专题04 直线与圆综合必考八类问题（举一反三专项训练）高二数学苏教版选择性必修第一册

专题04 直线与圆综合必考八类问题（举一反三专项训练） 【苏教版】 【类型1 圆的弦长与中点弦问题】 2 【类型2 圆的切线及切线方程问题】 6 【类型3 直线与圆中的面积问题】 10 【类型4 直线与圆的位置关系求距离的最值】 16 【类型5 阿波罗尼斯圆】 22 【类型6 直线与圆中的向量问题】 28 【类型7 直线与圆中的定点、定值问题】 33 【类型8 直线与圆中的探索性问题】 39 知识点1 直线与圆相交时的弦长求法 1．圆的弦长的求法： 设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种： (1)几何法 如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：. (2)代数法 将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A,B. ①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解. ②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式. 知识点2 圆的切线及切线方程问题 1．自一点引圆的切线的条数： (1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线； (2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点； (3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线. 2．求过圆上的一点(x0,y0)的圆的切线方程： (1)求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程. (2)重要结论： ①经过圆上一点P的切线方程为. ②经过圆上一点P的切线方程为. ③经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为. 知识点3 解决直线与圆有关的最值与范围问题的常用方法 1．利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题的解题方法 直线与圆中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径. ①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. ②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. ③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. 知识点4 阿波罗尼斯圆 1．阿波罗尼斯圆 “阿波罗尼斯圆”的定义：平面内到两个定点A(-a,0)，B(a,0)(a>0)的距离之比为正数λ(λ≠1)的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，即为阿波罗尼斯圆. 【类型1 圆的弦长与中点弦问题】 1．（25-26高二上·山西运城·期末）已知直线与圆交于两点，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【解题思路】先算出圆心到直线的距离，然后利用圆的弦长公式计算即可. 【解答过程】已知圆的方程为，所以圆心坐标为，. 故圆心到直线：的距离， 所以弦. 故选：C. 2．（25-26高二上·广东江门·期中）直线被圆截得的弦长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，求得圆心到直线的距离，结合圆的弦长公式，即可求解. 【解答过程】由圆，可得圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 所以直线被圆截得的弦长为. 故选：C. 3．（多选）（25-26高二上·安徽池州·期中）已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．直线与圆恒相交 C．直线被圆截得的弦长为4时， D．直线被圆截得的弦长最短时，直线的方程为 【答案】ABD 【解题思路】直线变形为可得选项A正确；由定点在圆内可知选项B正确；利用勾股定理和垂径定理可计算圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式可得到的值，选项C错误；当直线与圆心和定点确定的直线垂直时，弦长最短，利用垂直求直线的斜率，即可得到选项D正确. 【解答过程】直线，即，直线恒过定点，故A正确； 由，可知在圆内部，故直线与圆相交，故B正确； 如图，直线与圆相交于两点，连接，则， 过点作于点，则，所以， 即点到直线的距离，由得或，故C错误； 由图知，直线于垂直时，直线被圆截得的弦长最短，因， 此时，，所以直线的方程为， 整理得，故D正确. 故选：ABD. 4．（25-26高二上·上海·期末）已知直线与圆，则圆截直线所得的弦长为____________． 【答案】 【解题思路】求出圆的圆心及半径，再利用圆的弦长公式计算得解. 【解答过程】圆的圆心，半径， 点到直线的距离， 所以所求弦长为. 故答案为：. 5．（25-26高二上·四川绵阳·期末）已知，，且为圆的直径. (1)求圆的方程； (2)若直线过点，且斜率为2，求直线被圆截得的弦长. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由题意得中点为圆心坐标，半径，求出圆心坐标及半径即可求出答案； （2）由题意得到直线的方程，求出圆心到直线的距离，利用几何法求弦长即可得解. 【解答过程】（1）因为为圆的直径， 所以中点即为圆心坐标，故圆心坐标为， 半径， 所以圆的方程为. （2）由题意得直线的方程为，即， 所以圆心到直线的距离， 所以直线被圆截得的弦长为． 6．（25-26高二上·江苏无锡·期末）圆经过三点，，. (1)求圆的方程； (2)若过点的直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【解题思路】（1）借助待定系数法计算即可得； （2）分直线斜率不存在与直线斜率存在，结合点到直线的距离公式以及垂径定理计算即可得. 【解答过程】（1）设圆的方程为， 则有，解得， 故圆的方程为； （2）可化为， 故圆以为圆心，为半径， 若直线斜率不存在，则，此时到的距离， 则弦长，符合要求； 若直线斜率存在，设，即， 此时到的距离， 由所截得的弦长为，则，可得， 故，即，解得， 故，即； 综上可得：直线的方程为或. 【类型2 圆的切线及切线方程问题】 7．（25-26高二上·广东深圳·期中）过圆上的点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，得到点在圆上，设过点的切线为，由，求得直线的斜率，结合点斜式方程，即可求解. 【解答过程】由点满足圆的方程，所以点在圆上， 又由圆，即，可得圆心， 设过点的切线为，则， 因为，所以 ，所以直线的方程为， 即，所以切线方程为. 故选：A. 8．（25-26高三上·山西长治·阶段检测）从点向圆引切线，则切线长的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】可知点在直线上，根据题意利用勾股定理求切线长，结合圆的性质求最小值. 【解答过程】圆的圆心为，半径， 点在直线上， 则圆心到直线的距离， 可知直线与圆相离， 设其中一个切点为A， 则切线长， 所以切线长的最小值为. 故选：C. 9．（多选）（25-26高二上·贵州铜仁·阶段检测）过点作圆的切线，下列选项中为切线方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解题思路】根据已知确定圆心和半径，且在圆外，所求切线斜率存在，设为，利用切线与圆心距离等于半径列方程求参数，即可得. 【解答过程】由的圆心，半径为1，显然， 所以在圆外，而不与圆相切， 所以切线的斜率存在，设为，即， 所以，可得，整理得， 所以或，则切线为或， 所以切线为或. 故选：BC. 10．（25-26高二上·福建·阶段检测）点P在直线上运动，从点P向圆引切线，则切线长的最小值为____________. 【答案】 【解题思路】连接切点与圆心，则该连线垂直于切线，利用勾股定理，切线长转化为直线上点与圆心连线和半径关系，求圆心与直线上点距离的最小值，即可求解. 【解答过程】由题意得圆的圆心为， 将化为一般方程，可得， 在直线上取一点P，过P向圆引切线，设切点为A．连接， 如图，作出符合题意的图形， 在中，．要使最小，则应最小． 又当与直线垂直时，最小，其最小值为， 故由勾股定理得的最小值为．   故答案为：. 11．（25-26高二上·江西宜春·期末）已知圆C的圆心在直线上，且经过点和. (1)求圆C的标准方程； (2)过点的直线与圆C相切，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）由圆的几何性质进行求解； （2）分直线的斜率存在和不存在进行求解． 【解答过程】（1）设圆心，半径为r， 则由题意可得解得； 所以圆C的标准方程为：. （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 圆心到直线的距离为，不合题意. 当直线的斜率存在时，设直线的斜率为， 则直线的方程为：，即. 由相切条件可得， 化简得：.解得：或. 直线的方程为或. 综上，直线的方程为：或． 12．（25-26高二上·山东·期中）已知圆C：． (1)过点向圆C作切线l，求切线l的方程； (2)若Q为直线m：上的动点，过Q向圆C作切线，切点为M，求的最小值． 【答案】(1)或 (2) 【解题思路】（1）按斜率存在和不存在两种情形分类求解，斜率存在时设出直线方程，由圆心到直线的距离等于半径求得参数值； （2）确定直线与圆相离，由切线长公式最小即可，只要求得圆心到直线的距离（为最小值）即可得切线长的最小值． 【解答过程】（1）若切线l的斜率不存在，则切线l的方程为． 若切线l的斜率存在，设切线l的方程为，即． 因为直线l与圆C相切，所以圆心到l的距离为2，即，解得， 所以切线l的方程为，即． 综上，切线l的方程为或． （2）圆心到直线的距离为，直线m与圆C相离， 因为，所以当最小时，有最小值． 当时，最小，最小值为， 所以的最小值为． 【类型3 直线与圆中的面积问题】 13．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知圆，直线与交于两点，则面积的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求得直线过定点以及圆心到直线的距离的取值范围，得出的面积的表达式利用三角函数单调性即可得出结论. 【解答过程】根据题意可得直线恒过点，该点在已知圆内， 圆的圆心为，半径，作于点，如下图所示： 圆心到直线的距离为，所以， 又，可得； 因此可得， 所以的面积为. 故选：B. 14．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知点在上，过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】点在圆上，分析可得，要使四边形面积取到最大，只需取得最大值，根据点与圆的位置关系，分析计算，可求出，进而可得，计算即可得答案. 【解答过程】设圆的圆心为，则圆心坐标为，半径， 圆的圆心坐标为，半径， 所以点P到圆心C的最大距离为， 因为A为切点，所以， 所以， 所以四边形面积的最大值. 故选：A. 15．（多选）（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线，，切点为，为圆上任意两点，则下列说法中正确的有（   ） A．的取值范围是 B．四边形面积的最小值为 C．满足的点有两个 D．的面积最大值为 【答案】AC 【解题思路】根据切线长公式、两点间距离公式可判断A，B，C，根据三角形的面积公式可求解D. 【解答过程】    圆心到直线的距离， 所以，因为圆的半径为， 根据切线长公式可得， 当时取得等号，所以长的取值范围为，故A正确； 因为，所以四边形的面积等于， 四边形的最小值为，故B错误； 因为，所以， 在直角三角形中，，所以， 设，因为， 整理得， 则有△，所以满足条件的点有两个，故C正确； 因为， 所以当，即，面积有最大值为， 此时四边形为正方形，则，满足要求，故D错误． 故选：AC. 16．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知是直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为、，则四边形面积的最小值为____________. 【答案】 【解题思路】证明出，可得出，则当取最小值时，四边形的面积取最小值，且的最小值为点到直线的距离，结合点到直线的距离公式求解即可. 【解答过程】将圆的方程化为标准方程得，圆心，半径， 连接，如下图所示： 由圆的切线的几何性质可知，， 又因为，，所以， 所以， 故当取最小值时，四边形的面积取最小值， 而为直线上一点与圆心之间的距离， 所以的最小值为点到直线的距离，为， 所以四边形面积的最小值为. 故答案为：. 17．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知圆，直线 (1)求证：直线恒过定点； (2)当圆心到直线的距离取得最大值时，求的值； (3)当时，为上一动点，过作圆的两条切线，切点分别为．求四边形面积的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3) 【解题思路】（1）将方程变换为，即可求解直线的定点； （2）当时，此时圆心到直线的距离最大，利用斜率公式，即可求解； （3）由几何关系，将面积的最小值转化为求点到直线距离的最小值. 【解答过程】（1）证明：由得， 由得， 所以直线恒过定点； （2）由（1）知，当时，圆心到直线的距离取得最大值， 易知圆心为， 因为， 所以    即， 解得. （3）当时，直线的方程为，故可设，    圆的半径， ， 圆心到直线的距离， 所以， 所以，即四边形面积的最小值为. 18．（25-26高二上·浙江·阶段检测）如图所示，圆：与轴的交点分别为，，过点的直线与圆交于，两点.    (1)若弦的长为，求直线的方程 (2)记直线，的斜率分别为，，求的值； (3)设为直线与的交点，，的面积分别为，，求的取值范围. 【答案】(1)和 (2) (3) 【解题思路】（1）分直线的斜率存在与不存在，结合垂径定理计算即可得； （2）设出直线的方程，联立曲线后利用韦达定理及斜率公式计算出即可得； （3）结合（2）中所得，表示出直线和直线方程并联立可得点在定直线上，再借助三角形面积公式分别表示出两三角形面积并化简，可结合韦达定理计算即可得. 【解答过程】（1）①当直线的斜率不存在时，此时，； ②当直线的斜率存在时，设直线斜率为，则直线方程为， 则由，知圆心到直线的距离为， 则，得， 所以的直线为和； （2）解法一：设由题知，，， ①当直线的斜率不存在时，直线方程为，如图所示，    将，代入，解得，，， ，，； ②当直线的斜率存在时，设直线斜率为，则直线方程为， 设，，则，， 联立，消去得， ，， 连接，，由圆的性质可得，， ； 所以； 综上可得，； 解法二：设直线方程为，，， 联立，消去得， ，， ，整理得， ， 所以； （3）由（2）知，直线和直线方程分别为或， 联立，消去得，点在直线上，如图所示，    ，，， 的取值范围为. 【类型4 直线与圆的位置关系求距离的最值】 19．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知是圆上的两个动点，且，点是线段的中点，则的最大值为（   ） A．12 B． C．6 D． 【答案】C 【解题思路】先根据题意求出的轨迹方程为，设到直线的距离为，由此可得，将问题转化为求圆上的点到直线距离的最大值，先求圆心到直线的距离再加半径即可求解. 【解答过程】根据已知有，圆心，半径，因为弦， 所以圆心到所在直线的距离， 又因为为的中点，所以有， 所以的轨迹为圆心为，半径为的圆， 的轨迹方程为； 令直线为，则到直线的距离为， 则，即，所以当最大时， 也取得最大值， 由此可将问题转化为求圆上的点到直线距离的最大值的倍， 设圆心到直线的距离为，则，所以， 所以的最大值为6. 故选：C. 20．（25-26高二上·安徽芜湖·期中）已知是圆上的两个不同的点，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题设知，.设为的中点，所以.求出点的轨迹方程.设点到直线的距离分别为，求出，得到.求出点到直线的距离，得出的范围即可解决. 【解答过程】由题设知，圆的圆心坐标，半径为2，因为，所以. 设为的中点，所以.所以点的轨迹方程为. 其轨迹是以为圆心，半径为的圆. 设点到直线的距离分别为， 所以， 所以. 因为点到直线的距离为， 所以，即， 所以.所以的取值范围为. 故选：A. 21．（多选）（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知实数，满足曲线的方程，则下列选项正确的是（    ） A．的最大值是9 B．的最大值是9 C．的最大值是 D．的最小值是 【答案】AC 【解题思路】先将曲线的方程化为标准方程，确定其几何图形，再根据不同选项的要求，结合圆的性质进行分析. 【解答过程】曲线的方程可化为， 令，其几何意义是圆上的点到原点的距离的平方， 圆心到原点的距离为， 圆上的点到原点的最大距离为圆心到原点的距离加上半径，即， 的最大值为，正确. 设，其几何意义是圆上的点与点连线的斜率， 则可化为，即， 直线与圆有公共点，圆心到直线的距离小于半径， 即，化简得，解得， 的最大值为，错误. 设，则，其几何意义是直线在轴上的截距， 当直线与圆相切时的截距取得最值， 圆心到直线的距离，即， 解得或， 的最大值是，正确. 设，即，其几何意义是直线在轴上的截距， 当直线与圆相切时取得最值， 圆心到直线的距离，即， 解得或， 的最小值是，错误. 故选：AC. 22．（25-26高二上·山东泰安·期末）已知圆，过点的直线与圆交于两点，则的最小值为____________． 【答案】4 【解题思路】根据表示，两点到直线的距离之和的倍，结合，两点到直线的距离之和等于线段的中点到直线距离的2倍，根据题意分析可得中点的轨迹是以为直径的圆，从而求出到直线距离的最小值的倍即可得到答案. 【解答过程】由题可得：， 所以表示，两点到直线距离之和的倍， 根据题意作出图形如下： 如图，设，的中点为， 且，，在直线的投影分别为，，， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离，易得，即， 所以点在以为直径的圆上，其圆心为，半径为， 由图可得： 由于到直线的距离， 所以， 即的最小值为. 故答案为：4. 23．（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）已知实数满足，求以下各式的最小值. (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)9 【解题思路】（1）根据所求式子，转化为直线斜率问题，利用圆与直线有公共点求解； （2）令，根据直线与圆有公共点，借助圆心到直线的距离求解即可； （3）配方后，转化为两个圆有公共点，利用圆心距离与半径关系求解即可. 【解答过程】（1）方程表示以为圆心，的圆，表示点与的连线的斜率， 设过点的直线的斜率为， 则，即， 所以圆心到直线的距离，解得， 所以 的最小值为； （2）令，即， 则圆心到直线的距离，解得，即， 故的最小值为； （3）=，表示圆上的点到的距离的平方，令圆上的点到的距离， 因为，所以，即， 所以， 故的最小值为9. 24．（25-26高二上·浙江嘉兴·阶段检测）已知点是圆上任意一点． (1)求P点到直线的距离的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值. 【答案】(1)最大值为，最小值为； (2)最大值为，最小值为； (3)最大值为，最小值为 【解题思路】（1）转化为圆心到直线的距离的最大值和最小值； （2）解法一，转化为直线与圆有公共点，解法二，利用三角换元求最值； （3）首先设，再转化为直线与圆有交点. 【解答过程】（1）圆心到直线的距离为． ∴P点到直线的距离的最大值为，最小值为． （2）解法一 ：设，则直线与圆有公共点， ∴，解得， 则，即的最大值为，最小值为． 解法二：设，则，其中， ∴得，即的最大值为，最小值为． （3）表示圆上的点与点连线的斜率为k， 设，即，直线与圆有交点， 设， 解得． 则，即的最大值为，最小值为． 【类型5 阿波罗尼斯圆】 25．（25-26高二上·云南昆明·期中）阿波罗尼斯，古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点，则所有满足（且）的点的轨迹是一个圆．已知在平面直角坐标系中，，动点满足，记动点的轨迹为.对任意实数，直线：与曲线恒有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据两点间的距离公式可得曲线的方程，由题意可得对任意实数，都有，分类参数即可求解. 【解答过程】设,因为，， 所以，化简可得， 所以曲线的圆心为，半径为. 因为对任意实数，直线：与曲线恒有公共点， 所以对任意实数，都有， 即任意实数恒成立. 因为,所以， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故选:A. 26．（25-26高二上·福建福州·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，、，点满足．设点的轨迹为，则下列说法错误的是（    ） A．轨迹的方程为 B．面积最大值为 C．若，则的最大值为 D．在上存在点，使得 【答案】D 【解题思路】对于A，通过直接法求出点的轨迹方程即可判断；对于B，数形结合可判断；对于C，设 ，转化为直线与曲线有公共点，结合直线与圆的位置关系可判断；对于D，求出点的轨迹方程，转化为两圆的位置关系即可判断. 【解答过程】设，不与、重合， 由、，有，， ，即，化简得， 所以点的轨迹曲线是以为圆心，半径的圆，如图所示， 对于A选项，由曲线的方程为，选项A正确； 对于B选项，由图可知，当时，点到直线的距离取最大值， 所以，，B对； 对于C选项，设，可得， 由题意可知，直线与圆有公共点，则， 解得，故的最大值为，C对； 对于D选项，设，由得， 化简得，因为， 所以上不存在点，使得，故D错误. 故选：D. 27．（多选）（25-26高二上·河南信阳·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中．已知，，点满足．设点的轨迹为圆，下列结论正确的有（    ） A．圆的方程是 B．圆与圆有四条公切线 C．的最小值为 D．过点作直线，若圆上恰有三个点到直线距离为，则该直线斜率为 【答案】ACD 【解题思路】对于A，设，再根据列式化简可得圆的方程；对于B，根据圆心间的距离与半径和差的关系判断两圆位置关系，进而可得公切线条数；对于C，设，可知直线与圆有公共点，列式求解即可，对于D，分直线斜率为0与不为0讨论，再根据圆心到直线距离与半径的关系列式求解即可. 【解答过程】对于A，设，由， 可得， 即，化简可得，故A正确； 对于B，圆圆心到圆圆心的距离为， 又因为且， 故两圆相交，有两条公切线，故B错误； 对于C，由选项A可知：圆的圆心为，半径， 设，可知直线与圆有公共点， 则，解得， 所以的取值范围为，即的最小值为，故C正确； 对于D，当直线斜率为0时，圆C上有四个点到直线l距离为，不合题意， 设直线，则由题意C到的距离等于， 即，解得，故斜率直线斜率为，故D正确. 故选：ACD. 28．（25-26高二上·江苏宿迁·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆，后来，人们把这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点到两个定点，的距离之比为2，则的取值范围为___________. 【答案】 【解题思路】首先求点的轨迹方程，再根据的几何意义，转化为直线与圆有交点，即可求解. 【解答过程】由题意可知，， ，整理为， 所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，    表示圆上的点与定点连线的斜率， 设，即，如图可知，直线与圆有交点， 则，解得：. 故答案为：. 29．（25-26高二上·宁夏吴忠·期中）公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆，后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆．已知平面直角坐标系中，，且． (1)求点的轨迹方程； (2)过作直线交（1）于，两点，且，求直线的方程； 【答案】(1) (2)，或 【解题思路】（1）设，由，结合两点间的距离公式化简后可得答案； （2）由（1）知，点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，利用圆的垂径定理可得圆心到直线的距离，讨论直线斜率是否存在后可求出直线的方程． 【解答过程】（1）设，由， 得， 整理得，，即， 则点的轨迹方程为． （2）由（1）知，点的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 设圆心到直线的距离为，由； 当直线斜率不存在时，直线方程为，得，符合题意； 当直线斜率存在时，设直线方程为，即； 则，解得 所以直线方程为，即； 综上所述，直线方程为，或. 30．（25-26高二上·广西钦州·期中）古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了《圆锥曲线论》，此书中有许多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点，，且该平面内的点P满足. (1)求点P的轨迹C的方程；并指出轨迹C表示什么图形？ (2)设为曲线C上任一点，求的取值范围； (3)设直线与曲线C交于M、N两点，是否存在实数m，使得以MN为直径的圆过原点，若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)，点P的轨迹C是圆心为，半径为的圆 (2) (3)存在， 【解题思路】（1）设，根据列方程化简可得结论； （2）设，则，由该直线与圆有公共点，可得关于的不等式，求解可得取值范围； （3）联立直线和圆C方程，消元后利用韦达定理代入到，进行坐标运算可得关于的方程，解出m即可，即可求证； 【解答过程】（1）设，因为， 故， 化简得：， 整理可得， 配方得：， 点P的轨迹C是圆心为，半径为的圆； （2）设，则， 由直线l：与圆C有公共点， 由（1）知圆C方程为， 则， 化简得：，解得， 故的取值范围是； （3）设，，联立， 消去y得， 由，得    ①， 根据韦达定理得：，， 由以MN为直径的圆过原点，得到， 所以 ， 解得满足①式， 所以存在实数，使得以MN为直径的圆过原点.    【类型6 直线与圆中的向量问题】 31．（2026·山东潍坊·模拟预测）已知为坐标原点，直线与圆交于两点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设，，联立直线与圆的方程，消元、列出韦达定理，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可. 【解答过程】设，，则，， 由，消去整理得， 则， 所以，， 则 ， 所以，解得. 故选：B. 32．（25-26高二上·重庆·期中）直线与圆交于两点，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设中点为，根据得到，利用圆内直角三角形得到；又由直线与圆相交得到，从而得到关于的不等式，求解即可. 【解答过程】设中点为，则，因为，所以， 即，又，所以， 直线与圆交于两点，所以 所以，有，因为，所以 故选：B. 33．（多选）（2026·河北张家口·二模）已知圆，P为直线上一动点，，为圆C的切线，切点分别为A，B，则（   ） A．圆心C的轨迹方程为 B．圆C过定点 C．当时，的最小值为15 D．当时，四边形的面积的最小值为 【答案】BCD 【解题思路】对于A，求出圆心的坐标，即可判断选项； 对于B，将圆C的方程化为，令解方程即可求解； 对于C，由，结合切线性质求出的最小值即可求解； 对于D，根据结合选项C即可求解. 【解答过程】圆C的方程可化为，， 对于A选项，圆心C的坐标为，则圆心C的轨迹方程为（除去点），所以A选项不正确； 对于B选项，圆C的方程可化为，令， 解得所以圆C过定点，所以B选项正确； 对于C选项，， 当时，，圆心，半径， 圆心到直线的距离， 所以，所以C选项正确； 对于D选项，，所以D选项正确. 故选：BCD. 34．（25-26高二上·江西南昌·期末）已知点在直线上，过点作圆的两条切线，切点为A，B，若存在点，使得，则的取值范围为__________． 【答案】 【解题思路】设，由题意可得，且有，即可解得的值，易得直线与圆有交点，即圆心到直线的距离，即可求得的取值范围. 【解答过程】在中，设，， ， ， 解得或（点不可能在内，舍去），即， 所以点的轨迹方程为， 因为点在直线上，所以直线与圆有交点， 即圆心到直线的距离，解得或. 故答案为：. 35．（2026高三上·陕西咸阳·专题练习）已知圆心在直线上的圆与轴的正半轴相切，圆截轴所得的弦长为. (1)若点，为圆上一动点，求的最小值； (2)若直线与圆交于，两点，且（为坐标原点），求实数的值. 【答案】(1)0 (2) 【解题思路】（1）先用几何法构造直角三角形得到圆心和半径，运用向量法对所求进行整理求解； （2）联立直线与圆的方程，整理得到根与系数的关系，再结合垂直条件运用向量法求解. 【解答过程】（1）设圆心坐标为，则半径，圆心到轴的距离为，，得， 圆的方程为. 设，则， 又，， 又， ，， 即的最小值为. （2）（2）设，， 联立，消去得， 由， 得，，. 由，知， 即， ， ，得，满足， . 36．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）已知圆的圆心在直线上，过点的直线与圆相交于两点． (1)求圆的方程； (2)当时，求直线的方程； (3)若点，是否存在直线，使得向量与共线？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在， 【解题思路】（1）由圆，得圆心的坐标为，代入直线求得的值，即可得到圆的方程； （2）分斜率不存在与斜率存在两种情况，设直线的方程，根据圆心到直线的距离与弦长的关系，确定直线的方程； （3）假设存在直线，使得向量与共线.当直线的斜率不存在时，写出的坐标，可利用向量坐标判断向量与不共线；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立圆的方程，用表示向量，根据向量与共线，求出的值，即可得到直线的方程. 【解答过程】（1）圆的圆心的坐标为， 将其代入直线得，解得. 即圆的方程为. （2）圆的标准方程为，设弦的中点为，则. ①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离为，所以，符合题意． ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即. 因为，所以，则圆心到直线的距离，解得. 此时直线的方程为， 故直线的方程为或． （3）因为，所以． ①当直线的斜率不存在时，易知. ，所以与不共线，不符合题意； ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为. 由，得， 可得. 所以， 所以， 则， 所以． 若向量与共线，则， 即，解得或， 当时，，舍去， 当时，. 所以存在直线，使得向量与共线，且直线的方程为，即.    【类型7 直线与圆中的定点、定值问题】 37．（25-26高二上·安徽合肥·期中）经过直线上一动点向圆引两条切线，，，为切点，则直线经过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设，可得以为直径的圆的方程，两圆方程相减，可得其公共弦，化为，由可得结果． 【解答过程】因为点为直线上一动点， 设，，是圆的切线， ，，是圆与以为直径的两圆的公共弦， 的中点为，可得以为直径的圆的方程为： ① 又，② ①与②相减得：， 化为， 由可得， 可得总满足直线方程，即过定点， 故选：A． 38．（25-26高二上·全国·期中）设与轴，轴的正半轴分别交于两点，点（异于）是上一点，若直线与轴交于点，直线与轴交于点，则（    ） A．为定值 B．有最小值 C．为定值 D．有最大值 【答案】C 【解题思路】讨论直线斜率不存在和存在时两种情况，存在时设，利用直线方程可分别求出，坐标，即可求出的表达式，化简可得答案. 【解答过程】由题得，，    ①当直线斜率不存在时，，是原点，与重合， 则，，所以； ②当直线斜率存在时，设，直线的方程为， 令，解得，则，同理可得， 所以， 又在上，所以， 代入上式得， 综合可得为定值． 故选：C. 39．（多选）（25-26高二上·重庆九龙坡·期中）已知圆，点P是直线上一动点，过点P作圆M的切线，切点分别是A、B，下列说法正确的有（   ） A．圆M上恰有一个点到直线l的距离为 B．切线长的最小值为1 C．四边形面积的最小值为1 D．直线恒过定点 【答案】BCD 【解题思路】利用圆心到直线的距离可判断A，利用圆的性质可得切线长利用点到直线的距离可判断B，由题可得四边形面积为，可判断C，由题可知点，，在以为直径的圆上，利用两圆方程可得直线的方程，即可判断D． 【解答过程】对于A，由圆，可知圆心，半径， 所以圆心到直线的距离为， 圆上的点到直线的最小和最大距离分别为和， 由于，圆上有两个点到直线的距离距离为，故A错误； 对于B，由圆的性质可得切线长， 所以当最小时，有最小值，又， ，故B正确； 对于C，因为四边形面积为， 所以四边形面积的最小值为1，故C正确； 对于D，设，由题可知点，，在以为直径的圆上，又， 所以，即， 又圆，即， 两式子相减得：直线的方程为：，即， 由，得，即直线恒过定点，故D正确． 故选：BCD. 40．（25-26高二上·江苏南通·期中）设圆，直线，P为上的动点，过点作圆的两条切线，，切点分别为，则直线过定点___________． 【答案】 【解题思路】设，进而求得以为直径的圆的方程，并与圆的方程作差即可得直线的方程，再根据方程判断定点问题即可. 【解答过程】由题可设，则以为直径的圆的圆心为，半径为， 所以以为直径的圆的方程为，化简得， 所以为圆C和以为直径的圆的公共弦， 联立可得，两式相减可得，即， 因该式对任意成立，故，解得定点为， 故直线过定点． 故答案为：. 41．（25-26高二上·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系xOy中，圆的圆心在直线上，圆经过点，且与直线相切. (1)求圆的方程； (2)设直线交圆于P，Q两点，若直线的斜率之积为3，求证：直线过一个定点，并求出该定点坐标. 【答案】(1)； (2)证明见解析 【解题思路】（1）由圆心在直线上，可设圆心坐标，由圆心到切线的距离等于半径列方程解得a后可得圆方程； （2）分类讨论，直线斜率不存在时，可设，由已知求出，但此直线与圆无交点，不合题意；直线l的斜率存在．设直线l的方程，把已知用坐标表示出来，记为①式，由直线与圆相交，直线方程与圆方程联立，消元后应用韦达定理得，代入①式，得出的关系式，代入直线方程整理可得直线过的定点的坐标． 【解答过程】（1）因为圆心在直线上，所以设， 因为圆C经过点，所以圆C的半径， 因为圆C和直线相切，所以圆C的半径， 所以. 化简，得，解得. 所以，半径. 所以圆C的方程为. （2）证明：若直线的斜率不存在，则可设， 所以， 消去得，再代入不存在， 所以直线的斜率存在. 设直线的方程， 所以， 整理得， ① 直线方程与圆C方程联立，， 消去y得， 所以代入 ① 得， 由于，整理得，即， 所以直线l的方程为，即， 令，解得， 所以直线l过一个定点，该定点坐标为. 42．（25-26高二上·山东潍坊·期中）设的圆心在直线上，且点和均在上. (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆相交于两点，且为等边三角形，求直线的方程； (3)已知点为圆上任意一点，试问在轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)或； (3)存在定点，使得为定值，的坐标为. 【解题思路】（1）设圆心坐标为，半径为，代入点坐标和直线方程得到方程组，解出即可； （2）求出三角形的高，再利用点到直线的距离公式即可得到方程，解出即可； （3）设，，根据两点距离公式列出比值式，再根据系数比得到方程，解出即可. 【解答过程】（1）设圆的圆心坐标为，半径为， 则解得， 所以圆的标准方程为. （2）由（1）可知该圆的半径为，因为为等边三角形，且边长为， 所以该等边三角形的高为， 所以圆心到直线的距离为，即，解得， 所以直线的方程为或. （3）假设存在定点，设， 设，则， 则， 当，即时，为定值，且定值为， 故存在定点，使得为定值，的坐标为. 【类型8 直线与圆中的探索性问题】 43．（25-26高二上·河南商丘·阶段检测）已知直线和圆，则下列结论错误的是（    ） A．直线恒过定点 B．存在使得直线与直线垂直 C．直线与圆总相交 D．存在直线被圆截得的弦长为6 【答案】D 【解题思路】由直线方程确定定点坐标，并判断与圆的位置关系，即可判断A、C；根据直线垂直的判定写出与垂直的直线方程判断B；根据直线与圆的位置关系确定最短弦长判断D. 【解答过程】由，故直线恒过定点，A对； 当时，与直线垂直，B对； 由，即在圆内部，故直线与圆总相交，C对； 当直线时，直线被圆所截弦长最短为且为圆的半径，D错；    故选：D. 44．（25-26高二上·湖南·阶段检测）已知圆的方程为，为圆上任意一点，则以下正确的序号为（    ） ①存在轴上的唯一点对，，使得为常数 ②存在轴上的无数个点对，，使得为常数 ③存在直线（）上的唯一点对，，使得为常数 ④存在直线（）上的无数个点对，，使得为常数 A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【答案】B 【解题思路】易得圆关于直线轴对称，设，（），，再根据对恒成立求出的关系式，再根据关于的方程的解的个数即可得出答案. 【解答过程】圆心坐标为，圆心在轴上， 所以圆关于直线轴对称， 设，（），， 则， 即对恒成立， 所以，所以，所以， 所以且，所以且且， 即有无数组解，所以①错误，②正确； 因为直线（）定点， 所以圆关于直线（）对称， 根据上推理得，存在直线上的无数个点对，，使得的值与的位置无关， 所以③错误，④正确． 故选：B. 45．（多选）（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知直线，圆（    ） A．对任意实数，直线恒过定点 B．对任意实数，直线与圆相交，且被圆截得弦的长度最小值是4 C．存在实数，使得直线分圆所得弧长之比为 D．存在实数，使得圆上有3个点到直线的距离为1 【答案】ACD 【解题思路】将直线化为，即可求出直线恒过的定点，判断A；判断直线过的定点在圆内，结合额圆的结合性质以及弦长公式可判断B；由题意可确定劣弧所对圆心角为，求出此时弦长，结合B的分析可判断C；由题意可得圆心到直线距离为，结合圆心到直线的距离，比较大小，即可判断D. 【解答过程】直线即， 令，解得， 所以直线过定点，故A正确； ，故定点在圆内，直线与圆相交， 设，由圆的几何性质，当直线与垂直时，弦长最小， ，则最小弦长为，故B错误 对于C，若直线分圆所得弧长之比为1:3，则劣弧所对圆心角为， 此时弦长为，而，故这样的直线是存在的， 存在实数满足条件，故C正确 对于D，圆半径为，若圆上有3个点到直线的距离为1， 则圆心到直线距离为，圆心到直线的距离， 而，存在实数满足条件，故D正确 故选：ACD. 46．（25-26高二上·广东·期中）已知圆的圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)是否存在斜率为1的直线与圆交于A，B两点，且以AB为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在，求的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【解题思路】（1）先由圆的一般方程通过配方得到圆心坐标，然后代入直线方程求出，从而得圆的方程； （2）根据斜率设直线方程，联立方程组，将“以AB为直径的圆恰好经过坐标原点”等价于，借助韦达定理进行转化，从而得出直线方程. 【解答过程】（1）将圆的一般方程配方得：， 所以圆心， 因为圆心在直线上，代入得：，得， 将代入原方程，得圆C的方程为：， 配方为标准方程：. （2）假设存在斜率为1的直线，设， 联立方程组，消去得； 因为直线与圆有两个交点，所以， 解得， 由韦达定理得， 所以， 因为以为直径的圆过原点，所以，即， 所以，即， 代入得：， 化简得：，解得或，且满足， 故存在这样的直线，方程为或. 47．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知圆 被y轴截得的弦长为2，圆 ． (1)求圆的方程并判断圆与圆的位置关系． (2)在直线上是否存在点P，使得过P作圆和圆的切线，切点分别为A，B，满足？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，外离 (2)或 【解题思路】（1）先直线与圆的位置关系结合韦达定理求出，从而求出圆的标准方程，得出圆心和半径，结合圆的圆心和半径求出圆心距，再比较圆心距与两圆半径之和的大小确定两圆的位置关系； （2）根据圆切点的性质，结合点在直线上，构造与的关系，再利用条件构造方程求出点坐标． 【解答过程】（1）圆 被y轴截得的弦长为2， 把代入圆方程，得 设交点坐标为，则， 由弦长公式得，解得，故， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆的标准方程为， 圆的圆心为，半径为， 圆，的圆心距，， ，故两圆外离． （2） 圆心为，半径为， ， 圆的圆心为，半径为， ， ，，即，整理得， 点在直线，设点， ，， ，整理得，即， 解得或，对应或， 直线上存在点或，使得过P作圆和圆的切线，切点分别为，满足． 48．（25-26高二上·广东广州·期中）已知点为圆上的一个动点，点是点关于点的对称点. (1)求点的轨迹方程； (2)已知点，求的最大值； (3)若过点的直线与点的轨迹交于，两点，试问在轴上是否存在点，使恒为定值？若存在，求出点的坐标和定值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)138 (3)存在，点，定值为 【解题思路】（1）设，利用对称关系把点的坐标用表示出来，然后代入圆的方程即可求解； （2）利用两点间距离公式整理从而转化为的最小值，然后利用数形结合思想即可求解； （3）设出直线方程，联立圆的方程消去，利用韦达定理代入化简即可求解. 【解答过程】（1）设，因为点是点关于点的对称点， 所以，即，因为点在圆上， 所以，化简得，即为点的轨迹方程. （2）易知 ， 令，则， 可视为直线在轴上的截距， 所以的最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最小值，即直线与圆相切时在轴上的截距， 由直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径可得，， 所以的最小值为，因此的最大值为138. （3）存在点，使得为定值， 理由如下：当直线斜率存在时，设其斜率为，则直线的方程为， 由，消去得， 设，则，， 又，， 则 ， 要使上式恒为定值，需满足，解得， 此时，为定值.    2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 直线与圆综合必考八类问题（举一反三专项训练） 【苏教版】 【类型1 圆的弦长与中点弦问题】 2 【类型2 圆的切线及切线方程问题】 3 【类型3 直线与圆中的面积问题】 4 【类型4 直线与圆的位置关系求距离的最值】 6 【类型5 阿波罗尼斯圆】 7 【类型6 直线与圆中的向量问题】 8 【类型7 直线与圆中的定点、定值问题】 9 【类型8 直线与圆中的探索性问题】 11 知识点1 直线与圆相交时的弦长求法 1．圆的弦长的求法： 设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种： (1)几何法 如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：. (2)代数法 将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A,B. ①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解. ②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式. 知识点2 圆的切线及切线方程问题 1．自一点引圆的切线的条数： (1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线； (2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点； (3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线. 2．求过圆上的一点(x0,y0)的圆的切线方程： (1)求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程. (2)重要结论： ①经过圆上一点P的切线方程为. ②经过圆上一点P的切线方程为. ③经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为. 知识点3 解决直线与圆有关的最值与范围问题的常用方法 1．利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题的解题方法 直线与圆中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径. ①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. ②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. ③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. 知识点4 阿波罗尼斯圆 1．阿波罗尼斯圆 “阿波罗尼斯圆”的定义：平面内到两个定点A(-a,0)，B(a,0)(a>0)的距离之比为正数λ(λ≠1)的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，即为阿波罗尼斯圆. 【类型1 圆的弦长与中点弦问题】 1．（25-26高二上·山西运城·期末）已知直线与圆交于两点，则（    ） A．2 B． C．4 D． 2．（25-26高二上·广东江门·期中）直线被圆截得的弦长为（　　） A． B． C． D． 3．（多选）（25-26高二上·安徽池州·期中）已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．直线与圆恒相交 C．直线被圆截得的弦长为4时， D．直线被圆截得的弦长最短时，直线的方程为 4．（25-26高二上·上海·期末）已知直线与圆，则圆截直线所得的弦长为____________． 5．（25-26高二上·四川绵阳·期末）已知，，且为圆的直径. (1)求圆的方程； (2)若直线过点，且斜率为2，求直线被圆截得的弦长. 6．（25-26高二上·江苏无锡·期末）圆经过三点，，. (1)求圆的方程； (2)若过点的直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程. 【类型2 圆的切线及切线方程问题】 7．（25-26高二上·广东深圳·期中）过圆上的点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·山西长治·阶段检测）从点向圆引切线，则切线长的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 9．（多选）（25-26高二上·贵州铜仁·阶段检测）过点作圆的切线，下列选项中为切线方程的是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·福建·阶段检测）点P在直线上运动，从点P向圆引切线，则切线长的最小值为____________. 11．（25-26高二上·江西宜春·期末）已知圆C的圆心在直线上，且经过点和. (1)求圆C的标准方程； (2)过点的直线与圆C相切，求直线的方程. 12．（25-26高二上·山东·期中）已知圆C：． (1)过点向圆C作切线l，求切线l的方程； (2)若Q为直线m：上的动点，过Q向圆C作切线，切点为M，求的最小值． 【类型3 直线与圆中的面积问题】 13．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知圆，直线与交于两点，则面积的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 14．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知点在上，过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 15．（多选）（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线，，切点为，为圆上任意两点，则下列说法中正确的有（   ） A．的取值范围是 B．四边形面积的最小值为 C．满足的点有两个 D．的面积最大值为 16．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知是直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为、，则四边形面积的最小值为____________. 17．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知圆，直线 (1)求证：直线恒过定点； (2)当圆心到直线的距离取得最大值时，求的值； (3)当时，为上一动点，过作圆的两条切线，切点分别为．求四边形面积的最小值． 18．（25-26高二上·浙江·阶段检测）如图所示，圆：与轴的交点分别为，，过点的直线与圆交于，两点.    (1)若弦的长为，求直线的方程 (2)记直线，的斜率分别为，，求的值； (3)设为直线与的交点，，的面积分别为，，求的取值范围. 【类型4 直线与圆的位置关系求距离的最值】 19．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知是圆上的两个动点，且，点是线段的中点，则的最大值为（   ） A．12 B． C．6 D． 20．（25-26高二上·安徽芜湖·期中）已知是圆上的两个不同的点，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 21．（多选）（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知实数，满足曲线的方程，则下列选项正确的是（    ） A．的最大值是9 B．的最大值是9 C．的最大值是 D．的最小值是 22．（25-26高二上·山东泰安·期末）已知圆，过点的直线与圆交于两点，则的最小值为____________． 23．（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）已知实数满足，求以下各式的最小值. (1)； (2)； (3)． 24．（25-26高二上·浙江嘉兴·阶段检测）已知点是圆上任意一点． (1)求P点到直线的距离的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值. 【类型5 阿波罗尼斯圆】 25．（25-26高二上·云南昆明·期中）阿波罗尼斯，古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点，则所有满足（且）的点的轨迹是一个圆．已知在平面直角坐标系中，，动点满足，记动点的轨迹为.对任意实数，直线：与曲线恒有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26．（25-26高二上·福建福州·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，、，点满足．设点的轨迹为，则下列说法错误的是（    ） A．轨迹的方程为 B．面积最大值为 C．若，则的最大值为 D．在上存在点，使得 27．（多选）（25-26高二上·河南信阳·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中．已知，，点满足．设点的轨迹为圆，下列结论正确的有（    ） A．圆的方程是 B．圆与圆有四条公切线 C．的最小值为 D．过点作直线，若圆上恰有三个点到直线距离为，则该直线斜率为 28．（25-26高二上·江苏宿迁·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆，后来，人们把这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点到两个定点，的距离之比为2，则的取值范围为___________. 29．（25-26高二上·宁夏吴忠·期中）公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆，后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆．已知平面直角坐标系中，，且． (1)求点的轨迹方程； (2)过作直线交（1）于，两点，且，求直线的方程； 30．（25-26高二上·广西钦州·期中）古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了《圆锥曲线论》，此书中有许多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点，，且该平面内的点P满足. (1)求点P的轨迹C的方程；并指出轨迹C表示什么图形？ (2)设为曲线C上任一点，求的取值范围； (3)设直线与曲线C交于M、N两点，是否存在实数m，使得以MN为直径的圆过原点，若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由. 【类型6 直线与圆中的向量问题】 31．（2026·山东潍坊·模拟预测）已知为坐标原点，直线与圆交于两点，且，则（    ） A． B． C． D． 32．（25-26高二上·重庆·期中）直线与圆交于两点，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 33．（多选）（2026·河北张家口·二模）已知圆，P为直线上一动点，，为圆C的切线，切点分别为A，B，则（   ） A．圆心C的轨迹方程为 B．圆C过定点 C．当时，的最小值为15 D．当时，四边形的面积的最小值为 34．（25-26高二上·江西南昌·期末）已知点在直线上，过点作圆的两条切线，切点为A，B，若存在点，使得，则的取值范围为__________． 35．（2026高三上·陕西咸阳·专题练习）已知圆心在直线上的圆与轴的正半轴相切，圆截轴所得的弦长为. (1)若点，为圆上一动点，求的最小值； (2)若直线与圆交于，两点，且（为坐标原点），求实数的值. 36．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）已知圆的圆心在直线上，过点的直线与圆相交于两点． (1)求圆的方程； (2)当时，求直线的方程； (3)若点，是否存在直线，使得向量与共线？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由． 【类型7 直线与圆中的定点、定值问题】 37．（25-26高二上·安徽合肥·期中）经过直线上一动点向圆引两条切线，，，为切点，则直线经过定点（    ） A． B． C． D． 38．（25-26高二上·全国·期中）设与轴，轴的正半轴分别交于两点，点（异于）是上一点，若直线与轴交于点，直线与轴交于点，则（    ） A．为定值 B．有最小值 C．为定值 D．有最大值 39．（多选）（25-26高二上·重庆九龙坡·期中）已知圆，点P是直线上一动点，过点P作圆M的切线，切点分别是A、B，下列说法正确的有（   ） A．圆M上恰有一个点到直线l的距离为 B．切线长的最小值为1 C．四边形面积的最小值为1 D．直线恒过定点 40．（25-26高二上·江苏南通·期中）设圆，直线，P为上的动点，过点作圆的两条切线，，切点分别为，则直线过定点___________． 41．（25-26高二上·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系xOy中，圆的圆心在直线上，圆经过点，且与直线相切. (1)求圆的方程； (2)设直线交圆于P，Q两点，若直线的斜率之积为3，求证：直线过一个定点，并求出该定点坐标. 42．（25-26高二上·山东潍坊·期中）设的圆心在直线上，且点和均在上. (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆相交于两点，且为等边三角形，求直线的方程； (3)已知点为圆上任意一点，试问在轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由. 【类型8 直线与圆中的探索性问题】 43．（25-26高二上·河南商丘·阶段检测）已知直线和圆，则下列结论错误的是（    ） A．直线恒过定点 B．存在使得直线与直线垂直 C．直线与圆总相交 D．存在直线被圆截得的弦长为6 44．（25-26高二上·湖南·阶段检测）已知圆的方程为，为圆上任意一点，则以下正确的序号为（    ） ①存在轴上的唯一点对，，使得为常数 ②存在轴上的无数个点对，，使得为常数 ③存在直线（）上的唯一点对，，使得为常数 ④存在直线（）上的无数个点对，，使得为常数 A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 45．（多选）（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知直线，圆（    ） A．对任意实数，直线恒过定点 B．对任意实数，直线与圆相交，且被圆截得弦的长度最小值是4 C．存在实数，使得直线分圆所得弧长之比为 D．存在实数，使得圆上有3个点到直线的距离为1 46．（25-26高二上·广东·期中）已知圆的圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)是否存在斜率为1的直线与圆交于A，B两点，且以AB为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在，求的方程；若不存在，请说明理由． 47．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知圆 被y轴截得的弦长为2，圆 ． (1)求圆的方程并判断圆与圆的位置关系． (2)在直线上是否存在点P，使得过P作圆和圆的切线，切点分别为A，B，满足？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 48．（25-26高二上·广东广州·期中）已知点为圆上的一个动点，点是点关于点的对称点. (1)求点的轨迹方程； (2)已知点，求的最大值； (3)若过点的直线与点的轨迹交于，两点，试问在轴上是否存在点，使恒为定值？若存在，求出点的坐标和定值；若不存在，请说明理由. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $