专题3.1.1 椭圆的标准方程（举一反三讲义）高二数学苏教版选择性必修第一册

本讲义聚焦椭圆的标准方程核心知识点，系统梳理从椭圆定义（平面内与两定点距离和为常数的点的轨迹）到标准方程（焦点在x轴或y轴的形式及a、b、c关系），再到应用（轨迹问题、焦点距离最值、焦点三角形周长与面积等）的完整脉络，搭建递进式学习支架。 该资料以10类题型（含定义辨析、方程求解等）为主线，例题与变式结合，通过轨迹问题抽象几何关系培养数学眼光，借助焦点三角形推理强化数学思维，助力学生用数学语言表达问题。课中辅助教师分层教学，课后帮助学生针对性查漏补缺，提升知识应用能力。

专题3.1.1 椭圆的标准方程（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 椭圆的定义及辨析】 1 【题型2 曲线方程与椭圆】 3 【题型3 椭圆标准方程的求解】 6 【题型4 根据椭圆方程求a、b、c】 8 【题型5 轨迹问题——椭圆】 9 【题型6 椭圆上点到焦点的距离及最值】 11 【题型7 椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值】 12 【题型8 椭圆中焦点三角形的周长问题】 15 【题型9 椭圆中焦点三角形的面积问题】 18 【题型10 椭圆中焦点三角形的其他问题】 21 考点1 椭圆的定义 知识点1 椭圆的定义 1．椭圆的定义 (1)定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距. (2)椭圆定义的集合表示P={}. 【题型1 椭圆的定义及辨析】 【例1】（25-26高二上·福建福州·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为为上一点.若，则（    ） A．1 B．3 C．4 D．8 【答案】D 【解题思路】利用椭圆的定义判断选项即可. 【解答过程】由椭圆可得：， 根据椭圆的定义，， 则. 故选：D. 【变式1.1】（25-26高二上·新疆博尔塔拉·期末）如果椭圆上一点P到焦点的距离为6，那么点P到另一个焦点的距离是（   ） A．26 B．10 C．4 D．14 【答案】D 【解题思路】先求出，再根据椭圆的定义计算求解即可. 【解答过程】根据题意可得， 椭圆的长轴长为，根据，得. 故选：D. 【变式1-2】（25-26高二上·江西吉安·期末）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（   ） A．4 B．8 C．16 D．20 【答案】B 【解题思路】由条件得到，设，结合椭圆的定义及勾股定理即可求解. 【解答过程】因为椭圆，所以， 又因为，所以，即， 设，则且， 得到，所以. 故选：B. 【变式1.3】（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）设，分别是椭圆的左、右焦点，点P在C上，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据椭圆的定义求解即可. 【解答过程】根据椭圆的定义可知，， 又， 解得，． 故选：A． 考点2 椭圆的标准方程 知识点2 椭圆的标准方程 1．椭圆的标准方程 椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 椭圆在坐标 系中的位置 标准方程 焦点坐标 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c) a,b,c的关系 2．椭圆方程的求解 (1)用定义法求椭圆的标准方程 根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程. (2)用待定系数法求椭圆的标准方程 ①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就可以利用待定系数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的a，b的值，从而确定方程（注意焦点的位置）. ②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：一是分类讨论，分别就焦点在x轴上和焦点在y轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答；二是用待定系数法设椭圆的一般方程为=1(A>0,B>0,A≠B)，再解答. 【题型2 曲线方程与椭圆】 【例2】（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】化简方程为，根据题意，列出不等式组，即可求解. 【解答过程】将方程变形可得， 因为方程表示焦点在y轴上的椭圆，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 【变式2.1】（25-26高二上·全国·课后作业）以下方程表示椭圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据椭圆方程的知识求得正确答案. 【解答过程】A选项，方程，即，表示圆，不是椭圆，A选项错误. B选项，方程，即，方程中间是减号，不是椭圆，B选项错误. C选项，方程，即， 表示焦点在轴上的椭圆，C选项正确. D选项，方程右边不是，不是椭圆，D选项错误. 故选：C. 【变式2.2】（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）已知曲线方程，． (1)若方程表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围； (2)若方程表示焦距为2的椭圆，求的值． 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）根据椭圆方程的性质建立关于k的不等式，解出即可； （2）根据椭圆方程的类型，分类讨论确定，根据求解即可. 【解答过程】（1）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则， 解得， 即的取值范围为； （2）若方程表示焦距为2的椭圆，则，所以 当方程表示焦点在轴上的椭圆，则，且 又，得； 当方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得 所以， 又，得； 综上，或. 【变式2.3】（25-26高二上·安徽·期中）已知方程＝1. (1)若上述方程表示焦点在x轴上的椭圆，求实数m的取值范围； (2)若上述方程表示焦点在y轴上的椭圆，求实数m的取值范围； (3)若上述方程表示焦点在坐标轴上的椭圆，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据椭圆的标准方程求解； （2）根据椭圆的标准方程求解； （3）根据椭圆的标准方程求解. 【解答过程】（1）依题意，有，解得. 故实数m的取值范围为. （2）依题意，有，解得. 故实数m的取值范围为. （3）依题意，有，解得，且， 故实数m的取值范围是. 【题型3 椭圆标准方程的求解】 【例3】（25-26高二上·河北秦皇岛·期末）若椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，，则该椭圆的标准方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据过点，得出，结合，可得，即可得出椭圆方程. 【解答过程】因为椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，所以，， 则，所以椭圆方程为. 故选：B. 【变式3.1】（25-26高二上·江西抚州·阶段检测）若椭圆的两个焦点分别为和，且椭圆过点，则椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题可知焦点在y轴上，可设，再代入求解即可． 【解答过程】由题可知焦点在y轴上，可设， ，解得， 所以椭圆的方程是． 故选：B. 【变式3.2】（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)已知椭圆的一个焦点为，且过点，求椭圆的标准方程； (2)已知椭圆经过，两点，求椭圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）分析可知椭圆的焦点在轴上，且，，进而可得以及椭圆方程； （2）设椭圆方程为，代入点运算求解即可. 【解答过程】（1）根据题意可知：椭圆的焦点在轴上，且，， 则，所以椭圆的标准方程为. （2）设椭圆方程为， 代入点，可得，解得， 所以所求椭圆的标准方程为. 【变式3.3】（25-26高二上·天津·阶段检测）求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)，，焦点在坐标轴上； (2)椭圆上一点P到其两焦点，的距离之和为10； (3)两个焦点坐标分别是，，并且经过点. 【答案】(1)或； (2)； (3). 【解题思路】（1）根据的关系求，可得椭圆方程. （2）根据椭圆的定义求，根据焦点定义求，再根据的关系求，可得椭圆方程. （3）根据焦点坐标求，根据椭圆上的点和的关系列式求，可得椭圆方程. 【解答过程】（1）因为，，所以. 若椭圆焦点在轴上，则椭圆方程为； 若椭圆焦点在轴上，则椭圆方程为. （2）由题意，椭圆焦点在轴上，可设椭圆方程为， 且， ， 所以， 所以椭圆方程为：. （3）由题意，椭圆焦点在轴上，可设椭圆方程为，且， 又 ，故所求椭圆方程为. 【题型4 根据椭圆方程求a、b、c】 【例4】（25-26高二上·河北唐山·期中）已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（    ） A．3 B．5 C．11 D．8 【答案】A 【解题思路】利用椭圆的标准方程的形式，结合条件得到，即可求解. 【解答过程】因为椭圆的一个焦点坐标为，则，解得， 故选：A. 【变式4.1】（25-26高二上·辽宁沈阳·期中）已知点是椭圆的一个焦点，则（   ） A． B．5 C． D．7 【答案】C 【解题思路】根据关系即可得到答案. 【解答过程】由题意得，则，则. 故选：C. 【变式4.2】（25-26高二上·江西九江·阶段检测）已知椭圆的一个焦点坐标是，则实数k的值是（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】D 【解题思路】根据给定的椭圆方程及焦点坐标，列式求出值. 【解答过程】由椭圆的一个焦点坐标是， 得椭圆的长轴在轴上，,,,. 又因为在椭圆中，， 所以. 故选：D. 【变式4.3】（25-26高二上·浙江·阶段检测）若椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【解题思路】讨论焦点的位置利用椭圆定义可得答案. 【解答过程】若，则由得（舍去）； 若，则由，得. 故选：B. 【题型5 轨迹问题——椭圆】 【例5】（25-26高二上·山东菏泽·期末）已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出已知圆的圆心及半径，利用两圆相切建立等式，再利用圆锥曲线的定义求出轨迹方程. 【解答过程】设动圆圆心为，半径为， 圆，即的圆心，半径； 圆，即的圆心，半径， 而，则点在圆内，由圆分别与圆外切，与圆内切， 得，整理得， 因此动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为12的椭圆， 长半轴长，半焦距，短半轴长， 所以所求轨迹方程为. 故选：B. 【变式5.1】（25-26高二上·贵州毕节·期末）平面内点到的距离之和是10，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题设条件结合椭圆的定义进行求解. 【解答过程】由题知，， 由椭圆的定义可知，的轨迹方程是焦点在轴上的椭圆， 其中，则， 方程为：. 故选：D. 【变式5.2】（25-26高二上·广东广州·期末）如果点在运动过程中，总满足关系式，则的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据椭圆的定义判断即可. 【解答过程】关系式表示点到两个定点和的距离之和，符合椭圆的定义. 则，，又，所以， 所以点的轨迹方程为. 故选：B. 【变式5.3】（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知点，，直线PA和直线PB的斜率的乘积为，则点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设的坐标为，根据两点斜率表达式得到方程，化简即可. 【解答过程】设的坐标为，则， 整理得，故点的轨迹方程为． 故选：D． 【题型6 椭圆上点到焦点的距离及最值】 【例6】（25-26高二上·重庆北碚·期末）已知椭圆的方程为，则椭圆上一点到左焦点的距离最小值为（   ） A．8 B．5 C．3 D．2 【答案】D 【解题思路】根据椭圆方程及其性质，即可得点到左焦点的距离最小值. 【解答过程】由椭圆方程知，椭圆上点到左焦点的距离最小值为. 故选：D. 【变式6.1】（25-26高二上·安徽·期中）若椭圆上一点与焦点的距离为1，则点与另一个焦点的距离是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【解题思路】根据题意，结合椭圆的定义，得到，即可求解. 【解答过程】由椭圆，可得，且， 又由椭圆的定义，可得，所以， 所以点与另一个焦点的距离是. 故选：A. 【变式6.2】（25-26高二上·陕西宝鸡·期末）已知椭圆上的动点到右焦点距离的最大值为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据椭圆的性质可得椭圆上的点到右焦点距离最大值为，即可求出，再根据，即可得解； 【解答过程】根据椭圆的性质，椭圆上的点到右焦点距离最大值为， 即，又，所以， 由，所以； 故选：A. 【变式6.3】（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，则的最大值是（   ） A． B．9 C．16 D．25 【答案】D 【解题思路】利用椭圆的定义及基本不等式可求答案. 【解答过程】解：由题意，，， ，当且仅当时，等号成立， 的最大值是25． 故选：D． 【题型7 椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值】 【例7】（25-26高二上·江西鹰潭·期末）已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解答过程】先根据椭圆的定义得到、的关系，再利用三角形三边关系，进而求出结果. 【解题思路】对于椭圆，，，则， 设是椭圆的右焦点，则、. 根据椭圆的定义得，所以. 所以. 因为，所以的最大值为， 当且仅当为直线与椭圆在轴下方的交点时，等号成立， 故的最大值为. 故选：C. 【变式7.1】（25-26高二上·山东临沂·期末）已知椭圆的左、右两个焦点分别为、，是上的动点，是圆上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由椭圆定义可得，可得出，结合圆的几何性质可求得的最小值. 【解答过程】对于椭圆，，，则，故、， 圆的标准方程为，圆心为，半径为，如下图所示： 由椭圆定义可得， 所以 ， 当且仅当点、分别为线段与椭圆、圆的交点时，上述两个等号同时成立， 故的最小值为. 故选：A. 【变式7.2】（25-26高二上·全国·课后作业）已知动点P与两定点，连线的斜率之积为，点，点. (1)求点P的轨迹方程； (2)求的最大值． 【答案】(1) (2)5 【解题思路】（1）设，根据斜率之积列方程，化简即可得到结果. （2）确定椭圆的左右焦点，根据椭圆的定义转化即可得到最大值. 【解答过程】（1）设，则，， 由得，整理得. 故点P的轨迹方程为. （2）由（1）知点P的轨迹为除去长轴端点的椭圆，其中， 故点为椭圆的左焦点，设椭圆的右焦点为. ∵，∴点Q在椭圆内， 由椭圆的定义得， 当三点共线（在线段上）时取等号，所以的最大值为5. 【变式7.3】（25-26高二上·湖南·期中）已知椭圆：＋＝1内有一点，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，求： (1)的最大值与最小值； (2)的最小值． 【答案】(1)，－ (2)10－ 【解题思路】（1）连接并延长交椭圆于点，结合平面几何结论可得是使取得最大值的点，由此可得的最大值，延长交椭圆于点，可得是使取得最小值的点，由此可得结论； （2）结合椭圆的定义可得，连接，并延长交椭圆于点，，结合平面几何结论可得是使取得最小值的点，由此可求结论． 【解答过程】（1）由椭圆可知，，， 则，， 如图所示，连接并延长交椭圆于点， 则是使取得最大值的点， 于是， 因为， 则求的最小值，即求的最大值， 延长交椭圆于点，则是使取得最大值的点，即取得最小值的点， 于是 所以的最大值与最小值分别为和；    （2）连接，由椭圆的定义知， 则， 所以， 如图，连接，并延长交椭圆于点，， 则是使取得最小值的点， 于是. 考点3 椭圆的焦点三角形 知识点3 椭圆的焦点三角形 1．焦点三角形的概念 设M是椭圆上一点，为椭圆的焦点，当点M,不在同一条直线上时，它们构成一个焦点三角形，如图所示. 2．焦点三角形的常用公式 (1)焦点三角形的周长L=2a+2c. (2)在中，由余弦定理可得. (3)设，，则. 【题型8 椭圆中焦点三角形的周长问题】 【例8】（25-26高二上·陕西汉中·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一点（不含顶点），则的周长为（   ） A．6 B．12 C．10 D．20 【答案】B 【解题思路】根据椭圆的标准方程求出，再由椭圆的定义，即可求解. 【解答过程】因为椭圆，则，， 所以的周长为， 故选：B. 【变式8.1】（25-26高二上·安徽合肥·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点作直线交椭圆于，两点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据椭圆的定义结合已知求解. 【解答过程】因为椭圆，所以，，， 因为左、右焦点分别为，，所以利用椭圆的定义可知， ，， 的周长为， 故选：B． 【变式8.2】（25-26高二上·上海·期末）椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线交椭圆于，两点，则的周长为____________． 【答案】 【解题思路】根据题意结合椭圆的定义求解即可. 【解答过程】由，得，则， 因为过的直线交椭圆于，两点， 所以的周长为 . 故答案为：. 【变式8.3】（25-26高二上·黑龙江绥化·期中）已知为椭圆上的两点，的左､右焦点分别为． (1)求的方程； (2)若过点的直线（不与轴重合）与交于两点，求的周长． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）将点代入即可求解， （2）根据椭圆的定义即可求解. 【解答过程】（1）由题意得， 可得， 故椭圆的方程为． （2）根据椭圆的定义，得， 所以的周长为． 【题型9 椭圆中焦点三角形的面积问题】 【例9】（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的方程为，若点在第二象限，且，则的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用椭圆的定义，结合余弦定理，可求焦半径，从而可求三角形面积. 【解答过程】 由题意知：， 再由余弦定理得： 代入得：， 解得：，则的面积是, 故选：D. 【变式9.1】（25-26高二上·北京丰台·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上.若，则的面积为（    ） A．2 B．4 C．8 D．9 【答案】B 【解题思路】根据题意，由椭圆的定义，得到，再由勾股定理得，联立方程组，求得，结合三角形的面积公式，即可求解. 【解答过程】如图所示，椭圆，可得，则， 因为点在椭圆上，可得， 又由，可得, 联立方程组，可得， 所以的面积为. 故选：B.    【变式9.2】（25-26高二上·陕西西安·期中）已知椭圆左右焦点分别为，，P为C上的动点，且. (1)求； (2)求的面积. 【答案】(1) (2)4 【解题思路】（1）根据椭圆的定义，解得即可； （2）首先求出，从而得到，结合（1）、，利用余弦定理求出，即可求出，再由面积公式计算可得. 【解答过程】（1）椭圆，则， 所以，又， 所以. （2）由，得，所以. 如下图所示： 由（1）可知，， 所以. 则， 故的面积为. 【变式9.3】（25-26高二上·河北雄安·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上的点. (1)若点在第一象限内，且，求点的坐标； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设点的坐标为，根据得到，再根据求解即可. （2）根据得到，利用余弦定理得到，再利用三角形面积公式求面积即可. 【解答过程】（1）设点的坐标为（其中，）， 由，，，可得，.     由，有，可得，     又由点在椭圆上，有.     联立方程解得，， 故点的坐标为. （2）由椭圆的性质，有，     又由，可得.     又由，在中，有.     可得.     可得的面积为. 【题型10 椭圆中焦点三角形的其他问题】 【例10】（25-26高二上·上海青浦·期末）设椭圆的左右焦点为，，点P在该椭圆上，则使得为等腰三角形的点P的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解题思路】分别讨论为腰或者底的情况. 【解答过程】①当等腰的底时，可知P点为椭圆上下顶点时，2个点，满足题意； ②当等腰的腰时，分别以为圆心，以长为半径画弧，交椭圆于4个点； 综上所述，共6个点满足题意. 故选：C.    【变式10.1】（25-26高三上·重庆南岸·阶段检测）椭圆的焦点为、，若点在上且满足，则中最大角为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用椭圆的定义结合已知条件可求得中的最长边的长，利用余弦定理可求得结果. 【解答过程】在椭圆中，，，则， 由已知可得，所以，，，， 所以，，故在中，最大， 由余弦定理可得， ，故， 故选：C. 【变式10.2】（25-26高二上·浙江·期中）椭圆左右焦点为，，椭圆上点满足，则___________． 【答案】 【解题思路】利用椭圆定义得，又，可求出. 在中利用余弦定理可得解. 【解答过程】因为椭圆，所以，点在椭圆上，所以， 又，所以， 在中，，， ， 故答案为：. 【变式10.3】（25-26高二上·天津·期中）已知椭圆的左、右焦点为、，在椭圆上，且是直角，这样的点有_____________个. 【答案】 【解题思路】分析可知，在以为直径的圆上，将圆的方程与椭圆的方程联立，求出公共解，即可得出结论. 【解答过程】当是直角时，在以为直径的圆上，， 故圆的方程为，联立方程：， 解得和，两个点满足. 故答案为：. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1.1 椭圆的标准方程（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 椭圆的定义及辨析】 1 【题型2 曲线方程与椭圆】 3 【题型3 椭圆标准方程的求解】 3 【题型4 根据椭圆方程求a、b、c】 4 【题型5 轨迹问题——椭圆】 5 【题型6 椭圆上点到焦点的距离及最值】 5 【题型7 椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值】 6 【题型8 椭圆中焦点三角形的周长问题】 7 【题型9 椭圆中焦点三角形的面积问题】 8 【题型10 椭圆中焦点三角形的其他问题】 9 考点1 椭圆的定义 知识点1 椭圆的定义 1．椭圆的定义 (1)定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距. (2)椭圆定义的集合表示P={}. 【题型1 椭圆的定义及辨析】 【例1】（25-26高二上·福建福州·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为为上一点.若，则（    ） A．1 B．3 C．4 D．8 【变式1.1】（25-26高二上·新疆博尔塔拉·期末）如果椭圆上一点P到焦点的距离为6，那么点P到另一个焦点的距离是（   ） A．26 B．10 C．4 D．14 【变式1-2】（25-26高二上·江西吉安·期末）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（   ） A．4 B．8 C．16 D．20 【变式1.3】（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）设，分别是椭圆的左、右焦点，点P在C上，且，则（   ） A． B． C． D． 考点2 椭圆的标准方程 知识点2 椭圆的标准方程 1．椭圆的标准方程 椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 椭圆在坐标 系中的位置 标准方程 焦点坐标 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c) a,b,c的关系 2．椭圆方程的求解 (1)用定义法求椭圆的标准方程 根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程. (2)用待定系数法求椭圆的标准方程 ①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就可以利用待定系数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的a，b的值，从而确定方程（注意焦点的位置）. ②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：一是分类讨论，分别就焦点在x轴上和焦点在y轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答；二是用待定系数法设椭圆的一般方程为=1(A>0,B>0,A≠B)，再解答. 【题型2 曲线方程与椭圆】 【例2】（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2.1】（25-26高二上·全国·课后作业）以下方程表示椭圆的是（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）已知曲线方程，． (1)若方程表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围； (2)若方程表示焦距为2的椭圆，求的值． 【变式2.3】（25-26高二上·安徽·期中）已知方程＝1. (1)若上述方程表示焦点在x轴上的椭圆，求实数m的取值范围； (2)若上述方程表示焦点在y轴上的椭圆，求实数m的取值范围； (3)若上述方程表示焦点在坐标轴上的椭圆，求实数m的取值范围. 【题型3 椭圆标准方程的求解】 【例3】（25-26高二上·河北秦皇岛·期末）若椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，，则该椭圆的标准方程（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（25-26高二上·江西抚州·阶段检测）若椭圆的两个焦点分别为和，且椭圆过点，则椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)已知椭圆的一个焦点为，且过点，求椭圆的标准方程； (2)已知椭圆经过，两点，求椭圆的标准方程. 【变式3.3】（25-26高二上·天津·阶段检测）求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)，，焦点在坐标轴上； (2)椭圆上一点P到其两焦点，的距离之和为10； (3)两个焦点坐标分别是，，并且经过点. 【题型4 根据椭圆方程求a、b、c】 【例4】（25-26高二上·河北唐山·期中）已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（    ） A．3 B．5 C．11 D．8 【变式4.1】（25-26高二上·辽宁沈阳·期中）已知点是椭圆的一个焦点，则（   ） A． B．5 C． D．7 【变式4.2】（25-26高二上·江西九江·阶段检测）已知椭圆的一个焦点坐标是，则实数k的值是（    ） A．1 B．2 C． D．3 【变式4.3】（25-26高二上·浙江·阶段检测）若椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为，则（    ） A． B． C． D．或 【题型5 轨迹问题——椭圆】 【例5】（25-26高二上·山东菏泽·期末）已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（25-26高二上·贵州毕节·期末）平面内点到的距离之和是10，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【变式5.2】（25-26高二上·广东广州·期末）如果点在运动过程中，总满足关系式，则的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式5.3】（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知点，，直线PA和直线PB的斜率的乘积为，则点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【题型6 椭圆上点到焦点的距离及最值】 【例6】（25-26高二上·重庆北碚·期末）已知椭圆的方程为，则椭圆上一点到左焦点的距离最小值为（   ） A．8 B．5 C．3 D．2 【变式6.1】（25-26高二上·安徽·期中）若椭圆上一点与焦点的距离为1，则点与另一个焦点的距离是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式6.2】（25-26高二上·陕西宝鸡·期末）已知椭圆上的动点到右焦点距离的最大值为，则（    ） A．1 B． C． D． 【变式6.3】（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，则的最大值是（   ） A． B．9 C．16 D．25 【题型7 椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值】 【例7】（25-26高二上·江西鹰潭·期末）已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【变式7.1】（25-26高二上·山东临沂·期末）已知椭圆的左、右两个焦点分别为、，是上的动点，是圆上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式7.2】（25-26高二上·全国·课后作业）已知动点P与两定点，连线的斜率之积为，点，点. (1)求点P的轨迹方程； (2)求的最大值． 【变式7.3】（25-26高二上·湖南·期中）已知椭圆：＋＝1内有一点，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，求： (1)的最大值与最小值； (2)的最小值． 考点3 椭圆的焦点三角形 知识点3 椭圆的焦点三角形 1．焦点三角形的概念 设M是椭圆上一点，为椭圆的焦点，当点M,不在同一条直线上时，它们构成一个焦点三角形，如图所示. 2．焦点三角形的常用公式 (1)焦点三角形的周长L=2a+2c. (2)在中，由余弦定理可得. (3)设，，则. 【题型8 椭圆中焦点三角形的周长问题】 【例8】（25-26高二上·陕西汉中·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一点（不含顶点），则的周长为（   ） A．6 B．12 C．10 D．20 【变式8.1】（25-26高二上·安徽合肥·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点作直线交椭圆于，两点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式8.2】（25-26高二上·上海·期末）椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线交椭圆于，两点，则的周长为____________． 【变式8.3】（25-26高二上·黑龙江绥化·期中）已知为椭圆上的两点，的左､右焦点分别为． (1)求的方程； (2)若过点的直线（不与轴重合）与交于两点，求的周长． 【题型9 椭圆中焦点三角形的面积问题】 【例9】（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的方程为，若点在第二象限，且，则的面积是（ ） A． B． C． D． 【变式9.1】（25-26高二上·北京丰台·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上.若，则的面积为（    ） A．2 B．4 C．8 D．9 【变式9.2】（25-26高二上·陕西西安·期中）已知椭圆左右焦点分别为，，P为C上的动点，且. (1)求； (2)求的面积. 【变式9.3】（25-26高二上·河北雄安·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上的点. (1)若点在第一象限内，且，求点的坐标； (2)若，求的面积. 【题型10 椭圆中焦点三角形的其他问题】 【例10】（25-26高二上·上海青浦·期末）设椭圆的左右焦点为，，点P在该椭圆上，则使得为等腰三角形的点P的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式10.1】（25-26高三上·重庆南岸·阶段检测）椭圆的焦点为、，若点在上且满足，则中最大角为（    ）． A． B． C． D． 【变式10.2】（25-26高二上·浙江·期中）椭圆左右焦点为，，椭圆上点满足，则___________． 【变式10.3】（25-26高二上·天津·期中）已知椭圆的左、右焦点为、，在椭圆上，且是直角，这样的点有_____________个. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $