第19天 二次函数与一元二次方程、不等式-【重难点手册·预备新高一】2026-2027学年初升高数学衔接

00 第 19 天 二次函数与一元二次方程、不等式 任务一 探学新知 知识点1一元二次不等式 续表 1,一元二次不等式的定义 项目 △>0 △=0 △<0 一般地，只含有一个未知数，并且未知数的 最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式 有两个不相 a.x2+bx十 有两个相等 2.一元二次不等式的一般形式 等的实数根 的实数根x1 c=0(a>0) 没有实数根 一元二次不等式的一般形式是a.x2+bx十 x1,x2（x 的根 x2=- <x2) _2a c>0(或ax2+bx+c<0或a.x2+bx十c≥0或 ax2+bx十c≤0)，其中a,b,c为常数，a≠0. 进 3.一元二次不等式的解与解集 ax?+bx+ 使一元二次不等式成立的x的值叫作 (ax<x c>0(a>0) 元二次不等式的解，所有的解组成的集合叫作 或x>x2} xx≠ 2a 的解集 一元二次不等式的解集。 知识点 二次函数与一元二次方程、不 等式的关系 ax2+bx+ 1,二次函数的零点 (lx< c<0(a>0) 0 x<x2} 般地，对于二次函数y=ax2十bx十c, 的解集 我们把使a.x2十bx十c=0的实数x叫作二次 函数y=a.x2十bx十c的零点.二次函数的零点 核心总结业 个数可以为2,1或0. 1.从函数的观点来看，一元二次不等式ax2十 2.三个“二次”之间的关系 bx十c>0(a>0)的解集，就是一元二次函数y= 二次函数与一元二次方程、不等式的解的 ax2+bx十c(a>0)的图象在x轴上方部分的，点的 对应关系如下表， 横坐标x的集合；ax2十bx十c<0(a>0)的解集， 就是一元二次函数y=ax2十bx十c(a>0)的图象 项目 △>0 △=0 △<0 在x轴下方部分的点的横坐标x的集合 y=ax2+ 2.从方程的观，点来看，一元二次方程的根是一元 bx+c(a 二次函数的图象与x轴交点的横坐标，一元二次不 0)的图象 等式ax2十bx十c>0(a>0)的解集就是大于大根或 67 重难点手预备新高一 数学 者小于小根的实数的集合；ax2十bx十c<0(a>0) 知识点3一元二次不等式的解法 的解集就是大于小根，且小于大根的实数的集合」 求解可化成a.x2十bx十c>0(a>0)形式 因此，利用一元二次函数的图象和一元二次方 的不等式的过程用框图表示如下. 程的两个根就可以解一元二次不等式。 将原不等式化成ax+bx+c>0(a>0)的形式 3.三个“二次”的关系如图所示 计算△=b-4ac的值 二次函数 △>0 △=0 △<0 方程a.x+bx+c 方程ax+bx+c=0方程a.x+ 数的 的根 =0有两个不相 有两个相等的实数 b.x+c=0没 等的实数根x, b 根x,=x2=-2a 有实数根 方 x(x1≤x2) 元二次 根的讨论 元二次 方程 不等式 原不等式的解集 原不等式的解集为 求解集 原不等式的 为{xdlx<x或x> x) 解集为R 任务二 精研典例 题型1 解不含参的一元二次不等式 题型2 解含参的一元二次不等式 例]不等式3x2+5x-2>0的解集为 例2解关于x的不等式ax2-2≥2x ax(a∈R). 解析方程3x2十5x 解析原不等式可化为ax2十(a-2)x 3x2+5x-2 2=0的两个根是x1=一2， -2≥0，即(ax-2)(x+1)≥0. 4=函鼓)=38+5x 1 ①当a=0时，不等式化为x十1≤0，解得x≤-1. 2的图象如图所示，它是开口 ②当>0时，不等式化为(x-》x+1≥0， 向上的抛物线，与x轴有两个交点，交点坐标分别为 解得c≥2或≤-1. (一20)和（仔，0小观察图象可得不等式的解集 @当a<0时，不等式化为-2)x+10, 为z<-2或x> 3 当子>-1，申a<-2时，解得-1≤名 a 答案 xx<-2或x> 3 当2=一1，即a=一2时，解得x=-1; 方法恩结 当2<-1，即-2a<0时，解得2≤≤-1. a 二次函数零点的求法 综上所述，当a=0时，不等式的解集为{xx≤ 1.代数法：对于二次函数y=ax2+bx十c,求 -1}； 出方程ax2十bx十c=0的实数根，即为零点. 当a>0时，不等式的解集为x≥名或≤-1： 2.图象法：画出一元二次函数的图象并求出图 象与x轴的交点，交点的横坐标即为零，点 当一2a<0时，不等式的解集为xa 68 第19天二次函数与一元二次方程、不等式 当a=一2时，不等式的解集为{一1}； 题型 3 已知含参一元二次不等式的解集 当a<一2时，不等式的解集为x 1< 求参数问题 例3若关于x的不等式x2一x十m<0的 方法恩结山 解集是必，则实数m的取值范围是 含有参数的一元二次不等式的讨论原则 解析因为关于x的不等式x2一x十m<0的解 1.若二次项系数不含参数，且不等式对应的方 集是☑，则关于x的不等式x2一x十m≥0的解集为R, 程有实数根，只需讨论参数以确定根的大小，即可 厕△=1一4m≤0，解得m≥，所以实数m的取 写出解集。 2.若二次项系数含有参数，需对二次项系数分 值范国为mm≥》. 等于0、大于0、小于0三种情况进行讨论.若二次项 答案 mm≥}. 系数小于0，则需将不等式转化为二次项系数为正 的不等式。 方法受结斯 3.若不等式对应的一元二次方程根的情况不 已知一元二次不等式ax2+bx十c>0或ax2十 确定，需先对其判别式△进行讨论（如果可以直接 bx十c<0的解集，则可以知道a的符号和方程ax2 分解因式，可省去此步).确定无实根时，可直接写 十bx十c=0的两根，再由根与系数的关系，可知a, 进 解集，确定共有两个实根时，还要讨论两根的大小 b,C之间的关系.若求其他不等式的解集或判断其他 关系，从而确定解集。 代数式，则可将b,c用a表示出来并代入求解. 任务三 自主测评 A基础练 B.{AD50≤AD≤150} C.{AD|55≤AD≤145} 1.设集合S={xx2-5x+6≥0}，T={x|x> D.{AD60≤AD≤140} 0},则S∩T=( 3.不等式x(x一2)<0成立的一个充分不必要 A.{x|2≤x≤3} B.{xx≤2或x≥3》 条件是( C.{xlx≥3} A.{x|0<x≤2} D.{x|0<x≤2或x≥3} B.{x|0<x<2} 2某市有块三角形荒地，如图所示，∠A=90°， C.{x|0<x<1} AB=AC=200米，现市政府要在荒地中开 D.{xlx≤0} 辟一块矩形绿地ADEF,其中点D,E,F分 4.(多选)已知关于x的不等式a.x2十bx十c>0 别在线段AB,BC,CA上.若要求绿地的面积 的解集为{xx<一2或x>3},则(). 不少于7500平方米，则AD的长度（单位： A.a<0 米)取值范围是( B.不等式bx-c>0的解集为{x|x<6} A.{AD|40≤AD≤160} C.4a+2b+c<0 69 重难点手预备新高一 数学 D,不等式axr-b十a≥0的解集为x-}≤ B能力练 7.已知关于x的不等式x2-(a十1)x+a<0 恰有四个整数解，则实数a的取值范围是 5.若不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|一3< x<4},则不等式bx2+2a.x-c-3b<0的解 A{a5a≤6} 集为 B.{a|-4≤a<-3} 6.已知关于x的不等式(x一1)(ax十a-1)<0. C.{a-4≤a<-3或5<a≤6) (1)当a=2时，解关于x的不等式； D.{a|-4<a≤-3或5≤a<6} (2)当a>0时，解关于x的不等式. 8.某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件. (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量 将相应减少2000件，要使年销售收入不 低于原收入，该商品每件定价最多为多 少元？ (2)为了扩大商品的影响力，提高年销售量， 公司决定明年对该商品进行全面技术革 新和营销策略改革，并提高价格到x元， 公司拟投人合（红：一60）万元作为技政费 用，投人50万元作为固定宣传费用， 试问：该商品明年的销售量a至少达到多 少万件时，才可能使明年的销售收入不低 于原收入与总投入之和？并求出此时每 件商品的定价. 70当且仅当。-a6,且26-名，即a=b=1时， 0 等号成立，故}+6+号的最小值为4 第19天二次函数与一元二次方程、不等式 1.D[易得集合S={x|x≤2或x≥3)，结合数 轴，可得S∩T={x0<x≤2或x≥3}.] 2.B[在△ABC中，∠A=90°，AB=AC,△ABC 为等腰直角三角形，设AD=x米，则EF=F℃ AD=x米，FA=(200一x)米，依题意有x(200 x)≥7500，解得50≤x≤150.即AD的长度（单 位：米)范围是{AD|50≤AD≤150.] 3.C[由x(x一2)<0，解得0<x<2,即不等式 x(x一2)<0的解集为{x0<x<2}.由题意可得 不等式x(x一2)<0成立的一个充分不必要条 件应为{x0<x<2}的真子集，故选C] 4.BC[.关于x的不等式ax2+bx+c>0的解 集为{x|x<-2或x>3},∴a>0且-2和3 是方程ax2十bx十c=0的解， -2+3=-6 即b=-a,c=-6a(a>0), 2x3-后 故A错误； 不等式bx一c>0可化为x-6<0,故不等式 bx一c>0的解集为{xx<6},故B正确； 4a+2b十c=4a一2a-6a=一4a<0,故C正确； .ax2-bx十a≥0，∴ax2+a.x+a≥0，即 x2+x十1≥0，解集为R,故D错误] 5.{x|-3<x<5.[.ax2+bx十c>0的解集为 {x|-3<x<4},∴.a<0且-3和4是方程 ax2十bx十c=0的两个根. -3十4=-6 Q, b=一a, 由韦达定理得 即 -3X4=C, c=-12a. a ∴.将b,c代入不等式bx2+2a.x-c-3b<0,得 -ax2+2ax+15a<0,即x2-2x-15<0,解得 -3<x<5. 故所求不等式的解集为{x|一3<x<5).] 6.(1)由题意得，当a=2时，(x-1)(ax十a-1)= a-1D2z+1D<0,解得-号<<1 故当a=2时，关于x的不等式的解集 为-名x<. (2)当a>0时，不等式可化为(x-1)（x+1一 )<0,x-1D(x+1-)=0的根为x1=1, 1一1 0 ①当0a<2时，1<-1， ∴.不等式的解集 a 为1<一小 ②当a=方时，1=}1，∴不等式的解集为. a ③当a>时，1心}-1，不等式的解集 a 为x2-1<x<1 综上，当0<a<号时，不等式的解集为x1< x<。-1;当a=时，不等式的解集为2；当 a a>2时，不等式的解集为x是-1<x<1. 7.C[不等式x2-(a+1)x十a<0,可化为(x a)(x-1)<0. 当a=1时，不等式x2-(a十1)x十a<0的解 集为空集，不符合题意；当a>1时，不等式 x2-(a十1)x十a<0的解集为{x|1<x<a}, 要使不等式x2-(a十1)x十a<0恰有四个整 数解，则5<a≤6；当a≤1时，不等式x2一 分类的标准为对应的一元次方程两根的大小关系 (a+1)x+a<0的解集为{xa<x<1},要使 不等式x2一(a十1)x十a<0恰有四个整数解， 则-4≤a<-3. 综上可得，实数a的取值范围是{a|一4≤a< -3或5<a≤6).] 21 8.(1)设每件定价为t元，则(8-一25×0.2)≥ 1 25×8,整理得t2-65t+1000≤0，解得25≤ t≤40. 故要使该商品的年销售收入不低于原收入，每 件定价最多为40元. (2)由题意得，当x>25时，a.x≥25×8+50+ 6(z2一600)有解，等价于当x>25时，a 10+言有，又0+≥2·-10 当且仅当0-音，即1=30时等号成立，所以 a≥10. 故当该商品明年的销售量α至少达到10万件 时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与 总投入之和，此时每件商品的定价为30元. 第20天不等式恒成立、能成立问题 1.D[当a-2=0,即a=2时，得-4<0，恒成 立，符合题意；当a一2≠0时，由题意得 |a-2<0, 解得-2<a<2. 4(a-2)2+16(a-2)<0, 综上所述，实数a的取值范围为{a|一2<a≤ 2.] 2.C[关于x的不等式x2-4x-2-a≤0有解， 即函数y=x2一4x一2-a的图象与x轴有交 点，即△=16+4(2+a)≥0，解得a≥-6.故实 数a的取值范围为{aa≥-6}.] 3.D[设y=x2-6x+11,则其图象的开口向 上，对称轴为x=3,所以要使不等式x2一6x十 11-a<0在{x|2<x<5}上有解，只要a> ymin即可，即a>2,所以实数a的取值范围为 {aa>2.] 4.√2.[显然a>0,由题意知，不等式a≥ √E十恒成立. Wx十y (对于恒成立求参问题，若条件允许，常采用分离秀数法求解) 则a必须大于或等于云十的最大值 √x十y 22 而(F+5)=y+2v@=1+2v@ x十y x十y x十y ≤1+2=2，当且仅当x=y时取等号. 2xy 故丘+5的最大值为，2， √x十y 故a≥2，即a的最小值是2.] 5-1;a-}<a<0.[由题意得，-3和-1 是方程a.x2十4ax一3=0的两个根，且a<0,所 以(-3》X(-10=名，解得a=-1 因为不等式ax2+4ax一3<0在R上恒成立， 所以当a=0时，得-3<0，符合题意；当a≠0 时，则 a<0, △=16a2+12a<0, 解得-子<a<0, 综上，实数a的取值范围为a-<a≤0.] 6.(1)因为关于x的一元二次不等式ax2一(a十 1Dx+6<0的解集为xz<-2或x>1,所 以方程ax2-a十1)z十b=0的两根为-司 和1. a 由根与系数的关系，得 解得 2X1=6 1 a=-2,b=1. (2)由(1)得，x2十(m-4)x十3-m≥0对任意 的m∈[0,4]恒成立，即m(x-1)+x2-4x+ 3>0恒成立. 令g(m)=(x-1)m十x2-4x十3，问题等价于 g0)0即z-4红+3≥0， g(4)≥0，x2-1≥0， x≥3或x≤1， 解得 x≥1或x≤-1， 故实数x的取值范围为{xx≤一1或x=1或 x≥3}. 7.D[本题即mx2-mx+m-5<0对于任意的