第1章反比例函数巩固练习 专题提优2：反比例函数与几何图形及一次函数 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 本练习聚焦反比例函数与几何图形、一次函数的综合应用，通过基础到综合的三层设计，构建从单一知识点应用到多维度探究的巩固路径，培养几何直观、推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一知识点应用|以选择填空为主，如函数表达式求解（第1题）| |中档|双知识点综合|结合几何图形性质，如矩形平移与函数图象（第3题）| |综合|多步骤探究|含多问解答，如存在性证明与面积计算（第6题）|

专题提优2 反比例函数与几何图形及一次函数 反比例函数与几何图形的综合 一、反比例函数与三角形结合 1. 如图，在平面直角坐标系中，点分别在轴和轴上，点为的中点，反比例函数的图象经过点若点的坐标为，则________. 2. 如图，点是双曲线在第一象限分支上的一动点，连接并延长交另一分支于点，以为斜边作等腰，点在第二象限，随着点的运动，点的位置也不断地变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的表达式为________. 二、反比例函数与四边形结合 3. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标分别为，且平行于轴，将矩形向左平移，得到矩形.若点同时落在函数0)的图象上，则的值为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 4. 如图，正方形和正方形DEFG的顶点在轴上，顶点在轴上，点在边上，反比例函数的图象经过点和边的中点.若，则正方形的面积为________. 5. 如图，已知菱形的对角线的中点与坐标原点重合，交轴于点，反比例函数的图象经过点，与交于点，且的面积为6，则的值为________. 6. 如图，点是反比例函数图象上一点，过点分别向坐标轴作垂线，垂足为反比例函数的图象经过的中点，与分别相交于点.连接并延长交轴于点，点与点关于点对称，连接. (1) 填空：________； (2) 求的面积； (3) 求证：四边形为平行四边形. 反比例函数与一次函数的综合 一、函数图象共存问题 1. 一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象可能是（ ） 二、交点问题 2. 已知正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，下列说法正确的是（ ） A. 反比例函数的表达式是 B. 两个函数图象的另一个交点坐标为 C. 当或时， D. 正比例函数与反比例函数都随的增大而增大 3. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点的横坐标为﹣1.当时，的取值范围是________. 4. 如图，直线与双曲线交于点，将直线向上平移2个单位长度后，与轴交于点，与双曲线交于点，若，则的值为________. 5. 如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于两点，与反比例函数的图象交于点，过点作轴的平行线与反比例函数的图象交于点，连接 (1) 求两点的坐标； (2) 若是以为底边的等腰三角形，求的值. 三、面积问题 6. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于两点. (1) 求反比例函数和一次函数的表达式； (2) 过直线上的点作轴，交反比例函数的图象于点若点的横坐标为﹣4，求的面积. 四、最值问题 7. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点. (1) 求反比例函数及一次函数的表达式； (2) 若点是轴上一动点，连接.当的值最小时，求点的坐标. 五、存在性问题 8. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点. (1) 求反比例函数和一次函数的表达式； (2) 利用图象，直接写出不等式的解集； (3) 已知点在轴上，点在反比例函数图象上.若以为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题提优2 反比例函数与几何图形及一次函数 反比例函数与几何图形的综合 一、反比例函数与三角形结合 1. 如图，在平面直角坐标系中，点分别在轴和轴上，点为的中点，反比例函数的图象经过点若点的坐标为，则________. 答案：12 解析:在Rt中，点为的中点，点的坐标为点的坐标为反比例函数的图象经过点. 2. 如图，点是双曲线在第一象限分支上的一动点，连接并延长交另一分支于点，以为斜边作等腰，点在第二象限，随着点的运动，点的位置也不断地变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的表达式为________. 答案： 解析:如图，连接，作轴于点轴于点.设点的坐标为. 由题意得点与点关于原点对称，为等腰直角三角形，. 在和中， 点的坐标为.点在反比例函数的图象上. 二、反比例函数与四边形结合 3. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标分别为，且平行于轴，将矩形向左平移，得到矩形.若点同时落在函数0)的图象上，则的值为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 答案：D 解析:设向左平移个单位.点的坐标分别为，5)，，且平行于轴，平移后点的坐标分别为点同时落在函数0)的图象上，，解得.故选D. 4. 如图，正方形和正方形DEFG的顶点在轴上，顶点在轴上，点在边上，反比例函数的图象经过点和边的中点.若，则正方形的面积为________. 答案： 解析:作轴于，连接交轴于，如图.正方形和正方形的顶点在轴上，顶点在轴上，点在边上，和都是等腰直角三角形.点坐标为，把代入得反比例函数的表达式为.设，则点为的中点，点的坐标为点在反比例函数的图象上，，整理得，解得(舍去)，正方形的面积. 5. 如图，已知菱形的对角线的中点与坐标原点重合，交轴于点，反比例函数的图象经过点，与交于点，且的面积为6，则的值为________. 答案：﹣4 解析:如图，连接，四边形是菱形，.点到的距离为.反比例函数的图象经过点，设点点在反比例函数的图象上，，解得. 6. 如图，点是反比例函数图象上一点，过点分别向坐标轴作垂线，垂足为反比例函数的图象经过的中点，与分别相交于点.连接并延长交轴于点，点与点关于点对称，连接. (1) 填空：________； (2) 求的面积； (3) 求证：四边形为平行四边形. 答案：(1) 2 解析:设点，则，则点，. (2) 连接，则 (3) 设点，则点. 点与点关于点对称，点，易得点. 设直线的函数表达式为， 将点的坐标代入，得解得. 直线的函数表达式为.令 点. 又，且四边形BDFG为平行四边形. 反比例函数与一次函数的综合 一、函数图象共存问题 1. 一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象可能是（ ） 答案：D 解析:A.一次函数图象经过第一、二、三象限，反比例函数的图象在第一、三象限，故A不符合题意;B.一次函数图象经过第一、二、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，故B不符合题意；C.一次函数图象经过第一、三、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，故不符合题意;一次函数图象经过第一、二、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，故符合题意.故选. 二、交点问题 2. 已知正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，下列说法正确的是（ ） A. 反比例函数的表达式是 B. 两个函数图象的另一个交点坐标为 C. 当或时， D. 正比例函数与反比例函数都随的增大而增大 答案：C 解析:正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点正比例函数，反比例函数两个函数图象的另一个交点为选项错误.正比例函数中，随的增大而增大，反比例函数中，在每个象限内随的增大而减小，选项错误.当或时，选项正确.故选C. 3. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点的横坐标为﹣1.当时，的取值范围是________. 答案：或 解析:由题图可知，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，点的横坐标为点的横坐标为1，当或时，反比例函数的图象在一次函数图象的上方，即当时，的取值范围是或. 4. 如图，直线与双曲线交于点，将直线向上平移2个单位长度后，与轴交于点，与双曲线交于点，若，则的值为________. 答案： 解析:如图，为点向上平移2个单位长度后的点.设点的坐标为，由平移知，点的坐标为，点的坐标为.又点是的中点.点的横坐标为0，点的横坐标为点的横坐标为，代入平移后的直线方程，可得点的坐标为，整理得，解得. 5. 如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于两点，与反比例函数的图象交于点，过点作轴的平行线与反比例函数的图象交于点，连接 (1) 求两点的坐标； (2) 若是以为底边的等腰三角形，求的值. 答案： (1) 令，则，解得，点的坐标为，令，则，点的坐标为. (2) 如图，过点作，垂足为，令，则点的坐标为，点的坐标为，8)点在一次函数的图象上，，解得. 三、面积问题 6. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于两点. (1) 求反比例函数和一次函数的表达式； (2) 过直线上的点作轴，交反比例函数的图象于点若点的横坐标为﹣4，求的面积. 答案： (1) 反比例函数的图象过点，故反比例函数的表达式为，把点代入反比例函数，得，解得点的坐标为 一次函数的图象经过两点， 解得 故一次函数的表达式为. (2) 点的横坐标为﹣4，代入，解得. 将代入，得，解得. 如图，分别过点作轴的垂线，垂足分别为 . 四、最值问题 7. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点. (1) 求反比例函数及一次函数的表达式； (2) 若点是轴上一动点，连接.当的值最小时，求点的坐标. 答案： (1) 在反比例函数的图象上，反比例函数的表达式为.又在反比例函数的图象上，.设一次函数的表达式为一次函数的表达式为. (2) 如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则，则的最小值等于的长.与关于轴对称，的坐标为.又，设的函数表达式为，则解得点线的函数表达式为.令，则. 五、存在性问题 8. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点. (1) 求反比例函数和一次函数的表达式； (2) 利用图象，直接写出不等式的解集； (3) 已知点在轴上，点在反比例函数图象上.若以为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标. 答案： (1) 反比例函数的图象经过，解得.把代入，得，解得.把代入，得解得. (2) 观察图象得当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，不等式的解集为或. (3) 设点的坐标为. ①以为对角线，则 解得; ②以为对角线，则 解得; ③以为对角线，则 解得. 综上，当点的坐标为或或时，以为顶点的四边形是平行四边形. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $