1.1 集合的概念(含误区1、2)-【重难点手册】2026-2027学年高中数学必修第一册（人教A版）浙江专用

第一章集合与常用逻辑用语 1.1集合的概念 重点和难点 课标要求 重点：元素与集合的“属于”关系，用符号语 通过本节的学习，学生要在了解集合含义的基础上，会用符号语 言刻画集合 言刻画集合，并能判断元素与集合之间的关系 难点：用描述法表示集合， 01一必备知识梳理。 基础梳理 知识点1集合与元素的概念 1.元素与集合的概念 同敲黑板 一般地，我们把研究对象统称为元素，通常用小写拉丁字母 判断一个“全体”是集合的方法 a,b,c,…表示. 集合是数学中最基本的概 把一些元素组成的总体叫作集合（简称为集），通常用大写拉 念，它表示某些确定的元素组 成的总体.这是一个抽象的概 丁字母A,B,C,…表示 念，不是一个明确的、具体的定 2.对集合与元素概念的理解 义，所以对于集合，我们只能判 (1)描述性：“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面 断某个对象“是”或“不是”集合 几何中的“点”“线”“面”等概念一样都只是描述性的说明。 的元素，有什么特征，而不能定 (2)整体性：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含 义集合具体是什么。 义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的总体 判断一个“全体”是否能构 (3)广泛性：组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式，也 成一个集合，关键是看组成这 可以是人或物等 个“全体”的对象是否确定，例 [注意]尽管组成集合的对象具有广泛性，但并不是所有对 如，“我国著名的演员”不能构 成一个集合，因为“著名”难以 象都能组成集合，只有具有确定性的对象才能组成集合 界定，但是“获得过百花奖的演 3.元素与集合的关系 员”能构成一个集合 元素与集合有“属于”和“不属于”两种关系.如果a是集合A 中的元素，就说a属于集合A,记作a∈A;如果a不是集合A中 的元素，就说a不属于集合A,记作a:A. 4.集合的分类 根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集.当 集合中元素的个数有限时，称之为有限集；当集合中元素的个数 无限时，称之为无限集！ 1 重滩点手册高中数学必修第一册（上）UA(浙江专用) 知识点2集合中元素的特性 集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性 特性 含义 示例 作为一个集合的元素，必须是确定的，给 确定性 集合A={1,2,3},则 定一个集合，任何一个对象是不是这个集 1∈A,4度A 合的元素也就确定了 对于一个给定的集合，集合中的元素一定集合{x,x2一x}中的 互异性 是不同的（或者说是互异的），相同的对象归x应满足x≠x2一x, 入同一集合时只能算作集合的一个元素 即x≠0且x≠2 集合{1,0}和{0,1}是 无序性 构成集合的元素无先后顺序之分 同一个集合 知识点3集合的表示方法 1.集合的两种基本表示方法 习作比铰 (1)列举法 N,N,N+的区别 含义：把集合中的所有元素一一列举出来，并用花括号 1.N为非负整数集（即自 “{}”括起来表示集合的方法称为列举法 然数集)，N*或N+表示正整数 集，不同之处就是N包括O,而 优点：方便、快捷，集合中的元素一目了然。 N或N+不包括O. 