专题2.1 平方根培优讲义（暑假预习讲义）2026-2027学年苏科版八年级数学上学期

专题2.1 平方根 【本节预习目标】 1.理解算术平方根、平方根的概念，会用根号表示非负数的算术平方根与平方根，明确二者的区别与联系。 2.掌握平方与开平方互为逆运算的关系，能熟练求非负数的算术平方根与平方根，会用直接开平方法解简单的一元二次方程。 3.理解算术平方根的双重非负性，能利用非负性解决相关求值问题，掌握用夹逼法估算算术平方根取值范围的方法。 4.能运用平方根知识解决几何拼接、物理运动、传统文化等实际情境问题，发展数学运算与数学建模核心素养。 【前置旧知回顾】 知识模块 已学旧知内容 本节新知关联 乘方运算 有理数的平方运算；平方的非负性（任意有理数的平方为非负数） 开平方与平方互为逆运算，求平方根本质是寻找平方后等于被开方数的数 有理数相关 有理数的分类；绝对值的性质与化简 平方根包含正、负两个结果，算术平方根非负；的化简需结合绝对值知识 几何基础 正方形面积公式：（为边长） 已知正方形面积求边长是算术平方根的典型几何模型，是概念引入的实际背景 知识点1：算术平方根 1.定义 一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根。 规定：的算术平方根是，记作。 2.表示与性质 非负数的算术平方根记作，读作“根号”，叫做被开方数。 双重非负性：①被开方数非负：；②算术平方根非负：。 负数没有算术平方根。 知识点2：平方根 1.定义 一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫做的平方根，也称为二次方根。 2.表示与性质 正数的平方根记作，读作“正、负根号”。其中是正的平方根（算术平方根），是负的平方根。 性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；的平方根是；负数没有平方根。 知识点3：算术平方根与平方根的对比 对比维度 算术平方根 平方根 定义侧重点 强调“正数”的平方等于被开方数 强调“数”的平方等于被开方数，包含正负两种情况 个数 正数的算术平方根只有1个，为正数 正数的平方根有2个，互为相反数 表示方法 取值范围 结果恒为非负数 结果可正、可负、可为0 联系 1.平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中正的那个； 2.二者都只有非负数才有，负数均不存在； 3.0的算术平方根和平方根都是0 知识点4：开平方与两个重要公式 1.开平方 定义：求一个数的平方根的运算叫做开平方，平方与开平方互为逆运算。 运算前提：被开方数必须是非负数。 2.两个核心性质公式 公式 适用条件 运算结果 为任意实数 【基础巩固题型】 【题型1】平方根的概念辨析与正误判断 1.核心知识点 平方根的性质；算术平方根与平方根的概念区别 2.解题方法技巧 ①紧扣核心性质：正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根； ②区分“某数的平方根”与“某数的算术平方根”的表述差异，避免概念混淆； ③多层根号题目需从内到外逐步运算，最终再求对应结果的平方根。 【例题1】.（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）“25的平方根是”用数学式子表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一个正数的平方根有两个，且互为相反数，正数的平方根记作，据此求解即可． 【详解】解：“25的平方根是”用数学式子表示正确的是． 【变式题1-1】.（25-26七年级下·贵州遵义·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．3是9的算术平方根 B．0没有平方根 C．81的平方根是9 D．的平方根是 【答案】A 【详解】解∶A． ∵ ，根据算术平方根的定义可得，3是9的算术平方根，故本选项正确，符合题意； B． 0的平方根是0，故本选项错误，不符合题意； C． ∵ ，∴ 81的平方根是，故本选项错误，不符合题意； D． ∵ ，∴ 4的平方根是，即的平方根是，故本选项错误，不符合题意． 故选∶A． 【变式题1-2】.（25-26七年级下·广东潮州·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．一定没有平方根 C．非负数的平方根是非负数 D．因为负数没有平方根，所以平方根不可能为负 【答案】A 【分析】本题考查平方根的定义与性质，根据平方根的概念逐一判断各选项即可． 【详解】解：先明确平方根的基本性质：正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根． ∵ 对选项A：，且， ∴ 的平方根是，A正确． ∵ 对选项B：当时，，0有平方根为0， ∴ B错误． ∵ 对选项C：正数的平方根一正一负，例如的平方根包含，是负数， ∴ C错误． ∵ 对选项D：正数的平方根有一个负数，例如的平方根是负数， ∴ D错误． 综上，正确答案为A． 【变式题1-3】.（25-26七年级下·河南许昌·阶段检测）下列结论：①是9的平方根；②的算术平方根是；③式子表示的是4的平方根；④2的平方根是；⑤16的算术平方根是4，其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑤ D．③④⑤ 【答案】B 【分析】本题主要考查平方根与算术平方根的定义，根据平方根与算术平方根的定义逐一判断每个结论即可得到答案． 【详解】①因为，所以是的平方根，该结论正确； ②负数没有算术平方根，所以没有算术平方根，该结论错误； ③ 表示的算术平方根，不是的平方根，该结论错误； ④因为，所以的平方根是，该结论正确； ⑤因为，所以的算术平方根是4，该结论正确． 综上所述，正确的结论是①④⑤． 故选：B 【题型2】求具体数的平方根 1.核心知识点 平方根的定义；平方与开平方的互逆运算 2.解题方法技巧 ①先求出该数的算术平方根，再添加正负号得到一对平方根； ②结果必须成对出现，不可遗漏负的平方根； ③被开方数本身是平方形式时，先计算结果再开方，避免符号判断错误。 【例题2】.（25-26七年级下·福建福州·期末）16的平方根为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴16的平方根为． 【变式题2-1】.（25-26七年级下·安徽芜湖·期末）的平方根是（     ） A． B．2026 C． D． 【答案】C 【分析】先计算的结果，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：， 根据平方根的定义：可得， 的平方根是． 【变式题2-2】.