第16天 等式性质与不等式性质-【重难点手册·预备新高一】2026-2027学年初升高数学衔接

第 16 天 等式性质与不等式性质 任务一 探学新知 知识点1 等式性质 续表 性质 别名 性质内容 注意 性质 别名 内容 2 传递性 a>b,b>c→a>c; 1 对称性 如果a=b,那么b=a c<b,b<a→c<a 同向 2 传递性 如果a=b,b=c,那么a=c 3 可加性 a>b曰a+c>b+c 可逆 a>b,1 3 同加（减）性 如果a=b,那么a士c=b士c →ac>bc c>0 c的 4 可乘性 4 同乘性 如果a=b,那么ac=bc a>b, 符号 →ac<bc c<0 5 同除性 如果a=b,c≠0，那么a=b 同向可 a>b, →a+c>b+d 加性 c>d 同向 易错警示， 同向同正 a>b>0, 6 c>d>0 →ac>bd 同向 1.c∈R,a=b→ac=bc,但ac=bc肀a=b,原 可乘性 同正 因是当c=0时，a,b的大小不定. 7 可乘方性 a>b>0→a">b” 同正 2.当c≠0时，a=b与0=6 (n∈N,n≥2) CC 知识点2 易错警示业 不等式性质 应用性质2时，应注意： 性质 别名 性质内容 注意 a≥b,b>c肀a≥c;a≥b,b>c→a>c. 对称性 a>b=→b<a;a<b→b>a 可逆 a>b,b≥cpa≥c;a>b,b≥c→a>c. 任务二 精研典例 题型1 利用不等式的性质判断命题真假 ac与bc的大小缺乏依据.故该命题是假命题. 例]对于实数a,b,c,有下列命题： ②由ac2>bc2知c≠0，∴.c2>0, .a>b.故该命题是真命题 ①若a>b,则ac<bc;②若ac2>bc2,则 a>b,③若a<b<0,则a2>ab>b2;④若c> ③a6, a<b; b<0/ →ab>b2, e>60,则，2.6⑤若a>6,方则 ∴.a2>ab>b2. a>0,b<0.其中真命题的个数是(). 故该命题为真命题。 A.2 B.3 C.4 D.5 ④a>b>0→-a<-b→c-a<c-b. 解析①c的正、负或是否为零还未知，因而判断 c>a,.c-a>0,∴.0<c-a<c-b. 56 第16天等式性质与不等式性质 两边月来以e-。-而得，己。60 1 错解1①+@得2<a<, 7 (扩大取值范围) 叉a>b>0,a>b c-ac-b* 故该命题为真命题 ①+图样-名 ⑤由已知条件知a>b→a-b>0 111 (扩大取值范围) a>6→a 从而-5<2a<7,-18<-4b<6. 方>062>0 故-23<2a-4b<13. a-b>0,.b-a<0,.ab<0. 错解2①+③得-3≤2b≤9，一9≤-2b≤3， (扩大取值范围) 又：a>b,.a>0,b<0.故该命题为真命题。 1a-2号 综上可知，命题②③④⑤都是真命题 从而-23<2a-4b=2(a-2b)<13. 答案C 错解3易得-7≤2a≤5， ④ (扩大取值范围) 题型2 利用不等式性质证明不等式 ∴.4×②+④得-23<2a-4b<13. 例2已知a>b>0,c<0,求证：>9 正解2a-4b=3(a-b)-(a+b), 因为-1<a十b<5,-4<a-b<2, 解析方法一（性质法）因为a>b>0, 所以-5<-(a+b)<1,-12<3(a-b)<6, 所以函心高0于是a·方6·店 `a6,(性质4) 所以-17<2a-4b<7. 即>由0，得后> a >6.(性质4) 方法总结！ 不等式的性质5（同向可加性）不具备可逆性， 方法二（作差法）因为a>b>0,c<0, 多次使用可能会扩大取值范围（所求得的不等关系 所以b-a<0,ab>0, 仍然成立，但并不是准确的取值范围) 所以日后-6.0所以>8 前三种解决的错误在于“-1<a+b<5,一4< 方法三（作商法）因为a>b>0,c<0, -b<与“<a<，-是<6<并不 2 c 所以06<1，<0 ,<0,所以0<a=b<1 等价.a,b的范围虽是正确的，但a,b之间的制约 a a 6 关系丢失了，所以需要整体利用a十b和a一b来求 解2a-4b. 又后<0…6<0，所以后> 上面的解法中，2a一4b=3(a-b)-(a十b)中 (a一b)的系数3和(a十b)的系数-1通常用待定 题型 利用不等式的性质求代数式的取 3 值范围 系数法确定，具体过程如下： 例3已知-1<a十b<5,-4<a-b<2. 令2a-4b=x(a+b)+y(a-b)=(x+y)a+十 求2a一4b的取值范围， (x-y)b. 解析已知-1<a十b<5, ① 由 x+y=2, 得 x=-1, -4<a-b<2, ② x-y=-4,y=3, 由②得-2<b-a<4. ③ 从而有2a-46=-(a十b)+3(a-b). 57 重难点手预备新高一 数学 任务三 自主测评 A基础练 B能力练 1.(多选)下列不等式中成立的是( 7.(多选)已知a,b,c,d均为实数，则下列命题 A.若a>b>0,则ac2>bc2 正确的是(). B.若a>b>0,则a2>b2 A若a>b,c>d,则a-d>b-c C.若a<b<0,则a2<ab<b2 B.若a>b,c>d,则ac>bd D若a<0,则哈君 C.若ab>0,bc-ad>0,则S> 2.若a>b>0,c<d<0,则一定有( A.、b B.a6 D若a>6c>d>0,则日名 "cd 8若a>b>0,c<d<0,|b>|c,求证： c8 哈号 b+c atd (a-c)2(b-d)2 3.下列说法中正确的是(). A.若ad,<0,则后<号 B.若ac-3>bc-3,则a>b C.若a>b,且k∈N*,则a>bk D,若a>b,c>d,则a-d>b-c 4.已知p:m>n>0;q: 十1>”，则p是g的 +1m (). A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 5能说明若a>,则d<名”为假命题的一组 a,b的值依次为 6.设a,b,c,d均为正数，且a+b=c十d,求 证：若ab>cd,则√a+√b>√c十√d. 58由a十b2+1=0,可得a=-b2-1,且a≠1，故 c>b. 又6-a=6+6+1=(6+2)+是>0，所以 b>a,综上所述，c>b>a.] 8第一种销售结果的收入更好理由如下： 由题意，得第一种销售结果的收入S1=ax+ by(元)，第二种销售结果的收入S2=ay十bx (元)，则S2一S1=ay+bx-(ax+by)= a(y-x)+b(x-y)=(y-x)(a-b).因为x< y,a<b,所以(y-x)(a-b)<0,即S2<S1, 所以第一种销售结果的收入更好 第16天等式性质与不等式性质 1.BD[若a>b>0,当c=0时，ac2=bc2,故A错 误；若a>b>0,则a2-b2=(a十b)(a-b)>0, 即a2>b2,故B正确；若a<b<0,则a2>ab, ab>b2,即a2>ab>b2,故C错误；若a<b<0, 则日66的2>0即日6放D正晚] 2.D[方法一.c<d<0,∴.-c>-d>0, a>>0 a、b 又@>b>0,-dc’a<b dc 方法二令a=3,b=2,c=-3,d=-2. 则2=-1，d b =一1，排除AB. 又号=-名=-小号<名排除 选项C.] 3.D 4.B[若m>n>0,则m十1>0，m-n>0,可得 青品n0D0,即品充分 性成立 取a=1=-号则片一满 足+>”，但不满足m>0,n>0,必要性不 m+1-m 成立综上所述，p是q的充分不必要条件.] 5.1,一1（答案不唯一，满足a>0,b<0即可）. [由不等式的性质，当ab>0时，由a>b可得 是云又因为。>6，所以当合题为真命题时， a>b>0或b<a<0. 因为命题为假命题，所以a>0,b<0,取a=1, b=-1即可.] 6.由题设知ab>cd>0,则√ab>√cd. 又a+b=c十d,则(a十√b)2-(Wc十√d)2= (a+b+2√ab)-(c+d+2√cd)=2(ab- cd)>0,即（√a+√b)2>(Wc+√d)2. 而√a+√b>0,√c+√d>0,故√a+√b> c+√d, 7.AC[由c>d得一c<一d,由不等式同向可 加原则有a一d>b一c,故A正确. 若a>0>b,0>c>d,则ac<bd,故B错误. 避坑：不等式同向同正可乘性质成立的前提是 "a>b>0,c>d>0" ab>0,ic-ad>0,则bc二ad>0. ab 即台一名>0，放C正确 取a=-1,b=-2,c=2,d=1,满足a>b,c> d>0,则后-名-1，放D结误] 8.因为c<d<0,所以-c>-d>0. 又因为a>b>0,所以a一c>b-d>0, 所以(a-c)2>(b-d)2>0, 1 1 所以0a-c<6=-d 因为a>b,d>c,所以a+d>b+c. 又|b|>|cl,即b>-c, 所以b+c>0,所以0<b+c<a+d. 故b+c<a+d (a一c)2下(6-d)2,原不等式得证 第17天基本不等式 1.B[已知a>0,则a+4.2-a+-1≥ a 17