专题09 变量与函数、一次函数的概念 暑假预习讲义 2026-年苏科版八年级数学上册

专题09 变量与函数、一次函数的概念 暑假预习讲义 ✺知识框架 1.变化与变量板块：认知现实生活与数学问题中的变化过程，掌握常量与变量的概念，建立动态数学思维。 2.函数概念板块：掌握函数的定义与三要素，理解自变量、因变量、函数值的含义，学会判定函数关系、确定自变量的取值范围、求解函数值。 3.函数表示方法板块：掌握解析式法、列表法、图像法三种函数表示方式，明晰三种方法的特点与适用场景，了解三者之间的相互转化关系。 4.一次函数基础板块：掌握一次函数、正比例函数的课本标准定义与解析式结构，厘清二者的包含关系，能够精准判别一次函数与正比例函数。 ✅本节依托教材，依次讲解常量与变量、函数概念、自变量取值范围、函数表示方法、一次函数与正比例函数等核心内容，是后续各类函数知识学习的铺垫，也是中考核心基础考点。 ✺学习目标 ◆基础知识 1.认识现实情境中的变化规律，掌握常量、变量的教材定义，能够结合具体问题准确区分常量与变量。 2.熟记函数的定义，理解“唯一对应”的核心内涵，明确自变量、因变量、函数值的基本概念。 3.掌握自变量取值范围的确定原则，能根据解析式要求和实际情境确定自变量取值范围，熟练求解函数值。 4.掌握函数的三种表示方法，熟知各类方法的优缺点，能结合实际问题选择合适的函数表示形式。 5.熟记一次函数、正比例函数的定义及标准解析式，理清二者的从属关系，能准确判别两类函数。 ◆能力提升 1.具备基本的动态分析能力，能够从实际问题与数学情境中抽象出变化过程，准确识别变量与常量。 2.具备初步的函数建模能力，依据函数“唯一对应”的核心要求判定变量间的函数关系，规范完成函数值计算与取值范围求解。 3.具备函数辨识能力，能够根据解析式的结构特征，准确区分一次函数、正比例函数与其他函数。 ◆综合素养 1.建立变量与函数的核心观念，突破静态数学思维，形成动态关联的数学认知，培养数学抽象素养。 2.初步掌握数学建模的基本思想，能够用函数知识刻画现实中的变化规律，提升数学应用与逻辑推理素养。 ✺题型归纳 题型1.函数的概念 题型2.函数解析式 题型3.求自变量的取值范围 题型4.求自变量的值或函数值 题型5.用表格表示变量间的关系 题型6.用关系式表示变量间的关系 题型7.用图象表示变量间的关系 题型8.函数图象识别 题型9.从函数的图象获取信息 题型10.用描点法画函数图象 题型11.动点问题的函数图象 题型12.函数的三种表示方法 题型13.正比例函数的定义 题型14.识别一次函数 题型15.根据一次函数的定义求参数 题型16.列一次函数解析式并求值 题型17.求一次函数解析式 题型18.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、常量与变量 变量：在某一变化过程中，数值发生变化的量称为变量。 常量：在某一变化过程中，数值始终保持不变的量称为常量。 结论：常量与变量具有相对性，需结合具体变化过程判定。同一个量，在不同的变化过程中，可能为常量，也可能为变量。 知识点二、函数的概念 1.定义：在一个变化过程中，存在两个变量x和y，如果对于变量x的每一个确定的值，变量y都有唯一确定的值与之对应，那么称x为自变量，y是x的函数。 2.函数三要素 ① 自变量的取值范围 ② 对应关系 ③ 函数值的取值范围 3.自变量与函数值 自变量：在研究过程中，我们自主选定取值的变量。 函数值：当自变量取某一确定数值时，对应的唯一y值，即为该自变量对应的函数值。 知识点三、自变量的取值范围 1.取值原则：自变量的取值需同时满足双重要求：一是使函数解析式本身有数学意义；二是若对应实际问题，需符合实际情境的客观规律。 2.常见取值要求 整式解析式：自变量可取全体实数； 分式解析式：分母取值不为0，保证式子有意义； 开偶次方根：被开方数是非负数； 零指数幂中：底数不为零； 实际应用问题：自变量取值符合生活实际，如长度、人数等需为正数，人数、个数等需为正整数。 知识点四、函数的三种表示方法 方法 定义 优点 不足 解析法 用数学式子如 y=kx+b表示两个变量之间的函数关系 简洁准确，能求出任意自变量对应的函数值，便于研究函数性质 有些函数不能用代数式表示 列表法 通过表格列出自变量与对应的函数值 可直接查到部分自变量对应的函数值 只能列出有限组数值，难以反映整体变化规律 图象法 在平面直角坐标系中用图象表示函数关系 直观反映函数的变化趋势 从图象上读数存在误差，不够精确 知识点五、一次函数的概念 1. 一次函数定义：一般地，形如 y=kx+b(k、b为常数，k≠0)的函数，叫做一次函数。 2.一次函数结构特征 ① 等式两边为整式； ② 自变量 x 的次数是 1； ③ 自变量系数k≠0； ④ 常数项b可取任意实数。 知识点六、正比例函数的概念 1.正比例函数定义：特别地，当一次函数 y=kx+b中的常数项b=0时，函数简化为y=kx(k为常数，k≠0），此类函数称为正比例函数。其中k叫做比例系数。 2.正比例函数核心特征 ① 解析式是整式； ②自变量 x 的次数为 1； ③ 比例系数k≠0； ④ 不含常数项（常数项等于 0）。 知识点七、一次函数与正比例函数的关系 类别 解析式 成立条件 相互关系 一次函数 y=kx+b k、b为常数，k≠0 包含正比例函数；b可取任意实数 正比例函数 y=kx k为常数，k≠0 特殊的一次函数（满足 b=0） 结论：正比例函数属于特殊的一次函数，因此正比例函数一定是一次函数；但一次函数包含非正比例的一般形式，故一次函数不一定是正比例函数。 ✺题型精讲 题型1.函数的概念 1．气温随海拔高度的变化而变化，下列说法正确的是（　　　　　） A．是自变量，是因变量 B．都是自变量 C．是自变量，是因变量 D．都是常量 【答案】C 【详解】解：∵气温随海拔高度的变化而变化， ∴海拔高度是主动变化的自变量，气温是随变化的因变量， ∴是自变量，是因变量． 2．“欲穷千里目，更上一层楼”这句诗反映了视野范围会随着登高楼层的变化而变化，其中自变量是________．（填“登高楼层”或“视野范围”） 【答案】登高楼层 【分析】本题考查自变量与因变量的概念，根据题意判断两个量的变化关系即可得出结论． 【详解】解：在一个变化过程中，主动发生变化的量是自变量，随之发生变化的量是因变量， 由题意可知，视野范围随登高楼层的变化而变化，主动变化的量为登高楼层，因此自变量是登高楼层． 3．下列情景中，可以表示是的函数的是_______．（填序号） 某天的气温与时间（时）的关系： 正方形的面积与边长的关系： 数轴上一个点的坐标与这个点到原点的距离的关系． 【答案】 【分析】函数定义为：在一个变化过程中，有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，则是的函数，据此对三个情景逐一判断即可. 【详解】解：对于时间的每一个确定的值，气温都有唯一确定的值与之对应，因此是的函数，符合题意； 对于正方形边长的每一个确定的值，面积都有唯一确定的值与之对应，因此是的函数，符合题意； 由题意可得，当时，有两个不同的值与之对应，不满足函数定义，不符合题意； ∴能表示是的函数的是． 题型2.函数解析式 1．一辆汽车以的平均速度在公路上行驶，则它所走的路程与所用的时间之间的关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用行程问题中路程，速度，时间的基本关系，代入已知速度即可得到正确关系式． 【详解】根据题意可得． 2．长方形的周长为，其中一边长为，面积为，则与的关系式可表示为______． 【答案】 【分析】先求出另一边长，再根据长方形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵长方形的周长为36cm，其中一边长为， ∴另一边长为， ∵面积为， ∴． 3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴正半轴上，点在轴的正半轴上，点和点的坐标分别为，． (1)求线段的长； (2)点从原点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，运动时间为，连接，设的面积为，试用含的代数式表示（不要求写出的取值范围）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直角坐标系及点的坐标得，，，再根据勾股定理即可得出答案； （2）根据题意得：，点从原点到点的时间为：，分两种情况：①当在上时；②当在延长线上时，分别画出图形求解即可． 【详解】（1）解：∵点和点的坐标分别为，， ∴，，， 在中，， ∴线段的长为； （2）解：∵点从原点出发沿射线以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为，且，，， ∴，点从原点到点的时间为：， ①当在上时，如图， ∴， ∴； ②当在延长线上时，如图， ∴， ∴； 综上所述，． 题型3.求自变量的取值范围 1．函数的自变量x的取值范围是（   ） A．且B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题根据二次根式和分式的意义求自变量取值范围，需要满足被开方数非负，分母不为0，列出不等式组求解即可． 【详解】解：要使函数有意义， ∵二次根式的被开方数必须非负，分式的分母不能为0， ∴， ∴自变量的取值范围是且． 2．函数的定义域是_____． 【答案】 【分析】根据分母不为零即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 3．已知等腰三角形的周长为，底边长为，腰长为． (1)y与x之间的函数解析式为________，自变量x的取值范围为_________； (2)当_______时，这个等腰三角形是等边三角形． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由三角形的周长公式结合等腰三角形的周长为，即可得出与之间的函数关系式，再由三角形的三边关系即可得出关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得出的取值范围； （2）根据等边三角形的性质，可得出关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：由等腰三角形周长公式可得，移项整理得，即， ， 解得：． 与之间的函数关系式为；自变量x的取值范围为； （2）解：若等腰三角形为等边三角形，则三边长度相等，即底边长等于腰长， ， 将代入周长公式，得， 解得， 所以当时，这个等腰三角形是等边三角形． 题型4.求自变量的值或函数值 1．下列各点在函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断点是否在函数图象上，只需将点的横坐标代入函数解析式，若计算得到的y值等于点的纵坐标，则该点在函数图象上． 【详解】解：函数解析式为 选项A：把代入得，与点的纵坐标相等，符合要求． 选项B：把代入得，不符合． 选项C：把代入得，不符合． 选项D：把代入得，不符合． 2．在函数中，当时，函数值____________． 【答案】 【分析】将给定的自变量的值代入函数解析式，依据有理数运算法则计算即可得到对应函数值． 【详解】解：把代入函数， 得． 3．有一个水箱的容积为，水箱内原有水，现往水箱中匀速注水，已知每分钟注水． (1)写出水箱内水量与注水时间之间的关系式； (2)求注水时水箱内的水量． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据“水箱内水量新注入的水量+原有水量”写出Q与t的函数关系式，并标明t的取值范围即可； （2）将代入（1）中得到的函数关系式，求出对应的Q的值即可； 【详解】（1）解：（1）根据题意，得， 当时，得，解得， ∴， ∴Q与t的函数关系式为． （2）解：当时，， ∴注水时水箱内的水量是． 题型5.用表格表示变量间的关系 1．如图是小明在爸爸给汽车加油时看到的某一时刻加油机上的数据显示牌，在此次加油中的常量是（     ） A．金额 B．油量 C．单价 D．金额和油量 【答案】C 【分析】在变化过程中数值保持不变的量是常量，数值发生变化的量是变量，据此解答即可． 【详解】解：在此次加油过程中，单价固定不变，故常量是单价． 2．某商场销售某种商品，原价240元，随着不同幅度的降价（元），日销售量（件）发生相应变化，关系如下表所示： 降价/元 5 10 15 20 日销售量/件 230 260 290 320 根据以上信息，当售价为240元时，该商品日销售量为__________件． 【答案】 【分析】观察表格数据可得，每降价5元，日销售量增加30件，售价为240元即未降价，据此可计算出对应日销售量． 【详解】解：由表格可知，每降价5元，日销售量增加30件， 当售价为240元时，降价金额为0元，比降价5元时少30件销售量， 因此日销售量为 （件）． 3．实验人员为了解某型号汽车耗油量，在公路上做了试验，并将试验数据记录下来，制成下表： 汽车行驶时间 0 1 2 3 4 油箱剩余油量 50 44 38 32 26 (1)上表反映了哪两个变量之间的关系？其中，哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)汽车出发时油箱共有油__________L. (3)当汽车行驶时，求油箱的剩余油量. (4)请简略描述汽车行驶时间为时，油箱剩余油量是如何变化的． 【答案】(1)上表反映了汽车行驶时间与油箱剩余油量之间的关系，其中，汽车行驶时间是自变量，油箱剩余油量是因变量． (2)50 (3) (4)汽车行驶时间为时，油箱剩余油量从减少到．（答案不唯一，合理即可） 【分析】（1）根据函数概念作答. （2）根据表格中的数据可得答案. （3）根据汽车行驶时间每增加，油箱剩余油量就会减少，再列式计算即可. （4）根据表格中的数据的变化情况作答. 【详解】（1）解：上表反映了汽车行驶时间与油箱剩余油量之间的关系，其中，汽车行驶时间是自变量，油箱剩余油量是因变量． （2）解：由表格中的数据可知，汽车出发时油箱共有油. （3）解：根据表格中数据可知：汽车行驶时间每增加，油箱剩余油量就会减少， 所以当汽车行驶时，油箱的剩余油量为． （4） 解：汽车行驶时间为时，油箱剩余油量从减少到．（答案不唯一） 题型6.用关系式表示变量间的关系 1．某海域海水的压强（单位：）与水深（单位：）之间的关系满足：（其中为海水的密度，通常为）．这个情境中，常量是（     ） A． B． C．和 D．和 【答案】C 【分析】在一个变化过程中，数值始终不变的量是常量，数值发生改变的量是变量，根据概念判断各量即可． 【详解】解：∵在该情境中，压强随水深的变化而变化， ∴和是变量， ∵是固定常数，是固定值， ∴和都是常量． 2．某书定价元，如果一次购买本以上，超过本的部分打八折，试写出付款金额（单位：元）与购买数量（）（单位：本）之间的函数关系式为________（不用写的取值范围）． 【答案】/ 【分析】根据题目情境得购买20本及以内时，每本定价25元，购买本以上，超过部分打八折，即可列式，化简即可得解析式. 【详解】解：根据题意得： 当时，, ∴， ∴付款金额（单位：元）与购买数量（）（单位：本）之间的函数关系式为:. 3．在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定．在其下端悬挂物体（所挂物体质量不能超过），下面是测得的弹簧的长度与所挂物体质量的一组对应值． 所挂物体质量 0 1 2 3 4 … 弹簧的长度 18 20 22 24 26 … (1)如果物体的质量为，弹簧的长度为，根据上表写出与之间的关系式； (2)当物体的质量为时，根据（1）的关系式，求弹簧的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据表格中的数据可知所挂质量每增加，弹簧的长度增加，据此可得答案； （2）求出时y的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，所挂质量每增加，弹簧的长度增加， ∴； （2）解：在中，当时，， ∴当物体的质量为时，弹簧的长度为． 题型7.用图象表示变量间的关系 1．A、B两座城市之间有一条高速公路，甲、乙两辆汽车同时分别从这条路两端的入口处驶入，并始终在高速公路上正常行驶．甲车从A城驶往B城，乙车从B城驶往A城，甲、乙两车之间的距离与甲车行驶的时间之间的关系如图所示，根据图象，当甲、乙两车相遇时，甲车的行驶时间是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由图象可得，甲车行驶时，甲、乙两车相距，即两车相遇，故B符合题意． 2．为了研究气温对冷饮销售的影响，一家饮品店经过一段时间的统计，得到一组卖出的冷饮杯数与当天最高气温的数据，用如图所示的趋势图描述这家饮品店一天中卖出的冷饮杯数与当天的最高气温之间的关系．根据所作的趋势图，估计当饮品店卖出的冷饮杯数约为140时，这一天的最高气温约为______． 【答案】 【分析】根据所作的趋势图直接求解即可． 【详解】解：根据所作的趋势图，估计当饮品店卖出的冷饮杯数约为140时，这一天的最高气温约为． 3．如图是自动测温仪测得的某个城市在一天24时的气温变化情况： (1)指出图中的变量； (2)气温在哪段时间是上升的？ (3)求这天的温差（最高气温与最低气温的差值）． 【答案】(1)温度和时间 (2)气温在3时到14时是上升的 (3) 【分析】（1）直接观察图象，即可求解； （2）直接观察图象，即可求解； （3）观察图象可得最高气温为，最低气温，即可求解． 【详解】（1）解：由图可得，图中的变量是温度和时间． （2）解：观察图象得：气温在3时到14时是上升的． （3）解：观察图象得：最高气温为，最低气温． ∴这天的温差为． 题型8.函数图象识别 1．下列图象中，表示是的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的定义：对于 的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与其对应．在图象上，可以通过“垂线法”判断，即作垂直于 轴的直线，若直线与图象最多只有一个交点，则是函数图象． 【详解】解： A. 作垂直于 轴的直线，可能与图象有多个交点， 即对于同一个 ，有多个 值与之对应， 故 不是 的函数； B. 作垂直于 轴的直线（），与图象有两个交点， 即对于同一个 ，有两个 值与之对应， 故 不是 的函数； C. 作垂直于 轴的直线，与图象有两个交点， 即对于同一个 ，有两个 值与之对应， 故 不是 的函数； D. 对于任意一个 ，都有唯一的 值与之对应， 符合函数的定义． 2．如图①，底面积为的圆柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，下方实心圆柱的底面积为，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度与注水时间之间的关系如图②所示，则图中的值为______．    【答案】24.5 【分析】本题主要考查了函数图像的识别， 根据题意和函数图像可知圆柱容器的高为，两个实心圆柱组成的“几何体”的高为，从开始注水，到水刚漫过第一个实心圆柱用了9s，高度为，可先求出注水的速度为，再求出漫过“几何体”到注满所用时间，然后求和即可． 【详解】解：水流速度，则从实心圆柱上方至注满水所需时间为， ∴． 故答案为：24.5． 3．一位患者今天发烧了．他在早晨烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午时体温基本正常．但是下午他的体温又开始上升，直到夜里他才感觉体温基本正常了．下面哪一幅图能较好地刻画出这位患者今天体温的变化情况？ 【答案】 图（3） 【分析】根据题意将体温变化过程分为四个阶段，分析每个阶段体温的增减趋势及关键时间点的体温数值，结合图象的特征进行判断即可. 【详解】解：根据题意可知，患者的体温变化过程如下：早晨烧得很厉害，说明早晨时段体温较高； 中午时体温基本正常，说明从早晨到中午体温呈下降趋势，且时左右体温接近； 下午体温又开始上升，说明从中午到下午体温呈上升趋势； 直到夜里他才感觉体温基本正常了，说明从下午到夜里体温呈下降趋势，且时左右体温接近； 观察四个图象： 图（1）体温随时间推移一直下降，不符合题意； 图（2）体温先上升后下降，仅有一个变化转折点，不符合题意； 图（4）在时至时体温呈下降趋势，不符合“下午体温又开始上升”的描述； 图（3）体温在时左右较高，时左右降至最低，时左右又升高，时左右降至最低，符合“高低高低”的变化特征，符合题意. 题型9.从函数的图象获取信息 1．一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，此后只出水不进水直到容器水出完，每分钟的进水量和出水量是两个常数．容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：）之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（     ） A．进水的速度为每分钟 B．出水的速度为每分钟 C．时间为8分钟时容器水量为 D．从开始进水到出水结束总共经历了 【答案】B 【分析】根据第一段图象可计算进水速度，根据第二段图象可计算净进水速度从而求出出水速度，进而验证各选项． 【详解】解：A．由图象可知， 内只进水，水量由 增至，进水速度，故选项说法正确，不符合题意； B．内既进水又出水，水量由增至，用时，该阶段水量增加速度，水量增加速度进水速度出水速度，出水速度，故选项说法错误，符合题意； C．当时，处于第二阶段，水量，故选项说法正确，不符合题意； D．后只出水，此时水量为，出水速度为，出水所需时间，从开始到结束总时间，故选项说法正确，不符合题意． 2．小红和小丽约好一起去公园集合赏花，小红家距离公园较远，决定骑共享单车去，小丽步行前往，已知小红家、小丽家、公园在同一条公路上，如图是两人距离小丽家的路程（单位：米）与时间（单位：分钟）的函数图象，则小红距离小丽100米时，__________分钟． 【答案】5或7或11.5 【分析】首先求出小丽的速度和小红的速度，分别求出当小红到达小丽家时和当小红到达公园时，可得当小红距离小丽100米时，时间可以是或两种情况，然后分两种情况讨论，分别列方程求解即可． 【详解】解：由图象得，小丽家到公园距离米，小丽从家到公园用时12分钟， ∴小丽的速度为（米/分）， 由图象得，小红家到小丽家距离600米，小红从家到小丽家用时2分钟， ∴小红的速度为（米/分）， 小红到达公园的时间是：（分钟）， 当，即小红到达小丽家时，两人相距：（米）， 当，即小红到达公园时，两人相距：，（米）， ∴当小红距离小丽100米时，时间可以是或两种情况， 当时，小红从小丽家走到公园， 此时，解得：或7； 当时，小红到达公园，小丽还在到达公园的路上， 此时，解得：， 综上所述：小红距离小丽100米时，5或7或11.5． 3．小明家，新华书店，学校在一条笔直的公路旁，某天小明骑车上学，当他骑了一段后，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续骑车去学校，他本次骑车上学的过程中离家距离与所用的时间的关系如图所示，请根据图象提供的信息回答下列问题： (1)图中自变量是________，小明家到学校的距离是_________米； (2)小明在书店停留了________分钟； (3)本次上学途中，小明一共骑行了________米； (4)买到书后，小明从新华书店到学校的骑车速度是多少？ 【答案】(1)所用的时间， (2) (3) (4)米/分 【分析】（1）根据函数的定义以及函数图象即可得出答案； （2）根据函数图象即可得出答案； （3）根据函数图象即可得出答案； （4）根据函数图象即可得出答案． 【详解】（1）解：图中自变量是所用的时间 根据图象，学校的纵坐标为，小明家的纵坐标为， ∴小明家到学校的距离是米； （2）解：根据图象，小明在书店停留的时间为从分钟到分钟，， ∴小明在书店停留了分钟； （3）解：根据图象可得： 本次上学途中，小明一共骑行了米； （4）解：根据图象可得： 买到书后，小明从新华书店到学校的骑车速度是米/分． 题型10.用描点法画函数图象 1．描点法画函数图像的一般步骤是：第一步，列表—表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；第二步，描点—在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点；第三步，连线—按照横坐标由小到大的顺序，用适当的线（如平滑曲线、直线等）将这些点连接起来．正确的选项是（   ） A．第一步是错误的 B．第二步是错误的 C．第三步是错误的 D．都正确 【答案】D 【分析】本题考查了描点法画函数图像． 根据描点法画函数图像的作法判断即可． 【详解】描点法画函数图像的一般步骤是：第一步，列表—表中给出一些自变量的值及其对应的函数值； 第二步，描点—在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点； 第三步，连线—按照横坐标由小到大的顺序，用适当的线（如平滑曲线、直线等）将这些点连接起来． 各步均正确． 故选：D． 2．描点法画函数图象的一般步骤： 第一步：______．在自变量取值范围内选定一些值．通过函数关系式求出对应函数值列成表格． 第二步：______．在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数值为纵坐标，描出表中对应各点． 第三步：______．按照坐标由小到大的顺序把所有点用平滑曲线连结起来． 【答案】 列表 描点 连线 【解析】略 3．我们学习了一次函数，类比学习一次函数的方法，研究函数的图象性质． (1)画出函数的图象； 第一步：列表 x 0 1 2 3 … 4 2 1 0 1 2 … 第二步：描点 第三步：连线 (2)写出三条函数的性质； (3)当时，直接写出y的取值范围． 【答案】(1)如图， (2)①函数的图象关于直线对称；②函数的最小值为0；③当时，y随x的增大而增大 (3) 【分析】（1）在平面直角坐标系中描出点，进而连线即可； （2）结合（1）中所作图象求解即可； （3）首先求出当时，；当时，，然后结合图象求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：当时，；当时，， ∴由图象得，当时，y的取值范围为． 题型11.动点问题的函数图象 1．七（1）班同学去兴平茂陵博物馆研学．研学队伍从学校出发，乘坐大巴匀速行驶35分钟后抵达博物馆，参观博物馆历时50分钟．参观结束后，师生换乘车辆按原路匀速返程，因返程高峰，行驶时间比去程多了20分钟．设师生队伍离学校的距离为y米，离校的时间为x分钟，则下列图象能大致反映y与x关系的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意将行程分为去程、参观、返程三个阶段，分别分析离学校的距离y随时间x的变化情况即可得到答案． 【详解】解：第一阶段：从学校出发匀速行驶，离学校的距离y随时间x的增大而增大，图象为从原点出发的上升线段； 第二阶段：参观博物馆，离学校的距离y保持不变，图象为平行于x轴的水平线段； 第三阶段：按原路匀速返程，离学校的距离y随时间x的增大而减小，直至回到学校，图象为下降线段； ∴符合题意的图象是先上升，再水平，最后下降， ∴只有B选项中的函数图象符合题意． 2．如图1，正方形的边长为4，动点P从正方形边上A开始，沿A→B→C→D的路径移动，设P点经过的路径长为x，设点A、P、D所围成的的面积是y，则y与x的函数关系图象如图2所示，则其中所在的直线关系式为 _____． 【答案】 【分析】本题考查函数图象，读懂图意，分析动点P的运动情况及的面积变化情况是解题关键． 【详解】解：由点P的运动可知，图2中段，对应了点P在上运动，如图所示， 此时，则， ∴． 3．如图1，在中，D是边上的定点．点P从点A出发，依次沿，两边匀速运动，运动到点C时停止．设点P运动的路程为x，的长为y，y关于x的变化图象如图2所示，其中M，N分别是两段曲线的最低点．结合图形与图象解答： (1)________，D到的距离为________； (2)求的长； (3)直接写出y的最小值． 【答案】(1)，12 (2) (3) 【分析】（1）根据题意结合函数图象判断即可； （2）根据勾股定理求出，，即可求出的长； （3）作交于点，连接，根据函数图象可知当时，最小，此时恰好是的最小值，当点C与点P重合时，，根据勾股定理逆定理证明，可知，根据等面积法求出的值即可． 【详解】（1）解：由题意可知，当时，； 根据垂线段最短可知，D到的距离为点M的纵坐标，即12； （2）解：根据图象，得当点B与点P重合时，， 根据勾股定理，得，， ； （3）解：作交于点，连接， 根据图象，得当时，最小，此时恰好是的最小值，当点C与点P重合时，， 作图如下， ， ， ， ， 根据三角形的面积不变性质，得， 故， 故点的纵坐标是， 即y的最小值是． 题型12.函数的三种表示方法 1．下列关系中，不能表示是的函数的是（     ） A． x … 1 2 4 5 … y … 2 5 5 2 … B． C．   D．   【答案】C 【分析】根据函数的定义是在一个变化过程中有两个变量，对于每一个变量取一个值，有唯一值与其对应，就说是的函数，判断即可． 【详解】解：∵C选项的图象显示对于一个有两个值与其对应， ∴C选项不能表示是的函数． 2．某冬季运动赛场为了准备即将到来的比赛，正着手进行既定规模的人工造雪作业．根据下表表示出每天造雪量（单位：）和造雪天数（单位：天）的关系______． 每天造雪量 5000 5200 6500 … 造雪天数 52 50 40 … 【答案】或 【分析】本题主要考查函数的表达方式，从表格中的数据可以得出每天造雪量和造雪天数的乘积等于定值260000，故可得解． 【详解】解：从表格中的数据可以得出， 所以，每天造雪量（单位：）和造雪天数（单位：天）的关系是或， 故答案为：或． 3．骑自行车是一种健康自然的运动旅游方式，长期坚持骑自行车可增强心血管功能，提高人体新陈代谢和免疫力．如图是骑行爱好者东东骑自行车离家的距离与骑行时间之间的关系． 骑行时间 … 0.5 3 4 … 离家的距离 … … (1)东东_________小时到达离家最远的地方，此时离家_________； (2)根据图象，完成表格； (3)求出第时东东骑自行车的路程与时间的关系式； (4)骑行多长时间时，东东与家相距？ 【答案】(1)2；30 (2) 骑行时间 … 0.5 3 4 … 离家的距离 … 5 25 20 … (3) (4)骑行或时，东东与家相距 【分析】（1）由图象信息，即可求解； （2）由图象信息，即可求解； （3）由图象信息，可求出第小时这一段共走的路程及时间，再求速度即可，求第小时的速度，方法类似； （4）根据图象可以得到有两个时间点，再分别确定时间即可． 【详解】（1）解：从图象知：东东出发后到达离家最远的地方，此时离家； （2）略 （3）解：第小时的速度： （km/h）， 所以，． （4）解：去时：当时，代入得：，． 出发至返回途中：由图可知骑行4h时，东东与家相距也为20km， 所以当骑行或时，东东与家相距． 题型13.正比例函数的定义 1．下列关于的函数中，是正比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正比例函数的定义进行判断即可． 【详解】解：A、不符合的形式，不是正比例函数，不符合题意； B、，符合的形式，是正比例函数，符合题意； C、不符合的形式，不是正比例函数，不符合题意； D、不符合的形式，不是正比例函数，不符合题意． 2．正比例函数中，比例系数为_________． 【答案】 【分析】根据正比例函数的定义，即可确定该函数的比例系数． 【详解】解：形如（是常数，）的函数叫做正比例函数，其中叫做比例系数. 正比例函数符合正比例函数的形式，对应可得比例系数． 3．若函数是y关于x的正比例函数，求． 【答案】1 【分析】先根据正比例函数的定义求解出m与n的值，再计算即可． 【详解】解：是y关于x的正比例函数， ，解得， ． 题型14.识别一次函数 1．下列四个函数中是一次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一次函数的定义为：形如（，为常数，且）的函数叫做一次函数． 【详解】解：A、中，自变量的次数为，不符合一次函数定义； B、，符合的形式，其中，，满足，符合一次函数定义； C、不是整式形式，不符合一次函数定义； D、不是整式形式，不符合一次函数定义． 2．下列函数：①；②；③；④；⑤，其中是的一次函数的是______．（填序号） 【答案】①③ 【分析】本题考查一次函数的定义．根据一次函数的定义：形如（，、为常数）的函数叫做一次函数，对给出的函数逐一判断即可. 【详解】解：①符合一次函数的定义，符合题意； ②不符合一次函数的定义，不符合题意； ③对整理得，符合一次函数的定义，符合题意； ④是反比例函数，不符合一次函数的定义，不符合题意； ⑤是二次函数，不符合一次函数的定义，不符合题意. 故填①③． 3．写出下列各题中与之间的关系式，并判断是否为的一次函数，是否为的正比例函数． ①等边三角形的周长与边长之间的关系； ②汽车行驶前，油箱中有油65升，已知汽车每行驶10千米耗油2升，油箱的余油量（升）与已行驶的距离（千米）之间的关系； ③今年某市出租车收费方式全面调整，具体收费方式如下，行驶距离在3千米以内（包括3千米）付起步价5元，超过3千米后，每多行驶1千米加收1.8元，另外每辆车加收3元的燃油附加费，求乘车费用（元）与乘车距离（千米）（）之间的函数关系； ④设一长方体盒子高为，底面是正方形，求这个长方体的体积（）与底面边长（）之间的关系． 【答案】 解：①，是一次函数，也是正比例函数． ②，是一次函数，不是正比例函数． ③是一次函数，不是正比例函数． ④，既不是一次函数，也不是正比例函数． 【分析】本题考查了一次函数、正比例函数的定义，熟练掌握一次函数与正比例函数的定义是解此题的关键． 根据三角形周长公式表示出与之间的关系式即可；②根据余油量耗油量原油量表示出与之间的关系式即可；③根据乘车费起步价燃油附加费加收的乘车费表示出与之间的关系式即可；④根据长方体的体积底面积高表示出与之间的关系式即可． 【详解】略 题型15.根据一次函数的定义求参数 1．函数是关于的一次函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D．且 【答案】A 【分析】根据一次函数的定义，一次函数要求自变量的一次项系数不为，据此列不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：函数是关于的一次函数 一次项系数满足 解得， 因此的取值范围是． 2．已知：是关于的一次函数，则________． 【答案】 【详解】解：由一次函数的定义得,解得． 3．已知函数． (1)当，为何值时，是的一次函数？ (2)当，为何值时，是的正比例函数？ 【答案】(1)，为任意实数时，是的一次函数； (2)当，时，是的正比例函数 【分析】本题根据一次函数和正比例函数的定义求解． 先根据一次函数“的次数为1且的系数不为0”的要求列出条件，求解得到的值，无限制；再根据正比例函数的定义，在一次函数条件的基础上增加常数项为0的条件，求解得到的值即可． 【详解】（1）解：若是的一次函数，需满足 由得， 解得或 由得 因此，此时可以为任意实数 即当，为任意实数时，是的一次函数． （2）解：若是的正比例函数，需满足 解得 即当，时，是的正比例函数． 题型16.列一次函数解析式并求值 1．水池原有水，水匀速从排水管排出，全部排完．剩余水量与排水时间的函数解析式和自变量取值范围正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算每分钟排水速度，再根据剩余水量等于原有水量减去排出水量得到函数解析式，最后根据实际意义确定自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵水池原有水，全部排完， ∴每分钟排水量为 ， ∵剩余水量原有水量分钟排出的水量， ∴，整理得， 又∵排水时间最小为，最多排完全部水， ∴自变量的取值范围为，即函数解析式为． 2．自国家卫生健康委员会等多部门提出“体重管理年”的全民健康行动后，有越来越多的人更加关注自己的身体健康问题．体重千克的小丽做了一个可行的“瘦身计划”，计划平均每天减掉千克，天（）后的体重为千克，则与的关系式为_______． 【答案】（且x为整数） 【分析】解题思路是梳理实际问题中的等量关系，即天后的体重等于初始体重减去天一共减掉的体重，代入对应数量整理即可得到关系式． 【详解】解：由题意可知，小丽初始体重为千克，平均每天减掉千克，则天一共减掉的体重为千克， 根据等量关系：天后体重初始体重天减掉的体重可得： ， 又∵天数为非负整数，且题目给出， ∴自变量范围为且x为整数， 即与的关系式为（且x为整数）． 3．如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小文购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为，单层部分的长度为．经测量，得到下表中数据． 双层部分长 0 2 8 14 20 单层部分长度 152 148 136 112 (1) ； (2)根据表中数据规律，试写出与之间的表达式； (3)按小文的身高和习惯，背带的长度调为时为最佳背带长．请计算此时双层部分的长度． 【答案】(1)124 (2) (3) 【分析】（1）观察表格可得，双层部分长度每增加，单层部分长度就减少，由此计算即可得出结果； （2）由表格可知，单层部分长度最长为，双层部分长每增加，单层部分长度就减少，则当双层部分长增加时，单层部分长度就减少，由此即可得出结果； （3）设双层部分的长度为，则单层部分长度为，根据背带的长度等于单层部分与双层部分长度的和，列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：观察表格可得，双层部分长度每增加，单层部分长度就减少， ∴； （2）解：由表格可知，单层部分长度最长为，双层部分长每增加，单层部分长度就减少，则当双层部分长增加时，单层部分长度就减少， ∴， 即与之间的关系式为． （3）解：设双层部分的长度为，则单层部分长度为， 背带的长度等于单层部分与双层部分长度的和， ， 解得， 故此时双层部分的长度． 题型17.求一次函数解析式 1．现有长、宽分别为和的矩形，若保持其宽不变，将长减少，新矩形的面积记为，则关于的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定新矩形的长和宽，代入面积公式整理即可得到结果． 【详解】解：∵原矩形长为， ∴长减少后，新矩形的长为， 又∵宽保持不变为， ∴， 整理得． 2．已知关于的一次函数图象经过点和，则此函数的解析式为_____________． 【答案】 【分析】将已知两点坐标代入一次函数一般式，利用待定系数法即可得到函数解析式． 【详解】解：设一次函数解析式为， 将点和代入解析式得， 解得， 因此该一次函数的解析式为． 3．如图，一次函数的图象与轴交于点，一次函数（、为常数）的图象与轴交于点，点为两函数图象的交点，且点的横坐标为2．求点坐标及一次函数的函数解析式． 【答案】， 【分析】将代入求出，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】解：将代入得， ∴ 将，代入得， 解得 ∴． ✺巩固测试 一、单选题 1．变量与的关系式为，当时，的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】将代入关系式得． 2．参加会议的人两两彼此握手，一共握了次手，那么与参加会议人数之间的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】共有人参加会议，每个人需要和除自己以外的个人握手，每一次握手会被两人各重复计算一次，据此计算出实际握手次数即可得到答案． 【详解】解：∵共有人参加会议，每个人需要和除自己以外的个人握手，且每一次握手会被两人各重复计算一次， ∴实际握手次数为，即． 3．如图，某矩形菜园的一边利用足够长的墙，墙的对面空有1米宽的门，用篱笆围成的另外三边的总长度恰好为25米．设米，米，则有（     ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】篱笆总长应恰好为25米，据此列出等式．根据题意可得，继而可得出y与x之间的函数关系式． 【详解】解：根据题意可知，， 所以． 4．下列函数图象中，y不是x的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过轴上任意一点作轴的垂线，若与函数图象有且仅有一个交点，则该图象表示函数的图象；若与函数图象有不止一个交点，则该图象不是函数图象，据此判断即可． 【详解】解： ∵在A，B，D三个图象中，与轴平行的直线均与函数图象只有一个交点， ∴A，B，D三个图象都是函数图象，即是的函数； ∵C图象中有两个交点，存在与轴平行的直线与函数图象有两个交点， ∴C图象中，y不是x的函数． 5．早上，小明从家里步行去学校，出发一段时间后，小明妈妈发现小明的作业本落在家里，便带上作业本骑车追赶，途中追上小明两人稍作停留，妈妈骑车返回，小明继续步行前往学校，小明到校时他妈妈正好到家．设小明在途中的时间为，两人之间的距离为，则下列选项中的图象能大致反映与之间关系的是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】对整个过程分段：小明出发至妈妈出门追，妈妈出门追至追上，停留，两人分开至同时到达，分别分析讨论． 【详解】解：由题意可得，小明从家出发到妈妈出门追这段时间，y随x的增大而增大， 妈妈出门追至追上小明这段时间，y随x的增大而减小， 停留阶段，y随x的增大不变，且， 小明和妈妈分别去学校、回家的这段时间，y随x的增大而增大； 观察四个选项，选项B符合题意． 二、填空题 6．函数的图象，经过点，则______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图像上的点的特征，熟练一次函数知识点是解题的关键．将点代入，再解方程即可． 【详解】解：∵函数的图象，经过点， ∴， 解得：， 故答案为：． 7．一次函数和正比例函数的定义：一般地，形如____________（，是常数，且）的函数叫一次函数，它的图象是一条_______．形如____________（是常数，且）的函数叫正比例函数，它的图象是一条过_______的_________． 【答案】 直线 原点 直线 【分析】本题考查一次函数与正比例函数的定义及图象性质，直接依据定义填写内容即可． 【详解】解：根据初中一次函数和正比例函数的定义：一般地，形如（，是常数，且）的函数叫一次函数，它的图象是一条直线； 形如（是常数，且）的函数叫正比例函数，它是特殊的一次函数，图象是一条过原点的直线． 8．在弹簧的弹性限度内，弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂的物体的质量间有下面的关系： 0 1 2 3 4 5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 根据表中的数据可以发现，物体质量每增加，弹簧长度会增加__________． 【答案】 / 【分析】本题考查根据表格数据探究变化规律，通过计算相邻数据的差值即可得到结果． 【详解】观察表格中相邻数据：当从变为，即增加时，从变为， ， 当从变为，即增加时，从变为， 以此类推，可得物体质量每增加，弹簧长度的增量恒为． 9．甲和乙同时加工一种产品，他们的工作量与工作时间的关系如图，当乙加工了这种产品320件时，甲加工了____________件． 【答案】80 【分析】根据图象可以求出甲、乙的工作效率，甲的用时与乙加工320件产品所用的时间相等，再根据工作量=工作效率×工作时间，求出答案． 【详解】解：由函数图象的信息得出：甲的工作效率为：（件/分）， 乙的工作效率为：（件/分）， 依题意，（件）， ∴当乙加工了这种产品320件时，甲加工了80件． 10．声音在空气中的传播速度（简称声音速度）与空气温度的关系如下表： 空气温度 0 10 20 30 声音速度 318 324 330 336 342 348 时，声音在空气中的传播速度为 __． 【答案】354 【分析】本题考查了用列表法表示函数，根据表中的数据可得空气温度每升高，声音速度就增加，从而计算当空气温度为时的声音速度即可，掌握自变量、函数的定义是解题的关键． 【详解】解：由表中的数据可得，空气温度每升高，声音速度就增加， 由表得空气温度为时，声音速度为， 所以空气温度为时，声音在空气中的传播速度为， 故答案为：354． 三、解答题 11．某文具店老板购进A、B两种品牌的水笔共100支，已知A品牌每支进价5元，售价8元；B品牌每支进价6元，售价10元．设购进A品牌x支，销售完这批水笔后总利润为y元． (1)写出y与x之间的函数关系式； (2)若老板计划总利润不少于300元，且A品牌的数量不少于20支，求至少购进A品牌多少支？ 【答案】(1)（，且x为整数） (2)20 【分析】（1）分别表示出两种品牌的利润，求和即可得到答案； （2）根据题意建立不等式组求出x的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，（，且x为整数） （2）解：由题意得，， ∴， ∴x的最小值为20， 答：至少购进A品牌20支． 12．如果不复习，学习过的知识会随时间的推移而逐渐被遗忘．德国心理学家艾宾浩斯（ ，1850-1909）最早研究了记忆遗忘规律，即艾宾浩斯遗忘曲线．嘉嘉按照艾宾浩斯的方法根据自己的测试数据描绘了记完某些知识后32小时内的记忆保持量（如图所示）． 观察图象，回答下列问题： (1)经过，嘉嘉的记忆大约保持了多少? (2)图中点表示的意义是什么?在哪个时间段内遗忘的速度最快? (3)有研究表明，如及时复习，经过一天记忆能保持．根据遗忘曲线，如不复习，结果又怎样?由此，你能给嘉嘉什么建议? 【答案】(1)经过，记忆保持量约为 (2)A点表示学习小时后记忆保持量低于；前两个小时遗忘得最快 (3)如果不复习，学习过的知识会随时间的推移而逐渐被遗忘．如果一天不复习，记忆量只能保持大约，建议：每天学习知识后要及时复习 【分析】（1）根据函数图象，即可求解． （2）根据点的横坐标和纵坐标结合题意，得出A点的意义；观察函数图象，即可得出遗忘的速度最快的时间段； （3）根据遗忘曲线，如果一天不复习，记忆量只能保持大约，要及时复习，言之有理，即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 13．已知动点P以每秒的速度沿的路径运动，相邻两边互相垂直．相应的的面积与点P的运动时间t（s）的函数图象如图，且． (1)动点P在线段________上运动的过程中的面积S保持不变． (2)直接写出：________，________，________ (3)直接写出________，________ 【答案】(1)； (2)10；4；6 (3)40；14 【分析】（1）根据两图之间的信息关联，即可得答案； （2）点P在上移动了5秒，在上移动了2秒，在上移动了3秒，根据速度、时间、路程的关系，即可求得答案； （3）先求出，的值，即可根据三角形面积公式求a的值，再求出的长，即可求出b的值． 【详解】（1）解：由右图可知，当和时，即动点P在线段和上运动的过程中的面积S保持不变． （2）解：当P在上时，以为底的高在不断增大，到达点C时，开始不变，由右图可得， P在上移动了5秒，则，在上移动了2秒，，在上移动了3秒，； （3）解：由图可得，在上移动了2秒， 是点P运行5秒时的面积， 则； ； 14．如图1，已知中，，，动点从点出发，沿路线以1个单位每秒的速度匀速运动，同时点从点出发，沿路线以0.5个单位每秒的速度匀速运动，设点运动时间为秒（），线段的长度为，线段的长度为． (1)直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)在图2中给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并根据函数图象分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】(1)， (2)列表如下， 1 2 3 4 5 1 2 3 2 1 0.5 1 1.5 2 2.5 如图所示， 针对函数，当，随x的增大而增大， 针对函数，在中，随x的增大而增大； (3) 【分析】（1）根据线段的和差关系，运动路程的数量关系解即可； （2）根据函数解析式作图，结合图象得到性质即可； （3）根据函数图象的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，设点运动时间为秒（），，动点从点出发，沿路线以1个单位每秒的速度匀速运动， ∴当时，，当时，， ∴； ，点从点出发，沿路线以0.5个单位每秒的速度匀速运动， ∴； （2）略； （3）解：根据函数图象，当时，． 15．在学习地理时，我们知道：“在海拔高度11千米以内，海拔越高，气温越低；海拔高度超过11千米，气温几乎不变”．下表是海拔高度（千米）与此高度处气温的关系．根据表格，回答以下问题： 海拔高度（千米） 0 1 2 3 4 5 气温 20 14 8 2 (1)写出海拔高度11千米以内，气温与海拔高度的关系式：______； (2)当气温是时，求海拔高度是多少？当海拔高度为15千米时，求气温是多少？ 【答案】(1) (2)当气温为时，海拔高度是7千米；当海拔高度为时，气温是 【分析】（1）根据表格中气温随海拔高度变化的规律：h每增加1千米，气温就下降，即可解答； （2）把代入中，求出h；根据海拔高度超过11千米，气温几乎不变，求出时的t值，进行解答即可． 【详解】（1）解：在的基础上，高度每增加1千米，气温降低， ∴； （2）解：当时，由， 解得； ∵海拔高度超过11千米，气温几乎不变， ∴当海拔高度为15千米时，气温与海拔高度为11千米时相同， 将代入， 则， 答：当气温为时，海拔高度是7千米；当海拔高度为千米时，气温是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 变量与函数、一次函数的概念 暑假预习讲义 ✺知识框架 1.变化与变量板块：认知现实生活与数学问题中的变化过程，掌握常量与变量的概念，建立动态数学思维。 2.函数概念板块：掌握函数的定义与三要素，理解自变量、因变量、函数值的含义，学会判定函数关系、确定自变量的取值范围、求解函数值。 3.函数表示方法板块：掌握解析式法、列表法、图像法三种函数表示方式，明晰三种方法的特点与适用场景，了解三者之间的相互转化关系。 4.一次函数基础板块：掌握一次函数、正比例函数的课本标准定义与解析式结构，厘清二者的包含关系，能够精准判别一次函数与正比例函数。 ✅本节依托教材，依次讲解常量与变量、函数概念、自变量取值范围、函数表示方法、一次函数与正比例函数等核心内容，是后续各类函数知识学习的铺垫，也是中考核心基础考点。 ✺学习目标 ◆基础知识 1.认识现实情境中的变化规律，掌握常量、变量的教材定义，能够结合具体问题准确区分常量与变量。 2.熟记函数的定义，理解“唯一对应”的核心内涵，明确自变量、因变量、函数值的基本概念。 3.掌握自变量取值范围的确定原则，能根据解析式要求和实际情境确定自变量取值范围，熟练求解函数值。 4.掌握函数的三种表示方法，熟知各类方法的优缺点，能结合实际问题选择合适的函数表示形式。 5.熟记一次函数、正比例函数的定义及标准解析式，理清二者的从属关系，能准确判别两类函数。 ◆能力提升 1.具备基本的动态分析能力，能够从实际问题与数学情境中抽象出变化过程，准确识别变量与常量。 2.具备初步的函数建模能力，依据函数“唯一对应”的核心要求判定变量间的函数关系，规范完成函数值计算与取值范围求解。 3.具备函数辨识能力，能够根据解析式的结构特征，准确区分一次函数、正比例函数与其他函数。 ◆综合素养 1.建立变量与函数的核心观念，突破静态数学思维，形成动态关联的数学认知，培养数学抽象素养。 2.初步掌握数学建模的基本思想，能够用函数知识刻画现实中的变化规律，提升数学应用与逻辑推理素养。 ✺题型归纳 题型1.函数的概念 题型2.函数解析式 题型3.求自变量的取值范围 题型4.求自变量的值或函数值 题型5.用表格表示变量间的关系 题型6.用关系式表示变量间的关系 题型7.用图象表示变量间的关系 题型8.函数图象识别 题型9.从函数的图象获取信息 题型10.用描点法画函数图象 题型11.动点问题的函数图象 题型12.函数的三种表示方法 题型13.正比例函数的定义 题型14.识别一次函数 题型15.根据一次函数的定义求参数 题型16.列一次函数解析式并求值 题型17.求一次函数解析式 题型18.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、常量与变量 变量：在某一变化过程中，数值发生变化的量称为变量。 常量：在某一变化过程中，数值始终保持不变的量称为常量。 结论：常量与变量具有相对性，需结合具体变化过程判定。同一个量，在不同的变化过程中，可能为常量，也可能为变量。 知识点二、函数的概念 1.定义：在一个变化过程中，存在两个变量x和y，如果对于变量x的每一个确定的值，变量y都有唯一确定的值与之对应，那么称x为自变量，y是x的函数。 2.函数三要素 ① 自变量的取值范围 ② 对应关系 ③ 函数值的取值范围 3.自变量与函数值 自变量：在研究过程中，我们自主选定取值的变量。 函数值：当自变量取某一确定数值时，对应的唯一y值，即为该自变量对应的函数值。 知识点三、自变量的取值范围 1.取值原则：自变量的取值需同时满足双重要求：一是使函数解析式本身有数学意义；二是若对应实际问题，需符合实际情境的客观规律。 2.常见取值要求 整式解析式：自变量可取全体实数； 分式解析式：分母取值不为0，保证式子有意义； 开偶次方根：被开方数是非负数； 零指数幂中：底数不为零； 实际应用问题：自变量取值符合生活实际，如长度、人数等需为正数，人数、个数等需为正整数。 知识点四、函数的三种表示方法 方法 定义 优点 不足 解析法 用数学式子如 y=kx+b表示两个变量之间的函数关系 简洁准确，能求出任意自变量对应的函数值，便于研究函数性质 有些函数不能用代数式表示 列表法 通过表格列出自变量与对应的函数值 可直接查到部分自变量对应的函数值 只能列出有限组数值，难以反映整体变化规律 图象法 在平面直角坐标系中用图象表示函数关系 直观反映函数的变化趋势 从图象上读数存在误差，不够精确 知识点五、一次函数的概念 1.一次函数定义：一般地，形如 y=kx+b(k、b为常数，k≠0)的函数，叫做一次函数。 2.一次函数结构特征 ① 等式两边为整式； ② 自变量 x 的次数是1； ③ 自变量系数k≠0； ④ 常数项b可取任意实数。 知识点六、正比例函数的概念 1.正比例函数定义：特别地，当一次函数 y=kx+b中的常数项b=0时，函数简化为y=kx(k为常数，k≠0），此类函数称为正比例函数。其中k叫做比例系数。 2.正比例函数核心特征 ① 解析式是整式； ②自变量 x 的次数为1； ③ 比例系数k≠0； ④ 不含常数项（常数项等于 0）。 知识点七、一次函数与正比例函数的关系 类别 解析式 成立条件 相互关系 一次函数 y=kx+b k、b为常数，k≠0 包含正比例函数；b可取任意实数 正比例函数 y=kx k为常数，k≠0 特殊的一次函数（满足 b=0） 结论：正比例函数属于特殊的一次函数，因此正比例函数一定是一次函数；但一次函数包含非正比例的一般形式，故一次函数不一定是正比例函数。 ✺题型精讲 题型1.函数的概念 1．气温随海拔高度的变化而变化，下列说法正确的是（　　　　　） A．是自变量，是因变量 B．都是自变量 C．是自变量，是因变量 D．都是常量 2．“欲穷千里目，更上一层楼”这句诗反映了视野范围会随着登高楼层的变化而变化，其中自变量是________．（填“登高楼层”或“视野范围”） 3．下列情景中，可以表示是的函数的是_______．（填序号） 某天的气温与时间（时）的关系： 正方形的面积与边长的关系： 数轴上一个点的坐标与这个点到原点的距离的关系． 题型2.函数解析式 1．一辆汽车以的平均速度在公路上行驶，则它所走的路程与所用的时间之间的关系式为（     ） A． B． C． D． 2．长方形的周长为，其中一边长为，面积为，则与的关系式可表示为______． 3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴正半轴上，点在轴的正半轴上，点和点的坐标分别为，． (1)求线段的长； (2)点从原点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，运动时间为，连接，设的面积为，试用含的代数式表示（不要求写出的取值范围）． 题型3.求自变量的取值范围 1．函数的自变量x的取值范围是（   ） A．且B． C． D．且 2．函数的定义域是_____． 3．已知等腰三角形的周长为，底边长为，腰长为． (1)y与x之间的函数解析式为________，自变量x的取值范围为_________； (2)当_______时，这个等腰三角形是等边三角形． 题型4.求自变量的值或函数值 1．下列各点在函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 2．在函数中，当时，函数值____________． 3．有一个水箱的容积为，水箱内原有水，现往水箱中匀速注水，已知每分钟注水． (1)写出水箱内水量与注水时间之间的关系式； (2)求注水时水箱内的水量． 题型5.用表格表示变量间的关系 1．如图是小明在爸爸给汽车加油时看到的某一时刻加油机上的数据显示牌，在此次加油中的常量是（     ） A．金额 B．油量 C．单价 D．金额和油量 2．某商场销售某种商品，原价240元，随着不同幅度的降价（元），日销售量（件）发生相应变化，关系如下表所示： 降价/元 5 10 15 20 日销售量/件 230 260 290 320 根据以上信息，当售价为240元时，该商品日销售量为__________件． 3．实验人员为了解某型号汽车耗油量，在公路上做了试验，并将试验数据记录下来，制成下表： 汽车行驶时间 0 1 2 3 4 油箱剩余油量 50 44 38 32 26 (1)上表反映了哪两个变量之间的关系？其中，哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)汽车出发时油箱共有油__________L. (3)当汽车行驶时，求油箱的剩余油量. (4)请简略描述汽车行驶时间为时，油箱剩余油量是如何变化的． 题型6.用关系式表示变量间的关系 1．某海域海水的压强（单位：）与水深（单位：）之间的关系满足：（其中为海水的密度，通常为）．这个情境中，常量是（     ） A． B． C．和 D．和 2．某书定价元，如果一次购买本以上，超过本的部分打八折，试写出付款金额（单位：元）与购买数量（）（单位：本）之间的函数关系式为________（不用写的取值范围）． 3．在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定．在其下端悬挂物体（所挂物体质量不能超过），下面是测得的弹簧的长度与所挂物体质量的一组对应值． 所挂物体质量 0 1 2 3 4 … 弹簧的长度 18 20 22 24 26 … (1)如果物体的质量为，弹簧的长度为，根据上表写出与之间的关系式； (2)当物体的质量为时，根据（1）的关系式，求弹簧的长度． 题型7.用图象表示变量间的关系 1．A、B两座城市之间有一条高速公路，甲、乙两辆汽车同时分别从这条路两端的入口处驶入，并始终在高速公路上正常行驶．甲车从A城驶往B城，乙车从B城驶往A城，甲、乙两车之间的距离与甲车行驶的时间之间的关系如图所示，根据图象，当甲、乙两车相遇时，甲车的行驶时间是（     ） A． B． C． D． 2．为了研究气温对冷饮销售的影响，一家饮品店经过一段时间的统计，得到一组卖出的冷饮杯数与当天最高气温的数据，用如图所示的趋势图描述这家饮品店一天中卖出的冷饮杯数与当天的最高气温之间的关系．根据所作的趋势图，估计当饮品店卖出的冷饮杯数约为140时，这一天的最高气温约为______． 3．如图是自动测温仪测得的某个城市在一天24时的气温变化情况： (1)指出图中的变量； (2)气温在哪段时间是上升的？ (3)求这天的温差（最高气温与最低气温的差值）． 题型8.函数图象识别 1．下列图象中，表示是的函数的是（     ） A． B． C． D． 2．如图①，底面积为的圆柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，下方实心圆柱的底面积为，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度与注水时间之间的关系如图②所示，则图中的值为______．    3．一位患者今天发烧了．他在早晨烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午时体温基本正常．但是下午他的体温又开始上升，直到夜里他才感觉体温基本正常了．下面哪一幅图能较好地刻画出这位患者今天体温的变化情况？ 题型9.从函数的图象获取信息 1．一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，此后只出水不进水直到容器水出完，每分钟的进水量和出水量是两个常数．容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：）之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（     ） A．进水的速度为每分钟 B．出水的速度为每分钟 C．时间为8分钟时容器水量为 D．从开始进水到出水结束总共经历了 2．小红和小丽约好一起去公园集合赏花，小红家距离公园较远，决定骑共享单车去，小丽步行前往，已知小红家、小丽家、公园在同一条公路上，如图是两人距离小丽家的路程（单位：米）与时间（单位：分钟）的函数图象，则小红距离小丽100米时，__________分钟． 3．小明家，新华书店，学校在一条笔直的公路旁，某天小明骑车上学，当他骑了一段后，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续骑车去学校，他本次骑车上学的过程中离家距离与所用的时间的关系如图所示，请根据图象提供的信息回答下列问题： (1)图中自变量是________，小明家到学校的距离是_________米； (2)小明在书店停留了________分钟； (3)本次上学途中，小明一共骑行了________米； (4)买到书后，小明从新华书店到学校的骑车速度是多少？ 题型10.用描点法画函数图象 1．描点法画函数图像的一般步骤是：第一步，列表—表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；第二步，描点—在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点；第三步，连线—按照横坐标由小到大的顺序，用适当的线（如平滑曲线、直线等）将这些点连接起来．正确的选项是（   ） A．第一步是错误的 B．第二步是错误的 C．第三步是错误的 D．都正确 2．描点法画函数图象的一般步骤： 第一步：______．在自变量取值范围内选定一些值．通过函数关系式求出对应函数值列成表格． 第二步：______．在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数值为纵坐标，描出表中对应各点． 第三步：______．按照坐标由小到大的顺序把所有点用平滑曲线连结起来． 3．我们学习了一次函数，类比学习一次函数的方法，研究函数的图象性质． (1)画出函数的图象； 第一步：列表 x 0 1 2 3 … 4 2 1 0 1 2 … 第二步：描点 第三步：连线 (2)写出三条函数的性质； (3)当时，直接写出y的取值范围． 题型11.动点问题的函数图象 1．七（1）班同学去兴平茂陵博物馆研学．研学队伍从学校出发，乘坐大巴匀速行驶35分钟后抵达博物馆，参观博物馆历时50分钟．参观结束后，师生换乘车辆按原路匀速返程，因返程高峰，行驶时间比去程多了20分钟．设师生队伍离学校的距离为y米，离校的时间为x分钟，则下列图象能大致反映y与x关系的是（     ） A． B． C． D． 2．如图1，正方形的边长为4，动点P从正方形边上A开始，沿A→B→C→D的路径移动，设P点经过的路径长为x，设点A、P、D所围成的的面积是y，则y与x的函数关系图象如图2所示，则其中所在的直线关系式为 _____． 3．如图1，在中，D是边上的定点．点P从点A出发，依次沿，两边匀速运动，运动到点C时停止．设点P运动的路程为x，的长为y，y关于x的变化图象如图2所示，其中M，N分别是两段曲线的最低点．结合图形与图象解答： (1)________，D到的距离为________； (2)求的长； (3)直接写出y的最小值． 题型12.函数的三种表示方法 1．下列关系中，不能表示是的函数的是（     ） A． x … 1 2 4 5 … y … 2 5 5 2 … B． C．   D．   2．某冬季运动赛场为了准备即将到来的比赛，正着手进行既定规模的人工造雪作业．根据下表表示出每天造雪量（单位：）和造雪天数（单位：天）的关系______． 每天造雪量 5000 5200 6500 … 造雪天数 52 50 40 … 3．骑自行车是一种健康自然的运动旅游方式，长期坚持骑自行车可增强心血管功能，提高人体新陈代谢和免疫力．如图是骑行爱好者东东骑自行车离家的距离与骑行时间之间的关系． 骑行时间 … 0.5 3 4 … 离家的距离 … … (1)东东_________小时到达离家最远的地方，此时离家_________； (2)根据图象，完成表格； (3)求出第时东东骑自行车的路程与时间的关系式； (4)骑行多长时间时，东东与家相距？ 题型13.正比例函数的定义 1．下列关于的函数中，是正比例函数的是（     ） A． B． C． D． 2．正比例函数中，比例系数为_________． 3．若函数是y关于x的正比例函数，求． 题型14.识别一次函数 1．下列四个函数中是一次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．下列函数：①；②；③；④；⑤，其中是的一次函数的是______．（填序号） 3．写出下列各题中与之间的关系式，并判断是否为的一次函数，是否为的正比例函数． ①等边三角形的周长与边长之间的关系； ②汽车行驶前，油箱中有油65升，已知汽车每行驶10千米耗油2升，油箱的余油量（升）与已行驶的距离（千米）之间的关系； ③今年某市出租车收费方式全面调整，具体收费方式如下，行驶距离在3千米以内（包括3千米）付起步价5元，超过3千米后，每多行驶1千米加收1.8元，另外每辆车加收3元的燃油附加费，求乘车费用（元）与乘车距离（千米）（）之间的函数关系； ④设一长方体盒子高为，底面是正方形，求这个长方体的体积（）与底面边长（）之间的关系． 题型15.根据一次函数的定义求参数 1．函数是关于的一次函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D．且 2．已知：是关于的一次函数，则________． 3．已知函数． (1)当，为何值时，是的一次函数？ (2)当，为何值时，是的正比例函数？ 题型16.列一次函数解析式并求值 1．水池原有水，水匀速从排水管排出，全部排完．剩余水量与排水时间的函数解析式和自变量取值范围正确的是（     ）． A． B． C． D． 2．自国家卫生健康委员会等多部门提出“体重管理年”的全民健康行动后，有越来越多的人更加关注自己的身体健康问题．体重千克的小丽做了一个可行的“瘦身计划”，计划平均每天减掉千克，天（）后的体重为千克，则与的关系式为_______． 3．如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小文购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为，单层部分的长度为．经测量，得到下表中数据． 双层部分长 0 2 8 14 20 单层部分长度 152 148 136 112 (1) ； (2)根据表中数据规律，试写出与之间的表达式； (3)按小文的身高和习惯，背带的长度调为时为最佳背带长．请计算此时双层部分的长度． 题型17.求一次函数解析式 1．现有长、宽分别为和的矩形，若保持其宽不变，将长减少，新矩形的面积记为，则关于的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 2．已知关于的一次函数图象经过点和，则此函数的解析式为_____________． 3．如图，一次函数的图象与轴交于点，一次函数（、为常数）的图象与轴交于点，点为两函数图象的交点，且点的横坐标为2．求点坐标及一次函数的函数解析式． ✺巩固测试 一、单选题 1．变量与的关系式为，当时，的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．参加会议的人两两彼此握手，一共握了次手，那么与参加会议人数之间的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 3．如图，某矩形菜园的一边利用足够长的墙，墙的对面空有1米宽的门，用篱笆围成的另外三边的总长度恰好为25米．设米，米，则有（     ） A．B． C． D． 4．下列函数图象中，y不是x的函数的是（     ） A． B． C． D． 5．早上，小明从家里步行去学校，出发一段时间后，小明妈妈发现小明的作业本落在家里，便带上作业本骑车追赶，途中追上小明两人稍作停留，妈妈骑车返回，小明继续步行前往学校，小明到校时他妈妈正好到家．设小明在途中的时间为，两人之间的距离为，则下列选项中的图象能大致反映与之间关系的是（    ） A．B．C． D． 二、填空题 6．函数的图象，经过点，则______． 7．一次函数和正比例函数的定义：一般地，形如____________（，是常数，且）的函数叫一次函数，它的图象是一条_______．形如____________（是常数，且）的函数叫正比例函数，它的图象是一条过_______的_________． 8．在弹簧的弹性限度内，弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂的物体的质量间有下面的关系： 0 1 2 3 4 5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 根据表中的数据可以发现，物体质量每增加，弹簧长度会增加__________． 9．甲和乙同时加工一种产品，他们的工作量与工作时间的关系如图，当乙加工了这种产品320件时，甲加工了____________件． 10．声音在空气中的传播速度（简称声音速度）与空气温度的关系如下表： 空气温度 0 10 20 30 声音速度 318 324 330 336 342 348 时，声音在空气中的传播速度为 __． 三、解答题 11．某文具店老板购进A、B两种品牌的水笔共100支，已知A品牌每支进价5元，售价8元；B品牌每支进价6元，售价10元．设购进A品牌x支，销售完这批水笔后总利润为y元． (1)写出y与x之间的函数关系式； (2)若老板计划总利润不少于300元，且A品牌的数量不少于20支，求至少购进A品牌多少支？ 12．如果不复习，学习过的知识会随时间的推移而逐渐被遗忘．德国心理学家艾宾浩斯（ ，1850-1909）最早研究了记忆遗忘规律，即艾宾浩斯遗忘曲线．嘉嘉按照艾宾浩斯的方法根据自己的测试数据描绘了记完某些知识后32小时内的记忆保持量（如图所示）． 观察图象，回答下列问题： (1)经过，嘉嘉的记忆大约保持了多少? (2)图中点表示的意义是什么?在哪个时间段内遗忘的速度最快? (3)有研究表明，如及时复习，经过一天记忆能保持．根据遗忘曲线，如不复习，结果又怎样?由此，你能给嘉嘉什么建议? 13．已知动点P以每秒的速度沿的路径运动，相邻两边互相垂直．相应的的面积与点P的运动时间t（s）的函数图象如图，且． (1)动点P在线段________上运动的过程中的面积S保持不变． (2)直接写出：________，________，________ (3)直接写出________，________ 14．如图1，已知中，，，动点从点出发，沿路线以1个单位每秒的速度匀速运动，同时点从点出发，沿路线以0.5个单位每秒的速度匀速运动，设点运动时间为秒（），线段的长度为，线段的长度为． (1)直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)在图2中给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并根据函数图象分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 15．在学习地理时，我们知道：“在海拔高度11千米以内，海拔越高，气温越低；海拔高度超过11千米，气温几乎不变”．下表是海拔高度（千米）与此高度处气温的关系．根据表格，回答以下问题： 海拔高度（千米） 0 1 2 3 4 5 气温 20 14 8 2 (1)写出海拔高度11千米以内，气温与海拔高度的关系式：______； (2)当气温是时，求海拔高度是多少？当海拔高度为15千米时，求气温是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $