1.5.2 全称量词命题与存在量词命题的否定-（配套教参）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

第一章集合与常用逻辑用语 1.5.2全称量词命题与存在量词命题的否定 课程标准 素养解读 1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定通过全称量词命题与存在量词命题的否定的学习，重点 2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定 提升数学抽象、逻辑推理素养 课前。预习学案 对应学生用书P27 [情境引入] 知识点二] 全称量词命题与存在量词命题的否定 一位探险家被土人抓住， 命题类型 全称量词命题 存在量词命题 土人首领说：“如果你说真话， 你将被烧死，说假话，将被五 形式 Vx∈M,p(x) ]x∈M,p(x) 马分尸.” 否定形式 ]x∈M,(x) Vx∈M,p(x) [问题]请问探险家该如何 保命？ 全称量词命题的否定是存在量词命题； 结论 提示探险家应该说“我将被五马分尸”， 存在量词命题的否定是全称量词命题 如果土人首领将探险家五马分尸，那就说明探险家说 的就是真话，而说真话应该被烧死： ?思考1.用自然语言描述的全称量词命题的否定 如果土人首领将探险家烧死，那就说明探险家说的就 形式唯一吗？ 是假话，而说假话应该被五马分尸. 提示：不唯一，如“所有的菱形都是平行四边形”， 所以，土人首领怎么处置探险家都不行，只能让他 它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边 活着 形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形” [知识梳理] 2.对省略量词的命题怎样否定？ [知识点一]命题的否定 提示：对于含有一个量词的命题，容易知道它是全 1.定义：一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一 称量词命题或存在量词命题.一般地，省略了量词 个新的命题，这一新命题称为原命题的否定.命题 的命题是全称量词命题，可加上“所有的”或“对任 力的否定可用“一”来表示 意”，它的否定是存在量词命题， 2.命题的否定与原命题的真假关系 [预习自测] 命题的否定与原命题的真假性可以用下表（真值 1.命题“对任意x∈R,x一2|十x-4|>3”的否定是 表)表示： 命题p 答案：3xo∈R,xo一2|十|xo-4|≤3 真 假 2.命题“了x。∈CQ,x8∈Q”的否定是 假 真 A.3x∈CRQ,x8∈Q 因此，力的否定的真假性可用一句话概括：力的否 B.xo∈CRQ,x8Q 定与“一真一假”. C.VIE CRQ,x3∈Q 3.常见词语的否定词语 D.Hx∈CRQ,x3Q 答案：D 等于 大于 小于 至多有至多有 至少有 原词 是 都是 (=) (>) (<) 一个 3.若命题p:Hx∈R,2x2+1>0,则p是( n个 一个 A.Hx∈R,2x2+1≤0 不等于不大于不小于 至少有至少有 一个也 否定 不是 不都是 (≠) () (≥) 两个 (n+1)个 没有 B.3xo∈R,2x+1>0 C.3xo∈R,2x+1<0 原词语 任意的 任意两个 所有的 能 或 D.3xo∈R,2.x+1≤0 否定词语 某个 某两个 某些 不能 且 答案：D 35· 数学·必修第一册 课堂。互动学案 对应学生用书P28 题型一 全称量词命题的香定 (2)其否定为：存在一个圆不是轴对称图形 [例1]写出下列全称量词命题的否定，并判断真假： (3)其否定为：]a,b∈R,使方程ax=b的解不唯一 (1)Vx∈R,1- 1)2 或不存在。 x-z≤1， (4)其否定为：存在被5整除的整数，末位不是0. (2)所有的正方形都是矩形； 题型】 存在量词命题的吞定 (3)对任意x∈Z,x2的个位数字不等于3； [例2]写出下列存在量词命题的否定，并判断真假： (4)正数的绝对值是它本身. (1)有些分数不是有理数. [思路点拨]Vx∈M,p(x)的否定为：]x∈M, (2)3x,y∈Z,3x-4y=20. p(x). (3)在实数范围内，有些一元二次方程无解. [解](1)该命题的否定：x∈R, (4)有些梯形的对角线相等」 1-（x-)>1 [思路点拨]x∈M,p(x)的否定为Vx∈M, p(x). 因为Yxek(-)≥0， [解](1)该命题的否定：任意分数都是有理数，这 所以-（-)<0 是一个真命题， (2)该命题的否定：Hx,y∈Z,3.x-4y≠20，当x= 1一（一）<1恒底立，所以这足一个假命题， 4,y=一2时，3.x-4y=20.因此这是一个假命题. (3)该命题的否定：在实数范围内，所有的一元二次 (2)该命题的否定：至少存在一个正方形不是矩形， 方程都有解，这是一个假命题 假命题 (4)该命题的否定：所有梯形的对角线不相等，如等 (3)该命题的否定：至少存在一个x∈Z,x2的个位 腰梯形的对角线相等，因此这是一个假命题， 数等于3，因为02=0,12=1,22=4,32=9,42=16， 52=25;62=36,72=49,82=64,92=81,…,所以 规律方法 这是一个假命题. 1.对存在量词命题否定的两个步骤 (4)该命题省略了量词“所有的”，该命题是全称量 (1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词. 词命题，它的否定：有的正数的绝对值不是它本身 (2)否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为 这是一个假命题」 “没有”“不存在”等】 规律方法 2.存在量词命题否定后的真假判断 存在量词命题的否定是全称量词命题，其真假 1.对全称量词命题否定的两个步骤 性与存在量词命题相反；要说明一个存在量词 (1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词. 命题是真命题，只需要找到一个实例即可· (2)否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不 是”“不成立”等 ⊙[变式训练] 2.全称量词命题否定后的真假判断方法 2.写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假. 全称量词命题的否定是存在量词命题，其真假 ①有些实数的绝对值是正数； 性与全称量词命题相反；要说明一个全称量词 ②某些平行四边形是菱形； 合题是假命题，只需举一个实例即可：… ③3x0y∈Z,使√2x+y=3. ⊙[变式训练] 解析：①命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对 1.写出下列全称量词命题的否定： 值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”它 (1)任何一个平行四边形的对边都平行； 为假命题。 (2)任何一个圆都是轴对称图形； ②命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即 (3)Ha,b∈R,方程ax=b都有唯一解； “每一个平行四边形都不是菱形”.由于菱形是平行 (4)可以被5整除的整数末位是0. 四边形，因此命题的否定是假命题」 解：(1)其否定为：存在一个平行四边形，它的对边 ③命题的否定是“Hx,y∈Z,W2x十y≠3”.当x 不都平行 0,y=3时，√2x十y=3,因此命题的否定是假命题. ·36· 第一章集合与常用逻辑用语 题型全称量词命题、存在量词命题的否定的应用} 2.知命题真假求参数的范围的两个关注点 [例3]若命题“存在实数x,使x2十ax十1<0”的否 (1)命题和它的否定的真假性只能一真一假，解决 定是真命题，则实数a的取值范围为 问题时可以相互转化 (2)求参数范围问题，通常根据有关全称量词和存 汇思路点拨]先写出命题的否定，然后判断 在量词命题的意义列不等式求范围， [解析]方法一：由题意，知命题“对任意实数x, ◇[变式训练] 使x2+a.x十1≥0”是真命题，故△=a2-4×1×1≤ 3.已知命题p:Hx∈{xx≥1}，a-2.x2≤0.命题q: 0,解得-2≤a≤2. ]x∈{x|1≤x≤3}，x+a≥0. 方法二：由题意，知命题“存在实数x,使x2十ax十1 (1)分别写出命题p,g的否定； <0是假命题.若命题“存在实数x,使x2十a.x十1 (2)若两个命题都是真命题，求实数a的取值范围. <0”是真命题，则△=a2-4×1×1>0,解得a>2 解：(1)因为p:Hx∈{xx≥1}，a-2x2≤0， 或a<一2，所求实数a的取值范围是{a一2≤≤a≤2. 所以p:3x∈{xx≥1}，a-2x2>0. [答案]{a-2≤a≤2} 因为q:3x∈{x|1≤x≤3}，x十a≥0， 所以7q:Hx∈{x|1≤x≤3}，x十a<0. 规律方法 (2)因为p:Hx∈{x|x≥1}，a-2x2≤0， 1.含有一个量词命题的否定的步骤与方法 所以a≤2.x2, (1)确定类型：是存在量词命题还是全称量词 又x≥1，所以2.x2≥2，故a≤2. 命题. 因此命题力为真命题时，a≤2. (2)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词； 命题q:]x∈{x1≤x≤3}，x十a≥0， 把存在量词换为恰当的全称量词.注意无量 即3x∈{x|1≤x≤3}，a≥-x, 词的全称量词命题要先补回量词再否定 又-3≤-x≤-1，故a≥-3， (3)否定结论：原命题中“是”“有”“存在”“成立”等 因此命题g为真命题时，a≥-3. 改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等. 综上，当两个命题都是真命题时，实数a的取值范 围为{a-3≤a≤2}. 随堂。步步夯实 对应学生用书P30 1.命题：Hx∈N,x3>x的否定形式7p为( 0”是真命题，求m范围.你认为，两位同学题中m A.Vx∈N,x3≤x2 B.]x∈N,x3>x2 范围是否一致？ (填“是”“否”中的一种) C.3x∈N,x3<x D.3x∈N,x3≤x 答案：是 答案：D 5.已知集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|m十1≤x≤ 2.以下三个命题中，真命题的个数是 2m-1},且B≠0. ①若a十b≥2，则a,b中至少有一个不小于1； (1)若命题：“Vx∈B,x∈A”是真命题，求m的取 ②存在正实数a,b,使得a十b=ab; 值范围； ③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数 (2)命题q:“3x∈A,x∈B”是真命题，求m的取值 不是素数” 范围. A.0 B.1 解：(1)由于命题p:“Hx∈B,x∈A”是真命题， C.2 D.3 所以B二A,B≠⑦， 答案：D 〔m+1≤2m-1, 3若命题：x∈R2<0,则p: 所以{m十1≥-2，解得2≤m≤3. 答秦：3∈R2>0或2=0 2m-1≤5， (2)g为真，则A∩B≠0， 4.某中学开展小组合作学习模式，某班某组小王同学 因为B≠0，所以m≥2. 给组内小李同学出题如下：若命题“3x∈R,x2十 m+15, 2.x十m≤0”是假命题，求m范围.小李略加思索，反 所以{2m-1≥-2，解得2≤m≤4. 手给了小王一道题：若命题“Hx∈R,x2+2x十m> m≥2. ·37· 数学·必修第一册 课后。素养提升 对应学生课时P261 基础过关 6.(多选)下列四个命题中，是真命题的有 -》 A.没有一个无理数不是实数 1.命题“]x。∈CQ,x8∈Q”的否定是 B.空集是任何一个非空集合的真子集 A.oCRQ,x8∈Q C.1+1<2 B.]x∈CRQ,x3tQ D.至少存在一个整数x,使得x2-x十1是整数 C.VIE CRQ,x3∈Q 解析：ABD[A.该命题等价于所有无理数都是实 D.Hx∈CRQ,x3tQ 数，为真命题；B.显然为真命题；C.显然不成立，为 答案：D 假命题；D.取x=1,能使x2-x十1=1是整数，为 2.已知命题p:x∈R,x2-x十4>0，则一p为( 真命题.] 7.若对任意x>3,x>a恒成立，则a的取值范围是 A.VER-t是<0 解析：对任意x>3,x>a恒成立，即大于3的数恒 B3x,∈K,i-,十≤0 大于a,所以a的取值范围是{aa≤3. 答案：{aa≤3} C3x,∈R,-+>0 8.已知集合A={x-1≤x≤4}，集合B={x|2m<x <m十1}，且3x∈B,x∈A为假命题，则实数m的 D.Yx,∈R-x+>0 取值范围为 答案：B 解析：因为3x∈B,x∈A为假命题，所以Hx∈B, 3.已知命题：3a,b∈R,使得a2<b2成立，则下列说 x氏A为真命题，所以A∩B=心且B≠心. 法正确的是 (2m<m+1, 所以 或 2m<m十1，解得m≤-2.即 A.p:Ha,b∈R,a2>b2,为假命题 m+1≤-1或{2m≥4， B.p:Va,b∈R,a≥b2,为假命题 实数m的取值范围为{mm≤一2. C.p:Ha,b∈R,a2>b2,为真命题 答案：{mm≤-2} D.p:Ha,b∈R,a≥b,为真命题 9.已知p(x):x2十2.x-m>0,如果p(1)是假命题， (2)是真命题，则实数m的取值范围是 答案：B ,若(1)是真命题，(2)是假命题，则实数 4.对下列命题的否定说法错误的是 m的取值范围是 A.p:能被2整除的数是偶数；一p:存在一个能被2 解析：因为(1)是假命题，所以1十2一m≤0，解得 整除的数不是偶数 m≥3.又因为(2)是真命题，所以4十4-m>0,解 B.:有些矩形是正方形；一：所有的矩形都不是 得m<8,故实数m的取值范围是{m3≤m<8}； 正方形 若p(1)是真命题，p(2)是假命题， C.:有的三角形为正三角形；一p:所有的三角形 不都是正三角形 则1+2-m≥0， {4+4-m<0, D.p:3n∈N,2"≤100；p:Hn∈N,2">100 答案：C 保行公无样 5.(多选)下列命题的否定中，是全称量词命题且为真 答案：{m3≤m<8}☑ 命题的有 ) 10.写出下列命题的否定，并判断它们的真假. A.3x∈kx-十<0 (1)Vx∈R,x2>0; (2)3x∈R,x2=1; B.所有的正方形都是矩形 (3)]x∈R,x是方程x2-3.x十2=0的根； C.3x∈R,x+2xo+2≤0 (4)等腰梯形的对角线垂直. D.至少有一个实数x。,使x。十1=0 解：(1)命题的否定：门x∈R,x2≤0，因为x=0 解析：AC[命题的否定是全称量词命题，即原命题 时，0=0，所以命题的否定为真命题. 为存在量词命题，故排除B.再根据命题的否定为真命 (2)命题的否定：Hx∈R,x2≠1.因为x=1时，x 题，即原命题为假命题.又D为真命题，故选A,C.] =1,所以命题的否定为假命题. ·38· 第一章集合与常用逻辑用语 (3)命题的否定：Hx∈R,x不是方程x2-3.x十2 由g为真命题，即x2+2a.x十2-a=0有实根， =0的根.因为x=1时，12-3×1十2=0，即x=1 得△=4a2-4(2-a)≥0， 为方程的根，所以命题的否定为假命题 即a≥1或a≤-2.② (4)命题的否定：存在一个等腰梯形的对角线不垂 对①②求交集，可得{aa≤-2或a=1}. 直.命题的否定为真命题. 综上，所求实数a的取值范围为{aa≤一2或a=1}. 11.命题p是“对某些实数x,有x-a>0或x-b≤ 13.已知函数f(x)=x2-2x十5. 0”,其中a、b是常数. (1)是否存在实数m使不等式m十f(x)>0对任 (1)写出命题p的否定； 意x∈R恒成立，并说明理由. (2)当a、b满足什么条件时，命题p的否定为真？ (2)若存在一个实数x,使不等式m一f(xo)>0 解：(1)命题力的否定：对任意实数x,有x一a≤0 且x-b>0. 成立，求实数m的取值范围. (2)要使命题p的否定为真，需要使不等式组 解：(1)不等式m十f(x)>0可化为m>-f(x), 一a≤0的解集不为空集，通过画数轴（图略） 即m>-x2+2x-5=-(x-1)2-4,要使m> {x-b>0 -(.x-1)2-4对于任意x∈R恒成立，只需m> 可看出，a、b应满足的条件是b<a. 一4即可，故存在实数m使不等式m十f(x)>0 能力提升 对于任意x∈R恒成立，此时需m>一4. ·》 (2)不等式m一f(.xo)>0可化为m>f(xo).若存 12.已知命题：“H1≤x<2,x2-a≥0”，命题q:“了x 在一个实数x。,使不等式m>f(xo)成立，只需m ∈R,x2十2ax十2-a=0”,若命题力，g都是真命 题，求实数a的取值范围 >f(x)m,又f(x)=(x-1)2+4,则f(x)mm=4, 解：由力为真命题，a≤x2对V1≤x≤2恒成立， 所以m>4. 得a≤1；① 所以所求实数m的取值范围是{mm>4}. 章未归纳提升 对应学生用书P31 [网络构建] 元素与集合关系 属于∈，不属于 确定性 集合的含义 集合中元素的特性 互异性 列举法 集合的表示 描述法 无序性 图示法 子集 ACB 集合 集合间的 包含 基本关系 真子集—AB 相等 A=B 并集 AUB={x|x∈A,或x∈B} 集合的运算 交集 A∩B={x|x∈A,且x∈B} 补集 uA={x|x∈U,且xA} 充要条件 判定定理 常 充分条件与 必要条件 性质定理 用逻 必要条件 充要条件 数学定义 全称量词 用语 全称量词与 全称量词 全称量词命题 命题和存 存在量词 存在量词一 存在量词命题 在量词命 题的否定 ·39·