第2章 随机事件的概率（举一反三单元自测·培优卷）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 新教材浙教版初中数学第2章随机事件的概率单元培优卷，120分钟120分，25题覆盖随机事件、概率计算等核心知识，通过生活情境与跨学科素材（如AI模型、扫雷游戏）考查抽象能力与数据意识，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|随机事件判断、概率意义、几何概率|结合机票选座、化学元素周期表等情境，基础巩固| |填空题|6/18|频率估计概率、路径概率、游戏公平性|融入谚语、智能巡检机器人等素材，考查数据意识| |解答题|9/72|统计与概率结合、游戏设计、几何概率计算|综合扫雷、手机支付调查等现实问题，提升模型观念与应用意识|

第2章 随机事件的概率·培优卷 【新教材浙教版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）下列事件中，是随机事件的为（     ） A．投掷一枚硬币，正面向上 B．画一个三角形，其内角和为 C．寒来暑往 D．从只有红球的袋子中摸出黑球 【答案】A 【分析】随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，必然事件是一定会发生的事件，不可能事件是一定不会发生的事件．根据定义，判断各选项的事件类型，即可选出正确答案． 【详解】解：A选项，投掷一枚硬币，可能正面向上，也可能反面向上，故该事件可能发生也可能不发生，属于随机事件； B选项，∵任意三角形的内角和都为，∴画一个三角形，其内角和为是必然事件； C选项，寒来暑往是固定的自然规律，是必然事件； D选项，从只有红球的袋子中不可能摸出黑球，是不可能事件． 2．（24-25七年级下·贵州六盘水·期末）据六盘水市天气预报显示，明天全市降雨概率高达，下列说法中正确的是（     ）． A．明天全市下雨的可能性较高 B．明天全市一定不会下雨 C．明天全市下雨的可能性较低 D．明天全市一定会下雨 【答案】A 【分析】本题考查概率的意义，概率用于表示事件发生可能性的大小，只需根据降雨概率的含义判断选项即可． 【详解】∵概率表示事件发生可能性的大小，是接近的概率， ∴该数据说明明天全市下雨的可能性较高，但降雨不是必然事件，也不是不可能事件， 由此可得：A：“可能性较高”正确；B：“一定不会下雨”错误；C：“可能性较低”错误；D：“一定会下雨”错误． 3．（25-26七年级下·广东深圳·期末）小明购买了1张经济舱机票，从如图所示的某排6个座位中随机选择1个，则所选座位靠窗的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用靠窗的座位数除以座位总数即可得到答案． 【详解】解：∵一共有6个座位，其中靠窗的座位有2个， ∴从这6个座位中随机选择1个，所选座位靠窗的概率是． 4．（25-26七年级下·河南郑州·期末）某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如表： 抛掷次数 “正面朝上”的次数 “正面朝上”的频率 则估计抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当试验次数足够大时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为该事件发生概率的估计值，观察表格中频率的变化趋势即可得到答案． 【详解】解：随着抛掷次数不断增大，“正面朝上”的频率逐渐稳定，当抛掷次数足够大后，频率稳定在， 根据用频率估计概率的原理，估计抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率为． 5．（25-26九年级下·河南洛阳·期中）如图是化学元素周期表中原子序数为1，8，11，12的四种元素，分别为氢（H），氧（O），钠（Na），镁（Mg）．从中随机一次性选取两种元素，已知钠和镁为金属元素，氢和氧为非金属元素，则这两种元素恰好都是非金属元素的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：列表可得： 氢 氧 钠 镁 氢 （氢，氧） （氢，钠） （氢，镁） 氧 （氧，氢） （氧，钠） （氧，镁） 钠 （钠，氢） （钠，氧） （钠，镁） 镁 （镁，氢） （镁，氧） （镁，钠） 由表格可得，共有12种等可能出现的结果，其中这两种元素恰好都是非金属元素的情况有种， 故这两种元素恰好都是非金属元素的概率为． 6．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）一个不透明的袋子中有大小相同的5个红球和8个黄球，如果要使两种颜色的球摸到的可能性相等，那么需要再往袋中放入红球的个数是（　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题考查一元一次方程的应用，事件的可能性，要使摸到红球和黄球的可能性相等，需使红球与黄球的数量相等。 【详解】设需要再放入x个红球， 放入后，红球有个，黄球有8个， ∵摸到两种球的可能性相等， ∴， 解得 ∴需要放入3个红球， 故选：C 7．（2025九年级·全国·专题练习）数学课上学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中共有个球，其中有个白球、个红球、个黑球和个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（  ） A．黑色 B．红色 C．黄色 D．白色 【答案】A 【分析】本题考查利用频率估计概率，解题的关键是理解题意； 由频率图可知：抽出某个颜色的球的概率稳定在，然后问题可求解． 【详解】解：由图可知：抽出某个颜色的球的概率稳定在， ∵， ∴抽出某个球的颜色最有可能的是黑色； 故选：A． 8．（25-26九年级上·全国·课后作业）某口袋中有10个球，其中白球有2个，绿球有5个，其余为黑球．从袋中任意摸出1个球，若为绿球，则甲获胜；若为黑球，则乙获胜．为使游戏对甲、乙双方公平，丙放入x个黑球，则x为（   ） A．3 B．4 C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了游戏公平性的判断，利用概率相等来说明游戏公平，建立等式求解. 游戏公平的条件是甲、乙获胜的概率相等，原袋中有白球2个、绿球5个、黑球3个，放入个黑球后，总球数为，黑球数为，根据概率相等列方程求解。 【详解】解：原袋中共有10个球，其中白球2个，绿球5个，黑球3个. 放入x个黑球后：总球数变为，黑球数变为. 则甲获胜的概率：摸到绿球的概率为. 乙获胜的概率：摸到黑球的概率为. 由于甲、乙概率相等，即 消去分母得，解得. 当时，总球数为12，黑球数为5，甲、乙获胜概率均为，符合公平性． 故选：D． 9．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，点O为正方形的中心，点E、F分别在正方形的边上，且．随机地往图中投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作正方形两边的垂线，构造出两个全等的直角三角形，利用全等三角形面积相等将阴影部分面积转化为正方形面积的，再根据几何概率公式求解. 【详解】解：如图，过点作于，于， 点为正方形的中心， ，， ，， ， 在和中 ， ， ， . 10．（25-26九年级下·宁夏银川·期中）在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为和的物品后，天平倾斜（如图所示）．现从质量为，，的三件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【详解】解：要使天平恢复平衡，则选取两件物品的质量和为， 列表如下： 10 20 30 10 30 40 20 30 50 30 40 50 ∴共有种可能结果，其中使天平恢复平衡的有种， ∴天平恢复平衡的概率为． 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级下·江苏无锡·期末）谚语能通过生活化的场景帮助人们直观理解事件发生的可能性．下列事件①水往低处流；②东边日出西边雨；③歪打正着．其中发生概率最大的事件是________．（请填写正确的序号） 【答案】① 【分析】先判断三个事件的类型，得到各事件发生的概率范围，比较概率大小即可得到结果． 【详解】解：根据事件的分类可知， ①水往低处流是必然事件，发生概率为， ②东边日出西边雨是随机事件，发生概率满足， ③歪打正着是随机事件，发生概率满足， 比较概率大小可得，大于任意满足的概率，因此发生概率最大的事件是①． 12．（24-25七年级下·贵州六盘水·期末）随着人工智能技术的迅猛发展，某班级从“DeepSeek”“ChatGPT”“纳米AI”和“微云人工智能”四个主流AI大模型中随机选取一个进行专题学习，恰好选中“DeepSeek”模型的概率为__________． 【答案】 【分析】先确定所有等可能的结果总数，再确定所求事件包含的结果数，代入概率公式计算即可．. 【详解】解：∵从四个大模型中随机选取一个，所有等可能的结果共有种，而恰好选中“DeepSeek”模型的结果只有种， ∴恰好选中“DeepSeek”模型的概率：． 13．（25-26八年级下·江苏徐州·期末）一个不透明的纸箱中装有白色、黄色乒乓球共50个，这些球除颜色外都相同．经过多次摸球试验（记录颜色后放回）发现：从中任意摸出一个球，摸到黄球的频率稳定在0.3附近，估计纸箱中的黄球共有_____个． 【答案】15 【分析】本题利用频率估计概率的知识点，先通过稳定的频率得到摸到黄球的概率，再用总球数乘概率得到黄球的估计个数． 【详解】解：根据大量重复试验中，频率稳定在概率附近，可得摸到黄球的概率近似为， 故黄球个数约为个． 14．（2026·安徽芜湖·一模）某智能巡检机器人从入口A出发，沿指定路线执行巡检任务．行至每个岔路口时，机器人会随机选择前方两条线路，且选择每条线路的可能性相同．如图是该机器人巡检的部分路线示意图，机器人经过H口的概率是______． 【答案】/0.25 【分析】画树状图，共有4种等可能的结果，其中该机器人从H口驶出的结果有1种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有4种等可能的结果，其中该机器人从H口驶出的结果有1种， ∴该机器人从F口驶出的概率为． 15．如图是计算机中“扫雷"游戏的画面，在小方格的正方形雷区中，随机埋藏着10颗地雷，每个小方格内最多只能藏1颗地雷.小红在游戏开始时随机踩中一个方格，踩中后出现了如图所示的情况，我们把与标号1的方格相邻的方格记为区域（画线部分），区域外的部分记为区域，数字1表示在区域中有1颗地雷，那么第二步踩到地雷的概率区域______区域（填“”“”“”）. 【答案】= 【分析】分别求出A区域踩到地雷的概率和B区域踩到地雷的概率即可. 【详解】∵A区域踩到地雷的概率为，B区域踩到地雷的概率为，∴第二步踩到地雷的概率区域和区域是相等的.故填=. 【点睛】本题主要考查了几何概率，在解题时要注意知识的综合应用以及概率的算法是本题的关键． 16．如图，某城市的道路都是横平竖直的，小明同学家住在A点处，学校在B点处．小明每天上学会随机选择一条最近的道路从A点步行至B点．某一天C点施工无法经过，小明同学并不知情，那么小明能够不绕路的概率是_________． 【答案】 【分析】先计算出A到B共有多少种走法，然后再计算出从A到C,再由C到B有多少种走法，然后代入概率公式计算即可得出结果. 【详解】解： 先计算出A到B共有多少种走法要向上走两个单位，分成两种情况： 当一次向上走两个单位时，即从4列中选一列，一次向上走2个单位，共有种走法， 当分两次向上走一个单位时，即从4列中选2列，共有种， 所以从从A点到B点共有4+6=10种； 再计算由A到C再到B情况 步骤一从A点到C点，共有3种； 步骤二从C点到B点，共有2种； 所以从A点经过B点再到C点一共种， 所以小明能够不绕路的概率是：. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查的是概率的计算，解决本题的关键是如何分步骤完成这项任务. 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（25-26七年级下·江西抚州·期中）一个不透明的袋子中装有1个白球，2个黄球和3个红球，这些球除颜色外其他都相同，将球摇匀，从袋子中随机取出1个球． (1)取出的球是红球是什么事件？取出的球是蓝球是什么事件？ (2)你认为摸到哪种颜色的球的概率最大？为什么？ 【答案】(1) 取出的球是红球是随机事件，取出的球是蓝球是不可能事件 (2) 摸到红球的概率最大，因为红球的数量最多 【分析】（1）由随机事件、必然事件以及不可能事件的定义即可得出结论； （2）根据哪种球的数量最多，摸到那种球的概率就大． 【详解】（1）解：袋子中装有1个白球，2个黄球和3个红球， ∴取出的球是红球是随机事件． ∵袋子中没有蓝色的球， ∴取出的球是蓝球是不可能事件． （2）解：∵袋子中红色的球最多， ∴摸到红球的概率最大． 18．（6分）（24-25七年级下·陕西西安·期末）现有甲、乙两个盒子，甲盒装有红球5个、白球2个和黑球3个，乙盒装有红球5个、白球20个和黑球10个．甲、乙两个盒子的球除颜色外，其他都相同． (1)从甲盒中随机取出1个红球的概率 ___________ 从乙盒中随机取出1个红球的概率．（填“>”“＜”或“=”） (2)小明说：“将10个红球放入乙盒后，乙盒中的红球的个数比甲盒中红球的个数多，所以此时想取出1个红球，从乙盒中抽取，成功的可能性更大．”请利用概率的知识，判断小明的说法是否正确． 【答案】(1)> (2)不正确 【分析】本题考查概率公式，解题关键在于掌握概率公式． （1）利用简单随机事件的概率公式分别求出从甲、乙两盒中随机取出1个红球的概率，再对概率进比较即可解题； （2）利用简单随机事件的概率公式分别求出从甲盒、以及数量变化后的乙盒中随机取出1个红球的概率，再对概率进行比较即可解题． 【详解】（1）解：从甲盒中随机取出 1 个红球的概率为：， 从乙盒中随机取出 1 个红球的概率为：， ∵， ∴从甲盒中抽取成功的机会大； 故答案为:>． （2）解：在甲盒中，一共有10个球，其中红球有5个，所以在甲盒中抽到红球的概率为：， 在乙盒中，再放入10个红球，则乙盒中一共有45个球，其中红球有15个，所以在乙盒中抽到红球的概率为：， 由于， 所以在甲盒中抽到红球的概率比乙盒大，因此小明的说法是不正确的． 19．（6分）图①是一枚质地均匀的正四面体形状的骰子，每个面上分别标有数字1，2，3，4，图②是一个正六边形棋盘，现通过掷骰子的方式玩跳棋游戏，规则是：将这枚骰子掷出后，看骰子向上三个面（除底面外）的数字之和是几，就从图②中的A点开始沿着顺时针方向连续跳动几个顶点，第二次从第一次的终点处开始，按第一次的方法跳动． (1)随机掷一次骰子，骰子向上三个面（除底面外）的数字之和共有几种情况？请一一写出； (2)随机掷两次骰子，用画树状图或列表的方法，求棋子最终跳动到点C处的概率． 【答案】(1)共有4种情况，见解析 (2) 【分析】本题考查了列举随机实验的所有可能结果，利用画树状图或列表法求概率，解题关键是掌握利用画树状图或列表法求概率并能熟练运用求解． （1）由题意计算即可； （2）画树状图，共有种等可能的结果，和为可以到达点C，有3种结果，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：随机掷一次骰子，骰子向上三个面（除底面外）的数字之和共有4种情况， 即，，，； （2）画树状图如下： 共有种等可能的结果，和为可以到达点C，有3种结果， ∴棋子最终跳动到点C处的概率为． 20．（8分）（25-26七年级下·陕西西安·期末）围棋起源于中国，棋子分黑白两色．在一个不透明的盒子中装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的棋子共20枚，某学习小组做摸棋子试验，将棋子搅匀后从中随机摸出一枚棋子记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸棋子的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白棋的次数m 61 93 118 295 b 600 摸到白棋的频率 0.61 0.62 a 0.59 0.60 0.60 (1)填空：表中（精确到0.01），； (2)根据表中数据，估计从盒子中随机摸出一枚棋子，摸到白棋的概率（精确到0.1）． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据频率表计算和的值； （2）大数次重复试验中，频率的稳定值即为概率的估计值． 【详解】（1）解：当，时，； 当，频率为时，； （2）解：观察表格可知，随着摸棋子次数增大，摸到白棋的频率逐渐稳定在附近，因此估计随机摸出一枚棋子摸到白棋的概率为． 21．（8分）（25-26七年级下·甘肃酒泉·期末）“自然科学探索营”即将在城郊生态保护区开营，某社区青少年服务中心争取到一个参与名额，计划从琪琪和小颖中选一位参加，设计方案如下：规定将个尾端为白色的竹签和个尾端为绿色的竹签放入竹筒中，每个竹签除颜色外其余均相同（抽的时候看不到尾端）． (1)求抽到尾端为白色的竹签的概率； (2)若抽到尾端为白色的竹签，则琪琪参加“自然科学探索营”，若抽到尾端为绿色的竹签，则小颖参加“自然科学探索营”，这个规则公平吗？请说明理由；若不公平，请设计一种方案，使得原来的规则对双方都公平． 【答案】(1) (2) 这个规则不公平，理由如下： 抽到尾端为白色的竹签的概率为，抽到尾端为绿色竹签的概率为， 琪琪参加的概率为，小颖参加的概率为， ， 这个规则不公平； 要使规则公平，只需让白色竹签和绿色竹签的数量相等，使两人参加的概率都为即可，例如从竹筒中取出个尾端为白色的竹签，其余规则不变即可．（答案不唯一，只要使白色竹签与绿色竹签数量相等即可） 【分析】（1）用白色竹签数量除以总竹签数量得到所求概率； （2）分别计算两人参加活动的概率，比较概率是否相等判断规则是否公平，若不公平，调整竹签数量使两人获胜概率相等即可得到公平方案． 【详解】（1）解：由题意可知，总竹签数量为（个），尾端为白色的竹签有个， 抽到尾端为白色的竹签的概率为； （2）略 22．（9分）（25-26七年级下·山东枣庄·期末）按要求完成以下问题 (1)如图1，一边长为的正方形木质镖靶，四个角的空白部分是以正方形的顶点为圆心，半径为的扇形，某人向此镖靶投镖，假设每次都投中，求他投中阴影部分的概率． (2)若一个小玻璃球在如图2所示的地砖图案内自由滚动，甲、乙两人打赌．甲说，小玻璃球一定会停在黑色区域上．乙说，小玻璃球一定会停在白色区域上．你认为谁获胜的概率较大？通过计算说明． 【答案】(1) (2)乙获胜的概率大，理由如下： 图中共有32个小三角形，其中黑色的小三角形有12个，白色的小三角形有20个， ∴甲获胜的概率为：， 乙获胜的概率为：， ， 故乙获胜的概率大． 【分析】（1）根据阴影面积与正方形面积之比得到投中阴影部分的概率； （2）根据黑色、白色小三角形的个数与总共三角形的个数之比确定甲、乙获胜的概率，进而比较大小得到答案． 【详解】（1）解：根据题意，图中正方形的面积为， 图中阴影部分的面积为：， 则它击中阴影部分的概率； （2）略 23．（9分）某商场为了吸引顾客，设立了一个如下的翻奖牌（图1中的奖牌对应的奖品如图2所示，翻到“谢谢惠顾”不得奖，翻到钱数则获得相应数值的购物券），并规定：顾客购买不少于200元的商品，就能获得一次翻牌的机会．    (1)某顾客购物220元，获得一次翻牌的机会．该顾客获得100元购物券的概率是______；获得20元购物券的概率是______；不获奖的概率______； (2)请根据本题写出一个事件，使这个事件发生的概率为． 【答案】(1)，， (2)该顾客获得不低于50元购物券 【分析】（1）根据概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比，即可求解； （2）根据题意可得，一共有一共有9张奖牌，100元购物券有1一张，50元购物券有2张，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得：一共有9张奖牌，100元购物券有1一张，20元购物券有4张，谢谢惠顾有2张， ∴获得100元购物券的概率； 获得20元购物券的概率； 不获奖的概率； 故答案为：，，； （2）解：该顾客获得不低于50元购物券的概率， ∴该顾客获得不低于50元购物券的概率为． 【点睛】本题主要考查根据概率公式求概率，解题的关键是熟练掌握概率=所求情况数与总情况数之比． 24．（10分）亮亮与胡胡玩摸牌和转转盘游戏．过程如下： ①如图1，将背面完全相同，牌面数字分别是2，3，6的三张扑克牌充分洗匀后，背面朝上放在桌面上，亮亮从中任意抽出一张，牌面数字即为亮亮所得数字； ②胡胡转动一个如图2所示的转盘．转盘被分成2个扇形，其中一个扇形的圆心角为，并分别标上1，5，转盘停止后，指针所在区域的数字即为胡胡所得数字（若指针在分格线上，则重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止）； ③判定游戏结果的依据是：所得数字大的一方获胜． (1)若亮亮所得的数字为3，则胡胡获胜的概率为___________； (2)利用树状图或列表法求亮亮获胜的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得当胡胡所得数字为5时，胡胡获胜，即可求解； （2）转盘可看做是三等份扇形，分别标有数字1，5，5，根据题意，画出树状图，可得共有9种等可能的结果数，其中亮亮的数字大于胡胡的数字的情况有5种，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：当胡胡所得数字为5时，胡胡获胜， 胡胡所得数字为5的概率为， 即胡胡获胜的概率为； （2）解：转盘可看做是三等份扇形，分别标有数字1，5，5， 画树状图如下： 由图可得，共有9种等可能的结果数，其中亮亮的数字大于胡胡的数字的情况有5种， ∴亮亮获胜的概率为． 25．（10分）在中国，不仅是购物，而且从共享单车到医院挂号再到公共缴费，男性、女性日常生活中几乎全部领域都支持手机支付．出门不带现金的人数正在迅速增加．中国人民大学和法国调查公司益普素合作，调查了腾讯服务的名用户（男性人，女性人），从中随机抽取了名（女性人），统计他们出门随身携带现金（单位：元），规定：随身携带的现金在元以下（不含元）的为“手机支付族”，其他为“非手机支付族”． 手机支付 非手机支付 合计 男 女 合计 (1)①：根据已知条件，将下列横线表格部分补充完整（其中，）； ②：用样本估计总体，由①可得，若从腾讯服务的女性用户中随机抽取位，求这位女性用户是“手机支付族”的概率． (2)某商场为了推广手机支付，特推出两种优惠方案、 方案一：手机支付消费每满元可直减元： 方案二：手机支付消费每满1000元可抽奖一次，抽奖规则如下：从装有个小球（其中个红球个白球，它们除颜色外完全相同）的盒子中随机摸出个小球（逐个放回后抽取），若摸到个红球则打折，若摸到个红球则打折，若未摸到红球按原价付款． 如果你打算用手机支付购买某样价值元的商品，请从实际付款的平均金额的角度分析，选择哪种优惠方案更划算． 【答案】(1) (2)选择方案二更划算 【分析】本题考查了列表法与树状图法、用样本估计总体、平均数、概率公式，解决本题的关键是掌握树状图法求概率． （1）①因为随机抽取了名（女性人），所以男性人，进而可以补充表格数据； ②用手机支付的女性人数除以调查的女性总人数即可； （2）若选方案一：则需付款：元；若选方案二：设实际付款元，则取值为：元，元，元，根据从装有个小球（其中个红球个白球，它们除颜色外完全相同）的盒子中随机摸出个小球（逐个放回后抽取），设两个红球为、，白球为、，画出树状图分别求出摸到个红球，摸到个红球，未摸到红球的概率，求出实际付款的平均金额，进行比较即可． 【详解】（1）解：①因为随机抽取了名（女性人），所以男性人， ∵，， ∴，， 补充表格如下： 手机支付 非手机支付 合计 男 女 合计 ②由①可得，女性用户中随机抽取位，这位女性用户是“手机支付族”的概率是． （2）解：若选方案一：则需付款：元； 若选方案二：设实际付款元，则取值为：元，元，元， 根据从装有个小球（其中个红球个白球，它们除颜色外完全相同）的盒子中随机摸出个小球（逐个放回后抽取），设两个红球为、，白球为、， 画出树状图为： 根据树状图可知：所有可能的结果共种，摸到个红球的有种，摸到个红球的有种，未摸到红球的有种， 所以摸到个红球的概率为：，则打折， 摸到个红球的概率为：，则打折， 未摸到红球的概率为：，按原价付款． 所以实际付款的平均金额为： （元）． 因为元元， 所以选择方案二更划算． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 随机事件的概率·培优卷 【新教材浙教版】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）下列事件中，是随机事件的为（     ） A．投掷一枚硬币，正面向上 B．画一个三角形，其内角和为 C．寒来暑往 D．从只有红球的袋子中摸出黑球 2．（24-25七年级下·贵州六盘水·期末）据六盘水市天气预报显示，明天全市降雨概率高达，下列说法中正确的是（     ）． A．明天全市下雨的可能性较高 B．明天全市一定不会下雨 C．明天全市下雨的可能性较低 D．明天全市一定会下雨 3．（25-26七年级下·广东深圳·期末）小明购买了1张经济舱机票，从如图所示的某排6个座位中随机选择1个，则所选座位靠窗的概率是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·河南郑州·期末）某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如表： 抛掷次数 “正面朝上”的次数 “正面朝上”的频率 则估计抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级下·河南洛阳·期中）如图是化学元素周期表中原子序数为1，8，11，12的四种元素，分别为氢（H），氧（O），钠（Na），镁（Mg）．从中随机一次性选取两种元素，已知钠和镁为金属元素，氢和氧为非金属元素，则这两种元素恰好都是非金属元素的概率为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）一个不透明的袋子中有大小相同的5个红球和8个黄球，如果要使两种颜色的球摸到的可能性相等，那么需要再往袋中放入红球的个数是（　） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2025九年级·全国·专题练习）数学课上学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中共有个球，其中有个白球、个红球、个黑球和个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（  ） A．黑色 B．红色 C．黄色 D．白色 8．（25-26九年级上·全国·课后作业）某口袋中有10个球，其中白球有2个，绿球有5个，其余为黑球．从袋中任意摸出1个球，若为绿球，则甲获胜；若为黑球，则乙获胜．为使游戏对甲、乙双方公平，丙放入x个黑球，则x为（   ） A．3 B．4 C．1 D．2 9．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，点O为正方形的中心，点E、F分别在正方形的边上，且．随机地往图中投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率是（     ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级下·宁夏银川·期中）在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为和的物品后，天平倾斜（如图所示）．现从质量为，，的三件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为（   ） A． B． C． D．1 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级下·江苏无锡·期末）谚语能通过生活化的场景帮助人们直观理解事件发生的可能性．下列事件①水往低处流；②东边日出西边雨；③歪打正着．其中发生概率最大的事件是________．（请填写正确的序号） 12．（24-25七年级下·贵州六盘水·期末）随着人工智能技术的迅猛发展，某班级从“DeepSeek”“ChatGPT”“纳米AI”和“微云人工智能”四个主流AI大模型中随机选取一个进行专题学习，恰好选中“DeepSeek”模型的概率为__________． 13．（25-26八年级下·江苏徐州·期末）一个不透明的纸箱中装有白色、黄色乒乓球共50个，这些球除颜色外都相同．经过多次摸球试验（记录颜色后放回）发现：从中任意摸出一个球，摸到黄球的频率稳定在0.3附近，估计纸箱中的黄球共有_____个． 14．（2026·安徽芜湖·一模）某智能巡检机器人从入口A出发，沿指定路线执行巡检任务．行至每个岔路口时，机器人会随机选择前方两条线路，且选择每条线路的可能性相同．如图是该机器人巡检的部分路线示意图，机器人经过H口的概率是______． 15．如图是计算机中“扫雷"游戏的画面，在小方格的正方形雷区中，随机埋藏着10颗地雷，每个小方格内最多只能藏1颗地雷.小红在游戏开始时随机踩中一个方格，踩中后出现了如图所示的情况，我们把与标号1的方格相邻的方格记为区域（画线部分），区域外的部分记为区域，数字1表示在区域中有1颗地雷，那么第二步踩到地雷的概率区域______区域（填“”“”“”）. 16．如图，某城市的道路都是横平竖直的，小明同学家住在A点处，学校在B点处．小明每天上学会随机选择一条最近的道路从A点步行至B点．某一天C点施工无法经过，小明同学并不知情，那么小明能够不绕路的概率是_________． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（25-26七年级下·江西抚州·期中）一个不透明的袋子中装有1个白球，2个黄球和3个红球，这些球除颜色外其他都相同，将球摇匀，从袋子中随机取出1个球． (1)取出的球是红球是什么事件？取出的球是蓝球是什么事件？ (2)你认为摸到哪种颜色的球的概率最大？为什么？ 18．（6分）（24-25七年级下·陕西西安·期末）现有甲、乙两个盒子，甲盒装有红球5个、白球2个和黑球3个，乙盒装有红球5个、白球20个和黑球10个．甲、乙两个盒子的球除颜色外，其他都相同． (1)从甲盒中随机取出1个红球的概率 ___________ 从乙盒中随机取出1个红球的概率．（填“>”“＜”或“=”） (2)小明说：“将10个红球放入乙盒后，乙盒中的红球的个数比甲盒中红球的个数多，所以此时想取出1个红球，从乙盒中抽取，成功的可能性更大．”请利用概率的知识，判断小明的说法是否正确． 19．（6分）图①是一枚质地均匀的正四面体形状的骰子，每个面上分别标有数字1，2，3，4，图②是一个正六边形棋盘，现通过掷骰子的方式玩跳棋游戏，规则是：将这枚骰子掷出后，看骰子向上三个面（除底面外）的数字之和是几，就从图②中的A点开始沿着顺时针方向连续跳动几个顶点，第二次从第一次的终点处开始，按第一次的方法跳动． (1)随机掷一次骰子，骰子向上三个面（除底面外）的数字之和共有几种情况？请一一写出； (2)随机掷两次骰子，用画树状图或列表的方法，求棋子最终跳动到点C处的概率． 20．（8分）（25-26七年级下·陕西西安·期末）围棋起源于中国，棋子分黑白两色．在一个不透明的盒子中装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的棋子共20枚，某学习小组做摸棋子试验，将棋子搅匀后从中随机摸出一枚棋子记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸棋子的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白棋的次数m 61 93 118 295 b 600 摸到白棋的频率 0.61 0.62 a 0.59 0.60 0.60 (1)填空：表中（精确到0.01），； (2)根据表中数据，估计从盒子中随机摸出一枚棋子，摸到白棋的概率（精确到0.1）． 21．（8分）（25-26七年级下·甘肃酒泉·期末）“自然科学探索营”即将在城郊生态保护区开营，某社区青少年服务中心争取到一个参与名额，计划从琪琪和小颖中选一位参加，设计方案如下：规定将个尾端为白色的竹签和个尾端为绿色的竹签放入竹筒中，每个竹签除颜色外其余均相同（抽的时候看不到尾端）． (1)求抽到尾端为白色的竹签的概率； (2)若抽到尾端为白色的竹签，则琪琪参加“自然科学探索营”，若抽到尾端为绿色的竹签，则小颖参加“自然科学探索营”，这个规则公平吗？请说明理由；若不公平，请设计一种方案，使得原来的规则对双方都公平． 22．（9分）（25-26七年级下·山东枣庄·期末）按要求完成以下问题 (1)如图1，一边长为的正方形木质镖靶，四个角的空白部分是以正方形的顶点为圆心，半径为的扇形，某人向此镖靶投镖，假设每次都投中，求他投中阴影部分的概率． (2)若一个小玻璃球在如图2所示的地砖图案内自由滚动，甲、乙两人打赌．甲说，小玻璃球一定会停在黑色区域上．乙说，小玻璃球一定会停在白色区域上．你认为谁获胜的概率较大？通过计算说明． 23．（9分）某商场为了吸引顾客，设立了一个如下的翻奖牌（图1中的奖牌对应的奖品如图2所示，翻到“谢谢惠顾”不得奖，翻到钱数则获得相应数值的购物券），并规定：顾客购买不少于200元的商品，就能获得一次翻牌的机会．    (1)某顾客购物220元，获得一次翻牌的机会．该顾客获得100元购物券的概率是______；获得20元购物券的概率是______；不获奖的概率______； (2)请根据本题写出一个事件，使这个事件发生的概率为． 24．（10分）亮亮与胡胡玩摸牌和转转盘游戏．过程如下： ①如图1，将背面完全相同，牌面数字分别是2，3，6的三张扑克牌充分洗匀后，背面朝上放在桌面上，亮亮从中任意抽出一张，牌面数字即为亮亮所得数字； ②胡胡转动一个如图2所示的转盘．转盘被分成2个扇形，其中一个扇形的圆心角为，并分别标上1，5，转盘停止后，指针所在区域的数字即为胡胡所得数字（若指针在分格线上，则重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止）； ③判定游戏结果的依据是：所得数字大的一方获胜． (1)若亮亮所得的数字为3，则胡胡获胜的概率为___________； (2)利用树状图或列表法求亮亮获胜的概率． 25．（10分）在中国，不仅是购物，而且从共享单车到医院挂号再到公共缴费，男性、女性日常生活中几乎全部领域都支持手机支付．出门不带现金的人数正在迅速增加．中国人民大学和法国调查公司益普素合作，调查了腾讯服务的名用户（男性人，女性人），从中随机抽取了名（女性人），统计他们出门随身携带现金（单位：元），规定：随身携带的现金在元以下（不含元）的为“手机支付族”，其他为“非手机支付族”． 手机支付 非手机支付 合计 男 女 合计 (1)①：根据已知条件，将下列横线表格部分补充完整（其中，）； ②：用样本估计总体，由①可得，若从腾讯服务的女性用户中随机抽取位，求这位女性用户是“手机支付族”的概率． (2)某商场为了推广手机支付，特推出两种优惠方案、 方案一：手机支付消费每满元可直减元： 方案二：手机支付消费每满1000元可抽奖一次，抽奖规则如下：从装有个小球（其中个红球个白球，它们除颜色外完全相同）的盒子中随机摸出个小球（逐个放回后抽取），若摸到个红球则打折，若摸到个红球则打折，若未摸到红球按原价付款． 如果你打算用手机支付购买某样价值元的商品，请从实际付款的平均金额的角度分析，选择哪种优惠方案更划算． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $