1.3 集合的基本运算(含误区4)-【重难点手册】2026-2027学年高中数学必修第一册（人教A版）浙江专用

(2)四个元素分成两组，每组两个元素是连续的且两组 之间的元素是不连续的集合有3个，即{0,1,3,4}， {1,2,4,5},{0,1,4,5},所以满足条件的集合共有6个. 4.BCD提示：当a=0时，B={x|(ax一1)(x+a)=0}= {0};当a≠0时，B={x|(ax-1)(x+a)=0}= {-a} 对于选项A,若a=-2,则B=2,-},此时A和B 没有公共元素，不满足条件 对于选项B,若a=一 则B={-2,},此时BC A,满足条件； 对于选项C,若a=0,则B={0},此时B二A,满足条件； 对于选项D,若a=1,则B={-1,1},此时A和B有 公共元素“1”，满足条件 5.7.提示：当集合M的非空子集中含有一个元素时， {一1}，{1}为“和美”集合；当集合M的非空子集中含 有两个元素时，（一1,1，仔3}为和类”集合，当集合 M的非空子集中含有三个元素时，{-1，}，3， {1,写3}为和美”集合：当集合M的非空子集中含 有四个元素时，{-1,1，子，3为“和美“集合.综上，“和 美”集合有7个. 6.5.提示：若①正确，②③错误，则c=0,b=1,a=2, 矛盾，不成立；若②正确，①③错误，则b=2,c=0,a= 1,矛盾，不成立；若③正确，①②错误，则a=2,c=1, b=0,成立，则a+2b+3c=5.综上所述，a+2b+3c= 5.故答案为5. 7.因为集合A={x|2x≤3x十1≤2x+4},B={xm十1≤ x-m≤2}，所以集合A={x|-1≤x≤3}，B={x2m 十1≤x≤m十2. ①当B=时，2m+1>m+2,解得m>1,此时满足B CA. ②当B≠②时，要满足B二A, f2m+1≤m+2, 只需2m+1≥-1，解得一1m≤1， m+23, 综上可得，实数m的取值范围为m≥一1. 8.(1)因为A二0，所以A=0, ￥ 当a=0时，则A={←}，与题意矛盾， 当a≠0时，则△=36-12a<0,解得a>3. 综上所述，实数a的取值集合为{aa>3}. (2)因为A的子集有两个， 所以集合A中只有一个元素， 当a=0时，则A={-},符合题意， 当a≠0时，则△=36-12a=0,解得a=3. 综上所述，实数a的取值集合为{0,3. (3)因为1∈A,所以a+6+3=0,解得a=-9, 所以A=x-9x2+6z+3=0)={←号，1小. 当6=0时，B=0CA:当6≠0时，B={←名}。 因为B二A, 所以-名号或名1，解得6=8或6=1 综上所述，实数b的取值集合为{0，一1,3. C拓展拔高练 1.C提示：元素和为8的子集A有{8)，1,7}，{2,6}， {3,5},{1,2,5},{1,3,4},共6个 2.31.提示：因为211=2°+2+24+2+2，所以由题 意可得E的第211个子集为{0,1,4,6,7}，所以其真子 集个数为25-1=31.故答案为31. 1.3集合的基本运算 变式训练答案 [变式1]D提示：方法一由已知条件得3∈A,9∈ A,若5∈A,则5B(否则5∈A∩B), 从而5∈CuB,则(CB)∩A={5,9}, 与题设条件矛盾，故5年A. 同理，1A,7A,故A={3,9}. 方法二A=A∩(BUCB)=(A∩B)U(A∩CB) =(3}U{9}={3,9. [变式2]由条件(CRA)∩B={2}和A∩(CRB)={4} 知2∈B,2tA,4∈A,4tB. 将x=2和x=4分别代入， 4-2a+b=0, 得方程组 (16-11a+2b=0, 解得a-号山=号，检验成立，即为所求 [变式3]由MUN=M得NCM, 故当N=时，有2t+1≤2-t, 即≤号时，MUN=M成立 2-t<2t+1, 当N≠0时，由图可得2t+1≤5， 解得3<长2. 2-t≥-2， 2 2t+1 综上可知，所求实数t的取值范围是{tt≤2. [变式4]对于A,由△=4-4(9-a)<0,解得a<8; 对于B,由△=16-4a<0,解得a>4. 因为A,B两个集合中至少有一个集合不为空集， 所以a的取值范围是{aa≥8或a≤4，且a≠0. [变式5]C提示：由题意可知，集合M,N都是由数轴 上0一1这一段上的点所对应的实数组成的集合（如图 所示)，且集合M,N的“长度”分别为子，弓，因此要使 M∩N的“长度”最小，需使它们重叠的部分最少.由图 可知，当它们分别靠近两个端点0和1时其重叠部分 最少，所以所求最小值为子十号一-1=立 M m+ 真题演练答案 1.D 2.C提示：集合S是由奇数组成的集合，集合T是由被 4除余1的整数组成的集合，所以T二S,则S∩T=T. 3.B提示：B={x|x-1≤1}={x|-1x-1≤1} {x|0≤x≤2}，A={-1,1,2,4},.A∩B={1,2. 4.C提示：，A∩B={1},∴.1∈B,即12-4+m=0, 解得m=3,方程为x2-4x十3=0，解得x=1或 x=3,∴.B={1,3}. 5.1.提示：A∩B={1},.1∈B, .a=1或a2十3=1.又：a为实数，a=1. 6.C提示：设只喜欢足球的百分比为x%,只喜欢游泳 的百分比为y%,两个项目都喜欢的百分比为x%,如 图所示 足球 游泳 y 故有x十x=60,x+y十之=96，y+z=82,解得z=46. 练习册答案 A学考过关练 1.D2.D 3.A提示：如图所示，AUC表示的区域为①②③④⑥⑦， BUC表示的区域为②③④⑤⑥⑦，所以(AUC)∩ (BUC)表示的区域为②③④⑥⑦，故A正确；AUB 表示的区域为①②③④⑤⑥，所以(AUB)∩(AUC) 表示的区域为①②③④⑥，故B错误；(AUB)∩(BU C)表示的区域为②③④⑤⑥，故C错误；(AUB)∩C 表示的区域为③④⑥，故D错误 ① ⑤ A @ ④ ③义⑥ C B 第3题图 第4题图 4.m一n.提示：(CuA)U(CuB)中有n个元素，如图中 阴影部分所示，：U=AUB中有m个元素，∴.A∩ B中有(m一n)个元素. 5.k≥2.提示：因为A∩B=B,所以B二A 又A={xx<k},B={x|1<x<2),所以k≥2. 6.{x|0≤x≤1或x>2}.提示：因为A={x|0≤x≤ 2},B={x|x>1},所以AUB={x|x≥0}，A∩B= {x|1<x≤2.因为AXB={x|x∈AUB且xtA∩ B},所以A×B={x|0≤x≤1或x>2}. B高考提能练 1.D提示：因为A∩B={9},所以9∈A,所以2a-1=9 或a2=9.若2a-1=9,则a=5,此时A={9,25,0}, B={-4,0,9},此时A∩B={0,9},不成立.若a2=9, 则a=3或a=-3,当a=3时，1-a=-2,a-5 一2，B中有两个元素相等，故不成立；当a=一3时， A={-7,9,0},B={4,-8,9},此时A∩B={9},成 立.综上，a=一3. 2.C提示：因为B={x1≤x<2),故可得CRB={xx< 1或x≥2}.因为A={xx<a},AU(CRB)=R,故可 得a≥2. 3.A提示：由题可知，当A=⑦时，满足A∩B=必，此 时△=a2一4<0，解得一2<a<2:当A≠⑦时，设方程 x2-ax十1=0的两个实数根为x1,x2,因为A∩B= x1十x2=a≤0， ,所以x1≤0，x2≤0，所以x1x2=1≥0，解得a≤ 4=a2-4>0, 一2.综上，a<2. 4.B提示：若集合A中有1个元素，则集合B中有3个 元素，则1A,3B,即3∈A,1∈B,此时有1对；若重难点手册高中数学必修第一册（上）RUA(浙江专用) 1.3 集合的基本运算 重点和难点 课标要求 重点：并集与交集的含义，用集合语言表达 本节的主要内容是研究集合的基本运算.通过本节的学习， 数学对象或数学内容 学生能掌握集合的基本运算，会用三种语言（自然语言、符号语 难点：补集的含义 言、图形语言)表达数学研究对象，并能进行转换 01一必备知识梳理。 基础梳理 知识点1并集 1.并集的概念 司敲黑板 对并集含义的理解 自然 般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为 语言 集合A与B的并集，记作AUB(读作“A并B”) 1.AUB仍是一个集合，由 所有属于集合A或属于集合B 符号 的元素组成 语言 AUB={x|x∈A或x∈B} 2.“或”的数学内涵如图 所示 x∈A或x∈B A(B) A 图形 (1)AB→AUB=B (2)B军A→AUB=A(3)A=B→AUB=A=B 语言 ① ② 3) x∈A且x4Bx∈A且x∈Bx∈B且xtA B 3.定义中的“或”字与日常 (4)A与B有公共元素，互不包含 (5)A与B无公共元素 生活中所说的“或”字有所不同. 例如，日常生活中说“由甲或乙 2.并集的性质 去完成这件工作”往往指只去一 人即可，而并集定义中的“或”的 性质 含义 含义还包括两人都去」 AUB=BUA 两个集合的并集满足交换律 4.集合A,B中的相同元 AUA=A 任何集合与其本身的并集等于集合本身 素在AUB中只出现一次，即 AUO-OUA-A 任何集合与空集的并集等于集合本身 满足集合中元素的互异性. A(AUB), 任何集合都是该集合与另一集合的并集的子集 BCAUB) 若A二B,则AUB 任何集合与它的子集的并集等于集合本身 =B,反之也成立 16 第一章集合与常用逻辑用语么出型 知识点2交集 1.交集的概念 同敲黑板7 对交集含义的理解 自然 一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为 1.交集中的“且”指的是用 语言A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) “且”连接的几个条件必须同时 符号 满足 语言 A∩B={x|x∈A且x∈B} 2.对于“A∩B={x|x∈A 且x∈B}”,它不仅表示“A∩B 中的任意元素都是A与B的公 B A(B) 共元素”，同时还表示“集合A 与B的公共元素都属于A∩ 1)A=B→A∩B=A(2)B年A→A∩B=B(3)A=B=A∩B=A=B 图形 B”.这就是定义中“所有”二字 A∩B 语言 的含义，而不是“部分”公共元 A B B 素.如A={1,2,3,4},B={2, 3,4,5},则A∩B={2,3,4},即 (4)A与B相交（有公共元素， (5)A与B分离，A∩B=(无共公 互不包含) 元素) 2∈A∩B,3∈A∩B,4∈A∩B. 3.当集合A与B没有公共 2.交集的性质 元素时，不能说A与B没有交 集，而是A∩B=. 性质 含义 A∩B=B∩A 两个集合的交集满足交换律 A∩A=A 一个集合与其本身的交集是其本身 A∩0=0∩A=0 一个集合与空集的交集是空集 (A∩B)≤A, 两个集合的交集是其中任一集合的子集 (A∩B)二B 若A二B,则A∩B=A, 一个集合与其子集的交集是其子集 反之也成立 若A=B,则A∩B=A 若两个集合相等，则它们的交集是其本身 (或A∩B=B) 若A与B无公共元素， 无公共元素的两个集合的交集是空集 则A∩B=0 3.集合的运算律 结合律：(1)A∩(B∩C)=(A∩B)∩C. (2)AU(BUC)=(AUB)UC. 分配律：(3)A∩(BUC)=(A∩B)U(A∩C). (4)AU(B∩C)=(AUB)∩(AUC). 17 重滩点手册高中数学必修第一册（上）UA(浙江专用) 知识点3全集与补集 1.全集 同敲黑板 一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元 对补集含义的理解 素，那么就称这个集合为全集，通常记作U. 1补集既是集合之间的 全集不是固定不变的，它是依据具体问题来选择的.例如，在 种关系，也是集合之间的一种运 算.求集合A的补集的前提是 研究数集时，通常把实数集R看成全集；在立体几何中，三维空间 “A是全集U的子集”，集合A 可以看作一个全集，这时平面就是全集的一个子集；而在平面几 其实是给定的条件】 何中，整个平面可以看作一个全集。 2.补集CuA是针对给定的 2.补集 集合A和U(A二U)而言的一 对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集 个相对概念.一个确定的集合 自然 合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作 A,对于不同的集合U,它的补 语言 CUA 集不同.如集合A={正方形}， 符号 当集合U={菱形}时，CA= CA={x|x∈U且x庄A) 语言 {有一个内角不等于90°的菱 形}，而当集合U={矩形}时， U 图形 CA={邻边不相等的矩形). 语言 A 3.CA表示U为全集时A 的补集.如果全集换成其他集合 (如B)时，则符号中的“U”必须 3.全集与补集的性质 换成相应的集合，即CBA. 性质 含义 4.若x∈U,A二U,则x∈ A∩CuA- 一个集合与其补集的交集是空集 A且xCuA,或x∈CA且 x氏A.如U={1,2,3,4,5},A= AUCoA=U 一个集合与其补集的并集是全集 {1,2,3),CuA={4,5},则有2∈ Cu(CUA)=A 一个集合的补集的补集是其本身 A且2tCA,或5∈CA且 CU- 全集的补集是空集 5A. Co&-U 空集的补集是全集 重难拓展 重难点1德·摩根(De Morgan)定律 设集合U为全集，A,B为U的子集，则有 (1)C(ANB)=(GA)U(CoB). (2)(AUB)=(CA)∩(CB). 这一结论被称为德·摩根定律 下面用图形解释： (I)Cu(A∩B)=(CA)U(CB),利用Venn图表示为如 图1所示的阴影部分. 18 第一童集合与常用逻辑用语么出 U U (A○B A○B A○B A∩B CB U U AOB AOB C(ANB) (CA)U (CB) 图1 (2)Cu(AUB)=(CA)∩(CB),利用Venn图表示为如 图2所示的阴影部分 U U CAC◇B AOB AOB AUB CoA CuB U A○B AOD C(AUB) (CA)∩(CuB) 图2 例1已知U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={3,4,5},B={4,7, 8},求A∩B,AUB,(CA)∩(CB),A∩(CB),(CA)UB. 点拨]本题考查集合的混合运算，是一题多解问题可利用通法，分别 求出A∩B,AUB,CA,CuB后再求解，也可以利用性质或Venn图求解. 解析方法一A∩B={4},AUB={3,4,5,7,8. CA={1,2,6,7,8},CB={1,2,3,5,6}, .(CA)∩(CuB)=1,2,6,A∩(CuB)={3,5},(CA)UB={1,2,4, 6,7,8}. 方法二A∩B,AUB,A∩(CB)的求法同方法一，然后利用德·摩根 定律求解。 (GoA)(CuB)=Co(AUB)=(1,2,6}, (CA)UB=Cu(A∩(CB)={1,2,4,6,7,8. 方法三画出Venn图，如图所示. U 3,5 7,8 1.2.6 由图可得A∩B={4},AUB={3,4,5,7,8}, (CA)∩(CB)={1,2,6},A∩(CB)={3,5}, (CA)UB={1,2,4,6,7,8. 19 重避点手册高中数学必修第一册（上）RUA(浙江专用) 重难点2集合运算中的元素个数问题 在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题， 常用Venn图表示两集合的交、并、补.如果用card表示有限集合元 素的个数，即card(A)表示有限集A的元素个数，则有如下结论： (1)card(AUB)=card(A)+card(B)-card(AB). (2)card (A UB UC)=card (A)+card (B)+card (C)- card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C). 这一结论在计数上称为容斥原理 下面用Venn图来解释以上两个结论， 对结论(1)： 如图1所示，设①表示A中不含A∩B的区域里的元素个数； ②表示B中不含A∩B的区域里的元素个数；③表示A∩B区域 里的元素个数. A∩B B ① ③ ② 图1 则card(AUB)表示A和B区域里一共有的不同的元素个数， 即card(AUB)=①+②+③； card(A)表示集合A的区域里的元素个数，即card(A)= ①+③； card(B)表示集合B的区域里的元素个数，即card(B)= ②+③. 注意到card(A)十card(B)-card(A∩B)=(①+③)+（②+ ③)-③=①+②+③=card(AUB),则结论(1)得证. 对结论(2)： 如图2所示，card(AUBUC)表示A,B,C中所含不同元素 的总个数，而card(A)+card(B)+card(C)中A∩B,A∩C,B∩ C区域里的元素个数分别出现两次，故应分别减去一次.又 card(A∩B∩C)在card(A∩B),card(A∩C),card(B∩C)中各 出现一次，即出现三次，但又已被减去三次，故需再加上， 故有结论：card(AUBUC)=card(A)十card(B)十card(C) card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C). 20 第-童集合与常用逻辑用语么出型 A∩B B A∩Bnd A∩C Bnc 图2 例2某班举行数理化竞赛，每人至少参加一科竞赛.已知参 加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛 的有27人，其中参加数学、物理两科竞赛的有10人，参加物理、 化学两科竞赛的有7人，参加数学、化学两科竞赛的有11人，而 参加数、理、化三科竞赛的有4人，则全班人数为 [解析设参加数学、物理、化学三科竞赛的同学组成的集合分别为A, B,C. 由题意可知，集合A,B,C中的元素个数分别为27,25,27，集合A∩B, B∩C,A∩C,A∩B∩C中的元素个数分别为10,7,11,4. 画出Venn图，如图所示. B 0 12 4 13 C 故全班人数为10十13十12十6+4十7+3=55. 答案55. 口02关建能动提升。 题型方法 .1,3}≤B,{2,4,8}二A. 题型1集合的运算 ,(CA)∩(CB)=Cu(AUB)={6,9}, 例B全集U={x|x是不大于9的正整 .AUB={1,2,3,4,5,7,8}. 数}，A,B都是U的子集，(CuA)∩B={1,3}, .1,3tA,2,4,8tB, (CuB)∩A={2,4,8},(CuA)∩(CuB)={6, ∴.A∩B={5,7}, 9},求集合A,B. A={2,4,5,7,8},B={1,3,5,7} [解析方法一U={xx是不大于9的正整 方法二U={xx是不大于9的正整数}={1， 数}={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. 2,3,4,5,6,7,8,9},且(CA)∩B={1,3},(CB)∩ .(CA)∩B={1,3},(CB)∩A={2,4,8}, A={2,4,8),(CA)∩(CuB)=Cu(AUB)={6,9}, 21 重滩点手册高中数学必修第一册（上）UA(浙江专用) 作出Venn图，如图所示. 题型2集合的综合运算 U 例5已知集合A={x|x≤-1或x≥ 2.4,85 1,3 5},集合B={x|2a≤x≤a十2}. 6,9 (1)若a=-1,求A∩B和AUB. .A={2,4,5,7,8},B={1,3,5,7} (2)若A∩B=B,求实数a的取值范围. ◆变式1已知A,B均为集合U={1,3, 解析(1)若a=-1,则B-{x|-2≤x≤1}， 5,7,9}的子集，且A∩B={3},(CB)∩A= .A∩B={x|-2≤x≤-1}，AUB={x|x≤1 {9},则A=(). 或x≥5}. A.{1,3} B.{3,7,9} (2)A∩B=B,.B二A. C.{3,5,9} D.{3,9} ①若B=0,则2a>a十2，∴.a>2. 例4设A={-3,4},B={xx2-2a.x+ ②若B≠⑦，存在两种情况（如图所示）. b=0},B≠⑦且A∩B=B,求a,b的值. 解析，A∩B=B,B二A. 2aa+2-1 52aa+2 又.A={-3,4}且B≠0， a≤2， a≤2， 或《 .B={-3}或{4}或{-3,4. 则 .a≤-3. a+2≤-12a≥5， 若B={-3}, 综上所述，实数a的取值范围为{a|a>2或 则2a=-3+(-3),a=-3, 即 a≤-3}. b=-3×(-3),b=9. 小结（①）注意空集的特殊性。 若B={4},则 2a=4+4,.a=4, 即 ①若B二A,则应分成B=心和B≠两类进行 b=4×4, 6=16. 讨论. 若B={-3,4}, ②若A∩B=财，则集合A,B可能的情况有： 1 |2a=-3+4, 则 a=2' 即 A,B均为空集；A与B中只有一个空集；A,B 6=-3×4, b=-12. 虽然均为非空集合，但无公共元素. (2)注意结合数轴分析端，点值的大小」 a=-3,.a=4, 综上所述， 或《 或 b=9 b=16 ●变式3设集合M={x|-2<x<5}, b=-12. N={x|2-t<x<2t+1,t∈R},若MUN= 小结集合间的关系与集合的运算的重要性质： M,求实数t的取值范围. 由图1可知，A∩B=A台A三B； 由图2可知，AUB=A台A2B. 题型3集合中补集思想的应用 例6(2026·四川成都重点中学高一检 测)若集合A={x|ax2+3.x十2=0}中至多有 图1 图2 1个元素，则实数a的取值范围为 ◆变式2已知集合A={x4x2-11ax十8b= 解析假设集合A中含有2个元素，即ax2十 0}和B={xlx2-ax+b=0},满足(CRA)∩ a≠0， B={2},A∩(CRB)={4},求实数a,b的值. 3x+2=0有两个不相等的实数根，则 4=9-8a>0, 22 第一章集合与常用逻辑用语么出型 解得a<号且a≠0，此时实鼓a的取值范周是 ●变式4集合A={xx2-2x十9-a=0}, B={xax2一4x+1=0,a≠0}，若集合A,B aa<g且a≠0 中至少有一个非空集合，求实数a的取值 在全集U=R中，条合ala<号且a≠0的补案 范围。 题型4集合中的新定义运算问题 是≥或a=0,所以满足题的实数a的取值 例⑧设M和P是两个非空集合，规定 范是al≥号或a=0 M一P={xx∈M且xP}.根据这一规定， 计算M一(M一P)等于( ) 答奥{aa≥8或a=o. A.M B.P 例7若三个关于x的方程x2十4ax一4a C.MUP D.M∩P +3=0,x2+(a-1)x十a2=0,x2+2ax-2a 解析由M-P={x|x∈M且x￠P}台M =0中至少有一个方程有实根，求实数a的取 P=M∩(CP)(U为全集)，得M-(M-P)=M- 值范围. [M∩(CuP)]=M∩{CuCM∩(CP)]}=M∩ 解析方法一若方程x2+4ax一4a十3=0有 [(CMUCo(CP)]=M∩[(CM)UP]=[M∩ 实根，则△=16a2一4(3-4a)≥0， (CM)]U(M∩P)=U(M∩P)=M∩P. 解得A=ale≥或a≤》】 [答案D 若x2+(a-1)x+a2=0有实根，则△=(a-1)2 点评本题还可利用Venn图来求解，这种方法 -4a2≥0， 比较简单、直观. 解得B=a-1<》: 例9对于集合A,B,我们把集合{(a,b) a∈A,b∈B}记作A×B.例如，A={1,2}, 若x2+2a.x-2a=0有实根，则△=4a2十8a≥0， 解得C={aa≥0或a≤-2. B={3,4},则有 综上所述，满足题意的a的取值范围是 A×B={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)}, AURUC=aa≤名或a≥ B×A={(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}, A×A={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}, 方法二假设已知的三个方程都无实根，a的取 B×B={(3,3),(3,4),(4,3),(4,4) 值范围为集合D. 据此回答下列问题： 16a2-4(3-4a)<0, 则败a-1-4a2<0,解得-2a<-1 (1)已知C={a},D={1,2,3},求CXD. 4a2+8a<0, (2)已知M×N={(1,2),(2,2)},求集合 D=a-a<- M,N. (3)若A中有3个元素，B中有4个元素， ∴.满足三个方程至少有一个有实根的a的取值范 试确定A×B中有几个元素. 国为D的补桑，即ala≤-号或a≥-1 [点拨由这里的新定义集合及示例可知，集合 23 重避点手册高中数学必修第一册（上）RUA(浙江专用) AXB就是从集合A,B中各取一个元素a,b,由a,b N={女n-}≤x≤n,且M,N都是集合xl 组成的有序元素对(a,b)所组成的集合. [解析(1)CXD={(a,1),(a,2),(a,3)}. 0≤x≤1}的子集.如果把b一a叫作集合{x| (2)M×N={(1,2),(2,2)}, a≤x≤b,a,b∈R}的“长度”，那么集合M∩N ∴.M={1,2},N={2. 的“长度”的最小值是( ) (3)从以上解题过程中可以看出，AXB中元素的 2 1 5 A.3 B.3 C.2 D.12 个数与集合A和B中的元素个数有关，即集合A中 的每一个元素与B中的每一个元素对应后，得到AX 易错警示 B中的元素，若A中有m个元素，B中有n个元素，则 ●易错题4（错误率35%）已知A= AXB中的元素个数应为mXn.故若A中有3个元 {x∈Rx<-2或x>3},B={x∈Ra≤ 素，B中有4个元素，则A×B中元素的个数为3×4 x≤2a一1}.若AUB=A,求实数a的取值 =12. 范围 ●变式5设集合M=zm≤x≤m+ 3 参考答案见《全书易错题集》第1页 ]03核心泰养聚焦。 考向分类 [答案D 考向1集合的基本运算 例12(2025·全国Ⅱ卷)已知集合A= 例10(2025·天津卷)已知集合U={1, {-4,0,1,2,8},B={xx3=x},则A∩B= 2,3,4,5},A={1,3},B={2,3,5},则Cu(AU （). B)=(). A.{0,1,2 B.{1,2,8} A.{1,2,3,4} B.{2,3,4} C.{2,8} D.{0,1} C.{2,4} D.{4) 解析B={xx3=x}={0,一1,1}，故A∩B 解析由A={1,3},B={2,3,5},则AUB= ={0,1. {1,2,3,5},集合U={1,2,3,4,5},故Cu(AUB)={4. 答案D 答案D 例13(2025·上海卷)已知全集U={x 例11(2025·北京卷)已知集合M= 2≤x≤5，x∈R},集合A={x|2≤x<4,x∈ {x|2x-1>5},N={1,2,3},则M∩N= R},则A= (). 解析根据补集的含义知A={x|4≤x≤5， A.{1,2,3} B.{2,3} x∈R. C.{3} D.0 [答案{x4≤x≤5，x∈R. 解析因为M={x|2x-1>5}={xx>3},所 例14(2024·全国I卷)已知集合A= 以M∩N=必. {x|一5<x3<5},B={-3,-1,0,2,3},则 24 第一章集合与常用逻辑用语么出 A∩B=(). {x|-2≤x≤1}，则a=(). A.{-1,0} B.{2,3} A.-4 B.-2 C.2 D.4 C.{-3,-1,0} D.{-1,0,2} [解析易知A={x|-2≤x≤2}，B={xx≤ 解析因为A={x-5<x<5},B={一3， -1,0,2,3},且注意到1<5<2，从而A∩B -受}，国为AnB={x-2≤x≤1，所以-号-1， {-1,0. 解得a=-2. 答案A 答案B 例15(2023·全国I卷)已知集合M= 回归教材 教材P14习题1.3第1题的拓展应用 {-2,-1,0,1,2},N={xx2-x-6≥0}，则 常考题型 选择题难度系数0.8高考热度 ★★ M∩N=(). 核心素养 数学运算、直观想象 素养水平水平 A.{-2,-1,0,1} B.{0,1,2} C.{-2} D.{2} 考向3集合中元素的个数问题 [解析N={xlx2一x-6≥0}={xx≤-2 例18(2025·全国I卷)设全集U={x 或x≥3}， x是小于9的正整数}，集合A={1,3,5},则 .M∩N={-2. CA中元素的个数为( [答案C A.0 B.3 C.5 D.8 例16(2023·全国甲卷)设集合A={x 解析因为U={1,2,3,4,5,6,7,8},所以CA= x=3k+1,k∈Z},B={x|x=3k+2,k∈Z}, {2,4,6,7,8},CvA中的元素个数为5. U为整数集，则u(AUB)=(). 答案C A.{x|x=3k,k∈Z 例19（经典·浙江卷）设集合S,T,S二 B.{xx=3k-1,k∈Z N*,T二N,S,T中至少有2个元素，且S,T C.{xx=3k-2,k∈Z} 满足： D. ①对于任意的x,y∈S,若x≠y,则xy∈T; [解析集合A表示被3除余1的整数，集合B 表示被3除余2的整数，则AUB表示被3除余1或 ②对于任意的x,y∈T,若x<y,则∈S. 2的整数，AUB的补集表示能被3整除的数 下列命题正确的是() [答案A A.若S有4个元素，则SUT有7个元素 教材P12例2、P13例6和P14习题1.3 B.若S有4个元素，则SUT有6个元素 回归教材 中第4题 C.若S有3个元素，则SUT有5个元素 常考题型选择题难度系数0.9 高考热度 ★★★ D.若S有3个元素，则SUT有4个元素 核心素养 数学运算 素养水平水平 解析①当S中有3个元素时，设S={a,b, 考向2由集合运算确定参数 cab<c,则(ab,c,acCT,所以∈S,后∈S, 例17（经典·全国I卷）设集合A={x x2-4≤0}，B={x2x十a≤0}，且A∩B= a 25 重难点手册高中数学必修第一册（上）RUA(浙江专用) 当后=c时a=1,所以云=b,即c=6,此时S b C.{x|3≤x<16) D.<16 {1,b,b2},T={b,b2,b3},所以SUT={1,b,b2,b3}, 2.(经典·全国乙卷，考向1)已知集合 有4个元素； S=(ss=2n+1,nEZ),T={tt=4n+1, 当=6时，c=ab,所以名=a,即b=a2(a≠ n∈Z),则S∩T=(). 此时S={a,a2,a3},T={a3,a4,a5},所以SUT= A.0 B.S C.T D.Z {a,a2,a3,a4,a5},有5个元素.故排除C,D 3.(经典·全国Ⅱ卷，考向1)已知集合A= ②当S中有4个元素时，设S={a,b,c,d},a< {-1,1,2,4},B={x川x-1≤1}，则A∩B b<c<d,所以ab<ac<ad<bd<cd,且{ab,ac,ad, =() a6a6ab6,且，a,d bd,cd}二T,所以e<adbdcd A.{-1,2} B.{1,2} ab'ab'ab C.{1,4》 D.{-1,4} 》二S,所以5=a,器-6经-c-d,所以= ab ab ab 4.(经典·全国Ⅱ卷，考向2)设集合A= a2,c=a3,d=a4(a≠1).此时S={a,a2,a3,a4},T= {1,2,4},B={xx2-4x+m=0.若A∩B= {a3,a4,a5,a6,a7},所以SUT={a,a2,a3,a4,a5, {1},则B=( ). a,a7},有7个元素. A.{1,-3} B.{1,0} 答案A C.{1,3} D.{1,5》 教材P10并集与P15集合中元素的个数 5.(经典·江苏卷，考向2)已知集合A= 回归教材 的综合应用 {1,2},B={a,a2+3}.若A∩B={1},则实数 常考题型选择题难度系数0.5 高考热度 ★★ a的值为 核心素养 逻辑推理、数据分析 素养水平水平三 6.(经典·山东卷，考向3)某中学的学生 真题演练 积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足 1.(经典·全国I卷，考向1)若集合M= 球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生 喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的 {x|W元<4}，N={x|3x≥1}，则M∩N= 学生数占该校学生总数的比例是( (). A62% B.56% A.{x|0≤x<2} B{x<2 C.46% D.42% 26误区1忽略集合中元素的互异性 易错题1（错误率30%）已知集合A是由a-2,2a2+ 5a,12三个元素组成的集合，且-3∈A,则实数a的值 为() A.-1 C.-1或-3 D.-1或-2 3 正解因为-3∈A,所以a-2=-3或2a2+5a=-3, 解得a=-1或a=-是 当a=-1时，a-2=-3,2a2+5a=-3,不满足元素 的互异性： 当a=一 时，a-2=-子，2a2+5a=-3,符合 题意 所以a=一多》 答案B 易错探因本题易忽略集合中元素的互异性，在解得α 的值后要代回检验。 误区2忽略对二次项系数的讨论 易错题2（错误率41%）若集合A={xmx2十2x十2=0} 中有两个元素，则实数的取值范围为 正解由题意得m≠0且△=22-4m×2>0, 解得m<号且m≠0， 答案m<分且m≠0 易错探因忽略对二次项系数的讨论，直接使用判别式 误区3没有验证取值范围的边界处 易错题3（错误率36%）已知集合A={x|x≥4或x< -5},B={xla+1≤x≤a+3,a∈R}.若B二A,则a 的取值范围为 正解利用数轴法表示B二A,如图所示. BA A a+1a+3-5 0 4 A A B -5 0 4a+1a+3z 则a+3<-5或a+1≥4，解得a<一8或a≥3. 答案{aa<-8或a≥3. 易错探因求解过程中容易忽略等号能否成立，得到 a十3-5或a十1≥4，解得a≤-8或a≥3. 事实上，在求出a≤一8或a≥3后也可以直接将端点 值回代，看是否符合题意，进而进行适当取舍即可.当 a=一8时，不符合题意，舍去；当a=3时，符合题意， 故正确结果应为{aa<一8或a≥3}. 误区4忽略空集的特殊性 易错题4（错误率35%）已知A={x∈R|x<一2或 x>3},B={x∈Ra≤x2a-1}.若AUB=A,求实 数a的取值范围， 正解.AUB=A,∴.B二A a≤2a-1,a≤2a-1, ①当B≠⑦时， 或 解得a>3; 2a-1<-2l3<a, ②当B=☑时，由a>2a-1,解得a<1. 综上所述，实数a的取值范围是a<1或a>3. 易错探因☑有两个独特的性质：(1)对于任意集合A, 皆有A∩0=；(2)对于任意集合A,皆有AU= A.因此，如果A∩B=☑，就要考虑集合A或B可能 是⑦；如果AUB=A,就要考虑集合B可能是☑， 误区5混淆充分条件与必要条件 易错题5（错误率42%）使不等式2x2-5.x-3≥0成立 的一个充分不必要条件是( A.x≥0 B.x<0或x>2 C.x∈{-1,3,5} Dx≤-2或x≥3 正解由于不等式2x2-5x-3≥0的解为x≥3或x≤ -号所以只有28.5是位不等式2x-x 30成立的一个充分不必要条件. 答案C 易错探因本题在正解中的画波浪线处容易因颠倒了充 分性和必要性而误选B. 误区6忽略对端点值的检验 易错题6（错误率32%）已知“a≤x≤a2+1”是“-2≤ x≤5”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 1