专题3.3 椭圆的几何性质（第二课时）（高效培优讲义）数学苏教版2019高二选择性必修第一册

专题3.3 椭圆的几何性质（第二课时） 教学目标 1．掌握椭圆的几何性质及其简单应用． 2．能够熟练地求椭圆的离心率及离心率的取值范围． 3.通过求解关于椭圆的离心率问题、中点弦问题，发展逻辑推理和数学运算素养． 4.在求解椭圆的综合问题的过程中，发展直观想象和数学运算素养． 教学重难点 1.重点 椭圆几何性质的简单应用． 2.难点 如何求椭圆的离心率及离心率的范围． 知识点01 椭圆的离心率 1.离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.用e表示，即______ 2.离心率的范围：____________ 3．求椭圆离心率或其范围的方法： 解题的关键是借助图形建立关于a, b, c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下: (1)直接求出a, c，利用离心率公式求解. (2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式求解. (3)构造a, c的_______离心率e的求解中可以不求出a, c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e. 【即学即练】 1．已知椭圆的一个焦点为，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 2．已知椭圆的离心率为，则的值为（ ） A． B． C．4或 D．或 知识点02 直线与椭圆的位置关系 1.直线与椭圆的三种位置关系. 类比直线与圆的位置关系，直线与椭圆有相离、相切、相交三种位置关系，如图所示. 2.利用方程讨论直线与椭圆的位置关系： Δ>0⇔直线与椭圆相交⇔有两个公共点； Δ=0⇔直线与椭圆相切⇔有且只有一个公共点； Δ<0⇔直线与椭圆相离⇔无公共点. 【即学即练】 1．已知直线，椭圆，则与的位置关系为（ ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切 2．已知椭圆与直线相切，则的值不可能是（ ） A． B．2 C．3 D．3.9 知识点03 椭圆弦长与“中点弦问题” 1．弦长问题 (1)定义：直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦. (2)弦长公式：设直线l:y=kx+m交椭圆+=1 (a>b>0)于，两点，则__________________________________________ 2.解决椭圆中点弦问题的两种方法： （1）根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决. （2）点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系. 设，，代入椭圆方程+=1 (a>b>0)，得， ①-②可得+=0， 设线段AB的中点为，当时，有+=0. 因为为弦AB的中点，从而转化为中点与直线AB的斜率之间的关系，这就是处理弦中点轨迹问题的常用方法. 3.弦的中点与直线的斜率的关系 线段AB是椭圆+=1 (a>b>0)的一条弦，当弦AB所在直线的斜率存在时，弦AB的中点M的坐标为，则弦AB所在直线的斜率为，即. 【即学即练】 1．经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则线段的长为（ ） A． B． C．2 D． 2．已知椭圆，直线与椭圆相交于两点.若线段的中点为，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 题型01 焦点三角形 【典例1】（多选）已知是椭圆上一点，、为其左、右焦点，且的面积为，则下列说法正确的是（ ） A．点纵坐标为 B．的周长为 C． D．的内切圆半径为 焦点三角形问题： 解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理． 以椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则 (1)椭圆的定义：|PF1|＋|PF2|＝2a. (2)余弦定理：4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ. (3)面积公式：S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值，为bc. 重要结论：S△PF1F2= (4)焦点三角形的周长为2(a＋c)． (5)在椭圆C：＋＝1(a>b>0)中,F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意的一点，当点P在短轴端点时，最大. 【变式1】若F为椭圆C：的右焦点，A，B为C上两动点，则周长的最大值为（ ） A．10 B．5 C．20 D．5 【变式2】已知一个离心率为，长轴长为4的椭圆，其两个焦点分别为，在椭圆上存在一点，使得，设的内切圆半径为，则的值为（ ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）已知椭圆 为左，右焦点. O为原点，P为椭圆上一点， 下列说法正确的是（ ） A．满足条件的P点总共有4个 B．=4 C．|PO|=3 D． 【变式4】已知F1，F2分别为椭圆C：的左、右焦点，C上存在一点A，使，点B满足，∠F1AF2的平分线交直线OB于点D，，则椭圆C的标准方程为 ． 【变式5】已知是椭圆的左焦点，直线交椭圆于两点.若，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 题型02 求离心率的取值范围 【典例1】已知点P在以，为左、右焦点的椭圆上，椭圆内存在一点Q在的延长线上，且满足，若，则该椭圆离心率取值范围是（ ） A． B． C． D． 