第1天 绝对值方程和不等式-【重难点手册·预备新高一】2026-2027学年初升高数学衔接

衔接篇 初中知识回顾 第 天 绝对值方程和不等式 衔接财照 初中知识解读 高中知识解读 高中要求学生系统掌握绝对值方程与 a,a>0, 不等式的解法，包括代数与几何两种方法； a=0,a=0, 对于含多个绝对值的方程和不等式，需运 -a 0 -a,a<0. 用零点分段法或基于数轴的几何意义进行 |a.x+b|>c(c>0)→ax+b>c或a.x+ 求解；同时，学生需理解并熟练运用绝对值 b<-c; 不等式的性质 |ax十b|<c(c>0)→-c<ax+b<c. 例如，x-a|+1x-b|≥c(c>0)的 初中主要学习绝对值的概念.能求 几何意义：数轴上到表示数a、数b的点的 个数的绝对值，理解正数、负数、零的绝对 距离之和大于等于c的点的集合. 值规则.会解最简单的绝对值方程， Ix-al a 6 lx-b1 任务 探学新知 知识点1 绝对值的意义 (2)当a=0时，点P到原点的距离是0， 1.绝对值的代数意义 所以|a|=0. 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是 (3)当a<0时，点P到原点的距离是-a, 它的相反数，零的绝对值仍是零， 所以al=-a. a,a>0, 3.两个数的差的绝对值的几何意义 即|a= 0,a=0, 如图，a一b表示在数轴上数a和数b对 a,a<0. 应的点之间的距离 2.绝对值的几何意义 到原点的距离16 一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到 a到原点的距离la 原点的距离.由图1、图2可知： a a到b的距离la-b创 P P a 知识点2 绝对值的性质 lal lal |a≥0；ab=a·b； 图1 图2 (1)当a>0时，点P到原点的距离是a, 所以|a|=a. |a2=a2=a2 重难点手预备新高一 数学 知识点3绝对值不等式 因此，若|x<a(a>0),则-a<x<a. 同理，x>a(a>0)表示到原点的距离 由绝对值的几何意义可知，|x|<a(a>0) 大于a的所有数，如图2， 表示在数轴上到原点的距离小于α的所有的 所以若|x|>a(a>0),则x<一a或x>a. 数，如图1，x<a(a>0)表示在-a到a之 0 0 间（不包括端点）的所有的数： 图1 图2 任务二 精研典例 题型1 绝对值的意义的应用 与题设矛盾，故x不可能在一1和5之间. 例]已知x=5,ly=2,且xy>0,则 若x在5的右侧，则x到两点之间的距离之和= x-5十x-(-1)=2x-4=8,故x=6. x一y的值等于( 若x在一1的左侧，则x到两，点之间的距离之和 A.7或-7 B.7或3 =5-x+(-1-x)=-2x十4=8，故x=-2. C.3或-3 D.-7或-3 方法二(0点分段法) 分析根据xy>0得x,y同号，分两种情况讨 先找“0”点得x=5和x=-1,分x≥5，-1≤ 论即可. x<5,x<-1三种情况讨论. 答案C 若-1≤x<5,则|x-5|+|x+1=6,与题设 例2已知有理数a,b,c的对应点A,B,C 矛盾 在数轴上的位置如图所示，其中OA=OC,化 若x≥5，去绝对值，则x一5+x十1=x一 a-a+b+c-a+c-b+a+c. 5+x+1=2x-4=8,故x=6. B CO A b 0 a 若x<一1，去绝对值，则|x一5引十x+1= 分析根据各，点在数轴上的位置，利用绝对值的 -(x-5)-(x+1)=-2x+4=8,故x=-2. 性质进行化简. (2)两式相减得6-2y十|y-3=12, 解析由题意知，a>0>c>b,a=|c|, 由3x-1=6-2y=2(3-y)≥0，解得y≤3. ∴.a十b<0,c-a<0,c-b>0,a+c=0, .6-2y+y-3|=12可化简为6-2y+3 .原式=a十a十b+a-c+c-b十0=3a. y=12,解得y=-1. 题型2解绝对值方程 再代入|3x-1=6-2y,得|3x-1|=8,解得 例3求解方程： 、2 x=3或x=一3： (1)|x-5+|x+1=8; |3x-1+y-3=12, =3, (2) ∴原方程的解为 3x-1=6-2y. y=-1 解析(1)方法一（利用绝对值的几何意义） 题型3 解绝对值不等式 |x-5|十|x+1表示数轴上，点x到5和一1两 点之间的距离之和， 例4解不等式：x-1+|x-3>4. -10 5 解析方法一由x一1=0，得x=1; 如图，若x在一1和5之间时，距离之和等于6， 由x-3=0,得x=3. 第1天绝对值方程和不等式 ①若x<1,不等式可变为-(x-1)-(x-3)> 点P到坐标为1的，点A之间的距离|PA,即 4,即-2x十4>4，解得x<0,又x<1, |PA|=x-1;x-3表示x轴上点P到坐标为 所以x<0. 3的点B之间的距离PB|,即PB=|x一3 ②若1≤x<3,不等式可变为(x一1)一(x一3)> Ix-31 4,即2>4， PCA 0 1 34 所以不存在满足条件的x 1x-11 ③若x≥3，不等式可变为(x一1)十(x-3)>4, 所以，不等式|x一1+x一3>4的几何意义 鹊 即2x-4>4,解得x>4,又x≥3， 即为PA|+|PB>4. 四 所以x>4. 由AB|=2,可知点P在点C(坐标为0)的左侧 综上所述，原不等式的解为x<0或x>4. 或，点P在点D(坐标为4)的右侧. 方法二如图，|x一1表示x轴上坐标为x的 即x<0或x>4. 任务三 自主测评 A基础练 6.若不等式x+2+x-a|>2a对任意 x∈R恒成立，则a的取值范围为 1.在实数a,b,c中，若a十b=0,b-c>c-a> 7.解绝对值方程（组） 0,有下列结论：①a>b,②a>0,③b<0, ④c<0.其中正确的个数有( )x,3x+1=2: 2x+1 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.下列说法正确的是(）. A.I< B.若|x一1十2取最小值，则x=0 C.若x>1>y>-1,则|x<|y D.若|x十1≤0，则x=一1 3.实数m,n在数轴上的对应点如图所示，则下 列式子中正确的是( (2)113x-5+4=8; A.mn B.-n>m C.-m>n D.m<n 4.已知m=2x一1+x+3,则+1的最 小值为( A号 7 c 5.不等式2x-3-x>2的解为 3 重难点手预备新高一 数学 x-1+2y+2=10, ⑧能力练 (3)X x+3 (1y+2-3; 8.如果a,b,c是非零有理数，且a+b+c=0, 那么合+合+后+ax abc 的所有可能的 值为( A.0 B.1或-1 C.2或-2 D.0或-2 9.在数轴上，点A和点B分别表示数a和b, 且在原点O的两侧，若a一b=2028,且 x-y=5, ④z+31y=7. AO=2BO,则a+b=(). A.±2028 B.土6084 C.±676 D.0 10.已知|x=5,y=1,那么1x-y x+y|= 11.已知a,b,c,d为实数，且a-b=2, |b-c|=3,a-d=4,则|c一d的最大 值为 ,最小值为 4参考答案与解析 第1天绝对值方程和不等式 10.2.[x=±5，y=士1，原式=||x-y|- 1.A2.D3.C 1x-(-y)1川=|±2=2.] 4.A[当x≤-3时，m=-3x-2≥7； 11.9;1.[.c-d=(c-b)+(b-a)+(a-d), 当-3Kx<2时m=-x十4，号<m<7, 7 (*) :.c-d<Ic-b1+1b-al+a-d=9, 当x≥过时m=x十 当a=4,b=6,c=9,d=0可取等号， 最大值为9. 综上m≥名，故m十1的最小值为2] 由(*)式可知，c一d必定是一个整数，且是一 6<号或>5.[当2x3≥0，即≥8时， 个奇数. .c-d|≥1，a=0,b=2,c=5,d=4可取 去绝对值得2.x-3-x>2,解得x>5;当2x 等号 30,即z<号时，去绝对值得-2x十3-> .最小值为1.] 第2天因式分解 2,解得x<日则解为<名或x>5 1.D2.B3.D 6.a<2.[|x十2|+|x一a|的几何意义为数轴 4.(1)原式=(b-a)(2x十3y). 上一点x到点a和点一2距离的和，因此当点 (2)原式=2m(n4-81)=2m(n2+9)(n2-9) x在两点a,一2之间时距离之和取得最小值， =2m(n2+9)(n+3)(n-3). 则a≤0时，恒成立；a>0时，需满足a十2> (3)原式=(x-2y)(x5-x2) 2a,即0<a<2.故a的取值范围为a<2.] =x2(x-2y)(x3-1) 7.(1)x=-2或x=-3 1 =x2(x-2y)(x-1)(x2+x十1). 5.(1)原式=x(y3+x3) 1 (2)x=3或x= =x(x+y)(y2-xy十x2). 39 (2)原式=x"(x3-y3) 33 33 x= 5, 5, =x"(x-y)(x2+xy+y2). (3) 或 4 16 (3)原式=y2[(x2-2x)3+1] y=- y= 5 =y2(x2-2x+1)[(x2-2x)2-(x2-2x)+1] 11 2 2 =y2(x-1)2(x4-4x3+3x2+2x+1). x=4, x=-4, (4) 或 或 或 6.(x+1)3-(x-1)3 y三一 1y=1. y= 2 y= =x3+3x2+3x+1-(x3-3x2+3x-1) 8.A =x3+3x2+3x+1-x3+3x2-3x+1 9.C[当a<0<b时，|a-b|=b-a=2028, =6x2+2. 一a=2b,则a+b=一676；当b<0<a时， 又因x2+x-1=0,所以x2=1-x,故6x2十 |a-b|=a-b=2028,a=-2b,a十b=676.] 2=6(1-x)+2=8-6x. 1