1.4 充分条件与必要条件(含误区5、6)-【重难点手册】2026-2027学年高中数学必修第一册（人教A版）浙江专用

误区1忽略集合中元素的互异性 易错题1（错误率30%）已知集合A是由a-2,2a2+ 5a,12三个元素组成的集合，且-3∈A,则实数a的值 为() A.-1 C.-1或-3 D.-1或-2 3 正解因为-3∈A,所以a-2=-3或2a2+5a=-3, 解得a=-1或a=-是 当a=-1时，a-2=-3,2a2+5a=-3,不满足元素 的互异性： 当a=一 时，a-2=-子，2a2+5a=-3,符合 题意 所以a=一多》 答案B 易错探因本题易忽略集合中元素的互异性，在解得α 的值后要代回检验。 误区2忽略对二次项系数的讨论 易错题2（错误率41%）若集合A={xmx2十2x十2=0} 中有两个元素，则实数的取值范围为 正解由题意得m≠0且△=22-4m×2>0, 解得m<号且m≠0， 答案m<分且m≠0 易错探因忽略对二次项系数的讨论，直接使用判别式 误区3没有验证取值范围的边界处 易错题3（错误率36%）已知集合A={x|x≥4或x< -5},B={xla+1≤x≤a+3,a∈R}.若B二A,则a 的取值范围为 正解利用数轴法表示B二A,如图所示. BA A a+1a+3-5 0 4 A A B -5 0 4a+1a+3z 则a+3<-5或a+1≥4，解得a<一8或a≥3. 答案{aa<-8或a≥3. 易错探因求解过程中容易忽略等号能否成立，得到 a十3-5或a十1≥4，解得a≤-8或a≥3. 事实上，在求出a≤一8或a≥3后也可以直接将端点 值回代，看是否符合题意，进而进行适当取舍即可.当 a=一8时，不符合题意，舍去；当a=3时，符合题意， 故正确结果应为{aa<一8或a≥3}. 误区4忽略空集的特殊性 易错题4（错误率35%）已知A={x∈R|x<一2或 x>3},B={x∈Ra≤x2a-1}.若AUB=A,求实 数a的取值范围， 正解.AUB=A,∴.B二A a≤2a-1,a≤2a-1, ①当B≠⑦时， 或 解得a>3; 2a-1<-2l3<a, ②当B=☑时，由a>2a-1,解得a<1. 综上所述，实数a的取值范围是a<1或a>3. 易错探因☑有两个独特的性质：(1)对于任意集合A, 皆有A∩0=；(2)对于任意集合A,皆有AU= A.因此，如果A∩B=☑，就要考虑集合A或B可能 是⑦；如果AUB=A,就要考虑集合B可能是☑， 误区5混淆充分条件与必要条件 易错题5（错误率42%）使不等式2x2-5.x-3≥0成立 的一个充分不必要条件是( A.x≥0 B.x<0或x>2 C.x∈{-1,3,5} Dx≤-2或x≥3 正解由于不等式2x2-5x-3≥0的解为x≥3或x≤ -号所以只有28.5是位不等式2x-x 30成立的一个充分不必要条件. 答案C 易错探因本题在正解中的画波浪线处容易因颠倒了充 分性和必要性而误选B. 误区6忽略对端点值的检验 易错题6（错误率32%）已知“a≤x≤a2+1”是“-2≤ x≤5”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 1 正解，“a≤x≤a2十1"是“-2x≤5”的充分不必要条件， .{x|a≤x≤a2+1}{x|-2≤x≤5. 又a2+1-a=(a-2)°+>0， ∴a2+1>a恒成立. /≥-2， 但等号不能同时成立. a2+1≤5， a≥-2， 由 得-2≤a≤2. a2+1≤5 当a=-2时，a≤x≤a2+1等价于-2≤x≤5，不符 合题意； 当a=2时，a≤x≤a2十1等价于2≤x≤5，符合题意. .-2a2. 答案-2<a≤2. 易错探因由于本题是充分不必要条件，所以容易误认 为等号都不能取 误区7混淆含有量词的命题的否定 易错题7（错误率25%）已知命题p:存在一个实数x, 使得x2-x-2<0,那么p为 正解7p:对任意的实数x,都有x2一x一2≥0. 易错探因本题易产生如下错解： 错解一：一p为“存在一个实数x,使得x2一x一2≥0” 错解二：一卫为“对任意的实数x,都有x2一x一2<0” 错解三：一p为“Hx任R,使得x2-x一2≥0” 该命题是存在量词命题，其否定应是全称量词命题，错 解一得到的一力仍是存在量词命题，显然只对结论进 行了否定，而没有将存在量词改为全称量词；错解二只 将存在量词改为全称量词，而没有对结论进行否定；错 解三对命题的适用范围也进行了否定. 误区8忽略命题中隐含的量词 易错题8（错误率37%）写出下列命题的否定. (1)能被5整除的数，末位是0. (2)能被3整除的数，也能被4整除 正解(1)省略了全称量词“任意一个”，命题的否定为 “有些可以被5整除的数，末位不是0”， (2)省略了全称量词“所有”，命题的否定为“存在一个 能被3整除的数，不能被4整除” 2 易错探因本题容易犯的错误是忽略命题中隐含的量 词，例如常会误认为命题(1)的否定是“能被5整除的 数，末位不是0”；误认为命题(2)的否定是“能被3整除 的数不能被4整除”.它们忽略了(1)(2)都属于全称量 词命题，其否定不能只否定结论 误区9误用不等式的性质 易错题9（错误率30%）已知1≤a-b≤2且2≤a十b≤ 4,求4a一2b的取值范围， 正解令a十b=4,a-b=o,则2≤μ≤4,1≤o≤2. a=Ltv a十b=, 2 由 整理得 a-b=, b=u-v 21 4a-2%=4.-2.2=2g十20十=4十30. 2 2≤μ≤4,3≤3u≤6， .5+3w10,即5≤4a-2b≤10， ∴.4a-2b的取值范围为5≤4a-2b≤10. 易错探因同向不等式的两边可以相加减，但是这种转 化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转 化，就有可能扩大所求代数式的取值范围.所以选用不 等式的性质求解代数式的取值范围时务必小心谨慎. 误区10忽略不等式的性质成立的条件 易错题10（错误率42%)给出下列命题： ①若a<b,<0,则后<分： ②若ac-3>bc-3,则a>b; ③若a>b且k∈N*,则a>b; ④若c>a>6>0则”。>6 其中正确命题的序号是 正解当a6<0时，行<分不成立，故①不正确： 当c<0时，a<b,故②不正确； 当a=1,b=一2，k=2时，命题不成立，故③不正确； a>b>0→-a<-b<0→0<c-a<c-b, 两边同乘以。-ae-得0<士。亡。 1m3, 当两个正整数是1,5时，则2m一2<1， 5<m+46, 解得1<m<2, m3, 当两个正整数是5,6时，则1≤2m一2≤4， 6<m+4<7, 解得2<m<3. 综上，m的取值范围是m1<m<号或2<m<3。 C拓展拔高练 1.C提示：由题意可知，A1UA2UA3={x=N|1≤x≤ 9}={1,2,3,4,5,6,7,8,9},A1,A2,A3各有3个元素 且不重复，先考虑最小值为1,2,3，不妨设1∈A1,2∈ A2,3∈A3,9∈A3,则剩余数中最大为8，所以可以令 8∈A3,所以A1={1,4,5},A2={2,6,7}或者A1 {1,6,7},A2={2,4,5},此时M1+M2十M3取得最小 值，最小值为1+2+3+5+7+9=27. 2.B提示：若1,3在集合A内，则还有一个元素为5,6， 7,8,9,10中的一个： 若1,4在集合A内，则还有一个元素为6,7,8,9,10中 的一个； … 若1,8在集合A内，则还有一个元素为10： 共有6+5+4+3+2+1=21个. 若2,4在集合A内，则还有一个元素为6,7,8,9,10中 的一个； 若2,5在集合A内，则还有一个元素为7,8,9,10中的 一个； … 若2,8在集合A内，则还有一个元素为10； 共有5+4+3+2+1=15个. 若3,5在集合A内，则还有一个元素为7,8,9,10中的 一个； 若3,6在集合A内，则还有一个元素为8,9,10中的 一个； 若3,8在集合A内，则还有一个元素为10； 共有4+3+2+1=10个. 若4,6在集合A内，则还有一个元素为8,9,10中的 一个； 若4,7在集合A内，则还有一个元素为9,10中的一个； 8 若4,8在集合A内，则还有一个元素为10； 共有3+2+1=6个 若5,7在集合A内，则还有一个元素为9,10中的一个； 若5,8在集合A内，则还有一个元素为10； 共有2+1=3个. 若6,8,10在集合A内，只有1个. 总共有21+15+10+6+3+1=56个】 1.4充分条件与必要条件 变式训练答案 [变式1]ACD提示：ab≠0等价于a≠0且b≠0， ,∴.由“ab≠0”能推出“a≠0”，故A正确. (a-b)a2>0等价于a>b且a≠0， .由“(a-b)a2>0”能推出“a>b”;反之不成立，故B 错误 ,x2-3x十2>0的解集为{xx>2或x<1},而{xx> 2}军{xx>2或x<1}, ∴.由“x>2”能推出“x2-3x十2>0”，故C正确. :(x-1Kx<2}x-3<x<1, “-1Kx<号能推出“-3<x<1”,故D正确， [变式2]C提示：M三CuN,N∩N=, .M∩N=,.充分性成立.当M∩N=时， ,M三U,N二U,M三uN,必要性成立. [变式3]充分性：，ac<0,.△=b2-4ac>0, ∴.方程ax2十bx十c=0有两个根，设为x1,x2· :x1x2=￡<0， a .∴.一元二次方程a.x2十bx十c=0有一个正根和一个负根 必要性：，一元二次方程ax2十bx十c=0有一个正根 和一个负根， =C<0.ac<0. .x1x2=a 综上所述，“一元二次方程ax2十bx十c=0有一个正根 和一个负根”的充要条件是“ac<0”. [变式4]由已知得A={1,2},因为p是q的必要不充 分条件，所以B手A. 根据集合中元素的个数对集合B进行分类. 讨论：B=0,B={1}或B={2}. 当B=0时，方程x2-mx十2=0无实数解，△=m2- 8<0,解得-2√2<m<2√2； 当B=(1}或B={2}时， △=0， 无解， 1-m+2=0或4-2m+2=0 综上所述，m的取值范围为-2，√2<m<2√2. 真题演练答案 1.A提示：若a>1,不等式两边同乘以a,则a2>a,故 “a>1”是“a2>a”的充分条件」 若a=一1，显然有(-1)2>-1，即满足a2>a,但不满 足a>1,所以“a>1”不是“a2>a"”的必要条件」 2.B提示：x2-5x<0,.0<x<5. .x-1<1,.0<x<2. .“x2一5x<0”是“|x一1<1”的必要不充分条件. 3.A提示：若x>1且y>1,则有x十y>2成立，所以 p→q;由x+y>2不能得到x>1且y>1,即q书p. 所以力是q的充分不必要条件， 练习册答案 A学考过关练 1.A提示：若a>b>0,则a+b>0>-1,充分性得证； 若a=2,b=一1，则a十b>一1，但a>b>0不成立.故 “a>b>0”是“a十b>-1”的充分不必要条件. 2.A提示：这句话的意思中，“好人”→“有好报”，所以 “好人”是“有好报”的充分条件 3.C提示：对于A,“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充分 不必要条件；对于B,“开关A闭合”是“灯泡B亮”的 充要条件；对于C,“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必 要不充分条件；对于D,“开关A闭合”是“灯泡B亮” 的既不充分也不必要条件. 4.D提示：若A∩B≠☑，如A={1,2},B={1},满足A∩ B={1}≠0，但不满足A二B.若A二B,如A=,B= {1},满足A三B,但不满足A∩B≠必.所以A∩B≠ 是A二B的既不充分也不必要条件： 5.必要不充分.提示：由xy=0,可得x=0或y=0或 x=y=0;由x2十y2=0,可得x=y=0.显然，由 “x2十y2=0”可以推出“xy=0”,即必要性成立；而由 “xy=0”不可以推出“x2十y2=0”,即充分性不成立. 所以“xy=0”是“x2十y2=0”的必要不充分条件.故答 案为必要不充分 6.0Ca<分：提示：因为p:2<x<1,9:a<z<a十 1 1,9是p的必要不充分条件，所以 a≤2' 且两个等 a+1≥1， 号不同时成立，解得0<a≤2： B高考提能练 1.C提示：因为p是r的充分条件，所以p→r,因为q 是r的充分不必要条件，所以q→r,r尹q.因为s是r 的必要条件，所以r→s.因为p是s的必要条件，所以 s→p.由p→r,r→s,s→p可得p台r台s,则r是p的 充要条件，命题①为假命题：r是s的充要条件，命题② 为假命题；因为q→r,r肀q,所以q→p,p尹q,故q是 p的充分不必要条件，命题③为真命题；易得、肀q, q→s,所以s是q的必要不充分条件，命题④为假 命题 2.B提示：，AUB=C,且B不是A的子集 若x∈A,则x∈C,但若x∈C,则x∈A或x∈B, .“x∈C”是“x∈A”的必要不充分条件 3.C提示：因为此数为小于5的正整数，所以A={x0< Ar<2={女0<<.因为x∈B是x∈A的必 要不充分条件，x∈C是x∈A的充分不必要条件，所 以C是A的真子集，A是B的真子集，所以子<5且 云号解得号≤△<3，所以4“表示的数字是1或 2,故C正确. 4.BC提示：对于A,由p可知a=0或b=0,由g可知 a=0且b=0,故p不是q的充要条件；对于B,由|x十 |y=|x十y知x,y要么同为正数，要么同为负数，要 么至少有一个为零，故xy≥0，故p是q的充要条件； 对于C,由方程x2一x一m=0有实数根，得判别式△= 1+4m≥0，即m≥-子，所以b是g的充要条件：对于 D,因为p户q,所以p不是q的充要条件， 5.BD提示：若a=0,则原方程为x=0,恰有一个实数 根，符合；若a≠0，则△=4一4a2=0,故a=士1，故关 于x的方程ax2十2x十a=0恰有一个实数根的等价 条件为a=0或a=士1，A,B,C,D四个选项中，只有 B,D对应的选项中的元素构成的集合为{0，士1}的真 子集 6.m≥1.提示：对于集合A={y|y=x-[x]},可设 k≤x<k十1(k∈Z),由[x]的定义可知，0≤y=x [x]=x-k<1,所以A={y|y=x-[x]}={y|0≤ y<1}.若y∈A是y∈B的充分不必要条件，则A B,所以m的取值范围是m≥1. 7.(1)M∩P={x|5<x8}的充要条件是一3≤a≤5，所 以实数a的取值范围是{a|-3≤a≤5}. (2)显然，满足一3≤a≤5的任意一个a的值都是M∩ P={x|5<x≤8}的充分不必要条件，如a=-3.(答 9第一章集合与常用逻辑用语么出 1.4充分条件与必要条件 重点和难点 课标要求 重点：充分条件、必要条件和充要条件的 通过本节的学习，学生能理解这三个常用逻辑用语的意义， 意义 会辨析充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件和既不充分 难点：对必要条件的意义、充要条件与数学 又不必要条件，理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必 定义之间的关系的理解 要条件的关系、数学定义与充要条件的关系 口01一必备知识梳理。 基础梳理 知识点1充分条件与必要条件 般地，“若p,则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出 冒敲黑板 q.这时，我们就说，由p可以推出q,记作→q,并且说，p是q的 对充分条件与必要条件的理解 充分条件，q是p的必要条件， 1.p是q的充分条件说明 如果“若p,则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q, 了→q,而q是p的必要条件 也说明了p→q,所以p是q的 记作p产q.此时，我们就说p不是q的充分条件，g不是p的必 充分条件与q是力的必要条件 要条件 表述的是同一个逻辑关系，只 知识点2充要条件 是说法不同.而p是q的充分 将命题“若p,则g”中的条件p和结论q互换，就得到一个新 条件只反映了→q,与q能否 的命题“若q,则p”,称这个命题为原命题的逆命题 推出p没有任何关系. 般地，如果既有p→g,又有q→p,就记作p台→g,此时，我 2.注意以下等价的表述形式： 们说p是q的充分必要条件，简称充要条件. (1)p→9. (2)p是q的充分条件. 条件p与结论q的关系 结论 (3)g的充分条件是p. p→q,且q力p p是q的充分不必要条件 (4)q是p的必要条件. (5)力的必要条件是q. q→p,且p≯g p是q的必要不充分条件 p→q,且q→p,即台g p是q的充要条件 p中q,且q中p p是q的既不充分也不必要条件 重难拓展 重难点1从集合的角度看充分、必要条件 下表为从集合A={x|p(x)}与集合B={x|q(x)}之间的 包含关系推导出的p与g之间的关系. 27 重难点手册高中数学必修第一册（上）RUA(浙江专用) 关系 图示 结论 冒敲黑板 A手B p是q的充分不必要条件 对充要条件的理解 1.如果p是q的充要条 B军A p是q的必要不充分条件 件，那么q也是p的充要条件， 也就是说，如果p台q,那么p A=B (A(B) p是q的充要条件 与q互为充要条件. A车B且 2.“p是q的充要条件”也 AOB或A①B p是q的既不充分也不必要条件 B车A 可以说成“p与g是等价的”“p 成立当且仅当q成立”“g成立 例①若a∈R,则“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的( 当且仅当p成立”等. A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 解析“a=2”可以看成集合A={2},“(a-1)(a一2)=0”的解集为 B={1,2. ,A手B, .“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的充分不必要条件. 答案A 重难点2充分条件、必要条件、充要条件的判断方法 1.定义法 同敲黑板 (1)分清命题的条件和结论：分清哪个是条件，哪个是结论 用集合判断充分、必要 (2)找推式：判断“→g”及“q→p”的真假. 条件的适用范围 (3)根据推式及条件得出结论. 当所要研究的p,q含有变 2.集合法 量，即涉及方程的解集、不等式 的解集，或者与集合有关，或所 写出集合A={xp(x)}及B={x|g(x)},利用集合间的包 描述的对象可以用集合来表示 含关系进行判断 时，可以借助集合间的包含关 3.传递法 系，利用Venn图或数轴解题. 若问题中出现若干个条件和结论，应根据条件画出相应的推 式图，根据图中推式的传递性进行判断 4.特殊值法 对于选择题，可以取一些特殊值或特殊情况，用来说明由条 件（结论）不能推出结论（条件），但是这种方法不适用于证明题. 例2已知p,q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s 的充分条件.那么：(1)s是g的什么条件？(2)r是q的什么条 件？(3)p是g的什么条件？ [点拨本题主要考查对充分条件、必要条件及充要条件的判断，可将 已知p,9,r,5的关系用“→”作图表示（如图所示）. 28 第一章集合与常用逻辑用语么出9 5→r→ R少 解析(1)：q→5,5→r→q,即s台q,s是q的充要条件. (2),r→q,9→s→r，∴r是q的充要条件. (3),q→s→r→，p是q的必要条件. 02关键能)提升。幻 题型方法 D.既不充分也不必要条件 题型】充分、必要条件的判断 (2)(2026·上海浦东新区高一检测)已知x, 例B(2026·浙江乐清知临中学检测) y∈R,则“x>1或y>1”是“x十y>2"”的(). 填空： A.充要条件 (1)p:x2-2x-3<0,q:x|>3,则p是 B.充分不必要条件 q的 条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 (2)p:平行四边形，q:正方形，则q是p的 条件 解析(1)当b2-4ac<0时，函数y=ax2十bx 十c的图象与x轴没有交，点，当a<0时，函数图象恒 解析令A={xp(x)},B={xq(x)}. 在x轴下方，所以不是充分条件； (1)设A={x|x2-2x-3<0}={x|-1<x< 当函数y=ax2十bx十c的图象恒在x轴上方时， 3},B={x|lx|>3}={xx>3或x<-3.由图1可 a>0, 知A生B,且B王A, 则 所以b2-4ac<0成立.因此是必 △=b2-4ac<0, 所以力是q的既不充分也不必要条件. 要条件 B (2)方法一设集合A={(x,y)|x>1或y> B 正方形）A -3 3 平行四边形 1),集合B={(x,y)x十y>2}, 图1 图2 在平面直角坐标系中分别作出集合A和B中的 元素形成的区域，如图所示，由图可知B军A.故为必 (2)由图2可知B手A,所以q是力的充分不必要 要不充分条件 条件 答案率(1)既不充分也不必要. (2)充分不必要. 2、 例④(1)已知a,b,c∈R且a≠0，则“b2 方法二设集合A={(x,y)x>1或y>1, 一4ac<0”是“函数y=ax2+bx十c的图象恒 B={(x,y)x十y>2},全集为U. 在x轴上方”的(). 则CuA={(x,y)|x≤1且y≤1}，CuB={(x, A.充分不必要条件 y)|x+y≤2). B.必要不充分条件 当x≤1且y≤1时，x十y≤2成立， C.充要条件 当x=3,y=一4时，满足x十y≤2， 29 重难点手册高中数学必修第一册（上）RUA(浙江专用) 但x≤1且y≤1不成立， △=m2-4≥0， m≥2或m-2, 所以 即 所以CA至CuB,即B手A.故为必要不充分 x1十x2=-m<0,”m>0, 条件. 所以m≥2， 答案(1)B(2)C 即x2十mx十1=0有两个负实根的必要条件是 ●变式1（多选）下面给出的命题中为真 m≥2. 命题的是(). 综上可知，关于x的方程x2十mx十1=0有两个 A.“ab≠0”是“a≠0”的充分不必要条件 负实根的充要条件是m≥2. B.设a,b∈R,则“(a-b)a2>0”是“a> [点评分清题中的充分性和必要性，充分性：条 b”的必要不充分条件 件→结论.题中的条件为m≥2，结论为方程x2十mx C.“x>2”是使不等式“x2一3x十2>0”成 十1=0有两个负实数根，故证明充分性是由m≥2→ 立的一个充分不必要条件 关于x的方程x2十mx十1=0有两个负实根.证明条件 的必要性是关于x的方程x2十mx+1=0有两个负实 D.使不等式“-1<x<号”成立的一个必 根→m≥2. 要不充分条件是“一3<x<1” 例6已知ab≠0，求证：a+b=1是a3+ ◆变式2设U为全集，M二U,N二U,则 b3十ab一a2-b2=0的充要条件， “MC CUN”是“M∩N=☑”的(). 证明充分性：：a十b=1,.b=1-a. A.充分不必要条件 ∴.a3+b3+ab-a2-b2 B.必要不充分条件 =a3+(1-a)3+a(1-a)-a2-(1-a)2 C.充要条件 =a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2 D.既不充分也不必要条件 =0, 题型2充要条件的证明 即a3+b3+ab-a2-b2=0. 必要性：，a3十b3十ab-a2-b2=0, 例5求证：关于x的方程x2+m.x+1=0 ∴.(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=0. 有两个负实根的充要条件是m≥2. .(a2-ab+b2)(a+b-1)=0. 证明充分性：因为m≥2， 又"ab≠0， ..a≠0且b≠0 所以△=m2-4>≥0， 所以方程x2+mx十1=0有实根 a2-ab+6-(a-》+6>0 设两根为x1,x2, ∴.a+b-1=0..a+b=1. 由根与系数的关系知x1x2=1>0, 综上可知，当ab≠0时，a十b=1是a3十b3十ab 所以x1,x2同号. 一a2一b2=0的充要条件. 又x1十x2=-m≤-2<0， ◆变式3证明一元二次方程ax2+bx+ 所以x1,x2同为负数， c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 即x2十mx十1=0有两个负实根的充分条件是 题型3利用充分、必要条件确定参数的取 m≥2. 值范围 必要性：因为x2十mx十1=0有两个负实根，设 两根为x1,x2,且x1x2=1, 例☑已知全集U=R,非空集合A={x 30 第一章集合与常用逻辑用语么出 号0B=x1c-au-4-28. A>0, 时，若方程两根一正一负（没有零根），则 <0 解得 a (1)当a=2时，求(tuB)UA. a<0; (2)条件p:x∈A,条件q:x∈B,若q是 △≥0， 力的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 若方程两根均负，则 2∠0 家(：当a=号时，A=x2<x<3, a B=女3<}， 解得0<a≤1， (B)UA={cr≤或x>2 综上所述，充要条件是a≤l. (2)A={x|2<x<3}, 小结探求充要条件的方法。 a2+2)-a=a-2》+7>o, 方法一（必要性先行法）先由结论寻找使之成 立的条件，再由条件来推证结论成立.要保证必要性 .a2十2>a, 和充分性都成立. ∴.B={xl(x-a)(x-a2-2)<0}={xa<x< 方法二（等价转化法）先由结论出发，寻找使之 a2+2}. 成立的等价条件.若要分类，要不重不漏地分析每一 又，q是p的必要不充分条件， 种情况. q←饣且qp,AB, 易错警示 、a≤2， |a≤2， -a2+2≥3， a≥1， ●易错题5（错误率42%）使不等式2x2 解得a≤-1或1≤a≤2. 5x一3≥0成立的一个充分不必要条件是 故实数a的取值范围为{aa≤-1或l≤a≤2}. (). ◆变式4已知集合A={x|x2-3x十2 A.x0 B.x<0或x>2 0},B={x|x2-mx+2=0},若条件p:x∈A 是条件g:x∈B的必要不充分条件，求实数m C.x∈{-1,3,5} D.x≤-2或x≥3 的取值范围， ●易错题6（错误率32%）已知“a≤x≤ 例8求使方程a.x2+2x+1=0至少有一 a2+1”是“一2≤x≤5”的充分不必要条件， 个负实根的充要条件 则实数a的取值范围是 解机当a=0时，x= 2,符合题意；当a≠0 参考答案见《全书易错题集》第1页 03核心泰养聚焦。 考向分类 A.充分不必要条件 考向1充要条件的判定 B.必要不充分条件 例9(2023·天津卷)“a2=b2”是“a2十 C.充要条件 b2=2ab”的(. D.既不充分也不必要条件 31 重难点手册高中数学必修第一册（上）RUA(浙江专用) 解析若a2=b2,不妨设a=1,b=-1,显然有 A.充分不必要条件 12=(-1)2, B.必要不充分条件 但12+(-1)2≠2×1×(-1)， C.充要条件 所以a2=b2中a2+b2=2ab. D.既不充分也不必要条件 若a2+b2=2ab,则(a-b)2=0,故a=b,显然有 2.(经典·天津卷，考向1)设x∈R,则 a2=b2. “x2-5.x<0”是“|x-1<1”的(). 所以a2+b2=2ab→a2=b2. A.充分不必要条件 综上所述，“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的必要不 B.必要不充分条件 充分条件. C.充要条件 答案B D.既不充分也不必要条件 回归教材教材P21例3(3》 3.(经典·四川卷，考向1)设p:实数x,y 常考题型选择题难度系数0.9 高考热度 ★★ 满足x>1且y>1,q:实数x,y满足x+y> 核心素养 逻辑推理 素养水平水平二 2,则p是g的(). A.充分不必要条件 真题演练 B.必要不充分条件 1.(经典·天津卷，考向1)设a∈R,则 C.充要条件 “a>1”是“a2>a”的(). D.既不充分也不必要条件 32