2.3：圆与圆的位置关系【7大题型】-2024-2025学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019选择性必修第一册）

2.3圆与圆的位置关系 【考点归纳】 · 考点一：判断圆与圆的位置关系 · 考点二：求圆的交点坐标 · 考点三：圆与圆的位置关系求参数范围 · 考点四：圆与圆的位置求圆的方程 · 考点五：圆的公共弦长问题（参数、弦长问题） · 考点六：圆的共切线问题 · 考点七：圆与圆位置关系的综合类问题 【知识梳理】 知识点一：两圆的位置关系及其判定 (1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1，r2的关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|< d<r1＋r2 d＝|r1－r2| d<|r1－r2| (2)代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)， 联立方程得 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 【题型归纳】 题型一：判断圆与圆的位置关系 1．（23-24高二上·浙江金华·期末）圆C：与圆的位置关系不可能（    ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 2．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知圆：，圆：，则两圆的位置关系为（   ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 3．（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知圆：（，）与圆：，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．外离 D．与m的取值有关 题型二：求圆的交点坐标 4．（22-23高二上·辽宁丹东·期末）已知圆与圆交于A，B两点，则四边形的面积为（    ） A．12 B．6 C．24 D． 5．（21-22高二上·江苏南京·期中）平面直角坐标系xOy中，P为圆C1：上的动点，过点P引圆：的切线，切点为T，则满足的点P有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．（23-24高三上·广东佛山·阶段练习）已知圆的圆心为，且经过圆：与圆：的交点．则圆的面积为（    ） A． B． C． D． 题型三：圆与圆的位置关系求参数范围 7．（24-25高二上·全国·课后作业）若圆与圆有且仅有一条公切线，则（    ） A． B．1 C． D．0 8．（23-24高二上·山东日照·期末）若两圆：与：外离，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二上·广东·期末）若圆与圆恰有两个公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型四：圆与圆的位置求圆的方程 10．（23-24高二上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，已知圆，圆.若圆心在轴上的圆同时平分圆和圆的圆周，则圆的方程是（    ） A． B． C． D． 11．（22-23高二上·广西河池·阶段练习）已知动圆与圆外切，同时又与轴相切，则圆的圆心轨迹方程为（    ） A． B．和 C． D．和 12．（20-21高三下·陕西榆林·阶段练习）已知是半径为1的动圆上一点，为圆上一动点，过点作圆的切线，切点分别为，，则当取最大值时，△的外接圆的方程为（    ） A． B． C． D． 题型五：圆的公共弦长问题（参数、弦长问题） 13．（23-24高二下·贵州·阶段练习）已知圆与圆交于A，B两点，则（    ） A． B．5 C． D． 14．（2024·江西宜春·模拟预测）圆与圆的公共弦长为（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高二上·福建莆田·期中）圆和圆的交点为A，B，则有（    ） A．公共弦AB所在直线方程为 B．公共弦AB的长为 C．线段AB中垂线方程为 D． 题型六：圆的共切线问题 16．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆和圆，则圆和圆的公切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 17．（23-24高三上·广西百色·阶段练习）圆，圆，则两圆的一条公切线方程为（    ） A． B． C． D． 18．（2023高二上·全国·专题练习）已知圆，圆，则下列不是，两圆公切线的直线方程为（ ） A． B． C． D． 题型七：圆与圆位置关系的综合类问题 19．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知圆O：（）与圆C：有两个不同的交点D，E． (1)求r的取值范围； (2)若，求线段DE的长． 20．（23-24高二上·四川成都·期末）已知圆，圆，点为圆上的一点. (1)若过点作圆的切线交圆于、两点，且弦长度最大值与最小值之积为，求的值； (2)当时，圆上有、两点满足，求线段长度的最大值. 21．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知圆C：与圆：. (1)求C与相交所得公共弦长； (2)若过点且斜率为k的直线l与圆C交于P，Q两点，其中O为坐标原点，且，求 【高分演练】 一、单选题 22．（24-25高二上·全国）若圆与圆相切，则（    ） A．6 B．3或6 C．9 D．3或9 23．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆与圆交于两点，则（    ） A． B． C． D． 24．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆是与直线，圆都相切的半径最小的圆，则圆的半径和圆心坐标分别是（    ） A． B． C． D． 25．（24-25高二上·上海·课后作业）圆：与圆：的公切线有且仅有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 26．（2024·山东·模拟预测）已知圆的圆心到直线的距离是，则圆与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相交 C．内切 D．内含 27．（23-24高二上·福建南平·期末）若圆与圆外切，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 28．（23-24高二上·江苏常州·期末）已知圆和圆相交于两点，点是圆上任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 29．（23-24高二上·广东肇庆·期末）已知圆：（），圆：，若圆上存在点P关于直线的对称点Q在圆上，则r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 30．（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）已知直线与圆：和圆：都相切，则直线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 31．（23-24高二下·河南·期中）已知圆，，则下列结论正确的有（    ） A．若圆和圆相交，则 B．若圆和圆外切，则 C．当时，圆和圆有且仅有一条公切线 D．当时，圆和圆相交弦长为 32．（22-23高二下·甘肃庆阳·期末）点在圆：上，点在圆：上，则（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为7 C．两个圆心所在的直线斜率为 D．两个圆相交弦所在直线的方程为 33．（23-24高二上·河南郑州·期末）已知两圆：，：，则下列说法正确的是（    ） A．点在圆内 B．圆关于直线对称 C．圆与圆外切 D．点在圆上，点在圆上，则的最大值为6 三、填空题 34．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆和圆存在公共点，写出的一个取值为 ． 35．（24-25高二·上海·课堂例题）圆与圆相交所得公共弦长为 ． 36．（24-25高二上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，已知点，点在圆上，且，则直线的方程为 ． 37．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知点，若圆上存在点M满足，则实数a的取值范围是 . 38．（24-25高二上·上海·课后作业）已知圆O：圆：，则下列结论正确的是 ． ①无论k取何值，圆心始终在直线上； ②若圆O与圆有公共点，则实数k的取值范围为； ③若圆O与圆的公共弦长为，则或； ④与两个圆都相切的直线叫做这两个圆的公切线，如果两个圆在公切线的同侧，则这条公切线叫做这两个圆的外公切线，当时，两圆的外公切线长为． 四、解答题 39．（23-24高二上·云南昭通·期末）已知圆和圆． (1)求证：圆和圆相交； (2)求圆与圆的公共弦所在直线的方程及公共弦的长． 40．（22-23高二上·江苏南通·期末）已知圆：上，圆：． (1)圆与圆交于点，，若，求圆的半径； (2)是否存在斜率为的直线，使以被圆截得的弦为直径的圆过点？若有，求出直线的方程，若不存在，说明理由． 41．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知圆：和圆：． (1)若圆与圆相交，求r的取值范围； (2)若直线l：与圆交于P、Q两点，且，求实数k的值． 42．（23-24高二上·北京西城·期中）已知圆与直线交于、两点，点为线段的中点，为坐标原点，直线的斜率为. (1)求的值及的面积； (2)若圆与轴交于两点，点是圆上异于的任意一点，直线、分别交于两点.当点变化时，以为直径的圆是否过圆内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3圆与圆的位置关系 【考点归纳】 · 考点一：判断圆与圆的位置关系 · 考点二：求圆的交点坐标 · 考点三：圆与圆的位置关系求参数范围 · 考点四：圆与圆的位置求圆的方程 · 考点五：圆的公共弦长问题（参数、弦长问题） · 考点六：圆的共切线问题 · 考点七：圆与圆位置关系的综合类问题 【知识梳理】 知识点一：两圆的位置关系及其判定 (1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1，r2的关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|< d<r1＋r2 d＝|r1－r2| d<|r1－r2| (2)代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)， 联立方程得 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 【题型归纳】 题型一：判断圆与圆的位置关系 1．（23-24高二上·浙江金华·期末）圆C：与圆的位置关系不可能（    ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 【答案】D 【分析】由题可得两圆半径与圆心，后由圆心距与两圆半径间关系可得答案. 【详解】由题可得圆C： ，则其圆心，半径为； 圆，则其圆心为，半径为. 则两圆圆心距为， 故两圆可能内含，内切，相交，不可能外切，外离. 故选：D 2．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知圆：，圆：，则两圆的位置关系为（   ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 【答案】B 【分析】将圆的方程化为标准方程，得各自的半径，圆心，结合圆心距满足的条件即可判断. 【详解】由题意圆：即圆：的圆心，半径分别为， 圆：即圆：的圆心，半径分别为， 所以两圆的圆心距满足， 所以两圆的位置关系为相交. 故选：B. 3．（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知圆：（，）与圆：，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．外离 D．与m的取值有关 【答案】C 【分析】求出两圆心距离，判断其与两圆半径和的大小即可得答案. 【详解】圆：， 即，圆心，半径， 圆：， 即，圆心，半径， 所以当时， 所以圆与圆的位置关系是外离. 故选：C. 题型二：求圆的交点坐标 4．（22-23高二上·辽宁丹东·期末）已知圆与圆交于A，B两点，则四边形的面积为（    ） A．12 B．6 C．24 D． 【答案】A 【分析】由两圆标准方程得圆心坐标和半径，由和可知，则四边形的面积，计算即可. 【详解】圆，圆心坐标为，半径， 圆化成标准方程为，圆心坐标为，半径， 圆与圆都过点，则，如图所示， 又，∴，由对称性可知，， ，，则四边形的面积. 故选：A 5．（21-22高二上·江苏南京·期中）平面直角坐标系xOy中，P为圆C1：上的动点，过点P引圆：的切线，切点为T，则满足的点P有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】设点的坐标为，根据切线长的性质求，由条件列方程求点的坐标即可. 【详解】设点的坐标为，则①， 由已知圆的圆心的坐标为，半径为1， 所以，， 因为，所以，化简可得②， 联立①②可得，或，所以点的坐标为或，故满足的点P有2个， 故选：C. 6．（23-24高三上·广东佛山·阶段练习）已知圆的圆心为，且经过圆：与圆：的交点．则圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立圆与圆的方程，解得两交点坐标，即可求得圆的半径，从而可得答案. 【详解】解：联立，解得：或， 所以圆的半径为：， 所以的面积为. 故选：B． 题型三：圆与圆的位置关系求参数范围 7．（24-25高二上·全国·课后作业）若圆与圆有且仅有一条公切线，则（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】C 【分析】公切线的条数确定两圆的位置关系，进而得到圆心距和两圆的半径之间的关系，计算即可. 【详解】由题意得，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 又两圆有且仅有一条公切线，则两圆的位置关系为内切，所以，即，解得． 故选：C. 8．（23-24高二上·山东日照·期末）若两圆：与：外离，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化圆方程为标准形式，方程表示圆以及圆心距满足的关系式即可列不等式求解. 【详解】由题意：即：，它的圆心半径分别为， ：即：，它的圆心半径分别为， 所以圆心距满足，解得， 所以. 故选：D. 9．（23-24高二上·广东·期末）若圆与圆恰有两个公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两圆的位置关系列不等式求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径. 因为恰有两个公共点,所以两圆相交，所以， 解得或，即的取值范围是. 故选：A 题型四：圆与圆的位置求圆的方程 10．（23-24高二上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，已知圆，圆.若圆心在轴上的圆同时平分圆和圆的圆周，则圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题知圆C与圆的公共弦是圆的直径，圆C与圆的公共弦是圆的直径，进而设圆C的圆心为，半径为得，再结合距离公式解方程即可得答案. 【详解】圆C平分圆C1等价于圆C与圆的公共弦是圆的直径． 同理圆C与圆的公共弦是圆的直径 设圆C的圆心为，半径为，则， 所以，即，解得 所以圆C的方程为． 故选：A 11．（22-23高二上·广西河池·阶段练习）已知动圆与圆外切，同时又与轴相切，则圆的圆心轨迹方程为（    ） A． B．和 C． D．和 【答案】D 【分析】 设动圆圆心为，半径为，则由题意可得化简可得答案. 【详解】 的圆心为，半径为2 设动圆圆心为，半径为， 由题意得，即 当时，化简得：，当时，化简得：， 故选：D. 12．（20-21高三下·陕西榆林·阶段练习）已知是半径为1的动圆上一点，为圆上一动点，过点作圆的切线，切点分别为，，则当取最大值时，△的外接圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设，确定的轨迹方程，结合已知可得，再根据切线的性质、勾股定理及面积法得到关于的关系式且△的外接圆以线段为直径，结合两圆的位置关系及其动点距离最值情况，写出外接圆的方程. 【详解】由，则动圆心的轨迹方程为. 为圆上的动点，又， ∴， ∵，，， ∴， ∴当最小时，最小，当最大时，最大. 当时，取最大值，△的外接圆以线段为直径，而中点，即中点为， ∴外接圆方程为，即.    故选：A 题型五：圆的公共弦长问题（参数、弦长问题） 13．（23-24高二下·贵州·阶段练习）已知圆与圆交于A，B两点，则（    ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【分析】求出两圆的公共弦所在直线方程，再求出弦长即可. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， ，圆与圆相交，两圆方程相减得直线：， 显然点在直线上，因此线段是圆的直径， 所以. 故选：C 14．（2024·江西宜春·模拟预测）圆与圆的公共弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出两圆的公共弦所在直线的方程，再求出圆心到公共弦的距离，由弦长即可求出两圆的公共弦长. 【详解】由，作差 得两圆的公共弦所在直线的方程为． 由，得． 所以圆心，半径， 则圆心到公共弦的距离． 所以两圆的公共弦长为． 故选：D． 15．（23-24高二上·福建莆田·期中）圆和圆的交点为A，B，则有（    ） A．公共弦AB所在直线方程为 B．公共弦AB的长为 C．线段AB中垂线方程为 D． 【答案】D 【分析】A选项，根据两圆的方程求公共弦所在直线的方程；B选项，利用勾股定理求弦长；C选项，根据圆的性质得到线段中垂线过圆心，然后求直线方程；D选项，利用余弦定理得到，即可得到. 【详解】 联立两圆的方程得到，即，所以公共弦所在的直线方程为，故A错； 由：得，半径，则到直线的距离，所以，故B错； 由直线的方程得线段中垂线的斜率为-2，根据圆的性质得线段中垂线过圆心，所以中垂线方程为：，即，故C错； 圆的方程可整理为，所以， 在三角形中，根据余弦定理得，所以，故D正确. 故选：D. 题型六：圆的共切线问题 16．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆和圆，则圆和圆的公切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先判断圆与圆的位置关系，再求解公切线条数即可. 【详解】我们将圆的一般方程化为标准方程，得到， 故它的圆心为，半径， 由题意得，半径， 则由两点间距离公式得， 故两圆圆心距为5，满足， 故两圆外切，圆和圆的公切线条数为3，故C正确. 故选：C 17．（23-24高三上·广西百色·阶段练习）圆，圆，则两圆的一条公切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由圆与圆位置关系的判断可知两圆外离，得公切线条数；根据两圆半径相同可确定两条公切线过，两条公切线平行于，假设公切线方程，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得公切线. 【详解】 由两圆方程得：圆心，，半径， 两圆圆心距，，即两圆外离，公切线共有条； 两圆半径相同，两圆两条公切线经过中点，两条公切线与平行， 经过中点的公切线斜率显然存在，可设为：， ，解得：或，即公切线方程为：或； ，与平行的公切线方程为，即， ，解得：，即公切线方程为或； 综上所述：两圆的公切线方程为：或或或. 故选：C. 18．（2023高二上·全国·专题练习）已知圆，圆，则下列不是，两圆公切线的直线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算两圆的圆心和半径，可得两圆相离，有四条公切线，两圆心坐标关于原点对称，则有两条切线过原点，另两条切线与直线平行且相距为1，数形结合可计算四条切线方程，结合选项，即得解 【详解】由题意，圆的圆心坐标为，半径为 圆的圆心坐标为，半径为 如图所示，两圆相离，有四条公切线.    两圆心坐标关于原点对称，则有两条切线过原点， 设切线，则圆心到直线的距离，解得或， 当时，切线方程为，A正确； 当时，切线方程为，即，B正确； 另两条切线与直线平行且相距为1，又由， 设切线，则，解得， 即切线方程分别为，； 整理可得两切线方程为和， 所以C正确，D不正确. 故选：D. 题型七：圆与圆位置关系的综合类问题 19．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知圆O：（）与圆C：有两个不同的交点D，E． (1)求r的取值范围； (2)若，求线段DE的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由圆的标准方程确定圆心和半径，结合圆与圆的位置关系即可求解； （2）根据勾股定理的逆定理可知为直角三角形，由可得，利用相似三角形的性质即可求解. 【详解】（1）由，得， 由，得， 又两圆相交，则，即， 所以； （2）∵，，， 有，则为直角三角形，如图，    又，所以，则， 得， ∴． 20．（23-24高二上·四川成都·期末）已知圆，圆，点为圆上的一点. (1)若过点作圆的切线交圆于、两点，且弦长度最大值与最小值之积为，求的值； (2)当时，圆上有、两点满足，求线段长度的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）画出图形，得出，进一步由三角形三边关系得出的最值，由此即可顺利得解. （2）由三角形三边关系、直角三角形性质可得关于的不等式，解不等式即可得解. 【详解】（1）    设中点为点，连接、、、， 由，得，则圆内含圆， 由垂径定理得：，，由切线可得， 可得（当且仅当直线为时都取等）， （当且仅当直线为时都取等）， 所以，于是，解得. （2）取中点，连接、、.    当时，和重合，由于，则， 而，， 则，解得：，当且仅当在线段上时取等， 所以的最大值为. 21．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知圆C：与圆：. (1)求C与相交所得公共弦长； (2)若过点且斜率为k的直线l与圆C交于P，Q两点，其中O为坐标原点，且，求 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意知，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程，求得圆心到该直线的距离d，利用弦长公式可求得所求弦长； （2）易知直线l的方程为，与圆C的方程联立，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，结合题意即可求得 【详解】（1）由题意知，两圆的公共弦所在直线方程为 整理得， 圆心到直线的距离， 所以所求弦长为； （2）由题设可知直线l的方程为， 设，， 将代入方程， 整理得， 所以，， ， 因为， 解得，经检验，直线与圆有交点， 所以直线l的方程为， 故圆心C在直线l上，所以 【高分演练】 一、单选题 22．（24-25高二上·全国）若圆与圆相切，则（    ） A．6 B．3或6 C．9 D．3或9 【答案】D 【分析】运用圆心距和两圆半径的关系判断位置关系，分内切外切讨论，计算即可 【详解】圆的圆心为、半径为，圆的圆心为、半径为3，则两圆的圆心距； 当圆与圆内切时，，解得； 当圆与圆外切时，，解得． 故选：D. 23．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆与圆交于两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两圆方程作差可得相交弦所在直线方程，利用垂径定理可求得结果. 【详解】两圆方程作差可得直线的方程为：，即； 由圆方程可得其圆心，半径， 到直线的距离，. 故选：B. 24．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆是与直线，圆都相切的半径最小的圆，则圆的半径和圆心坐标分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意做出垂线，得到垂线方程，后依据题意求出新圆的半径，再建立方程组求出圆心即可. 【详解】由题意得圆的标准方程为，所以半径为， 如图，过圆心作直线的垂线，由题意得垂线斜率为， 故设其方程为，将带入其中， 可得，解得，所以垂线方程为， 因为求半径最小的圆，所以圆的圆心在直线上， 而圆心到直线的距离为， 故圆的半径为， 设圆心，已知解得， 即圆心，故D正确. 故选：D 25．（24-25高二上·上海·课后作业）圆：与圆：的公切线有且仅有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【分析】将两圆方程化为标准方程，通过两圆的圆心距及半径关系，判断两圆的位置关系即可求解． 【详解】解：圆，则圆心，半径， 圆，则圆心，半径， 得两圆的圆心距为：， 则， 得两圆相交，得两圆的公切线有且仅有2条． 故选：B 26．（2024·山东·模拟预测）已知圆的圆心到直线的距离是，则圆与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相交 C．内切 D．内含 【答案】D 【分析】根据点到直线的距离公式求的值，再利用几何法判断两圆的位置关系. 【详解】圆：，所以圆心，半径为. 由点到直线距离公式得：，且，所以. 又圆的圆心，半径为：1. 所以，. 由，所以两圆内含. 故选：D 27．（23-24高二上·福建南平·期末）若圆与圆外切，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意外切条件等价于，进一步求圆弧上一点到定点的距离的范围即可求解. 【详解】两圆的方程分别为和，故外切条件等价于和之间的距离为，即. 记，，则点在轨迹上，所求的即为的取值范围. 由于，故， 且 ， 同时，上面的上界和下界分别在和时取到. 而是在一个连续的圆弧上，故上的值都可以取到，所以取值范围是. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：关键是将原问题转换为求圆弧上的点到定点的距离，由此即可顺利得解. 28．（23-24高二上·江苏常州·期末）已知圆和圆相交于两点，点是圆上任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取线段的中点，连接，将的取值范围问题转化为的范围问题，通过将圆的方程做差得到公共弦的方程，求出，结合圆的性质可得的范围. 【详解】圆，即，其圆心，半径， 圆，即，其圆心，半径， 取线段的中点，连接， 则， 将圆与圆的方程做差可得公共弦的方程为， 则， 则， 所以. 故选：B.    29．（23-24高二上·广东肇庆·期末）已知圆：（），圆：，若圆上存在点P关于直线的对称点Q在圆上，则r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得圆关于直线的对称圆，则圆与圆有交点，利用圆心距和半径的关系列式求解即可. 【详解】圆：, 方程化为，， 则圆心坐标为，半径为5, 设关于直线的对称点为， 则,解得， 则， 所以圆关于直线的对称圆方程为， ， 由题中条件可知，圆与圆有交点， ,, 则，即， 解得， 故选：D. 二、多选题 30．（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）已知直线与圆：和圆：都相切，则直线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】先明确两圆位置关系，从而根据两圆位置关系明确公切线的情况，再根据公切线特征情况分情况直接计算求解即可. 【详解】由题知，两圆半径， 所以， 故圆、外切，则两圆有三条公切线，如图，的中点为两圆外切切点， 当直线过的中点，且与垂直时， 因为，所以直线的方程为，即； 当直线与平行，且到的距离为时，设直线的方程为， 所以，解得或， 所以直线的方程为或． 故选：ABC． 31．（23-24高二下·河南·期中）已知圆，，则下列结论正确的有（    ） A．若圆和圆相交，则 B．若圆和圆外切，则 C．当时，圆和圆有且仅有一条公切线 D．当时，圆和圆相交弦长为 【答案】ABD 【分析】根据题意求圆心和半径.对于AB：根据圆与圆的位置关系分析求解；对于C：结合选项A分析判断；对于D：先两圆方程作差求公共弦所在直线的方程，结合垂径定理求弦长. 【详解】由题意可知：圆的圆心，半径； 圆的圆心，半径； 则， 对于选项A：若圆和圆相交，则， 即，解得，故A正确； 对于选项B：若和外切，则， 即，解得，故B正确； 对于选项C：当时，由选项A可知：圆和圆相交， 所以圆和圆有且仅有2条公切线，故C错误； 对于选项D：当时，由选项A可知：圆和圆相交， 且圆，， 两圆方程作差得，即公共弦所在直线的方程为， 圆心到直线的距离， 所以公共弦长为，故D正确. 故选：ABD 32．（22-23高二下·甘肃庆阳·期末）点在圆：上，点在圆：上，则（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为7 C．两个圆心所在的直线斜率为 D．两个圆相交弦所在直线的方程为 【答案】BC 【分析】先求出两个圆的圆心坐标和半径，根据圆心距可得两圆相离，从而求得两圆上动点的距离最值，计算直线斜率公式判断各个选项； 【详解】对于A、B选项：由题意得：，半径为1， ：，，半径为1， 圆心距为，又点在圆上，点在圆上， ，，故A错误，B正确； 对于C选项：两个圆心所在直线斜率为，C正确； 对于D选项：圆心距，所以无公共弦，D错误； 故选：BC． 33．（23-24高二上·河南郑州·期末）已知两圆：，：，则下列说法正确的是（    ） A．点在圆内 B．圆关于直线对称 C．圆与圆外切 D．点在圆上，点在圆上，则的最大值为6 【答案】BD 【分析】根据点与圆的位置关系判断A；圆的圆心在上，判断B；圆与圆位置关系判断判断C；根据圆与圆相内切，得到的最大值，判断D. 【详解】圆：，整理得，圆心为，半径为 对于A选项，由于点到圆圆心的距离为，故点在圆外，故A错误； 对于B选项，由于满足，故圆关于直线对称，故B正确； 对于C选项，由于圆：，圆心，半径为3，两圆圆心距为， 所以圆与圆内切，故C错误； 对于D选项，点在圆上，点在圆上，因为圆与圆内切， 所以的最大值为圆的直径6，故D正确， 故选：BD. 三、填空题 34．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆和圆存在公共点，写出的一个取值为 ． 【答案】5（答案不唯一，满足均可） 【分析】根据两圆的位置关系列式运算得解. 【详解】圆的圆心为，半径为1，圆的圆心为，半径为， 所以． 依题意， 故，解得， 所以可取为5． 故答案为：5（答案不唯一，均可）. 35．（24-25高二·上海·课堂例题）圆与圆相交所得公共弦长为 ． 【答案】 【分析】两圆方程作差得公共弦所在直线方程，利用点到直线的距离公式可得到直线的距离，最后由即可得解. 【详解】记圆，圆， 两个方程作差可得，， 所以两圆公共弦所在直线方程为， 圆心到直线的距离为， 所以公共弦长为. 故答案为：. 36．（24-25高二上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，已知点，点在圆上，且，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】由结合求得坐标，即可求解. 【详解】设，则， 整理可得，①， 又在圆上②， ①-②可得，③，即为两圆的公共弦方程，联立①③解得， 故，可得， 由斜截式可得直线的方程为． 故答案为： 37．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知点，若圆上存在点M满足，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意结合数量积的运算分析可知点的轨迹为以圆心，半径的圆，即圆与圆有公共点，结合两圆的位置关系分析求解. 【详解】由题意可知：圆的圆心，半径， 则，其中为坐标原点， 可得，则， 可知点的轨迹为以圆心，半径的圆， 由题意可知：圆与圆有公共点，则， 即，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 38．（24-25高二上·上海·课后作业）已知圆O：圆：，则下列结论正确的是 ． ①无论k取何值，圆心始终在直线上； ②若圆O与圆有公共点，则实数k的取值范围为； ③若圆O与圆的公共弦长为，则或； ④与两个圆都相切的直线叫做这两个圆的公切线，如果两个圆在公切线的同侧，则这条公切线叫做这两个圆的外公切线，当时，两圆的外公切线长为． 【答案】①③④ 【分析】求出圆Ck的圆心坐标即可判断①；根据两圆有公共点的条件求出的范围即可判断②；求出公共弦所在直线方程，结合公共弦长和垂径定理求出的值即可判断③；根据的值求出圆的半径，利用两圆的半径求出外公切线长即可判断④. 【详解】对于①，圆的圆心坐标为，在直线上，①正确； 对于②，若圆O与圆有公共点，则，即，解得或，②错误； 对于③，将圆O与圆的方程作差可得公共弦所在直线的方程为， 则圆心O到该直线的距离，则，解得或，③正确； 对于④，当时，圆心距为3，圆O与圆外切，半径差为1，则外公切线长为，④正确． 故答案为：①③④    四、解答题 39．（23-24高二上·云南昭通·期末）已知圆和圆． (1)求证：圆和圆相交； (2)求圆与圆的公共弦所在直线的方程及公共弦的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)公共弦方程为，公共弦的长为. 【分析】（1）根据圆的方程确定圆心、半径，由圆心距与半径和差的关系即可证； （2）两圆方程作差求公共弦方程，应用点线距离公式、几何法求公共弦的长. 【详解】（1）由题设，则， ，则， 所以，即圆和圆相交； （2）由（1）结论，将两圆方程作差得，即公共弦方程为， 又到的距离， 所以公共弦的长为. 40．（22-23高二上·江苏南通·期末）已知圆：上，圆：． (1)圆与圆交于点，，若，求圆的半径； (2)是否存在斜率为的直线，使以被圆截得的弦为直径的圆过点？若有，求出直线的方程，若不存在，说明理由． 【答案】(1)2 (2)存在， 【分析】（1）先利用两圆方程相减求得公共弦所在直线方程，进而利用弦长求得半径. （2）设直线方程为，，，与圆联立方程可得，，，得，由已知可得，进而可得，求解即可. 【详解】（1）因为圆：， 圆：， 所以两圆方程相减得直线方程为， 又， 所以圆心到直线距离为， 两圆心距离为， 所以圆心到距离为，解得，. （2）设直线方程为，，， 联立直线与圆消去得， 所以，， ，得， ， ， 因为被圆截得的弦为直径的圆过， 所以，， 所以， 即，解得， 所以存在斜率为的直线， 使以被圆截得的弦为直径的圆过点， 且直线方程为. 41．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知圆：和圆：． (1)若圆与圆相交，求r的取值范围； (2)若直线l：与圆交于P、Q两点，且，求实数k的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）先求出两圆的圆心和半径，然后由两圆相交，得，从而可求出r的取值范围； （2）设，，将直线方程代入圆方程化简，利用根与系数的关系，再结合列方程可求出实数k的值． 【详解】（1）圆：的标准方程为，则圆心，， 圆：的标准方程为，则圆心，， 所以． 因为圆与圆相交，所以， 即，解得， 所以r的取值范围为． （2）已知直线l：与圆交于P、Q两点， 设，，联立，得， 由，得， 所以， 所以，解得， 因为，所以． 42．（23-24高二上·北京西城·期中）已知圆与直线交于、两点，点为线段的中点，为坐标原点，直线的斜率为. (1)求的值及的面积； (2)若圆与轴交于两点，点是圆上异于的任意一点，直线、分别交于两点.当点变化时，以为直径的圆是否过圆内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先确定直线的方程，联立直线方程求得P点坐标，利用垂径定理及两直线垂直的斜率关系计算可得a，再根据点到直线的距离公式、弦长公式计算求面积即可； （2）设方程，含参表示方程，求出坐标，从而求出以为直径的圆的方程，利用待定系数法计算即可. 【详解】（1）由题知：直线方程为， 则由，得到，即， 点为线段的中点，， 即， ，即圆心； 到直线距离为， ， 又到直线的距离为，边上的高为. . （2）由上可知, 不妨设直线的方程为，其中， 在直线的方程中，令，可得， 因为，则直线的方程为， 在直线的方程中，令，可得，即点， 则线段的中点为，半径平方为， 所以，以线段为直径的圆的方程为， 即， 由，解得， 因此，当点变化时，以为直径的圆恒过圆内的定点.    2 学科网（北京）股份有限公司 $$