4.2.2指数函数的图象和性质同步练--2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 同步练习以指数函数图象和性质为核心，通过基础巩固、中档提升、综合应用三层设计，实现从单一概念到实际情境应用的递进，适配新授课知识内化与数学思维培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|定义、单调性、对称性|单选与多选结合，直接考查概念（如单调性判断）| |中档|参数问题、分类讨论|填空与选择结合，综合应用性质（如最值分类讨论）| |综合|图象绘制、实际建模|解答题递进，培养几何直观与应用意识（如实际情境举例）|

课时作业29　指数函数的图象和性质 一、选择题 1．(多选)指数函数①f(x)＝ax；②g(x)＝bx且满足a>b>0，则它们可能的图象为(　　) 2．已知函数f(x)＝a－x(a＞0，且a≠1)，且f(－2)＞f(－3)，则a的取值范围是(　　) A．a＞0 B．a＞1 C．a＜1 D．0＜a＜1 3．已知a＝，b＝20.3，c＝0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是(　　) A．b>c>a B．b>a>c C．a>b>c D．c>b>a 4．(多选)下列说法正确的是(　　) A．函数y＝3x与y＝()x的图象关于y轴对称 B．函数y＝3x与y＝()x的图象关于x轴对称 C．函数y＝3x与y＝－()x的图象关于原点对称 D．函数y＝3x与y＝－3x的图象关于x轴对称 5．若函数f(x)＝ax－b(a>0且a≠1)的图象经过第一、二、三象限，则(　　) A．0<ab<1 B．0<ba<1 C．ab>1 D．ba>1 6．(多选)若f(x)＝3x＋1，则(　　) A．f(x)在[－1，1]上单调递增 B．y＝3x＋1与y＝()x＋1的图象关于y轴对称 C．f(x)的图象过点(0，1) D．f(x)的值域为[1，＋∞) 7．已知函数f(x)＝在(－∞，＋∞)上对任意的x1≠x2都有>0成立，则实数a的取值范围是(　　) A. B． C．(1,2) D．(0，＋∞) 8．函数y＝在[－6,6]上的图象大致为(　　) 9．函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大，则a等于(　　) A. B．或 C.或 D．2 10．已知函数f(x)＝x－4＋，x∈(0,4)，当x＝a时，f(x)取得最小值b，则函数g(x)＝a|x＋b|的图象为(　　) 二、填空题 11．已知函数f(x)＝，则不等式f(a)<f(3a－1)的解集为________． 12．若指数函数f(x)的图象过点(－2,4)，则f(3)＝；不等式f(x)＋f(－x)<的解集为 ． 13．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝ . 14．指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)过点(－2,9)，则f(x)＝ ，若f(2m－1)－f(m＋3)<0，则实数m的取值范围为 ． 三、解答题 15．画出函数y＝()|x-1|的图象，并根据图象写出函数的单调区间及值域． 16．已知函数y＝b＋ax2＋2x(a，b是常数，且a>0，a≠1)在区间上有ymax＝3，ymin＝，试求a，b的值． 17．已知四个函数f(x)＝2x，g(x)＝x，h(x)＝3x，p(x)＝x，其中y＝f(x)，y＝g(x)的图象如图所示． (1)请在坐标系中画出y＝h(x)，y＝p(x)的图象，并根据这四个函数的图象总结出指数函数具有哪些性质？ (2)举出在实际情境中能够抽象出指数函数的一个例子并说明理由． 18．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)． (1)若f(x)的图象如图(1)所示，求a，b的值； (2)若f(x)的图象如图(2)所示，求a，b的取值范围； (3)在(1)中，若|f(x)|＝m有且仅有一个实数根，求出m的取值范围． 课时作业29　指数函数的图象和性质 (答案) 一、选择题 1．(多选)指数函数①f(x)＝ax；②g(x)＝bx且满足a>b>0，则它们可能的图象为(　　) 解析：据指数函数图象性质，a>b>1时选A， 1>a>b>0时选D，a>1>b时图象如图． 答案：AD 2．已知函数f(x)＝a－x(a＞0，且a≠1)，且f(－2)＞f(－3)，则a的取值范围是(　　) A．a＞0 B．a＞1 C．a＜1 D．0＜a＜1 解析：因为－2＞－3，f(－2)＞f(－3)，所以f(x)为增函数．又f(x)＝a－x＝()x，所以＞1，所以0＜a＜1. 答案：D 3．已知a＝，b＝20.3，c＝0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是(　　) A．b>c>a B．b>a>c C．a>b>c D．c>b>a 解析：a＝＝0.30.5. ∵f(x)＝0.3x在R上单调递减， ∴0.30.5<0.30.2<0.30⇒a<c<1. 又b＝20.3>20＝1，∴a<c<b，故选A. 答案：A 4．(多选)下列说法正确的是(　　) A．函数y＝3x与y＝()x的图象关于y轴对称 B．函数y＝3x与y＝()x的图象关于x轴对称 C．函数y＝3x与y＝－()x的图象关于原点对称 D．函数y＝3x与y＝－3x的图象关于x轴对称 解析：函数y＝ax与y＝()x＝a－x的图象关于y轴对称，函数y＝ax与y＝－ax的图象关于x轴对称，函数y＝ax与y＝－()x的图象关于原点对称，故B错误． 答案：ACD 5．若函数f(x)＝ax－b(a>0且a≠1)的图象经过第一、二、三象限，则(　　) A．0<ab<1 B．0<ba<1 C．ab>1 D．ba>1 解析：因为函数f(x)＝ax－b(a>0且a≠1)的图象经过第一、二、三象限，所以a>1，f(0)＝1－b∈(0，1)⇒0<b<1，所以y＝ax是增函数，y＝bx是减函数， 则ab>a0＝1，0<ba<b1<1. 答案：BC 6．(多选)若f(x)＝3x＋1，则(　　) A．f(x)在[－1，1]上单调递增 B．y＝3x＋1与y＝()x＋1的图象关于y轴对称 C．f(x)的图象过点(0，1) D．f(x)的值域为[1，＋∞) 解析：f(x)＝3x＋1在R上单调递增，则A正确；y＝3x＋1与y＝3－x＋1的图象关于y轴对称，则B正确；由f(0)＝2，得f(x)的图象过点(0，2)，则C错误；由3x>0，可得f(x)>1，则D错误．故选A、B. 答案：AB 7．已知函数f(x)＝在(－∞，＋∞)上对任意的x1≠x2都有>0成立，则实数a的取值范围是(　　) A. B． C．(1,2) D．(0，＋∞) 解析：因为函数f(x)在R上对任意的x1≠x2都有>0成立，所以函数f(x)是R上的增函数，所以函数f(x)满足解得≤a<2. 答案：B 8．函数y＝在[－6,6]上的图象大致为(　　) 解析：因为f(x)＝，所以f(－x)＝＝－f(x)，且x∈[－6,6]，所以函数y＝为奇函数，排除C；当x>0时，f(x)＝>0恒成立，排除D；因为f(4)＝＝＝≈7.97，排除A. 答案：B 9．函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大，则a等于(　　) A. B．或 C.或 D．2 解析：当a>1时，函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)在区间[1,2]上是增函数，由题意可得a2－a＝，∴a＝.当0<a<1时，函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)在区间[1,2]上是减函数，由题意可得a－a2＝，解得a＝.综上，a的值为或.故选B. 10．已知函数f(x)＝x－4＋，x∈(0,4)，当x＝a时，f(x)取得最小值b，则函数g(x)＝a|x＋b|的图象为(　A　) 解析：∵x∈(0,4)，∴x＋1>1， ∴f(x)＝x－4＋＝x＋1＋－5 ≥2－5＝1， 当且仅当x＝2时取等号，此时f(x)取得最小值1，∴a＝2，b＝1， 则g(x)＝2|x＋1|＝ 函数g(x)的图象可以看成由函数y＝的图象向左平移1个单位长度得到，结合选项可知A正确． 答案：A 二、填空题 11．已知函数f(x)＝，则不等式f(a)<f(3a－1)的解集为________． 解析：因为f(x)＝ 当x<0时f(x)＝－3x＋3函数单调递减，且f(x)>－3×0＋3＝3， 当x≥0时f(x)＝e－x＋1函数单调递减，且f(0)＝e0＋1＝2<3，所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递减， 所以不等式f(a)<f(3a－1)等价于a>3a－1， 解得a<.即不等式的解集为(－∞，). 答案：(－∞，) 12．若指数函数f(x)的图象过点(－2,4)，则f(3)＝；不等式f(x)＋f(－x)<的解集为 ． 解析：设指数函数为y＝ax，则a－2＝4，解得a＝，所以f(x)＝x，f(3)＝，f(x)＋f(－x)<，即x＋－x<，解得x∈(－1,1)． 答案：(－1,1)． 13．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝ . 解析：①当0<a<1时，函数f(x)在[－1,0]上单调递减， 由题意可得 即解得此时a＋b＝－. ②当a>1时，函数f(x)在[－1,0]上单调递增，由题意可得即 显然无解．所以a＋b＝－. 答案：－. 14．指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)过点(－2,9)，则f(x)＝ ，若f(2m－1)－f(m＋3)<0，则实数m的取值范围为 ． 解析：将点(－2,9)代入f(x)＝ax得a－2＝9，解得a＝，所以f(x)＝()x； 因为f(2m－1)－f(m＋3)<0， 所以f(2m－1)<f(m＋3)， 因为f(x)＝()x为减函数， 所以2m－1>m＋3，解得m>4， 所以实数m的取值范围为(4，＋∞)． 答案：()x；(4，＋∞)． 三、解答题 15．画出函数y＝()|x-1|的图象，并根据图象写出函数的单调区间及值域． 解：因为函数y＝()|x|是偶函数， 先画出y＝()x(x≥0)的图象，再作出其关于y轴对称的图象，即得y＝()|x|的图象，再向右平移1个单位得到y＝()|x-1|的图象，如图所示．由图象可知，函数y＝()|x-1|在(－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减，其值域是(0，1]. 16．已知函数y＝b＋ax2＋2x(a，b是常数，且a>0，a≠1)在区间上有ymax＝3，ymin＝，试求a，b的值． 解：令t＝x2＋2x＝(x＋1)2－1， 因为x∈，所以t∈[－1,0]． ①若a>1，函数y＝b＋at在[－1,0]上为增函数，所以当t＝－1时，y取到最小值， 即b＋＝，① 当t＝0时，y取到最大值， 即b＋1＝3，② 联立①②得方程组解得 ②若0<a<1，函数y＝b＋at在[－1,0]上为减函数， 由题意得解得 综上，所求a，b的值为或 17．已知四个函数f(x)＝2x，g(x)＝x，h(x)＝3x，p(x)＝x，其中y＝f(x)，y＝g(x)的图象如图所示． (1)请在坐标系中画出y＝h(x)，y＝p(x)的图象，并根据这四个函数的图象总结出指数函数具有哪些性质？ (2)举出在实际情境中能够抽象出指数函数的一个例子并说明理由． 解：(1)画出y＝h(x)，y＝p(x)的图象如图所示． 4个函数都是y＝ax(a>0，且a≠1)的形式，它们的性质包括： ①定义域为R. ②值域为(0，＋∞)． ③都过定点(0,1)． ④当a>1时，函数在定义域内单调递增； 当0<a<1时，函数在定义域内单调递减． ⑤当a>1时，若x<0，则0<y<1，若x>0， 则y>1； 当0<a<1时，若x>0，则0<y<1，若x<0， 则y>1. ⑥对于函数y＝ax(a>0，且a≠1)，y＝bx(b>0，且b≠1)，当a>b>1时，若x<0，则0<ax<bx<1；若x＝0，则ax＝bx＝1；若x>0，则ax>bx>1. 当0<a<b<1时，若x<0，则ax>bx>1；若x＝0，则ax＝bx＝1；若x>0，则0<ax<bx<1. (2)答案不唯一．举例：细胞分裂的规则是细胞由一个分裂成2个，这两个细胞分裂成4个….理由：若原来有1个细胞，经过x次分裂，细胞个数为y，则y＝2x是一个指数函数． 18．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)． (1)若f(x)的图象如图(1)所示，求a，b的值； (2)若f(x)的图象如图(2)所示，求a，b的取值范围； (3)在(1)中，若|f(x)|＝m有且仅有一个实数根，求出m的取值范围． 解：(1)由题图可知f(x)的图象过点(2,0)，(0，－2)，所以 又因为a>0且a≠1，所以a＝，b＝－3. (2)由题图可知f(x)单调递减， 所以0<a<1，又f(0)<0， 即a0＋b<0，所以b<－1. (3)画出|f(x)|＝|()x－3|的图象如图所示，要使|f(x)|＝m有且仅有一个实数根，则m＝0或m≥3. 学科网（北京）股份有限公司 $