第17天 基本不等式-【重难点手册·预备新高一】2026-2027学年初升高数学衔接

第 17 天 基本不等式 衔接对照 初中知识解读 高中知识解读 高中学习基本不等式，灵活运用基本 初中通过具体数值和几何实例直观感 不等式求最值（和定积最大，积定和最小）， 知“正数的和与积相互制约”. 解决实际问题中的优化问题，核心是从初 中具体例子的直观感知上升到一般形式的 和与积互 感性 周长固定、 相制约 认识 面积有最大 逻辑证明与综合应用. 和与 生活 和定积最 大，积定 积的 实例 和最小 关系 基本 不 重要 最值定理 不等 不等 a+b≥2ab 两数和与 数学 面积固定， 式 (a,b∈R) 式 积的平衡 直观 周长有最小 abs+地 (a0.b>0 任务一 探学新知 知识点1 基本不等式 仅当a=b时，等号成立). 1.重要不等式 作此较0 如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab(当且仅 不等式a+6≥ab和士≥v6的比较 当a=b时，等号成立). 2.对重要不等式a3+b2≥2ab(a,b∈R)的 1.不等式a3+6≥2ab和告≥6而成立的 理解 条件是不同的，前者要求a,b都是实数，而后者要求 (1)不等式中的a,b既可以是某个具体的 a,b都是正数 实数，也可以是一个代数式 2.两个不等式都是带有等号的不等式，“当且 (2)“当且仅当”的含义：①当a=b时取等 仅当a=b时取等号”的含义是：若a=b,则等号成 号，即a=b→a2十b2=2ab;②仅当a=b时取 立；若等号成立，则a=b. 等号，即a2十b2=2ab→a=b. 3.两个不等式都具有放缩功能，如果有多处用 (3)等号能取到的条件是a=b,如果a,b 到，应注意每处取等号的条件是否一致 不相等，那么a2+b≥2ab中的等号不成立. 3.基本不等式 知识点2 最值定理 如架a>0,6>0,那么v5<“(当且 设a,b均为正数. 1.若a十b为定值S,则当a=b时，积ab 59 重难点手预备新高一 数学 取最大值S 最值定理可简记为：和定积最大，积定和 最小， 2.若ab为定值G,则当a=b时，和a十b 知识点3 利用基本不等式解决实际问题 取最小值2√G, 1.应用基本不等式解决实际问题的步骤： 核心总结0 (1)仔细阅读题目，透彻理解题意； 最值定理的证明 (2)分析实际问题中的数量关系，引入未 a>0,b>0, 画 知数，并用它表示其他的变量，进而把目标表 示成它的函数； 当ab-S时，有≥a历，即ab<,当且 (3)应用基本不等式求出目标函数的最值； 仅当a=b时，等号成立. (4)还原实际问题. 当a6=G时，有“2G,故a+6≥2，G. 2.应用基本不等式求参数的取值范围问题 在高考中经常出现，在解决此类问题时，要注意 当且仅当a=b时，等号成立. 挖掘各个变量之间的关系，探寻思路，解决问题 任务二 精研典例 题型 1 利用基本不等式证明不等式 (台+8)+（后+）+（后+）≥4+2+2+2=10， 圆已知a6,c>0,求证+ 当且仅当a=b=(=弓时取等号， 合a+b+c (a+)+6+)+(e+）≥1o. (2)若a+b+c=1,求证：(a+)+(b+ 方法恩结！业 此题中结构也被称为轮换对称结构（用b替换 6）+(e+2)≥10. a,a替换c,c替换b后，代数式不变的式子，其特征 是a,b,c的地位一样) 证明(1)：a,b,c>0, 利用基本不等式可 题型2 利用基本不等式求最值 8%+6≥2a2+≥6，+a≥2， 210已知x>3,求_，6z十1业的最 x-3 +a+b十c≥2a+2b+2c, a 小值； 收后+2+日a-6+, 6+ 2x的最大值. (2已知x>0,求中4 当且仅当a=b=c时，等号成立， 解析(1)方法一（整体法）：x>3, (2).a十b+c=1, (保证了x一3>0，符合基本不等式使用条件中的“一正”) (+)+(b+8》+(e+) 1_30+2x-3+2 x-3 x-3 3 2,/(x-3).2 322, (齐次化思想) (写成“整式十分式”的形式后利用暴本不等式求解) 60 第17天基本不等式 当且仅当一3=名 3，即x=3+2时取等号， 1 当且仅当x十1=x十1，即x=0时取等号， :-6江十1的最小值为22 x-3 故x十 十1的最小值为1， 1 方法二（换元法）】 1 (2)方法-y=x(5-2x)=2·2x(5-2x). x>3, (调整x的系数，使原等式中出现和为定值的代数式) x-3>0,令t=x-3>0,即x=t+3, :2-6z+1-+3)2-6u+3)+11_2+2 0r<号， .02x<5,0<5-2x<5, x-3 t t y×+2门-×- 2 5 仅当2x=5-2x,即x=4时取等号. 