缺点：不易看出元素所具有的属性，且有些集合是不能用列 2.N和N+的含义是一样 举法表示的，如2x一3>0的解集 的，初学者往往误记为N或 (2)描述法 N,为避免出错，对于N和 含义：一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有 N+,可形象地记为“星星(*)在 共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)},这 天上，十字架（十）在地下” 种表示集合的方法称为描述法， 优点：语言简洁，元素的规律与性质能清楚地表示出来， 缺点：比较抽象，不易看出集合中的具体元素。 2.常用数集的记法 集合 符号 非负整数集（自然数集） N 正整数集 N*或N 整数集 Z 有理数集 0 实数集 R 2 第一章集合与常用逻辑用语么出型 重难拓展 重难点1元素与集合关系的判断 1.a∈A与a庄A取决于a是否为集合A中的元素.元素a 与集合A,在a∈A与aA这两种情况中必有一种且只有一种 卫提个醒 元素与集合的区别 成立 元素和集合是两个完全不 2.符号“∈”“”只能用在元素与集合之间，表示元素与集合 同的概念，元素是集合中的某 之间的从属关系 一对象，而集合是由所有的元 例①（多选）设所有被4除余数为k(k=0,1,2,3)的整数组 素组成的」 成的集合为A,即A={x|x=4n十，n∈Z},则下列结论中正 元素与集合是相对的，如a 确的是( 与{a}的区别，{a}表示的是一 A.2023∈A3 个集合，a是集合{a}中的一个 元素.例如，0与{0}是不同的，0 B.-1∈A3 表示数字0，{0}表示由数字0 C.a∈Ak,b∈A6,则a-b∈Ao 组成的集合.集合有时也可以 D.a十b∈A3,则a∈A1,b∈A2 作为元素，如集合{a),{b}》中， 解析根据题意，A。中的元素是被4除余数为k的数，因此对于A, {a}只表示其中的一个元素. 2023=4×505十3，故A正确；对于B,-1=4×(-1)十3，故B正确；对于 C,a=4n十k,b=4n'十k,故a一b=4(n-n)十0，故C正确；对于D,举一 个反例即可，如a=2,b=1,则a十b=3,有a十b∈A3,但是a∈A2,b∈ A1,故D错误. [答案ABC 重难点2描述法和列举法的区分 描述法和列举法是集合常用的两种表现形式.两种表示具有 卫提个醒7 自己的特点，要注意区别.对于描述法，一看代表元素(“|”前的内 1.列举法与描述法的表现 容)，二看代表元素的属性(“|”后的内容)， 形式不一样.如例2中的①②③ 例2指出下列集合的含义：①{xy=x2+1};②{y|y= 是描述法，④是列举法」 2用描述法表示集合时， x2+1};③{(x,y)|y=x2+1};④{y=x2十1}. 一定要先分析代表元素所具有 解析上述集合的含义如下表所示： 的性质，如例2中的①②；还要 集合 集合的含义 注意区别数集和点集的不同， 如例2中的①③. {xly=x2+1} 表示函数y=x2+1所有自变量的取值组成的集合 {yly=x2+1} 表示函数y=x2+1所有函数值组成的集合 {(x,y)ly=x2+1) 表示函数y=x2十1图象上所有的点组成的集合 集合中只有一个元素，即y=x2十1，表示集合的方法是列 {y=x2+1} 举法 3 重难点手册高中数学必修第一册（上）尺UA(浙江专用) 口02关健能幼提。 题型方法 则x=一2，一1,0,1,2，故集合A用列举法表示 题型1集合中元素特性的应用 为{(-2,3)，(-1,0)，(0，-1)，(1,0)，(2,3)}. (3)集合B中的元素x是自然数.当x=0,1,3,7 例③(2026·浙江萧山中学高一阶段练 8 习)已知集合M={a,2a-1,2a2-1},若1∈ 时，1十z=8,4,2,1,故集合B可用列举法表示为 M,则M中所有元素之和为 {0,1,3,7}. [点拨根据1∈M,依次令M={a,2a-1, (4)分别取k的值为…，一2，一1,0,1,2，…，则对 2a2一1}中的三个元素分别等于1，根据集合中元素的 互异性作出取舍，求得结果. 应的x的值分别为，—票一是一号子一量 11335 [解析若a=1,则2a-1=1,矛盾；若2a-1= 4’4’444 1,则a=1,矛盾，故2a2-1=1,解得a=1(舍去)或 a=-1,故M={-1,-3,1},元素之和为-3. [答案-3. 点评用列举法表示无限集合，列举时必须呈现 [点评利用元素与集合的关系求参数时，易忽视 出集合元素所具有的规律，剩下的元素才能用省略号 检验这个环节，导致有的参数值违背了集合中元素的 表示 互异性 例⑤(2026·浙江金华一中高一检测)用 ●变式1设集合A={2,3,a2+2a-3}, 描述法表示下列集合： 集合B={|a十3|，2}，已知5∈A,且5庄B,则 x2+y2=1, (1)方程组 的解集， 实数a的值为 y=2x 题型2集合的表示 (2) 12345 3’45’67 例④用列举法表示下列集合： x2+y2=2, (3)正偶数集 (1)方程组 的解集 (4)被3除余2的正整数集合. x-y=0 (2)集合A={(x,y)y=x2-1,|x|≤2， (5)平面直角坐标系中坐标轴上点的集合. x∈Z}. (6){1,22,32,42,…. ③)集合B=∈N.l∈N (④集合D=女-26生，a∈Z: (2)可表示为z红m十2n∈N且n x=一1， (3)可表示为{x|x=2n,n∈N*}.偶数用式子可 解析(1)方程组的解为 或 故解 y=1 y=-1. 表示为x=2n,n∈Z,但此处x为正偶数，故x=2n, 集为{(-1，-1)，(1,1). n∈N. (2)集合A是点集，这些点是在曲线y=x2一1 (4)可表示为{xx=3n十2，n∈N}.设被3除余 上，且满足|x≤2，x∈Z的点. 2的数为x,则x=3n十2，n∈Z,但元素x为正整数， 4 第一章集合与常用逻辑用语么出 故x=3n+2,n∈N,也可以写成x=3n-1,n∈N, 解析(1)x1=一√2=0十(-1)×√2， 注意此时n从1开始. 0,-1∈Z,.x1∈A. (5)可表示为{(xy)川xy=0}.此集合是点集，坐 标轴上，点(x,y)的特征是横、纵坐标中至少有一个为 12+2-1+×6, 2= 2一√2 2 0,即xy=0. (6)可表示为{xx=n2,n∈N*.规律为正整数 1∈z,2gZ,∴xgA. 的平方，故x=n2,n∈N,也可以写成x=(n十1)2， x3=(1-22)2=9-4√2=9+(-4)X√2， n∈N,或写成x=(n-1)2,n∈N且n≥2. 9,-4∈Z,.x3∈A. 题型3元素与集合的关系 (2),x1x2∈A, 例⑥下列选项是集合A={(x,y)x= .可设x1=m1十√2n1,x2=m2十√2n2, 且m1,n1,m2,n2∈Z, 3y=年，k∈Z中的元素的是( kk ∴.x1x2=(m1十√2n1)(m2+√2n2） AG,》 R后引 =m1m2+√2(m2n1十m1n2)+2n1n2 =(m1m2+2n1n2)+√2(m2n1+m1n2). C.(3,4) D.(4,3) .'m1m2+2n1n2∈Z,m2n1+m1n2∈Z, 官的由x-专y-章得长=3江=∈乙。 .x1x2∈A. 1 3 对于A,当x=3y=4时，得=1≠3，不满足题意. 例日数集M满足条件：若a∈M,则∈ 对于B,音x=号y=时，得6=2≠3，不满足题意 M(a≠±1，a≠0) Γ4 (1)若3∈M,求集合M中一定存在的 对于C,当x=3,y=4时，得=9≠16，不满足题意. 元素 对于D,当x=4,y=3时，得k=12=12,满足题意. (2)集合M内的元素能否只有一个？请 答案D 说明理由. 例7已知集合A={xlx=m+√2n,m, (3)请写出集合M中的元素个数的所有 n∈Z. 可能值，并说明理由 (1)试分别判断x1=一2，x 2-√2 醇们(1)向3∈M,令a=3,则向复忘可得智 x3=(1-2√2)2与集合A的关系. 3M 1+(-》 (2)设x1,x2∈A,求证：x1x2∈A, 1-（ 2 ∈M,而 [点拨]解决本题的关键在于准确把握集合的元 素所具有的共同特征，如何准确把握呢？将符号语言 1十2 一3 “x=m十√2n,m,n∈Z”转化为自然语言“x为一个整 1 12 数与另一个整数的√2倍的和”.于是要判断某元素是否 在集合A中，只需看该元素经过恒等变换后能否转化为 集合M中一定存在的元素有3，一2，号号 这一形式 (2)不能.理由如下： 5 重难点手册高中数学必修第一册（上）RUA(浙江专用) 复设M中只有一个元素a,则由a法台，化简 +c,则( ). A.d∈M B.d∈N 得a2=-1,无解， C.d∈P D.以上都不对 ∴.M中不可能只有一个元素 (3)M中的元素个数为4n,n∈N*,理由如下： 题型4集合与一元二次方程 由已知条件a∈M,则a∈M(a≠士1，a≠0)， 例9(2026·福建厦门高一质量检测)已 1-a 知集合A={x∈Rax2+2x+1=0,a∈R. 以此类推可得集合M中可能出现的4个元素分别为 (1)若A中只有一个元素，求a的值. ,1十a_1a-1 a1-a’-a'a+ (2)若A中至多有一个元素，求a的取值 41+a 范围。 由(2)得a≠1-a' 解析(1)当a=0时，原方程变为2x十1=0， 若a化简得a=L,无解 即x=-1 ,符合题意； 故a≠一1， 当a≠0时，由△=0得a=1,此时x=一1. .若A中只有一个元素，则a的值为0或1. 若a=a1 一a+,化简得a2=-1,无解， (2)方法一当a≠0时，A中至多含有一个元 故a≠Q二1 素，即方程ax2十2x十1=0有两个相等的实根或没有 a十1 实根。 ,化简得a2=一1，无解， 由△=4-4a≤0，得a≥1： a 当a=0时，由(1)知方程有唯一解. 日 a ∴.若A中至多有一个元素，则a≥1或a=0,即 若1十a=a-1 -a-a十1，化简得a2=-1,无解， a的取值范围是{aa=0或a≥1}. 方法二由(1)可知，若A中只有一个元素，则a 故+0≠0-1 =0或a=1; 1-aa+1 若A中没有元素，即方程ax2十2x+1=0没有 若日-司化简得公=-1无解， 实根， .∴.△=4-4a<0, a+1 ∴.a>1. 1+a1a-1 综上可得，a。,aa十两两互不相等， ∴.若A中至多有一个元素，则a≥1或a=0. 故实数a的取值范围是{aa=0或a≥l}. ∴.若集合M中有一个元素a,则集合M中一定 记方法 移在的无素有告一日号音a取不问的值 判断形如a.x2十bx十c=0的方程的实根个数 时，集合M中将出现不同组别的4个元素 的方法： .可得出集合M中元素的个数为4n,n∈N*. (1)当a=0时，原方程可化为bx十c=0的形 ●变式2已知集合M={x|x=3n,n∈ 式，再根据b,c的取值讨论方程根的个数. Z),N=(xx=3n+1,nEZ),P=(xx=3n (2)当a≠0时，需根据△的值与0的大小关系 来确定方程根的个数」 -1,n∈Z且a∈M,b∈N,c∈P,设d=a-b 6 第一章集合与常用逻辑用语 ①若△=b2-4ac>0,则方程有两个不相等的 素之和为6，故选D. 实根； (2)若a和b一奇一偶，则ab=18,满足此条件的 ②若△=b2一4ac=0,则方程有两个相等的实 有1×18=2×9=3×6，故数对(a,b)有6个： 根（此时集合中只能是一个元素）； 若a和b同奇偶，则a十b=18,满足此条件的有 ③若△=b2-4ac<0,则方程无实根， 0+18=1+17=2+16=3+15=4+14=…=17+1 =18十0，故数对(a,b)有19个. ◆变式3若集合A={x|(k+2)x2+2kx 所以满足条件的元素个数为6+19=25. 十1=0}有且仅有一个元素，则实数k的值为 (). 答案(1)D(2)B A.-2 B.士2或-1 ◆变式4对于任意非空集合A,B,定义A C.2或-1 D.-2或-1 +B={a十bla∈A,b∈B.若S=T={-2, 题型5集合的新定义问题 0,1},则S+T= (用列举法表示)》 例10(1)定义集合运算：A*B={≈|x 易错警示 xy,x∈A,y∈B.设A={1,2},B={0,2}, ●易错题1（错误率30%）已知集合A 则集合AB中的所有元素之和为( 是由a-2,2a2+5a,12三个元素组成的集 A.0 B.2 C.3 D.6 合，且一3∈A,则实数a的值为( (2)对于任意两个自然数m,n,定义某种 A.-1 运算如下：当m,n都为奇数或偶数时，m⑧n =m十n;当m,n中一个为偶数，另一个为奇数 C.-1或-3 D-1或多 时，m⑧m=mn.则在此定义下，集合M={(a, b)a☒b=18,a∈N,b∈N}中的元素的个数 ●易错题2（错误率41%）若集合A= 为() {x|mx2十2x十2=0}中有两个元素，则实数 A.26 B.25 C.24 D.23 m的取值范围为 [解析(1)依题意，A*B={0,2,4},其所有元 参考答案见《全书易错题集》第1页 03核心泰养聚焦。 考向分类 集合Q,显然只有元素1满足条件，即M={1}. 考向1集合概念的应用 答案A 例1①(2023·上海卷)已知集合P={1, 教材P2集合中元素的特征、集合相等的 回归教材 2},Q={2,3},若M={xx∈P且xQ},则 拓展应用 M=( ). 常考题型选填题难度系数0.6 高考热度★★ A.{1} B.{2) 核心素养 逻辑推理 素养水平水平二 C.{3} D.{1,2,3} 考向2集合中元素的个数 解析集合M中的元素属于集合P,但不属于 例12（经典·全国Ⅱ卷）已知集合A= 1 重难点手册高中数学必修第一册（上）RUA(浙江专用) {(x,y)|x2+y2≤3，x∈Z,y∈Z},则A中元 解析方法一(x,y,z)∈S,则x,y,之的大 素的个数为(). 小关系有3种情况，同理，（之，w,x)∈S,则之，w,x的 A.9 B.8 C.5 D.4 大小关系也有3种情况，如图所示.由图可知x,y,w, 解析桐由x2+y2≤3知，-√3≤x≤5，一3≤ 之的大小关系有4种可能，均符合(y,之，)∈S, y≤W3.又x∈Z,y∈Z,所以x∈{-1,0,1}，y∈ (x,y,w)∈S x<y<z {-1,0,1},所以A={(-1,-1),(-1,0),(-1,1), x,y,z)∈S <YK<W (0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1)},所以 z<I<y <x<y A中元素的个数为9. Y<W<I Ay<z<w< +w<x<之 [答案A （z,w,x)∈S Az<W<I<y AI<2<W 回归教材教材P3、P4列举法和描述法的拓展应用 方法二（特例排除法）不妨令x=2,y=3,之= 常考题型选填题难度系数0.9高考热度 ★★ 4,w=1,则(y,2,w)=(3,4,1)∈S,(x,y,w)= 核心素养 数学运算 素养水平水平二 (2,3,1)∈S. 考向3集合的新定义问题 [答案B 例13（经典·广东卷）设整数n≥4，集 回归教材 教材P4描述法的拓展应用 合X={1,2,3,…,n.令集合S={(x,y,z) 常考题型 选填题难度系数0.5高考热度 ★★ x,y,z∈X,且三个条件x<y<z,y<之<x, 核心素养 数学抽象 素养水平水平三 之<x<y中恰有一个成立.若(x,y,z)和（之， 真题演练 ,x)都在S中，则下列选项正确的是(). 1.(经典·全国Ⅲ卷改编，考向2)已知集 A.（y,z,)∈S,(x,y,)tS 合A={(x,y)|x,y∈N*,y≥x},B={(x, B.(y,之，w)∈S,(x,y,w)∈S y)x十y=8},则集合A与集合B的所有公共 C.(y,之，)tS,(x,y,w)∈S 元素的个数为(). D.(y,z,w)4S,(x,y,w)S A.2 B.3 C.4 D.6 8误区1忽略集合中元素的互异性 易错题1（错误率30%）已知集合A是由a-2,2a2+ 5a,12三个元素组成的集合，且-3∈A,则实数a的值 为() A.-1 C.-1或-3 D.-1或-2 3 正解因为-3∈A,所以a-2=-3或2a2+5a=-3, 解得a=-1或a=-是 当a=-1时，a-2=-3,2a2+5a=-3,不满足元素 的互异性： 当a=一 时，a-2=-子，2a2+5a=-3,符合 题意 所以a=一多》 答案B 易错探因本题易忽略集合中元素的互异性，在解得α 的值后要代回检验。 误区2忽略对二次项系数的讨论 易错题2（错误率41%）若集合A={xmx2十2x十2=0} 中有两个元素，则实数的取值范围为 正解由题意得m≠0且△=22-4m×2>0, 解得m<号且m≠0， 答案m<分且m≠0 易错探因忽略对二次项系数的讨论，直接使用判别式 误区3没有验证取值范围的边界处 易错题3（错误率36%）已知集合A={x|x≥4或x< -5},B={xla+1≤x≤a+3,a∈R}.若B二A,则a 的取值范围为 正解利用数轴法表示B二A,如图所示. BA A a+1a+3-5 0 4 A A B -5 0 4a+1a+3z 则a+3<-5或a+1≥4，解得a<一8或a≥3. 答案{aa<-8或a≥3. 易错探因求解过程中容易忽略等号能否成立，得到 a十3-5或a十1≥4，解得a≤-8或a≥3. 事实上，在求出a≤一8或a≥3后也可以直接将端点 值回代，看是否符合题意，进而进行适当取舍即可.当 a=一8时，不符合题意，舍去；当a=3时，符合题意， 故正确结果应为{aa<一8或a≥3}. 误区4忽略空集的特殊性 易错题4（错误率35%）已知A={x∈R|x<一2或 x>3},B={x∈Ra≤x2a-1}.若AUB=A,求实 数a的取值范围， 正解.AUB=A,∴.B二A a≤2a-1,a≤2a-1, ①当B≠⑦时， 或 解得a>3; 2a-1<-2l3<a, ②当B=☑时，由a>2a-1,解得a<1. 综上所述，实数a的取值范围是a<1或a>3. 易错探因☑有两个独特的性质：(1)对于任意集合A, 皆有A∩0=；(2)对于任意集合A,皆有AU= A.因此，如果A∩B=☑，就要考虑集合A或B可能 是⑦；如果AUB=A,就要考虑集合B可能是☑， 误区5混淆充分条件与必要条件 易错题5（错误率42%）使不等式2x2-5.x-3≥0成立 的一个充分不必要条件是( A.x≥0 B.x<0或x>2 C.x∈{-1,3,5} Dx≤-2或x≥3 正解由于不等式2x2-5x-3≥0的解为x≥3或x≤ -号所以只有28.5是位不等式2x-x 30成立的一个充分不必要条件. 答案C 易错探因本题在正解中的画波浪线处容易因颠倒了充 分性和必要性而误选B. 误区6忽略对端点值的检验 易错题6（错误率32%）已知“a≤x≤a2+1”是“-2≤ x≤5”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 1第一章集合与常用逻辑用语 1.1集合的概念 变式训练答案 [变式1]一4.提示：5∈A, .a2+2a-3=5,解得a=2或a=-4. 当a=2时，B={5,2},不符合5tB,应舍去； 当a=-4时，B={1,2},符合5氏B,∴.a=-4. [变式2]B提示：设a=3n,b=3m+1,c=3s一1，m,n, s∈Z,则d=3-(3m+1)+(3s-1)=3(n-m+s)-2= 3(n-m+s-1)+1,又n-m+s-1∈Z,所以d∈N. [变式3B提示：集合A={x|(k十2)x2+2kx十1=0} 中只有1个元素.若k+2=0,即k=一2，方程等价于 -4红+1=0，解得x-子，满足条件；若6十2≠0，即 k≠-2，则方程满足△=0，即42一4(k十2)=0，解得 k=2或k=一1.综上，k=士2或k=一1. [变式4]{-4，-2，一1,0,1,2}.提示：对于任意非空 集合A,B,定义A+B={a+ba∈A,b∈B}, 若S=T={-2,0,1},各取一个元素a∈S,b∈T形成 有序数对(a,b), 所有可能情况为（一2，一2），（一2,0），（一2,1），(0，一2)， (0,0),(0,1),(1,一2)，(1,0)，(1,1)，所有情况两个数 之和构成的集合为{一4，-2，一1,0,1,2}. 真题演练答案 1.C提示：由题意知，集合A与集合B的公共元素满足 b2,且y∈N,由x十y=8≥2x得x≤4， x+y=8, 所以满足x十y=8的有(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)， 故集合A与集合B的公共元素的个数为4. 练习册答案 A学考过关练 1.D提示：根据集合元素的确定性可以判断A,B,C正 确；对于D,“表现较好”没有衡量标准，因此“表现较 好”的运动员是不确定的，不能构成集合，故D不正确。 2.A提示：由x-1>2解得x>3,因为5>3，-4<3， 故5∈A,且-4庄A. x十y=1, 3.D提示： 解得=2， 所以方程组 （4x-y=9, y=-1, /x十y=1, 的解集是{(2，一1)}. 4x-y=9, 4.{一5，一4,4,5}.提示：当a=1时，x=5;当a=一1 时，x=-5;当a=2时，x=4;当a=-2时，x=一4； 当a=4时，x=5;当a=-4时，x=-5.故A={-5, -4,4,5}. 5.6;3,4,5.提示：由题意知a∈N,又x∈N,2<x<a, 且集合P中恰有三个元素，所以a=6,此时集合P中 的元素是3,4,5. 6.(1)由(x-2)2十(y十3)2=0得x一2=0，y十3=0，解 得x=2,y=一3，所以集合为{(2，一3). (2)由x≤2，x∈Z得x为-2，-1,0,1,2， 当x=2或x=一2时，y=3;当x=1或x=一1时， y=0;当x=0时，y=-1.所以集合为{3,0，-1}. (3){(x,y)|xy<0,x∈R,y∈R. (4)解不等式2x+3>7,得x>2,所以不等式2x+3> 7的解集可表示为{xx>2}. B高考提能练 1.C提示：因为P={1,2,3,Q={2,4),M={xx∈P 且xQ},所以M={1,3}. 2.A提示：显然-√x=-|x|,x=x.当x=0 时，集合中有1个元素0；当x>0时，|x|=x,-x|= 一x,集合中有2个元素x,一x;当x<0时，|x|= 一x,一x|=x,集合中有2个元素x,一x.所以集合 中最多含2个元素. 红一y=3,解得 x=1, 3.B提示：对于A,有 x+y=-1,y=-2, 由x=1时，y=2,故(3，一1)M,故A错误； |x-y=一1， x=1, 对于B,有 解得 x+y=3, y=2, 由x=1时，y=2,故（一1,3）∈M,故B正确； .1 对于C,有 /x-y=-1,. 解得 x+y=2, 3 y=2’ 由x=)时，y=1,故(-1,2)EM,放C错误； 1 对于D,有 x-y=2, x2' 解得 x+y=-1, 3 y=-2 由x=2时，y=1,故(2，一1DEM,故D错误。 1