第15天 不等关系与不等式-【重难点手册·预备新高一】2026-2027学年初升高数学衔接

第 15 天 不等关系与不等式 衔接对照 初中知识解读 高中知识解读 1.若a>b,则a十c>b十c. 1.若a>b且c>d,则a+c>b+d. 2.若a>b,c>0,则ac>bc. 2.若a>b>0且c>d>0,则ac>bd 任务一 探学新知 知识点1 用不等式（组）表示不等关系 易错管示业 1.生活中的不等关系与不等式 在用不等式（组）表示不等关系时，应特别注意 在现实世界和日常生活中，存在着大量相 能否取等号.例如，表示“超过”时，用“>”，表示“不 等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与 足”时，用“<”，都不能取等号；而表示“不超过”时， 短、高与矮等.类似于这样的问题，反映在数量 用“≤”，应该取等号 关系上，就是相等与不等.相等用等式表示，不 知识点2 比较实数的大小 等用不等式表示 1.作差比较法 我们将用数学符号“≠”“>”“<”“≥” 关于实数a,b大小的比较，有以下基本 “≤”连接的两个数或代数式叫作不等式， 事实： 易错警示女 (1)a-b>0台a>b; 1.不等式a≥b读作“a大于或等于b”,等价于 (2)a-b=0→a=b; “a不小于b”,即a>b或a=b中有一个正确，则 (3)a-b<0台a<b. a≥b正确. 基于上述事实，要比较两个实数的大小， 2.不等式a≤b读作“a小于或等于b”,等价于 可以转化为比较它们的差与0的大小 “a不大于b”,即a<b或a=b中有一个正确，则 2.作商比较法 a≤b正确. 对于两个正数a,b,有以下结论： 2.用不等式组表示不等关系 (1%>≥1ea≥b; 当问题中包含两个或两个以上的不等关 系时，需要用不等式组来表示设出变量，并根 (2%-1sa=b; 据实际意义确定变量的取值范围，最后一并写 在不等式组内. 3)%<1sa<b. 52 第15天不等关系与不等式 基于上述结论，要比较两个正数的大小， 2.变形 可以转化为比较它们的商与1的大小 1)ab≤a2+ 知识点3 /重要不等式 3.公式拓展 1.重要不等式 一般地，Ha,b∈R,有a2十b2≥2ab,当且 生≥≥a(当且仪当a=6 仅当a=b时，等号成立. 时，等号成立) 任务二 精研典例 题型1 用不等式（组）表示不等关系 (观察发现，α，b都有平方项和一次项，可考虑配方) a2+b2-4a+2b+5=(a2-4a+4)+(b2+ 例]（多选）下面列出的几种不等关系中， 2b+1)=(a-2)2+(b+1)2≥0， 正确的为( .a2+b2≥4a-2b-5. A.x与2的和是非负数，可表示为“x十20” (2).a>b>0, B.小明的身高为x,小华的身高为y,则小 ∴.a-b>0,a2>b2, 进 明比小华矮可表示为“x>y” :a2-69 C.△ABC的两边之和大于第三边，记三边 >0+洛0 分别为a,b,c,则可表示为“a+b>c且a十c> 两式作青得名÷8名-a a2+b2 b且b十c>a” a+b_(a+b)2 D.若某天的最低温度为7℃，最高温度为 a-b a2+62 0>1 14 13℃，则这天的温度t可表示为“7℃≤t≤13℃” 8$ 解析x与2的和是非负数，应表示为“x十2≥ 0”,故A错误.小明比小华矮，应表示为“x<y”,故B 方法恩结 错误.CD正确. 比较两个数或式子的大小的方法 答案CD 作差法 作商法 题型2 比较两数（式）的大小 0>0,6>0,1号>1 例2(1)设a,b为实数，比较a2+ a-b>0台a>b; →a>b; 据 a-b<0台a<b; b2与4a一2b-5的值的大小： a-b=0台a=b a>0,b>0,且2<1 b a2+62与ab (2)设a>b>0,比较06 →a<b atb 适 若数（式）的大小不明 的大小 同号的两个数比较 显，作差后可化为积或 大小 解析 商的形式 （1)(两式的大小不易看出，可考虑作差比较) a2+b2-(4a-2b-5)=a2+b2-4a+2b+5, 3 重难点手册预备新高一：数学 续表 续表 作差法 作商法 作差法 作商法 ①作商； ①作差； ②变形； ②变形； ①分解因式； ③判断商值与“1”的 ②平方后再作差； 按照同类的项进行 骤 ③判断差的符号； 技 ③配方法； 分组 ④下结论 大小； ④分子（分母）有理化 ④下结论 任务三 自主测评 A基础练 4,设M=2a2-4a+7,N=a2-5a+6,则有 ( ) 1.(多选)下列关于不等关系的说法正确的是 A.M<N B.M≤N (). C.M>N D.M≥N A.某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示 5.(多选)若正实数x,y满足x>y,则有下列 牌，是指示司机要安全通过隧道，应使车载 货物高度h(单位：米)满足0<h≤4.5 结论：①zy<y2;®x2>y;③>1，④1< B.用不等式表示“a与b的差是非负数”为 一，其中正确的结论为(). x一 a-b>0 A.① B.② C.③ D.④ C不等式x≥2的含义是指x不小于2 D,若a<b或a=b之中有一个成立，则a≤b 6,已知a>b>0,c<d<0,e<0,求证：e> a-c 成立 e b-d' 2.某公司运输一批木材，总重量为600吨，车队 有两种货车，A型货车载重量30吨，B型货 车载重量24吨.设派出A型货车x辆，B型 货车y辆，则运输方案应满足的关系式 是(). A.5x+4y<100 B.5x+4y≥100 C.5x+4y>100 D.5x+4y≤100 3.设a=x2+y2,b=2(x十y-1),则a,b的大 小关系为(). A.ab B.a<b C.a≥b D.a≤b 54 第15天不等关系与不等式 B能力练 月饼销售数量为a个. 哪一种销售结果的收入更好？请说明理由. 7.实数a,b,c满足a2=2a十c一b一1且a十b2 +1=0,则下列关系成立的是( ). A.b>a>c B.c>a>b C.b>c>a D.c>b>a 8.月饼是中华传统节日糕点某食品工坊推出 冰流酥月饼和青红丝月饼两款新品，已知冰 流酥月饼每个售价为x元，青红丝月饼每个 售价为y元，销售数量为a个或b个，且0< x<y,0<a<b.销售结果如下： 第一种：冰流酥月饼销售数量为a个，青红丝 月饼销售数量为b个； 第二种：冰流酥月饼销售数量为b个，青红丝 翊 5518.(1)因为A={x0≤x≤2}， 所以CRA={xx<0或x>2} 又B={xla≤x≤3-2a}且(CRA)UB=R, 3-2a≥a, 所以a≤0， 解得a≤0， 3-2a≥2， 所以实数a的取值范围是（一o∞，0]. (2)若A∩B=B,则B二A. 当B=☑时，3-2a<a,解得a>1;当B≠0 时，3-2a≥a,即a≤1，要使B二A,则 a≥0， 解得2<a≤1. 3-2a≤2， 综上可知，当AnB=B时，a≥2，所以An B≠B时，实数a的取值范围是aa<}。 19.(1)当a=3时，P={x|4≤x≤7}，CRP={x x<4或x>7},又Q={x|一2≤x≤5}，所以 (CRP)∩Q={x|-2≤x<4}. (2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分条件，则P三 Q.因为P是非空集合，所以2a+1≥a+1,即 a≥0， a+1≥-2， 所以32a十1≤5，解得0≤a≤2， a≥0， 点悟：充分条件包含两种情况，即充要条件和竞分不必 要条件，所以可以取等号 故实数a的取值范围为{a0≤a≤2}. 20.(1)根据题意知，当1≤x≤2时，1≤x2≤4. 7p:31≤x≤2，x2-a<0,为真命题，即a> (x2)min. .1≤x≤2，.(x2)mim=1,.a>1, ∴.实数a的取值范围是{aa>l. (2)由(1)知命题p为真命题时，a≤1. 力为真所对应的Q的范围等价于一力为假所对应的a的范围 命题q为真命题时，△=4a2-4(2a十a2)≥0， 解得a≤0，.一q为真命题时，a>0. 不用写出一q命题，而是取q为真时a的范圈在R上的补集即可 16 a≤1， 解得0<a≤l,即实数a的取值范围 a>0, 为{a|0<a≤1}. 第15天不等关系与不等式 1.ACD[因为“限高4.5米”即为“高度不超过 4.5米”，不超过用“≤”表示，故选项A正确；因 为“非负数”即为“不是负数”，所以a一b≥0，故 选项B错误；因为不等式x≥2表示x>2或 x=2,即x不小于2，故选项C正确；因为不等 式a≤b表示a<b或a=b,所以若a<b或a= b中有一个成立，则a≤b一定成立，故选项D 正确.故选ACD.] 2.B[由题意可得30x+24y≥600，所以有5x十 4y≥100.故选B.] 3.C[由a=x2+y2,b=2(x+y-1),得a- b=x2+y2-2(x+y-1)=(x-1)2+(y 1)2≥0，所以a≥b.] 4.C 5BCD[依题意，正实数x,y满足x>y,则x一 y>0.若x=2,y=1,则xy=2,y2=1,xy> y2,所以①错误x2-y2=(x十y)(x-y)>0, 则x2>y2,所以②正确.由于x>y>0,所以 >1，所以③正确.1-1=y= y xx-yx(x一y) 》0所以所以@正确] -y 6.,c<d<0,.-c>-d>0. 又a>b>0, ∴.a-c>b-d>0,b-a<0,c-d<0. 又e<0, a。64=2 (a-c)(b-d) 治69-8o, e 7.D[由a2=2a十c-b-1可得(a-1)2=c b≥0，所以c≥b. 由a十b2+1=0,可得a=-b2-1,且a≠1，故 c>b. 又6-a=6+6+1=(6+2)+是>0，所以 b>a,综上所述，c>b>a.] 8第一种销售结果的收入更好理由如下： 由题意，得第一种销售结果的收入S1=ax+ by(元)，第二种销售结果的收入S2=ay十bx (元)，则S2一S1=ay+bx-(ax+by)= a(y-x)+b(x-y)=(y-x)(a-b).因为x< y,a<b,所以(y-x)(a-b)<0,即S2<S1, 所以第一种销售结果的收入更好 第16天等式性质与不等式性质 1.BD[若a>b>0,当c=0时，ac2=bc2,故A错 误；若a>b>0,则a2-b2=(a十b)(a-b)>0, 即a2>b2,故B正确；若a<b<0,则a2>ab, ab>b2,即a2>ab>b2,故C错误；若a<b<0, 则日66的2>0即日6放D正晚] 2.D[方法一.c<d<0,∴.-c>-d>0, a>>0 a、b 又@>b>0,-dc’a<b dc 方法二令a=3,b=2,c=-3,d=-2. 则2=-1，d b =一1，排除AB. 又号=-名=-小号<名排除 选项C.] 3.D 4.B[若m>n>0,则m十1>0，m-n>0,可得 青品n0D0,即品充分 性成立 取a=1=-号则片一满 足+>”，但不满足m>0,n>0,必要性不 m+1-m 成立综上所述，p是q的充分不必要条件.] 5.1,一1（答案不唯一，满足a>0,b<0即可）. [由不等式的性质，当ab>0时，由a>b可得 是云又因为。>6，所以当合题为真命题时， a>b>0或b<a<0. 因为命题为假命题，所以a>0,b<0,取a=1, b=-1即可.] 6.由题设知ab>cd>0,则√ab>√cd. 又a+b=c十d,则(a十√b)2-(Wc十√d)2= (a+b+2√ab)-(c+d+2√cd)=2(ab- cd)>0,即（√a+√b)2>(Wc+√d)2. 而√a+√b>0,√c+√d>0,故√a+√b> c+√d, 7.AC[由c>d得一c<一d,由不等式同向可 加原则有a一d>b一c,故A正确. 若a>0>b,0>c>d,则ac<bd,故B错误. 避坑：不等式同向同正可乘性质成立的前提是 "a>b>0,c>d>0" ab>0,ic-ad>0,则bc二ad>0. ab 即台一名>0，放C正确 取a=-1,b=-2,c=2,d=1,满足a>b,c> d>0,则后-名-1，放D结误] 8.因为c<d<0,所以-c>-d>0. 又因为a>b>0,所以a一c>b-d>0, 所以(a-c)2>(b-d)2>0, 1 1 所以0a-c<6=-d 因为a>b,d>c,所以a+d>b+c. 又|b|>|cl,即b>-c, 所以b+c>0,所以0<b+c<a+d. 故b+c<a+d (a一c)2下(6-d)2,原不等式得证 第17天基本不等式 1.B[已知a>0,则a+4.2-a+-1≥ a 17