4.2.2指数函数的图象和性质(二)同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 这份同步练习通过“基础全面练”与“综合应用练”分层设计，基础层夯实指数函数概念与运算，综合层提升性质综合应用与逻辑推理能力，适配新授课知识巩固与核心素养培养需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础全面练|定义域、值域、奇偶性、单调性等基本概念，简单指数函数应用|选择、填空、解答题结合，如定义域求解（第1题）、单调性证明（第10题（2）），夯实基础，培养抽象能力| |综合应用练|函数性质综合、含参数问题、实际问题转化|结合奇偶性与单调性解不等式（第11题）、分类讨论求最值（第15题（2）），提升推理能力与应用意识|

　指数函数的图象和性质(二) (时间:45分钟　分值:90分) 【基础全面练】 1.(5分)(2025·太原高一检测)函数f(x)=+的定义域为 (　　) A.(2,3)∪(3,+∞) B.[2,3)∪(3,+∞) C.(-2,3)∪(3,+∞) D.[-2,3)∪(3,+∞) 2.(5分)已知函数f(x)=3x,x≤,则f(x)的值域为 (　　) A.(0,]　 B.(-∞,] C.[,+∞)　 D.R 3.(5分)已知函数f(x)=3x-()x,则f(x) (　　) A.是奇函数,且在R上是增函数 B.是偶函数,且在R上是增函数 C.是奇函数,且在R上是减函数 D.是偶函数,且在R上是减函数 4.(5分)一种药物在病人血液中的量低于80 mg时病人就有危险,现给某病人静脉注射这种药物10 000 mg,如果药物在血液中以每小时80%的比例衰减,那么应再向病人的血液中补充这种药物不能超过的最长时间为 (　　) A.1.5个小时 B.2个小时 C.2.5个小时 D.3个小时 5.(5分)(多选)下列函数中,最小值为2的是 (　　) A.f(x)=x2+2x+3 B.g(x)=πx+π-x C.h(x)=3x+2 D.m(x)=2|x|+1 6.(5分)(2026·嘉定高一检测)已知函数f(x)=ex-1-e1-x+2x,则不等式f(x2-4)+f(2-3x)≤4的解集为 (　　). A.[-1,4] B.[-4,1] C.(-∞,-1]∪[4,+∞) D.(-∞,-4]∪[1,+∞) 7.(5分)函数y=的定义域是　　.  8.(5分)(2025·浦东高一检测)已知指数函数y=ax(a>0,且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大6,则实数a=　　.  9.(5分)函数f(x)=的单调递增区间是　　.  10.(10分)已知函数f(x)=. (1)求f[f(0)+4]的值; (2)求证:f(x)在R上是增函数; (3)解不等式:0<f(x-2)<. 【综合应用练】 11.(5分)已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=ax-a-x+2(a>0,且a≠1).若g(2)=a,则f(2)= (　　) A.2 B. C. D.a2 12.(5分)已知函数f(x)为R上的奇函数,当x<0时,f(x)=2x-,则f(x)<0的解集为 (　　) A.(-3,0)∪(0,3) B.(-3,3) C.(-∞,-3)∪(0,3) D.(-∞,-3)∪(3,+∞) 13.(5分)(2025·扬州高一检测)已知a>0,且a≠1,若函数f(x)=在R上有最小值,则a的取值范围为　　.  14.(10分)求下列函数的定义域、值域: (1)y=;(2)y=4x-2x+1 . 15.(10分)(2025·乌鲁木齐高一检测)已知函数f(x)=2x,x∈R. (1)解方程:f(2x)-f(x+1)=8; (2)设a∈R,求函数g(x)=f(x)+a·4x在区间[0,1]上的最大值M(a)的解析式. 　 答案解析 【基础全面练】 1.(5分)(2025·太原高一检测)函数f(x)=+的定义域为 (　　) A.(2,3)∪(3,+∞) B.[2,3)∪(3,+∞) C.(-2,3)∪(3,+∞) D.[-2,3)∪(3,+∞) 【解析】选D.由题意知解得x≥-2且x≠3,所以f(x)的定义域为[-2,3)∪(3,+∞). 2.(5分)已知函数f(x)=3x,x≤,则f(x)的值域为 (　　) A.(0,]　 B.(-∞,] C.[,+∞)　 D.R 【解析】选A.函数f(x)=3x在(-∞,]上单调递增,则0<f(x)≤f()=,所以f(x)的值域为(0,]. 3.(5分)已知函数f(x)=3x-()x,则f(x) (　　) A.是奇函数,且在R上是增函数 B.是偶函数,且在R上是增函数 C.是奇函数,且在R上是减函数 D.是偶函数,且在R上是减函数 【解析】选A.f(x)的定义域为R,f(-x)=-3x=-f(x),则f(x)为奇函数. y=3x为增函数,y=()x为减函数,则f(x)=3x-()x为增函数. 4.(5分)一种药物在病人血液中的量低于80 mg时病人就有危险,现给某病人静脉注射这种药物10 000 mg,如果药物在血液中以每小时80%的比例衰减,那么应再向病人的血液中补充这种药物不能超过的最长时间为 (　　) A.1.5个小时 B.2个小时 C.2.5个小时 D.3个小时 【解析】选D.设不能超过的最长时间为x个小时,有10 000(1-0.8)x≥80,即0.2x≥0.008,解得x≤3,即不能超过的最长时间为3个小时. 5.(5分)(多选)下列函数中,最小值为2的是 (　　) A.f(x)=x2+2x+3 B.g(x)=πx+π-x C.h(x)=3x+2 D.m(x)=2|x|+1 【解析】选ABD.f(x)=x2+2x+3=(x+1)2+2≥2,当x=-1时,等号成立,故A正确; g(x)=πx+π-x=πx+≥2,当且仅当x=0时,等号成立,故B正确; h(x)=3x+2,由于3x>0,所以h(x)>2,故C错误; m(x)=2|x|+1≥20+1=2,当且仅当x=0时,等号成立,故D正确. 6.(5分)(2026·嘉定高一检测)已知函数f(x)=ex-1-e1-x+2x,则不等式f(x2-4)+f(2-3x)≤4的解集为 (　　). A.[-1,4] B.[-4,1] C.(-∞,-1]∪[4,+∞) D.(-∞,-4]∪[1,+∞) 【解析】选A.由题意得函数f(x)的定义域为R, 因为y=ex-1是增函数,y=e1-x是减函数,y=2x是增函数, 所以f(x)=ex-1-e1-x+2x在R上单调递增. 因为f(1+x)+f(1-x)=e1+x-1-e1-(1+x)+2(1+x)+e1-x-1-e1-(1-x)+2(1-x)=4, 所以其图象关于点(1,2)对称,即有f(x)+f(2-x)=4,即f(2-x)=4-f(x). 由f(x2-4)+f(2-3x)≤4得f(x2-4)≤4-f(2-3x),即f(x2-4)≤f(2-(2-3x)), 即f(x2-4)≤f(3x),所以x2-4≤3x,解得-1≤x≤4. 即原不等式的解集为[-1,4]. 7.(5分)函数y=的定义域是　[4,+∞)　.  【解析】由题意得2x-1-8≥0,即2x-1≥8=23,所以x-1≥3,解得x≥4. 8.(5分)(2025·浦东高一检测)已知指数函数y=ax(a>0,且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大6,则实数a=　3　.  【解析】当a>1时,函数y=ax在区间[1,2]上单调递增,ymax=a2,ymin=a, 因为最大值比最小值大6,所以a2-a=6,解得a=3或a=-2(舍); 当0<a<1时,函数y=ax在区间[1,2]上单调递减,ymax=a,ymin=a2, 所以a-a2=6,此时方程无解,即a不存在. 9.(5分)函数f(x)=的单调递增区间是　(-,+∞)　.  【解析】令t=-2x2-x+1, 由二次函数单调性可知,t=-2x2-x+1在区间(-,+∞)上单调递减,又y=是减函数, 由复合函数的单调性知,f(x)=的单调递增区间为(-,+∞). 10.(10分)已知函数f(x)=. (1)求f[f(0)+4]的值; 【解析】(1)因为f(0)==0,所以f[f(0)+4]=f(0+4)=f(4)=. (2)求证:f(x)在R上是增函数; 【解析】(2)设x1,x2∈R且x1<x2,则>>0,->0,所以f(x2)-f(x1)=->0,即f(x1)<f(x2),所以f(x)在R上是增函数. (3)解不等式:0<f(x-2)<. 【解析】(3)由0<f(x-2)<得f(0)<f(x-2)<f(4),又f(x)在R上是增函数,所以0<x-2<4,即2<x<6, 所以不等式的解集是{x|2<x<6}. 【综合应用练】 11.(5分)已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=ax-a-x+2(a>0,且a≠1).若g(2)=a,则f(2)= (　　) A.2 B. C. D.a2 【解析】选B.因为f(x)是奇函数,g(x)是偶函数, 所以由f(x)+g(x)=ax-a-x+2,① 得-f(x)+g(x)=a-x-ax+2,② ①+②,得g(x)=2,①-②,得f(x)=ax-a-x. 又g(2)=a,所以a=2,所以f(x)=2x-2-x,所以f(2)=22-2-2=. 12.(5分)已知函数f(x)为R上的奇函数,当x<0时,f(x)=2x-,则f(x)<0的解集为 (　　) A.(-3,0)∪(0,3) B.(-3,3) C.(-∞,-3)∪(0,3) D.(-∞,-3)∪(3,+∞) 【解析】选C.因为函数f(x)为R上的奇函数,当x<0时,f(x)=2x-, 则当x>0时,-x<0,有f(x)=-f(-x)=-(2-x-)=-2-x. 显然f(0)=0,不等式f(x)<0转化为或,解得x<-3或0<x<3, 所以不等式f(x)<0的解集为(-∞,-3)∪(0,3). 13.(5分)(2025·扬州高一检测)已知a>0,且a≠1,若函数f(x)=在R上有最小值,则a的取值范围为　(0,1)　.  【解析】因为函数f(x)=在R上有最小值,所以y=ax在(-∞,2]上有最小值,则y=ax在(-∞,2]上单调递减,得0<a<1,此时a2<1<22=4,则当0<a<1时,f(x)有最小值a2. 14.(10分)求下列函数的定义域、值域: (1)y=;(2)y=4x-2x+1 . 【解析】(1)由题意得,函数的定义域为R. y==1-, 因为3x>0,所以1+3x>1,所以0<<1,所以-1<-<0, 所以0<1-<1 ,即函数的值域为(0,1). (2)由题意得,函数的定义域为R . y=(2x)2-2x+1=(2x-)2+,因为2x>0,所以当2x=, 即x=-1 时,y 取得最小值,所以函数的值域为[,+∞) . 15.(10分)(2025·乌鲁木齐高一检测)已知函数f(x)=2x,x∈R. (1)解方程:f(2x)-f(x+1)=8; 【解析】(1)所给的方程即(2x)2-2·2x-8=0, 可得2x=4或2x=-2(舍去),所以x=2. (2)设a∈R,求函数g(x)=f(x)+a·4x在区间[0,1]上的最大值M(a)的解析式. 【解析】(2)由于g(x)=2x+a·4x=2x+a·(2x)2,x∈[0,1], 令t=2x,则t∈[1,2], ①当a=0时,g(x)=2x,则M(a)=2; ②当a≠0时,令h(t)=at2+t=a(t+)2-, 若a>0,则M(a)=h(2)=4a+2, 若a<0,当0<-<1,即a<-时,M(a)=h(1)=a+1, 当->2,即-<a<0时,M(a)=h(2)=4a+2, 当1≤-≤2,即-≤a≤-时,M(a)=h(-)=-, 综上,M(a)=. 学科网（北京）股份有限公司 $