1.5 全称量词与存在量词(含误区7、8)-【重难点手册】2026-2027学年高中数学必修第一册（人教A版）浙江专用

第一章集合与常用逻辑用语么出 1.5全称量词与存在量词 重点和难点 课标要求 重点：全称量词和存在量词的意义；使用存在量词对全称 通过本节的学习，学生要在理解全称量词与存 量词命题进行否定，使用全称量词对存在量词命题 在量词的意义的基础上，正确地使用存在量词对全 进行否定 称量词命题进行否定，使用全称量词对存在量词命 难点：判定全称量词命题和存在量词命题的真假，正确地 题进行否定，认识到全称量词命题的否定是存在量词 写出含有一个量词的全称量词命题和存在量词命 命题和存在量词命题的否定是全称量词命题的规律 题的否定」 01一必备知识梳理。 基础梳理 知识点1全称量词与全称量词命题 冒敲黑板订 全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称 1.全称量词所表示的数量 量词，并用符号“V”表示 可能是有限的，也可能是无限 全称量词命题：含有全称量词的命题，叫作全称量词命题」 的.如“所有的属于集合A={1, 3}或集合B={2,4}的元素构成 符号语言：通常，将含有变量x的语句用(x),q(x),r(x),… 了集合AUB={1,2,3,4}”,其 表示，变量x的取值范围用M表示.那么，全称量词命题“对M 中全称量词“所有的”只含有4个 中任意一个x,p(x)成立”可用符号简记为“Hx∈M,b(x)”. 元素；“所有的属于集合A= [注意]全称量词命题就是陈述某集合所有元素都具有某种 {x|-1≤x≤1}或集合B={x| 1≤x≤3}的元素构成了集合 性质的命题，有些命题省去全称量词，但仍为全称量词命题.如 AUB={x|-1≤x≤3}”，其中 “正方形都是矩形”省去了全称量词“所有的”. “所有的”是指集合{x一1≤ 知识点2存在量词与存在量词命题 x≤3}中的无数个数， 存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作 2.一个全称量词命题通常 存在量词，用符号“3”表示， 可以有多种不同的等价叙述方 式.例如，命题“对任意的实数 存在量词命题：含有存在量词的命题，叫作存在量词命题， x,x2是非负数”可以叙述为 符号语言：存在量词命题“存在M中的元素x,使p(x)成立” “对所有的（或对任意一个，或 可用符号简记为“3x∈M,p(x)”. 对每一个)实数x,x2是非 [注意](1)常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个” 负数” “对某些”“有的”等。 3.一个全称量词命题可以 包含多个变量.例如，对任意 (2)含有存在量词“存在”“有一个”等，或虽没有写出存在量 x∈R,y∈R,都有(x十y)(x- 词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题，都是存在量词 y)>0. 命题 33 重避点手册高中数学必修第一册（上）RUA(浙江专用) (3)同一个全称量词命题、存在量词命题，由于自然语言的不 同，可以有不同的表述方法.现列表总结如下： 全称量词命题 存在量词命题 “Vx∈M,p(x)” “]x∈M,p(x)” ①对所有的x∈M,p(x)成立 ①存在x∈M,使p(x)成立 表 ②对一切的x∈M,p(x)成立 ②至少有一个x∈M,使p(x)成立 述 ③对每一个x∈M,p(x)成立 ③对有些x∈M,p(x)成立 法 ④任选一个x∈M,p(x)成立 ④对某个x∈M,p(x)成立 ⑤凡x∈M,都有p(x)成立 ⑤有一个x∈M,使p(x)成立 同敲黑板习 重难拓展 全称命题：Hx∈M,p(x) 重难点1含有一个量词命题的否定 的否定为：3x∈M,7p(x). 命题 Vx∈M,p(x) 3x∈M,p(x) 这里的研究对象的集合M不 命题的否定 3x∈M,p(x) Hx∈M,p(x) 变，只是把“V”改成“了” 全称量词命题的否定是存在 存在量词命题的否定是全称 例如：Hx∈{x|1<x< 结论 量词命题 量词命题 3},x2-5x十4>0的否定是： 3x∈{x|1<x<3},x2 注：通常，我们用符号“一p(x)”表示“p(x)不成立”. 5x十4≤0，而不是：3x任{x 例①写出下列命题的否定 1<x<3},x2-5.x+4≤0. (1)Vx∈R,2x+4≥0.(2)3x,y∈N,2x+y=10. P记方法7 解析(1)这是一个全称量词命题，其否定为存在量词命题， 写全称量词命题与存在 即3x∈R,2x+4<0. 量词命题的否定的思路 (2)这是一个存在量词命题，其否定为全称量词命题， 在写全称量词命题与存在 即Hx,y∈N,2x+y≠10. 量词命题的否定时，一定要抓 例2写出下列命题的否定. 住决定命题性质的量词，从量 (1)所有的矩形都是平行四边形. 词入手来写命题的否定.全称 (2)有些实数的绝对值是正数. 量词命题的否定是存在量词命 点拨(1)是全称量词命题，(2)是存在量词命题， 题，存在量词命题的否定是全 解析(1)的否定是：存在一个矩形不是平行四边形. 称量词命题. (2)的否定是：任何实数的绝对值都不是正数或Hx∈R,|x≤0. 口-02关键能幼提升。 题型方法 是真命题，需要对集合M中每个元素x,证明 题型1全称量词命题与存在量词命题真假 p(x)都成立.如果在集合M中找到一个元素 的判断 x,使得(x)不成立，那么这个全称量词命题 1.要判定全称量词命题“Hx∈M,p(x)” 就是假命题 34 第一章集合与常用逻辑用语么出型 2.要判定存在量词命题“3x∈M,p(x)” 解析(1)由于全称量词“每一个”的否定为“存 是真命题，只需在集合M中找到一个元素x, 在一个”，因此，一：存在一个素数不是奇数，是真命题 使p(x)成立即可.如果在集合M中，使(x) (2)由于存在量词“有些”的否定为“所有”，因此， 成立的元素x不存在，那么这个存在量词命题 一p:所有实数的绝对值都不是正数，是假命题， 就是假命题 (3)由于存在量词“某些”的否定为“每一个”，因 例3判断下列命题的真假. 此，一p:每一个平行四边形都不是菱形，是假命题， (1)在平面直角坐标系中，任意有序实数 点评全称量词命题与存在量词命题之所以有 对(x,y)都对应一点P. 区别，是因为构成这两种命题的量词不同，可以发现， (2)每一条线段的长度都能用正有理数来 全称量词与存在量词正好构成了意义相反的表述， 表示 如：“对所有…都成立”与“至少有一个…不成 (3)存在一个实数x,使得x2十x+8=0 立”，“都有”与“不都有”等 成立 ◆变式1写出下列命题的否定，并判断其 (4)Vx∈{x|1<x<3},x2-5x-1<0. 真假. 解析(1)是真命题， （1)p:xeR,x2-x+4≥0， (2)是假命题.如边长为1的正方形，其对角线的 (2)q:所有的正方形都是矩形 长度为√2，不能用正有理数表示. (3)r:3a,b∈R,a2+ab+b2<0. (3)是假命题.因为方程x2十x十8=0的判别式 (4)s:至少有一个实数x,使x3十1=0. △=一31<0，故方程无实数解 (4)是真命题. 题型3全称量词命题与存在量词命题中的 方法一当x=1时，有1-5-1<0. 含参问题 当x=3时，有9-15-1<0. 例5已知p:Hx∈R,x2+2x+a≥0， 又抛物线y=x2一5x-1开口向上，由图象知对 q:x∈R,x2十2ax十2-a=0.若p和q都是 于1<x<3,都有x2-5x-1<0. 真命题，则实数a的取值范围为(). 方法二由x2-5x-1=0,得x=5±y2四 A.{aa≤-2或a=1}》 2 B.{aa≤-2或1≤a≤2} .x2-5.x-1<0的解集为x 5-29<x< 2 C.{aa≥1} D.{a|-2≤a≤1} 5+√/29 2 点拨已知p,9都是真命题，先将p,9对应的 x5-y四<5+y2 又{x1<x<3C{x2 参数范围求出来，再求交集即可，对于卫，表示函数 2 y=x2+2x十a的图象在x轴上方（包括顶点在x轴 ∴原命题为真命题 上的情况)，只需△≤0；对于q,表示方程x2十2ax十 题型2含有一个量词命题的否定 2-a=0有解，即△≥0. 例④写出下列命题的否定，并判断其真假 解析已知p为真命题，且y=x2十2x十a的 (1)p:每一个素数都是奇数 图象开口向上，对x∈R,有x2十2x十a≥0，即y的图 (2)p:有些实数的绝对值是正数， 象与x轴有1个交点或没有交点，即△=b2一4ac= (3)p:某些平行四边形是菱形. 4一4a≤0，所以a≥1.已知q为真命题，即x2+2ax十 35 重避点手册高中数学必修第一册（上）RUA(浙江专用) 2-a=0有实数根，则△=(2a)2-4×1×(2-a)≥ 方法二 p:Hx∈{x|1<x<4},x2-4x 0,解得a≤-2或a≥1.因为p和q都是真命题，所 2-a≤0. 以a≥1，即实数a的取值范围为{aa≥1. 设y=x2-4x-2-a. 答案C ,抛物线y=x2-4x一2-a的开口向上， 例6若对于一切x∈R且x≠0，都有|x|> .当p为真命题时，有x=1时，y≤0，x=4 ax,求实数a的取值范围. 1-4-2-a≤0， 时，y≤0，即 解标若>0，由1z>ax得a<-1; 16-4X4-2-a≤0， ∴a≥-2. 若x<0,由x>ax得a>工=-1. 所以当7p为假命题，即p为真命题时，有a<一2. 若对于一切x∈R且x≠0，都有x|>a.x, [点评全称量词“V”表示任意一个，指的是在指 则实数a的取值范围是{a|一1<a<1}. 定范围内的恒成立问题，而存在量词“]”表示存在一 ◆变式2若命题“]x∈R,使得x2十mx十 个，指的是在指定范围内的有解问题.求参数取值范 2m一3<0”为假命题，则实数m的取值范围是 围是一类重要的题型，通常利用分离参数法或判别式 法求解。 例7已知命题：“]x∈{x1<x<4}使 易错警示 得不等式x2一4x-2-a>0成立”是真命题， 求实数a的取值范围. ●易错题7（错误率25%）已知命题饣： [解析方法一由题设知x2-4x-2一a>0在 存在一个实数x,使得x2一x一2<0，那么 x∈{x|1<x<4}上有解. p为 由x2-4x-2-a>0得2+a<x2-4x. ●易错题8（错误率37%）写出下列命 .2十a<x2-4x在x∈{x1<x<4}上有解， 题的否定， ∴.2十a<(x2-4x)max (1)能被5整除的数，末位是0. 又x2-4x=(x-2)2-4,x∈{xl1<x<4. ∴.当x=4时，(x2-4x)mx=0, (2)能被3整除的数，也能被4整除 .2+a<0,.a<-2. 参考答案见《全书易错题集》第2页 03一核心泰养聚焦一。 考向分类 D.一p和一g都是真命题 考向1全称量词命题与存在量词命题真假 解析对于力而言，取x=一1，则有x十1=0< 的判断 1,故p是假命题，一p是真命题，对于q而言，取x= 例8(2024·全国Ⅱ卷)已知命题：Hx∈ 1,则有x3=13=1=x,故g是真命题，g是假命题. R,x+1>1;命题q:3x>0,x3=x,则( 综上所述，一p和q都是真命题. A.p和g都是真命题 [答案B B.一p和g都是真命题 例⑨（经典·江西卷）下列叙述中正确的 C.p和一q都是真命题 是(). 36 第一章集合与常用逻辑用语么出 A.若a,b,c∈R,则“ax2+bx十c≥0”的 B.Hx∈R,Hn∈N*,使得n<x2 充分条件是“b2一4ac≤0” C.]x∈R,]n∈N*,使得n<x2 B.若a,b,c∈R,则“ab2>cb2”的充要条 D.3x∈R,Hn∈N*,使得n<x2 件是“a>c” 解桥将“V”改写为“了”，“了”改写为“V”,再 C.命题“对任意x∈R,有x2≥0”的否定 否定结论可得，命题的否定为“]x∈R,Hn∈N,使 是“存在x∈R,有x2≥0” 得n<x2” D.l是一条直线，Q,B是两个不同的平面， [答案D 若l⊥a,l⊥3，则a3 回归教材教材P29例3 解析由b2-4ac≤0推不出ax2十bx十c≥0， 常考题型 选填题难度系数0.9 高考热度 ★★ 所以A不正确；当b2=0时，由a>c推不出ab2> 核心素养 逻辑推理 素养水平水平 cb2,所以B不正确；“对任意x∈R,有x2≥0”的否定 是“存在x∈R,使x2<0”,所以C不正确；易知D正 真题演练 确（此部分内容为后面将要学习的知识）」 1.(经典·全国I卷，考向2)设命题p: 答案D 3n∈N,n2>2",则p为(). A.Hn∈N,n2>2mB.3n∈N,n2≤2 回归教材教材P31习题1.5第1、3题 C.Hn∈N,n2≤2mD.3n∈N,n2=2m 常考题型选填题难度系数0.8高考热度 ★★ 2.(经典·重庆卷，考向2)命题“对任意 核心素养 逻辑推理 素养水平水平 x∈R,都有x2≥0”的否定为(). 考向2含有量词命题的否定 A.存在xo∈R,使得x品<0 例10（经典·浙江卷）命题“Hx∈R, B.对任意x∈R,都有x2<0 3n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是( ) C.存在xo∈R,使得x≥0 A.Hx∈R,]n∈N*,使得n<x2 D.不存在x∈R,使得x2<0 37案不唯一) (3)若a=-5,显然M∩P={x|-5≤x<-3或5< x≤8}，则a=-5是M∩P={x|5<x≤8}的一个必 要不充分条件.如图，结合数轴可知α<一3时符合题 意，则实数a的取值范围可以是{aa<一3).（答案不 唯一) 8之 8.(1)当a=2时，集合A={x0≤x≤3}， 则CuA={x|x<0或x>3}, 所以(CuA)∩B={x|-6≤x<0或3<x≤4. (2)由“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件， 得A为B的真子集，显然A≠0， 则-22-6，或a-2>-6, 或 a+1<4 a+14, 解得一4a≤3，故实数a的取值范围为一4≤a≤3. C拓展拔高练 1.AD提示：对于A,当a=2时，B={0,-2,一1}，此时 C(B)=3,故A正确. 对于B,当a=0时，B={0},此时C(B)=1,故B错误 对于C,当a=0时，B={0},此时C(B)=1,A={0, -1},所以C(A)=2,所以A*B=1; 当A￥B=1时，因为C(A)=2,所以C(B)=1或3， a=0, 若C(B)=1,满足 解得a=0;若C(B) 4=a2-4<0, =3,因为方程x2+a.x=0的两个根x1=0,x2=一a 都不是方程x2十ax十1=0的根，所以需满足 a≠0， 解得a=土2，所以“a=0”是“AB= △=a2-4=0, 1”的充分不必要条件，故C错误。 对于D,因为C(A)=2,要A￥B=1,所以C(B)=1 或3，由C可知a=0或a=±2，所以S={0,2,-2}, 所以C(S)=3,故D正确， 2.(1)S(A)={0,1,2,3,4},T(A)={0,1,2,3,4} （2)充分性：若x2一x1=x3一x2=…=xn一xm-1, 设x2一x1=x3-x2=…=xn一xn-1=d>0, 则x2=x1十d,x3=x2十d=x1十2d,…, xn=xm-1十d=…=x1+(n-l)d,n∈N*, .Vi,j∈N',1≤i≤j≤n,x:十x,=2x1+(i+j-2)d, 而i十j的取值有2,3,4，·，2n共(2n一1)个值， .S(A)={a+bla∈A,b∈A}={x:+x|x:∈A,x;∈ A}有2m-1个元素，即d(S(A)=2n-1, 10 必要性：若d(S(A))=2n一1. 由题意知2x1<x1十x2<2x2<x2十x3<<2xw-1< xm-1十xn<2xn, ∴.(2n-1)个值2x1,x1十x2,2x2,x2十x3,…,2xm-1, xm-1十xn,2xn∈S(A), .S(A)={2x1,x1十x2,2x2,x2十x3,…,2xn-1xn-1十 In,2xn1. 又x:十x+1<x:十x+2<x+1十x+2, 且集合S(A)中元素x:十x+1与x+1十x+2之间只 有一个元素2x+1,∴.x:十x+2=2x+1, …x+2-x+1=x+1一x,i∈{1,2,3，…，n-2}, x2一x1=xg一x2=…=xn一xn-1 1.5全称量词与存在量词 变式训练答案 [变式1】()p:3x∈R,x2-x十<0.假命题 (2)一q:至少存在一个正方形不是矩形.假命题. (3)r:Ha,b∈R,a2+ab+b2≥0.真命题. (4)s:Hx∈R,x3十1≠0.假命题. [变式2]2≤m≤6.提示：命题“3x∈R,使得x2十 mx十2m-3<0”的否定为“Hx∈R,使得x2+mx+ 2m-3≥0”， 因为命题“3x∈R,使得x2十mx十2m一3<0”为假命题， 则“Vx∈R,使得x2十mx十2m-3>0”为真命题， 所以△=m2-4(2m-3)≤0，解得2≤m≤6， 则实数m的取值范围是2m≤≤6. 真题演练答案 1.C提示：命题p是一个存在量词命题，其否定是全称 量词命题“Vn∈N,n2≤2m”. 2.A提示：根据定义可知命题的否定为“存在xo∈R,使 得x<0” 1.5.1全称量词与存在量词 练习册答案 A学考过关练 1.C2.A 3.AB提示：易知A,B为真命题，C中，由于a-b=2n 3n=一n,所以对于任意的n∈N,都有a<b,即a≠ b,故C为假命题；D中，由A={aa=2n,n∈N"}, B={bb=3,n∈N*},得6∈A,且6∈B,故D为假 命题 4.3x<0,使得(1+x)(1-9x)2>0. 5.存在量词命题；假；Vx∈R,x2十2x十5≥0；真.正解，“a≤x≤a2十1"是“-2x≤5”的充分不必要条件， .{x|a≤x≤a2+1}{x|-2≤x≤5. 又a2+1-a=(a-2)°+>0， ∴a2+1>a恒成立. /≥-2， 但等号不能同时成立. a2+1≤5， a≥-2， 由 得-2≤a≤2. a2+1≤5 当a=-2时，a≤x≤a2+1等价于-2≤x≤5，不符 合题意； 当a=2时，a≤x≤a2十1等价于2≤x≤5，符合题意. .-2a2. 答案-2<a≤2. 易错探因由于本题是充分不必要条件，所以容易误认 为等号都不能取 误区7混淆含有量词的命题的否定 易错题7（错误率25%）已知命题p:存在一个实数x, 使得x2-x-2<0,那么p为 正解7p:对任意的实数x,都有x2一x一2≥0. 易错探因本题易产生如下错解： 错解一：一p为“存在一个实数x,使得x2一x一2≥0” 错解二：一卫为“对任意的实数x,都有x2一x一2<0” 错解三：一p为“Hx任R,使得x2-x一2≥0” 该命题是存在量词命题，其否定应是全称量词命题，错 解一得到的一力仍是存在量词命题，显然只对结论进 行了否定，而没有将存在量词改为全称量词；错解二只 将存在量词改为全称量词，而没有对结论进行否定；错 解三对命题的适用范围也进行了否定. 误区8忽略命题中隐含的量词 易错题8（错误率37%）写出下列命题的否定. (1)能被5整除的数，末位是0. (2)能被3整除的数，也能被4整除 正解(1)省略了全称量词“任意一个”，命题的否定为 “有些可以被5整除的数，末位不是0”， (2)省略了全称量词“所有”，命题的否定为“存在一个 能被3整除的数，不能被4整除” 2 易错探因本题容易犯的错误是忽略命题中隐含的量 词，例如常会误认为命题(1)的否定是“能被5整除的 数，末位不是0”；误认为命题(2)的否定是“能被3整除 的数不能被4整除”.它们忽略了(1)(2)都属于全称量 词命题，其否定不能只否定结论 误区9误用不等式的性质 易错题9（错误率30%）已知1≤a-b≤2且2≤a十b≤ 4,求4a一2b的取值范围， 正解令a十b=4,a-b=o,则2≤μ≤4,1≤o≤2. a=Ltv a十b=, 2 由 整理得 a-b=, b=u-v 21 4a-2%=4.-2.2=2g十20十=4十30. 2 2≤μ≤4,3≤3u≤6， .5+3w10,即5≤4a-2b≤10， ∴.4a-2b的取值范围为5≤4a-2b≤10. 易错探因同向不等式的两边可以相加减，但是这种转 化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转 化，就有可能扩大所求代数式的取值范围.所以选用不 等式的性质求解代数式的取值范围时务必小心谨慎. 误区10忽略不等式的性质成立的条件 易错题10（错误率42%)给出下列命题： ①若a<b,<0,则后<分： ②若ac-3>bc-3,则a>b; ③若a>b且k∈N*,则a>b; ④若c>a>6>0则”。>6 其中正确命题的序号是 正解当a6<0时，行<分不成立，故①不正确： 当c<0时，a<b,故②不正确； 当a=1,b=一2，k=2时，命题不成立，故③不正确； a>b>0→-a<-b<0→0<c-a<c-b, 两边同乘以。-ae-得0<士。亡。 1