求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆的几何特征，建立关于参数c、a、b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．较多时候利用解题. 【变式1】记椭圆的离心率为，若，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式2】如图，设，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使得线段的中垂线恰好过焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）    A． B． C． D． 【变式3】已知、分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，、为上、下顶点，若在线段上存在（不含端点），使得，则椭圆的离心率的取值范围为_____________ 题型03 直线与椭圆的位置关系辨析 【典例1】已知椭圆，直线，则与的位置关系为（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上选项都不对 【变式1】椭圆，直线l的方程为，直线l与椭圆相切，则m的值为（ ） A．1 B．-2 C． D．1 【变式2】直线与椭圆的公共点个数为 ． 【变式3】已知直线：与椭圆：有公共点，则的取值范围是________ 题型04 椭圆弦长与“中点弦”问题 【典例1】已知椭圆的中心在原点，焦点为，，且离心率．过点的直线与椭圆相交于，两点，且为的中点，则弦长（ ） A． B． C． D． 求弦长的方法 (1)交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． (2)根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：|AB|＝·＝ ·. 【变式1】若椭圆的弦AB的中点则弦长（ ） A．4 B． C．2 D． 【变式2】点的直线与椭圆相交于两点，且恰为线段的中点，则直线的斜率为（ ） A． B． C． D． 【变式3】设直线与椭圆相交于、两点，当变化时，线段的中点所在的直线方程为______________ 题型05 椭圆中的参数范围及最值 【典例1】已知椭圆：的左右焦点分别是，，点在椭圆上，则 ；若，则点的横坐标的取值范围是 . 【变式1】若椭圆的左、右焦点分别为、，点P为椭圆C上一动点，则下列说法中不正确的是（ ） A．当点P不在x轴上时，的周长是6 B．当点P不在x轴上时，面积的最大值为 C．存在点P，使 D．的取值范围是 【变式3】已知椭圆的左焦点为F，上顶点为A.若存在直线l与椭圆交于不同的两点B，C，的重心为F，则l的斜率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式4】已知椭圆的左、右焦点分别为，且．过右焦点的直线与交于两点，的周长为；过原点作一条垂直于l的直线交于两点，则的取值范围为_____________． 题型06 与椭圆有关的轨迹问题 【典例1】已知动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆的圆心轨迹方程为_________________- 求轨迹方程的常见方法： (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据椭圆定义列方程． (3)相关点法：由相关点法求轨迹方程时，先设所求曲线上一点的坐标，根据题中条件，确定已知曲线上的点与所求点之间的关系，用所求点的坐标表示出已知点，代入已知曲线方程化简整理，即可得出结果．有时也需要用参数表示出所求点，再消去参数，即可得出结果． 【变式1】已知点P是：上的动点，点，的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹方程是（ ） A． B． C． D． 【变式2】在平面直角坐标系中，满足，、分别为的重心、内心，若轴，则点的轨迹方程为 . 【变式3】已知动圆P与圆：相切，且与圆：内切，记圆心P的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为 ． 题型07 椭圆中的定点、定值问题 【典例1】已知椭圆的离心率为，点在椭圆上． (1)求椭圆的方程． (2)直线与椭圆交于点． ①求； ②记直线的斜率分别为，求． 【变式1】如图，已知椭圆，不经过右焦点的直线交椭圆于，两点．若轴上任意一点到直线，的距离相等，求证：直线过定点．    【变式2】如图，已知椭圆，，是椭圆上的两个动点，，直线，关于直线对称，求证：直线的斜率为定值．    【变式3】已知椭圆：，过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于，两点（点在点的上方）且与轴交于点. (1)若直线的斜率为，求点的坐标. (2)设，.求证：为定值，并求出该值. (3)若椭圆的右焦点为，内切圆的半径为，求直线的方程. 题型08 椭圆的实际应用问题 【典例1】航天器绕地球运行的轨道近似看作为椭圆，其中地球的球心是这个椭圆的一个焦点，我们把椭圆轨道上距地心最近（远）的一点称作近（远）地点，近（远）地点与地球表面的距离称为近（远）地点高度.已知中国空间站在一个椭圆轨道上飞行，它的近地点高度约为351，远地点高度约为385，地球半径约为6400，则该轨道的离心率约为（ ） A． B． C． D． 【变式1】如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高5米，隧道全长2500米．隧道的两侧是与地面垂直的墙，高度为3米，隧道上部拱线近似地看成半个椭圆． 若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽是多少?（结果精确到0.1米），． 【变式2】2022年神舟接力腾飞，中国空间站全面建成，我们的“太空之家”遨游苍穹.太空中飞船与空间站的对接，需要经过多次变轨.某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，其远地点（长轴端点中离地面最远的点）距地面，近地点（长轴端点中离地面最近的点）距地面，地球的半径为，则该椭圆的短轴长为（ ） A． B． C． D． 【变式3】韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段，且过椭圆的下焦点，米，桥塔最高点距桥面米，则此椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【变式4】如图是5号篮球在太阳光照射下的影子，已知篮球的直径为，现太阳光与地面的夹角为，则此椭圆形影子的离心率为（ ） A． B． C． D． 1．已知直线：，椭圆：，则“”是“与相切”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．已知直线与圆没有公共点，则点与椭圆的位置关系是（ ） A．在椭圆内 B．在椭圆外 C．在椭圆上 D．不确定 3．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，则下列说法错误的是（ ） A．的周长为6 B．面积的最大值为 C．的取值范围为 D．的最小值为 4．班级物理社团在做光学实验时，发现了一个有趣的现象：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处.根据椭圆的光学性质解决下面问题：已知椭圆的方程为，其左、右焦点分别是，，直线与椭圆切于点，且，过点且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点Q，则（注；若的角平分线交于点，则）（ ） A．1 B．2 C． D． 5．已知椭圆和点，过点且与椭圆相切的直线交轴的负半轴于点，为椭圆的右焦点，则的值为（ ） A． B． C． D． 6．已知，分别为椭圆：的左、右焦点，点 在上，若大于，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．（多选）椭圆的离心率为，短轴长为，则（ ） A．椭圆的方程为 B．椭圆与双曲线的焦点相同 C．椭圆过点 D．直线与椭圆恒有两个交点 8． （多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，则下列说法正确的有（ ） A．的面积的最大值为12 B．的平分线必过椭圆的中心 C．若，则 D．设，椭圆C上存在点P，使得 9．（多选）动点P在椭圆C上，，为C的左、右焦点，直线和直线分别交C于点A，B，若的周长为20，且C的左顶点和上顶点距离为，则（ ） A．椭圆焦距为3 B．离心率 C．面积最大值为12 D．和斜率乘积为定值 10．已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是_____________ 11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，M是C上的动点，的面积的最大值为3，则C的长轴长的最小值为 ． 12．已知椭圆C：1的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，其中，若，||，则椭圆的离心率的取值范围为 ． 13．已知椭圆的离心率为分别为左右焦点，短轴一个端点到右焦点的距离为. (1)求椭圆的方程； (2)斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程； (3)设直线与椭圆交于、两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值. 14．设椭圆的左、右焦点分别为．已知在椭圆上，且的面积为． (1)求椭圆的标准方程； (2)如图，过点的直线与椭圆交于另一点与轴交于点，若，求的面积． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.3 椭圆的几何性质（第二课时） 教学目标 1．掌握椭圆的几何性质及其简单应用． 2．能够熟练地求椭圆的离心率及离心率的取值范围． 3.通过求解关于椭圆的离心率问题、中点弦问题，发展逻辑推理和数学运算素养． 4.在求解椭圆的综合问题的过程中，发展直观想象和数学运算素养． 教学重难点 1.重点 椭圆几何性质的简单应用． 2.难点 如何求椭圆的离心率及离心率的范围． 知识点01 椭圆的离心率 1.离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.用e表示，即e=. 2.离心率的范围：0<e<1. 3．求椭圆离心率或其范围的方法： 解题的关键是借助图形建立关于a, b, c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下: (1)直接求出a, c，利用离心率公式求解. (2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式求解. (3)构造a, c的齐次式.离心率e的求解中可以不求出a, c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e. 【即学即练】 1．已知椭圆的一个焦点为，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆方程可知 值，根据焦点坐标得到 值，从而求出，代入离心率公式即可求解. 【解析】根据题意，可知，因为， 所以，即， 所以椭圆的离心率为． 故选：C. 2．已知椭圆的离心率为，则的值为（ ） A． B． C．4或 D．或 【答案】D 【分析】根据给定条件，按焦点位置及椭圆离心率的意义分类求解. 【解析】当的焦点在轴上时，， 易知，则，解得； 当的焦点在轴上时，， 易知 ，则，解得， 所以的值为或. 故选：D. 知识点02 直线与椭圆的位置关系 1.直线与椭圆的三种位置关系. 类比直线与圆的位置关系，直线与椭圆有相离、相切、相交三种位置关系，如图所示. 2.利用方程讨论直线与椭圆的位置关系： Δ>0⇔直线与椭圆相交⇔有两个公共点； Δ=0⇔直线与椭圆相切⇔有且只有一个公共点； Δ<0⇔直线与椭圆相离⇔无公共点. 【即学即练】 1．已知直线，椭圆，则与的位置关系为（ ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切 【答案】D 【分析】首先判断直线所过的定点，再判断定点与椭圆的位置关系，即可判断直线与椭圆的位置关系. 【解析】直线：， 令，解得：，， 所以直线恒过定点， ，所以点在椭圆上，则直线与椭圆相交或相切. 故选：D. 2．已知椭圆与直线相切，则的值不可能是（ ） A． B．2 C．3 D．3.9 【答案】A 【分析】由椭圆与直线相切，得，解不等式组对比选项即可得解. 【解析】联立椭圆方程与直线方程得，化简并整理得， 依题意，，整理得， 因为，所以，解得， 对比选项可知的值不可能是. 故选：A. 知识点03 椭圆弦长与“中点弦问题” 1．弦长问题 (1)定义：直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦. (2)弦长公式：设直线l:y=kx+m交椭圆+=1 (a>b>0)于，两点，则或. 2.解决椭圆中点弦问题的两种方法： （1）根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决. （2）点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系. 设，，代入椭圆方程+=1 (a>b>0)，得， ①-②可得+=0， 设线段AB的中点为，当时，有+=0. 因为为弦AB的中点，从而转化为中点与直线AB的斜率之间的关系，这就是处理弦中点轨迹问题的常用方法. 3.弦的中点与直线的斜率的关系 线段AB是椭圆+=1 (a>b>0)的一条弦，当弦AB所在直线的斜率存在时，弦AB的中点M的坐标为，则弦AB所在直线的斜率为，即. 【即学即练】 1．经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则线段的长为（ ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】先求得直线故直线的方程，再与椭圆方程联立，结合韦达定理，利用弦长公式求解. 【解析】在中，，， 所以，即， 故左焦点为，而， 故直线的方程为， 联立得， ，设，， 由韦达定理得，， 则由弦长公式得． 故选：B． 2．已知椭圆，直线与椭圆相交于两点.若线段的中点为，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，并得到，利用点差法得到，由点斜式写出直线方程，化为一般式即可. 【解析】设， 若，则的中点在轴上，而的中点坐标为，显然不合要求，故， 则，两式相减得， 即， 由于弦的中点坐标为，故， 所以，即，故， 故直线的方程为，即. 故选：A. 题型01 焦点三角形 【典例1】（多选）已知是椭圆上一点，、为其左、右焦点，且的面积为，则下列说法正确的是（ ） A．点纵坐标为 B．的周长为 C． D．的内切圆半径为 【答案】BCD 【解析】对于A选项，在椭圆中，，，， ，则、， 设点，，，故选项A错误； 对于B选项，由椭圆的定义可知， 的周长为，故选项B正确； 对于C选项，设，，可得， 由余弦定理可得 ， 所以， 所以，解得，故选项C正确， 对于D选项，设的内切圆半径为， 则， ，故选项D正确. 故选：BCD. 焦点三角形问题： 解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理． 以椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则 (1)椭圆的定义：|PF1|＋|PF2|＝2a. (2)余弦定理：4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ. (3)面积公式：S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值，为bc. 重要结论：S△PF1F2= (4)焦点三角形的周长为2(a＋c)． (5)在椭圆C：＋＝1(a>b>0)中,F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意的一点，当点P在短轴端点时，最大. 【变式1】若F为椭圆C：的右焦点，A，B为C上两动点，则周长的最大值为（ ） A．10 B．5 C．20 D．5 【答案】C 【解析】如图，设F1为椭圆C的左焦点， 则由椭圆的定义可得的周长为 ， 当共线时，， 当不共线时，， 所以周长的最大值为20. 故选：C. 【变式2】已知一个离心率为，长轴长为4的椭圆，其两个焦点分别为，在椭圆上存在一点，使得，设的内切圆半径为，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为椭圆的离心率为，长轴长为4，所以， 在中，由余弦定理得 ，因，， 代入解得， 所以， 即，解得． 故选：A 【变式3】（多选）已知椭圆 为左，右焦点. O为原点，P为椭圆上一点， 下列说法正确的是（ ） A．满足条件的P点总共有4个 B．=4 C．|PO|=3 D． 【答案】ABD 【解析】由题意得，，设 则 在中，由余弦定理得，， 即 ，即 ，解得 故B项正确； 设P（x₀，y₀）， 代入椭圆方程得， 解得 则 故C项错误； 由故P点共有4个，故A项正确； 对于D， 故D项正确. 故选：ABD. 【变式4】已知F1，F2分别为椭圆C：的左、右焦点，C上存在一点A，使，点B满足，∠F1AF2的平分线交直线OB于点D，，则椭圆C的标准方程为 ． 