当且仅当t2=2,即t=√2，x=3十2时等号成立， x2-6z+11 5 25 的最小值为2√2， 故当x= 时，ymx=8· x-3 200+2 方法二由0<x<5数 2 -x>0, x 2x 221 x+4 442· -2-+ x十 x2/x·兰 2 当且仅当x2=4,即x=2时取等号， 仅当x2 一x,即x= 5 时取等号.故当x= 时， ≥0时，千4的最大值为号 25 ymax- 8 方法总结业 方法恩结业 对于分式型求最值，适合用裂项拆项的策略来 为使“积”或“和”为定值，常需要根据题设条件 解决，具体如下： 配凑系数或者常数 1.当分子的次数高于分母的次数时，将分式进 1.配式：常需要分析式子的构成进行配凑，使 行整式分拆一一分拆成整式十“真分式”再配凑 变形后的和式中两部分的乘积为定值， 2.当分母次数高于分子次数时，将分式转化为 2.配系数：如果和式的两个式子中变量的系数 分子为常数的形式，再对分母按照第1点的方式进 不同，可以通过乘一个系数的方式进行配凑 行拆解。 题型3基本不等式的综合应用 1 配(1)已知x>-1,求x十中的最 例4某校决定在学校门口借助一侧原有 小值； 墙体，建造一间墙高为3m,底面面积为24m, （②已知0<号，求y=x5一2x)的城 且背面靠墙的长方体形状的校园应急室.此应 急室背面靠墙，不需要建造费用.公司甲给出的 大值. 报价为：屋子前面新建墙体为每平方米400元， 解析(1)当x>-1时，x+1 +1=x+1+ 左、右两面新建墙体为每平方米300元，屋顶、 地面以及其他共计14400元.设屋子的左、右 -2a+0-1- 两面墙的长度均为x(1≤x≤5)m,公司甲的 61 重难点手预备新高一 数学 总报价为y元： (1≤x≤5). (1)试求y与x的关系式. (2)对于公司甲： (2)现有公司乙也参与此应急室的建造竞 16 y≥1800×2x· +14400=28800, x 标，其给出的总报价为(520x十20000)元，若 16 采用最低价中标规则，则哪家公司能竞标成 当且仅当x= ,即x=4时取等号， 功？请说明理由。 所以当左、右两面墙的长度均为4时，公司甲 解析（1)由题意得 的报价最低，为28800元. y=3(300×2x十400×24)+14400=1800. 对于公司乙： 当1≤x≤5时，20520≤520x+20000≤22600， (+9)+1440(1≤r≤5. 即公司乙的最高报价为22600元. 因为22600<28800，所以无论x取何值，公司 即y与x的关系式为y=1800(+ ）+14400 甲的报价都比公司乙高，故公司乙能竞标成功 任务三 自主测评 A基础练 C因为a0,所以2+a≥2/a=4 1.已知a>0,则a十4二0的最小值为( a D因为x,y∈R,xy<0,所以+y= A.2 B.3 C.4 D.5 2.已知正实数x,y满足2x十y=xy,则xy的 [（-)+(-≤2)() 最小值为( =一2，当且仅当x=一y时，等号成立 A.2√2 B.4 C.42 D.8 5.石室中学“跳蚤市场”活动即将开启，学生们 3.已知6<a<0,且b=1,则4+6 在该活动中的商品所卖得的款项将用来支 a-b 取得最小 持慈善事业.为了在这次活动中最大限度 值时，a十b等于( 地筹集资金，某班进行了前期调查若商品进 A.-√10 B.-√6 货价每件10元，当售卖价格（每件x元）在 C.-3 D.-√2 10<x≤25时，本次活动售出的件数P= 4.(多选)下列推导过程正确的是( 入因为a,为正实数，所以名+号≥ (一5).若想在本次活动中筹集的资金最 104 多，则售卖价格每件应定为 元 6.已知实数x,y>0且满足1+1=1，若不等 R因为≥8，所以a≥2 4 式4x十9y-t≥0恒成立，则实数t的最大值 a·a=4 为 62 第17天基本不等式 7.已知x,y,之都是正数， (1)求证一y+y二2+二2≥0： 10间题：正数a,6满足a十b=1,求日号的最 之x xy 小值其中一种解达是：}+名 2若号+≥oa-2m-2+恒成 立，求实数m的取值范围. +引a-6)-38+会≥3+2，当 a 且仅当8名，且a+6=1时，即a=2-1 且b=2一√2时取等号，学习上述解法并解 决下列问题 (1)若正实数x,y满足xy=3x十y,求x十 y的最小值； （2)若正实数a,b,xy满足一 62=1,且 a>b,试比较a2-b2和(x-y)2的大 小，并说明理由； (3)若m>0,利用(2)的结论，求代数式 M=√3m-5一√m-2的最小值，并求 出使得M最小的m的值. ⑧能力练 8.设正实数x,y,之满足x2-3xy十4y2-之= 0,则当之取得最小值时，x十2y一之的最大 xy 值为( 9 A.0 b.8 C.2 a2+b2 若a>0,b>0,则A=2”,B=4 2 C=√ab,D= 2 的大小顺序为 11 a b 63由a十b2+1=0,可得a=-b2-1,且a≠1，故 c>b. 又6-a=6+6+1=(6+2)+是>0，所以 b>a,综上所述，c>b>a.] 8第一种销售结果的收入更好理由如下： 由题意，得第一种销售结果的收入S1=ax+ by(元)，第二种销售结果的收入S2=ay十bx (元)，则S2一S1=ay+bx-(ax+by)= a(y-x)+b(x-y)=(y-x)(a-b).因为x< y,a<b,所以(y-x)(a-b)<0,即S2<S1, 所以第一种销售结果的收入更好 第16天等式性质与不等式性质 1.BD[若a>b>0,当c=0时，ac2=bc2,故A错 误；若a>b>0,则a2-b2=(a十b)(a-b)>0, 即a2>b2,故B正确；若a<b<0,则a2>ab, ab>b2,即a2>ab>b2,故C错误；若a<b<0, 则日66的2>0即日6放D正晚] 2.D[方法一.c<d<0,∴.-c>-d>0, a>>0 a、b 又@>b>0,-dc’a<b dc 方法二令a=3,b=2,c=-3,d=-2. 则2=-1，d b =一1，排除AB. 又号=-名=-小号<名排除 选项C.] 3.D 4.B[若m>n>0,则m十1>0，m-n>0,可得 青品n0D0,即品充分 性成立 取a=1=-号则片一满 足+>”，但不满足m>0,n>0,必要性不 m+1-m 成立综上所述，p是q的充分不必要条件.] 5.1,一1（答案不唯一，满足a>0,b<0即可）. [由不等式的性质，当ab>0时，由a>b可得 是云又因为。>6，所以当合题为真命题时， a>b>0或b<a<0. 因为命题为假命题，所以a>0,b<0,取a=1, b=-1即可.] 6.由题设知ab>cd>0,则√ab>√cd. 又a+b=c十d,则(a十√b)2-(Wc十√d)2= (a+b+2√ab)-(c+d+2√cd)=2(ab- cd)>0,即（√a+√b)2>(Wc+√d)2. 而√a+√b>0,√c+√d>0,故√a+√b> c+√d, 7.AC[由c>d得一c<一d,由不等式同向可 加原则有a一d>b一c,故A正确. 若a>0>b,0>c>d,则ac<bd,故B错误. 避坑：不等式同向同正可乘性质成立的前提是 "a>b>0,c>d>0" ab>0,ic-ad>0,则bc二ad>0. ab 即台一名>0，放C正确 取a=-1,b=-2,c=2,d=1,满足a>b,c> d>0,则后-名-1，放D结误] 8.因为c<d<0,所以-c>-d>0. 又因为a>b>0,所以a一c>b-d>0, 所以(a-c)2>(b-d)2>0, 1 1 所以0a-c<6=-d 因为a>b,d>c,所以a+d>b+c. 又|b|>|cl,即b>-c, 所以b+c>0,所以0<b+c<a+d. 故b+c<a+d (a一c)2下(6-d)2,原不等式得证 第17天基本不等式 1.B[已知a>0,则a+4.2-a+-1≥ a 17 2夏-1=8，当且仅当a即a=2时 a 等号成立.] 2.D[2x+y=xy,x>0,y>0,.2x+y≥ 2√2xy,即xy≥2√2xy,当且仅当y=2x,即 x=2,y=4时取等号，∴xy≥8，即xy的最 小值为8.] 3B[由条件知a-6>0,ab=1,2+b a-b 26)+2aba-b十，二b≥22，当且仅坐 a-b 一b,即a-b=2时等号成立. 2 a-b=- 此时a+b=-J(a十b)2=-√(a-b)2十4ab =-√/(2)2+4=-6.] 4.AD [选项正误 原因 因为a,6为正实数，所以合号均大于零。 A 所以名+号≥2 a 2=2,当且仅当 a=b时，等号成立 4+a≥2N 4 ,·a=4,当且仅当a=2 B × 时，等号成立，不符合a>3 因为a<0,所以4十a<0(当a为正数时， a 才能使用基本不等式) 0 由基本不等式的推导过程知该选项正确 5.15. [由恩意可知，利润为60， (-5)2,10< x≤25，不妨令t=x一10∈{t0<t≤15}，则利 104t 润为(+5)2三104 104 t25 一≤ 25+10 +102,…2 t 50,当且仅当1-5，即1=5时取等号，此时 x=15,故销售价格每件应定为15元.] 625.[4红+9y=(4红+9y)(2+3)=13+ 18 y+4虹≥13+2z·y /9y.4x =25,当且仅当 坚-号即4=号y=号时，等号成立又不等 5 x y 式4x十9y-t≥0恒成立，只需(4x十9y)mm≥ t,因此t≤25，故实数t的最大值为25.] 7)要证+安+写≥0，即证- xy+y2-yz十之2-一x之>0，即证x2+y2+之2≥ xy+yz十xz. 因为x,y,之都是正数，所以x2十y≥2xy, y2+z2≥2yz,x2+z2≥2xz,当且仅当x=y= 之时，以上三式等号均成立，所以x2十y2十 y2十x2+x2十之2≥2xy十2y2十2xz,整理得 x2+y2+z2≥xy十yz+xz,当且仅当x=y= 之时等号成立.所以原不等式得证. (2因为号+其≥m:-2m-23(+)恒成 立，所以m2-2m-2≤+y.y x2y2x十y x-+y恒成立，又-y+y=之十 xy xy y y-1≥2，/区·义-1=1，当且仅当x=y时 Ny 等号成立，所以m2-2m-2≤1，即m2-2m一 3≤0，解得一1≤m≤3.故实数m的取值范围为 -1≤m≤3. 8.C[z=x2+4y2-3xy≥2(x·2y)-3xy= xy,当且仅当x=2y时等号成立，此时之取得 最小值，于是x+2y-之=2y十2y-2y2=2y(2- 2(名)-2，当且仅当y=1时等号 成立.综上可得，当x=2,y=1,之=2时，x十 2y一之取得最大值2.] 9A≥B≥C>≥D.[:a>0,b>0.a≥ 2 √ab(当且仅当a=b时取等号). a2+b_a+b_a2+b2_a+b)2 2-W2W 4 2a2+2b2 a2+62+2ab 4 4 而a2+b2≥2ab>0, ∴.2a2+2b2≥a2+b2+2ab>0. ∴.√2a2+2b2≥√a2+b2+2ab. ,6二a十也（当且仅当a=b时取等号） 2 又 2 1+1 a1且a>0,b>0,a+b a'b ≥2√ab(当且仅当a=b时取等号). 0K1<1 a+b2√ab '2ab 2ab a+b2√Jab =√ab, 即0西（当且仅当。=6时取等号》. 2 1+1 a气于（当收当 2 a=b时取等号). .A≥B≥C≥D.] 10.(1)若正实数x,y满足xy=3x十y,则】+ 3=1,所以x十y=红+（生+）=4+ ￥+≥4+28，当且仅当2-，印x x x 1+√3，y=3+√时取等号，所以x十y的最 小值为4+2√3. 2)正实数a6,y满足号-茶=1，且a 6则a-=a-(后》 =x2+y2- +》 a:yayz 因为6x2 62≥2 bizi.aiy a2 6-21xyl, 当且仅当z2ay2 a2 62时取等号， 所以a-=+-(+2)+ y2-2|xy≤x2+y2-2xy=(x-y)2, 所以a2-b2≤(x-y)2. (3)若m>0,M=√3m-5-√m-2,令x= √3m-5,y=√m-2,则x2-3y2=1, 令a2=1a>0,62=专6>0，所以M= V3m-5-/m-2-x-y>/a-bF_6, 3 当且仅当2=3y2即x=3y时取等号，结 合2-8y-1,解得2-y-,即 v3m-5=y6 ,所以m=13 所以M的袋小值为号，此时m 61 第18天利用基本不等式求最值 1.c[若a>1,则a-1>0,4a十。-=4a- 1D+a1+4≥2,4a-1D…a+4=8,当 且仅当4a-1D=。,即a=号时，等号成 立，所以4a+。己的最小值为8] 2.C[因为r>0,所以y=2++3-工十3+ 1≥2,2…+1=23+1，当且仅当x= 即x=√3时，等号成立，所以y的最小值为 23+1.] 3B[因为后+y=1,所以2+号)（号+）= 8+2+号≥号+2-8当且仅当 2 x y ￥-子，即x=y=号时，等号成立，故+子的 y 最小值为] 19