第20天 不等式恒成立、能成立问题-【重难点手册·预备新高一】2026-2027学年初升高数学衔接

8.(1)设每件定价为t元，则(8-一25×0.2)≥ 1 25×8,整理得t2-65t+1000≤0，解得25≤ t≤40. 故要使该商品的年销售收入不低于原收入，每 件定价最多为40元. (2)由题意得，当x>25时，a.x≥25×8+50+ 6(z2一600)有解，等价于当x>25时，a 10+言有，又0+≥2·-10 当且仅当0-音，即1=30时等号成立，所以 a≥10. 故当该商品明年的销售量α至少达到10万件 时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与 总投入之和，此时每件商品的定价为30元. 第20天不等式恒成立、能成立问题 1.D[当a-2=0,即a=2时，得-4<0，恒成 立，符合题意；当a一2≠0时，由题意得 |a-2<0, 解得-2<a<2. 4(a-2)2+16(a-2)<0, 综上所述，实数a的取值范围为{a|一2<a≤ 2.] 2.C[关于x的不等式x2-4x-2-a≤0有解， 即函数y=x2一4x一2-a的图象与x轴有交 点，即△=16+4(2+a)≥0，解得a≥-6.故实 数a的取值范围为{aa≥-6}.] 3.D[设y=x2-6x+11,则其图象的开口向 上，对称轴为x=3,所以要使不等式x2一6x十 11-a<0在{x|2<x<5}上有解，只要a> ymin即可，即a>2,所以实数a的取值范围为 {aa>2.] 4.√2.[显然a>0,由题意知，不等式a≥ √E十恒成立. Wx十y (对于恒成立求参问题，若条件允许，常采用分离秀数法求解) 则a必须大于或等于云十的最大值 √x十y 22 而(F+5)=y+2v@=1+2v@ x十y x十y x十y ≤1+2=2，当且仅当x=y时取等号. 2xy 故丘+5的最大值为，2， √x十y 故a≥2，即a的最小值是2.] 5-1;a-}<a<0.[由题意得，-3和-1 是方程a.x2十4ax一3=0的两个根，且a<0,所 以(-3》X(-10=名，解得a=-1 因为不等式ax2+4ax一3<0在R上恒成立， 所以当a=0时，得-3<0，符合题意；当a≠0 时，则 a<0, △=16a2+12a<0, 解得-子<a<0, 综上，实数a的取值范围为a-<a≤0.] 6.(1)因为关于x的一元二次不等式ax2一(a十 1Dx+6<0的解集为xz<-2或x>1,所 以方程ax2-a十1)z十b=0的两根为-司 和1. a 由根与系数的关系，得 解得 2X1=6 1 a=-2,b=1. (2)由(1)得，x2十(m-4)x十3-m≥0对任意 的m∈[0,4]恒成立，即m(x-1)+x2-4x+ 3>0恒成立. 令g(m)=(x-1)m十x2-4x十3，问题等价于 g0)0即z-4红+3≥0， g(4)≥0，x2-1≥0， x≥3或x≤1， 解得 x≥1或x≤-1， 故实数x的取值范围为{xx≤一1或x=1或 x≥3}. 7.D[本题即mx2-mx+m-5<0对于任意的 1≤x≤3恒成立. 令y=mx2-mx十m-5,1≤x≤3，若m=0, 一5<0恒成立；若m<0,当x=1时y最大，且 ymx=m-5<0,解得m<5,∴.m<0;若m> 0,当x=3时y最大，且ymx=7m-5<0,解得 m<号，∴0m<号 综上所述，实数m的取值范围为mm<}.] 8.(1)不等式y>3a.x可整理为x2-ax十2>0.当 1≤x≤5时，x2-ax+2>0可变形为a< +2=十2，易得a<(x+) 又x+2≥22·至=22，当且仅当x= x 即x=2时，等号成立，(x+2） min 2√2，即a<2√2，故实数a的取值范围是{aa <2√2}. (2)令f(x)=x2+mx+4.问题转化为 f)<0'即 1十m+4<0, 解得m<-5,故 f(2)<0,4+2m+4<0, 实数m的取值范围是{mm<-5}. 第21天阶段复习检测 1B[因为号>是且c2>0,所以a>6,故A正 确；当a=-2,b=-1时，满足a2>b2,ab>0, 此时含一不瑞足。方放B结误：因为 c<d,所以-c>-d,又a>b,所以a-c>b- d,故C正确；若-1<a<5,2<b<3,则-1× 3<ab<3X5,即-3<ab<15,故D正确.故 选B] 2.B[不等式4十3x-x2<0可化为x2-3x 4>0,即(x+1)(x-4)>0,解得x<-1或 x>4.故所求不等式的解集为{x|x<-1或 x>4}.故选B.] 3.D[一元二次不等式a.x2+bx+c>0的解集 为{x|-2<x<1},所以a<0,且-2,1是一元 二次方程ax2十bx十c=0的两个实数根，所以 8=-2+1=-1,8=-2×1=-2,所以 a b=a,c=一2a,且a<0,所以不等式cx2十 a.x+b≥0可化为-2ax2+ax十a≥0，即2x2- x一1≥0，解得x≤-2或x≥1，因此所求不等 式的解集为x≤2或x≥1] 4.C[:x>2,x-2>0,x+25 x-2 x-2+52+2≥2，x-2x -2+2 12,当且仅当-2=气即=7时等号 成立.] 50x+-(x+(经+)=2(1+ 1+岩+)≥+1+2层·号)=当 且仅当x=1,y=4时等号成立.要使得不等式 x十<m2-m有解，只需m一m>2有解即 可，解得m>2或m<-1,故选D.] 6.C[由x2-x-6≥0得x≥3或x≤-2，.N ={x|x≥3或x≤-2}，因此M∩N={-2}.] 7.B[因为x>y>z, 所以x-y>0,y-之>0，x-z>0, 本不等式应用的前提条件 十产产包成立，等价于《 (马十-瓶成立 因为x-之=(x一)十(y-),所以(1+ x-y (2,+y x一之=(x一y)十(y一之)不易想到，极为隐蔽 -2+号≥2+2号 x-yy-1 4,当组仅当号-名即x-y=y-:时 23第 20 天 不等式恒成立、能成立问题 任务一 精研典例 一元二次不等式在实数集上的恒 解析方法一当x>1时，不等式 题型 1 成立问题 x2+ax+9>0恒成立， 例1设a∈R,若x>0时，[(a-1)x-1]· .只需求出函数y=x2+ax十9(x>1) (x2-ax一1)≥0恒成立，则a= 的最小值，令最小值大于0即可. 解析显然a=1不能使原不等式对x>0恒成 函数y=x2十ax十9的图象的对称轴为x=-g 立，故a≠1，且当x1= -1a≠1时，原不等式成立. 1 当一号≤1，即a≥-2时，函数在x=1处取得最 对于x2-ax-一1=0，设其两个根为x2,x3,且x2< 小值a+10,则a+10>0,故a>-10, x3,易知x2<0,x3>0.当x>0时，原不等式恒成立， .a≥-2. 故x1= 1满足方程x2-ax-1=0,代入解得a 1 当-号>1，即a<-2时，函数在x=一号处取 2或a=0(含去). 得小值(-》+9=9- 答案 2 9->0,解得-6a<6. 方法思结) .-6<a<-2. 1.一元二次不等式a.x2十bx十c>0对任意x∈ 综上所述，实数a的取值范围为{aa>一6. a>0, R恒成立的条件是 方法二（分离参数法）x>1, △<0. 2.一元二次不等式ax2+bx十c≥0对任意x∈ 由x2+ax+9>0得a>-(+2)月 |a>0, R恒成立的条件是 4≤0. +2 =6,当且仅当x=9 3.一元二次不等式ax2+bx十c<0对任意x∈ 即x=3时等号成立， a<0, R恒成立的条件是 △<0. 日-e+）的最大值为-6， 4.一元二次不等式a.x2+bx十c≤0对任意x∈ .a>一6，故a的取值范围为{aa>-6. a<0, 答案{ala>-6}. R恒成立的条件是 4≤0 方法总结！ 设y=ax2+bx十c(a≠0). 题型 一元二次不等式在给定自变量范 2 围上的恒成立问题 1.当a>0时，y<0在{xa≤x≤β}上恒成立 例2当x>1时，不等式x2+ax十9>0 [aa2+ba+c<0, a82+b3+c<0; 恒成立，则实数a的取值范围为 71 重难点手预备新高一 数学 2.当a<0时，y>0在{x|a≤x≤β}上恒成立 x≤一8，故实数x的取值范围为{xx≥3或x≤一8}. [aa2+ba+c>0, 答案{xx≥3或x≤-8). 台 a82+b3+c>0; 题型4 简单的能成立问题 3.y>0在{x|a≤x≤B}上恒成立台{x|a≤ 例4]x∈R,使ax2-4x十a>0成立，求 x≤B}二A,其中A是y>0的解集. 实数a的取值范围， 题型 一元二次不等式在给定参数范围 解析当a=0时，原式变为一4x>0,解得x< 3 上的恒成立问题 0,满足条件； 例3若不等式x2-ax>16-3x-4a对 当a>0时，显然3x∈R,使ax2-4x十a>0成立； 任意的a∈{a|-2≤a≤4}都成立，则实数x 当a<0时，要使ax2-4x十a>0有解，则需要 的取值范围为 △=(-4)2-4aXa=-4(a2-4)>0, 解析把a看作自变量，x看作参数，将原不等 解得-2<a<2.又a<0,所以-2<a<0. 式进行化简，把不等式左边看作关于变量a的函数进 综上所述，实数a的取值范围是{aa>一2} 行思考 方法恩结0 不等式x2-ax≥16-3x-4a可化为(4-x)a+ 解决能成立问题的方法 x2+3x-16≥0.令f(a)=(4-x)a+x2+3x-16, 1.常见思路为分离参数，转化为求函数最值 则f(a)可看作关于a的一次函数.本题即转化为 问题 当-2≤a≤4时，(4-x)a十x2十3x-16≥0恒成立， 2.常见题型及结论 f(-2)≥0， ①若存在x∈{xm≤x≤n},使a>y有解台 故需满足 f(4)≥0， aymin; 2(4-x)+x2+3x-16≥0， ②若存在x∈{x|m≤x≤n},使a<y有解台 解得x≥3或 4(4-x)+x2+3x-16≥0， <y max. 任务二 自主测评 A基础练 B.{ala≤-2} C.{aa≥-6} 1.若对于任意实数x,不等式(a-2)x2一2(a D.{aa≤-6} 2)x一4<0恒成立，则实数a的取值范围为 3.若关于x的不等式x2-6x+11-a<0在 ( ) {x|2<x<5}上有解，则实数a的取值范围 A.(ala<2) 为(). B.{aa≤2} A.{aa>-2} B.{aa>3}》 C.{a|-2<a<2} C.(ala-6) D.ala>2) D.{a|-2<a≤2} 4.设x>0,y>0,不等式√元十√≤aWx十y 2.若关于x的不等式x2-4x-2-a≤0有解， 恒成立，则a的最小值为 则实数a的取值范围为(). 5.已知关于x的不等式ax2+4ax-3<0,若不 A.{aa≥-2} 等式的解集为{x|x<-3或x>-1},则a 72 第20天不等式恒成立、能成立问题 的值为 ;若此不等式在R上恒成 B能力练 立，则实数a的取值范围为 7.若对于任意的1≤x≤3，mx2-mx+m<5 6.已知关于x的一元二次不等式a.x2一(a十1)x 恒成立，则实数m的取值范围为(). 十b0的解集为女x<-3或x>1小 A.{mm≤0} (1)求a,b的值； (2)若不等式bx2+(m+2a)x+3-m≥0对 任意的m∈[0,4幻恒成立，求实数x的取 C{mm<0或0m<} 值范围。 nmm<号} 8.(1)已知二次函数y=x2+2a.x+2,若当1≤ x≤5时，不等式y>3ax恒成立，求实数 a的取值范围； (2)当1≤x≤2时，若不等式x2+mx+4<0 恒成立，求实数m的取值范围. 进 73