（26-27八年级·上海·暑假作业）求下列各数的平方根． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：∵， ∴的平方根是； （2）解：∵， ∴的平方根是； （3）解：∵， ∴的平方根是； （4）解：∵，， ∴的平方根是． 【变式题2-3】.（26-27八年级·上海·暑假作业）求下列各数的平方根： (1)81； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵， ∴81的平方根是； （2）解：∵， ∴的平方根是； （3）解：∵， ∴的平方根是． 【题型3】求具体数的算术平方根 1.核心知识点 算术平方根的定义；平方与开平方的互逆关系 2.解题方法技巧 ①先将带分数、小数、乘方形式的数化简为标准形式，再进行开方运算； ②寻找平方后等于该数的正数，即为该数的算术平方根； ③计算类题目时，先算平方再求算术平方根，结果恒为非负。 【例题3】.（25-26七年级下·河南省直辖县级单位·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对选项A：，故A错误； 对选项B：，故B错误； 对选项C：，故C正确； 对选项D：∵，∴，D错误． 【变式题3-1】.（25-26七年级下·山东济南·期末）的算术平方根是_________． 【答案】 【详解】解：因为， 所以的算术平方根是． 【变式题3-2】.（25-26七年级下·河北邢台·期末）在数，0，，，，中，有算术平方根的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据算术平方根的性质，只有非负数才有算术平方根，先计算出题干中各数的值，再逐个判断是否为非负数，统计符合条件的个数即可得到答案. 【详解】解：只有非负数才有算术平方根，负数没有算术平方根， 对各数逐个判断： ，没有算术平方根， 是非负数，有算术平方根， ，有算术平方根， ，没有算术平方根， ，有算术平方根， ，有算术平方根， 有算术平方根的数共个. 【变式题3-3】.（26-27八年级·上海·暑假作业）求下列各数的算术平方根： (1)64； (2)225； (3)． 【答案】(1)8 (2)15 (3) 【详解】（1）解：∵， ∴64的算术平方根是8； （2）解：∵， ∴225的算术平方根是15； （3）解：∵， ∴的算术平方根是． 【题型4】算术平方根双重非负性的应用 1.核心知识点 算术平方根的非负性；绝对值、偶次幂的非负性 2.解题方法技巧 ①若几个非负数的和为0，则每个非负数都等于0，据此列方程求解字母的值； ②对于含一对互为相反数的被开方数的式子，利用被开方数非负可锁定字母的唯一取值； ③分析代数式最值时，根据判断代数式的最大值或最小值。 【例题4】.（25-26七年级下·江西赣州·期末）已知，则_________． 【答案】 【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性，几个非负数的和为时，每个非负数都为，据此分别求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解：，，且， ，， 解得，， ． 【变式题4-1】.（25-26七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）已知实数a，b满足，则________． 【答案】 【分析】根据算术平方根的非负性，两个非负数相加等于0，则两个算术平方根各自为0，列出二元一次方程组，解出a、b的值，再代入计算． 【详解】解：∵，，， ∴， 解得， ∴． 【变式题4-2】.（25-26七年级下·湖北咸宁·期末）若，则__________． 【答案】2026 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴，， 解得，． ∴． 【变式题4-3】.（25-26七年级下·广东广州·期中）若，求的平方根． 【答案】 【分析】根据绝对值，算术平方根和平方的非负性，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为， 【培优提升题型】 【题型5】算术平方根的估算与整数、小数部分求解 1.核心知识点 算术平方根的大小比较；夹逼估算思想 2.解题方法技巧 ①找到被开方数相邻的两个完全平方数，确定算术平方根介于哪两个连续整数之间； ②无理数的整数部分为其紧邻的较小整数，小数部分=原数-整数部分； ③共轭形式的无理数（如与），可结合数值范围推导各自的小数部分。 【例题5】.（25-26七年级下·湖北孝感·期末）下列选项中的整数，与最接近的是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据算术平方根的估算方法求出的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴四个整数中，与最接近的是4． 【变式题5-1】.（25-26七年级下·天津河西·期末）估计的值在（     ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．22和24之间 【答案】B 【分析】找出与23相邻的两个完全平方数，即可估算出的取值范围． 【详解】解：∵，，， ∴，即的值在4和5之间． 【变式题5-2】.（2026·上海奉贤·三模）请写出比大且比小的所有整数：_______． 【答案】和 【分析】先估算和的取值范围，再找出该范围内的所有整数即可． 【详解】解：因为 ，所以 ，即 .； 又因为 ，所以 ，即 ； 因此可得 ， 所以比大且比小的所有整数为，． 【变式题5-3】.（25-26七年级下·山东临沂·期中）若，则2为p的整数部分，p减去其整数部分2的差即为它的小数部分． 例如：，则的整数部分为1，小数部分为． (1)已知的整数部分是a，小数部分是b，则a＝______；b＝______． (2)若的整数部分是m，的小数部分是n，求的平方根． (3)已知，其中x是整数，且，求的相反数． 【答案】(1)3； (2) (3) 【分析】（1）根据解答即可； （2）先由（1）确定m＝3，，再求出代数式的值，然后根据平方根的定义解答； （3）先确定的取值范围，即可得出，，进而求出，最后根据相反数的定义解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 所以的整数部分是3，小数部分是； （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∴， 所以的平方根是； （3）解：∵ ， ∴． 又∵x是整数，且， ∴，， 则， ∴的相反数是． 【题型6】已知平方根求原数及参数 1.核心知识点 正数的两个平方根互为相反数；平方根的定义 2.解题方法技巧 ①正数的两个平方根互为相反数，其和为0，据此列方程求解参数； ②将参数代入其中一个平方根，平方后即可得到原数； ③注意区分“两个平方根分别是…”与“算术平方根是…”两类条件的差异。 【例题6】.（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）已知实数的两个不同的平方根是和，则的值为___________________________． 【答案】49 【分析】利用正数的平方根有两个，且互为相反数列出方程，求出方程的解，即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得，， ． 【变式题6-1】.（25-26七年级下·云南昆明·期末）若一个正数的两个平方根分别是和，则a的值是________． 【答案】 【分析】一个正数有两个平方根，它们互为相反数，根据这一性质列方程求解即可. 【详解】解：一个正数的两个平方根分别是和， ， 合并同类项得， 解得. 【变式题6-2】.（25-26七年级下·安徽安庆·期末）已知、是a的两个平方根，且是的一组解． (1)求a的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方根的定义和二元一次方程的解的定义计算； （2）根据算术平方根的定义计算． 【详解】（1）解：设的平方根为和， 则， 解得， ∴； （2）解：， ∴的算术平方根为． 【变式题6-3】.（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）已知正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求的值． (2)求的算术平方根． 【答案】(1)的值为 (2)的算术平方根为 【分析】（1）根据正数的两个平方根互为相反数，可得：，解方程即可求出的值； （2）根据的值求出的一个平方根的值，即可求出的值，把和的值代入求值，再求出它的算术平方根即可． 【详解】（1）解：正数的两个不同的平方根分别是和， ∴， 解得：， 的值为； （2）解：由（1）可知， ， ， ， 的算术平方根为． 【题型7】平方根的跨学科实际应用 1.核心知识点 算术平方根的几何与物理意义；数学建模思想 2.解题方法技巧 ①正方形面积、图形拼接类问题，边长等于面积的算术平方根； ②自由落体、单摆周期等物理情境，先将公式变形，再通过开平方求解未知量； ③裁剪类问题先假设成立，通过方程求出对应边长，与原图形边长对比判断可行性。 【例题7】.（25-26七年级下·湖北恩施·期末）综合与实践：为宣传恩施旅游资源，促进旅游业发展，某中学课外活动小组制作了精美的恩施景点卡片，并给每张卡片制作了一个特色的封皮袋． 课题 恩施州景点卡片及封皮袋制作 分工 男生制作正方形卡片，女生制作长方形封皮袋 图示    相关数据及说明 正方形卡片面积为；长方形封皮袋长与宽的比是，面积为 任务 请你通过计算，判断卡片能否直接装进封皮袋中 【答案】卡片能直接装进封皮袋中 【分析】由题意得，正方形卡片的边长为，设长方形封皮袋的长为，宽为，根据长方形的面积列方程求出的值，进而求出长方形的长和宽，即可判断． 【详解】解：由题意得，正方形卡片的边长为， 设长方形封皮袋的长为，宽为， 则 根据实际意义，解得， 长方形封皮袋的长为，宽为， ，， 卡片能直接装进封皮袋中． 【变式题7-1】.（25-26七年级下·广东东莞·期中）《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类．现有一张长方形绣布，长、宽之比为，绣布面积为． (1)求绣布的长和宽； (2)刺绣师傅想利用这张绣布裁出一张面积为的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 【答案】(1)长为，宽为 (2)不能裁出来，理由见解析 【分析】（1）设绣布的长为，宽为，根据面积列方程求解； （2）设完整的圆形绣布的半径为，根据圆面积公式列式，进行计算得，然后判断出，即可作答． 【详解】（1）解：∵长、宽之比为 ∴设绣布的长为，宽为， 根据题意，得 ∴ ∴绣布的长为，宽为； （2）解：不能裁出来，理由如下： 设完整的圆形绣布的半径为 根据题意得，， ∴ 解得（负值已舍去） 则， ∴， 由（1）得绣布的长为，宽为， ∴不能裁出来． 【变式题7-2】.（25-26七年级下·辽宁大连·期中）为宣传旅游资源，某中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为并为每一张卡片制作了一个特色封皮． A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮，请你通过计算，判断正方形卡片能否在不折叠的情况下全部装进长方形封皮中． 【答案】正方形卡片能在不折叠的情况下全部装进长方形封皮中 【分析】设长方形封皮的宽为，则长为，根据长方形封皮的面积为列出方程，求出，，然后求出正方形卡片的边长，进而比较求解即可． 【详解】解：∵长方形封皮的长与宽的比为， 设长方形封皮的宽为，则长为， 根据题意可列方程，即，，， ， ，，， 正方形卡片的面积为， 正方形卡片的边长为， ， 正方形卡片能在不折叠的情况下全部装进长方形封皮中． 【变式题7-3】.（25-26七年级下·江苏淮安·期中）数学活动课上，老师准备了如图1的一个长为4b，宽为 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼成一个大正方形． (1)观察图1，图2，请写出，，之间的等量关系是：_______； (2)【解决问题】 若，，且，则____； (3)【实际应用】 学校计划用一块梯形区域开展科技节活动，如图3所示．已知于点O，其中， ．计划在和区域内展示无人机和机器人表演，在和区域内分别是主舞台和观众，经测量无人机和机器人表演区域的面积和为，，求主舞台和观众区的面积和； (4)【拓展提升】 已知，，则_______． 【答案】(1) (2) (3)8 (4) 【分析】（1）根据题意，得到大正方形的边长为，阴影正方形的边长为，计算即可． （2）根据公式变形计算即可． （3）设，，故，，和的面积和为：，利用完全平方公式变形求解即可； （4）根据变形的公式，求解即可； 【详解】（1）解：根据题意，得到大正方形的边长为，阴影正方形的边长为， 故． （2）解：根据， 得到， 因为，，且， 则； （3）解：设，， 根据题意，得，且， 故； 因为，无人机和机器人表演区域的面积和为， 所以， 故， 和的面积和为：， 因为， 所以， 故和的面积和为：． （4）解：根据题意，得， 故， 因为，， 故， 因为， 故， 因为， 所以 则， 因为 故． 【压轴素养题型】 【题型8】新定义运算中的平方根问题 1.核心知识点 平方根的四则运算；新定义的理解与转化 2.解题方法技巧 ①准确解读新运算规则，将新运算转化为常规的平方、开平方与四则混合运算； ②按运算优先级逐步计算，涉及平方根时注意结果的完整性； ③含参数的新定义方程，先代入规则整理为标准形式，再利用平方根定义求解。 【例题8】.（25-26七年级下·湖北武汉·期中）对于两个正实数x，y，定义： (1)直接计算：_______； (2)若，求a的值； (3)若和都是整数，且满足，请直接写出的值． 【答案】(1)1 (2)或 (3)10或6或4或12 【分析】（1）根据新定义解答即可； （2）根据新定义可得，即可求解； （3）根据新定义可得，再由和都是整数，可得，或，，即可解答． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴，即， ∴或， ∴或； （3）解：∵， ∴， ∵和都是整数， ∴和都是整数， ∴，或，， 时，或9；时，或9， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 综上所述，的值为10或6或4或12． 【变式题8-1】.（24-25七年级下·河南信阳·期末）某数学兴趣小组在学习“算术平方根”之后进行了拓展研究．新定义：对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“组合平方数”．例如：，，这三个数，，，其结果2，3，6都是整数，所以，，这三个数称为“组合平方数”． (1)，，这三个数是“组合平方数”吗？请说明理由． (2)若三个数，m，是“组合平方数”，其中有两个数乘积的算术平方根为10，求m的值． (3)写出两组含有的“组合平方数”． 【答案】(1) ，，这三个数是“组合平方数”，理由如下． ∵，，， ∴，，这三个数是“组合平方数”． (2)m的值为 (3)，，；，，（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了新定义，解题关键是能够熟练理解新定义的含义． （1）先分别求出这三个数两两乘积的算术平方根，然后根据已知条件中的新定义，进行判断即可； （2）根据两个数乘积的算术平方根为，求出这两个数的乘积，列出关于m的方程，解之可得； （3）根据“组合平方数”的定义，写出一组“组合平方数”． 【详解】（1）略 （2）解：∵三个数，m，是“组合平方数”，其中有两个数乘积的算术平方根为， ∴，，都是整数． ∴或． ∴或（不合题意，舍去）． 当时，这三个数，，是“组合平方数”． 综上所述，m的值为． （3）解：两组含有的“组合平方数”为：，，或，，（答案不唯一） 故答案为：，，或，，（答案不唯一）． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． (1)仿照以上方法计算：_______，_______； (2)若，写出满足题意的的整数值______； (3)①若我们对连续求根整数，直到结果是1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．则对有理数137连续求根整数，几次之后结果是1； ②试写出只需进行3次连续求根整数运算后结果是1的所有正整数中最大的数______． 【答案】(1)4，6； (2)1，2，3； (3)①3次；②255 【分析】本题考查新定义运算． （1）由根整数的定义，结合及即可得到答案； （2）由根整数的定义，根据得到，再结合与即可确定，从而得到答案； （3）①由根整数的定义，逐次求解即可得到答案； ②由前面求解过程，结合根整数的定义，逐次分析倒推即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，，， ，即， ，， 故答案为：4，6； （2）解：， ， ，， ∴， 或或， 故答案为：1，2，3； （3）解：①第一次：， 第二次：， 第三次：， 第3次之后结果为1， 故答案为：3次； ②由上述求解过程可知，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3， ，， 进行2次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15， ，， 进行3次求根整数运算后结果为15的正整数最大为255， 只对一个正整数进行3次连续求根整数运算后结果为1，则这个正整数最大值是255， 故答案为：255． 【变式题8-3】.（25-26七年级下·重庆巴南·期末）对，定义一种新运算，规定（其中，均为非零常数），例如；若，，则下列结论正确的个数是（ ） ①，； ②，则； ③若，则，有且仅有7组正整数解． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】先根据已知条件解出和的值，再依次验证每个结论的正确性，结合非负数的性质，二元一次方程组的解法，正整数的概念判断即可． 【详解】解：∵，， 解 ，得， ∴结论①正确； ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， 解，得， ∴结论②正确； ∵，， ∴， ∴， 若，均为正整数，则，， 解，得， ∵为正整数， ∴可取1，2，3，4，5，6，7， ∴，有且仅有7组正整数解， ∴结论③正确； 综上所述，正确结论有3个． 【题型9】平方根的规律探究问题 1.核心知识点 算术平方根的变化规律；归纳推理能力 2.解题方法技巧 ①小数点移动规律：被开方数小数点每向右/左移动2位，算术平方根小数点同向移动1位； ②数列类规律题，先将各数统一为带根号形式，观察被开方数的变化规律； ③特殊数字规律（如个位为5的数的平方），可归纳公式并反向应用于开平方运算。 【例题9】.（25-26八年级上·上海·单元复习）按要求填空： （1）填表并观察规律： a 4 400 （2）根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______； （3）从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 4 400 2 20 【答案】（1）见解析 （2），68 （3）求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律问题，熟练掌握算术平方根的性质是解题关键． （1）先求出每个数的算术平方根，再填表即可； （2）根据（1）可得规律：求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位，由此即可得； （3）根据（1）解题过程找出规律即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴，，，， 填表如下： a 0.0004 0.04 4 400 0.02 0.2 2 20 （2）解：由（1）可知，求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位， ∵， ∴被开方数的小数点向右移动2位得到580，则它的算术平方根的小数点向右移动1位，即； ∵，， ∴将被开方数的小数点向右移动4位即可得到， ∴； 故答案为：，68． （3）解：从以上问题的解决过程中，发现的规律：求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位． 【变式题9-1】.（24-25七年级上·浙江杭州·期中）我们知道，平方数的开平方运算可以直接求得，如等，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得．请你观察下表： a … 0.04 4 400 40000 … … x 2 y z … (1)表格中的三个值分别为： ________； ________； ________； (2)用公式表示这一规律：当（为整数）时，＝________； (3)利用这一规律，解决下面的问题： 已知，则①_______；②________． 【答案】(1)，， (2) (3)， 【分析】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键． （1）利用算术平方根定义计算，填表即可； （2）归纳总结得到一般性规律，求出的值即可； （3）利用得出的规律计算即可得到结果． 【详解】（1）根据题意得：， ， ． （2）当（为整数）时，； （3）若，则①； ②． 【变式题9-2】.（25-26七年级下·吉林长春·期中）【观察思考】观察下列等式特征，探索规律． 第①个等式：； 第②个等式：； 第③个等式：； 第④个等式：； ．．． 【规律发现】 (1)计算：　　　　；　　　　； (2)若，则正整数　　　　； 【规律应用】 (3)根据上述等式规律，化简：． 【答案】(1) 42，110 (2) 14 (3) 【分析】本题考查了二次根式的规律探索与应用，解题的关键是通过观察等式特征，归纳出一般规律并用于计算与化简． （1）直接利用规律计算； （2）利用规律列方程求解； （3）先根据规律化简每一项，再用裂项相消法求和． 【详解】（1）解：， ． （2）解：， ， 即， 解得（舍去）． （3）解：原式 ． 【变式题9-3】.（25-26七年级下·安徽安庆·期中）【观察思考】 观察下列算式的特征及运算结果，探索规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； … 【规律发现】 (1)根据上述规律，直接写出下列算式的值： ①____； ②____； (2)用含（为正整数）的代数式表示出第个等式：____； 【规律应用】 (3)根据上述规律计算： ． 【答案】(1)5；100 (2) (3) 【分析】（1）根据规律解答即可； （2）根据规律解答即可； （3）根据规律化简运算即可． 【详解】（1）解：①， ②； （2）解：由题意可得： ； （3） 原式 易错点 1、概念混淆：混淆算术平方根与平方根，求正数的平方根时遗漏负根；或将错误理解为同时表示正、负两个平方根。 2、忽略非负前提：忽略被开方数必须非负的条件，错误认为负数也有平方根；利用非负性解题时，遗漏对被开方数取值范围的验证。 3、公式化简错误：化简时忽略的正负性，直接得出结果为；混淆与的适用条件与运算结果。 4、解方程漏解：利用平方根解方程时，只取正根而遗漏负根，导致方程的解不完整。 重点 1、算术平方根与平方根的概念、表示方法与核心性质，能准确区分二者并熟练进行计算。 2、算术平方根的双重非负性，以及利用平方根定义解简单的一元二次方程。 3、平方根的实际应用，包括几何面积问题、估算问题与简单跨学科情境问题。 难点 1、算术平方根双重非负性的综合应用，以及与绝对值结合的化简问题。 2、规律探究、新定义、几何探究类综合问题的分析思路与数学建模方法。 一、单选题 1．若，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目已知条件找到规律为被开方数的小数点向某方向移动两位，算术平方根的小数点向相同方向移动一位，利用该规律即可求解． 【详解】解：，，，， 则被开方数的小数点向左移动两位，算术平方根的小数点向左移动一位， ， ． 2．如图，正方形的面积为5，顶点在数轴上，表示的数为．以点为圆心，为半径画弧，与数轴相交于点，则点表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据算术平方根的性质可得，再根据数轴上两点间的距离，即可求解． 【详解】解：正方形的面积为5， , 由作图可知，在数轴上，表示的数为， 点E所表示的数为． 3．有下列说法：①是的一个平方根；②是的算术平方根；③25的平方根是；④的平方根是；⑤0没有算术平方根；⑥的平方根为；⑦平方根等于本身的数有0，1．其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据若，则是的平方根，其中非负的平方根是的算术平方根，负数没有平方根，逐一判断各说法即可得出正确结论． 【详解】解：① ，， 是的一个平方根，①正确； ② ，49的算术平方根是， 不是的算术平方根，②错误； ③ ， 的平方根是，③正确； ④ 负数没有平方根，， 没有平方根，④错误； ⑤ 的算术平方根是，⑤错误； ⑥ ，，的平方根为，⑥正确； ⑦ 的平方根是，只有0的平方根等于本身，⑦错误； 综上，正确的说法共3个． 二、填空题 4．化简：_______． 【答案】2 【详解】解：． 5．若满足，则的值为_______． 【答案】3 【详解】解：依题意， 解不等式得， 解不等式得， 因此． 6．在数轴上，点和点表示的数是一个正数的两个平方根，已知表示，表示，则的值为_________． 【答案】 【分析】根据正数的两个平方根互为相反数，列出关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：正数的两个平方根分别对应数轴上点和点表示的数和， ， 解得：． 三、解答题 7．化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)12 (3) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 8．若是关于的二元一次方程． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2)的平方根为 【详解】（1）解：∵是关于的二元一次方程， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴的平方根为． 9．如图，现有一个边长为5的正方形，将这个正方形边长加2，形成一个新的正方形①，面积记为；再将正方形①的边长加2，形成正方形②，面积记为，以此类推，得到正方形，面积记为． (1)________； (2)请用两种形式表达（用含的代数式表达）； (3)当满足时，请求出． 【答案】(1) (2)、， (3) 【分析】（1）根据图形变换规律可得：当时，新正方形的边长为，由此即可计算面积； （2）根据正方形的边长为可直接表示面积，也可利用边长增加后面积等于增加各部分面积和表示； （3）根据（2）的结论可得，由此利用开平方解方程即可. 【详解】（1）解：， （2）解：、， （3）由（2）得：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴， ∴． 10．对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如：，．观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）：_________；_________； (2)当时，_________；当时，_________； (3)计算：． 【答案】(1)， (2)； (3) 【分析】（1）仿照题干作答即可； （2）根据算术平方根的意义仿照题干作答即可； （3）仿照题干去掉算术平方根符号，进而计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，． （2）解：当时，；当时，． （3）解：原式 ． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 平方根 【本节预习目标】 1.理解算术平方根、平方根的概念，会用根号表示非负数的算术平方根与平方根，明确二者的区别与联系。 2.掌握平方与开平方互为逆运算的关系，能熟练求非负数的算术平方根与平方根，会用直接开平方法解简单的一元二次方程。 3.理解算术平方根的双重非负性，能利用非负性解决相关求值问题，掌握用夹逼法估算算术平方根取值范围的方法。 4.能运用平方根知识解决几何拼接、物理运动、传统文化等实际情境问题，发展数学运算与数学建模核心素养。 【前置旧知回顾】 知识模块 已学旧知内容 本节新知关联 乘方运算 有理数的平方运算；平方的非负性（任意有理数的平方为非负数） 开平方与平方互为逆运算，求平方根本质是寻找平方后等于被开方数的数 有理数相关 有理数的分类；绝对值的性质与化简 平方根包含正、负两个结果，算术平方根非负；的化简需结合绝对值知识 几何基础 正方形面积公式：（为边长） 已知正方形面积求边长是算术平方根的典型几何模型，是概念引入的实际背景 知识点1：算术平方根 1.定义 一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根。 规定：的算术平方根是，记作。 2.表示与性质 非负数的算术平方根记作，读作“根号”，叫做被开方数。 双重非负性：①被开方数非负：；②算术平方根非负：。 负数没有算术平方根。 知识点2：平方根 1.定义 一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫做的平方根，也称为二次方根。 2.表示与性质 正数的平方根记作，读作“正、负根号”。其中是正的平方根（算术平方根），是负的平方根。 性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；的平方根是；负数没有平方根。 知识点3：算术平方根与平方根的对比 对比维度 算术平方根 平方根 定义侧重点 强调“正数”的平方等于被开方数 强调“数”的平方等于被开方数，包含正负两种情况 个数 正数的算术平方根只有1个，为正数 正数的平方根有2个，互为相反数 表示方法 取值范围 结果恒为非负数 结果可正、可负、可为0 联系 1.平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中正的那个； 2.二者都只有非负数才有，负数均不存在； 3.0的算术平方根和平方根都是0 知识点4：开平方与两个重要公式 1.开平方 定义：求一个数的平方根的运算叫做开平方，平方与开平方互为逆运算。 运算前提：被开方数必须是非负数。 2.两个核心性质公式 公式 适用条件 运算结果 为任意实数 【基础巩固题型】 【题型1】平方根的概念辨析与正误判断 1.核心知识点 平方根的性质；算术平方根与平方根的概念区别 2.解题方法技巧 ①紧扣核心性质：正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根； ②区分“某数的平方根”与“某数的算术平方根”的表述差异，避免概念混淆； ③多层根号题目需从内到外逐步运算，最终再求对应结果的平方根。 【例题1】.（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）“25的平方根是”用数学式子表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26七年级下·贵州遵义·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．3是9的算术平方根 B．0没有平方根 C．81的平方根是9 D．的平方根是 【变式题1-2】.（25-26七年级下·广东潮州·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．一定没有平方根 C．非负数的平方根是非负数 D．因为负数没有平方根，所以平方根不可能为负 【变式题1-3】.（25-26七年级下·河南许昌·阶段检测）下列结论：①是9的平方根；②的算术平方根是；③式子表示的是4的平方根；④2的平方根是；⑤16的算术平方根是4，其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑤ D．③④⑤ 【题型2】求具体数的平方根 1.核心知识点 平方根的定义；平方与开平方的互逆运算 2.解题方法技巧 ①先求出该数的算术平方根，再添加正负号得到一对平方根； ②结果必须成对出现，不可遗漏负的平方根； ③被开方数本身是平方形式时，先计算结果再开方，避免符号判断错误。 【例题2】.（25-26七年级下·福建福州·期末）16的平方根为（     ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（25-26七年级下·安徽芜湖·期末）的平方根是（     ） A． B．2026 C． D． 【变式题2-2】.（26-27八年级·上海·暑假作业）求下列各数的平方根． (1) (2) (3) (4) 【变式题2-3】.（26-27八年级·上海·暑假作业）求下列各数的平方根： (1)81； (2)； (3)． 【题型3】求具体数的算术平方根 1.核心知识点 算术平方根的定义；平方与开平方的互逆关系 2.解题方法技巧 ①先将带分数、小数、乘方形式的数化简为标准形式，再进行开方运算； ②寻找平方后等于该数的正数，即为该数的算术平方根； ③计算类题目时，先算平方再求算术平方根，结果恒为非负。 【例题3】.（25-26七年级下·河南省直辖县级单位·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（25-26七年级下·山东济南·期末）的算术平方根是_________． 【变式题3-2】.（25-26七年级下·河北邢台·期末）在数，0，，，，中，有算术平方根的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式题3-3】.（26-27八年级·上海·暑假作业）求下列各数的算术平方根： (1)64； (2)225； (3)． 【题型4】算术平方根双重非负性的应用 1.核心知识点 算术平方根的非负性；绝对值、偶次幂的非负性 2.解题方法技巧 ①若几个非负数的和为0，则每个非负数都等于0，据此列方程求解字母的值； ②对于含一对互为相反数的被开方数的式子，利用被开方数非负可锁定字母的唯一取值； ③分析代数式最值时，根据判断代数式的最大值或最小值。 【例题4】.（25-26七年级下·江西赣州·期末）已知，则_________． 【变式题4-1】.（25-26七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）已知实数a，b满足，则________． 【变式题4-2】.（25-26七年级下·湖北咸宁·期末）若，则__________． 【变式题4-3】.（25-26七年级下·广东广州·期中）若，求的平方根． 【培优提升题型】 【题型5】算术平方根的估算与整数、小数部分求解 1.核心知识点 算术平方根的大小比较；夹逼估算思想 2.解题方法技巧 ①找到被开方数相邻的两个完全平方数，确定算术平方根介于哪两个连续整数之间； ②无理数的整数部分为其紧邻的较小整数，小数部分=原数-整数部分； ③共轭形式的无理数（如与），可结合数值范围推导各自的小数部分。 【例题5】.（25-26七年级下·湖北孝感·期末）下列选项中的整数，与最接近的是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式题5-1】.（25-26七年级下·天津河西·期末）估计的值在（     ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．22和24之间 【变式题5-2】.（2026·上海奉贤·三模）请写出比大且比小的所有整数：_______． 【变式题5-3】.（25-26七年级下·山东临沂·期中）若，则2为p的整数部分，p减去其整数部分2的差即为它的小数部分． 例如：，则的整数部分为1，小数部分为． (1)已知的整数部分是a，小数部分是b，则a＝______；b＝______． (2)若的整数部分是m，的小数部分是n，求的平方根． (3)已知，其中x是整数，且，求的相反数． 【题型6】已知平方根求原数及参数 1.核心知识点 正数的两个平方根互为相反数；平方根的定义 2.解题方法技巧 ①正数的两个平方根互为相反数，其和为0，据此列方程求解参数； ②将参数代入其中一个平方根，平方后即可得到原数； ③注意区分“两个平方根分别是…”与“算术平方根是…”两类条件的差异。 【例题6】.（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）已知实数的两个不同的平方根是和，则的值为___________________________． 【变式题6-1】.（25-26七年级下·云南昆明·期末）若一个正数的两个平方根分别是和，则a的值是________． 【变式题6-2】.（25-26七年级下·安徽安庆·期末）已知、是a的两个平方根，且是的一组解． (1)求a的值； (2)求的算术平方根． 【变式题6-3】.（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）已知正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求的值． (2)求的算术平方根． 【题型7】平方根的跨学科实际应用 1.核心知识点 算术平方根的几何与物理意义；数学建模思想 2.解题方法技巧 ①正方形面积、图形拼接类问题，边长等于面积的算术平方根； ②自由落体、单摆周期等物理情境，先将公式变形，再通过开平方求解未知量； ③裁剪类问题先假设成立，通过方程求出对应边长，与原图形边长对比判断可行性。 【例题7】.（25-26七年级下·湖北恩施·期末）综合与实践：为宣传恩施旅游资源，促进旅游业发展，某中学课外活动小组制作了精美的恩施景点卡片，并给每张卡片制作了一个特色的封皮袋． 课题 恩施州景点卡片及封皮袋制作 分工 男生制作正方形卡片，女生制作长方形封皮袋 图示    相关数据及说明 正方形卡片面积为；长方形封皮袋长与宽的比是，面积为 任务 请你通过计算，判断卡片能否直接装进封皮袋中 【变式题7-1】.（25-26七年级下·广东东莞·期中）《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类．现有一张长方形绣布，长、宽之比为，绣布面积为． (1)求绣布的长和宽； (2)刺绣师傅想利用这张绣布裁出一张面积为的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 【变式题7-2】.（25-26七年级下·辽宁大连·期中）为宣传旅游资源，某中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为并为每一张卡片制作了一个特色封皮． A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮，请你通过计算，判断正方形卡片能否在不折叠的情况下全部装进长方形封皮中． 【变式题7-3】.（25-26七年级下·江苏淮安·期中）数学活动课上，老师准备了如图1的一个长为4b，宽为 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼成一个大正方形． (1)观察图1，图2，请写出，，之间的等量关系是：_______； (2)【解决问题】 若，，且，则____； (3)【实际应用】 学校计划用一块梯形区域开展科技节活动，如图3所示．已知于点O，其中， ．计划在和区域内展示无人机和机器人表演，在和区域内分别是主舞台和观众，经测量无人机和机器人表演区域的面积和为，，求主舞台和观众区的面积和； (4)【拓展提升】 已知，，则_______． 【压轴素养题型】 【题型8】新定义运算中的平方根问题 1.核心知识点 平方根的四则运算；新定义的理解与转化 2.解题方法技巧 ①准确解读新运算规则，将新运算转化为常规的平方、开平方与四则混合运算； ②按运算优先级逐步计算，涉及平方根时注意结果的完整性； ③含参数的新定义方程，先代入规则整理为标准形式，再利用平方根定义求解。 【例题8】.（25-26七年级下·湖北武汉·期中）对于两个正实数x，y，定义： (1)直接计算：_______； (2)若，求a的值； (3)若和都是整数，且满足，请直接写出的值． 【变式题8-1】.（24-25七年级下·河南信阳·期末）某数学兴趣小组在学习“算术平方根”之后进行了拓展研究．新定义：对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“组合平方数”．例如：，，这三个数，，，其结果2，3，6都是整数，所以，，这三个数称为“组合平方数”． (1)，，这三个数是“组合平方数”吗？请说明理由． (2)若三个数，m，是“组合平方数”，其中有两个数乘积的算术平方根为10，求m的值． (3)写出两组含有的“组合平方数”． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． (1)仿照以上方法计算：_______，_______； (2)若，写出满足题意的的整数值______； (3)①若我们对连续求根整数，直到结果是1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．则对有理数137连续求根整数，几次之后结果是1； ②试写出只需进行3次连续求根整数运算后结果是1的所有正整数中最大的数______． 【变式题8-3】.（25-26七年级下·重庆巴南·期末）对，定义一种新运算，规定（其中，均为非零常数），例如；若，，则下列结论正确的个数是（ ） ①，； ②，则； ③若，则，有且仅有7组正整数解． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【题型9】平方根的规律探究问题 1.核心知识点 算术平方根的变化规律；归纳推理能力 2.解题方法技巧 ①小数点移动规律：被开方数小数点每向右/左移动2位，算术平方根小数点同向移动1位； ②数列类规律题，先将各数统一为带根号形式，观察被开方数的变化规律； ③特殊数字规律（如个位为5的数的平方），可归纳公式并反向应用于开平方运算。 【例题9】.（25-26八年级上·上海·单元复习）按要求填空： （1）填表并观察规律： a 4 400 （2）根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______； （3）从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 4 400 2 20 a 0.0004 0.04 4 400 0.02 0.2 2 20 【变式题9-1】.（24-25七年级上·浙江杭州·期中）我们知道，平方数的开平方运算可以直接求得，如等，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得．请你观察下表： a … 0.04 4 400 40000 … … x 2 y z … (1)表格中的三个值分别为： ________； ________； ________； (2)用公式表示这一规律：当（为整数）时，＝________； (3)利用这一规律，解决下面的问题： 已知，则①_______；②________． 【变式题9-2】.（25-26七年级下·吉林长春·期中）【观察思考】观察下列等式特征，探索规律． 第①个等式：； 第②个等式：； 第③个等式：； 第④个等式：； ．．． 【规律发现】 (1)计算：　　　　；　　　　； (2)若，则正整数　　　　； 【规律应用】 (3)根据上述等式规律，化简：． 【变式题9-3】.（25-26七年级下·安徽安庆·期中）【观察思考】 观察下列算式的特征及运算结果，探索规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； … 【规律发现】 (1)根据上述规律，直接写出下列算式的值： ①____； ②____； (2)用含（为正整数）的代数式表示出第个等式：____； 【规律应用】 (3)根据上述规律计算： ． 易错点 1、概念混淆：混淆算术平方根与平方根，求正数的平方根时遗漏负根；或将错误理解为同时表示正、负两个平方根。 2、忽略非负前提：忽略被开方数必须非负的条件，错误认为负数也有平方根；利用非负性解题时，遗漏对被开方数取值范围的验证。 3、公式化简错误：化简时忽略的正负性，直接得出结果为；混淆与的适用条件与运算结果。 4、解方程漏解：利用平方根解方程时，只取正根而遗漏负根，导致方程的解不完整。 重点 1、算术平方根与平方根的概念、表示方法与核心性质，能准确区分二者并熟练进行计算。 2、算术平方根的双重非负性，以及利用平方根定义解简单的一元二次方程。 3、平方根的实际应用，包括几何面积问题、估算问题与简单跨学科情境问题。 难点 1、算术平方根双重非负性的综合应用，以及与绝对值结合的化简问题。 2、规律探究、新定义、几何探究类综合问题的分析思路与数学建模方法。 一、单选题 1．若，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．如图，正方形的面积为5，顶点在数轴上，表示的数为．以点为圆心，为半径画弧，与数轴相交于点，则点表示的数为（     ） A． B． C． D． 3．有下列说法：①是的一个平方根；②是的算术平方根；③25的平方根是；④的平方根是；⑤0没有算术平方根；⑥的平方根为；⑦平方根等于本身的数有0，1．其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 4．化简：_______． 5．若满足，则的值为_______． 6．在数轴上，点和点表示的数是一个正数的两个平方根，已知表示，表示，则的值为_________． 三、解答题 7．化简： (1)； (2)； (3)． 8．若是关于的二元一次方程． (1)求的值； (2)求的平方根． 9．如图，现有一个边长为5的正方形，将这个正方形边长加2，形成一个新的正方形①，面积记为；再将正方形①的边长加2，形成正方形②，面积记为，以此类推，得到正方形，面积记为． (1)________； (2)请用两种形式表达（用含的代数式表达）； (3)当满足时，请求出． 10．对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如：，．观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）：_________；_________； (2)当时，_________；当时，_________； (3)计算：． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $