第18天 利用基本不等式求最值-【重难点手册·预备新高一】2026-2027学年初升高数学衔接

第 18 天 利用基本不等式求最值 任务一 探学新知 知识点1利用基本不等式求最值的方法 等式，或分组后可以先部分应用基本不等式， 利用基本不等式，求函数或代数式的最 再组与组之间应用基本不等式得出最值， 值，需对函数或代数式进行恒等变形及配凑， 3.配—配式、配系数 使“和”或“积”为定值.常见的变形手段为拆、 为使“积”或“和”为定值，常常需要根据题 并、配. 设条件进行合理配式或配系数，使匹配后的和 1拆一裂项拆项 式中两部分乘积为定值，或配以恰当的系数 当分子的次数高于分母的次数时，将分式 后，使积式中的两项之和为定值 进行整式分拆，即分拆成整式与“真分式”的 易错警示业 和，再根据分式分母的形式对整式进行凑项， 1.使用基本不等式求最值时一定要满足“一正 为应用基本不等式创造条件！ 二定三相等”； 2.并—分组并项 2.分式型函数以及含有两个变量的函数，特别 目的是分组后各组可以单独应用基本不 适合使用基本不等式求最值： 任务二 精研典例 题型 1 配凑法、添项、裂项 为6√2+9，此时x=3√2+1. x2+7x+10 方法二（换元法裂项分离）令t=x一1，则t>0, 例](1)已知x>1,求y= 的 x-1 且x=t+1,代入原式，得y=+1)+7u+1)+10 最小值及此时x的值； (2)已知正数x,y,之满足x2十 +9+18-+18+9≥2，/. +9=6√2+9，当且 xy+xz+yz=18,求3x+y+2z的最 小值. 仅当t=18, 即t=3√2，x=3√2十1时，等号成立，所 解析(1)方法一（凑分母裂项分离）因为x> x2+7x+10 以y的最小值为6√2+9，此时x=3√2+1. 1,所以x-1>0,所以y= x-1 (2)由x2十xy十xz十yz=18,得x(x十y)十 x-1)2+9x-1D+18=(x-1）+,18 x-1 x-1+9≥ z(x+y)=18,即(x+y)(x+z)=18, 2z-D·8+9=62+9,当且仅当z-1 所以3x+y+2z=(x+y)+2(x+z)≥ 2√(x十y)·2(x+z)-12,当且仅当x十y=2(x+ 18 x,即x=32十1时，等号成立，所以y的最小值 z)时，等号成立，所以3x十y十2x的最小值为12. 64 第]8天利用基本不等式求最值 题型2巧用数字“1”（常值代换） 题型3 用消元法求多变量代数式的最值 配若x>0,y>0,且2+9=1，求x十 例3已知x>0,y>0,x十2y+2xy=8, 求x十2y的最小值. y的最小值. 解析 8-x 解析+9=1x>0,y>0, 由x+2y+2xy=8,可知y=2十2，因为 x'y x>0,y>0,所以0<x<8. z+y=(日+)x+)=10+g+≥ y 所以x十2wy=x+8-x+91=x十 x+1 x+1 10+/臣= 9 x+1-1=x+1+x+1-2≥29-8=4， 当且仅当9虹=义，即x=4,y=12时，等号成立. 当且权当x十1=是7，即x=2时等号成立 9 .x十y的最小值为16. 所以x十2y的最小值为4. 方法览结！业 题型4 多次应用基本不等式求最值 巧用数字“1”的常见题型 ☑设a>6>0,求6++d万的 1 1.已知正数x,y满足az十by=1求”m+”的 最小值 函 最小值(a>0,b>0,m>0,n>0). 解析因为a>b>0,所以a-b>0, 2.已知正数c,y满足？+6=1，求mx十y 4 1 1 所以ab +0是+6a-b=ab-b2+6a-b+ 的最小值(a>0,b>0,m>0,n>0). 4 1 一般解题步骤： +0-b(a-b)+6a而+62+是≥ (1)根据已知条件或其变形确定定值（常数）； 2ba-)·6a6+26·是=2+4=6， 1 (2)把确定的定值（常数）变形为“1”； 1 (3)把“1”的式子与所求最值的式子相乘或相 当且收当6a-6)60万62-是时，等号成 除，构造和或积的形式，进而利用基本不等式求解 立，所以ab十 +6(a-b的最小位为6. 4 1 任务三 自主测评 A基础练 A.23 B.23-1 C.23+1 D.4 1 1.若a>1,则4a十 二的最小值为( a已知正数xy清足号+y=1,则+名的最 A.4 B.6 小值为( C.8 D.无最小值 2当>0时，y=+2+3的最小值为 A.5 B. 2 () C.4 7 D 65 重难点手预备新高一 数学 4若x>2,则y x2-2x+4有( ⑧能力练 x-2 A最大值6 B.最大值8 8.若正实数a,b满足a十b=2.则下列结论正 C.最小值6 D.最小值8 确的有 (填序号) ①ab的最大值为1； 5.(1)已知x>1,则y= x2+8 x-1 的最小值是 ②。+方的最大值为2： ②已知0<<则x(3-2z)的最大值是 ③√a+√b的最小值为2； ④a2+b2的最小值为2； 6.求解下列问题. ⑤a6+1)的最大值为是 1)若>0，求2+3x的最小值； x (2)若x<0,求 2+3x的最大值. 9已知a≥0,6≥0，求十a6+名的最小值 a 7,求解下列问题. 0已知x<求4红-2十写的最大值， (2)设0<x<2,求x(5一2x)的最大值 662a2+2b2 a2+62+2ab 4 4 而a2+b2≥2ab>0, ∴.2a2+2b2≥a2+b2+2ab>0. ∴.√2a2+2b2≥√a2+b2+2ab. ,6二a十也（当且仅当a=b时取等号） 2 又 2 1+1 a1且a>0,b>0,a+b a'b ≥2√ab(当且仅当a=b时取等号). 0K1<1 a+b2√ab '2ab 2ab a+b2√Jab =√ab, 即0西（当且仅当。=6时取等号》. 2 1+1 a气于（当收当 2 a=b时取等号). .A≥B≥C≥D.] 10.(1)若正实数x,y满足xy=3x十y,则】+ 3=1,所以x十y=红+（生+）=4+ ￥+≥4+28，当且仅当2-，印x x x 1+√3，y=3+√时取等号，所以x十y的最 小值为4+2√3. 2)正实数a6,y满足号-茶=1，且a 6则a-=a-(后》 =x2+y2- +》 a:yayz 因为6x2 62≥2 bizi.aiy a2 6-21xyl, 当且仅当z2ay2 a2 62时取等号， 所以a-=+-(+2)+ y2-2|xy≤x2+y2-2xy=(x-y)2, 所以a2-b2≤(x-y)2. (3)若m>0,M=√3m-5-√m-2,令x= √3m-5,y=√m-2,则x2-3y2=1, 令a2=1a>0,62=专6>0，所以M= V3m-5-/m-2-x-y>/a-bF_6, 3 当且仅当2=3y2即x=3y时取等号，结 合2-8y-1,解得2-y-,即 v3m-5=y6 ,所以m=13 所以M的袋小值为号，此时m 61 第18天利用基本不等式求最值 1.c[若a>1,则a-1>0,4a十。-=4a- 1D+a1+4≥2,4a-1D…a+4=8,当 且仅当4a-1D=。,即a=号时，等号成 立，所以4a+。己的最小值为8] 2.C[因为r>0,所以y=2++3-工十3+ 1≥2,2…+1=23+1，当且仅当x= 即x=√3时，等号成立，所以y的最小值为 23+1.] 3B[因为后+y=1,所以2+号)（号+）= 8+2+号≥号+2-8当且仅当 2 x y ￥-子，即x=y=号时，等号成立，故+子的 y 最小值为] 19 4.C[因为x>2,所以x-2>0,所以y= 4 x-2x十4三x二2十x-2+2≥ x-2 2/-2)·2+2=6,当且仅当x-2 x一2即x=4时等号成立，故y=一2+4 4 x-2 有最小值6.] 5(8(2)8[1令4=x-1,因为x>1, 所以1=x一1>0，x=t+1,所以y=+8- x-1 +18-++2≥24…9+2-8，当 且仅当6=，即=3，x=4时，等号成立，所 以y兰告他最小值是8 (2)因为0<<号，所以3-2x>0,所以x(3 2x)=日×2x×3-2x)≤2×2x+322 4 =号当且仅当2x=8一-2红，即2=时，等号 成立，所以x(3-2x)的最大值是号] 6.(1)c>0,由基本不等式得2+3x≥ 223x=2/36=12,当且仅当3x12的 取等号，即当工=2时，2-3x取得最小值12. (2)x<0,∴.-x>0, 而品+(-32《-)=12， 12 +x≤-12，当且仅当号=-3时取等 号，即当x=-2时，12+3x取得最大值-12， 7.az<号，5-4x>0 令y=红-2+女写则y=-(5-十 20 1 5-4x +3≤-2+3=1，当且仅当5-4x= 5-4x,即x=1时等号成立 1 .当x=1时，ymax=1. (2)0<x<2,.0<2x<4,5-2x>0.令y 1 1 =x(5-2x),则y=2·2x·(5-2.x)≤2 2+-2x门-号×-当且仅当2z 2 =5-2x,即x=时上式取等号，故ym一得 8①④6.[对于①6≤(22)'-1，当且仅 当a=b=1时，等号成立，所以ab的最大值为 1,放①正确：对于②，日+方（日+）a +b)=2+8+8)≥(+2合号) -2,当且仅当名-分，即a=6=1时，等号成 立，所以日+方的最小值为2，放②错误：对于 ③，(Wa+√b)2=a+b+2√ab≤a+b+2× ab=2(a十b)=4,当且仅当a=b=1时，等 号成立，所以√a十√6≤2，所以√a+√b的最大 值为2，故③错误；对于④，a2十b2=(a十b)2 2ab=4-2ab≥4-2xa+b)2=2,当且仅当a 4 =b=1时，等号成立，所以a2十b2的最小值为 2,故④正确；对于⑤，a(6+1)≤a十b+1)2 是，当且仅当a=6+1,即a=多6-时，等 号成立，所以a(b十1)的最大值为}，放⑤正 确综上，结论正确的有①④⑤.] 9因为a>0,6>0,所以2+a6≥2日·6= 2,。+6+≥26+≥22b·名=4， 当且仅当。-a6,且26-名，即a=b=1时， 0 等号成立，故}+6+号的最小值为4 第19天二次函数与一元二次方程、不等式 1.D[易得集合S={x|x≤2或x≥3)，结合数 轴，可得S∩T={x0<x≤2或x≥3}.] 2.B[在△ABC中，∠A=90°，AB=AC,△ABC 为等腰直角三角形，设AD=x米，则EF=F℃ AD=x米，FA=(200一x)米，依题意有x(200 x)≥7500，解得50≤x≤150.即AD的长度（单 位：米)范围是{AD|50≤AD≤150.] 3.C[由x(x一2)<0，解得0<x<2,即不等式 x(x一2)<0的解集为{x0<x<2}.由题意可得 不等式x(x一2)<0成立的一个充分不必要条 件应为{x0<x<2}的真子集，故选C] 4.BC[.关于x的不等式ax2+bx+c>0的解 集为{x|x<-2或x>3},∴a>0且-2和3 是方程ax2十bx十c=0的解， -2+3=-6 即b=-a,c=-6a(a>0), 2x3-后 故A错误； 不等式bx一c>0可化为x-6<0,故不等式 bx一c>0的解集为{xx<6},故B正确； 4a+2b十c=4a一2a-6a=一4a<0,故C正确； .ax2-bx十a≥0，∴ax2+a.x+a≥0，即 x2+x十1≥0，解集为R,故D错误] 5.{x|-3<x<5.[.ax2+bx十c>0的解集为 {x|-3<x<4},∴.a<0且-3和4是方程 ax2十bx十c=0的两个根. -3十4=-6 Q, b=一a, 由韦达定理得 即 -3X4=C, c=-12a. a ∴.将b,c代入不等式bx2+2a.x-c-3b<0,得 -ax2+2ax+15a<0,即x2-2x-15<0,解得 -3<x<5. 故所求不等式的解集为{x|一3<x<5).] 6.(1)由题意得，当a=2时，(x-1)(ax十a-1)= a-1D2z+1D<0,解得-号<<1 故当a=2时，关于x的不等式的解集 为-名x<. (2)当a>0时，不等式可化为(x-1)（x+1一 )<0,x-1D(x+1-)=0的根为x1=1, 1一1 0 ①当0a<2时，1<-1， ∴.不等式的解集 a 为1<一小 ②当a=方时，1=}1，∴不等式的解集为. a ③当a>时，1心}-1，不等式的解集 a 为x2-1<x<1 综上，当0<a<号时，不等式的解集为x1< x<。-1;当a=时，不等式的解集为2；当 a a>2时，不等式的解集为x是-1<x<1. 7.C[不等式x2-(a+1)x十a<0,可化为(x a)(x-1)<0. 当a=1时，不等式x2-(a十1)x十a<0的解 集为空集，不符合题意；当a>1时，不等式 x2-(a十1)x十a<0的解集为{x|1<x<a}, 要使不等式x2-(a十1)x十a<0恰有四个整 数解，则5<a≤6；当a≤1时，不等式x2一 分类的标准为对应的一元次方程两根的大小关系 (a+1)x+a<0的解集为{xa<x<1},要使 不等式x2一(a十1)x十a<0恰有四个整数解， 则-4≤a<-3. 综上可得，实数a的取值范围是{a|一4≤a< -3或5<a≤6).] 21