【答案】 【解析】 如图所示，不妨设在第一象限，则，因，则， 在中，因，且由，可知点B是的中点， 则得，且， 因为，平分，故， 故为等腰直角三角形，， 由题意知，则，即， 根据椭圆的定义可得， 联立，解得， 在直角中，即， 化简得，又因，两者联立解得， 故椭圆标准方程为. 故答案为：. 【变式5】已知是椭圆的左焦点，直线交椭圆于两点.若，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线和椭圆的性质得出为平行四边形，再应用椭圆定义结合余弦定理计算得出齐次式得到离心率即可. 【解析】设是椭圆的右焦点，连接 由对称性可知， 则为平行四边形，则，即， 因为 ，则， 在中，由余弦定理可得 ， 即， 解得，所以椭圆的离心率为. 故选：A. 题型02 求离心率的取值范围 【典例1】已知点P在以，为左、右焦点的椭圆上，椭圆内存在一点Q在的延长线上，且满足，若，则该椭圆离心率取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，可得点Q在以为直径，原点为圆心的圆上，即可求出的不等关系，再由当Q点与重合时，得出，再根据点Q在的延长线上，即可得解. 【解析】 由题设为锐角且， 设，则且， 故， 因为在椭圆内部且在的延长线上，故且， 故， 而， 整理得到：， 故，故， 综上可得：. 故选：B. 求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆的几何特征，建立关于参数c、a、b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．较多时候利用解题. 【变式1】记椭圆的离心率为，若，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据离心率公式可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【解析】因为， 所以，，，则，可得， ，则， 因为，即，可得，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 【变式2】如图，设，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使得线段的中垂线恰好过焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则线段的中点坐标为，， 可得线段的中垂线所在的直线方程为， 把点代入得， 从而得到，则或（舍去）， 因为，所以， 则且，解得， 又因为，得， 故选：B． 【变式3】已知、分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，、为上、下顶点，若在线段上存在（不含端点），使得，则椭圆的离心率的取值范围为_____________ 【答案】 【解析】由已知，点，，，，， 则线段的方程为，则， 在线段上取一点， ，， 所以 ， 由，得， 因为，所以， 从而，整理得，即， 即，即， 结合，解得． 故答案为：． 题型03 直线与椭圆的位置关系辨析 【典例1】已知椭圆，直线，则与的位置关系为（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上选项都不对 【答案】A 【分析】根据给定条件，联立方程并借助一元二次方程判别式判断得解. 【解析】由消去y并整理得：，显然， 因此方程组有两个不同的解， 所以与相交. 故选：A 【变式1】椭圆，直线l的方程为，直线l与椭圆相切，则m的值为（ ） A．1 B．-2 C． D．1 【答案】C 【分析】联立方程组，根据直线与椭圆相切，结合，列出方程，即可求解. 【解析】联立方程组，整理得， 因为直线与椭圆相切，可得，可得， 解得. 所以的值为. 故选：C 【变式2】直线与椭圆的公共点个数为 ． 【答案】2 【分析】求出直线恒过的定点与椭圆的位置关系，即可判断直线与椭圆的交点的个数． 【解析】直线恒过， 由于，所以是椭圆内部的一点， 所以直线与椭圆恒有2个交点． 故答案为：2． 【变式3】已知直线：与椭圆：有公共点，则的取值范围是________ 【答案】 【分析】联立直线与椭圆的方程，令判别式大于0求解即可. 【解析】将直线的方程与椭圆的方程联立，得，消去得①， 因为直线与椭圆有公共点，所以方程①有实数根，则，得. 故答案为：． 题型04 椭圆弦长与“中点弦”问题 【典例1】已知椭圆的中心在原点，焦点为，，且离心率．过点的直线与椭圆相交于，两点，且为的中点，则弦长（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题知，，所以， 所以，椭圆的方程为， 由题知直线的斜率不为，设，，则， 代入椭圆方程得，作差得， 即，得， 所以直线的斜率，故直线的方程为，即， 联立，化简得，解得或， 所以，，所以弦长，故C正确. 故选：C. 求弦长的方法 (1)交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． (2)根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：|AB|＝·＝ ·. 【变式1】若椭圆的弦AB的中点则弦长（ ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【解析】设，， 因为为AB的中点， 所以，， 又A，B两点在椭圆上， 则，， 两式相减，得， 所以， 所以， 所以， 即有直线AB的方程为， 即为，代入椭圆方程，可得， 可得或4， 即有，， 则 故选：D. 【变式2】点的直线与椭圆相交于两点，且恰为线段的中点，则直线的斜率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由弦中点坐标利用点差法计算可得直线的斜率. 【解析】显然在椭圆内， 当直线的斜率不存在，即直线方程为时，可得，或，， 此时不是线段的中点， 所以直线的斜率存在，设，， 则，两式相减并化简得， 又，，代入得， 解得， 故选：D. 【变式3】设直线与椭圆相交于、两点，当变化时，线段的中点所在的直线方程为______________ 【答案】 【分析】先通过联立直线和椭圆方程，利用韦达定理求出中点坐标，再根据中点坐标的关系得出中点所在直线方程. 【解析】将直线方程代入椭圆方程中，得到. 展开式子化简为. 根据韦达定理，所以， 又因为中点横坐标. 已知，把代入可得. 因为，即. 所以线段的中点所在的直线方程为. 故答案为： 题型05 椭圆中的参数范围及最值 【典例1】已知椭圆：的左右焦点分别是，，点在椭圆上，则 ；若，则点的横坐标的取值范围是 . 【答案】 【解析】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为， 则，，， 所以，， 由椭圆的定义可得， 设，则，， 因为，所以，即，， 解得，所以点的横坐标的取值范围是. 故答案为：；. 【变式1】若椭圆的左、右焦点分别为、，点P为椭圆C上一动点，则下列说法中不正确的是（ ） A．当点P不在x轴上时，的周长是6 B．当点P不在x轴上时，面积的最大值为 C．存在点P，使 D．的取值范围是 【答案】C 【解析】由椭圆方程可知，，从而． 对于选项A；根据椭圆定义，，又，所以的周长是 ，故选项A正确； 对于选项B：设点，因为，则． 因为，则面积的最大值为，故选项B正确； 对于选项C：由椭圆性质可知，当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大． 此时，，又， 则为正三角形，， 所以不存在点，使，故选项C错误； 对于选项D：由椭圆的性质可知，当点为椭圆的右顶点时，取最大值，此时； 当点为椭圆的左顶点时，取最小值，此时，所以，故选项D正确． 故选：C. 【变式3】已知椭圆的左焦点为F，上顶点为A.若存在直线l与椭圆交于不同的两点B，C，的重心为F，则l的斜率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设坐标，利用三角形重心的坐标表示得出坐标的关系式，结合点差法表示出l的斜率，再利用对勾函数的性质计算范围即可. 【解析】设椭圆的左焦点为， 由已知，设，l的斜率为， 因为重心为F， 所以， 所以， 易知，根据点差法可得：， 所以, 又中点一定在椭圆内部，即， 令，则，故， 由对勾函数的性质可知，显然， 故直线l的斜率取值范围是. 故选：A． 【变式4】已知椭圆的左、右焦点分别为，且．过右焦点的直线与交于两点，的周长为；过原点作一条垂直于l的直线交于两点，则的取值范围为_____________． 【答案】 【分析 】在的斜率为时，求结论，再在的斜率不为时，利用设而不求法，结合弦长公式求，由此可得的解析式，利用换元法，二次函数性质求其范围即可. 【解析】设椭圆的半焦距为，由，得， 又的周长为，即 所以，， 椭圆的标准方程为． 设， 直线的斜率为时，得， 此时的方程为， 代入方程可得，， 所以； 当直线的斜率不为时， 设直线，直线， 联立直线和椭圆的方程，并消去整理得 ， ． 由根与系数的关系得， 所以 联立直线和椭圆的方程，并消去整理得， 由根与系数的关系得， ， 所以． 令，则， 不妨设 ， ， ， ， 综上可得，的取值范围为． 故答案为： 题型06 与椭圆有关的轨迹问题 【典例1】已知动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆的圆心轨迹方程为_________________- 【答案】 【解析】设圆圆心且与圆切于点P，圆圆心与圆切于点Q， 由题意得：，，其中， 所以， 由椭圆定义可知：动圆圆心C的轨迹为以为焦点的椭圆，设， 则，解得：， 故动圆圆心C的轨迹方程为. 故答案为： 求轨迹方程的常见方法： (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据椭圆定义列方程． (3)相关点法：由相关点法求轨迹方程时，先设所求曲线上一点的坐标，根据题中条件，确定已知曲线上的点与所求点之间的关系，用所求点的坐标表示出已知点，代入已知曲线方程化简整理，即可得出结果．有时也需要用参数表示出所求点，再消去参数，即可得出结果． 【变式1】已知点P是：上的动点，点，的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】：的圆心C为，半径， 点，，又的垂直平分线交于点M， ， 的轨迹是以为焦点，长轴长为3的椭圆， ，， ，，， 点M的轨迹方程是 故选： 【变式2】在平面直角坐标系中，满足，、分别为的重心、内心，若轴，则点的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】设，则重心，设内切圆半径为， 又，所以， 因为，则，又，所以， 所以点的轨迹方程为. 故答案为：. 【变式3】已知动圆P与圆：相切，且与圆：内切，记圆心P的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为 ． 【答案】 【解析】由已知得，圆半径为9，圆半径为1， 设动圆圆心，半径为，易知圆在圆内， 由于动圆与圆相切，且与圆相内切， 所以动圆与圆只能内切，且动圆在圆内， 故，所以， 所以圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为8的椭圆， 则，所以， 所以曲线的方程为. 故答案为： 题型07 椭圆中的定点、定值问题 【典例1】已知椭圆的离心率为，点在椭圆上． (1)求椭圆的方程． (2)直线与椭圆交于点． ①求； ②记直线的斜率分别为，求． 【答案】（1）； （2）①；②0 【详解】（1）因为点在椭圆上，所以． 又椭圆的离心率为，且，解得， 所以椭圆的方程为． （2）   ①设． 联立得，则， 故． ②， ． 又 ， 所以． 【变式1】如图，已知椭圆，不经过右焦点的直线交椭圆于，两点．若轴上任意一点到直线，的距离相等，求证：直线过定点．    【答案】证明见解析 【解析】联立得， 设，，则，， 由题意得直线，的倾斜角互补，即， 所以， 即 ，解得， 所以直线的方程为， 故直线恒过定点． 【变式2】如图，已知椭圆，，是椭圆上的两个动点，，直线，关于直线对称，求证：直线的斜率为定值．    【答案】证明见解析 【解析】因为，点在椭圆上，直线，的斜率都存在， 设直线，的方程分别为，， ，． 联立，得， 解得，同理得． 所以， ， . 即直线的斜率为定值． 【变式3】已知椭圆：，过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于，两点（点在点的上方）且与轴交于点. (1)若直线的斜率为，求点的坐标. (2)设，.求证：为定值，并求出该值. (3)若椭圆的右焦点为，内切圆的半径为，求直线的方程. 【答案】(1)； (2)证明见解析，； (3) 【解析】（1）（1）由题意有椭圆左焦点坐标为，则直线方程为， 所以解得或 ， 所以的坐标为. （2）由题意可知直线的斜率存在且不为0，且设为，设直线的方程为：， 所以 ，消去得， 设，，则 由，，且点的横坐标为0，得，， 从而 ，为定值，且. （3）设直线，则的内切圆的半径为，又，为椭圆的焦点， 故的周长为，从而， 设，，则， 即， 由（2）两方程联立得， 得，化简得，解得或（舍去），故， 即存在直线满足题意. 题型08 椭圆的实际应用问题 【典例1】航天器绕地球运行的轨道近似看作为椭圆，其中地球的球心是这个椭圆的一个焦点，我们把椭圆轨道上距地心最近（远）的一点称作近（远）地点，近（远）地点与地球表面的距离称为近（远）地点高度.已知中国空间站在一个椭圆轨道上飞行，它的近地点高度约为351，远地点高度约为385，地球半径约为6400，则该轨道的离心率约为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，建立方程，求出，，即可求解． 【解析】由题,设椭圆的长轴长为2a,焦距为2c, 可知，， 解得，， 离心率为， 故选：A 【变式1】如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高5米，隧道全长2500米．隧道的两侧是与地面垂直的墙，高度为3米，隧道上部拱线近似地看成半个椭圆． 若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽是多少?（结果精确到0.1米），． 【答案】 【分析】建立直角坐标系，设椭圆方程为，依题意可得，将点代入椭圆方程，即可求解； 【解析】（1）如图建立平面直角坐标系， 依题意可得点在椭圆上， 又，将点代入椭圆方程得，解得， 此时， 因此隧道设计的拱宽约为米； 【变式2】2022年神舟接力腾飞，中国空间站全面建成，我们的“太空之家”遨游苍穹.太空中飞船与空间站的对接，需要经过多次变轨.某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，其远地点（长轴端点中离地面最远的点）距地面，近地点（长轴端点中离地面最近的点）距地面，地球的半径为，则该椭圆的短轴长为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的远地点和近地点的距离可得，进而可求得，求得b，可得答案. 【解析】由题意得， 故， 故选：D. 【变式3】韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段，且过椭圆的下焦点，米，桥塔最高点距桥面米，则此椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立如图所示平面直角坐标系，设椭圆方程为，依题意可得，即可求出离心率. 【解析】如图按椭圆对称轴所在直线建立直角坐标系， 设椭圆方程为， 令，即，解得，依题意可得， 所以，所以，所以． 故选：D． 【变式4】如图是5号篮球在太阳光照射下的影子，已知篮球的直径为，现太阳光与地面的夹角为，则此椭圆形影子的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用球的对称性，作出截面图，从而判断， 【解析】 如图， 是两条与球相切的直线，分别切于点A,C， 与底面交于点B,D， , 过C作 交于E,C,则， 在 中， ， ， , ， ，求出离心率. 那么椭圆中 ， , . 故选：B 1．已知直线：，椭圆：，则“”是“与相切”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】利用“数形结合”的思想结合“一元二次方程根有一解求解的判别式等于零”求解即可. 【解析】当时，直线：，直线与椭圆相切，当“与相切”时， 联立有，令有， 所以是直线与椭圆相切的充要条件. 故选:C. 2．已知直线与圆没有公共点，则点与椭圆的位置关系是（ ） A．在椭圆内 B．在椭圆外 C．在椭圆上 D．不确定 【答案】A 【分析】由直线与圆没有公共点得，再利用放缩法得，可判断点与椭圆的位置关系. 【解析】直线与圆没有公共点， 圆心到直线的距离，即， ， 又， 点在椭圆内部. 故选：A. 3．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，则下列说法错误的是（ ） A．的周长为6 B．面积的最大值为 C．的取值范围为 D．的最小值为 【答案】D 【解析】椭圆：的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，的周长为，A正确； 对于B，点到直线距离的最大值为，则面积的最大值为，B正确； 对于C，，解得，C正确； 对于D，由，得，D错误. 故选：D 4．班级物理社团在做光学实验时，发现了一个有趣的现象：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处.根据椭圆的光学性质解决下面问题：已知椭圆的方程为，其左、右焦点分别是，，直线与椭圆切于点，且，过点且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点Q，则（注；若的角平分线交于点，则）（ ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆定义求出，结合平分，故. 【解析】由题设，则平分，故， 而，由椭圆定义可知， 则，所以. 故选：B. 5．已知椭圆和点，过点且与椭圆相切的直线交轴的负半轴于点，为椭圆的右焦点，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】    设直线与椭圆的切点为，则切线的方程为． 因为点在直线上，所以， 又因为，即，故，所以． 因为，所以， 所以，所以． 故选：B． 6．已知，分别为椭圆：的左、右焦点，点 在上，若大于，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可知，的坐标和模，由向量数量积的定义及坐标运算可得关于的不等关系，即可求解. 【解析】 因为椭圆：，所以，，所以， 所以，， 因为点 在上，所以，所以，， 又，，所以， 又，， 所以， 因为大于，所以， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故选：. 7．（多选）椭圆的离心率为，短轴长为，则（ ） A．椭圆的方程为 B．椭圆与双曲线的焦点相同 C．椭圆过点 D．直线与椭圆恒有两个交点 【答案】ACD 【分析】根据椭圆离心率公式、短轴长定义，结合双曲线焦点公式、代入法、直线点斜式方程的性质逐一判断即可. 【解析】因为椭圆的短轴长为，所以有， 而椭圆的离心率为，所以， 所以可得：.. A：因为，所以该椭圆的标准方程为：，因此本选项正确； B：由 ，该双曲线的焦点在纵轴上， 而椭圆的焦点在横轴，所以本选项说法不正确； C：因为，所以点在该椭圆上，因此本选项说法正确； D：直线恒过点，而，所以点在椭圆内部，因此直线与椭圆恒有两个交点，所以本选项说法正确， 故选：ACD 8． （多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，则下列说法正确的有（ ） A．的面积的最大值为12 B．的平分线必过椭圆的中心 C．若，则 D．设，椭圆C上存在点P，使得 【答案】ACD 【解析】由题设有椭圆的长半轴长，短半轴长， 半焦距，故， 对于A，当为短轴顶点时，的面积的最大， 此时面积为，故A正确； 对于B，若的平分线必过椭圆的中心， 因为，则此时为等腰三角形，故， 故此时为短轴顶点，故当不为短轴顶点时，的平分线不过椭圆的中心， 故B错误； 对于C，因为，故， 由余弦定理可得， 故，故， 所以，故，故C正确； 对于D，设，则， 故， 所以， 而，故， 所以即，故， 所以，因为，故符号该不等式， 故椭圆C上存在点P，使得，故D正确； 故选：ACD. 9．（多选）动点P在椭圆C上，，为C的左、右焦点，直线和直线分别交C于点A，B，若的周长为20，且C的左顶点和上顶点距离为，则（ ） A．椭圆焦距为3 B．离心率 C．面积最大值为12 D．和斜率乘积为定值 【答案】BC 【解析】因为点P，A在椭圆上，所以，， 故的周长为， 解得，因为左顶点和上顶点的距离为， 解得，则，焦距为，故A错误； ，故B正确； ， 当点P位于轴上时，面积取得最大值12，故C正确； 设，则，即， 因为，，所以，， 故不是定值，故D错误. 故选：BC. 10．已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是_____________ 【答案】 【分析】直线l和椭圆C有公共点，联立直线方程和椭圆方程消去y便可得到关于x的一元二次方程，方程有解，从而有判别式，即可解出m的取值范围． 【解析】直线代入椭圆方程消去y得：； ∵直线与椭圆有公共点，方程有解， ∴； 解得，即m的取值范围为. 故答案为： 11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，M是C上的动点，的面积的最大值为3，则C的长轴长的最小值为 ． 【答案】 【分析】由椭圆得性质与基本不等式求解 【解析】由题意知，所以， 故C的长轴长． 故答案为： 12．已知椭圆C：1的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，其中，若，||，则椭圆的离心率的取值范围为 ． 【答案】(，] 【分析】设，由已知得到的范围，再由椭圆的定义得到n，m间的关系，代入、换元，求出e的范围. 【解析】设，由，知， 因为，在椭圆上，， 所以四边形为矩形，； 由，可得1， 由椭圆的定义可得，  ①， 平方相减可得②， 由①②得； 令t， 令， 所以，即， 所以， 所以， 所以，解得. 故答案为： . 13．已知椭圆的离心率为分别为左右焦点，短轴一个端点到右焦点的距离为. (1)求椭圆的方程； (2)斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程； (3)设直线与椭圆交于、两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值. 【答案】(1)； (2)； (3) 【解析】（1）设椭圆的半焦距为，依题意，而， 解得，所以椭圆的方程为. （2）设直线，直线与椭圆的交点为， 联立方程，消去得， 则，解得， 可得， 则 ，解得， 所以直线方程为. （3）设，当轴时，直线， 由，得，则； 当与轴不垂直时，设直线的方程为，即， 依题意，，则， 联立，得， 则， ， 当时， ， 当且仅当，即时等号成立； 当时，直线，由， 得，则； 综上所述，， 则的面积， 所以面积的最大值. 14．设椭圆的左、右焦点分别为．已知在椭圆上，且的面积为． (1)求椭圆的标准方程； (2)如图，过点的直线与椭圆交于另一点与轴交于点，若，求的面积． 【答案】(1)； (2) 【解析】（1）的面积，解得，即① 把代入椭圆有② ①②联立解得， 故椭圆的标准方程为； （2）设直线的方程为，设，联立直线与椭圆方程 ，消去得， 因此③， 由于，因此，即， 于是，整理得， 代入③得，即，因此， 因此直线一定过， 由得直线方程为， 联立直线与椭圆方程，消去，解得：， 因此的面积 ； 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $