专题2.3 圆与圆的位置关系（举一反三讲义）高二数学苏教版选择性必修第一册

本讲义聚焦圆与圆的位置关系这一核心知识点，系统梳理外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系的几何法与代数法判定，构建从基础判定到公切线、公共弦、圆系方程应用的递进式学习支架。 资料以9大题型为框架，通过例题与变式题实现举一反三，结合图像直观呈现位置关系与公切线特征，培养学生数学思维与应用意识。课中助力教师系统授课，课后辅助学生强化练习，有效查漏补缺。

专题2.3 圆与圆的位置关系（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 判断圆与圆的位置关系】 2 【题型2 根据圆与圆的位置关系求参数】 3 【题型3 由圆与圆的位置关系确定圆的方程】 3 【题型4 两圆的公切线长】 5 【题型5 求两圆的公切线方程】 5 【题型6 两圆的公切线条数问题】 6 【题型7 相交圆的公共弦方程】 7 【题型8 两圆的公共弦长问题】 8 【题型9 圆系方程及其应用】 9 考点1 圆与圆的位置关系及判定 知识点1 圆与圆的位置关系及判定 1．圆与圆的位置关系及判断方法 (1)圆与圆的位置关系 圆与圆有五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含，其中外离和内含统称为相离，外切和内切统称为相切. (2)圆与圆的位置关系的判定方法 ①利用圆心距和两圆半径比较大小(几何法)： 设两圆与的圆心距为d，则d=，两圆的位置关系表示如下： 位置关系 关系式 图示 公切线条数 外离 d>r1+r2 四条 外切 d=r1+r2 三条 相交 |r1-r2|<d<r1+r2 两条 内切 d=|r1-r2| 一条 内含 0≤d<|r1-r2| 无 ②代数法：联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断. 当Δ>0时，两圆有两个公共点，相交；当Δ=0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；当Δ<0时，两圆无公共点，包括内含与外离. 【题型1 判断圆与圆的位置关系】 【例1】（25-26高二上·广东湛江·期末）圆与的位置关系是（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．内含 【变式1.1】（25-26高二上·山东枣庄·期末）已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是（   ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 【变式1-2】（25-26高二上·安徽亳州·期末）已知，则圆与圆的位置关系是（    ） A．内含 B．外离 C．相切 D．相交 【变式1.3】（25-26高二上·甘肃陇南·期末）已知点在圆外，则圆M：与圆N：的位置关系是（    ） A．内含 B．相切 C．相交 D．外离 【题型2 根据圆与圆的位置关系求参数】 【例2】（25-26高二上·江苏扬州·期末）若圆与圆相交，则正整数的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2.1】（25-26高二上·北京朝阳·期中）已知圆与圆外切，则（   ） A． B． C．1 D．3 【变式2.2】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）圆与圆相交，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2.3】（25-26高二上·广西来宾·期中）已知圆：与圆（）内切，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型3 由圆与圆的位置关系确定圆的方程】 【例3】（25-26高二上·江苏·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）以为圆心，且与圆相外切的圆C的方程为（    ） A． B． C． =16 D． 【变式3.2】（25-26高二·全国·课后作业）已知圆，则圆O关于直线对称的圆的方程为（） A． B． C． D． 【变式3.3】（25-26高二上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，已知圆，圆.若圆心在轴上的圆同时平分圆和圆的圆周，则圆的方程是（    ） A． B． C． D． 考点2 两圆的公切线 知识点2 两圆的公切线 1．两圆的公切线 (1)两圆公切线的定义 两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线. (2)两圆的公切线位置的5种情况 ①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线； ②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线； ③相交时，有2条公切线，都是外公切线； ④内切时，有1条公切线； ⑤内含时，无公切线. 判断两圆公切线的条数，实质就是判断两圆的位置关系. (3)求两圆公切线方程的方法 求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法，设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可.要注意公切线的斜率可能不存在. 【题型4 两圆的公切线长】 【例4】（2026高二上·河北·学业考试）若直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（25-26高二上·全国·期中）圆与圆的公切线长为__________. 【变式4.2】（25-26高二上·江苏常州·期中）已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为__________. 【变式4.3】（25-26高二上·福建福州·阶段检测）已知：圆与圆． (1)当时，判断两圆是否相交，并说明理由．如果相交，求公共弦所在直线的方程． (2)若两圆外切，求的值及外公切线的长． 【题型5 求两圆的公切线方程】 【例5】（25-26高三下·山东·开学考试）圆和圆的公切线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【变式5.1】（25-26高二上·广东广州·期末）已知圆与圆相内切，则与的公切线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式5.2】（25-26高二上·上海·课后作业）已知两圆：和：．求： (1)取何值时两圆外切； (2)取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么． 【变式5.3】（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）已知动点到两定点和的距离之比为. (1)求动点的轨迹的方程； (2)已知圆：，判断和的位置关系，并求它们的公切线方程. 【题型6 两圆的公切线条数问题】 【例6】（25-26高二上·安徽六安·期末）圆与圆的公切线条数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式6.1】（25-26高二上·福建漳州·阶段检测）若圆 与圆 恰有三条公切线，则的值不可以是（    ） A． B． C． D． 【变式6.2】（25-26高二上·山东济宁·期末）已知圆，圆，则它们公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6.3】（25-26高二上·浙江·期中）已知圆和圆至少有3条公切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点3 两圆的公共弦 知识点3 两圆的公共弦 1．求两圆公共弦所在的直线的方程的常用方法 两圆相交时，有一条公共弦，如图所示. 设圆C1：，① 圆C2：，② ①-②，得，③ 若圆C1与圆C2相交，则③为两圆公共弦所在的直线的方程.若为圆C1与圆C2的交点，则点满足且，所以 .即点适合直线方程，故在③所对应的直线上，③表示过两圆C1与C2交点的直线，即公共弦所在的直线的方程. 2．求两圆公共弦长的方法 (1)代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长. (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，由勾股定理求出公共弦长. 【题型7 相交圆的公共弦方程】 【例7】（25-26高二上·陕西渭南·期末）圆与圆的公共弦所在直线的方程为 （    ） A． B． C． D． 【变式7.1】（25-26高二上·陕西咸阳·期末）圆与圆的公共弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式7.2】（25-26高二上·福建莆田·期中）已知圆与圆相交，则经过两圆交点的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式7.3】（25-26高二上·云南昭通·期末）已知圆与圆相交，则圆与圆的公共弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【题型8 两圆的公共弦长问题】 【例8】（25-26高二上·河北·期末）圆与圆的公共弦长是（    ） A． B． C．3 D．4 【变式8.1】（25-26高二上·云南曲靖·阶段检测）圆与圆的公共弦长为（   ） A．2 B． C．2 D．4 【变式8.2】（25-26高二上·河南濮阳·期末）已知圆（，）过原点，且与直线相切. (1)求圆的方程； (2)判断圆与圆是否相交，若相交，请求出公共弦的长. 【变式8.3】（25-26高二上·内蒙古包头·期末）已知圆经过，，并且圆心在轴上． (1)求圆的方程； (2)记圆，求圆与圆的公共弦所在直线方程；并求得公共弦长． 考点4 圆系方程及其应用 知识点4 圆系方程及其应用 1．圆系方程及其应用技巧 具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫作圆系方程.常见的圆系方程有以下几种： (1)以(a,b)为圆心的同心圆系方程是. (2)与圆同心的圆系方程是. (3)过同一定点(a,b)的圆系方程是. (4)过直线Ax+By+C=0与圆的交点的圆系方程是 . (5)过两圆C1：和C2：的交点的圆系方程是 ().(其中不含有C2： ，注意检验C2是否满足题意，以防漏解). ①当时，l: 为两圆公共弦所在的直线方程. ②当两圆相切(内切或外切)时，l为过两圆公共切点的直线方程. 【题型9 圆系方程及其应用】 【例9】（25-26高二下·黑龙江鹤岗·开学考试）圆心在直线上，且经过两圆和的交点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式9.1】（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）过圆：和圆：的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式9.2】（25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测）已知圆，. (1)求过两圆交点的直线方程及弦长； (2)求过两圆交点，且圆心在直线上的圆的方程． 【变式9.3】（25-26高二上·安徽马鞍山·阶段检测）已知圆C：与圆：． (1)若圆C与圆有3条公切线，求r的值． (2)若，试求： ①圆C与圆所得的公共弦长； ②经过圆C与圆的交点且过坐标原点O的圆M的方程． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 圆与圆的位置关系（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 判断圆与圆的位置关系】 2 【题型2 根据圆与圆的位置关系求参数】 4 【题型3 由圆与圆的位置关系确定圆的方程】 6 【题型4 两圆的公切线长】 8 【题型5 求两圆的公切线方程】 11 【题型6 两圆的公切线条数问题】 15 【题型7 相交圆的公共弦方程】 17 【题型8 两圆的公共弦长问题】 18 【题型9 圆系方程及其应用】 21 考点1 圆与圆的位置关系及判定 知识点1 圆与圆的位置关系及判定 1．圆与圆的位置关系及判断方法 (1)圆与圆的位置关系 圆与圆有五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含，其中外离和内含统称为相离，外切和内切统称为相切. (2)圆与圆的位置关系的判定方法 ①利用圆心距和两圆半径比较大小(几何法)： 设两圆与的圆心距为d，则d=，两圆的位置关系表示如下： 位置关系 关系式 图示 公切线条数 外离 d>r1+r2 四条 外切 d=r1+r2 三条 相交 |r1-r2|<d<r1+r2 两条 内切 d=|r1-r2| 一条 内含 0≤d<|r1-r2| 无 ②代数法：联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断. 当Δ>0时，两圆有两个公共点，相交；当Δ=0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；当Δ<0时，两圆无公共点，包括内含与外离. 【题型1 判断圆与圆的位置关系】 【例1】（25-26高二上·广东湛江·期末）圆与的位置关系是（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．内含 【答案】A 【解题思路】先求出两圆的圆心和半径，再求出圆心距，然后与两圆的半径和差比较可得答案 【解答过程】由，得， 所以圆的圆心，半径， 由，得， 所以圆的圆心，半径， 所以， 所以两圆内切， 故选：A. 【变式1.1】（25-26高二上·山东枣庄·期末）已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是（   ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 【答案】C 【解题思路】利用配方法，结合圆心距、两圆半径和差之间的关系进行判断即可. 【解答过程】圆的半径为. 圆， 所以该圆的半径为，圆心坐标为. 因为， 所以两圆相外切. 故选：C. 【变式1-2】（25-26高二上·安徽亳州·期末）已知，则圆与圆的位置关系是（    ） A．内含 B．外离 C．相切 D．相交 【答案】D 【解题思路】根据两圆方程求出圆心距，并与两圆半径之和、之差进行比较，即可得出结论. 【解答过程】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 则，因， 即两圆相交， 故选：D. 【变式1.3】（25-26高二上·甘肃陇南·期末）已知点在圆外，则圆M：与圆N：的位置关系是（    ） A．内含 B．相切 C．相交 D．外离 【答案】D 【解题思路】利用点与圆的位置可得，再求出圆与圆的圆心及半径，并求出圆心距即可判断得解. 【解答过程】由点在圆外，得， 圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 因此，所以圆与圆外离. 故选：D. 【题型2 根据圆与圆的位置关系求参数】 【例2】（25-26高二上·江苏扬州·期末）若圆与圆相交，则正整数的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解题思路】先求圆心坐标，再求圆心距，再利用两圆相交得，解出即可求解. 【解答过程】圆的圆心，半径为，圆，所以， 所以圆心，半径为， 所以， 由圆与圆相交，所以， 即，解得，又，所以， 故选：B. 【变式2.1】（25-26高二上·北京朝阳·期中）已知圆与圆外切，则（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【解题思路】求出两圆的圆心和半径，再利用两圆外切列方程求解． 【解答过程】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 由圆，外切，得，即， 所以. 故选：D. 【变式2.2】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）圆与圆相交，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先求得两圆的圆心与半径，然后根据两圆的位置关系列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【解答过程】因为圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 所以圆心距， 又圆与圆相交，所以， 即，又，所以解得：， 故选：C. 【变式2.3】（25-26高二上·广西来宾·期中）已知圆：与圆（）内切，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解题思路】利用两圆位置关系列方程求解即可. 【解答过程】因为圆：的圆心，半径为1； 圆的圆心，半径为； 又，由题意，解得. 故选：D. 【题型3 由圆与圆的位置关系确定圆的方程】 【例3】（25-26高二上·江苏·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】通过点关于直线对称求圆的圆心和半径来求得正确答案. 【解答过程】圆的圆心为，半径为. 所以圆的半径为，设圆心为， 则，解得， 所以圆的方程为. 故选：A. 【变式3.1】（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）以为圆心，且与圆相外切的圆C的方程为（    ） A． B． C． =16 D． 【答案】B 【解题思路】根据两圆外切求圆的半径，即可求解. 【解答过程】由题意可知，两圆的圆心距为5，设圆的半径为， 因为两圆相外切，则，得， 所以圆的方程为. 故选：B. 【变式3.2】（25-26高二·全国·课后作业）已知圆，则圆O关于直线对称的圆的方程为（） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求出圆的圆心，设出关于直线的对称点为，由两点构成直线的斜率与直线垂直以及两点的中点在直线上，列方程组即可求解，由此可得解. 【解答过程】设圆心关于直线的对称点为， 则，解得， 所以对称圆的圆心为， 所以对称圆的方程为即. 故选：A. 【变式3.3】（25-26高二上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，已知圆，圆.若圆心在轴上的圆同时平分圆和圆的圆周，则圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题知圆C与圆的公共弦是圆的直径，圆C与圆的公共弦是圆的直径，进而设圆C的圆心为，半径为得，再结合距离公式解方程即可得答案. 【解答过程】圆C平分圆C1等价于圆C与圆的公共弦是圆的直径． 同理圆C与圆的公共弦是圆的直径 设圆C的圆心为，半径为，则， 所以，即，解得 所以圆C的方程为． 故选：A. 考点2 两圆的公切线 知识点2 两圆的公切线 1．两圆的公切线 (1)两圆公切线的定义 两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线. (2)两圆的公切线位置的5种情况 ①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线； ②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线； ③相交时，有2条公切线，都是外公切线； ④内切时，有1条公切线； ⑤内含时，无公切线. 判断两圆公切线的条数，实质就是判断两圆的位置关系. (3)求两圆公切线方程的方法 求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法，设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可.要注意公切线的斜率可能不存在. 【题型4 两圆的公切线长】 【例4】（2026高二上·河北·学业考试）若直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设直线交轴于点，推导出为的中点，为的中点，利用勾股定理可求得. 【解答过程】如下图所示，设直线交轴于点， 由于直线与圆，圆都相切，切点分别为、， 则，，， ，为的中点，为的中点，， 由勾股定理可得. 故选：C. 【变式4.1】（25-26高二上·全国·期中）圆与圆的公切线长为__________. 【答案】4 【解题思路】先由圆心距与两圆半径和差关系判断两圆位置关系，再由几何性质利用勾股定理求解公切线长. 【解答过程】由题可得，由圆， 则圆心为，半径为， 由圆， 则圆的圆心为，半径为. 则两圆心的距离， 因为，所以圆与圆相交. 如图，设切点为，作于点， 所以圆与圆的公切线长为. 故答案为：.    【变式4.2】（25-26高二上·江苏常州·期中）已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为__________. 【答案】2 【解题思路】由圆和圆的圆心和半径确定两圆位置关系，从而得到轴为与的一条公切线，确定与轴相切的点坐标，即可得公切线段的长度. 【解答过程】圆的圆心为，半径， 则轴为的切线，切点为， 圆的圆心，半径， 则轴为的切线，切点为， 如图所示： 又， 则，故两圆相交，则轴为圆与的一条公切线， 公切线段的长度为. 故答案为：2. 【变式4.3】（25-26高二上·福建福州·阶段检测）已知：圆与圆． (1)当时，判断两圆是否相交，并说明理由．如果相交，求公共弦所在直线的方程． (2)若两圆外切，求的值及外公切线的长． 【答案】(1)两圆相交，理由见解析； (2)，4. 【解题思路】（1）根据两圆方程得出圆心和半径，计算出圆心距，利用两圆相交的必要条件即可判断，相交时，将两圆的一般式方程左右分别相减，整理即得公共弦方程； （2）利用两圆外切的必要条件得出关于参数的方程，求出值，继而运用外公切线的计算公式即得.(外公切线计算公式初中已知) 【解答过程】（1）由圆与圆，可知两圆圆心分别为，半径为， 因,时，，因为，故两圆相交． 用圆的两边减去圆的两边即得两圆公共弦所在直线的方程为：． （2）若两圆外切，则，即，解得． 此时，， 所以外公切线长为： 【题型5 求两圆的公切线方程】 【例5】（25-26高三下·山东·开学考试）圆和圆的公切线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【解题思路】先判断两个圆的位置关系，确定公切线的条数，求解出两圆的公共点，然后根据圆心连线与公切线的关系求解出公切线的方程. 【解答过程】解：，圆心，半径， ，圆心，半径， 因为， 所以两圆相内切，公共切线只有一条， 因为圆心连线与切线相互垂直，， 所以切线斜率为， 由方程组解得， 故圆与圆的切点坐标为， 故公切线方程为，即． 故选：A. 【变式5.1】（25-26高二上·广东广州·期末）已知圆与圆相内切，则与的公切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据两圆内切求出圆的半径，分析可知公切线与直线垂直，据此可设公切线的方程为，即，利用直线与圆相切可得出关于的方程组，求出的值，即可得出所求公切线的方程. 【解答过程】圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为，则，可得， 其圆心为，半径为， 因为，即圆心在圆外，故圆内切于圆， 故， 易知公切线与直线垂直，且，故公切线的斜率为， 设公切线的方程为，即， 所以，解得，所以两圆公切线方程为. 故选：D. 【变式5.2】（25-26高二上·上海·课后作业）已知两圆：和：．求： (1)取何值时两圆外切； (2)取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么． 【答案】(1) (2)，． 【解题思路】（1）由两圆外切，得两圆圆心之间的距离等于两圆半径的和，从而求出的值； （2）由两圆内切，得到两圆圆心之间的距离等于两圆半径之差，求解得出的值；由两圆心连线与两圆公切线垂直，根据已知两圆心连线的斜率求出两圆公切线的斜率，设出切线方程，再根据切线的性质求解未知量的值. 【解答过程】（1）由题意，圆：，可化为： 圆：，可化为：， 可得圆心坐标分别为，，半径分别为，， 当两圆相外切时，可得， 即， 解得， 所以时，两圆外切； （2）由（1）知，圆心坐标分别为，，半径分别为，， 当两圆内切时，可得， 即， 解得， 因为， 可得两圆公切线的斜率是， 设切线方程为，即 则圆心到切线的距离等于圆的半径， 即，解得， 当时，直线与圆：相交，舍去， 故所求公切线方程为 ，即． 【变式5.3】（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）已知动点到两定点和的距离之比为. (1)求动点的轨迹的方程； (2)已知圆：，判断和的位置关系，并求它们的公切线方程. 【答案】(1) (2)相交；或 【解题思路】（1）设，根据题意得到，利用两点间距离公式列式化简即可得解； （2）利用两圆的位置关系判断得和的位置关系，再利用公切线的性质，结合点线距离公式列式即可得解. 【解答过程】（1）依题意，设，则，即， 所以，则，整理得， 故动点的轨迹的方程为. （2）由（1）知，动点的轨迹是一个圆，其圆心，半径为， 圆：的圆心，半径为， 所以，显然，则圆和圆相交， 所以圆和圆的公切线有两条，且斜率都存在， 不妨设为，即， 则有，则，解得或， 当时，得，解得或， 当时，，此时公切线方程为； 当时，，此时公切线方程为； 当时，得，方程无解； 综上，公切线方程为或. 【题型6 两圆的公切线条数问题】 【例6】（25-26高二上·安徽六安·期末）圆与圆的公切线条数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【解题思路】判断两圆的位置关系即可. 【解答过程】圆，圆， 则，半径为；，半径为， 则， 则两圆相离，故公切线条数为. 故选：A. 【变式6.1】（25-26高二上·福建漳州·阶段检测）若圆 与圆 恰有三条公切线，则的值不可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据圆与圆的位置关系得出，然后根据基本不等式即可求解. 【解答过程】由化为可知：，半径， 由化为可知：，半径， 又因为两圆恰有三条公切线，所以两个圆外切，所以，即， 所以， 所以. 故选：D. 【变式6.2】（25-26高二上·山东济宁·期末）已知圆，圆，则它们公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解题思路】首先要将两圆的方程化为标准方程，然后求出两圆的圆心距，再与两圆半径之和、半径之差作比较，根据比较结果来确定两圆的位置关系，进而得出公切线的条数. 【解答过程】将，化为标准方程得到； 则圆心，半径； 将，化为标准方程得到； 则圆心，半径； 圆心距， 因为， 所以两圆内切，公切线有1 条. 故选：A. 【变式6.3】（25-26高二上·浙江·期中）已知圆和圆至少有3条公切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意可知两圆相外切或相离，求出两圆的圆心和半径，可得，由此可求出的取值范围. 【解答过程】当圆和圆至少有3条公切线， 所以两圆相外切或相离， 圆的圆心， 圆的圆心， ，， 当两圆相外切时可得，则， 当两圆相离时可得：，则， 则，解得：，又因为，可得. 故选：C. 考点3 两圆的公共弦 知识点3 两圆的公共弦 1．求两圆公共弦所在的直线的方程的常用方法 两圆相交时，有一条公共弦，如图所示. 设圆C1：，① 圆C2：，② ①-②，得，③ 若圆C1与圆C2相交，则③为两圆公共弦所在的直线的方程.若为圆C1与圆C2的交点，则点满足且，所以 .即点适合直线方程，故在③所对应的直线上，③表示过两圆C1与C2交点的直线，即公共弦所在的直线的方程. 2．求两圆公共弦长的方法 (1)代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长. (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，由勾股定理求出公共弦长. 【题型7 相交圆的公共弦方程】 【例7】（25-26高二上·陕西渭南·期末）圆与圆的公共弦所在直线的方程为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由两圆的一般式作差，即可得到两圆公共弦所在的直线方程. 【解答过程】已知圆与圆， 由两圆的一般式作差可得：， 所以两圆公共弦所在直线的方程为. 故选：B. 【变式7.1】（25-26高二上·陕西咸阳·期末）圆与圆的公共弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用两圆的方程相减可得直线方程. 【解答过程】将圆与圆的方程相减， 即可得公共弦所在直线的方程为. 故选：C. 【变式7.2】（25-26高二上·福建莆田·期中）已知圆与圆相交，则经过两圆交点的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将两个圆的方程相减，即可得到答案. 【解答过程】由题意得圆方程可化为， 将圆方程和圆方程相减， 即可得经过两圆交点的直线方程为. 故选：D. 【变式7.3】（25-26高二上·云南昭通·期末）已知圆与圆相交，则圆与圆的公共弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先将圆的方程化为一般方程，再把两圆的一般式方程相减得到公共弦方程即可. 【解答过程】由题意得圆方程可化为， 圆方程可化为， 将两圆的方程相减可得， 化简得，则公共弦方程为，故D正确. 故选：D. 【题型8 两圆的公共弦长问题】 【例8】（25-26高二上·河北·期末）圆与圆的公共弦长是（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】D 【解题思路】用圆的方程减去圆的方程得到公共弦所在直线的方程，结合垂径定理求公共弦长. 【解答过程】设圆，圆， 圆，其圆心，半径； 圆，其圆心，半径； 则，即，可知两圆相交， 用圆的方程减去圆的方程得到公共弦所在直线的方程为， 圆心到直线的距离， 所以公共弦长是. 故选：D. 【变式8.1】（25-26高二上·云南曲靖·阶段检测）圆与圆的公共弦长为（   ） A．2 B． C．2 D．4 【答案】A 【解题思路】先求出两圆的公共弦所在直线的方程，再求出圆心到公共弦的距离，由弦长即可求出两圆的公共弦长. 【解答过程】由，可得圆心的坐标为，半径， 由，可得圆心的坐标为，半径， 故，故圆与圆相交， 两圆方程相减，得两圆的公共弦所在直线的方程为． 则圆心到公共弦的距离． 所以两圆的公共弦长为． 故选：A. 【变式8.2】（25-26高二上·河南濮阳·期末）已知圆（，）过原点，且与直线相切. (1)求圆的方程； (2)判断圆与圆是否相交，若相交，请求出公共弦的长. 【答案】(1) (2)相交， 【解题思路】（1）利用圆过原点，以及直线与圆相切，可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出圆的方程； （2）利用圆与圆的位置关系可判断出圆与圆相交，将两圆方程作差，可得出相交弦方程，再利用勾股定理可求出相交弦所在直线截圆所得弦长即可. 【解答过程】（1）圆过原点，，① 圆与直线相切，，② ①②联立，解得，，圆的方程为. （2）圆，圆心，半径. ， 圆与圆相交. 圆的方程与圆的方程相减，得公共弦所在直线方程为， 圆的圆心到公共弦所在直线的距离， 公共弦的长为. 【变式8.3】（25-26高二上·内蒙古包头·期末）已知圆经过，，并且圆心在轴上． (1)求圆的方程； (2)记圆，求圆与圆的公共弦所在直线方程；并求得公共弦长． 【答案】(1) (2)，． 【解题思路】（1）根据圆的性质，结合线段的中垂线的性质进行求解即可； （2）两个圆的方程相减得到相交弦方程，再结合点到直线距离公式进行求解即可. 【解答过程】（1）由于的中点为且， 所以的中垂线的斜率为． 所以的中垂线方程为． 因为圆心在的中垂线上且在轴上，所以令，则．所以圆心． 圆的半径，即圆的标准方程为； （2）将两圆方程联立， 两式相减得，所以公共弦所在方程为， 由于到直线的距离为， 所以公共弦的长为． 考点4 圆系方程及其应用 知识点4 圆系方程及其应用 1．圆系方程及其应用技巧 具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫作圆系方程.常见的圆系方程有以下几种： (1)以(a,b)为圆心的同心圆系方程是. (2)与圆同心的圆系方程是. (3)过同一定点(a,b)的圆系方程是. (4)过直线Ax+By+C=0与圆的交点的圆系方程是 . (5)过两圆C1：和C2：的交点的圆系方程是 ().(其中不含有C2： ，注意检验C2是否满足题意，以防漏解). ①当时，l: 为两圆公共弦所在的直线方程. ②当两圆相切(内切或外切)时，l为过两圆公共切点的直线方程. 【题型9 圆系方程及其应用】 【例9】（25-26高二下·黑龙江鹤岗·开学考试）圆心在直线上，且经过两圆和的交点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用圆系方程可求圆的方程. 【解答过程】由题可先设出圆系方程：， 则圆心坐标为； ， 又圆心在直线上，可得，解得， 所以圆的方程为：，故A正确. 故选：A. 【变式9.1】（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）过圆：和圆：的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设圆系方程，利用圆心坐标求出参数，建立方程求解即可. 【解答过程】经过圆：和圆：交点的圆可设为，即， 圆心在直线上，故，解得， 所以圆的方程为. 故选：A. 【变式9.2】（25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测）已知圆，. (1)求过两圆交点的直线方程及弦长； (2)求过两圆交点，且圆心在直线上的圆的方程． 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）两圆方程作差即可整理得到所求直线方程； （2）由过两圆交点的圆系方程求出圆心，代入直线方程可求出，由此可得圆的方程. 【解答过程】（1）两圆方程作差可得：，即， 由可得， 则圆心到直线的距离为， 所以弦长为. 即过两圆交点直线为，弦长为. （2）设过两圆交点的圆的方程为，且， 则，， 由圆心在直线上，则， 解得， 所以所求圆的方程为. 【变式9.3】（25-26高二上·安徽马鞍山·阶段检测）已知圆C：与圆：． (1)若圆C与圆有3条公切线，求r的值． (2)若，试求： ①圆C与圆所得的公共弦长； ②经过圆C与圆的交点且过坐标原点O的圆M的方程． 【答案】(1) (2)①；②（或写：） 【解题思路】（1）根据两圆外切求出r即可； （2）①先判断两圆的位置关系，再利用垂径定理求出弦长； ②利用圆系方程，设圆，求出即可. 【解答过程】（1）圆C：的圆心，半径为r， 圆：的圆心，半径为， 由圆C与圆有3条公切线，所以圆C与圆相外切， 故，所以； （2）①当时，圆C：， 则，故圆C与圆相交， 两圆方程相减得，点C到直线距离为， 所以圆C与圆所得的公共弦长为； ②，， 设圆M的方程为， 因为圆M过坐标原点，所以把代入，可得：，即， 故圆M的方程为， 所以圆M的方程为（或写：）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $