第一章反比例函数基础训练1 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 本练习以反比例函数为核心，通过基础认知、应用理解、综合拓展三层递进设计，实现从概念辨析到实际应用再到跨知识综合的巩固路径，培养抽象能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|定义、图像分布、简单表达式|单选题（1-3题）聚焦概念辨析，如反比例函数定义判断，强化抽象能力| |应用理解层|实际情境函数关系（体积压强、成本投入）|填空题（12-14题）结合生活场景，如气舱压强计算，培养模型意识| |综合拓展层|函数与几何综合（图像交点、面积）|解答题（19题）需推理分析，如玻璃加工温度时长计算，发展推理意识|

第一章 反比例函数 一、单选题 1．下列各式中，y是x的反比例函数的是（） A． B． C． D． 2．已知反比例函数图象的两分支分别在第二、四象限内，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．如果一个三角形的面积为10，底边长为，底边上的高为，则与的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 4．市煤气公司要在地下修建一个圆柱形煤气储存室，储存室的底面积与其深度成反比例，关于的函数图象如图所示．公司原计划把储存室的底面积定为，当施工队按计划掘进到地下时，公司临时改变计划，把储存室的深度减少，相应地，储存室的底面积应（   ） A．减少 B．增加 C．减少 D．增加 5．下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．其中是的反比例函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图像上，若m从1逐渐增大到5，则的长（） A．逐渐减小 B．逐渐增大 C．先增大后减小 D．先减小后增大 7．小亮新买了一盏亮度可调节的台灯，他发现调节的原理是：当电压为时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗．台灯的电流是电阻的反比例函数,其图像如图所示．下列说法正确的是（    ） A．电流随电阻的增大而增大 B．电流与电阻的关系式为 C．当电阻为时，电流为 D．当电阻时，电流的范围为 8．若点，，都是反比例函数图象上的点，且，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，直线（为常数）分别与反比例函数的图象交于点，则与的比为（   ） A． B． C． D． 10．学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数y随上课时间x（）的变化图象如图．上课开始时注意力指数为30，第时注意力指数为40，前内注意力指数y是时间x的一次函数．以后注意力指数y是x的反比例函数．如果讲解一道较难的数学题要求学生的注意力指数不小于50，为了保证教学效果，本节课讲这道题的时长不能超过（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，过反比例函数的图象上一点作轴于点，连接，则________． 12．根据物理学实验研究可知，在定量定温条件下，气体的体积与气体的压强成反比．如图是某潜艇沉浮箱的示意图，将压强为，体积为的空气压入气舱．若温度保持不变，气舱容积为，则气舱内的压强为________． 13．一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均80千米/小时的速度用了4个小时到达乙地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度千米/小时与时间小时的函数关系式是________． 14．某公司从2021年开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的成本不断降低，具体数据如下表： 年度 投入技改资金（万元） 产品成本（万元/件） 2021 2.5 14.4 2022 3 12 2023 4 9 2024 4.5 8 按照这种变化规律，若2025年已投入资金5万元，预计2025年每件产品成本是_______万元 15．如图1是某种呼气式酒精测试仪的电路原理图，电源电压保持不变，为气敏可变电阻，定值电阻．检测时，可通过电压表显示的读数换算为酒精气体浓度，设，电压表显示的读数与之间的反比例函数图象如图2所示，与酒精气体浓度的关系式为，当电压表示数为时，酒精气体浓度为______． 16．某校对数室采用药薰法进行灭蚊，根据药品使用说明，药物燃烧时，室内每立方米空气中含药量与药物点燃后的时间成正比例，药物燃尽后，与成反比例，已知药物点燃后燃尽，此时室内每立方米空气中含药量为．根据灭蚊药品使用说明，当每立方米空气中含药量不低于且持续时间不低于时，才能有效杀灭室内的蚊虫，那么此次灭蚊的有效时间为______分钟． 三、解答题 17．已知函数是反比例函数，求m的值． 18．在下面的平面直角坐标系中画出反比例函数的图象． (1)完成下列表格： x … 2 3 4 6 … y … 2 3 6 … (2)描点、连线画图： 19．某种玻璃原材料需在环境保存，取出后匀速加热至高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于玻璃温度y（）与时间x（）的函数图象如下，降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，回答下列问题： (1)求能够对玻璃进行加工的时长； (2)玻璃从降至室温需要的时间为______． 20．已知函数．当m，n为何值时，该函数为反比例函数？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 反比例函数参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C D D D D B C C 1．A 【分析】此题主要考查了反比例函数的定义，判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为或为常数，．根据反比例函数的形式为：或，逐项判定即可． 【详解】解：A．， 一定是的反比例函数，故此选项符合题意； B．， 是的正比例函数不是反比例函数，故此选项不符合题意； C． 是的正比例函数不是反比例函数，故此选项不符合题意； D． 不是的反比例函数，故此选项不符合题意； 故选：A． 2．C 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，根据反比例函数的图象位于第二，四象限，可得，求出解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二，四象限， ∴， 解得． 故选：C． 3．C 【分析】本题考查了反比例函数的意义，根据三角形面积公式得到、的关系式是解题关键． 根据三角形面积公式得到、关系式，变形即可求解． 【详解】解：∵底边长为，底边上的高为的三角形面积为10， ∴， ∴． 故选：C． 4．D 【分析】本题考查了反比例函数的应用，理解题意是关键． 先求出反比例函数解析式，再计算时的值，再用的函数值减去时的值即可得到答案． 【详解】解∶设反比例函数解析式为， 当时， ， ， 反比例函数解析式为， 当时，， 增大的底面积为∶ ． 故选∶D． 5．D 【分析】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键．根据反比例函数的定义：形如（其中且为常数）的函数是反比例函数，据此定义判断即可． 【详解】解：①，不是的反比例函数； ②，是的反比例函数； ③，是的反比例函数； ④，不是的反比例函数； ⑤，即，是的反比例函数； ⑥，不是的反比例函数； ⑦，是的反比例函数； ⑧，不是的反比例函数； 综上所述，是的反比例函数的有②③⑤⑦，共4个． 故选：D． 6．D 【分析】本题考查了反比例函数图象性质与完全平方公式的应用，解题关键是通过联立直线和反比例函数求交点，结合完全平方公式确定长的最小值位置，进而判断其变化趋势． 联立直线与反比例函数的方程，求出交点的坐标为．设反比例函数上另一点，由推出，结合与反比例函数性质，得到，即与重合时最小，根据从到，在这个区间内，得出长变化情况． 【详解】解：如图，设直线与反比例函数的图像交于点， 联立方程 解得，， ∴． 设该反比例函数上另一点的坐标为， ， ， ． 由此可得，当点与重合时，的长最小， 此时． ， 的长先减小后增大． 故选：D． 7．D 【分析】本题考查了反比例函数的应用，直接利用反比例函数图象得出函数解析式，进而利用反比例函数的性质分析得出答案． 【详解】解：A、由图象知，电流随电阻的增大而减小，故此选项不符合题意； B、设反比例函数解析式为：，把代入得，则故此选项不符合题意； C、把代入得，，故此选项不合题意； D、当电阻时，电流I的范围为，故此选项符合题意， 故选：D． 8．B 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数中，可知反比例函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大，根据即可判断结果． 【详解】解：反比例函数中， 反比例函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大， ， 点在第四象限， ， ， 点，都在第二象限内， ， ． 故选：B． 9．C 【分析】先联立直线与双曲线的表达式求出点的坐标，再由两点间距离公式表示出，即可求解与的比． 【详解】解：∵直线（为常数）分别与反比例函数的图象交于点， ∴， 解第一个方程组得，； 解第二个方程组得，， ∴，， ∴， ∴与的比为． 10．C 【分析】主要考查了函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值． 根据图象设出直线的解析式后代入两点坐标即可求得解析式；根据图象设出反比例函数的解析式代入经过的一点的坐标即可求得其解析式；分别令一次函数和反比例函数值大于等于50求得x的取值范围后相减即可得到答案． 【详解】解：当时，设 将，两点代入得， 解得， 于是， 当时，， 当时，设，将代入得：， 于是， 当时，，解得：， 当时，，解得：， ，所以，老师必须在12分钟以内讲完这道题． 故选：C． 11．2 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，根据题意得出，即可解答． 【详解】解：∵轴，， ∴， 故答案为：2． 12． 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，关键是建立函数关系式，并会运用函数关系式解答题目的问题． 设出反比例函数解析式，把，坐标代入可得函数解析式，再将代入即可求得结果． 【详解】解：∵在定量定温条件下，气体的体积与气体的压强成反比 ∴设压强与体积的表达式为， 将，代入得：，解得：， ∴， 当气舱容积为，即时，． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查实际问题的反比例函数、路程、速度、时间之间的关系；根据路程=速度×时间，利用路程相等列出关系式即可解决问题． 【详解】解：由题意， 即， 故答案为：． 14．7.2/ 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据表格中的数据得出产品成本与投入技改资金成反比例关系是解题关键．设产品成本与投入技改资金的函数关系式为，根据表中数据可知反比例函数的关系式为，把代入即可求出2025年每件产品成本． 【详解】解：由表格数据可知，，，，， 则产品成本与投入技改资金成反比例关系， 设产品成本与投入技改资金的函数关系式为， 当时，， ， 产品成本与投入技改资金的函数关系式为， 当时，， 即若2025年已投入资金5万元，预计2025年每件产品成本是7.2万元， 故答案为：7.2． 15．/0.5 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的实际应用等知识．先求出与之间的反比例函数为，再根据求出，代入即可求出． 【详解】解：设电压表显示的读数与之间的反比例函数为， ∵反比例函数图象经过点， ∴， ∴与之间的反比例函数为， 当时，, ∵，， ∴， 把代入得， 解得． 故答案为： 16．12 【分析】本题考查正比例函数与反比例函数的实际应用，先用待定系数法求出药物燃烧时，以及药物燃尽后与的关系式，再求出每立方米空气中含药量达到的时间，以及每立方米空气中含药量降到的时间，即可求解． 【详解】解：设药物燃烧时与的关系式为， 将代入，得，解得， 药物燃烧时与的关系式为， 令，得， 即4分钟后每立方米空气中含药量达到； 设药物燃尽后与的关系式为， 将代入，得，解得， 令，得， 即16分钟后每立方米空气中含药量降到； ， 此次灭蚊的有效时间为， 故答案为：12． 17．1 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义可得出，解出m的值，再结合，即可得出合适的m的值． 【详解】解：由题意，得，解得． 又当时，，所以． 所以m的值为1． 18．(1) 4， (2) 【分析】（1）根据反比例函数解析式，代入自变量，即可求函数值； （2）描点连线绘制即可． 【详解】（1）， 当时，； 当时，； 当时，. 故答案为：. （2）描点连线绘制函数图像如下： 【点睛】本题考查了反比例图像的知识，正确理解题意是解题的关键. 19．(1) (2)76 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的应用． （1）由题可得，在反比例函数图象上，设反比例函数解析式为，代入点得到与的函数关系式是；设玻璃温度上升时的函数表达式为，求得与的函数关系式是，于是得到结论； （2）将代入得到，根据，于是得到结论． 【详解】（1）解：由题可得，在反比例函数图象上， 设反比例函数解析式为， 代入点可得，， 玻璃温度下降时，与的函数关系式是； 设玻璃温度上升时的函数表达式为， 由题可得，在正比例函数图象上， 代入点可得，， 玻璃温度上升时，与的函数关系式是， 将代入，得， 将代入，得， ， 能够对玻璃进行加工时长为； （2）解：将代入得，， ， 玻璃从600降至室温30需要的时间为． 故答案为：76． 20．当时，该函数为反比例函数． 【分析】本题考查了反比例函数的定义． 根据反比例函数的定义计算即可． 【详解】解：函数为反比例函数， ，且，解得． 故当时，该函数为反比例函数． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $