第12天 全称量词与存在量词-【重难点手册·预备新高一】2026-2027学年初升高数学衔接

第 12 天全称量词与存在量词 衔接对照 初中知识解读 高中知识解读 高中正式 定义全称量词 全称量 否定存在量 初中要求能理解“所有” 词命题 否定 词命题 原命题 “任意”“每一个”“存在”“至少 若力，则q 与存在量词，要 有一个”“有些”等词语的意 求判断含有一 互逆 个量词命题的 全称量词命 存在量词命 思，并能据此判断简单命题的 逆命题 真假，能解决与 题的否定 题的否定 函 真假， 若q,则p “恒成立”“存在性”相关的参数问题，初中 隐性的量词意识被提升为严格的逻辑工具. 任务一 探学新知 知识点1 全称量词与全称量词命题 知识点2 存在量词与存在量词命题 全称量词与全称量词命题的概念 存在量词与存在量词命题的概念 短语“所有的”“任意一个”在 定义 定义 短语“存在一个”“至少有一个” 全称量词 逻辑中通常叫作全称量词 存在量词 在逻辑中通常叫作存在量词 符号表示 V 符号表示 含有全称量词的命题，叫作 含有存在量词的命题，叫作存 定义 定义 全称量词命题 在量词命题 全称量 对M中任意一个x,p(x)》 存在量 存在M中的元素x,p(x) 词命题 般形式 般形式 成立 词命题 成立 符号表示 Hx∈M,p(x) 符号表示 3x∈M,p(x) 核心总结 核心恩结口 全称量词命题常见的表述形式 存在量词命题常见的表述形式 命题 全称量词命题(Hx∈M,p(x) 命题 存在量词命题(]x∈M,p(x) 所有的x∈M,p(x)成立 存在x∈M,p(x)成立 对一切x∈M,p(x)成立 至少有一个x∈M,p(x)成立 表述 表述 形式 对每一个x∈M,p(x)成立 形式 对有些x∈M,p(x)成立 任选一个x∈M,p(x)成立 对某个x∈M,p(x)成立 凡x∈M,p(x)成立 有一个x∈M,p(x)成立 41 重难点手册预备新高一 数学 任务二精研典例 题型1 全称量词命题与存在量词命题的判断 由x2=3可得x=士√3，故选项B错误； Vx∈Z,|x|∈N,故选项C正确； 例]下列命题是全称量词命题的是( 由x2一2x十3>0恒成立，可得选项D错误. A存在一个实数的平方是负数 答案C B.至少有一个整数x,使得x2+3x是质数 C.每个四边形的内角和都是360° 方法总结业 1.判断一个语句是全称量词命题还是存在量 D.3x∈R,x2=x 词命题的步骤 解析选项ABD中，分别有“存在”“至少”“了” (1)判断该语句是否为命题， 这样的存在量词，所以选项ABD都为存在量词命题， (2)看命题中是否含有量词，含有量词时，该量 选项C中，因为有“每个”这样的全称量词，所以该命 词是全称量词还是存在量词 题为全称量词命题故选C. (3)对不含或省略量词的命题，要根据命题涉 答案C 及的实际意义进行判断. 方法览结！， 2.注意哪些词是量词，同时应注意全称量词命 题和存在量词命题的结构形式： 判断全称量词命题与存在量词命题真假的方法 命题类型 判断 具体方法 巧记 题型 3 已知量词命题的真假求参数的值 或范围 全称量词 真 进行证明、推理 “全真为真” 例3已知命题p:关于x的方程mx2十 命题 2x一1=0有实数根.命题q:Hx∈[1,4]，不等 “Hx∈M, p(x)” 假 举出一个反例 “一假为假” 式-x2+4x-3≥m2-4m恒成立. (1)若命题p为真命题，求实数m 存在量词 的取值范围； 真 举出一个特例 “一真为真” 命题 (2)若命题饣与命题g一真一假，求实数 “]x∈M, m的取值范围， p(x)” 假 进行证明、推理 “全假为假” 解析(1)若命题p为真命题，则关于x的方程 mx2十2x一1=0有实数根， (二次项系数为m,应分m=0与m≠0讨论) 题型 全称量词命题与存在量词命题真 2 假的判断 当m=0时，2x-1-0有实数根，解得x=弓，特 例2下列命题是真命题的是( 合题意； 当m≠0时，则△=4十4m≥0，解得m≥-1且 AHx∈R,Wx2=x m≠0.（易错，点：用△心须二次项的系数不为0） B.]x∈Q,x2=3 综上，实数m的取值范围为[一1，十∞). C.Hx∈Z,lx|∈N (2)若命题q为真命题，则Hx∈[1,4]，不等式 D.3x∈R,x2-2x十3=0 x2十4x-3≥m2-4m恒成立，即(-x2十4x 解析当x=一1时，Wx≠x,故选项A错误； 3)min≥m2-4m. 42 第12天全称量词与存在量词 当x∈[1,4]时，-x2+4x-3=-(x-2)2+1∈ 则-1≤m<1或m>3; [-3,1],.(-x2+4x-3)mm=-3. |m<-1, 当p假q真时，有 则解集为☑ 则m2-4m≤一3，解得1≤m≤3. 1≤m≤3， m≥-1， 综上，-1≤m<1或m>3. 当力真q假时，有 m>3或m<1, 故实数m的取值范围为[-1,1)U(3,+∞). 任务三 自主测评 A基础练 6指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些 是存在量词命题，并判断真假. 1.下列命题是全称量词命题的是( (1)3x∈R,使x2十1<0； A有一个偶数是质数 摇 (2)对某些实数x,有2x+1>0; B.至少存在一个奇数能被15整除 函 (3)Hx∈{3,5,7}，3x+1是偶数； C.有些三角形是直角三角形 (4)3x∈Q,x2=3. D.每个四边形的内角和都是360° 2.下列全称量词命题中，是假命题的有( ①2x+1(x∈R)是整数；②对所有的x∈R, x>-1;③对任意一个x∈Z,2x2+1为 奇数 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 3.下列命题正确的是(). A.]x∈R,x2+2x+3=0 B.x>1是x2>1的充分不必要条件 C.Vx∈N,x3>x2 7.已知命题p:“3x∈{x|1<x<4}使得不等 D.若a>b,则a2>b2 式x2-4x-2一a>0成立”是真命题，求实 4.(多选)下列命题是“3x∈R,x2>3”的表述 数a的取值范围. 方法的有(). A.有一个x∈R,使得x2>3成立 B.对有些x∈R,使得x2>3成立 C.任取一个x∈R,都有x2>3成立 D.至少有一个x∈R,使得x2>3成立 5.(多选)下列四个命题中是真命题的有( A.Hx∈R,lx|+|x-1>0 B.Hx∈N,(x-1)2>0 C3x∈R,x+1-1<0 D.3zEN.z-+0 43 重难点手预备新高一 数学 B能力练 10.已知命题p:3x∈[0,3]，a=一x2+2x;命 题g:Hx∈{x|-1≤x≤2}，x2+ax-8≤ 8.已知使不等式x2+(a+1)x+a≤0成立的 0.若p为假命题，g为真命题，求实数a的 任意一个x,都满足不等式3x一1≤0，则实 取值范围. 数a的取值范围为 9.已知y1=m(x-2m)(x+m+2),y2=x 1,若它们同时满足： ①Hx∈R,y1<0或y2<0; ②]x∈{xx<-3},y1y2<0. 求m的取值范围. 44得a<-2或a>2;当方程x2-a.x十a2-3=0 只有非负实数解时， △=12-3a2≥0， x1十x2=a≥0，解得√3≤a≤2. x1x2=a2-3≥0， 综上所述，A∩B=0的充要条件是a<-2或 a≥√3，这恰好是A选项的结果，所以A选项 是A∩B=☑的充要条件，选项BCD对应的集 合都是集合{a|a<-2或a≥√3}的真子集， 所以它们都是A∩B=必的充分不必要条件.] 5.m=一2.[函数y=x2+mx+1的图象关于 直线x=1对称，则--1，即m=-2:反之， 若m=一2，则y=x2-2x十1的图象关于直线 x=1对称.] 6.(1)P={xx2-3x+2≤0}={x|1≤x≤2}： 要使x∈P是x∈S的充要条件，则P=S,即 |1-m=1, 此方程组无解，则不存在实数m,使 1+m=2, x∈P是x∈S的充要条件 (2)要使x∈P是x∈S的必要条件，则S二P. 当S=⑦时，1-m>1十m,解得m<0; 当S≠☑时，1-m≤1十m,解得m≥0， 1-m≥1， 要使S三P,则有 解得m≤0，所以 1+m≤2， m=0. 综上可得，当实数m≤0时，x∈P是x∈S的 必要条件。 7.ACD[因为x2>1的解集为{xx<-1或 x>1,所以“x>1”是“x2>1”的充分不必要 条件，故A正确. 当“x>1,y>1”时，“x十y>2,xy>1”一定成 立，反之“x十y>2,xy>1”成立时，“x>1,y> 1”不一定成立，如举例x=4,y=3,所以“x> 1,y>1”是“x十y>2,xy>1”的充分不必要条 件，故B错误 当“x2+y2=0”时，“xy=0”一定成立，反之 “xy=0”成立时，“x2十y2=0”不一定成立，例 如x二1，y=0,所以“xy=0”是“x2十y2=0”的 上举反例 必要不充分条件，故C正确. 当“x2≠4”时，满足“x≠2”；当“x≠2”时，“x2≠ 4”不一定成立，例如x=一2，所以“x2≠4”是 “x≠2”的充分不必要条件，故D正确.] 8.(1)若x2+2a.x十2a+3>0在x∈R上恒成 立，则△=4a2-4(2a+3)<0,所以有-1<a< 抛物线y=x2+2ax+2a十3上的，点静在x轴上方 3,所以实数a的取值范围为{a|一1<a<3. 2)3>09(x=2)(x-3)>0→x>3或 x<2,根据条件可知x2十2ax十2a十b一1>0 的解集是{x|x<2或x>3},即方程x2十 2ax十2a十b一1=0的两个根为2和3，根据韦 1-2a=5, 达定理有{ 2a+b-1=6, 5 a=-2' 解得 b=12. 第12天全称量词与存在量词 1.D 20【0取x-号则2x+1-号eZ假命题 ②取x=-2,-2<-1,假命题. ③Hx∈Z,2x2+1均为奇数，真命题.] 3.B[x2+2x十3=0的△=-8<0，故方程无实 根，即3x∈R,x2十2x十3=0错误，故A错 误；x2>1台x<-1或x>1,故“x>1”是 “x2>1”的充分不必要条件，故B正确；当x≤ 1时，x3≤x2,故Hx∈N,x3>x2错误，故C错 误；若a=1,b=-1,则a>b,但a2=b2,故D 错误.] 4.ABD[C选项是全称量词命题，ABD选项符 合题意，故选ABD.] 5.AC[因为|x1≥0，|x-1|≥0，所以|x|+ 11 |x一1≥0，由于x=0,x=1不能同时取得，所 以Hx∈R,|x|+|x一1>0为真命题，故A 正确；当x=1时，(x-1)2=0,所以Hx∈N, (x一1)2>0为假命题，故B错误；当x=一1 时，x十1-1<0成立，故3x∈R,x十1-1<0 为真命题，故C正确：因为x2一x十日-(x 2》gx∈N,所以x=0或x=1时，有最 小值g,放3x∈N,x-x十日<0为假命题， 故D错误] 6判断全称量词命题为假时，可以用特例进行否 定；判断存在量词命题为真时，可以用特例进行 肯定 (1)命题中含有存在量词的符号“了”，因此该命 题是存在量词命题，对任意x∈R,x2+1>0,所 以该命题是假命题， (2)命题中含有存在量词“某些”，因此该命题是 存在量词命题若x>-则2x+1>0,所以 该命题是真命题 (3)命题中含有全称量词的符号“H”,因此该命 题是全称量词命题.把3,5,7分别代人3x十1，得 10,16,22且都是偶数，所以该命题是真命题. (4)命题中含有存在量词的符号“了”，因此该命 题是存在量词命题.由于使x2=3成立的实数 只有士√3，且它们都不是有理数，因此，没有一 个有理数的平方等于3，所以该命题是假命题. 7.由题设知x2-4x-2-a>0,在x∈{x|1< x<4}上有解. 由x2-4x-2-a>0得2十a<x2-4x. .2+a<x2-4x在x∈{x|1<x<4}上有獬， .2+a<(x2-4x)mx. 又x2-4x=(x-2)2-4,x∈{x|1<x<4}, .当x=4时，(x2-4x)mx=0,∴.2十a<0, .a<-2. 12 aaa≥-3}.[由3x-10得x≤号 设集合A={cx≤号}，由不等式x2+(a+1)z +a≤0得(x十1)(x十a)≤0. 设集合B={x|(x+l)(x十a)≤0}，且由题意 知B二A. ①当a=1时，B={x|x=-1},满足B三A. ②当a>1时，B={x|-a≤x≤-1}， 满足B二A. ③当a<1时，B={x|-1≤x≤-a}, 由BCA,得-a<号，即a≥-吉 综上可得a≥-号] 9.由y2<0,得x-1<0,即x<1, Vx∈R,y1<0或y<0,则当x之1时，y≤ 0恒成立，于是m<0, 破题点 此时m(x一2m)(x十m+2)=0的根为x1= 2m<1, 2m,x2=-m-2,于是{ -m-2<1, 解得 -3<n<号，又m<0,所以-3m<0;叉3x ∈{x|x<-3},y1y2<0,显然y2<0,则3x∈ {xx<-3},y1>0,而m<0,即3x∈{xx< -3},(x-2m)(x+m+2)<0,显然2m≠-m -2,否则Vx∈{xx<-3},y1<0,不符合题 意，当2m<-m-2,即m<-号时，2m<-3, 解得m<一号，此时-n一2>-3，符合题意， 3 因此-3<m<-2;当-m-2<2m,即m> ←3时，一m-2<-3,解得m>1与-3<m六 0矛盾，所以m的取值范围是{m一3< 3 m<-2}: 10.命题p:3x∈[0,3]，a=-x2十2x为假 命题， 则a=一x2+2x在x∈[0,3]上无解， 即y=a与y=-x2十2x,x∈[0,3]函数图象 没有交点， y-a 2 y=-x+2x 由图可知a>1或a<-3. 命题g:Vx∈[-1,2]，x2+ax一8≤0为真 命题， 则1-a-8<0, 解得-7≤a≤2. 4+2a-8≤0， 综上所述，实数a的取值范围为{a|一7≤a<一3 或1<a≤2. 第13天全称量词与存在量词的否定 1.C[命题“Hx≥0，x3+x≥0”的否定是“3x≥ 0,x3+x<0”.] 2.D[原命题是全称量词命题，其否定是“存在 一个能被2整除的整数不是偶数”.] 3.D[由a,b,c都不小于1， 朝译成符号语言 即a≥1，b≥1，c≥1， 三者同时满足，它的否定是至少有一个不成立 即a,b,c都大于或等于1，所以其否定是a,b, c不都大于或等于1，即a,b,c中至少有一个小 于1，故a<1或b<1或c<1.] 4.B[对于p而言，取x=-1,则有|x十1=0< 1,故力是假命题，一p是真命题，对于q而言， 取x=1,则有x3=13=1=x,故q是真命题， 一q是假命题.综上所述，一力和q都是真 命题] 5.D[全称量词命题的否定是存在量词命题，故 排除C.命题的否定只否定结论，不否定条件， 故排除AB.] 6(I)p:3x∈Rx-x十<0.假命题 (2)一q:至少存在一个正方形不是矩形.假命题. (3)r:Hx,y∈N,2x十y≠10.假命题. (4)s:Hx∈R,x3+1≠0.假命题， 7aa≥. [原命题的否定为“Vx∈{x|1< x<3},x2-a.x十1<0”，此命题为真命题. 令y=x2-a.x+1. 当x=1时，y=1-a+1≤0，獬得a≥2. 当z-3时y-g-3a十1长0，解得a≥号 综上可得a≥8] 8.因为x1,x2是方程x2一mx一2=0的两个实 x1十x2=m, 根，则 x1x2=-2, 可得|x1-x2|=√(x1十x2)2-4x1x2= m2+8, 当m∈[-1,1]时，|x1-x2mx=3,由不等式 n2-5n-3≥|x1-x2|对任意实数m∈[-1， 1]恒成立可得n2-5n-3≥3，即n2-5n-6= (n+1)(n-6)≥0，解得n≤-1或n≥6， 所以命题p为真命题时，n∈(-∞，一1]U[6, 十∞). 当命题q为真命题时，不等式nx2+2x一1>0 有解. 当n=0时，不等式为2x-1≥0，解得x≥2， 符合题意；当n>0时，△=4+4n>0,原不等式 一定有解；当n<0时，只需△=4+4n>0, 解得-1<n<0..不等式nx2+2x-1>0 有解时n>一1，又命题q是假命题，则n∈ （一∞，一1，所以命题p是真命题且命题q是 补集思想 假命题时，实数n的取值范围为（一∞，一1]. 第14天阶段复习检测 1.C[设C二{3,4,5,6}，由A二B,得B=AU C,显然C的个数为24=16. 点悟：满足A二B的集合B的个数为纂合{3,4,5,6}的 于集的个数 13