1.2 集合间的基本关系(含误区3)-【重难点手册】2026-2027学年高中数学必修第一册（人教A版）浙江专用

第一章集合与常用逻辑用语么出 1.2集合间的基本关系 重点和难点 课标要求 重点：集合间包含与相等的含义，用集合语言表达 通过本节的学习，学生能掌握集合之间的包含关系与 数学对象或数学内容。 相等关系，能识别给定集合的子集，了解空集的含义，初步 难点：对相似概念及符号的理解，例如区别元素与 学会用三种语言（自然语言、符号语言、图形语言）表达数学 集合、属于与包含等概念及其符号表示 研究对象，并能进行转换 01必备知识梳理。一 基础梳理 知识点1Venn图 用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图. 同敲黑板 例如，如图所示，可用Venn图表示下列集合之间的关系： l.表示集合的Venn图的 A={x|x是平行四边形}，B={x|x是菱形}，C={x|x是矩 边界是封闭曲线，它可以是圆、 形}，D={xx是正方形}. 矩形、椭圆，也可以是其他封闭 曲线。 平行四边形 2.用Venn图表示集合的 A 优点是能够呈现清晰的视觉形 菱形 B 矩形 象，即直观地表示集合间的关 正方形 系；缺点是集合中元素的公共 知识点2子集的概念与性质 特征不明显 1.子集的概念 般地，对于两个集合A,B,如果集合A中的任意一个元素 自然语言 都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 对任意元素x∈A,必有x∈B,记作A二B(或B2A),读作 符号语言 “A包含于B”(或“B包含A”) 图形语言 A(B) 2.子集的性质 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A二A. (2)对于集合A,B,C,如果A二B,且B二C,那么A二C(传 递性). 9 重滩点手册高中数学必修第一册（上）UA(浙江专用) 知识点3集合的相等 卫刀记方法司 一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同 证明或判断集合相等的方法 时集合B的任何一个元素都是集合A的元素.那么集合A与集 1.若A二B,且B二A,则 合B相等，记作A=B.也就是说，若A二B,且B二A,则A=B. A=B;反之，若A=B,则A三 知识点4真子集的概念与性质 B,且B二A.这就给出了证明 两个集合相等的方法，即欲证 1.真子集的概念 A=B,只需证A二B与B二A 自然 如果集合A是集合B的子集，且在集合B中至少存在一个元素不 均成立。 语言 是集合A的元素，我们称集合A是集合B的真子集 2.判断两个集合相等，可 把握两个原则： 如果集合A二B,但存在元素x∈B,且x庄A,就称集合A是集合 符号 (1)两集合A,B均为有限 B的真子集，记作AB(或B吴A),读作“A真包含于B”(或“B 语言 集，若两集合的元素个数相同， 真包含A”) 对应元素分别相同，则两集合 相等，即A=B. 图形 (2)两集合A,B均是无限 语言 集，只需看两集合的代表元素 满足的条件是否一致，若一致， 2.真子集的性质 则两集合相等，即A=B」 对于集合A,B,C,如果AB,且BC,那么AC(传递性). 3.两集合间的关系 两个集合A,B之间的关系如下： 刀作比较 |A=B→A二B且B二A 子集与真子集的区别 ACB A卡B→A丢B 当A二B时，允许A=B A车B 或A至B成立；当A至B时， 4.集合间的基本关系与实数的大小关系的类比 A=B不成立.所以若A二B, 则A丢B不一定成立如集合 实数 集合 A={0,1},B={1,0},则A是 定义 a≤b包含两层含义：a=b或 A二B包含两层含义：A=B或A手B B的子集，记为A二B,但A不 a<b 是B的真子集，即AB不 相等 若a≤b,b≤a,则a=b 若A二B,B二A,则A=B 成立 若a≤b,b≤c,则a≤c 若A二B,B二C,则A二C 性 若a<b,b<c,则a<c 若A手B,BC,则A手C 因此，对于集合的关系符号的含义，可类比实数的大小关系 符号“=，≤，<”来理解和记忆. 知识点5空集 1.空集的概念 不含任何元素的集合叫作空集，记为心. 10 第一章集合与常用逻辑用语么出 2.空集的特征 (1)空集只有一个子集，即它本身，必二0， (2)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，即若 A≠0，则⑦手A. 3.☑与0、{0}、{必}之间的关系 财与0 0与{0) 0与{0) 相同点 都表示无的意思 都是集合 都是集合 ⑦是集合；0是实⑦不含任何元素； 不含任何元素；{}含 不同点 数 {0}含一个元素0 个元素，该元素是☑ 关系 0t0 ☑军{0} 军{0}或0∈{0} 重难拓展 重难点1子集、真子集个数的确定 1.当一个集合的元素个数较少时，我们可以一一列举出全部 子集，从而求出子集与真子集的个数.注意不要漏掉空集， 2.当一个集合的元素个数比较多时，一一列举子集不太现 实，对于其子集的个数有如下结论： 若一个集合中含有n个元素，则该集合的子集有2”个.原因 是集合中的每个元素都可以有选和不选2种可能，所以含有个 元素的集合中，子集有2×2×…×2，即2”个.由此可知： n个2 ①含有n个元素的集合有2”个子集； ②含有n个元素的集合有(2"一1)个真子集； ③含有n个元素的集合有(2”一1)个非空子集； ④含有n个元素的集合有(2m一2)个非空真子集 例①若1,2}二A二{1,2,3,4,5}，则满足条件集合A的个 数是(). A.8 B.7 C.4 D.3 [解析]方法一（列举法）满足条件{1,2}二A二{1,2,3,4,5}的集合A 有{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}， {1,2,3,4,5},共8个 方法二（计数法）因为集合A满足{1,2}二A二{1,2,3,4,5}，所以集合 A一定含有元素1,2（可不考虑），可能含有元素3,4,5，故集合A的个数即 为集合{3,4,5}的子集个数，即为23=8. [答案A 重难点2区别元素与集合、集合与集合间的关系 1.元素与集合的关系是“属于”或“不属于”的关系，即用符号 D防误区 表示为“∈”或“庄”，例如1∈N,一1N. 判断集合之间的关系不能 11 重滩点手册高中数学必修第一册（上）UA(浙江专用) 2.集合与集合的关系是“包含”或“不包含”的关系，即用符号 仅凭表面的理解，应当注意观 表示为“二”或“车”，例如N二R,{1,2,3}车{4,5,6. 察集合中元素的特征.解题时 例2已知集合A={0,1},B={xx二A),则下列关于集合 要思考两个问题： (1)两个集合中的元素分 A与B的关系，正确的是(). 别是什么； A.A二B B.AB C.BSA D.A∈B (2)两个集合中元素之间 解析因为x二A,所以B={0,{0},{1},{0,1},则集合A={0,1} 的关系是什么. 是集合B中的元素，所以A∈B. 答案D 门02关健能幼提升。 题型方法 方法二 :M=女x=n+合m∈Z 题型】集合间关系的判断 例B已知集合M=x=m+日m∈2， 6 N={女x=g-号m∈2，P-{z小e-号+6 N-=是gne2 p∈Z.试确定M,N,P之间满足的关系. 解铜方法一条合M=(xx=m十言， =xz-3n1)+中，mez, 6 m∈z. 6,∈z 关于集合N:①当n是偶数时，令n=2m(m∈ Z,则N=女女=m号m∈Z, 比较三个表达式可得M手N=P. ②当n是奇数时，令n=2m+1(m∈Z),则N 方法三（数轴法） 由M={zx=m+gm∈Z -a1合me-k=m+m2。 可知M中的元素之间的距离相隔1的整数倍，M中 的元素在数轴上表示如图1所示.同理，N中的元素 从而可得M手N. 关于集合P:①当p是偶数时，令p=2m(m∈Z), 之间的距离相隔)的整数倍，在数轴上表示如图2所 则P=z=m+日m∈z, 示.P中的元素之间的距离也相隔)的整数倍，在数 ②当P是奇数时，令p=2m-1(m∈Z),则P= 轴上表示如图2所示 1 13 l-246me2-lx=m吉me2 从而可得N-P.综上可知，MN-P. 图1 12 第一章集合与常用逻辑用语么出9 A.A☒B中有4个元素 0 B.A☒B中有7个真子集 图2 C.3∈A☒B 由图2可知，MN=P」 D.A☒B中的元素之和为13 点评1.方法二较简单，先将分母化成相同的数 解析x可取2，N5,y可取1，W2,则之可取(2十 6,再看分子，集合M的分子是被6除余1的数，集合P 1)×(2-1)=3,(2+√2)×(2-√2)=2，(W5+1)× 和N的分子是被3除余1的数 (5-1)=4,(5+√2)×(5-√2)=3. 2.方法三利用集合中元素之间相差都是某个常 由集合的互异性可知A☒B中有3个元素，故选 数的整数倍，从而在数轴上画出这些元素，可以很直 观地得到它们之间的关系 项A错误； A☒B={2,3,4},则A☒B的真子集有23-1= 泡方法 7个，故选项B正确； (1)一个整数被2整除，可记为2k(k∈Z); 3∈AB,故选项C正确； 个整数被2除余1，可记为2k十1或2k一1(k∈Z). A☒B中所有元素之和为2十3+4=9，故选项D (2)一个整数被3整除，可记为3k(k∈Z)；一 错误」 个整数被3除余1，可记为3k十1或3k-2(k∈Z); 一个整数被3除余2，可记为3k一1或3k+2 [答案BC (k∈Z) 例6已知集合A={1,3,5},求集合A的 (3)一个整数被4整除，可记为4k(k∈Z);一 所有子集的元素之和. 个整数被4除余1，可记为4k十1或4k一3(k∈Z)； 解析集合A的所有子集分别是心，{1}，{3)， 一个整数被4除余2，可记为4k+2或4k一2(k∈ 5},{1,3},{1,5},{3,5},{1,3,5}.注意到A中的每 Z);一个整数被4除余3，可记为4h+3或4一1 个元素都出现在A的4个子集之中，即在其和中出现 (k∈Z), 了4次，故所求之和为(1十3+5)×4=36. 题型2有限集合的子集个数 ◆变式1若x∈A,则二∈A,就称A是伙 例④(2025·湖北部分重，点中学第二次联考) 已知集合A-女e2≤，B=l1y 件关系集合，在集合M={10,2日2,3 的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个 x2,x∈A},则集合B的子集的个数为( 数是(). A.7 B.8 C.15 D.16 A.31 B.7 C.3 D.1 图细集合A=女ez-号到=：∈z 题型3由集合间的关系确定参数范围 -2<x≤2}={-1,0,1,2}，B={yly=x2,x∈A}= 1.利用集合相等的关系求参数 {0,1,4},故集合B的子集的个数为23=8. 例7若{0，-1,2a}={a-1,-a|,a+1}, 答案B 求a的值. 例5(2026·江苏如皋中学高一阶段练 解析由题意知，当a一1=0时，a=1,此时{0， 习)（多选）定义集合运算A☒B={之|之= -1,2}={0,一1,2}，符合题意 (x十y)×(x-y),x∈A,y∈B},设集合A 当a-1=一1时，a=0,此时{0，一1,0}不符合集 {2,5},集合B={1,√2}，则(). 合中元素的互异性，舍去 13 重难点手册高中数学必修第一册（上）RUA(浙江专用) 当a-1=2a时，a=-1,此时{0，-1，-2}= b的值为 {一2，-1,0}，符合题意. 例9设集合A={x|一2≤x≤5}，B= 综上可知，a=1或a=一1. {xlm+1≤x≤2m-1}. ●变式2若集合A={a2,ab},B={1,b}, (1)若B二A,求实数m的取值范围。 且A=B,求a,b的值. (2)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数： 2.利用集合包含关系求参数（注意☑的情况） [解析(1)当m+1>2m-1,即m<2时，B= 例8已知集合A={x|x2-2x十a=0}, ⑦，满足B二A. B={1,4},且A手B,求实数a的范围！ 当m十1≤2m-1,即m≥2时，要使B二A成立， 解析因为A手B且B={1,4}的真子集有☑， m+1≥-2， 如图所示，只需 即2≤m≤3. (1},{4}, 2m-1≤5， 所以A=0,A={1}或A={4}. 当A=☑时，x2-2x十a=0无实根， -2m+12m-15 所以△=(-2)2-4a<0,解得a>1. 综上，当B二A时，m的取值范围是{mm≤3). 当A={1}时，x2一2x十a=0有两个相等的实根1， (2)当x∈Z时，A={-2,-1,0,1,2,3,4,5}, {4=(-2)2-4a=0, 所以集合A的非空真子集的个数为2一2=254 所以 解得a=1. 12-2×1+a=0, 易错警示 当A={4}时，x2-2x十a=0有两个相等的实根4， ●易错题3（错误率36%）已知集合A △=(-2)2-4a=0, 所以 此方程组无解」 42-2×4+a=0, ={x|x≥4或x<-5},B={xa+1≤x≤ 综上所述，实数a的范围是a≥l. a+3,a∈R},若B二A,则a的取值范围为 ●变式3(2026·上海师大附中高一阶段 练习)若集合{x|ax2+2x+1=0}={b},则 参考答案见《全书易错题集》第1页 -03核心泰养聚焦。 考向分类 [答案痢D 考向1判断集合间的关系 回归教材教材P9习题1.2复习巩固第1题 例10（经典·全国I卷改编）已知集合 常考题型 选填题难度系数0.8高考热度★★ 核心素养 逻辑推理 素养水平水平二 A={x|x>5或x<4},B={x|-√5<x< 考向2由集合间的关系确定参数 √5}，则(). 例11(2023·全国Ⅱ卷)设集合A={0, A.ACB B.BCA -a},B={1,a-2,2a-2}.若A二B,则a= C.A￥B D.BA (). 解析由图可知，B手A. A.2 B.1 c号 D.-1 B☐AA -50w545 解析：ACB,.0∈B且一a∈B. 14 第-章集合与常用逻辑用语么出 若0=a-2,则a=2,故A={0,-2},B={1,0, 以当满足A二C二B时，集合C可以为{1,2}，{1,2,3}， 2},而一2氏B,故不满足条件。 {1,2,4},{1,2,3,4},故满足条件的集合C有4个. 若0=2a-2,则a=1,故A={0,-1},B={1, 答案D 一1,0}，满足条件. 回归教材教材P8例1的拓展应用 答案B 常考题型 选填题难度系数0,9高考热度 ★★ 回归教材教材P9拓广探索第5题的拓展应用 核心素养 数学运算 素养水平水平二 常考题型 选填题难度系数0.5高考热度 ★★ 真题演练 核心素养 数学运算 素养水平 水平三 1.(经典·福建卷改编，考向1、2)已知集 考向3子集的个数 合A={1,a},B={1,2,3},那么(). 例12（经典·湖北卷）已知集合A={x A.若a=3,则A二B x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈ B.若A二B,则a=3 N},则满足条件A二C二B的集合C的个数为 C.若a=3,则A车B (). D.若A二B,则a=2 A.1 B.2 C.3 D.4 2.(经典·江苏卷，考向3)集合{一1,0,1} [解析因为集合A={1,2},B={1,2,3,4},所共有 个子集 15误区1忽略集合中元素的互异性 易错题1（错误率30%）已知集合A是由a-2,2a2+ 5a,12三个元素组成的集合，且-3∈A,则实数a的值 为() A.-1 C.-1或-3 D.-1或-2 3 正解因为-3∈A,所以a-2=-3或2a2+5a=-3, 解得a=-1或a=-是 当a=-1时，a-2=-3,2a2+5a=-3,不满足元素 的互异性： 当a=一 时，a-2=-子，2a2+5a=-3,符合 题意 所以a=一多》 答案B 易错探因本题易忽略集合中元素的互异性，在解得α 的值后要代回检验。 误区2忽略对二次项系数的讨论 易错题2（错误率41%）若集合A={xmx2十2x十2=0} 中有两个元素，则实数的取值范围为 正解由题意得m≠0且△=22-4m×2>0, 解得m<号且m≠0， 答案m<分且m≠0 易错探因忽略对二次项系数的讨论，直接使用判别式 误区3没有验证取值范围的边界处 易错题3（错误率36%）已知集合A={x|x≥4或x< -5},B={xla+1≤x≤a+3,a∈R}.若B二A,则a 的取值范围为 正解利用数轴法表示B二A,如图所示. BA A a+1a+3-5 0 4 A A B -5 0 4a+1a+3z 则a+3<-5或a+1≥4，解得a<一8或a≥3. 答案{aa<-8或a≥3. 易错探因求解过程中容易忽略等号能否成立，得到 a十3-5或a十1≥4，解得a≤-8或a≥3. 事实上，在求出a≤一8或a≥3后也可以直接将端点 值回代，看是否符合题意，进而进行适当取舍即可.当 a=一8时，不符合题意，舍去；当a=3时，符合题意， 故正确结果应为{aa<一8或a≥3}. 误区4忽略空集的特殊性 易错题4（错误率35%）已知A={x∈R|x<一2或 x>3},B={x∈Ra≤x2a-1}.若AUB=A,求实 数a的取值范围， 正解.AUB=A,∴.B二A a≤2a-1,a≤2a-1, ①当B≠⑦时， 或 解得a>3; 2a-1<-2l3<a, ②当B=☑时，由a>2a-1,解得a<1. 综上所述，实数a的取值范围是a<1或a>3. 易错探因☑有两个独特的性质：(1)对于任意集合A, 皆有A∩0=；(2)对于任意集合A,皆有AU= A.因此，如果A∩B=☑，就要考虑集合A或B可能 是⑦；如果AUB=A,就要考虑集合B可能是☑， 误区5混淆充分条件与必要条件 易错题5（错误率42%）使不等式2x2-5.x-3≥0成立 的一个充分不必要条件是( A.x≥0 B.x<0或x>2 C.x∈{-1,3,5} Dx≤-2或x≥3 正解由于不等式2x2-5x-3≥0的解为x≥3或x≤ -号所以只有28.5是位不等式2x-x 30成立的一个充分不必要条件. 答案C 易错探因本题在正解中的画波浪线处容易因颠倒了充 分性和必要性而误选B. 误区6忽略对端点值的检验 易错题6（错误率32%）已知“a≤x≤a2+1”是“-2≤ x≤5”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 1鸭证明a,己。，1一日这三个数两两互不相等 a ①诺a=。即a-a+1=0,无实根，a≠。 ②若a=1-1,即a2-a+1=0,无实根，…a卡1-a为 ③若。=1-合，即公2-a+1=0,无实极， 1 综上所述，集合S中至少有三个不同的元素。 1.2集合间的基本关系 变式训练答案 [变式1B提示：集合M={10,2,号2,3的所 有非空子集中具有伙伴关系的集合为(-1，{3,2， (合3，{-1，日2…{1号…层2 {-1,23. [变式2]由A=B知两集合的元素相同. 若a2=1,解得a=士1. 当a=1时，A={1,b},B={1,b}, 此时A=B需满足b∈R且b≠1； 当a=-1时，A={1,-b},B={1,b}, 此时A=B需满足b=一b,即b=0. 若a2=b,A={b,ab},B={1,b},此时A=B需满 足ab=1,取a=1,b=1,这时不满足集合的互异性，故 舍去 综上所述，当a=1时，b∈R且b≠1；当a=-1时，b=0. [变式3】一或-1提示：根据题意知集合xar十 2x+1=0}={b}, 则集合中只有一个元素，即ax2+2x十1=0只有一个 实数根， ①当a=0时，ax2+2x十1=0，即2x十1=0，解得x= 29 集合xlar2+2xr+1-o-x=号}则6=是 ②当a≠0时，△=4-4a=0,则a=1, 此时集合{x|x2十2x十1=0}={x|x=-1),故b=-1. 所以6的值为-分或-1. 真题演练答案 1.A提示：当a=3时，A={1,3},B={1,2,3},A二B 成立.当A二B时，a=2或3. 2.8.提示：由于集合中有3个元素，因此该集合的子集 共有23=8个 练习册答案 A学考过关练 1.AD提示：对于A,0∈{0}，故A正确；对于B,集合 {0,1}表示数集，集合{(0,1)}表示点集，故B错误；对 于C,集合{(a,b)}表示以点(a,b)为元素的集合，集合 {(b,a)}表示以点(b,a)为元素的集合，故C错误；对 于D,空集是任意非空集合的真子集，故D正确. 2.AC提示：由x2-2x-3=(x-3)(x+1)=0,得x -1或x=3,由题意知{-1,3}二A{-1,0,1,3},所 以满足条件的集合A可能为{一1,3}，{-1,0,3)， {-1,1,3}. 3.D提示：因为A={x|1<x<2},B={xx<a}且A二 B,所以a≥2，即a的取值范围是{aa≥2}. 4C提示：治有意义，a≠0.：{a,名，1=a, a+b,0,2=0,即6=0，a0,1)=a2,a, 0},.当a2=1时，a=-1或a=1,当a=1时，不符 合元素的互异性，故舍去，当a=一1时，满足题意.故 a=-1,b=0,∴.a2025+b202s=(-1)2025+025=-1. 5.A提示：因为A有8个子集，所以集合A中含有3个 元素，则2<m≤3. 6.31.提示：依题意得A={(3,19),(19,3),（5,17), (17,5),(11,11)},所以集合A的真子集的个数为25 1=31, B高考提能练 1.C提示：任取a∈M,则a=5k1-2=5(k1-1)+3, k1∈Z,所以a∈P,所以M二P,任取b∈P,则b=5m1+ 3=5(n1十1)一2，n1∈Z,所以b∈M,所以P二M,所 以M=P.任取c∈S,则c=10m1+3=5·2m1+3, m∈Z,所以c∈P,所以S二P,又8∈P,8￠S,所以 S≠P,所S二P=M,故选C. 2.90.提示：P={-1,1,3,5,7}, ∴.集合P的含有3个元素的子集有10个，即k=10. 在这10个子集中，P中每个元素都出现了6次， .Sr,+Sp,+…+Sp=6×(-1+1+3+5+7)=6× 15=90. 3.C提示：满足条件的集合有两类：(1)有四个连续元素 的集合共有3个，即{0,1,2,3}，{1,2,3,4}，{2,3,4,5}. 3