正确． 3．（2026·河南周口·模拟预测）如图，在平行四边形中，，P，Q两点同时从点A出发，以相同速度分别沿着，运动，则的面积y与运动时间x之间的函数图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分三个阶段分析：当点P运动到点B之前；当点P在边上，点Q在边上时；当点P在边上，点Q在边上时．即可得出答案． 【详解】当点P运动到点B之前，与不固定，则的底上的高也发生变化，可知y与x满足二次函数关系，故A、B错误； 当点P在边上，点Q在边上时，的底随x呈现一次函数关系，但高保持不变，故此时图象呈直线形式； 当点P在边上，点Q在边上时，同第一阶段，的面积与x呈现非线性关系，和的面积与x均呈现线性关系，故利用总面积相减可知，的面积与x呈现非线性关系（二次函数关系），故选D． 4．（24-25九年级下·安徽芜湖·自主招生）如图，点，，均在二次函数的图象上，为线段的中点，轴，且．设，两点的横坐标分别为，，则的值为（     ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】设点坐标为，则，由为线段的中点，得到，，从而求出． 【详解】解：设点坐标为， 轴，， ， 、、三点均在二次函数的图象上， ， 为线段的中点， ，， ， ， ， ， ， ． 5．（2026·天津·中考真题）矩形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边、边向终点运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．给出下面三个结论： ①当时，四边形是平行四边形； ②的最大面积为； ③当的面积为时，或． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】①利用三角形面积公式计算即可判断；②分三种情况讨论，利用三角形面积公式列式，再利用二次函数的性质即可判断；③同②分三种情况讨论，利用三角形面积公式列式计算即可判断． 【详解】解：①当时，如图2， ，， ∴， ∴， ∵矩形， ∴，即， ∴四边形是平行四边形，①正确； ②当点在上，点在上，此时时，如图1， ，， ∴当时，的最大面积为； 当点在上，点在上，此时时，如图3， ，，， ∴当时，的最大面积为； 当点在上，点在上，此时时，如图4， ，，，， ∴ ， ∵，当时，随的增大而减少， ∴不存在最大值， 综上，的最大面积为，②正确； ③当点在上，点在上，此时时， 又②可知：，， 由题意得， ∴（负值已舍）； 当点在上，点在上，此时时， 由②可知：， 由题意得， ∴（不符合题意，舍去）； 当点在上，点在上，此时时， ， 由题意得， ∴（不符合题意，舍去）或； 综上，当的面积为时，或，③正确． 二、填空题 6．（2026·山西朔州·模拟预测）某食品加工厂专门生产爆米花，在生产过程中，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．为了提升产品品质、降低生产成本，技术人员研究发现，在特定生产条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）满足函数表达式，为了让爆米花的可食用率达到最高，最佳加工时间为_________分钟． 【答案】3.75 【分析】根据二次函数的最值问题进行求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴当时，y取得最大值， ∴最佳加工时间为3.75分钟． 7．（25-26八年级下·云南曲靖·阶段检测）曲靖市某超市一种商品进价为每件20元，售价为每件30元，每天可卖出100件．若每件降价1元，则每天可多卖10件．设降价x元，每天利润为y元，则y与x的函数关系式为______（不要求写x范围）． 【答案】 【分析】降价元后，每件商品的利润为元，每天的销售量为件，再根据总利润每件利润销售量列出关系式即可． 【详解】解：降价元后，每件商品的利润为元，每天的销售量为件， 由题意可得， 整理得． 8．（2026·甘肃白银·三模）兰州牛肉面（如图1），以“汤清者镜，肉烂者香，面细者精”的独特风味和“一清二白三红四绿五黄”，赢得了国内乃至全世界顾客的好评，并被中国烹饪协会评为三大中式快餐之一，被誉为“中华第一面”．如图2，是一个盛放兰州牛肉面面碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底O为原点建立平面直角坐标系，已知碗口BC宽，碗深，则当满碗汤面的竖直高度下降时，碗中汤面的水平宽度为______（碗的厚度不计）． 【答案】16 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为顶点式，利用碗口宽度和深度求出抛物线上一点的坐标，代入求出解析式，再根据汤面下降的高度求出此时液面的纵坐标，代入解析式求出横坐标，进而求出宽度． 【详解】设抛物线的解析式为， 由题意可知，碗口宽，碗深，且抛物线关于轴对称， 所以点的横坐标为 ，纵坐标为，即点的坐标为， 将点代入，得， 解得， 所以抛物线的解析式为， 当满碗汤面的竖直高度下降时，汤面的高度为， 令，则， ∴， 解得， 此时碗中汤面的水平宽度为． 9．（2026·甘肃平凉·模拟预测）景区喷泉以出水口为原点建立坐标系，水柱高度（单位：米）与水平距离（单位：米）满足：．在水柱最高点正下方修建矩形观景通道，通道顶部距离水柱竖直高度不少于2米，通道宽度米，求通道顶部距离地面的最大高度：_______． 【答案】米 【分析】由题意易得该二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线，然后可得，当通道顶部到水柱的竖直距离均等于2米时，通道顶端到地面有最大高度，进而问题可求解． 【详解】解：∵喷出水的竖直高度y（单位：米）与距出水口的水平距离x（单位：米）近似满足函数关系， ∴该二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线， ∵在喷泉水柱最高处的正下方搭建矩形通道， ∴矩形关于抛物线的对称轴对称， ∵通道宽为2米， ∴，即， ∵通道顶部到水柱的竖直距离均不小于2米， ∴，即， 即当通道顶部到水柱的竖直距离均等于2米时，通道顶端到地面有最大高度， 当时，则有， ∴通道顶端到地面的最大高度为（米）． 10．（2026·辽宁朝阳·二模）如图，等腰直角三角形中，，，顶点，在抛物线上，点在轴上．点，的坐标分别为，，则的值为_____． 【答案】1 【分析】作轴，轴，可以得到，从而得到，根据题意可得，，，求解即可． 【详解】解：作轴，轴，如图， 由题意可得，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵点，的坐标分别为，， ∴，，，， ∴， 由题意可得，，， ∴， ∴，即， 解得． 三、解答题 11．（2026·内蒙古通辽·二模）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长米）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另外三边用总长为米的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长为米，面积为平方米． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)满足条件的花园面积能否达到平方米？若能，请求出的值；若不能，请说明理由； (3)当是多少时，矩形花园面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)； (2)当时，满足条件的花园面积能达到平方米 (3)当时，最大，最大面积是平方米 【分析】（1）根据矩形周长、面积公式列二次函数，结合墙长限制求自变量范围； （2）把代入解方程并检验取值； （3）配方法求二次函数在定义域内的最值． 【详解】（1）解：米，三边栅栏总长为米， 米． ，即． 墙长米， ， 解得． （2）解：令，则， 整理，得， 解得或． ， ， 当时，满足条件的花园面积能达到平方米． （3）解：将化为顶点式为， ， 当时，最大，最大面积是平方米． 12．（2026·浙江温州·三模）在高尔夫比赛中，从地面斜向上击出的高尔夫球离地面的高度满足二次函数关系式，其中是高尔夫球运动的时间，在一次训练时，小明如图击出高尔夫球．已知高尔夫球在距离击出点水平距离为时达到最大高度为．如图建立平面直角坐标系． (1)求出和的值； (2)求高尔夫球落地点与击出点的距离的长； (3)若该高尔夫球击出秒后和（）秒后，高尔夫球的高度相同，求的值和此时高尔夫球的高度． 【答案】(1)， (2) (3)或时高尔夫球的高度相同，且此时高度为 【分析】（1）高尔夫球在距离击出点水平距离为时达到最大高度为，抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式为，因为抛物线过原点，所以当时，，代入求出的值，即可得到抛物线的解析式，根据抛物线的解析式确定和的值； （2）根据点的纵坐标为，可得，解方程求出的值，即可得到的长度； （3）因为高尔夫球击出秒后和（）秒后，高尔夫球的高度相同，根据抛物线的对称性可知，解方程即可求出的值，把的值代入二次函数的解析式即可求出此时高尔夫球的高度． 【详解】（1）解：高尔夫球在距离击出点水平距离为时达到最大高度为， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 当时，， 可得：， 解得：， 抛物线解析式为， 整理可得：， ，； （2）解：点的纵坐标为， ， 解得：（舍去），， ； （3）解：由（1）得：． 抛物线的对称轴为：， 秒后和（）秒后，高尔夫球的高度相同， ， 解得：， 当时，， 答：或时高尔夫球的高度相同，且此时高度为． 13．（2026·陕西西安·模拟预测）如图为某拱桥的示意图，桥面平行于水面，拱形桥洞可近似看作抛物线的一部分，桥洞最高处点与桥面的距离为米，当水面距离桥面时，拱孔横跨水面宽度为米．若以水面所在直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，请根据以上信息回答问题： (1)请求出桥洞对应抛物线的表达式； (2)若从桥面向下挂一条宽为米的长方形横幅，横幅上边沿与桥面重合，、恰好落在拱孔上，求横幅的长． 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）根据得，根据桥洞最高处点与桥面的距离为米，水面距离桥面，得顶点的纵坐标为，可设抛物线解析式为，求解即可； （2）根据题意，得当时，，求解即可； 【详解】（1）解：根据得，桥洞最高处点与桥面的距离为米，水面距离桥面，得顶点的纵坐标为， 故、、， 设抛物线为      解得， ∴桥洞所对应的抛物线的解析式为； （2）解： ∴当时，， 解得， ∴横幅长为：米； 14．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）兔子跳跃的运动路线可看作抛物线，某科研团队研究兔子跳跃特性时发现：兔子某次跳跃的最高点距地面，起跳点与落地点的水平距离为．以起跳点O为原点，落地点M所在直线为x轴，建立平面直角坐标系． (1)直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； (2)若兔子从点O正上方的点处起跳，运动路线形状不变，求第二次起跳比第一次起跳多跳的距离； (3)实验表明：兔子跃过矮灌木丛时，与灌木丛上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于才能安全通过．如图2，水平地面上有一处灌木丛，其纵切面为矩形，其中，，兔子在距离灌木丛B的的E处起跳．判断兔子从E点起跳的原路线能否安全通过此灌木丛．若能，说明理由；若不能，在起跳处放一个多高的台阶就可以通过． 【答案】(1)， (2) (3)不能，起跳处放一个高为的台阶就可以通过 【分析】（1）根据题意可得顶点坐标，然后可设二次函数表达式为，进而利用待定系数法进行求解即可； （2）由题意可知新的函数可以看作把抛物线向上平移45个单位长度得到，则有表达式为，然后问题可求解； （3）根据题意可分别把和代入函数解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为40， 顶点的坐标为， 设二次函数表达式为， 把代入得：， 解得， 二次函数表达式为； （2）解：∵运动路线形状不变，过点， ∴新的函数可以看作把抛物线向上平移45个单位长度得到， ∴表达式为， 令，解得， ， ， ； （3）解：不能，由题意知，，则有， 令，代入表达式得：， 令，代入表达式得：， ， ∴在起跳处放一个高为的台阶就可以通过． 15．（25-26九年级下·广东深圳·阶段检测）如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点处沿水滑道下滑至点处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为轴，过腾空点与轴垂直的直线为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道（抛物线段）和人腾空飞出后经过的路径（抛物线段）都可以看作是抛物线．水滑道（抛物线段）的函数表达式为，水滑道最低点为点，根据测量和调查得到的数据和信息，解决下列问题． (1)点的坐标为________，点的坐标为________； (2)如图1，腾空点与对面水池边缘的水平距离米，人腾空后的落点与水池边缘的安全距离不少于米．某人腾空后的路径形成的抛物线的最高点为，此时点恰好是线段的中点． ①求抛物线的解析式； ②此人腾空飞出后的落点是否在安全范围内？说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）； (3)为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面米的点处竖直支撑的钢架，另一条是点与点之间连接支撑的钢架．现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）． 【答案】(1)， (2)①； ②落点在安全范围内． 由①得， 令，则， ∴，（负值，舍去）， ， ， ， ∴落点在安全范围内； (3)这条钢架的长度为米 【分析】（1）由题中水滑道（抛物线段）的函数表达式，令求出即可得到点的坐标为，由顶点式即可确定点的坐标； （2）①由中点坐标公式求出抛物线的顶点为，设抛物线为，由待定系数法求解即可；②令，解一元二次方程得到，数形结合求解即可； （3）根据题意，作出图形，令，解方程即可得到，求出直线的解析式，再由直线的平行关系设为，由抛物线与直线有一个交点，联立方程组，消去，由求解即可得到，从而确定直线解析式，得到相关线段长，最后在中由勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：水滑道（抛物线段）的函数表达式为， 当时，，则点的坐标为；水滑道最低点为点的坐标为； （2）解：①是的中点且，， 设点的坐标为， 则，解得， ∴抛物线的顶点为， ∴可设抛物线为， 将代入得，解得， ∴抛物线的解析式； ②略 （3）解：如图所示，即为所求钢架． 抛物线段的解析式为， 令，则， ∴，（正值，舍去）， ， 又， ∴直线为， ， ∴可设为， 联立方程组， 消去得， ∴， ， ∴直线为，则直线过原点，即与重合， ， ∴令，则， ，， 又， ∴， 答：这条钢架的长度为米． 一、单选题 1．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）如图，一座拱桥的纵向截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度为4.9m，当水面宽4m时，拱顶离水面2m．有下列结论： ①该抛物线的解析式为：； ②当水面宽度为时，水面下降了； ③当水面下降时，水面宽度增加了． 其中，正确结论的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是建立二次函数关系式；因此此题可根据题意得出二次函数关系式，进而问题可求解． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 由水面宽时，拱顶离水面，可知点在函数图象上， 将代入中，得， 解得， 故抛物线的解析式为， 故①错误； 当水面宽度为时，即，把代入得： ． 原来水面宽时，则水面下降的高度为， 所以②正确． 当水面下降时，即，把代入得： ，则，解得，此时水面宽度为， 原来水面宽，水面宽度增加了， 所以③正确． 综上，正确结论②③，共2个， 故选：C． 2．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）小颖在一次比赛中观察到铅球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，铅球的飞行高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的函数关系式为，当铅球的飞行高度为时，铅球此时的水平距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的实际应用．将飞行高度代入函数关系式，得到关于x的二次方程，解该方程即可得到水平距离．由于水平距离应为正数，舍去负根． 【详解】解：∵，且， ∴， 整理得：， ∴或， ∵水平距离， ∴． 故选：D． 3．（25-26九年级上·福建厦门·期中）某种迫击炮发射炮弹的飞行高度米与飞行时间秒的关系式为，一枚炮弹从发射到落地，经过的时间为（   ） A．40秒 B．60秒 C．80秒 D．100秒 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确理解题意是关键； 炮弹落地时高度为0，代入关系式求解一元二次方程即可. 【详解】解：∵ 炮弹落地时， ∴ 令， 解得或， ∵表示发射时刻， ∴ 落地时间为 秒； 故选：C. 4．（25-26九年级上·广东东莞·阶段练习）如图1，在菱形中，，连接，点从点出发沿方向以的速度运动至点，点同时从点出发沿方向以的速度运动至点．设运动的时间为，的面积为．已知与之间的函数图象如图2所示，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，动点问题与函数图象，三角形面积计算，表示出的面积表达式是解决本题的关键． 先根据点M和点N的运动速度和路径，分情况讨论的面积表达式，再结合函数图象即可求解a的值． 【详解】解：四边形是菱形，， ，． 如图1，当点N在上运动时，，． 过点M作于点E． 在中，， ． ． 当点N在点C时，，即．解得（负值已舍）． ． 如图2，当点N在上运动时，，． 过点N作于点H． 在中，， ． ． 当时，． 解得，（不符合题意，舍去）． ． 故选：C． 5．（25-26九年级上·天津东丽·期中）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中． 有下列结论： ①x的取值范围为； ②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为； ③矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的面积，构造二次函数求最值．根据题意，列出方程，构造二次函数计算即可． 【详解】解：∵，则，依题意，得： ， ∵ ∴， 解得，故①错误； 当时， 即， 解得：，， 当时，不在范围中，舍去， 当时，成立．故②错误； ， ∴当时，S有最大值为．故③正确， 故选：B． 二、填空题 6．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）疫情期间，某种一次性医用外科口罩的利润y（元）与售价x（元）之间的函数关系式为，且售价x的取值范围是，则最大利润是 元． 【答案】35 【分析】该题考查了二次函数的应用，利润函数为二次函数，且二次项系数为负，抛物线开口向下，在对称轴左边，结合函数在内的增减性得出，最大值在处取得即可求解． 【详解】解：函数， 顶点横坐标为， ∴在对称轴左边， 由于抛物线开口向下，且， ∴在上，二次函数的值的增大而增大， 因此最大值在处取得， 当时，． 则最大利润是35元． 故答案为：35． 7．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．小球运动中的高度可以是时，所需时间为 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据题意，将高度代入关系式，建立关于t的方程，求解即可得到所需时间． 【详解】由题意，令，得方程， 整理得：， 两边同时除以，得：， 因式分解得：， 解得或， 经检验，和均满足，故符合题意， 故答案为：或． 8．（25-26九年级上·天津滨海新·阶段练习）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点C重合）．如果分别从同时出发，那么经过 秒，四边形的面积最小． 【答案】6 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确列出函数关系式是解题关键． 设移动时间为秒，四边形的面积为，先分别求出的长，再利用面积减去面积求出四边形的面积，然后利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】解：设移动时间为秒，四边形的面积为， 由题意得：，， ， ， ， ， 整理得：， 由二次函数的性质可知，当时，取得最小值0， 即经过6秒，四边形的面积最小， 故答案为：6． 9．（2025九年级下·全国·专题练习）图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为 ． 【答案】40 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确地求出函数解析式是解题的关键．先建立直角坐标系，再根据题意设抛物线的解析式，然后根据点在抛物线上，可求出抛物线的解析式，最后将代入求出x的值，即可得的长． 【详解】解：以底部所在的直线为x轴，以线段的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系， ， 设抛物线的解析式为， 将代入， 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ， 故答案为：40． 10．（25-26九年级上·吉林长春·期中）某抛物线型的拱桥如图所示，已知该抛物线的函数表达式为，为了给行人提供安全保障，在该拱桥上距水面高为7米的点E、F处悬挂了两个救生圈，则这两个救生圈间的水平距离为 米． 【答案】 【分析】本题主要考查了实际问题与二次函数（拱桥问题），直接开平方法解一元二次方程等知识点，熟练掌握实际问题与二次函数（拱桥问题）是解题的关键． 令，则，解方程可得，，然后根据即可求出这两个救生圈间的水平距离． 【详解】解：令，则， 解得：，， ， 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点，顶点为． (1)求、两点的坐标； (2)连接，与抛物线的对称轴交于点，点为线段上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点．设的横坐标为． ①用含的代数式表示线段的长； ②当为何值时，四边形为平行四边形，请说明理由； ③当为何值时，为直角三角形，直接写出结论． 【答案】(1)点，点 (2)①（），②当时，四边形为平行四边形，理由见解析，③当或时，为直角三角形 【分析】题目主要考查二次函数的性质，解一元二次方程，平行四边形的性质，直角三角形的定义等，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）令抛物线解析式中，得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论； （2）①令抛物线解析式中求出y值，即可得出点C的坐标，结合点B、C的坐标利用待定系数法求出直线的解析式，再由点P的横坐标为m找出点F、P的坐标，由此即可得出结论； ②利用配方法求出抛物线的对称轴以及顶点D的坐标，根据点D坐标即可得出点E坐标以及线段的长度，再根据平行四边形的性质可得出，由此可得出关于m的一元二次方程，解方程即可得出结论； ③由轴可得出若要为直角三角形，则只能是或，然后求解即可． 【详解】（1）解：中， 则有， 解得：， ∵点A在点B的左侧， ∴点，点． （2）①中，则， ∴点． 设直线的解析式为， 将点、代入中， 得：，， 解得： ， ∴直线的解析式为． ∵点P的横坐标为m，轴， ∴点，， ∴． ②∵， ∴抛物线的对称轴为，顶点， 将代入中，得：， ∴点， ∴． ∵四边形为平行四边形， ∴，即， 解得：（舍去），， ∴当时，四边形为平行四边形． ③∵轴， ∴， ∵为直角三角形， ∴当时． ∵轴，， ∴轴， ∴点C、F关于对称轴对称， ∵点，抛物线对称轴为， ∴． ∴当时． 过点P作轴于点L， ∴， ∵点、， ∴， ∴、为等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， 综上可得：或． 12．（25-26九年级上·辽宁沈阳·月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)如果点是二次函数图象对称轴上的一点，连接、，若的面积为，求点坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与面积问题，一次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出抛物线的对称轴为直线，可设，设直线与对称轴交于点，求出直线的解析式为，得到，则，根据，结合的面积为，列方程求出，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入得， 解得， 该二次函数的解析式为； （2）二次函数的对称轴为直线， 设， 设直线与对称轴交于点，直线的解析式为， 将，代入得， 解得， 直线的解析式为， ， ， ， 的面积为， ， 解得或， 点的坐标为或． 13．（25-26九年级上·天津西青·期中）如图所示是一个音乐喷泉的示意图，在点O处竖直放置一根水管，在水管的顶端A处安装一个喷水头，喷出的水柱为抛物线（记为抛物线M，N），且形状相同，喷出的抛物线形水柱在与水管的水平距离为处达到最高，最大高度为，水柱落地处与水管的水平距离为，以水平地面为x轴，水管所在直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求水管的高度； (2)若在第一象限竖直放置一盏高为的景观射灯，且景观射灯的顶端E恰好碰到水柱． ①求景观射灯与水管的水平距离； ②现计划降低水管高度，使水柱落地处恰好在点F处，已知水管下降后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变，则水管要降低多少米？ 【答案】(1) (2)①；②水管要降低 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）根据题意可得顶点N的坐标和点B的坐标，据此把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求出对应的函数关系式，并求出自变量的值为0时的函数值即可得到答案； （2）①根据题意可得点E的纵坐标为，根据（1）所求解析式求出点E的横坐标即可得到答案；②设降低后的解析式，利用待定系数法求出降低后的解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， 设经过A、N、B三点的抛物线解析式为， ∴， ∴， ∴经过A、N、B三点的抛物线解析式为， 当时，， ∴， ∴， 答：水管的高度为； （2）解：①在中，当时，， 解得或， ∴， ∴， ∴， 答：景观射灯与水管的水平距离为； ②设下降后的抛物线解析式为， ∵下降后的抛物线经过， ∴， ∴， ∵， ∴水管要降低， 答：水管要降低． 14．（25-26九年级上·吉林·期中）投篮时篮球以一定速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立平面直角坐标系，篮球从出手到进入篮筐的过程中，它的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足二次函数关系，篮筐中心距离地面的竖直高度是，小明进行了两次投篮训练． 第一次训练时，小明投出的篮球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 … 竖直高度 … (1)在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接； (2)结合表中数据或所画图象，求篮球运行的最高点距离地面的竖直高度； (3)已知此时小明距篮筐中心的水平距离，小明第一次投篮练习是否成功，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)小明第一次投篮练习成功，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，利用待定系数法求得函数解析式是解题的关键． （1）根据表格的数据描点，然后用平滑的曲线依次连接各点即可； （2）根据图象经过点，，可知该抛物线的对称轴为直线，结合开口方向和图象经过，即可得到答案； （3）根据抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，利用待定系数法得到解析式，然后把代入解析式，求得函数值，结合篮筐中心距离地面的竖直高度是，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示即为所求， （2）解：∵图象经过点，， ∴抛物线关于直线对称， 由（1）可知，图象开口向下，且经过点， ∴篮球运行的最高点距离地面的竖直高度为； （3）解：小明第一次投篮练习成功．理由如下： 由（2）可知，该抛物线的顶点坐标为， ∴可设抛物线的解析式为， 将代入得，， 解得． ∴， 将代入得，， ∵篮筐中心距离地面的竖直高度是， ∴小明第一次投篮练习成功． 15．（25-26九年级上·四川泸州·期中）某旅游村一家特色菜馆，希望在五一节期间获得好的收益．经测算知，某“特殊菜”的成本价为每份30元，若每份卖50元，平均每天将销售120份；若价格每提高1元，则平均每天少销售2份．五一节期间，为了更好地维护景区形象，物价局规定每份“特色菜”售价不能高于75元．设每份“特色菜”的售价上涨元（为正整数），每天的销售利润为元． (1)当每份“特色菜”的售价上涨多少元时，菜馆才能实现每天销售利润3000元？ (2)五一节期间，求每份“特色菜”的售价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1)当每份售价上涨10元时，可实现每天利润3000元 (2)每份售价定为70元时，每天利润最大，最大利润为3200元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，理解题意是解题关键． （1）设每份“特色菜”的售价上涨x元（x为正整数），根据题意列一元二次方程求解即可； （2）根据物价局规定可得，再列出关于的二次函数，求出最值即可． 【详解】（1）解：根据题意，每份售价为元，销售量为份． 利润 令，得． 整理得：，解得， 售价不能高于75元，即，， ∴舍去． 答：当每份售价上涨10元时，可实现每天利润3000元． （2）解： ， ，抛物线开口向下，函数有最大值， ∵，且x为正整数，对称轴为直线在取值范围内， ∴当时，（元）．此时售价为（元） 答：每份售价定为70元时，每天利润最大，最大利润为3200元． 16．（25-26九年级上·陕西安康·期中）某生态旅游度假景区有一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为时，水面宽度为．当水位上升到水面距离拱桥顶时，此时的水位为警戒水位．建立如图所示的平面直角坐标系，求水位为警戒水位时的水面宽度． 【答案】 【分析】本题主要考查的是二次函数的应用，根据题意确定抛物线的解析式成为解题的关键． 先求出函数的表达式为，设水面下降1米到D的位置，则D坐标为，然后代入函数解析式求得x，最后根据二次函数的对称性即可解答． 【详解】解：解：从图象看，函数定点坐标C为，点B的坐标为， 则函数的表达式为：， 把点B坐标代入上式得：，解得：， ∴则函数的表达式为， 如图，设水位为警戒线位，则D的纵坐标为， 把代入，得， 解得，， ∴水位为警戒水位时的水面宽度． 17．（25-26九年级上·山东淄博·期中）如图，有长为的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为，面积为． (1)求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围． (2)要围成面积为的花圃，的长是多少米？ (3)当的长是多少米时，围成的花圃的面积最大是多少？ 【答案】(1) (2)的长为 (3)当的长是米时，围成的花圃的面积最大是 【分析】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是正确列出函数解析式． （1）根据矩形的面积即可写出函数关系式； （2）根据（1）中所得函数关系式当S为45时，列出一元二次方程即可求出的长； （3）根据（1）中所得函数关系式化为顶点式，再根据自变量的取值范围即可求出最大面积． 【详解】（1）解：根据题意，得， ， ． 答：S与x的函数关系式为； （2）根据题意，当时，， 整理，得， 解得， 当时，不成立， 当时，成立． 答：的长为； （3） ，对称轴是直线，开口向下， 当时，花圃的面积最大，最大面积是． 答：当的长是米时，围成的花圃的面积最大是． 18．（25-26九年级上·浙江宁波·月考）某校科技活动小组利用信息技术模拟火箭运行过程如图所示：在以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴的平面直角坐标系内，火箭的运行路径包括一、二两级运行路线：火箭第一级运行路径形为抛物线，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级，火箭第二级沿直线运行． 若火箭第二级的引发点的高度为． (1)求两段路径所在函数解析式； (2)火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． 【答案】(1)，； (2)两个位置之间的距离 【分析】此题考查了二次函数的实际应用． （1）利用待定系数法求出函数解析式； （2）根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：∵火箭第二级的引发点的高度为， ∴抛物线和直线均经过点， ∴，， 解得，， ∴函数解析式分别为：，； （2）解：， ∴最大值， 当时，则， 解得，， 又∵时，， ∴当时，则． 解得， ， ∴这两个位置之间的距离． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题1.5二次函数的应用 内容总览 1.教学目标、教学重难点 知识点01二次函数的应用 2.知识清单 题型01图形问题 题型02图形运动问题 题型03拱桥问题 二次函数的应用 题型04销售问题 3.题型精讲 题型05投球问题 题型06喷水问题 题型07增长率问题 题型08线段、周长、面积问题 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1. 能分析实际情境中的数量关系，建立合适的二次函数模型。 教学目标 2. 会运用二次函数的性质（顶点、最值）解决利润、面积、运动等实际问题。 3. 体会数学建模思想，提升将实际问题转化为数学问题的能力与应用意识。 1.重点 (1)掌握从实际问题中抽象数量关系、构建二次函数模型的方法。 教学重难点 (2)熟练运用二次函数的顶点特征求实际问题中的最大（小）值。 2.难点 (1)难以精准提炼实际问题中的变量关系，建立符合题意的二次函数表达式。 1/25 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)求解时易忽略自变量的实际取值范围，导致结果不符合现实情境。 知识清单 知识点01二次函数的应用 二次函数的应用知识总结 1.核心应用场景： -最值问题：解决利润最大、产量最优、用料最省、高度/距离最值等 实际建模：根据实际情境（如抛体运动、增长率、几何图形面积）建立二次函数关系式，转化为数学问 题求解。 2.解题步骤： -审题：明确变量关系，确定自变量取值范围（需符合实际意义）。 -建模：设合适的函数解析式（顶点式、一般式、交点式按需选择）。 -求解：代入已知条件求参数，利用顶点或单调性求目标值。 -检验：验证结果是否符合实际情境，舍去不合理解。 3.关键技巧与思想： -解析式选择：最值问题优先用顶点式y=a(x-h)^2+k,已知交点用交点式y=a(x-x1)(x-x2)。 - 数形结合：通过函数图像分析自变量取值范围与最值的合理性。 实际约束：忽略不符合实际的解（如负数、超出定义域的数值）。 【即学即练】1.如图，矩形ABCD中，AB=24D=6cm,动点P从点A出发，以2cms的速度沿线段 AB向点B运动，动点Q同时从点A出发，以3Cm/s的速度沿折线AD→DC→CB向点B运动，当一个点 停止时另一个点也随之停止.设点P的运动时间是x(S)时，△APQ的面积是y(©m2),则能够反映y与x之 间函数关系的图象大致是() 2/25 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B 34 43； D 34x 0134 2.如图1，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以 看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力），图2是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的 图象，其中水流从点O射出，水流运动的高度y(cm)与水平距离x(cm)近似满足函数关系 y=- 2+4xx≥0).若这只昆虫在点P(20,50),则这次射出的水流一击中昆虫.（填“能”或“不 101 能”) y/cm x/cm 图1 图2 3.如图，一光点M从原点O出发，其路径为抛物线L的一部分，在点Q(2,8)处达到最高，并落在x轴上 的点P处，并在点P处向右侧弹起，路径为抛物线G:y=ar'+br+C的一部分，其中抛物线G与抛物线L 的开口方向和形状相同。线段1B的端点仪可A$引 G M B (I)直接写出点P的坐标，并求出抛物线L的解析式： (2)若抛物线G经过点A(8,6),求抛物线G的函数解析式： 3/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (③)将抛物线L向右平移k(k>0)个单位长度使它与线段AB有交点，直接写出飞的取值范围。 题型精讲 题型01图形问题 【典例1】(2026浙江杭州一模)如图，小聪借助直角墙角建一个矩形花园ABCD,花园两边由总长为 18m的篱笆围成，墙长DE=8m,DF=l2m,则花园最大面积为() A.72m2 B.80m2 C.81m2 D.96m2 【变式1】(2026甘肃白银·二模)如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D、E、F,使 AD=BE=CF.若AB=4,AD=x,四边形BDFE的面积为y,则y关于x的函数图象大致为() 4、 43 B .23 43 4V3 C.23 D 4 【变式2】(25-26九年级下·辽宁铁岭阶段检测)如图，一根铝合金型材长为6m,用它制作一个“日” 字型窗户的框架ABCD,如果恰好用完整条铝合金型材，则窗户的最大面积是 m2. 4/25 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式3】(25-26九年级下·全国课后作业)用长为6m的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框. 窗框的高与宽各为多少时，它的透光面积最大？最大透光面积是多少？（铝合金型材宽度不计） 题型02 图形运动问题 【典例1】(2026黑龙江哈尔滨模拟预测)如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BC=4,点P 是△ABC边上一个动点，沿B→A→C的路径运动，过点P作PD⊥BC于点D,设BD=x,△BDP的面积 为少，则下列能大致反映y与x函数关系的图象是() VA C D 4 4 【变式1】(25-26九年级上湖北襄阳期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点， CD=√2，动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿C→B→A的方向匀速运动，到达点A时停 5/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 止，以DP为边作正方形DPEF.设点P的运动时间为ts,正方形DPEF的面积为S,当点P由点B运动 到点A时，经研究发现S是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象. (1)BC= (2)AC= S 4 图1 图2 【变式2】(25-26九年级上·天津西青·期末)如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12mm,BC=24mm, 动点P从点A开始沿边AB向点B以2mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4mm/s的速 度移动，如果P,Q两点分别从A,B两点同时出发，分别到达点B,C后停止运动，那么当△PBQ的面 积S取得最大值时，出发时间t的值是s. B 【变式3】(25-26八年级下·全国课后作业)如图，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形 MNPO的边长均为l0cm,CA与MN在同一条直线上，开始时点A与点M重合，让△ABC向右移动，最后 点A与点N重合. B M (①)试写出两图形重叠部分的面积y(cm)与线段MA的长度x(cm)之间的函数关系式. (2)当点A从点M开始向右移动lCm时，重叠部分的面积是多少？ 题型03拱桥问题 6/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例1】(2425九年级上·江西九江期中)某校计划举办九年级毕业典礼，想在现场设计一个如图1所 示的抛物线型拱门入口.要在拱门上顺次粘贴“毕”“业”“典”“礼”（分别记作点A,B,C,D)四 个大字，要求BC与地面平行，且BC∥AD,抛物线最高点的五角星（点E)到BC的距离为 0.6m,BC=2m,AD=4m,如图2所示，则点C到AD的距离为() 业 图1 图2 A.1.5m B.1.8m C.2m D.2.4m Ay/m B /m由题意可得点 的坐标为 ,点的坐标为 ,则点的坐标为 C (1,0) B (-1,0) E (0,0.6) 故设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-1) 将点E的坐标代入上式，得a(0+1)×(0-1)=0.6 解得：a=-0.6 .抛物线的解析式为y=-0.6(x+1)(x-1) 点D的横坐标为2， 点D的纵坐标为0.6×(2+1)×(2-1)=-1.8， ∴.点C到AD的距离为l.8m 【变式1】(2026天津和平·二模)赛龙舟是中国端午节的习俗之一.某地计划进行一场划龙舟比赛，图 ①是比赛途中经过的一座拱桥，图②是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分.如图所 示建立平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度m与到点O的水平距离m近似满足函数关系 y=-0.01x2+0.6x,据调查，龙舟最高处距离水面2m,为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直 距离至少3m.有下列结论： ①水面宽度OA=60m: ②拱桥的最大高度是9m: ③若每条龙舟赛道宽度为9m,最多可设计龙舟赛道4条. 7/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y/m 一拱桥 3 2m 0龙舟 A x/m 水面 图① 图② 其中，正确结论的个数有() A.0 B.1 C.2 D.3 【变式2】2026甘肃平凉二模)如图1，玛曲黄河大桥位于甘肃玛曲县城南，北连玛曲县城，南通阿万仓 乡，是甘肃省黄河上游的第一座桥梁，因此有“黄河第一桥”之称.如图2是它的部分示意图，可近似地 用抛物线的一部分表示，若当水面宽度AB为l0m时，水面到拱顶的高度C0为4m,当水位在此基础上继 续上涨lm时，水面的宽度为 m(结果保留根号). 图1 图2 【变式3】(2026新疆乌鲁木齐·三模)某抛物线型拱桥示意图如图1所示.水面宽AB与桥长CD均为24 米，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5米，以桥拱顶点O为原点，桥面所在直线为 x轴建立平面直角坐标系.如图2，桥面上方有3根高度均为4米的支柱CG、OH、D1,过相邻支柱顶 端的两根钢缆可以近似看做两条形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为2米. H D 图1 图2 (1)求拱桥和其中一条钢缆抛物线的函数解析式： (2)春节前夕，市政打算在钢缆和桥拱之间沿竖直方向装饰若干条灯带（见图2），求出可以在竖直方向安 装的灯带中最短的灯带长度. 8/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型04 销售问题 【典例1】(2026河南周口·二模)第十九届杭州亚运会的吉祥物“琮琮”、“宸宸”、“莲莲”深受大 家喜爱.某商场购进一批吉祥物玩偶，进价为每个40元，按每个50元出售，每周可卖出200个，经调查 发现，售价每上涨1元，每周少卖10个.若设每个涨价x元，每周总利润为y元，则y与x的函数关系式 为() A,y=(50+x)(200-10x) B.y=(10-x)(200-10x) C.y=(50+x-40)(200-10x) D.y=(x-40)(200-10x) 【变式1】(25-26九年级上：江苏宿迁·期末)某公司销售一种藜麦，成本价为30元/千克，若以35元/千 克的价格销售，每天可售出450千克.当售价每涨0.5元/千克时，日销售量就会减少15千克.若使日销售 利润最大，则销售价格应定为()元千克. A.42 B.40 C.38 D.35 【变式2】(2026福建福州·模拟预测)己知某商品的月利润是其涨价额的二次函数，且存在最大值.商 家先将该物品涨价8元，月利润增多：又涨价4元，发现月利润更多了，于是商家想知道涨价多少元时利 润最大.记涨价元时，利润最大，则的取值范围是 【变式3】(2026辽宁沈阳·三模)某商场销售一种进价为每件15元的商品，售价为每件25元时，每天可 售出50件；售价每上涨1元，每天的销售量就减少2件.设每件商品的售价为x元(x≥25且x为整数)， 每天的销售量为'件 (1)求y与x的函数关系式： (2)设每天的销售利润为w元，当每件商品的售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 题型05 投球问题 【典例1】(2026甘肃定西三模)如图，在体育测试中，小亮同学掷实心球时，实心球沿抛物线 y=(x-3)+2.5运行，其中x是实心球离初始位置的水平距离，y是实心球离地面的高度.若实心球抛出 时离地面的高度OA为l.6m,则实心球掷出的水平距离为() B 9/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.5 B.6 C.7 D.8 【变式1】(2026新疆模拟预测)一位足球运动员将足球沿与地面成一定角度踢出，足球飞行的路线可 以近似看作是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h(单位：)与足球被踢出后经过的 时间t(单位：$)之间的关系式为h=-+9(0≤1≤9）.有下列结论： ①足球距离地面的最大高度为21m; ②足球被踢出4s和5s时，足球距离地面的高度是一样的； ③足球被踢出9s时落地.其中正确的有() A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 【变式2】(2026湖北省直辖县级单位二模)如图①是一款固定在地面0处的高度可调的羽毛球发球机， 如图②，A是其弹射出口，发球机能将羽毛球以固定的方向和速度弹出.在不计空气阻力的情况下，球的 运动路径呈抛物线状，B是羽毛球落地点，·以O为原点，OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建 立平面直角坐标系.已知OA=1.25m,OB=5m,羽毛球在飞行过程中运动路径的抛物线的函数表达式为 y=-0.25x2+bx+c,羽毛球在飞行过程中距离地面OB的最大高度 m y/m 4 弹射出口A 0 落地点Bx/m 图① 图② 【变式3】(2026陕西西安模拟预测)为贯彻落实“五育并举”的教育方针，某校开设了篮球队，如图， 篮球运动员投篮时，篮球的运动路线可近似看作抛物线的一部分.己知篮球从距地面2米的点A处投出， 并落在水平地面上的点M处，其运动路线的最高点P距地面3.8米，最高点P与篮球出手点A的水平距离 为3米.以地面所在直线OM为x轴，过点A且与OM垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系. B 0 MN (1)求点P所在抛物线的函数表达式： (2)已知篮球运动路线的形状保持不变（即抛物线的形状不变），若将篮球从点A正上方1米的点B处投出， 落地点为N,点N在x轴的正半轴上，求点B与落地点N的水平距离ON的长. 10/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型06， 喷水问题 【典例1】(2026陕西中考真题)某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那 么射出的水流可以看成抛物线的一部分.按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的 水流的高度y(cm)与水平距离x(cm)的关系可以表示为y=-0.1x2+6x,则这条鱼此次射出的水流的最大高 度是() A.9cm B.30cm C.90cm D.360cm 【变式1】(2026河南驻马店·二模)如图为喷泉某一截面的水流可看作关于'轴对称的两条抛物线，右 侧东流的坚直高度m)与施水管的水平距高：(m侧之间满足=++ >0),则AB的长为() B A.2m B.4m C.6m D.8m 【变式2】(2026：甘肃天水中考真题)如图1，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆 虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）·图2是一次捕食中一 条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点O射出，水流运动的高度y(Cm)与水平距离 m近似满足函数关系。+4（≥0.若这只昆虫在点P2050),则这次射士的水流 击中昆 虫.（填“能”或“不能”） 11/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y/cm x/cm 图1 图2 【变式3】(2026内蒙古通辽三模)某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA,从A点向四周喷水，喷 出的水柱为抛物线，且形状相同.如图，以O为原点，水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，点A在y 轴上，x轴上的点C、D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为 -二(x-5)2+6 y(m) 0 D(m) (1)求雕塑OA的高： (2)求落水点C、D之间的距离： (3)若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF,OE=8m,EF=3m,EF⊥OD.问：顶部F是否会碰到水柱？ 请通过计算说明. 题型07增长率问题 【典例1】(25-26九年级上·福建南平·阶段检测)某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵 魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录.如果每次降价的百分率都是x,则两次降价后 的价格y(元)与每次降价的百分率x之间的函数关系式是() A.y=300(1-x) B.y=300(1-x)月 C.y=3001+x) D.y=300(1-x2) 【变式1】(25-26九年级上山东青岛·周测)某超市一月份的营业额为30万元，三月份的营业额为y万元， 设每月的平均增长率为x,则y与x之间的函数表达式为 【变式2】(2425九年级上·安徽阜阳·阶段检测)由于制药技术的提高，某种疫苗的成本下降了很多，因 此医院对该疫苗进行了两次降价，设平均降价率为x,已知该疫苗的原价为462元，降价后的价格为y元， 12125 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则y与x之间的函数关系式为 【变式3】(2025九年级上·全国专题练习)某公司的生产利润原来是a(a>0)万元，经过连续两年的增长 达到了y万元，如果每年增长率都是x,写出利润y与增长的百分率x之间的函数解析式，它是什么函数？ 题型08线段、周长、面积问题 【典例1】(25-26九年级下陕西西安期中)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数 y=x2+bx+c的图象与x轴只有一个交点，且经过点A(1,m),B(3,m),则△AOB的面积为() A.1 B.2 C.4 D.8 【变式1】(25-26九年级上湖北咸宁阶段检测)如图，抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点，与 y轴交于点C,顶点为D,抛物线的对称轴上有一点P,使CP+AP的和最小，则点P坐标为 D B 【变式2】(2026辽宁本溪·二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+2ax+3与x轴相交于点 A,B,与y轴交于点C,若点D(m,3)在第二象限的抛物线上，则△ACD的面积为一 D 式3】(2026：黑龙江模拟预测)如图，已知直线y=一。x+4交轴正半轴于点C,交v轴正母 点g’抛物线y=r2+10x +C经过B'C两点，交x轴负半轴于点4 3 13125 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求抛物线的解析式： (2)E是直线BC上方抛物线上的一动点，当四边形BOCE面积最大时，请直接写出点E的坐标. 强化训练 基础自测 一、单选题 1.(2026河南周口·模拟预测)如图，物流无人机在配送包裹时，将无人机当作一个点看，其飞行轨迹可 近似看作抛物线的一部分，设无人机从地面原点O(0,0)处起飞，飞行路线为y=a(x-40+k，已知无人 机在飞行过程中达到的最大高度为20米，则该抛物线的解析式为() A.y= 20(-20)2+40 B.=-0e-40y+20 40 C.y=- -0旷+20 D.y=-(x-40)+20 2.(2026山东潍坊二模)某校园科技节上，人形机器人进行立定跳远展示.如图，以起跳点为原点0， 水平向前为x轴正方向，竖直向上为'轴正方向，建立平面直角坐标系。机器人起跳后，脚掌的飞行轨迹 可以用二次函数y=0.8x2+bx刻画，其中x(米)为机器人脚掌离起跳点的水平距离，y(米)为机器人 脚掌距离地面的高度.已知机器人起跳后，脚掌离起跳点的水平距离为1米时，脚掌距离地面的高度为12 米.下列说法正确的是() 14125 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y(米) O(起跳点) ) A.机器人此次跳远的成绩为2米 B.机器人脚掌离起跳点的水平距离大于1.2米时，脚掌距离地面的高度越来越低 C.若在起跳点前方1.5米处有一高1.3米的障碍物，机器人可以成功越过障碍物 D.机器人脚掌距离地面的高度为0.8米时，脚掌离起跳点的水平距离为0.5米或2米 3.(2026河南周口模拟预测)如图，在平行四边形ABCD中，AB<AD,P,Q两点同时从点A出发， 以相同速度分别沿着A-B-C,A-D-C运动，则△AP巴的面积y与运动时间x之间的函数图象可能是 () B D 4.(2425九年级下安徽芜湖自主招生)如图，点A,B,C均在二次函数y=x的图象上，M为线段 AC的中点，BM川y轴，且MB=3.设A,C两点的横坐标分别为4，(G<),则5-4的值为() VA B A.3 B.2V5 C.4 D.2V2 15/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 5.(2026天津中考真题)矩形ABCD中，AB=5cm,AD=7cm.动点P从点A出发，以1cm/s的速度 沿边AD、边DC向终点C运动；动点O从点A同时出发，以1Cm/s的速度沿边AB、边BC向终点C运动」 设运动的时间为s.当1=3s时，点P,Q的位置如图所示.给出下面三个结论： D ①当t=6s时，四边形APCQ是平行四边形： 35 ②aAPQ的最大面积为2cm; ③当△APQ的面积为10cm2时，t=2W5s或t=10s. 上述结论中，所有正确结论的序号是() A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 二、填空题 6.(2026山西朔州模拟预测)某食品加工厂专门生产爆米花，在生产过程中，爆开且不糊的粒数的百分 比称为“可食用率”·为了提升产品品质、降低生产成本，技术人员研究发现，在特定生产条件下，可食 用率y与加工时间x(单位：分钟)满足函数表达式y=0.2x2+1.5x-2,为了让爆米花的可食用率达到 最高，最佳加工时间为 分钟. 7.(25-26八年级下·云南曲靖阶段检测)曲靖市某超市一种商品进价为每件20元，售价为每件30元， 每天可卖出100件.若每件降价1元，则每天可多卖10件.设降价x元，每天利润为y元，则y与x的函 数关系式为一（不要求写x范围）· 8.(2026甘肃白银三模)兰州牛肉面（如图1），以“汤清者镜，肉烂者香，面细者精”的独特风味和 “一清二白三红四绿五黄”，赢得了国内乃至全世界顾客的好评，并被中国烹饪协会评为三大中式快餐之 一，被誉为“中华第一面”·如图2，是一个盛放兰州牛肉面面碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以 碗底O为原点建立平面直角坐标系，已知碗口BC宽28cm,碗深OA=9.8cm,则当满碗汤面的竖直高度下 降6.6cm时，碗中汤面的水平宽度为 cm(碗的厚度不计)· 16125 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 9.(2026甘肃平凉模拟预测)景区喷泉以出水口O为原点建立坐标系，水柱高度y(单位：米)与水平 距离x(单位：米)满足：y=-x-4+5.在水柱最高点正下方修建矩形观景通道EFGH,通道顶部 EH距离水柱竖直高度不少于2米，通道宽度FG=2米，求通道顶部距离地面的最大高度： y/米个 /米个 E H Px/米 P米 图1 图2 图3 10.(2026辽宁朝阳·二模)如图，等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=BC,顶点A,C在抛物 线y=x2+c上，点B在y轴上.点A,C的坐标分别为4(m,y),C(mm>m),则m-n的值为 三、解答题 11.(2026内蒙古通辽二模)某居民小区要在一块一边靠墙（墙长20米）的空地上修建一个矩形花园 ABCD,花园的一边靠墙，另外三边用总长为36米的栅栏围成（如图所示）·若设花园的边长AB为x米， 面积为y平方米. D B (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)满足条件的花园面积能否达到34平方米？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由； (3)当x是多少时，矩形花园面积'最大？最大面积是多少？ 12.(2026浙江温州·三模)在高尔夫比赛中，从地面斜向上击出的高尔夫球离地面的高度hm)满足二次 函数关系式h=at+bt,其中t(S)是高尔夫球运动的时间，在一次训练时，小明如图击出高尔夫球.已知 17/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 高尔夫球在距离击出点水平距离为lOm时达到最大高度为l0m.如图建立平面直角坐标系. A (1)求出a和b的值； (2)求高尔夫球落地点A与击出点O的距离OA的长； (3)若该高尔夫球击出t秒后和(t+4)秒后，高尔夫球的高度相同，求的值和此时高尔夫球的高度， 13.(2026陕西西安·模拟预测)如图为某拱桥的示意图，桥面PQ平行于水面AB,拱形桥洞可近似看作 抛物线的一部分，桥洞最高处点C与桥面PQ的距离为1米，当水面距离桥面4.6m时，拱孔横跨水面宽度 AB为I2米.若以水面AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，请根据以上信息回 答问题： 笔锋所至金榜题名 G A 一衣 B (I)请求出桥洞对应抛物线的表达式： (2)若从桥面向下挂一条宽为1.4米的长方形横幅EFGH,横幅上边沿EF与桥面PQ重合，G、H恰好落在 拱孔上，求横幅的长。 14.(2026·内蒙古通辽·模拟预测)兔子跳跃的运动路线可看作抛物线，某科研团队研究兔子跳跃特性时 发现：免子某次跳跃的最高点距地面4Ocm,起跳点与落地点的水平距离为100cm.以起跳点O为原点， 落地点M所在直线为x轴，建立平面直角坐标系， y/cmA x/cm B 图1 图2 (1)直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式： (2)若兔子从点O正上方的点P(0,45)处起跳，运动路线形状不变，求第二次起跳比第一次起跳多跳的距离： (3)实验表明：兔子跃过矮灌木丛时，与灌木丛上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于3Cm才能安全通 18/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 过.如图2，水平地面上有一处灌木丛，其纵切面为矩形ABCD,其中AB=35cm,BC=40cm, 兔子在 距离灌木丛B的4Ocm的￡处起跳.判断兔子从E点起跳的原路线能否安全通过此灌木丛.若能，说明理 由；若不能，在起跳处放一个多高的台阶就可以通过， 15.(25-26九年级下·广东深圳阶段检测)如图，是某公园的一种水上娱乐项目.数学兴趣小组对该项目 中的数学问题进行了深入研究.下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至 点B处腾空飞出后落入水池.以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为'轴，O为坐标 原点，建立平面直角坐标系.他们把水滑道（抛物线AB段）和人腾空飞出后经过的路径（抛物线BD段） 都可以看作是抛物线。水滑道（抛物线B段）的函数表达式为y(+3+,水滑道最低点为点 根据测量和调查得到的数据和信息，解决下列问题， A M B D E 1 图1 图2 (1)点B的坐标为. 点C的坐标为 (2)如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离OE=12米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离DE 不少于3米.某人腾空后的路径形成的抛物线BD的最高点为F,此时点B恰好是线段CF的中点. ①求抛物线BD的解析式： ②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）： (3)为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固.如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距 地面4米的点M处竖直支撑的钢架MN，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架BM.现在需要在水滑 道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与BM平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在 钢架MN上，另一端固定在地面上.请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）. 能力提升 19125 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一、单选题 1.(25-26九年级上·四川绵阳·期中)如图，一座拱桥的纵向截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度为 4.9n,当水面宽4m时，拱顶离水面2m.有下列结论： ①该抛物线的解析式为：y=-2.45x2: ②当水面宽度为5m时，水面下降了1.125m: ③当水面下降2m时，水面宽度增加了(4√2-4)m. 其中，正确结论的个数为() A.0 B.1 C.2 D.3 2.(25-26九年级上陕西榆林·期中)小颖在一次比赛中观察到铅球的飞行路线是一条抛物线.若不考虑 空气阻力，铅球的飞行高度（单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的函数关系式为 y=-0.1x2+1.2x+2,当铅球的飞行高度为0.7m时，铅球此时的水平距离为（) A.-1m B.1m c.12m D.13m 3.(25-26九年级上福建厦门期中)某种迫击炮发射炮弹的飞行高度'米与飞行时间x秒的关系式为 8+10x,一枚炮弹从发射到落地，经过的时间为《） A.40秒 B.60秒 C.80秒 D.100秒 4.(25-26九年级上：广东东莞阶段练习)如图1，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，连接BD,点M从点 B出发沿BD方向以V3cm/s的速度运动至点D,点N同时从点B出发沿B→C→D方向以2cm/s的速度 运动至点D.设运动的时间为s,△BMN的面积为cm.已知y与x之间的函数图象如图2所示，则a的 值为() y/cm2 23 33 Q 妨 图1 图2 20125 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.1 B.2 C.3 D.4 5.(25-26九年级上·天津东丽期中)如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 为l8m,设矩形菜园的边AB的长为xm,面积为Sm,其中AD≥AB. 18米 墙 菜园 有下列结论： ①x的取值范围为5≤x≤10： ②AB的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为100m; 225 ③矩形菜园ABCD的面积的最大值为2， 其中，正确结论的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题 6.(25-26九年级上河北邯郸期中)疫情期间，某种一次性医用外科口罩的利润y(元)与售价x（元) 之间的函数关系式为y=-x2+10x+11,且售价x的取值范围是1≤x≤4，则最大利润是一元. 7.(25-26九年级上湖北武汉月考)从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的 运动时间t(单位：s)之间的关系式是h=30t-5(0≤1≤6).小球运动中的高度可以是25m时，所需时 间为一 8.(25-26九年级上天津滨海新·阶段练习)如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm,BC=12cm,动 点P从点A开始沿边AB向B以lCm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以 2cm/s的速度移动（不与点C重合）·如果P,Q分别从A,B同时出发，那么经过_秒，四边形APQC 的面积最小 B Q 9.(2025九年级下·全国专题练习)图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将 传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化.“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图 21125 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2,已知其底部宽度AB为80m,高度为200m,则离地面150m处的水平宽度（即CD的长）为 m. D 200m 150m ←-80m→B 图1 图2 10. (25-26九年级上·吉林长春·期中)某抛物线型的拱桥如图所示，己知该抛物线的函数表达式为 3 y=- +10,为了给行人提供安全保障，在该拱桥上距水面4B高为7米的点B、F处悬挂了两个救生 16 圈，则这两个救生圈间的水平距离EF为一米. 三、解答题 11.(25-26九年级上·黑龙江佳木斯期中)如图，抛物线y=-x+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点 B左侧)，与y轴交于点C,顶点为D E (1)求A、B两点的坐标； (2)连接BC,与抛物线的对称轴交于点E,点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF⊥x轴，交抛物线 于点F,设P的横坐标为m ①用含m的代数式表示线段PF的长： ②当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形，请说明理由； 22125 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ③当m为何值时，△PCF为直角三角形，直接写出结论. 12.(25-26九年级上辽宁沈阳·月考)如图，在平面直角坐标系x0y中，二次函数y=-2x2+bx+c的图象 与x轴交于点A(-2,0),与y轴交于点B(0,4) (1)求该二次函数的解析式； > (②)如果点D是二次函数图象对称轴上的一点，连接4DBD:若△ABD的面积为2，求点D坐标 13.(25-26九年级上天津西青·期中)如图所示是一个音乐喷泉的示意图，在点O处竖直放置一根水管， 在水管的顶端A处安装一个喷水头，喷出的水柱为抛物线（记为抛物线M,NW),且形状相同，喷出的抛 物线形水柱在与水管AO的水平距离为4m处达到最高，最大高度为9m,水柱落地处与水管AO的水平距 离为l0m,以水平地面为x轴，水管AO所在直线为y轴建立平面直角坐标系. y/m E FB x/m (1)求水管A0的高度： (2)若在第一象限竖直放置一盏高为2.75m的景观射灯EF,且景观射灯的顶端E恰好碰到水柱. ①求景观射灯EF与水管AO的水平距离： ②现计划降低水管高度，使水柱落地处恰好在点F处，已知水管下降后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴 不变，则水管AO要降低多少米？ 14.(25-26九年级上·吉林·期中)投篮时篮球以一定速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动 路线可以看作是抛物线的一部分.建立平面直角坐标系xO少，篮球从出手到进入篮筐的过程中，它的竖直 高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足二次函数关系，篮筐中心距离地面的竖直高度是 3m,小明进行了两次投篮训练。 23125 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5 3 2 O12345x 第一次训练时，小明投出的篮球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 x/m 竖直高度 2.0 3.0 3.6 3.8 3.6 y/m ()在平面直角坐标系少中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接： (2)结合表中数据或所画图象，求篮球运行的最高点距离地面的竖直高度： (3)已知此时小明距篮筐中心的水平距离5m,小明第一次投篮练习是否成功，请说明理由. 15.(25-26九年级上·四川泸州期中)某旅游村一家特色菜馆，希望在五一节期间获得好的收益.经测算 知，某“特殊菜”的成本价为每份30元，若每份卖50元，平均每天将销售120份；若价格每提高1元， 则平均每天少销售2份.五一节期间，为了更好地维护景区形象，物价局规定每份“特色菜”售价不能高 于75元.设每份“特色菜”的售价上涨x元(x为正整数)，每天的销售利润为'元 (1)当每份“特色菜”的售价上涨多少元时，菜馆才能实现每天销售利润3000元？ (2)五一节期间，求每份“特色菜”的售价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？ 16.(25-26九年级上·陕西安康·期中)某生态旅游度假景区有一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为 2m时，水面宽度为4m,当水位上升到水面距离拱桥顶0.5m时，此时的水位为警戒水位.建立如图所示的 平面直角坐标系少，求水位为警戒水位时的水面宽度. 17.(25-26九年级上山东淄博期中)如图，有长为24m的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为 10m)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为xm,面积为Sm2. 24125 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围。 (2)要围成面积为45m的花圃，AB的长是多少米？ (3)当AB的长是多少米时，围成的花圃的面积最大是多少？ 18.(25-26九年级上浙江宁波·月考)某校科技活动小组利用信息技术模拟火箭运行过程如图所示：在以 发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴的平面直角坐标系内，火箭的运行路径包括一、 二两级运行路线：火箭第一级运行路径形为抛物线y=x2+x,当火箭运行的水平距离为9km时，自动引 发火箭的第二级，火箭第二级沿直线y=一x+b运行。 y/km (火箭第二级的引发点) (发射点)O (地平线) 9 (落地点)x/km 若火箭第二级的引发点的高度为3.6km. (1)求两段路径所在函数解析式： (2)火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km,求这两个位置之间的距离. 25/25